exercices_corriges_logique

7/22/2019 exercices_corriges_logique

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Logique

Exercice 1 :Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. Si Napolon tait chinois alors 2. Soit Cloptre tait chinoise, soit les grenouilles aboient.3. Soit les roses sont des animaux, soit les chiens ont pattes.4. Si lhomme est un quadrupde, alors il parle.5. Les roses ne sont ni des animaux, ni des fleurs.6. Paris est en France ou Madrid est en chine.7. La pierre ponce est un homme si et seulement si les femmes sont des sardines.8. Les poiriers ne donnent pas de melons, et Cloptre nest pas chinoise.

Aller :Correction exercice 1 :

Exercice 2 :Soient , et trois propositions, donner la ngation de

a) ( )b) ( )


Exercice 3 :Soient et trois assertions. Pour chacune des assertions suivantes : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Ecrire sa ngation.


Exercice 4 :Donner la ngation mathmatique des phrases suivantes

1. Toutes les boules contenues dans lurne sont rouges.2. Certains nombres entiers sont pairs.3. Si un nombre entier est divisible par , alors il se termine par .

Soit 4. est positive, cest--dire , 5. est paire sur , cest--dire , Aller :Correction exercice 4 :

Exercice 5 :Soient les propositions, Jai mon permis de conduire et jai plus de ans Les propositions et sont-elles vraies ? Que peut-on conclure ?


Exercice 6 :Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. 2. 3. 4.


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5. Aller :Correction exercice 6 :

Exercice 7 :Soientet deux parties de . Ecrire en utilisant les assertions


Exercice 8 :On considre la proposition suivante : Pour tout nombre rel , il existe au moins un entier naturel suprieur ou gal

1. Ecrire la proposition avec des quantificateurs.2. Ecrire la ngation avec des quantificateurs puis lnoncer en franais.


Exercice 9 :Notons lensemble des tudiants, lensemble des jours de la semaine et pour un tudiant , son heure de rveil le jour.

a) Ecrire avec des symboles mathmatiques la proposition Tout tudiant se rveille au moins unjour de la semaine avant 8h

b) Ecrire la ngation de cette proposition avec des symboles mathmatiques puis en franais.Aller :Correction exercice 9 :

Exercice 10 :Soit lensemble des nombres premiers etune partie de . Ecrire en utilisant les assertions

est une partie finie de

,

est une partie infinie de

.

Tout entier naturel admet un diviseur premier, les lments de ont un diviseur premiercommun, les lments denont aucun diviseur premier commun.


Exercice 11 :Soit un entier naturel quelconque. Parmi les implications suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sontfausses et pourquoi ? Donner leur contrapose et leur ngation.

1. 2. 3. 4. 5. 6.


Exercice 12 :Parmi les quivalences suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. 2. 3. ( )



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Exercice 13 :Soient les assertions suivantes :

a. b. c. d. 1. Les assertions et sont-elles vraies ou fausses ?2. Donner leur ngation


Exercice 14 :Soit une suite de nombres rationnels. Que signifie en mots les assertions suivantes

||

Attention : il ne sagit pas de faire la lecture voix haute de ces quatre suites de symboles mais de traduire

lnonc en phrase courte dont la comprhension est immdiate.


Exercice 15 :1. Donner la ngation de la phrase mathmatique suivante :

2. Donner la contrapose de la phrase mathmatique suivante :


Exercice 16 :

Soient etune application de dans . | | | |

Donner la ngation et la contrapose de cette phrase logique.

Allez :Correction exercice 16 :

Exercice 17 :Complter, lorsque cest possible, avec ou pour que les noncs suivants soient vrais.

a) b)

c) d)


Exercice 18 :Les propositions suivantes sont-elles vraies ? Lorsquelles sont fausses, noncer leur ngation.

a) b) c) d)



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Corrections

Correction exercice 1 :1. Il sagit, ici dune implication. Napolon est chinois est faux et est faux, or la

seule possibilit pour quune implication soit fausse est quune assertion vraie implique une

assertion fausse, donc lassertion 1. est vraie.

2. Une phrase, en franais, du genre soit , soit se traduit mathmatiquement par ou Cloptre tait chinoise est faux et les grenouilles aboient est faux donc lassertion 2. est

fausse.

3. les roses sont des animaux est faux et les chiens ont pattes est vrai, donc lassertion 3. estvraie.

4. lhomme est un quadrupde est faux et il parle est vrai, donc lassertion4. est vraie.5. les roses ne sont ni des animaux, ni des fleurs peut se traduire par les roses ne sont pas des

animaux et les roses ne sont pas des fleurs . les roses ne sont pas des animaux est vrai et les

roses ne sont pas des fleurs est faux donc les roses ne sont ni des animaux, ni des fleurs est

faux. Avec un minimum de bon sens cest assez vident!

6. Paris est en France est vrai et Madrid est en chine est faux, donc Paris est en France ouMadrid est en chine est vrai.

7. la pierre ponce est un homme est faux et les femmes sont des sardines est faux, unequivalence entre deux assertion fausse est vraie.

8. les poiriers ne donnent pas de melons est vrai et Cloptre nest pas chinoise est vrai, donc les poiriers ne donnent pas de melons, et Cloptre nest pas chinoise est vrai.

