exemef(1)rdm6

RDM Elements finis

Manuel dexercices

Yves Debard

Institut Universitaire de Technologie du MansDepartement Genie Mecanique et Productique

http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html

26 juin 2006 29 mars 2011

Table des matie`res

1 Elasticite 1ELA 1 : Plaque percee dun trou circulaire, sollicitee en traction . . . . . . . . . . . . . . . 1ELA 2 : Plaque rectangulaire soumise a` laction de la pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . 3ELA 3 : Disque annulaire en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5ELA 4 : Tube epais soumis a` un gradient thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7ELA 5 : Reservoir spherique soumis a` une pression interieure et a` un gradient thermique . . 9ELA 6 : Cylindre a` paroi epaisse sous pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12ELA 7 : Deformations et contraintes dorigine thermique dans une poutre . . . . . . . . . . 14

2 Flexion des plaques 16PLA 1 : Flexion dune plaque circulaire et encastree sur son contour . . . . . . . . . . . . . 16PLA 2 : Vibrations de flexion dune plaque mince, carree et encastree sur un cote . . . . . . 19PLA 3 : Vibrations de flexion dune plaque mince, carree et libre . . . . . . . . . . . . . . . 21PLA 4 : Plaque ou poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Section droite : caracteristiques et contraintes 25SEC 1 : Triangle equilateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Thermique 274.1 Proble`mes stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

TS L 1 : Temperatures imposees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1.1 TS L 2 : Convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1.2 TS L 3 : Temperatures imposees facteur de forme . . . . . . . . . . . . . . . 314.1.3 TS L 4 : Convection et source volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.1.4 TS L 5 : Convection et source volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1.5 TS L 6 : Temperatures imposees et source volumique . . . . . . . . . . . . . . 354.1.6 TS L 7 : Temperature imposee et convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.1.7 TS L 8 : Convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.1.8 TS NL 1 : Convection et rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.1.9 TS NL 2 : Convection et rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.1.10 TS NL 3 : Convection et rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2 Proble`mes transitoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2.1 TT L 1 : Plaque soumise a` un choc thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2.2 TT L 2 : Plaque et convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2.3 TT L 3 : Sphe`re et convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.4 TT L 4 : Milieu semi-infini et convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2.5 TT NL 1 : Radiation et source de chaleur volumique . . . . . . . . . . . . . . . 494.2.6 TT NL 2 : Convection et radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Chapitre 1

Elasticite

ELA 1 : Plaque percee dun trou circulaire, sollicitee en traction

Reference : solution analytique.

Donnees :

La plaque carree de cote 2L et depaisseur t representee sur la figure est percee en son centre duntrou circulaire de rayon R petit devant L.

Soient E et les caracteristiques elastiques du materiau.

La plaque est soumise a` une contrainte de traction sur les cotes situes a` x = L.

On donne :

L = 400 mm , R = 20 mm , t = 10 mmE = 210000 MPa , = 0.27 = 10 MPa

Modelisation et calcul :

Le proble`me etant symetrique par rapport aux plans x = 0 et y = 0, il suffit donc de modeliser lequart de la pie`ce.

2 RDM Elements finis

Les etapes de la modelisation sont :

Lancer le module Dessin et maillage

Modifier les unites courantes

Longueur : mm

Fichier

Bibliothe`que

Structure 10 : xO = yO = 0 , L = H = 400 , R = 20 , sans sous-domaines

Mailler (Delaunay)

Nombre delements

400Modifier localement la taille des elements

En C : 0.5 , en A et B : 5

Discretiser le domaine en triangles a` 6 nuds a` bords curvilignes

Fichier

Elasticite/Thermique

Proble`me : contraintes planes

Materiau

Module de Young = 210000 MPa , coefficient de Poisson = 0.27

Epaisseur

Lepaisseur est egale a` 10 mm

Liaisons/Symetries

Symetrie par rapport aux plans x = 0 et y = 0

Cas de charges

La pression sur la face x = L est egale a` -10 MPa

Calculer

Analyse statique

Enregistrer les donnees et lancer le calcul

Resultats :

reference : pour une plaque infinie (L tre`s grand) :

xx(A) = 3 = 30.00 MPa , yy(B) = = 10.00 MPa solution elements finis :

xx(A) = 29.97 MPa , yy(B) = 10.08 MPaPour extraire ces quantites :

1. effectuer un zoom autour du trou.

