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GEOMETRIE DANS LESPACE

I - Produit scalaire dans lespace

Lespace E est muni dun repre orthonorm k , j , i , O Dfinition :

Soient A, B et C trois points deux deux distincts de lespace E.

On note ),AB( cos . AC . AB AC . AB AC

Soient u et v deux vecteurs et A, B et C trois points de E tels que AB = u et AC = v . Le produit scalaire

de u et v est dfini comme suit :

Si u=0 ou v 0 alors u v. =0

Si u 0 et v alors u . v AB AC 0 . Proprits :

Pour tous vecteurs

w , v , u et tout rel on a :

u . v v . u

v . u v . u v . u .

w . u v . u w v . u

Deux vecteurs

u et

v sont orthogonaux si et seulement si 0 v . u

Pour tous vecteurs

x

u y

z

et

x'

v y'

z'

dans une base orthonorme i , j , k

.

on a : u.v xx' + yy' + zz'

et 2 2 2u x + y + z

II - Produit vectoriel dans lespace Dfinition :

Soient

u et

v deux vecteurs de lespace orient et A, B et C trois points de E tels que

u AB et

v AC . On appelle produit vectoriel de

u et

v , le vecteur

w , not

v u dfini par :

* Si

u et

v sont colinaires, alors

0 w .

* Si non

w est lunique vecteur tel que

ACAB,sin v u w3/

directe base uneest ) w , v , u (2/

(ABC)plan au normalest w1/

Proprits :

1) Soient

u ,

v et

w trois vecteurs de lespace et un rel. On a :

u v - v u . ; )v u ( )v ( u v )u (

v w u w )v u ( w ,

w v w u w )v u (

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2) Dans une base orthonorme directe (

k , j , i ), si

z

y

x

u et

z'

y '

x'

v , alors

k y'y

x x' j

z' z

x x' - i

z' z

y'y v u .

k y x' - y' x j x'z - z' x - i y' z - z'y

3) Soient

u et

v deux vecteurs non nuls de lespace orient. Si est une mesure de langle (

u ,

v ) alors

on a :

v . u

v u

sin

et

v . u

v . u cos

Thorme

1) Soient A, B et C trois points non aligns de lespace E.

Laire du triangle ABC est : A= AC AB 2

1 .

2) La distance dun point A une droite est : d(A, )=

u

u AB

AH

3) Soient ABCDABCD un paralllpipde et V sont volume.

* On a : V = 'AA.ADAB ) AA' , AD , AB(det

.

* Soient ABCD un ttradre, v sont volume.

On a : v = BA).BDBC(6

1)BA,BD,BCdet(

6

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III - Droites et plans de lespace

Deux droites D et D de lespace sont orthogonales, lorsque leurs

parallles menes par un mme point sont perpendiculaires.

Une droite D est perpendiculaire un plan P, et on note

D P, lorsquelle est orthogonale toute droite de ce plan.

Point mthode :

Pour montrer quune droite est perpendiculaire un plan, il

suffit de montrer quelle est orthogonale deux droites scantes

de ce plan.

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1) Le plan passant par A et de vecteur normal

N , est lensemble

des points M de E tels que 0 N . AM

2) Dans lespace E est rapport un repre orthonorm le plan P dquation cartsienne : a x + b y + c z + d = 0 avec :

(a,b,c) (0,0,0) , a pour vecteur normal

c

b

a

N

3) Soient le plan P : a x + b y + c z + d = 0, AAA z , y , xA un point de lespace et H le projet orthogonal de A sur P

La distance du point A au plan P est AH = d (A, P) et tel que :

AH = c b a

d z c y b xa

222

AAA

4) Soient, dans lespace E, deux plans P : a x + b y + c z + d = 0 et P : a x + b y + c z + d = 0 de

vecteurs normaux respectifs

c

b

a

N et

c'

b'

a'

N' . On a :

P // P N

et N'

sont colinaires P P N

N'

D (A,

u ) // P u

N

D (A,

u ) P u

et N

sont colinaires

D (A,

u ) D (B,

v ) u

v

D (A,

u ) // D (B,

v ) u

et v

sont colinaires

IV La Sphre

Equation cartsienne dune sphre

Lespace E est rapport un repre orthonorm. Soient I (a, b, c) un point de lespace et R un rel positif. Une quation cartsienne de la sphre S (I, R) de centre I et de rayon R est : (x - a) + (y - b) + (z - c) = R Positions relatives dune sphre et dun plan

Soit S une sphre de centre I et de rayon R et P un plan de lespace E. On dsigne par H le projet orthogonal du point I sur le plan P et on pose d = IH .

* Si d > R alors PS = et on dit que P et S sont disjoints.

* Si d = R alors PS = H et on dit que P et S sont tangents en H.

* Si d < R alors PS est le cercle C du plan P de centre H et de rayon r R d 2 2

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1) Soient I un point de lespace E et R un rel positif .On appelle sphre de centre I et de rayon R, lensemble des points M de lespace tels que IM=R.

On la note S(I,R).

2) Lensemble des points M de lespace E tels que MA . MB = 0 est la sphre de diamtre AB .