Flexion-transversale Des sections Monocellulaires

Séance n° 6

Flexion-transversale Des sections

Monocellulaires

T. DUCLOS – VINCI-Construction GP

Flexion transversale

1. 2 types de sections seront analysées pour la partie « étude locale »

2. l’étude globale du caisson sera effectué sur une structure régulière à 2 âmes

Flexion transversale - box girder 3

Type 2

Type 1


Etude locale des hourdispour les caissons classiques de

type 1

• I - Sections de calcul• II - Charges permanentes• III - Charges routières


Type 1

• I - Sections de calcul

• 1 encorbellement• 2 dalle centrale - côté âme• 3 dalle centrale - milieu

1 2 3


– encorbellement • console classique (h=cte)

– dalle centrale • ouvrage classique de largeur modérée telle que Longueur >>

largeur (a >> b) caisson en B.P. à deux âmes :

assimilé à une poutre encastrée sur appuis (âmes) et de largeur unitaire

PM pont mixte bipoutre : (à ne pas appliquer sur caisson en BP)

assimilé à une poutre appuyée sur 2 appuis et de largeur unitaire

II - Charges permanentes = charges linéiques ou surfaciques dans le sens longitudinal

2

2l

p−

2

2d

p−

28

22 dp

Lp −

L d


– Console (h=cte)

II - Charges permanentes


– Console (h=cte)



– Hourdis central (h=cte)



– Hourdis central (h=cte)




– Hourdis central (h=variable)– Utiliser les formules de la méthode des 3 moments

en ne gardant que les termes de la travée – Exemple de la charge linéique

W’

Ma

∫ ∫ =−×+−×l l

wxEI

dx

l

x

l

xMb

xEI

dx

l

xMa

0 0

2 ')(

)1()(

)1(

Mb=Ma


III charges roulantes

• Sur la dalle centrale: Abaques de Pücher • Rappel :


III charges roulantes sur dalle

• Abaques de Pücher


• Abaques de Pücher

Largeur du hourdis

45°Largeur du hourdis

P

µ=1,5 ≈

πµ

8

PMxt ×=


Ligne d’influence du moment Ma au centre

Axe du moment Mx

Attention aux orientations des axes , Mx est orthogonal à l’axe des x



Le moment Myt s’obtient de la même façon

Le moment total Mx vaut: Mx= Mxt +ν Myt avec ν=0,2



Le moment à l’encastrement s’obtient aussi de la même façon

Le moment transversal est nul


III charges roulantes sur la console

Méthode analytique fascicule 62 titre I section II règles BPEL, indépendante du règlement, applicable aussi avec l’EC2



Méthode analytique


• Les charges peuvent aussi être analysées par une méthode simplifiée


– Méthode simplifiée diffusion à 45 °

moy

i

L

MM

∑=

2

21 LLL

avec

moy

+=

L1

L2

vue en plan

P

d


Etude locale des hourdispour les caissons classiques de

type 2

• I - Sections de calcul• II - Charges permanentes• III - Charges routières


Type 2

B

0,25 B ( maxi 5 m ) 0,25 B0,5 B


Type 2• Sections de calcul: typologie

âme âmeNervure latérale

Nervure latérale

nervuresaxb,

a>b

axb,

a>>>b

Direction principale des efforts

Nervure latérale servant au support de la BN4 ou du système de sécurité, cette nervure est aussi un raidisseur


Type 2

• Méthode:– Analyser les dalles – charges locales –

utilisation des abaques de Pücher– Dalle entre âmes abaques


Type 2 (nota)• Pour les dalles centrales la direction

principale de flexion est dans le sens de la contrainte normale principale longitudinale du tablier

• Intégrer l’état de contrainte global à cet état local de flexion


Type 2

• Méthode:– Dalle entre nervures et poutre latérale sur

l’encorbellement


Type 2

• Dalle sur encorbellement: exemple


Type 2• Analyse des poutres latérales

– Les charges sont rapportées sur les poutres– Principe d’analyse des dalles de bâtiments

âme âmeNervure latérale

Nervure latérale

Nervure latérale servant au support de la BN4 ou du système de sécurité, cette nervure est aussi un raidisseur


Type 2

• Les poutres latérales sont calculées comme des poutres continues

• 2 méthodes: poutres sur appuis élastiques ou poutres sur appui simples.

• Cette dernière méthode est suffisante, on obtient ainsi les réaction Ri au droit des nervures

Ri Ri+1 Ri+2 Etc….


