Équations de von Kármán généralisées

C. R. Acad. Sci. Paris, t. 331, Série I, p. 329–335, 2000Problèmes mathématiques de la mécanique/Mathematical Problems in Mechanics

Équations de von Kármán généraliséesPhilippe G. CIARLET a, Liliana GRATIE b

a Laboratoire d’analyse numérique, Université Pierre-et-Marie-Curie, 4, place Jussieu, 75005 Paris, FranceCourriel : [email protected]

b Facultatea de Inginerie-Braila, Universitatea “Dunarea de Jos”, Gala¸ti, Calea Calarasilor 29, Braila 6100,Roumanie

(Reçu le 22 juin 2000, accepté le 29 juin 2000)

Résumé. Dans un travail antérieur, le premier auteur a identifié des conditions aux limites tri-dimensionnelles, dites « de von Kármán », qui, lorsqu’elles sont appliquées à la totalitéde la face latérale d’une plaque non linéairement élastique, conduisent par une analyseasymptotique formelle de la solution tri-dimensionnelle aux équations classiques de vonKármán.

Dans cette Note, on considère la situation plus générale où une partie seulement de laface latérale est soumise à des conditions aux limites de von Kármán, la partie restanteétant soumise à des conditions aux limites de bord libre. On montre alors que, dans cecas, l’analyse asymptotique de la solution tri-dimensionnelle conduit encore à un problèmeaux limites bi-dimensionnel analogue aux équations de von Kármán. En particulier, lesconditions aux limites sur la fonction d’Airy peuvent être encore déterminées à partir desseules données. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales ElsevierSAS

Generalized von Kármán equations

Abstract. In a previous work, the first author has identified three-dimensional boundary conditions“of von Kármán’s type” that lead, through a formal asymptotic analysis of the three-dimensional solution, to the classical von Kármán equations, when they are applied tothe entire lateral face of a nonlinearly elastic plate.

In this Note, we consider the more general situation where only a portion of the lateralface is subjected to boundary conditions of von Kármán’s type, while the remaining portionis subjected to boundary conditions of free edge. We then show that the asymptotic analysisof the three-dimensional solution still leads in this case to a two-dimensional boundaryvalue problem that is analogous to the von Kármán equations. In particular, the boundaryconditions for the Airy function can still be determined solely from the data. 2000Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Note présentée par Jacques-Louis LIONS.

S0764-4442(00)01639-6/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 329

P.G. Ciarlet, L. Gratie

Abridged English version

The notations undefined here are defined in the French version (seealso [2]). Consider a nonlinearlyelastic plate, with reference configurationΩ

ε= ω × [−ε, ε], ω ⊂ R2, made with aSt Venant–Kirchhoff

materialwith Lamé constantsλ > 0 andµ > 0, subjected tobody forceswith density(fεi ) ∈ L2(Ωε), tosurface forceswith density(gεi ) ∈ L2(Γε+ ∪ Γε−), whereΓε± = ω × ±ε, and to “von Kármán surfaceforces” (of the form proposed in [1]) onγ1 × [−ε, ε], whereγ1 ⊂ γ = ∂ω and length γ1 > 0, withdensity(hεα) ∈ L2(γ1). The remaining portionγ2 × [−ε, ε], whereγ2 = γ − γ1, of the lateral face is free.Theunknown displacement fielduε = (uεi ) then satisfies the following three-dimensional boundary valueproblem:

−∂εj (σεij + σεkj∂εku

εi ) = fεi in Ωε,

uεα independent ofxε3 anduε3 = 0 onγ1 × [−ε, ε],1

ε

∫ ε

−ε(σεαβ + σεkβ∂

εku

εα)νβ dxε3 = hεα onγ1,

(σεij + σεkj∂εku

εi )n

εj = 0 onγ2 × [−ε, ε],


εi )n

εj = gεi onΓε+ ∪ Γε−,

where

σεij = λEεpp(uε)δij + 2µEεij(u

ε) and Eεij(uε) =

1

2(∂εi u

εj + ∂εju

εi + ∂εi u

εm∂

εju

εm).

As shown in [1], the classicaltwo-dimensional von Kármán equationsare obtained by applying themethod of formal asymptotic expansions to the solution to this problem,under the assumption thatγ2 =∅.The purpose of this Note is toconsider the more general case wherelengthγ2 > 0. Detailed proofs will befound in [3].

