Fonction quadratique TS-4

La fonction quadratique

UQTRAutomne 2010

Exercices

Cette section contient les notions essentielles pour

comprendre les fonctions quadratiques. En

cliquant sur le bouton «théorie», il vous sera

possible de choisir le sujet de votre choix.

Veuillez noter qu’en tout temps, vous pourrez

retourner au début de la section en cliquant sur le

bouton .

Théorie


Rappel des notions sur les fonctions.

Secondaire 4 : technico-sciences.

UQTRAutomne 2010

x

y

Références

Qu’est-ce qu’une fonction?

UQTRAutomne 2010

Une fonction est une relation entre deux ensembles qui associe à tout élément du premier ensemble un élément unique bien déterminé du deuxième ensemble.

Pour vérifier si c’est véritablement une fonction dans le plan, on peut faire le test de la droite verticale, expliqué à la prochaine page.

La fonction quadratiqueRappel des notions sur les fonctions

Test de la droite verticale

UQTRAutomne 2010


Si une droite verticale passant par tout point de l’axe des « x » coupe le graphique en au plus un point, alors c’est une fonction.

x

y y = x

UQTRAutomne 2010

Pour tracer une fonction à partir de son équation, on peut créer une table de valeurs afin de repérer facilement les coordonnées dans le plan.


f(x) = -3x + 6

y = -3(0) + 6y = 6

y = -3(3) + 6y = -3

Pour x = 0 Pour x = 3

-3

0

f(x)

x 2 31

036

x

y

(0,6)

(3,-3)

UQTRAutomne 2010


Dans une fonction de la forme : y = ax + b, «b» est l’endroit où la droite croise l’axe des y et «a» représente l’inclinaison de la droite. Si «a» est un nombre négatif, l’inclinaison de la droite sera vers le bas (de gauche à droite).

x

y y = 2x

y = 0,5x

y = -x - 3

(0,-3)

UQTRAutomne 2010

La fonction quadratique, aussi appelée « fonction pôlinomiale de degré 2 », est une fonction dont la règle est un polynôme de degré 2 à une variable. La représentation graphique d’une fonction quadratique dont la règle est de f(x) = a(bx)², où a et b n’égalent pas 0, est une parabole dont le sommet se situe à l’origine du plan cartésien.


f(x) = 3(2x)²

48

-1

f(x)

x 1 20

12012 x

y

-2

48

(-2,48) (2,48)

UQTRAutomne 2010

Afin de s’assurer que le modèle mathématique qui correspond à cette table des valeurs est une fonction quadratique, il suffit de vérifier que les accroissements des accroissements de la variable dépendante sont constants pour des accroissements constants de la variable indépendante. Dans l’exemple ci-dessous, pour des accroissements de +1 de la variable indépendante «x», les accroissements des accroissements de la variable dépendante sont constants (+24).

48

-1

f(x)

x 1 20

12012

-2

48

+1 +1 +1 +1

+36+12-12-36

+24+24+24


UQTRAutomne 2010

Il existe une autre forme de la règle de la fonction quadratique de la forme f(x) = a(bx)². Il suffit d’appliquer la loi des exposants pour en arriver à une équation équivalente de la forme f(x) = ax².

f(x) = 5(3x)²f(x) = 5(3²)(x²)f(x) = 5(9)(x²)f(x) = 45x²


UQTRAutomne 2010

Le rôle des paramètres de la fonction quadratique

• Lorsque a < 0, la parabole est ouverte vers le bas.

• Lorsque a > 0, la parabole est ouverte vers le haut. a > 0a < 0

x

y

x

y


UQTRAutomne 2010


• Lorsque |a| > 1, la parabole est moins ouverte que lorsque a = 1.

x

y

f(x) = x²

g(x) = 2x²

h(x) = 4x²

hf g

Si a < 0, les paraboles auront la même ouverture, mais elles seront orientées vers le bas.


UQTRAutomne 2010


• Lorsque |a| < 1, la parabole est plus ouverte que lorsque a = 1.

x

y

f(x) = x²

g(x) = 0,5x²

h(x) = 0,25x²

hfg

Si a < 0, les paraboles auront la même ouverture, mais elles seront orientées vers le bas.


