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Sup PCSI1 - Exercices de physique Conversion CNA et CAN. (Corrig)

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Convertisseurs numrique / analogique CNA & Convertisseurs analogique / numrique CAN

(Corrig)

Prambule : Nmax est le nombre maximum obtenu avec n bits. Chaque bit reprsente une puissance de 2, de droite gauche : 20, ... ,2n-1. Cette puissance est multiplie par 0 ou 1 selon la valeur affecte au bit. Nmax scrit en base 2 : 111...1. Cest donc la somme des n premiers termes dune suite gomtrique de raison 2 et de premier terme 1. Nmax = (1 2n)/(1 2) do le rsultat nonc plus haut : Nmax = 2n 1

Exercices sur les CNA

Exercice n1 :

Le LSB vaut Vo = 0,2 V ; pleine chelle : VSmax pour N = Nmax = 11111 donc VSmax = 31 x Vo = 6,2 V Exercice n2 : Pour le mot dentre 10100, N = 24 + 22 = 20 ; la tension de sortie Vs = 5V, donc le quantum de tension est 5/20 = 0,25 V. Pour le mot 11101, N = 29 et donc VS = 7,25 V. Exercice n3 : Le quantum de tension est VSmax/Nmax = 10/255 = 39 mV. Pour loctet A=10010110, appliqu lentre de ce convertisseur, N = 150 ; la tension dlivre en sortie sera VS = 5,85 V. Exercice n4 : Le quantum de tension est VSmax/Nmax = 5/1023 = 4,89 mV. Pour loctet A=1100101101, appliqu lentre de ce convertisseur, N = 813 ; la tension dlivre en sortie sera VS = 3,98 V.

Exercices sur les CAN

Exercice n1 :

Nmax = 1023 ; Up = 5,12 V ; r = 5,0 mV. Exercice n2 : Nmax = 255 ; Up = 5,0 V do la rsolution : r = 19,6 mV. Rsolution insuffisante car elle doit tre infrieure 10 mV. Il faudrait 9 digits : Nmax = 511 amne alors r = 9,8 mV. Exercice n3 :

Nmax = 216- 1 = 6,554.104. Sur une gamme -(Up/2) _ (Up/2) = -20 V _ + 20 V r = 2.(Up/2)/Nmax= 0,61 mV.


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Exercice n4 :

1- Il sagit de CAN (analogic digits : A/D). Ces circuits ralisent la conversion Analogique

numrique de valeurs analogiques situes dans un intervalle donn en un signal numrique cod en base 16 (code hexadcimal).

2- Nmax = FF en code hexadcimal correspond 15 x 16 + 15 = 255 (F =15) ; donc en binaire Nmax = 2n 1 ce qui donne ici n = 8 bits.

3- Conversion monopolaire pour le premier graphe et bipolaire pour le second. 19,53 mV x 256 = 5,0 V = Vrf. Pour le mot 0D, soit N = 13, Ve = 0,254 V. Pour Ve = 2,79 V, on a : 2,79/19,53.10-3 = 142,9 donc N = 143 et par division euclidienne : N = 8F en hexadcimale. Mme valeur N = 143 pour Ve = 2,80 V , car on a : 2,80/19,53.10-3 = 143,4. (Le saut de valeur numrique a lieu sur des valeurs demi-entires de Ve/19,53.10-3). Pour Ve = 2,81 V N augmente dune unit : 2,81/19,53.10-3 = 143,9 donc N= 144 soit N= 90 en hexadcimale.

4- VLSB = 5,0/256 = 19,53 mV. Lintervalle (Vain+- Vain-) correspond (-2,5 V ; +2,5 V) Prcisment Vain+ = 127 x 0,01953 = 2,48 V et Vain- = -128 x 0,01953 = -2,50 V

Exercices sur les chantillonneurs Exercice 1 : u(t) = U.sin(2f.t) avec fe = 10 kHz ; les valeurs ui sont chantillonnes aux instants ti = i. Te = i / fe

donc ui = U.sin(2(f/fe).i) do pour i = 3 : u3 = 0,951 V.