Following a by now well-established procedure (see, e.g., [2], Chaps. 4 and 5), this more general problemis first put in variational form and “scaled” over thefixeddomainΩ = ω× ]− 1,1[ . It is then assumed thatits solutionu(ε) : Ω→ R3 admits aformal asymptotic expansionof the form:

u(ε) = u0 + εu1 + ε2u2 + ε3u3 + ε4u4 + · · · .

It is first shown that the leading termu0 = (u0i ) of this expansion is such that

u0α = ζα − x3∂αζ3 and u0

3 = ζ3,

where the fieldζ= (ζi) satisfies atwo-dimensionalproblem, which may be expressed either as avariationalproblem(Theorem 2.1 in the French version) or as aboundary value problem(Theorem 2.2 in the Frenchversion). The main result of this Note (Theorem 3.1 in the French version) is the following:

THEOREM. – Assume thatω is simply connected, its boundaryγ is smooth, andζα ∈H3(ω), ζ3 ∈H4(ω).Then there exists anAiry function φ ∈H4(ω) that satisfies

∂11φ=N22, ∂12φ=−N12, ∂22φ=N11 in ω,

where

Nαβ =4λµ

λ+ 2µE0σσ(ζ)δαβ + 4µE0

αβ(ζ),

E0αβ(ζ) =

1

2(∂αζβ + ∂βζα + ∂αζ3∂βζ3),

330

Équations de von Kármán généralisées

In addition, the pair (ζ3, φ) ∈ H4(ω) × H4(ω) satisfies the followinggeneralized von Kármánequations:

8µ(λ+ µ)

3(λ+ 2µ)∆2ζ3 = [φ, ζ3] + p3 in ω,

∆2φ=−µ(3λ+ 2µ)

λ+ µ[ζ3, ζ3] in ω,

ζ3 = ∂νζ3 = 0 onγ1,

mαβνανβ = 0 onγ2,

(∂αmαβ)νβ + ∂τ (mαβνατβ) = 0 onγ2,

φ= φ0 and∂νφ= φ1 onγ,

where

mαβ =−1

3

4λµ

λ+ 2µ∆ζ3δαβ + 4µ∂αβζ3

,

andφ0 and φ1 are known functions in terms of the given functionshεα (see Theorem3.1 in the Frenchversion).

In other words, theboundary conditions on the Airy functioncan still be determined from the soleknowledge of the data even iflengthγ2 > 0. Furthermore, the pair(ζ3, φ) satisfies a boundary value problemthat generalizes the well-knownvon Kármán equations(corresponding to the case whereγ2 =∅).

1. Le problème tri-dimensionnel

Les indices grecs, correspondant aux coordonnées du plan « horizontal », varient dans l’ensemble1,2et les indices latins varient dans l’ensemble1,2,3, l’indice 3 correspondant à la coordonnée « verticale » ;par ailleurs, la convention de la sommation par rapport aux indices répétés est systématiquement utilisée.Soitω un ouvert borné connexe du plan « horizontal »R2, de frontièreγ lipschitzienne,ω étant localementsitué d’un même côté deγ, et soitγ = γ1 ∪ γ2 une partition deγ telle quelgrγ1 > 0. Étant donnéε > 0,on poseΩε = ω×] − ε, ε[ . On considère alors uneplaque non linéairement élastiquede configurationde référenceΩ

ε, formée d’unmatériau de St Venant–Kirchhoffde constantes de Laméλ > 0 et µ > 0,

soumise à desforces de volumede densité(fεi ) ∈ L2(Ωε) en son intérieurΩε, à desforces de surfacededensité(gεi ) ∈ L2(Γε+ ∪ Γε−) sur ses faces « supérieure »Γε+ = ω × ε et « inférieure »Γε− = ω × −ε,et à desforces de surfaces « de von Kármán» sur la partieγ1 × [−ε, ε] de sa face latérale, en ce sens queseule la densité de leur résultante après intégration le long de l’épaisseur est connue et que cette densitéest « horizontale », de la forme(hεα) ∈ L2(γ1). Le déplacement inconnuuε = (uεi ) est alors solution duproblème aux limites tri-dimensionnelsuivant(∂εi = ∂/∂xεi , oùxεi sont les coordonnées des points deΩ

ε;

(nεi ) est la normale extérieure unitaire le long de∂Ωε, et (να) celle le long deγ) :

−∂εj (σεij + σεkj∂εku

εi ) = fεi dansΩε,

uεα indépendant dexε3 etuε3 = 0 surγ1 × [−ε, ε],1

ε

∫ ε

−ε(σεαβ + σεkβ∂

εku

εα)νβ dxε3 = hεα surγ1,


εi )n

εj = 0 surγ2 × [−ε, ε],


εi )n

εj = gεi surΓε+ ∪ Γε−,

331


où

σεij = λEεpp(uε)δij + 2µEεij(uε) et Eεij(u

ε) =1

2(∂εi u

εj + ∂εju

εi + ∂εi u

εm∂

εju

εm).