UQTRAutomne 2010

Il est possible de déterminer la règle d’une fonction quadratique de la forme f(x) = ax² à partir de sa table de valeurs. Voici les étapes :

1) Substituer les coordonnées d’un point de la table de valeurs à x et

à f(x) dans la règle f(x) = ax².

2) Résoudre l’équation obtenue à l’étape 1 afin de déterminer la valeur de a.

3) Écrire la règle sous la forme f(x) = ax² avec la valeur de a déterminée à l’étape 2.

Comment trouver la règle d’une fonction quadratique?


UQTRAutomne 2010

48

-1

f(x)

x 1 20

12012

-2

48

f(x) = ax²étape 1: 48 = a(-2)²étape 2: 48 = 4a a = 12étape 3: f(x) = 12x²

Comment trouver la règle d’une fonction quadratique?

* Il est possible de faire les mêmes étapes à partir d’un graphique dont on connaît un point autre que le sommet.*


Exercices

UQTRAutomne 2010

Exercices

#1 Voici la règle d’une fonction quadratique : f(x) = 4(2x)². Complète la table de valeurs suivante.

-1

f(x)

x 1 20-2

UQTRAutomne 2010

Exercices

#2 Écris les règles des fonctions quadratiques suivantes sous la forme f(x) = ax².

a) f(x) = 4(5x)²

b) f(x) = -6(2x)²

c) f(x) = 0,5(-4x)²

UQTRAutomne 2010

Exercices

#3 Détermine la règle des fonctions quadratiques suivantes.

a)

64

1

f(x)

x 3 42

36164

0

0

-10

-1

f(x)

x 1 20

-2,50-2,5

-2

-10

b)

UQTRAutomne 2010

Exercices#4 Voici une table de valeurs dans laquelle sont indiqués deux couples d’une fonction.

Reproduis et complète la table de valeurs en considérant que f est une fonction:

a) affine (une droite de la forme f(x) = ax+b);

b) quadratique de la forme f(x) = ax².

f(x)

x 6 102

5460

-5

UQTRAutomne 2010

Corrigé des exercices

-1

f(x)

x 1 20-2

#1 Voici la règle d’une fonction quadratique : f(x) = 4(2x)². Complète la table de valeurs suivante.

64 16 0 16 64

UQTRAutomne 2010


#2 Écris les règles des fonctions quadratiques suivantes sous la forme f(x) = ax².

a) f(x) = 4(5x)² f(x) =100x²

b) f(x) = -6(2x)² f(x) = -24x²

c) f(x) = 0,5(-4x)² f(x) = 8x²

UQTRAutomne 2010

#3 Détermine la règle des fonctions quadratiques suivantes.

a)

64

1

f(x)

x 3 42

36164

0

0

-10

-1

f(x)

x 1 20

-2,50-2,5

-2

-10

b)


f(x) = 4x²

f(x) = -2,5x²

UQTRAutomne 2010

#4 Voici une table de valeurs dans laquelle sont indiqués deux couples d’une fonction.

a) Il faut trouver la règle de la fonction affine de la forme f(x) = ax + b. Ensuite, on peut déterminer les valeurs manquantes algébriquement.

La règle de la fonction affine est f(x) = 12x – 18.

f(x)

x 6 102

5460

-5


-78

1,5

102

UQTRAutomne 2010

#4 Voici une table de valeurs dans laquelle sont indiqués deux couples d’une fonction.

b) Il faut trouver la règle de la fonction quadratique de forme f(x) = ax². Ensuite, on peut déterminer les valeurs manquantes algébriquement.

La règle de la fonction quadratique est f(x) = 1,5x².

f(x)

x 6 102

5460

-5


-37,5

0

150

Références

UQTRAutomne 2010

• Bernier, J-F., Boucher, C., Jacques, M., Marotte, L. & Rodrigue, V. (2010). Intersection, 2ème cycle du secondaire, 2ème année, manuel de l’élève B. Technico-sciences. Montréal: Chenelière Éducation inc.

• Desraps, R., Bernier, J-F., Boucher, C., Jacques, M., Marotte, L. & Rodrigue, V. (2010). Intersection, 2ème cycle du secondaire, 2ème année, guide d’accompagnement pédagogique. Technico-sciences. Montréal: Chenelière Éducation inc.

Education

Fonction quadratique TS-4