Exercice 2 :

femin= 2 x fmax o fmax= 21.f = 21 kHz donc femin = 42 kHz

Exercice 3

3-1- N = 12 3-2- u(t) = U.sin(2f.t) avec fe = 12.f (voir rponse exercice 1) u(t) sera donc chantillonn des instants tn= n/fe = (n/12).T avec T =1/f. n 0 1 2 3 4 5 u(tn) (V) 0,00 5,00 8,66 10,0 8,66 5,00 n 6 7 8 9 10 11 u(tn) (V) 0,00 -5,00 -8,66 -10 -8,66 -5,00 3-3- le signal chantillonn ue(t) : graphe en batons le signal chantillonn-bloqu ub(t) : graphe en marches descalier. le signal analogique u(t) : graphe dune fonction continue. 3-4- Pour calculer la valeur efficace du signal chantillonn-bloqu ub(t), sappuyer sur la dfinition de la valeur efficace, moyenne quadratique :


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Sur une priode, i = 0 11 (12 valeurs chantillonnes bloques) et :

= 112 .,

o les ubi sont les valeurs chantillonnes au instants successifs ti (bloques). Le calcul partir des valeurs numrique donne U = 7,07 V. Ce rsultat est pratiquement identique celui obtenu partir du signal analogique, sinusodal, pour lequel U = /2 = 7,07 V.

Exercice 4

Rpondre par vrai (V) ou faux (F) : a) V ; plus la frquence dchantillonnage sera leve, plus la numrisation du signal donnera une image fidle de ce signal ; b) F ; daprs le thorme de Shannon : fe > 2.fmax o lon retient fmax = 20 kHz et en pratique plutt 16 kHz, donc les conditions poses r le thorme de Shannon seront ici respectes. c) F ; le minimum serait de deux fois 20 kHz (voire 16 kHz) ; d) V ; cest sa fonction : il maintient la valeur dchantillonnage pendant la dure ncessaire la ralisation de la conversion analogique-numrique (diffrentes technologies possibles); e) V. Un plus grand nombre de bits signifie une plus grande prcision sur les valeurs chantillonnes. Cependant, il ne faut pas non plus ngliger la ncessit dune frquence dchantillonnage suffisante. Cest donc globalement un flux numrique qui doit tre vis, produit du nombre de bits dchantillonnage par la frquence dchantillonnage (en Bits.s-1 ou kBits.s-1) Exercice 5 : tude de la restitution des informations dans le cas d'un CD audio :

5.1. fe > 2.fmax o lon retient fmax = 20 kHz et en pratique plutt 16 kHz

5.2. Le quantum est r = 2.(Up/2)/Nmax avec ici Up/2 =5V et Nmax = 216-1 = 6,554.104 ce qui donne r = 0,153 mV. La priode dchantillonnage est : TE = 1/fE = 2,252.10-5 s.

5.3. Il faut un filtre passe bas, avec une coupure vers 20 kHz (fc = fe/2= 22 kHz) afin dliminer les termes frquentiels situs au-del de cette frquence et introduits par lchantillonnage.


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Exercice 6 : Acquisition du signal issu dun capteur.

1) Entre 0 et 30 Hz.

2) Lchantillonnage revient multiplier le signal par le signal chantillonneur, que lon

peut visualiser comme une succession de crneaux de largeur trs faible, se succdant avec une priode Te= 1/fe.

Au niveau frquentiel, un tel signal aura un spectre constitu de pics situs aux frquences 0, fe et ses multiples n.fe (on parle de peigne de Dirac).

Pour chaque terme frquentiel du signal chantillonn de frquence fo, le produit par un des termes du signal chantillonneur produit deux termes frquentiels. Par la trigonomtrie, en effet : cos(2.nfe.t) . cos(2.fo.t). = 0,5.[cos(2.( nfe + fo).t) + cos(2.(nfe - fo).t)] Chaque terme frquentiel fo du signal chantillonn va donc produire des pics frquentiels positionns en des frquences nfe + fo et nfe - fo, places symtriquement autour des frquences 0, fe , 2fe .... (Les frquences tant positives, seule la frquence fo sera situe proximit de la frquence 0 Hz). (voir graphe donn sur exercice 4). exemple : pour fo = 10 Hz et fe = 70 Hz :

3) Il apparat un terme supplmentaire 50 Hz, mais aussi des termes 70 50= 20 Hz et 70 + 50 = 120 Hz. Celui 20 Hz en particulier va notablement perturber lchantillonnage.

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