2. afficher les faces principales.

3. designer les points A et B a` laide du bouton droit de la souris.

Remarque : pour visualiser la concentration de contrainte autour du trou, effectuer une coupe le longde la ligne AA.

Elasticite 3

ELA 2 : Plaque rectangulaire soumise a` laction de la pesanteur

Reference : S.P. Timoshenko, J.N. Goodier, Theorie de lelasticite, Librairie Polytechnique Be-ranger, 1961, page 266.

Donnees :

Geometrie :

plaque rectangulaire : L = 1000 mm , H = 3000 mm , epaisseur = 100 mm

Proprietes du materiau :

masse volumique : = 7800 kg m3

module de Young : E = 200000 MPacoefficient de poisson : = 0.3

Conditions aux limites :

au point A(0, H) : u = v = 0au point B(0, 0) : u = 0

Charges :

la face superieure est soumise a` une force de pression egale a` gH ou` g est lacceleration dela pesanteur (g = 10 m s2)la plaque est soumise a` son poids propre




Fichier

Bibliothe`que

structure 1 : xO = yO = 0 , L = 1000 , H = 3000

Points

ajouter un point au milieu de la face superieure (A)


ajouter un point au milieu de la face inferieure (B)

ajouter un point au milieu du rectangle (M)

Points a` mailler

transformer les points A, B et M en points a` mailler (nuds du maillage)

Mailler (Delaunay)

Nombre delements

200Discretiser la structure en triangles a` 6 nuds

Fichier


Proble`me : contraintes planes

Materiau

module de Young = 200000 MPa

coefficient de Poisson = 0.3

masse volumique = 7800 kg m3

Epaisseur

lepaisseur est egale a` 100 mm

Liaisons

au point A : u = v = 0

au point B : u = 0

Cas de charges

poids propre

pression : - 0.234 MPa sur la face superieure

Calculer

Analyse statique


Resultats :

Reference :xx = 0 , xy = 0 , yy = g y

u = g x yE

, v = g

2E(y2 + x2 H2)

Solution elements finis :

Reference RDM Elements finis

v en B 1.7550 103 mm 1.7550 103 mmv en C 1.7404 103 mm 1.7404 103 mmu en D 0.1755 103 mm 0.1755 103 mmyy en M 0.117 MPa 0.117 MPa

yy en A 0.234 MPa 0.234 MPa

Elasticite 5

ELA 3 : Disque annulaire en rotation

Reference : A. Bazergui, T. Bui-Quoc, A. Biron, G. McIntyre, C. Laberge, Resistance desmateriaux, Editions de lEcole Polytechnique de Montreal, 1987, page 294.

Donnees :

Geometrie :

Disque annulaire daxe z :Rayon interieur : Ri = 10 mm , rayon exterieur : Re = 100 mmEpaisseur : 2 t = 20 mm


Masse volumique : = 7800 kg/m3

Module de Young : E = 200000 MPaCoefficient de Poisson : = 0.3


w = 0 pour tous les points du plan moyen du disque

Chargement :

Le disque tourne autour de laxe z : vitesse de rotation N = 3000 tours/min


Il suffit de modeliser la moitie dune section meridienne.