Les fonctionsσεij sont les composantes dudeuxième tenseur des contraintes de Piola–Kirchhoffet lesfonctionsEεij(u

ε) celles dutenseur des déformations de Green–St Venant. Les relations surγ1 × [−ε, ε](y compris celles surγ1) constituent lesconditions aux limites « de von Kármán »proposées par [1] pourjustifier les équations de von Kármán à l’aide d’une analyse asymptotique formelle (avecε > 0 comme« petit » paramètre) de la solution du problème ci-dessus dans le cas particulier oùγ1 = γ.

L’objet de cette Note est de généraliser cette analyse, en considérant le cas plus général oùlgrγ2 > 0,i.e., celui où la plaque est soumise à des conditions aux limitesde von Kármánsur une partieγ1 × [−ε, ε]de sa face latérale et,simultanémant, à des conditions aux limites «de bord libre» sur la partie restanteγ2× [−ε, ε] de sa frontière latérale. Les démonstrations détaillées des résultats qui suivent, ainsi que diverscompléments, se trouvent dans [3].

2. Application de la méthode des développements asymptotiques formels

Suivant une technique maintenant bien établie (voir par exemple [2], Chap. 4 et 5), on commence parécrire le problème aux limites du paragraphe 1 sousforme variationnelle. On pose ensuiteΩ = ω× ]−1,1[ ,Γ± = ω × ±1, et on fait l’hypothèse qu’il existe des fonctionsfi ∈ L2(Ω), gi ∈ L2(Γ+ ∪ Γ−), ethα ∈ L2(γ1) indépendantes deε telles que, en posantπε(x1, x2, x3) = (x1, x2, εx3), fεi (πεx) = ε3fi(x)pour toutx ∈Ω, gεi (π

εx) = ε4gi(x) pour toutx ∈ Γ+ ∪ Γ−, hεα(y) = ε2hα(y) pour touty ∈ γ1.De la sorte, l’inconnue mise à l’échelleu(ε) = (ui(ε)), définie paruεα(πεx) = ε2uα(ε)(x) etuε3(πεx) =

εu3(ε)(x) pour toutx ∈Ω, vérifie un problème variationnel posé sur l’ouvertfixeΩ. On suppose alors quel’inconnueu(ε) admet undéveloppement asymptotique formelde la forme

u(ε) = u0 + εu1 + ε2u2 + ε3u3 + ε4u4 + · · · ,

que l’on reporte dans les équations du problème variationnel, puis on annule les coefficients des puissancessuccessives deε trouvées dans ces équations. Une suite assez longue de calculs « techniques » (des calculssemblables sont détaillés dans [2], sections 4.2 à 4.6 et 5.2 à 5.4]) montre alors que lepremier termeu0 du développement deu(ε) peut être complètement identifié à partir de la solution d’un problèmevariationnel bi-dimensionnel « en déplacement », en ce sens que l’inconnueζ qui y apparaît est le champde déplacements des points de la surface moyenneω de la plaque. De façon plus précise, on a le :

THÉORÈME 2.1. –On définit l’espace(∂ν désigne la dérivée normale extérieure le long deγ) :

V(ω) =η= (ηi) ∈H1(ω)×H1(ω)×H2(ω); η3 = ∂νη3 = 0 surγ1

.

Alors les composantes du premier termeu0 = (u0i ) sont de la forme

u0α = ζα − x3∂αζ3 et u0

3 = ζ3,

où le champζ= (ζi) appartient à l’espaceV(ω) et vérifie les équations variationnelles

−∫ω

mαβ∂αβη3 dω +

∫ω

Nαβ∂αζ3∂βη3 dω +

∫ω

Nαβ∂βηα dω =

∫ω

p3η3 dω +

∫γ1

hαηα dγ

pour toutη= (ηi) ∈V(ω), où

mαβ =−1

3

4λµ

λ+ 2µ∆ζ3δαβ + 4µ∂αβζ3

,

Nαβ =4λµ

λ+ 2µE0σσ(ζ)δαβ + 4µE0

αβ(ζ),

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E0αβ(ζ) =

1

2(∂αζβ + ∂βζα + ∂αζ3∂βζ3),

p3 =

∫ 1

−1

f3 dx3 + g3(·,+1) + g3(·,−1).

