Examen partiel #3

• Mercredi le 15 décembre de 15h30 à 17h20

• Salle 1112 du pavillon Pouliot.

• Matière de l'examen:- Livre de Lay: sections 5.3, 5.4, 5.6, 5.7, 6.1, 6.2, 6.3, 6.4.- Notes de cours (guide d'études): sections 11 à 14.- Devoirs: 9 à 12.

Rappel...

• Orthogonalité.– Produit scalaire, module;– Ensembles orthogonaux.

Aujourd’hui

• Projections orthogonales.

• Procédure de Gram-Schmidt

14. Projections orthogonales

• Dans la section précédente, nous avons étudié la projection d’un vecteur y sur un espace à une dimension.

• Nous allons maintenant étendre ce concept à des sous-espaces de Rn.

Décomposition d’un vecteur

• On peut toujours décomposer un vecteur en une somme de deux vecteurs en utilisant les bases de l’espace vectoriel.

y = z1 + z2

z1 Span{u1,…, ul}

z2 Span{ul+1,…, un}

Décomposition d’un vecteur (suite)

• En particulier, si {u1,…, un} est une base orthogonale, on aura z1 z2.

W = Span{u1,…, ul}

W = Span{ul+1,…, un}

Théorème de la décomposition orthogonale

Soit W un sous-espace de Rn ayant une base orthogonale. Alors chaque vecteur y dans Rn peut être écrit de façon unique selon

zyy ˆ Wz Wy etˆ

Théorème de la décomposition orthogonale (suite)

En fait, si {u1, u2,..., up} est une base orthogonale quelconque de W, alors

p

jj

jj

jp

pp

p

11

11

1ˆ uuu

uyu

uu

uyu

uu

uyy

.ˆet yyz

Le vecteur est appelé projection orthogonale de y sur W et est dénoté par projWy.

y

W

yy Wprojˆ

yyyz ˆ

Décomposition orthogonale

Interprétation géométrique

y

0

u1

u2

1y

2y

21 yyuuu

uyu

uu

uyy ˆˆˆ 2

22

21

11

1

Propriétés des projections orthogonales

Si y W = Span{u1,,..., up}, alors projWy = y, où {u1,..., up} est une base orthogonale de W.

Théorème de la meilleure approximation

Soit W un sous-espace de Rn, y un vecteur quelconque dans Rn, et la projection orthogonale de y sur W déterminée par une base orthogonale de W. Alors est le point le plus proche de y dans W, au sens où

pour tout vecteur v dans W distinct de . y

|| - |||| -|| vyy y ˆ

y

y

W

y

|||| v-y

Projection orthogonale de y sur W

|||| v-y

v0

|||| y-y

Théorème de la projection orthogonale

Si {u1, u2,..., up} est une base orthonormale d’un sous-espace W de Rn, alors

Si U = [u1 u2 ... up], alors

p

jjjppW

12211 )()()()(proj uuyuuyuuyuuyy

nTW UU Ryyy proj

Procédure de Gram-Schmidt

• La procédure de Gram-Schmidt est un algorithme simple pour produire une base orthogonale ou orthonormale pout tout sous-espace de Rn.

La méthode de Gram-Schmidt

Soit une base {x1,..., xp} pour un sous-espace W de Rn. On définit

11 xv

111

1222 v

vv

vxxv

222

231

11

1333 v

vv

vxv

vv

vxxv

La méthode de Gram-Schmidt (suite)

Soit une base {x1,..., xp} pour un sous-espace W de Rn. On définit

1

11

11

12

22

21

11

1p

jj

jj

jppp

pp

pppppp v

vv

vxxv

vv

vxv

vv

vxv

vv

vxxv

La méthode de Gram-Schmidt (suite et fin)

{v1,..., vp} est alors une base orthogonale pour W. De plus

Span{v1,..., vk} = Span {x1,..., xk} pour 1 k p

La décomposition QR

• Utilisé dans plusieurs algorithmes numériques:

– calcul des valeurs propres;

– solutions d’équations matricielles.

Théorème: décomposition QR

Si une matrice A m n possède des colonnes linéairement indépendantes, alors A peut être décomposée selon A = QR, où Q est une matrice m n dont les colonnes forment une base orthonormale de Col A et R est une matrice n n, triangulaire supérieure et réversible, avec tous les éléments de sa diagonale > 0.

Méthode pour la décomposition QR

• Q: on utilise Gram-Schmidt.

• R: on utilise le fait que Q est une matrice orthogonale.

QTA = QT (QR) = IR = R

Devoir 12(Ne pas remettre)

1) 6.3.12

2) 6.3.16

3) 6.3.18

4) [M] 6.3.25

5) 6.4.10

6) Calculer la décomposition QR pour la matrice de 6.4.10.

7) [M] Calculer la décomposition QR pour la matrice de 6.4.12.