Fichier

Bibliothe`que

structure 1 : xO = 10 , yO = 0 , L = 90 , H = 10

Mailler (Delaunay)

Nombre delements

200Discretiser la structure triangles a` 6 nuds


Fichier


Proble`me : Elasticite axisymetrique

Materiau



masse volumique = 7800 kg/m3

Liaisons

w = 0 sur AB

Cas de charges

vitesse de rotation = 3000 tours/min

Calculer

Analyse statique


Resultats :

Reference ( = 2piN/60 rad s1) :

r = Ri :

rr = 0 , =1 4

2R2e

(3 +

1 +(RiRe

)2)

u =3 +

4E2RiR

2e

(1 +

1 3 +

(RiRe

)2) r = Re :

rr = 0 , =1 4

2R2e

(1 +

3 +

1 (RiRe

)2)

u =3 +

4E2R3e

(1 3 +

+

(RiRe

)2)

la contrainte radiale est maximale pour rm =RiRe et rr(rm) =

3 +

82R2e

(1 Ri

Re

)2 Solution elements finis :


u en A 3.182 104 mm 3.186 104 mm en A 6.36 MPa 6.43 MPa

u en B 7.054 104 mm 7.076 104 mm en B 1.41 MPa 1.41 MPa

rr max 2.57 MPa a` 30 mm 2.58 MPa a` 32.5 mm

Remarque : pour extraire ces quantites, selectionner la commande Coupe suivant ligne puisdesigner les points A et B.

Elasticite 7

ELA 4 : Tube epais soumis a` un gradient thermique

Reference : Guide de validation des progiciels de calcul de structures, AFNOR, 1990, page 332.

Donnees :

Geometrie :

Cylindre creux daxe z : Ri = 20 mm , Re = 80 mm , H = 20 mm


Module de Young E = 100000 MPaCoefficient de Poisson = 0.3Coefficient de dilatation = 105 K1


La structure est axisymetriquew = 0 sur les faces AB et CD

Charges thermique :

Temperature interieure Ti = 100 CTemperature exterieure Te = 0 CTemperature de reference T0 = 0 C




Bibliothe`que

structure 1 : xO = 20 , yO = 0 , L = 60 , H = 20

Mailler (Delaunay)

Nombre delements

200Discretiser la structure triangles a` 6 nuds

Fichier



Proble`me : Elasticite axisymetrique

Materiau



coefficient de dilatation = 1E5 K1

Liaisons

w = 0 sur AB et CD

Charges thermiques

temperature imposee : TAC = 100 C , TBD = 0 C

Cas de charges

gradient thermique : temperature de reference = 0 C

Calculer

Analyse statique


Resultats :

On obtient :

r Grandeur Reference RDM Elements finis

Ri 100.86 MPa 103.75 MPazz 130.26 MPa 133.34 MPaur 7.644 10

3 mm 7.70 103 mmRe 42.00 MPa 41.97 MPa

zz 12.60 MPa 12.57 MPa

ur 30.60 103 mm 30.60 103 mm

Remarque : pour extraire ces quantites, selectionner la commande Coupe suivant droite.

Elasticite 9

ELA 5 : Reservoir spherique soumis a` une pression interieure et a`un gradient thermique

References :

L. Landau, E. Lifchitz, Theorie de lelasticite, Mir, 1967, page 31.S.P. Timoshenko, J.N. Goodier, Theorie de lelasticite, Librairie Polytechnique Beranger, 1961,page 452.

Donnees :

Geometrie :

Rayon interieur de la sphe`re : Ri = 100 mmRayon exterieur de la sphe`re : Re = 200 mm


Module de Young : E = 200000 MPaCoefficient de Poisson : = 0.3Coefficient de dilatation : = 12 E6 K1

Chargement thermique :

Temperature interieure : Ti = 100 CTemperature exterieure : Te = 0 C

Cas de charge 1 :

La face interieure de la sphe`re est soumise a` une pression egale a` : p = 100 MPa.

Cas de charge 2 :

La sphe`re est soumise au gradient thermique defini ci-dessus. La temperature initiale T0 estegale a` 0 C.