Utilisant des formules de Green ad hoc, on établit ensuite l’équivalence formelle du problèmevariationnel décrit dans le théorème 2.1 avec unproblème aux limites « en déplacement »:

THÉORÈME 2.2. –On suppose la frontièreγ et une solutionζ du problème variationnel du théorème2.1suffisamment régulières. Alorsζ résout aussi le problème aux limites suivant((να) désigne le vecteurnormal extérieur, (τα) désigne le vecteur tangent défini parτ1 = −ν2 et τ2 = ν1, et ∂τ désigne la dérivéetangentielle dans la direction du vecteur(τα) le long deγ) :

8µ(λ+ µ)

3(λ+ 2µ)∆2ζ3 −Nαβ∂αβζ3 = p3 dansω,

∂αNαβ = 0 dansω,

ζ3 = ∂νζ3 = 0 surγ1,

Nαβνβ = hα surγ1,

mαβνανβ = 0 surγ2,

(∂αmαβ)νβ + ∂τ (mαβνατβ) = 0 surγ2,

Nαβ νβ = 0 surγ2.

3. Équations de von Kármán généralisées

Deux questions se posent alors lorsquelgrγ2 > 0 :

Premièrement, peut-on encore, comme dans le cas oùγ1 = γ analysé en [1], déterminer à partir des seulesdonnées desconditions aux limites pour la fonction d’Airyφ (cette fonction est définie dans le théorèmequi suit) ?

Deuxièmement, si la réponse à la première question est affirmative, peut-on écrire des « équations de vonKármán généralisées » équivalentes au problème aux limites du théorème 2.2, mais dont les inconnues sontmaintenant le déplacement verticalζ3 et la fonctionφ ?

Le théorème suivant, qui constitue le résultat principal de cette Note, répond à ces deux questions. Dansce qui suit, on suppose que l’origine0 appartient àγ, ce qui ne restreint pas la généralité.

THÉORÈME 3.1. –On suppose l’ouvertω simplement connexe et sa frontièreγ suffisamment régulière.Soitζ = (ζi) une solution du problème aux limites du théorème2.2 telle queζα ∈ H3(ω) et ζ3 ∈ H4(ω).Alors les fonctionshα : γ→R définies parhα = hα surγ1 et hα = 0 surγ2 appartiennent nécessairementà l’espaceH3/2(γ), elles vérifient nécessairement les conditions de compatibilité∫

γ

h1 dγ =

∫γ

h2 dγ =

∫γ

(x1h2 − x2h1) dγ = 0,

et il existe une fonctionφ ∈H4(ω), déterminée de façon unique si l’on impose queφ(0) = ∂αφ(0) = 0 etalors appeléefonction d’Airy , qui vérifie

∂11φ=N22, ∂12φ=−N12, ∂22φ=N11 dansω.

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Par ailleurs, le couple(ζ3, φ) ∈H4(ω)×H4(ω) résout le problème aux limites suivant, qui constitue leséquations de von Kármán généralisées:

8µ(λ+ µ)

3(λ+ 2µ)∆2ζ3 = [φ, ζ3] + p3 dansω,

∆2φ=−µ(3λ+ 2µ)

λ+ µ[ζ3, ζ3] dansω,

ζ3 = ∂νζ3 = 0 surγ1,

mαβνανβ = 0 surγ2,

(∂αmαβ) νβ + ∂τ (mαβνατβ) = 0 surγ2,

φ= φ0 et ∂νφ= φ1 surγ,

où [η,χ] = ∂11η∂22χ+ ∂22η∂11χ− 2∂12η∂12χ, et,γ(y) désignant l’arc orienté joignant0 ∈ γ à un pointarbitraire y = (yα) ∈ γ,

φ0(y) =−y1

∫γ(y)

h2 dγ + y2

∫γ(y)

h1 dγ +

∫γ(y)

(x1h2 − x2h1) dγ,

φ1(y) = ν1(y)

∫γ(y)

h2 dγ + ν2(y)

∫γ(y)

h1 dγ, y ∈ γ.

