x ≥ 0

Bilan des formules à connaître concernant les dérivées et primitives Récapitulatif des dérivées et primitives. c désigne une constante réelle

Récapitulatif des dérivées et primitives pour les fonctions composées. u désigne une fonction dérivable

Rappel des formules : ( U×V)' = U'V + UV' ; ( U+V)' = U' + V' ; ( kU)' = kU'

( U

V )' =

U'V – UV'

V2

Méthode : étudier les variations d'une fonction... :

Pour étudier les variations d'une fonction, en général il faut :

- Déterminer son ensemble de définition. (s'il n'est pas donné)

- Calculer sa dérivée. (donner l'ensemble de dérivabilité)

- Etudier le signe de la dérivée.

Pour cela soit celui-ci est évident et on se contentera d'une phrase d'explication, sinon on fait un tableau de

signe, pour cela il faut (si cela n'est pas inutile ou déjà fait) impérativement commencer par réduire au même

dénominateur et factoriser.

On utilise alors les règles connues sur le signe de ax + b ou ax2 + bx + c.

équation de la tangente en a : y = f ’(a) ( x – a) + f(a).

Primitive F Fonction f Dérivée f'

F(x) = kx + c f(x) = k (k un réel) f ’(x) = 0

F(x) = x

2

2 + c f(x) = x f ’(x) = 1

F(x) = x

n + 1

n + 1 + c ; (n – 1) f(x) = x n f ’(x) = n x

n – 1

f(x) = x f ’(x) = 1

2 x

F(x) = sin(x) + c f(x) = cos(x) f ’(x) = – sin(x)

F(x) = – cos(x) + c f(x) = sin(x) f ’(x) = cos(x)

n'est pas à connaître f(x) = ln(x) f ’(x) = 1x

F(x) = ln(x) + c f(x) = 1x

f ’(x) = – 1x

2

F(x) = ex + c f(x) = ex

f ’(x) = ex

Primitive F Fonction f Dérivée f'

u n n u' u

n – 1

u

n + 1

n + 1 + c ; (n – 1) u' u n

1

a sin(ax + b) + c cos(ax + b) – a sin(ax + b)

– 1

a cos(ax + b) + c sin(ax + b) a cos(ax + b)

u u'

2 u

n'est pas à connaître ln(u) u'

u

ln(u) + c ( u > 0) u'

u ( u > 0)

eu u' eu

eu u' eu

x > 0

x > 0 x 0

u > 0

u > 0 u ≥ 0

à retenir pour la dérivée de f(u) : on calcule f ' on remplace x par u on multiplie le tout par u'

Tale

Remarque: m entier naturel > 1 alors : f(x) = 1

xm admet pour primitive F(x ) = –

1

(m – 1)x m – 1

.

et si u est une fonction qui ne s'annule pas u'

um admet pour primitive –

1

(m – 1)u m – 1

.

à propos de la remarque : Soit m un entier différent de 1.

Si f(x) = 1xm

on peut écrire que f(x) = x – m (règle sur les puissances)

donc F(x ) = x

– m + 1

− m + 1 (formule sur les primitives)

= 1

(− m + 1)x m – 1 (règle sur les puissances)

F(x ) = – 1

(m – 1)x m – 1 (en arrangeant un peu)

On peut : - soit refaire ça à chaque fois : exemple : f(x) = 1x7

= x –7 donne F(x ) = x

– 7 + 1

− 7 + 1 = x – 6

– 6 = –

16x 6

- soit apprendre par cœur la formule : f(x) = 1xm

admet pour primitive F(x ) = – 1

(m – 1)x m – 1 .

et de même, on peut retenir qu'une primitive de u'um

admet pour primitive – 1

(m – 1)u m – 1 .

Fonction souvent rencontrée : une primitive de 1x2 est –

1x