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leontine-gasnier
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Forme différentielle du M.H.S.
Solution:
Remarque:
• Pour une position x(t), il existe deux vitesses possibles:
• une vitesse positive (v > 0);
• une vitesse négative (v < 0).
d 2 x
dt 2+ω 2x = 0
x =Asin ωt+φ( )
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Système m-k (position horizontale)
A
Condition particulière :
À t = 0,1 s, x = - 0,2 m et v = + 0,5 m/s
Données: m = 0,5 kg et k = 50 N/m
2
•Calcul de ω:
•Calcul de :
À t = 0,1 s, on a:
(équation 1)
(équation 2)
et
on trouve:
ω =k
m= 10 s-1
x =- 0,2 m =Asin 1+φ( )m
v =+0,5 m/s=10Acos 1+φ( )m/s
A =0,206 m
3
•Calcul de :
x =- 0,2 m=0,206 sin 1+φ( ) m
À partir de la fonction position
v =10 ×0,206 cos −1,33 rad ( ) m/s = + 0,5 m/s
on trouve: 1+φ ( ) =- 1,326 rad
Vérifions si la vitesse est exacte:
(c’est bon)
soit: φ = - 2,33 rad
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(où t est en seconde)
c) À quel instant la condition x = + 0,2 m et v = - 0.5 m/s se produit-elle pour la première fois ?
On doit trouver la phase
soit: ( à rejeter car v > 0)
autre possibilité
( v < 0)
On trouve:
x =0,206 sin 10 t−2,33 rad( )m
10t −2,33=+1,33 rad
10 t −2,33=π −1,33 rad
t =0,41 s
5
Sans masse
À l’équilibre
Allongé de y’ p/r à l’équilibre
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Posons y = y0 + y’
À l’équilibre Fy = 0
Soit:
Ce qui donne:
y+ m g − k y
0 = 0
y0 = mg
k
mg
ky0
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avec y = y0 + y’
Fy = m ay
y Soit:
et on obtient:
(équation du M.H.S.)
avec:
+ mg − ky = may
T =2π mk
mg
ky
md 2y
dt 2+ ky−mg=0
d 2y
dt 2=d2y'dt2
d 2y '
dt 2+kmy'=0
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a) Déterminez la position d’équilibre
y
Fy = 0
+mg-ky0 = 0
y0 = mg
k=19,6 cm
ky0
mg
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Calcul de ω
Alors la fonction position peut s’écrire:
c) Déterminez la période d’oscillation
ω =k
m= 7,07 s-1
T =2π mk=0,889 s
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