La démonstration, qui utilise une approche analogue à celle de [1] (voir aussi [2], théorème 5.6-1), reposenotamment sur la remarque que les fonctionshα vérifient par construction les relationsNαβνβ = hα surγ tout entier. C’est cette observation qui permet en fin de compte de déterminer les conditions aux limitesφ= φ0 et∂νφ= φ1 pour la fonction d’Airy (dont l’existence est assurée par les seules relations∂αNαβ = 0dansω grâce à l’hypothèse de simple connexité de l’ouvertω) surγ tout entier.

Remarques. – 1. Ce sont les hypothèses d’existenceet derégularité de la solutionζ du problème duthéorème 3.1 qui entraînent d’une part que les fonctionshα sont dansH3/2(γ), et d’autre part qu’ellesvérifient les conditions de compatibilité annoncées. Autrement, ces propriétés n’ont aucune raison d’êtresatisfaitesen général.

2. Il existe une « réciproque » au théorème 3.1, établissant ainsi l’équivalence, pour des solutionssuffisamment régulières, entre le problème aux limites bi-dimensionnel du théorème 2.2 et les équationsde von Kármán généralisées du théorème 3.1 (cf. [3]).

3. Naturellement, on retrouve les équations de von Kármán classiques en faisantγ2 =∅.

4. Il reste à effectuer des « de-scalings » appropriés afin de revenir aux inconnues « physiques » (cf. [3]).

4. Conclusions et commentaires

On a donc identifié iciune catégorie de conditions aux limites tri-dimensionnelles qui, lorsqu’ellessont appliquées à une plaque non linéairement élastique, montre que celle-ci peut être modélisée par deséquations de von Kármán généralisées, en ce sens que les seules inconnues sont le déplacement verticalζ3 et la fonction d’Airyφ. Cette circonstance n’est pas générale ; ainsi on verra dans [4] que, si la frontièreγ est partitionnée enγ = γ0 ∪ γ1 ∪ γ2, les conditions aux limites tri-dimensionnelles surγ1 × [−ε, ε] etγ2 × [−ε, ε] étant les mêmes que dans cette Note, et étant données paruεi = 0 sur γ0 × [−ε, ε], alors ilne semble pluspossible de déterminer les conditions aux limites sur la fonction d’Airy à partir des seulesdonnées (contrairement à ce qui est quelquefois affirmé dans la littérature !).

L’équivalence entre le problème aux limites « en déplacement » du théorème 2.2 et les équations de vonKármán généralisées du théorème 3.1 est établie sous l’hypothèse d’existence de solutionsrégulières. Alorsque cette hypothèse n’est pas restrictive dans le cas oùγ2 =∅, conduisant aux équations de von Kármán

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« usuelles » (voir Lions [5], théorème 4.4, p. 56), elle devientrestrictivedans le cas oùlgrγ2 > 0 considéréici, puisqu’elle n’a pas de raison d’être satisfaite engénéralpour des données régulières.

Cependant, la démonstration du théorème 3.1 semble indiquer que cette hypothèse est inévitable. Deplus, elle n’empêche nullement d’étudier «pour elles-mêmes» les équations de von Kármán généraliséesdu théorème 3.1 (comme l’ont été aussi les équations de von Kármán « usuelles »).

Dans un travail ultérieur (voir [4]), on examinera la situation, considérée notamment par Schaeffer etGolubitsky [6], où une partie de la face latérale est soumise à des conditions aux limites « de simple appui »,la partie restante étant soumise à des conditions aux limites de von Kármán.

Références bibliographiques

[1] Ciarlet P.G., A justification of the von Kármán equations, Arch. Rational Mech. Anal. 73 (1980) 349–389.[2] Ciarlet P.G., Mathematical Elasticity, Vol. II: Theory of Plates, North-Holland, Amsterdam, 1997.[3] Ciarlet P.G., Gratie L., Generalized von Kármán equations, (à paraître).[4] Ciarlet P.G., Gratie L., Determination of the boundary conditions for the Airy function from the data: examples and

counter-examples, (à paraître).[5] Lions J.-L., Quelques méthodes de résolution de problèmes aux limites non linéaires, Dunod, Paris, 1969.[6] Schaeffer D., Golubitsky M., Boundary conditions and mode jumping in the buckling of a rectangular plate, Comm.

Math. Phys. 69 (1979) 209–236.

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