Il suffit de modeliser la moitie dune section meridienne de la sphe`re

Fichier

Bibliothe`que

structure 20 : rayon interieur = 100 mm , rayon exterieur = 200 mm (pas de sous-domaine)

Mailler (Delaunay)

Nombre delements

400Discretiser la structure triangles a` 6 nuds et a` bords curvilignes

Fichier


Elasticite : proble`me de revolution

Materiau



coefficient de dilatation = 12 E6 K1

Liaisons

symetrie par rapport au plan z = 0 (AB)

Charges thermiques

temperature imposee surfacique : Ti = 100 C , Te = 0 C

Cas de charges

la surface interieure de la sphe`re est soumise a` une pression : p = 100 MPa

Ajouter un cas de charges

la sphe`re est soumise a` un gradient thermique : T0 = 0 C

Calculer

Analyse statique


Resultats :

Cas de charge 1 :

Reference :

Posons :

A =pR3i

R3e R3i, B = AR3e

Le deplacement radial est :

u =1 2 E

Ar +1 +

E

B

2 r2

Les composantes non nulles du tenseur des contraintes sont :

rr = A Br3

, = A B2 r3

Elasticite 11



u(r = Ri) 0.0400 mm 0.0400 mm

u(r = Re) 0.0150 mm 0.0150 mm

rr(r = Ri) 100 MPa 99.62 MParr(r = Re) 0 0.05 MPa

(r = Ri) 71.43 MPa 71.48 MPa

(r = Re) 21.43 MPa 21.44 MPa

Remarque : pour extraire ces resultats, effectuer une coupe suivant la ligne AB.

Cas de charges 2 :

Reference :

rr = C0

(C1 C2

r+C3r3

) = C0

(C1 C2

2 r+

C32 r3

)ou`

C0 =E Ti1

RiReR3e R3i

C1 = Ri +Re , C2 = R2i +RiRe +R

2e , C3 = R

2i R

2e

La contrainte rr est maximale lorsque r2 =

3C3C2

.



u(r = Ri) 0.0343 mm

u(r = Re) 0.0686 mm

u maximal 0.0752 mm a` r = 161 mm

rr(r = Ri) 0 2.41 MPa

rr(r = Re) 0 0.35 MParr maximal 55.27 MPa a` r = 130.93 mm 56.25 MPa a` r = 133.33 mm(r = Ri) 244.90 MPa 245.58 MPa(r = Re) 97.96 MPa 97.82 MPa

Remarque : pour extraire ces resultats, effectuer une coupe suivant la ligne AB.


ELA 6 : Cylindre a` paroi epaisse sous pression

Reference : solution analytique.

Donnees :

On conside`re un cylindre creux daxe z. Ce cylindre est en acier de module de Young E et de coefficientde Poisson . Il est soumis successivement a` une pression interieure pi et a` une pression exterieure pe.

On donne :

Ri = 100 mm , Re = 200 mmE = 200000 MPa , = 0.3pi = pe = 100 MPa

Modelisation :

Structure parametree 1 : xO = 100 mm , yO = 0 , L = 100 mm , H = 10 mm.Discretiser la structure en 400 triangles a` 6 nuds.Proble`me de revolution daxe z.

Resultats :

Cas de charge 1 : le cylindre est soumis a` une pression interieure.

Reference :

u =r

E

((1 )A+ (1 + ) B

r2

)avec A =

piR2i

R2e R2i, B = AR2e

rr = A Br2

, = A+B

r2

On obtient :


u(r = Ri) 0.0885 mm 0.0885 mm

u(r = Re) 0.0600 mm 0.0600 mm

rr(r = Ri) 90 MPa 89.96 MParr(r = Re) 0 MPa 0.00 MPa

(r = Ri) 150.00 MPa 150.02 MPa

(r = Re) 60.00 MPa 60.00 MPa

Elasticite 13

Cas de charge 2 : le cylindre est soumis a` une pression exterieure.

Reference :

u =r

E

((1 )A+ (1 + ) B

r2

)avec A = peR

2e

R2e R2i, B = AR2i

rr = A Br2

, = A+B

r2

Le deplacement radial u passe par une valeur maximale pour :

rm = Ri

1 +

1 si

Ri < rm < Re soit

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