Type 2

• Rapporter toutes les charges sur les nervures

• Évaluer les sollicitations dans les poutres • 2 méthodes:

– Méthode dalle isostatique

2

2d

p−

28

22d

pL

p −

L d

Rg iRd i


Type 2

– 2ème méthode

Considérer l’encastrement sur l’âme => calcul de la console , puis du hourdis encastrés sur les âmes

Milieu de hourdis

Calculs au niveau des Encastrements


Type 2

• Conception de la nervure => poutre précontrainte

• En général calcul en précontrainte partielle• Limiter la fissuration, mais dimensionner

sous ELS fréquent en non décompression dans la zone d’enrobage

• Attn: zone d’enrobage EC2 100mm


Type 2

• Positionner la précontrainte suivant le fuseau de passage

• Intégrer les contraintes liées au câblage longitudinal

• Intégrer les contraintes de ferraillage, direction principale

• Conditions d’enrobage à définir (note d’hypothèses)


Notes:



Condition de ferraillage

• Section d’armatures à vérifier: – Retenir environ As = 0,01 x b en m² pour

s≤0,3mm (voir plus bas)– En deçà modifier l’épaisseur– En dessous la section de béton peut-être

réduite.– Pour l’évaluation prendre pour s≤0,3mm

σs≤240 MPa, et pour s≤0,2mm σs≤190 MPa

Disposition des charges: EC1

• Voie principale• Dispositif de sécurité• Cohérence des dispositions de

chargement• Calage des charges par rapport au limite

de largeur chargeable, par rapport à la zone d’analyse



Methode de calcul de la flexion transversale du caisson

• Les charges sur les hourdis sont donc connus et on est capable de calculer la réduction des efforts aux nœuds des hourdis et encorbellements sur les âmes

=>

RA RB

MAdMAg MBg MBd

• Charge répartie permanente• Charge répartie des charges d’exploitation• Les charges locales

• Chercher les couples (R,Mt) de réduction aux noeuds





• Ces charges sont concomittantes aux charges qui sollicitent la structure longitudinalement pour obtenir le Tmax, Mmax ou autres

• On suppose dans la suite que le fonctionnement de la structure transversale est rigide

=>

RA RB

MAdMAg MBg MBd


Flexion transversale

• Pour mener le calcul• On isole une longueur dx=1m et on écrit

l’équilibre de cette tranche de tablier

dx

q(x)=P

T(x) T(x+dx)

τ(x) τ(x+dx)

Sous les efforts tranchants, l’élément est en équilibre sous l’action des cisaillements


Rappel de RDM: équilibre sous tranchant

Flux en section ouverte



∑+Φ=Φn

jjiso X1

ϕ

ϕj: flux de cisaillement unité parcourant la cellule n°j (j=1 à n)

Xj: grandeur scalaire matérialisant l’intensité du flux de cisaillement inconnu φj

φj=Xj .ϕj

Φiso est le flux de cisaillement dû à l’effort tranchant, calculé dans la section rendue isostatique par les coupures

Flux en section fermée:

∑ =+n

i

, ij 0isoijX δδ

Les inconnues Xj sont obtenues par l’équation d’équilibre des actions du cisaillement par cellule i

ni .....2,1=∀


∫∫ ==i

ii

li

iiie

ds

e

dsδϕδ L

∫ ∫∫ −−=Φ=i i

z

y

yz

i

isoisoie

dsS

Iz

V

e

dsS

Iy

V

e

ds **

,δ

Où ∮ est l’intégrale portant sur le contour complet de la cellule i

∫ij une intégrale ne portant que sur la partie commune aux cellules i et j

S*y ou z correspondent aux moments statiques et doivent être affectés des signes en rapport avec l’orientation de circulation des flux

∫∫ ==ij

ij

ljli

ijije

ds

e

dsδϕδ L

,


Qr/2 Qr/2

Tranchant Q/mlFlux φInconnue X1

1/2 1/2

φi

Symétrie => X1=0


Equilibre sous la torsion

• Sous l’ action d’un moment de torsion réparti, on peut équilibrer la section

• Par des flux de torsion appliqué sur le pourtour

Mt(x+dx)

dx

Mt(x)

T=P

Mt=Pδ

Centre de flexion


Equilibre sous la torsion

• Le flux est défini par l’équation• où • ti est le cisaillement dans la paroi i• ei est l’épaisseur de la paroi i• Ω est l’aire délimitée par le contour

moyen de la cellule ( pour une caisson mono cellulaire)

• La torsion génée et ses effets peuvent être négligés dans le cas des caissons (voir « Torsion et Profil fermé » in Stahlbetonbau Hedt 9/1970 – 10/1970 und 5/1972 von A. STEINLE)

Ω×=×

2

Mtet ii


Méthode de calcul

• L’équilibre de la section peut donc s’écrire entre les 2 sections

• T(x)-qdx-T(x+dx)=0 =>

• Et de la même façon on peut écrire l’équilibre vis-à-vis de la torsion:

• Mt(x)-Pδ-Mt(x+dx)=0 =>

• Conclusion: l’étude peut se réaliser en cherchant l’équilibre des charges extérieures par des efforts internes correspondant aux flux de cisaillement et de torsion générés par les charges appliquées

)(xqdx

dT=

δ×= )(xqdx

dMt


On remarque que la méthode consiste•À se rapporter à 1m de caisson, donc à évaluer localement les charges en se ramenant à cette unité de mesure

•Soit utiliser les abaques qui donnent des charges au mètre linéaire

•Soit ramener les charges ponctuelles à des charges linéiques (méthode de décomposition par séries de Fourier des charges, ou évaluation de charges équivalentes…)

•À évaluer des flux pour équilibrer ces charges


Méthode de calcul

• Nous avons indiqué que les charges quelconques pouvaient se réduire au niveau des âmes

• Ce qui revient à ne retenir aux nœuds que les efforts globaux

RA RB

MAdMAg MBg MBd

RA RB

MAdMAg MBg MBd

RA RBMA=Mag-Mad MB=Mbd-Mbg

Efforts aux noeuds


Méthode de calcul

• Ces sollicitations peuvent se décomposer en sollicitations symétriques et antisymétriques

Qr’/2 Qr’/2Mr’/2 Mr’/2

++++Où

Qr=RA+RB

Mr=MA+MB

Qr’=RA-RB

Mr’=MA-MB

Qr/2 Qr/2Mr/2 Mr/2

RA RBMA=Mag-Mad MB=Mbd-Mbg


Méthode de calcul

• Analyse des sollicitations symétriques

Mr/2 Mr/2++++

Les charges verticales sont équilibrées par des flux de cisaillement, l’ensemble engendrant des efforts internes

Les moments symétriques sont équilibrés par des efforts internes

Qr/2 Qr/2Mr/2 Mr/2

Qr/2 Qr/2


Méthode de calcul

• Utilisation de la méthode des forces – analyse de l’effet de la charge Qr

++++

Qr/2 Qr/2 Qr/2 Qr/2

1 1x

X1

1 1

x

X2

1 1x

X3


Méthode de calcul

• On écrit l’équilibre aux lèvres de la coupure

• Théorème de l’énergie de déformation

• On néglige l’effet local de flexion des parois sous l’effet de N (flambement) et les déformations locales d’effort tranchant

• Les déplacements sont nuls aux lèvres de la coupure

• On obtient alors en posant:

∑ ∫ ∫∫

++×=

i

l l

i

i

l

i

i

i

i

i ii

dxGS

Tdx

ES

Ndx

EI

MW

0 0

2

0

22

*2

1

00

=

′×=∑ ∫

i

l

i

ii

i

dxEI

MMδ


Méthode de calcul

• On obtient ainsi autant d’équations qu’il y a d’inconnues

• Le diagramme des moments est alors obtenu (ce que l’on cherche) par l’équation (I)

∑ ∫

′×′=

k

l

k

kjki

ji

k

dxEI

MM

0

,,

,δ

0

31

,

3

1

, =+×

→=

∑=

isoi

j

jji X

ipour

δδ

K

contourlesurbarreskipour

XMMisoM i

ki

kiglobal

,31

,

,

→=

×′+= ∑

K

et ∑ ∫

′×=

k

l

k

kikiso

isoi

k

dxEI

MM

0

,,

,δ

(I)


Méthode de calcul

• L’analyse particulière du diagramme fera intervenir l’effet des flux de cisaillement.

• Le but étant de trouver les diagrammes isostatiques d’effort, on recourt à l’évaluation des glissements , on pose v la position du CDG par rapport à la fibre sup et Izl’inertie de la section

• On oriente les moments en disant qu’ils sont positifs quand ils tendent la fibre intérieure

∫ ×=kl

kkk dxextg0

)(

Qr/2 Qr/2a

bc d

f

h α

bi

1

2

3

4

5

bs

t1(0)=0

QrIz

×××

=e1/2)-(v e1 bs

1t1(bs/2)xe

g1=e1.bs/2.(t1(bs/2)+t1(0))/2

1’

Méthode de calcul

• Ceci revient à écrire:• X1 x NN + X2 x NT + X3 x NM+ NxMiso=0• X1 x TN + X2 x TT + X3 x TM+ TxMiso=0• X1 x MN + X2 x MT + X3 x MM+ MxMiso=0



Méthode de calcul

• Le moment au nœud b est alors égal à:

∫ ×=kl

kkk dxextg0

)(

Qr/2 Qr/2a

bc d

f

h

bi

1

2

3

4

5

bs

Du fait de la symétrie des charges seule l’inconnue X1 est à évaluer (à démontrer – application)

)cot(2

)(

)2

(2

)2

(2

1111

111

111

α

µµ

µ

µ

⋅⋅−⋅=

⋅′

−=

′−=

−⋅⋅′

=′

−⋅⋅=

hQ

hgM

QI

ggg

eve

sb

eve

bs

rab

r

z

a

bs’


Méthode de calcul

• analyse de l’effet des moments symétriques Mr/2

++++

Mr/2 Mr/2

1 1x

X1

1 1

x

X2

1 1x

X3

Mr/2 Mr/2


Méthode de calcul• Analyse des sollicitations dissymétriques

Les charges verticales sont équilibrées par des flux de torsion, l’ensemble engendrant des efforts internes

Comme les moments dissymétriques

Qr’/2 Qr’/2Mr’/2 Mr’/2

=bs

Qr’/2 Qr’/2

Mt=Qr’/2 x bs

A

Mtft

×=

2

A est la section définie par le contour du caisson (en bleu)

++++

∫ ⋅=kl

tt dskfF0

)(

Synthèse de la 1ere phase

• Combinaison des décompositions

• MtCas=Mt iso+Mn X1 + Mt X2 + Mm X3

• Où Mt iso = Mt(MQr + Mr)iso



Méthode de calcul• Analyse des sollicitations dissymétriques

Les moments dissymétriques créent eux aussi un flux de torsion égal à

Mr’/2

++++Mr’/2

A

Mtft

×=

2

Mt=Mr’

Ces 2 diagrammes vont faire l’objet d’une analyse par la même méthode que pour les sollicitations symétriques.

∫ ⋅=kl

tt dskfF0

)(


Méthode de calcul• Résultat

– Pour chaque type de charges symétriques et antisymétriques, les diagrammes des moments sont obtenus

– Les efforts globaux dans la section sont alors égaux à la somme des distributions de moments des charges symétriques et antisymétriques

– il est alors intéressant de généraliser la méthode en évaluant les diagrammes de moments pour des charges unitaires: Qr=1, Qr’=1, Mr=1, Mr’=1, et en établissant des combinaisons linéaires des diagrammes de moments issus de ces charges unitaires

Impossible d’afficher l’image.

)()()()( '' BAMrBArQBAMrBAQrglobal MMMQQMMMMQQMM −⋅+−⋅++⋅++⋅=


Utilisation de programme à barres: on isole un tronçon de 1m-soumis à P ce tronçon est en équilibre sous l’action des flux de cisaillement et de torsion

Les charges /ml quelconques sont équilibrées par des flux de cisaillement et de torsion de façon que les réactions d’appui au nœud d’encastrement soient nulles:

Rb=0 et Mb=0

δP

++++

++++gk(P)

Fk(Pδ)

b


Il est alors nécessaire de s’assurer que les charges appliquées soient bien des charges par mètre linéaire

La charge de convoi peut par exemple être remplacée par la charge linéique équivalente donnant localement les mêmes moments obtenus sur les abaques de Pücher

δP

++++

++++gk(P)

Fk(Pδ)

b


Rappel de cours





Intégrales de Mohrl

xfdsMM

l

G

l)(1

0

⋅Ω=′′⋅′∫

3

)(

3

2)(

2

212

1

MM

l

xfdoncMxf

lM

GG

⋅=

⋅Ω=

⋅=Ω

Triangle x triangle


Intégrales de Mohr


Extraits du Extraits du Extraits du Extraits du document 1 de document 1 de document 1 de document 1 de l’IABSE l’IABSE l’IABSE l’IABSE concernant le concernant le concernant le concernant le calcul des calcul des calcul des calcul des caissons caissons caissons caissons monocellulairesmonocellulairesmonocellulairesmonocellulaires

À comparer ou à compléter avec:



Voir méthode de calcul de section déformable

diagonale


Symetrical loads

Nota: dans n0, il faut diviser par d et non multiplier


• avec la valeur des paramètres suivants:

• On retrouvera ces valeurs avec une formulation un oeu différente dans le livre ref II


Cas anti-symétrique


• Fluage: méthode forfaitaire

t<tc

t>tcf f’

w w’

εi=n1/Ei

εf=εi+εd

εd=n2/Ed

2

1)(

5,0)1)((n

n

121

121f

21f

⋅−+=

=−−+=

⋅+⋅=⋅=

SSSS

E

Esiautreentre

E

Ennn

E

En

E

EnE

f

i

f

i

f

d

f

i

f

ff ε1/Ef=1/Ed+1/Ei

Documents

Flexion-transversale Des sections Monocellulaires