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1S -‐ Suites arithmétiques, géométriques, arithmético-‐géométriques
Exercice 1
Vincent a un capital initial de 3000 euros. Il place cet argent à un taux annuel de 6%, les intérêts étant
simples, c’est-‐à-‐dire que le capital d’une année est égal à celui de l’année précédente augmenté de 6%
du capital initial (les intérêts ne sont pas capitalisés chaque année, comme ce serait le cas avec des
intérêts composés).
On note 𝑢! le capital initial, 𝑢! le capital au bout de 𝑛 années.
𝑢! = 3000.
1) Montrer que, pour tout entier n, 𝑢!!! = 𝑢! + 180. En déduire la nature de la suite (𝑢!).
2) Pour tout entier 𝑛, exprimer 𝑢! en fonction de 𝑛.
3) De quel capital Vincent dispose-‐t-‐il au bout de 10 ans ?
4) Au bout de combien d’années le capital a-‐t-‐il doublé ?
5) Au bout de combien d’années le capital dépasse-‐t-‐il 10 000 € ?
Exercice 2
On suppose que chaque année la production d'une usine subit une baisse de 4%. Au cours de l'année
2 000, la production a été de 25 000 unités.
On note 𝑃! = 25 000 et 𝑃! la production prévue au cours de l'année 2 000 + 𝑛.
a) Montrer que 𝑃! est une suite géométrique dont on donnera la raison.
b) Calculer 𝑃!.
c) Si la production descend au dessous de 15 000 unités, l’usine sera en faillite, quand cela risque-‐t-‐il
d’arriver si la baisse de 4% par an persiste ? La réponse sera recherchée par expérimentation avec la
calculatrice.
Exercice 3
Pour répondre à une nouvelle norme anti-‐pollution, un industriel doit ramener progressivement sa
quantité de rejets, qui était de 50 000 tonnes par an en 2 000, à une valeur inférieure ou égale à
30 000 tonnes, en 10 ans au plus.
Il s’est engagé à réduire chaque année sa quantité de rejets de 4% (soit un taux annuel de diminution
de 4%).
1) En rejetant 48 000 tonnes en 2001, avait-‐il respecté son engagement ?
2) Soit 𝑛 ∈ ℕ. On note 𝑟! la quantité de rejets pour l’année « 2 000+ 𝑛 ».
a) Exprimer 𝑟!!! en fonction de 𝑟!.
b) Quelle est la nature de la suite 𝑟 ?
c) Donner l’expression de 𝑟! en fonction de 𝑛.
d) Calculer 𝑆 = 𝑟! + 𝑟! +⋯+ 𝑟!" ; Que représente S ?
3) Calculer à la tonne près, la quantité de rejets prévue pour l’année 2 010. La norme est-‐elle
respectée en 2 010 ?
4) Un taux annuel de diminution de 5% permettrait-‐il de respecter la norme ?
Exercice 4
La location annuelle initiale d'une maison se monte à 7 000 €. Le locataire s'engage à la louer durant 7
années complètes. Le propriétaire lui propose deux contrats :
1) Contrat n°1
Le locataire accepte chaque année une augmentation de 5 % du loyer de l'année précédente.
a) Si 𝑢! est le loyer initial de la 1ère année, exprimer le loyer 𝑢! de la 𝑛-‐ième année en fonction de 𝑛.
b) Calculer le loyer de la 7ème année.
c) Calculer la somme payée, au total, au bout de 7 années d'occupation.
2) Contrat n°2
Le locataire accepte chaque année une augmentation forfaitaire de 400 €.
a) Si 𝑣! est le loyer initial de la 1ère année, exprimer le loyer 𝑣! de la 𝑛-‐ième année en fonction de 𝑛.
b) Calculer le loyer de la septième année.
c) Calculer la somme payée, au total, au bout de 7 années d'occupation.
3) Conclure : quel contrat est le plus avantageux ?
Exercice 5
On désire effectuer le placement d’un capital K de 5000 euros.
A. Formule de placement à prime constante
Chaque année, le capital est augmenté de 250 euros. On appelle 𝐶! le capital acquis après 𝑛 années de
placement.
1) Préciser 𝐶!,𝐶! et 𝐶!.
2) Pour un entier naturel 𝑛 quelconque, exprimer 𝐶!!! en fonction de 𝐶!. Quelle est la nature de la
suite 𝐶! ?
3) Calculer le capital acquis après 6 années de placement.
4) Après combien d’années le capital acquis aura-‐t-‐il doublé ? Cette durée dépend-‐elle du montant du
capital initial ?
B. Formule à taux d’intérêt fixe à 4% l’an
Chaque année, le capital est augmenté de 4% du montant de l’année précédente. On appelle 𝐾! le
capital acquis après 𝑛 années de placement selon cette formule.
1) Préciser 𝐾!,𝐾! et 𝐾!.
2) Pour un entier naturel 𝑛 quelconque, exprimer 𝐾!!! en fonction de 𝐾!. Quelle est la nature de la
suite 𝐾! ?
