Equations et inquations Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/

QUATIONS et INQUATIONS

1. quations

1) Vocabulaire

Une quation est une galit dans laquelle figure une quantit inconnue (ou plusieurs). On dsigne cette

quantit inconnue par des lettres (x, y, ...).

Exemples d'quations :

Remarque : ne pas confondre une quation (comme par exemple 2x + 3 = 0) et une expression algbrique

(comme par exemple 2x + 3). Une expression algbrique ne contient pas le signe gal.

Une solution de l'quation, c'est une valeur que prend la (ou les) quantit(s) inconnue(s) pour laquelle

l'galit est vrifie.

Exemples :

i) On considre l'quation suivante : x2 + 1 = 3 x

La valeur 3 est-elle une solution de l'quation ?

La valeur 1 est-elle une solution de l'quation ?

ii) On considre l'quation suivante : 2x + y = 0 (quation deux inconnues x et y)

Le couple (x, y) = (1 ; 2) est-il solution de l'quation ? Et le couple (1 ; - 2) ?

Trouver mentalement un autre couple solution :

iii) On considre l'quation suivante : (x - 2)2 = 25

Trouver mentalement une solution de cette quation :

Est-ce la seule ?

Rsoudre une quation, c'est trouver toutes ses solutions. (Il se peut qu'il n'y en ait pas, ou au contraire

qu'il y en ait plusieurs, voire une infinit.)

On ne pourra donc pas procder, tatons, comme ci-dessus mais suivre un certain nombre de rgles de

calcul (qui vont tre prcises au cours de ce document). La premire chose matriser parfaitement est la

rsolution des quations du type ax + b. Ceci a dj vu au collge. On peut, ce niveau, prciser que

l'ensemble des solutions dpend de l'ensemble dans lequel on rsout l'quation. Redonnons quelques

exemples :

i) Rsoudre dans l'quation 2x 1 = 0 :

ii) Rsoudre dans l'quation 2x 1 = 0 :

: ensemble des nombres rels : ensemble des entiers naturels

Equations et inquations Page 2 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/

2) quations du type ax + b = 0 ou s'y ramenant

Dans ce paragraphe, on suppose que les quantits a et b sont des nombres rels.

Rsoudre : 2x + 6 = 0 Rsoudre : 3x 2 = 6x + 4

Rsoudre : 2(x + 4) = 3x (5 + x) Rsoudre : 2(x 2) + 5x = 8x 2 (x + 2)

Rsolution (dans ) de l'quation ax + b = 0 dans le cas gnral :

Si a 0, alors l'quation a une unique solution : x =

Si a = 0, alors il y a 2 cas :

Si b = 0, alors on a 0x + 0 = 0, ce qui est vrifi pour toute valeur de x donc :

Si b 0, alors on a 0x + b = 0. Cette galit n'est jamais vrifie donc :

Dfinition : On appelle quation du premier degr, une quation du type ax + b = 0 o a 0.

Thorme : Une quation du premier degr possde une et une seule solution relle.

Exercice 1 : trouver quatre entiers conscutifs dont la somme est gale 2006 :

Exercice 2 : refaire l'exercice prcdent en remplaant 2006 par 2007 :

Equations et inquations Page 3 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/

3) Equations "produits"

Exemple : une quation du type (3x + 1)(x 5) = 0 est une quation produit.

Thorme : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.

Exercice : rsoudre l'quation suivante : (x + 1)x(x 1) = 0

Problme : comment rsoudre les quations suivantes ?

(2x 1)2 + x(1 2x) = 4x2 1 (3x + 5)2 = (x + 1)2

Mthode retenir :

Pour se ramener une quation produit, il faut d'abord tout regrouper dans un mme membre et puis

..................................................................

Stratgies de factorisation : faire apparatre un facteur commun ou utiliser une galit remarquable.Attention de ne pas perdre des solutions !

Rsoudre l'quation 2x(x 1) = (x + 3)(x 1) :

Et lorsque l'inconnue figure au dnominateur ?

Rsoudre 1x

=2

1x + ; 3

92x -=

13x -

; xx

2= 0

Dmarche suivre dans ce cas de figure : prciser les contraintes sur l'inconnue "chasser" l'inconnue des dnominateurs rsoudre l'quation obtenue confronter les solutions aux contraintes

Equations et inquations Page 4 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/

2. Inquations

1) Vocabulaire

une inquation est une ingalit dans laquelle figure une quantit inconnue (ou plusieurs). On dsigne cette

quantit inconnue par des lettres (x, y, ...).

Exemples d'inquations :

Une solution de l'inquation, c'est une valeur que prend la quantit inconnue pour laquelle l'ingalit est

vrifie.

Exemples :

i) On considre l'inquation suivante : x2 1 3

La valeur 3 est-elle une solution de l'inquation ?

La valeur 1 est-elle une solution de l'inquation ?

ii) On considre l'inquation suivante : x2 x

Trouver mentalement, une solution de cette inquation :

Est-ce la seule ?

Rsoudre une inquation, c'est trouver toutes ses solutions.

Comme pour les quations, la rsolution des inquations doit faire l'objet de rgles prcises. Le pralable est

de savoir tudier le signe d'une expression de la forme ax + b. Pour les inquations plus compliques, on

cherchera les factoriser pour se ramener l'tude, via un tableau, du signe de plusieurs expressions de la

forme ax + b.

Remarque : en gnral, l'ensemble des solutions d'une inquation est constitu d'intervalles.

2) Signe de ax + b

Exemple : pour quelles valeurs de x, l'expression 2x + 1 est-elle positive ? Et ngative ?

En rsum, plaons toutes ces informations dans un tableau de signes :

x 12

+

Signe de 2x + 1 0 +

Par exemple, les solutions de l'inquation 2x + 1 0 sont les nombres de l'intervalle 1 ;2

- + .

Refaire de mme chose avec, cette fois, l'expression -3x + 2.

Equations et inquations Page 5 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/

Mthode gnrale Si a est strictement positif, alors :

ax + b 0 ax -b 0a>

x ba

-

x ba

+

Signe de ax + b 0 +

Si a est strictement ngatif, alors :

ax + b 0 ax -b 0a