Généralités sur les fonctionsrallymaths.free.fr/seconde/PRESENTATION_202.pdf · Généralitéssurlesfonctions XavierHallosserie Lycée Blaise Pascal octobre2018 Xavier Hallosserie

Généralités sur les fonctions

Xavier Hallosserie

Lycée Blaise Pascal

octobre 2018

Xavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 3 octobre 2018 1 / 33

À quoi ça sert ?

Les fonctions permettent de décrire l’évolution d’une quantité dépendant d’uneautre quantité. Elles servent donc à étudier tout ce qui se déplace ou change dansle temps ou dans l’espace. Avec les fonctions les mathématiques deviennentdynamiques !


À quoi ça sert ?

Par exemple, la distance de freinage d d’un véhicule dépend principalement de lavitesse v de ce véhicule. La relation qui relie ces deux quantités est une fonction.


À quoi ça sert ?


50 km.h−1

10 m


À quoi ça sert ?


50 km.h−1

10 m

80 km.h−1

40 m


À quoi ça sert ?La hauteur h d’un objet en chute libre est fonction du temps t :


À quoi ça sert ?

L’aire A de ce parallélogramme dépend de la position du point M sur le segment[AD].A est fonction de x.


À quoi ça sert ?La température T d’un malade est fonction du temps t.

x12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

y

35

36

37

38

39

40

température

(enC◦

)

temps (en h)



x12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

y

35

36

37

38

39

40

température

(enC◦

)

temps (en h)



x12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

y

35

36

37

38

39

40

température

(enC◦

)

temps (en h)



x12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

y

35

36

37

38

39

40

température

(enC◦

)

temps (en h)



x12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

y

35

36

37

38

39

40

température

(enC◦

)

temps (en h)



x12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

y

35

36

37

38

39

40

température

(enC◦

)

temps (en h)



x12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

y

35

36

37

38

39

40

température

(enC◦

)

temps (en h)



x12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

y

35

36

37

38

39

40

température

(enC◦

)

temps (en h)



x12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

y

35

36

37

38

39

40

température

(enC◦

)

temps (en h)


Sommaire

1. Activité

2. Notion de fonction2.1 Définition2.2 Image et antécédent2.3 Représentation graphique d’une fonction

3. Résolution graphique d’équation et d’inéquations3.1 Résolution graphique d’équation3.2 Résolution graphique d’inéquation

4. Compléments sur les intervalles4.1 Les nombres réels4.2 Les intervalles de R4.3 Réunion et intersection d’intervalles


Panne d’essence . . .

Pas de chance, vous êtes tombé en panne d’essence !Le garage n’est pas loin, mais les pompes sont un peu spéciales . . .Pour utiliser la bleue, par exemple, il faut payer un forfait de 5 e.Quelle pompe allez-vous choisir ? Expliquez . . .


Sommaire

1. Activité





Sommaire

1. Activité





Définition 1Une fonction f relie deux quantités x et y.

À chaque nombre réel x choisi, la fonction f associe un seul nombre réel y.Comme y dépend de x, on note ce nombre f(x).On écrit f : x 7−→ y ou f : x 7−→ f(x)

ExempleLa fonction d : v 7−→ 0, 01v2 − 0, 3v ou d(v) = 0, 01v2 − 0, 3v permet de calculerla distance de freinage d d’un véhicule en m en fonction de sa vitesse v en km.h−1.(c’est une fonction du second degré)La même fonction pourrait être notée :f : x 7−→ 0, 01x2 − 0, 3x ou f(x) = 0, 01x2 − 0, 3x


Définition 1Une fonction f relie deux quantités x et y.À chaque nombre réel x choisi, la fonction f associe un seul nombre réel y.

Comme y dépend de x, on note ce nombre f(x).On écrit f : x 7−→ y ou f : x 7−→ f(x)



Définition 1Une fonction f relie deux quantités x et y.À chaque nombre réel x choisi, la fonction f associe un seul nombre réel y.Comme y dépend de x, on note ce nombre f(x).