3) Calculer le capital acquis après 6 années de placement.
4) Après combien d’années le capital acquis aura-‐t-‐il doublé ? Cette durée dépend-‐elle du montant du
capital initial ?
Exercice 6
Au 1er janvier 2004, j'ai une somme 𝑢! de 1 000 € sur mon compte rémunéré en intérêts composés à
2 % par an. On note 𝑢! = 1 000. Les intérêts sont versés chaque année le 31 décembre.
Je décide qu'à partir de 2 005, je retirerai chaque année 100 € le 1er janvier.
J'appelle 𝑢! le solde au 1er janvier de l'année (2004+ 𝑛) après mon retrait de 100 €.
1) a) Calculer les soldes 𝑢! et 𝑢! de ce compte.
b) La suite de terme général 𝑢! est-‐elle arithmétique ? Est-‐elle géométrique ?
c) Montrer que pour tout 𝑛 entier naturel, 𝑢!!! = 1,02𝑢! − 100 .
2) a) On pose, pour tout 𝑛 entier naturel, 𝑣! = 𝑢! − 5 000. Calculer 𝑣!.
b) Montrer que pour tout 𝑛, 𝑣!!! = 1,02𝑣!.
c) Exprimer le terme général 𝑣! de la suite (𝑣!) en fonction de 𝑛.
3) a) En déduire l'expression de 𝑢! en fonction de 𝑛.
b) Calculer 𝑢!" en arrondissant à 0,01 près.
c) A partir du 1er janvier de quelle année mon compte aura-‐t-‐il un solde négatif pour la première
fois?
Exercice 7
Partie A
Soit la suite (𝑢!), définie sur ℕ par la donnée de son premier terme 𝑢! = 800 et la relation 𝑢!!! = 0,6𝑢! + 400.
1) Calculer 𝑢! et 𝑢!.
2) On définit une autre suite (𝑣!) sur ℕ en posant, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑣! = 1000− 𝑢!.
a) Calculer les trois premiers termes de cette suite (𝑣!).
b) Montrer que cette suite (𝑣!) est géométrique de raison 0,6 et en déduire l'expression de 𝑣! en
fonction 𝑛.
3) Déduire des résultats précédents que 𝑢! = 1000− 200 × 0, 6!.
Partie B
Le président d'une association culturelle constate que chaque année l'association garde 60 % de ses
anciens adhérents et que 400 personnes nouvelles adhèrent. On suppose que ces données chiffrées
restent les mêmes au fil des ans. A la création de cette association, en janvier 2 001, il y avait 800
adhérents.
1) a) Calculer le nombre d’adhérents en janvier 2 002.
b) Quel sera le nombre d'adhérents en janvier 2 003 ?
2) En quelle année, verra-‐t-‐on pour la première fois l'effectif de l'association dépasser 990 ?
Exercice 8
Un club de sport propose la formule d’abonnement suivante :
Une cotisation annuelle initiale de 100 euros qui augmente de 10 % par an. Cependant, dès la seconde
année, pour fidéliser la clientèle, on effectue une réduction de 5 euros sur le montant de la cotisation
annuelle. Ainsi, si 𝐶! est le montant, exprimé en euros, de la cotisation annuelle la 𝑛-‐ième année, on a
𝐶! = 100 et, pour tout entier 𝑛 supérieur ou égal à 1, on a 𝐶!!! = 1,1 𝐶! − 5.
Soit (𝐷!) la suite définie, pour tout entier 𝑛 supérieur ou égal à 1, par 𝐷! = 𝐶! − 50.
a) Montrer que la suite (𝐷!) est une suite géométrique de raison 1,1 et préciser son terme initial 𝐷!.
b) Exprimer 𝐷! puis 𝐶! en fonction de 𝑛.
c) Soit 𝑆! la somme versée au club par un membre pendant 𝑛 années avec cette formule. Montrer que
𝑆! = 500 1, 1! − 1 + 50𝑛
Exercice 9 -‐ Sujet Bac Antilles TL – 16 juin 2010
Soit (𝑢!) la suite définie pour tout nombre entier naturel 𝑛 par : 𝑢!!! = 0,9𝑢! + 90
𝑢! = 1000
1) Calculer 𝑢! et 𝑢!.
2) On considère la suite (𝑣!) définie pour tout nombre entier naturel 𝑛 par :
𝑣! = 𝑢! − 900.
a) Calculer 𝑣! et 𝑣!.
b) Montrer que pour tout entier naturel 𝑛, 𝑣!!! = 0,9𝑣!.
c) Quelle est la nature de la suite (𝑣!) ?
Donner une expression de 𝑣! en fonction de 𝑛.
3) En déduire que, pour tout nombre entier 𝑛, 𝑢! = 100 × (0,9)! + 900.
4) A partir de quel nombre entier 𝑛 a-‐t-‐on 𝑢! ≤ 901 ?