Aller :Exercice 1 :

Correction exercice 2 :a)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Les deux dernires quivalences logiques me paraissent acceptables, parce quil y a souvent

diffrentes faon dexprimer une ngation, ensuite il faut voir dans les exercices comment se

prsentent les propositions et .b)

( ) ( ) Aller :Exercice 2 :

Correction exercice 3 : ( ) () ( ) ()

( ) ( ) ( ) ( )

Il y a dautres expressions possibles de cette ngation. ( ) ( )

( ) ( )Il y a dautres expressions possibles de cette ngation.


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( ) ( ) ( )

( ) (( ) ) ( )

( ) () ( )

Aller :Exercice 3 :

Correction exercice 4 :1. Il existe une boule qui nest pas rouge dans lurne. (La ngation de pour tout est il existe et la

ngation rouge est nest pas rouge).

2. Tous les nombres entiers sont pairs. (La ngation de il existe (dans lnonc certains signifie il existe ) est tous . Dans cette question on ne se demande pas si la proposition est vraie ou

fausse.

3. Il sagit dune implication, la ngation de est : donc la ngationdemande est un nombre entier est divisible par et il ne se termine pas par . Dans cettequestion on ne se demande pas si limplication est vraie ou fausse.

4. tel que .5. ,

Aller :Exercice 4 :

Correction exercice 5 : est vraie, par contre est fausse, on en conclut que ces deux propositions ne sont

pas quivalentes.

Aller :Exercice 5 :

Correction exercice 6 :1. est vrai et est vrai donc est vrai.2. est vrai et est faux, lun des deux est faux donc est

faux.

3. est vrai et est faux, lun des deux est vrai donc estvrai.

4. est vrai et est vrai, les deux sont vrais donc estvrai.

5. est vrai donc est faux (on peut aussi dire que qui estfaux) et est faux par consquent est faux car les deuxassertions sont fausses.

Aller :Exercice 6 :

Correction exercice 7 :

Aller :Exercice 7 :

Correction exercice 8 :1. 2. . Il existe un rel tel que pour tout entier, est strictement infrieur

.Aller :Exercice 8 :


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Correction exercice 9 :a) .

b) . Il y a un tudiant qui se lve 8h ou aprs 8h tous les jours de lasemaine. (Donc cest un gros fainant).

Aller :Exercice 9 :


Aller :Exercice 10 :

Correction exercice 11 :1. est vraie.

Sa contrapose est ou encore .(On rappelle que ( ) ( )donc la ngation de ( )est

( ) () ( )( ) ( ) ( )

La ngation est : 2. est faux car pour , est vrai et est faux (idem

pour .Sa contrapose est .Sa ngation est ( ) ( )

3. est faux car pour , est vrai et est faux.Sa contrapose est

.

Sa ngation est

( ) ( ) 4. si est vrai alors et comme , cela signifie que

divise , par consquent est vrai.Il ny a que cela vrifier parce que si est faux, quoiquil arrive la conclusion, limplicationest vraie.

On aura pu aussi voir que :

Sa contrapose est

( ) .

Vu ainsi il est clair que la contrapose est vraie et que donc estvrai.

La ngation est : 5. Comme dans le 4. mais ne divise pas , sinon cela signifierait quil

existe tel que ce qui est faux par consquent estfaux. En effet une assertion vraie ne peut pas impliquer une assertion fausse.

La contrapose est .La ngation est ( ). Vrifions que cette implication estvraie : soit

et

est vrai et

est vrai ce qui entraine que

( )est vrai.6. {}, si alors et si alors

donc .La contrapose est


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Sa ngation est .Aller :Exercice 11 :

Correction exercice 12 :1. car un entier strictement suprieur est suprieur ou gal .2. est faux car pour , est vrai et est faux.3. Les diviseurs entiers et positifs de sont {}donc les diviseurs entiers et suprieurs ou

gaux sont et , bref, il suffit de dire que rend vrai ( )et faux pour pouvoir affirmer que ( ) est faux.Aller :Exercice 12 :

Correction exercice 13 :1. a. est faux car si un tel existe, il suffit de prendre pour que soit faux, en

effet b. est vrai, car pour un fix, on choisit de faon ce que .c. est faux car si on prend alors est faux et donc on na pas d. Il suffit de prendre , ainsi pour tout , , lassertion est vraie.

2. a. (on pourra montrer, titre dexercice que cette assertion quantifie est vraie).

b. (on pourra montrer, titre dexercice que cette assertion quantifie est fausse).

c. (on pourra montrer, titre dexercice que cette assertion quantifie est vraie).

d. Aller :Exercice 13 :

Correction exercice 14 :La suite est une suite dentiers.La suite est constante dont la valeur est entire.La suite prend toutes les valeurs entires.La suite est constante et vaut .


Correction exercice 15 :1.

2.


Correction exercice 16 :La ngation est :

| | | | La contrapose est

| | | | | | Allez :Exercice 16 :



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a) b) c) d) ou


Correction exercice 18 :a) Vraie

b) Fausse par exemple pour , la ngation est : c) Vraied) Fausse car la ngation est manifestement vraie, la ngation est : .


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