14/3/2015 Erreur quadratique moyenne Wikipdia

http://fr.wikipedia.org/wiki/Erreur_quadratique_moyenne 1/3

ErreurquadratiquemoyenneEnstatistiques,lerreurquadratiquemoyenne(ouplussouventlerreurquadratique,moyennetantsousentendu),appeleaussirisquequadratique ,pourunparamtre dedimension1,quenousnoteronsMSE(pourMeanSquaredError),estdfiniepar:

Dfinition

avec lestimateurduparamtre .

Sommaire

1Utilit1.1Comparaisond'estimateurs1.2Convergencedel'estimateur

2Gnralisation3Rfrences4Voiraussi

Utilit

Comparaisond'estimateurs

L'erreurquadratiquemoyenneesttrsutilepourcomparerplusieursestimateurs,notammentlorsquel'und'euxestbiais.Silesdeuxestimateurscomparersontsansbiais,l'estimateurleplusefficaceestsimplementceluiquialavariancelapluspetite.Onpeuteffectivementexprimerl'erreurquadratiquemoyenneenfonctiondubiaisdel'estimateur ainsiquesavariance:

Thorme

Dmonstration

Enfaisantintervenirlebiaisetlavariance,l'erreurquadratiquemoyennepermetdoncdetrancherdansunesituationoilexisteunestimateursansbiaisetunautrebiaismaisdevariancepluspetite.

1

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Exemple:

Comparonslesdeuxestimateursdelavariance:

Pourunedistributiongaussienne,descalculsmontrentque(voirGreene2005,p.861):

L'estimateur estsansbiaismaisauneplusfortevariancequel'estimateur .

Lacomparaisondeserreursquadratiquesmoyennes(MSE)donne:

Etl'estimateurbiais estdoncplusprcisentermesd'erreurquadratiquemoyenne.L'estimateur ,oondivisepar ,est(encorepourlecasgaussien)lemeilleurdetousentermesd'erreurquadratiquemoyenne,

cettedernirevalantalors .

Convergencedel'estimateur

Ilestpossiblededterminersiunestimateurestconvergentenprobabilitpartirdesonerreurquadratiquemoyenne,onaeneffet:

Thorme

Ladmonstrationestfaitelapageconvergencedevariablesalatoires.

Gnralisation

Dansuncadreplusgnralpourunmodlemultiparamtriqueol'onchercheestimerplusieursparamtresoupourestimerunefonction deunouplusieursparamtres,l'erreurquadratiquemoyennepourunestimateur de estdfinipar:

Dfinition

oAestunematricesymtriquedfiniepositive(quidfinitdoncunproduitscalaire).

Rfrences1. http://wwwfourier.ujfgrenoble.fr/~dpiau/capes06/F6.pdf

14/3/2015 Erreur quadratique moyenne Wikipdia

http://fr.wikipedia.org/wiki/Erreur_quadratique_moyenne 3/3

(en)WilliamHGreene,Economtrie,Paris,PearsonEducation,2005,5ed.(ISBN9782744070976),p.2

Voiraussi

ConvergencedevariablesalatoiresEstimateur(statistique)

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