On écrit f : x 7−→ y ou f : x 7−→ f(x)



Définition 1Une fonction f relie deux quantités x et y.À chaque nombre réel x choisi, la fonction f associe un seul nombre réel y.Comme y dépend de x, on note ce nombre f(x).On écrit f : x 7−→ y ou f : x 7−→ f(x)




ExempleLa fonction d : v 7−→ 0, 01v2 − 0, 3v ou d(v) = 0, 01v2 − 0, 3v permet de calculerla distance de freinage d d’un véhicule en m en fonction de sa vitesse v en km.h−1.(c’est une fonction du second degré)

La même fonction pourrait être notée :f : x 7−→ 0, 01x2 − 0, 3x ou f(x) = 0, 01x2 − 0, 3x





Sommaire

1. Activité





Définition 2Soit f une fonction.L’unique nombre y associé à x, noté f(x), est appelé image de x par f .

Inversement, on dit que x est un antécédent de y par f .

ExempleOn considère la fonction f : x 7−→ 0, 01x2 − 0, 3x.L’image de 50 par f est 10 car f(50) = 0, 01× 502 − 0, 3× 50 = 10Inversement, 50 est l’antécédent de 10 par f .

RemarqueÀ toute valeur x choisie correspond une image et une seule, mais une valeur ypeut avoir plusieurs antécédents !


Définition 2Soit f une fonction.L’unique nombre y associé à x, noté f(x), est appelé image de x par f .Inversement, on dit que x est un antécédent de y par f .





ExempleOn considère la fonction f : x 7−→ 0, 01x2 − 0, 3x.

L’image de 50 par f est 10 car f(50) = 0, 01× 502 − 0, 3× 50 = 10Inversement, 50 est l’antécédent de 10 par f .




ExempleOn considère la fonction f : x 7−→ 0, 01x2 − 0, 3x.L’image de 50 par f est 10 car f(50) = 0, 01× 502 − 0, 3× 50 = 10

Inversement, 50 est l’antécédent de 10 par f .











MéthodePour calculer l’image d’un nombre a par f , on remplace x par a.

Pour calculer le ou les antécédent(s) d’un nombre b par f , on résoutl’équation f(x) = b.

ExempleSoit la fonction affine f(x) = 2x− 5.

Pour l’image de -3 par f on calcule f(−3) :f(−3) = 2× (−3)− 5 = −11Pour l’antécédent de 9 par f on résout l’équation f(x) = 9 :

f(x) = 92x− 5 = 9

2x = 14x = 7


MéthodePour calculer l’image d’un nombre a par f , on remplace x par a.Pour calculer le ou les antécédent(s) d’un nombre b par f , on résoutl’équation f(x) = b.



f(x) = 92x− 5 = 9

2x = 14x = 7





f(x) = 92x− 5 = 9

2x = 14x = 7




Pour l’image de -3 par f on calcule f(−3) :f(−3) = 2× (−3)− 5 = −11

Pour l’antécédent de 9 par f on résout l’équation f(x) = 9 :

f(x) = 92x− 5 = 9

2x = 14x = 7





f(x) = 92x− 5 = 9

2x = 14x = 7


Sommaire

1. Activité





Définition 3Soit f une fonction.Dans un repère (O; I, J), la courbe représentative de f est l’ensemble despoints M de coordonnées (x; y) tels que y = f(x).

ExemplePour obtenir la représentation graphique de la fonction f(x) = 0, 01x2 − 0, 3x, oncalcule un nombre suffisant d’images (tableau de valeurs) :

x 50 60 70 80 90 100 110f(x) 10

18 28 40 54 70 88

RemarqueIci les valeurs de x varient de 50 à 110.L’intervalle [50; 110] est l’ensemble de définition de f .




x 50 60 70 80 90 100 110f(x) 10 18

28 40 54 70 88





x 50 60 70 80 90 100 110f(x) 10 18 28

40 54 70 88





x 50 60 70 80 90 100 110f(x) 10 18 28 40

54 70 88





x 50 60 70 80 90 100 110f(x) 10 18 28 40 54

70 88





x 50 60 70 80 90 100 110f(x) 10 18 28 40 54 70

88





x 50 60 70 80 90 100 110f(x) 10 18 28 40 54 70 88





x 50 60 70 80 90 100 110f(x) 10 18 28 40 54 70 88



Tableau de valeursx 50 60 70

f(x) 10 18 28

80 90 100 11040 54 70 88

Représentation graphique

x40 50 60 70 80 90 100 110

y

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

•

distance

defre

inage(enm)

vitesse (en km.h−1)



f(x) 10 18 28

80 90 100 11040 54 70 88


x40 50 60 70 80 90 100 110

y

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

••

distance

defre

inage(enm)




f(x) 10 18 28

80 90 100 11040 54 70 88


x40 50 60 70 80 90 100 110

y

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

••

•distance

defre

inage(enm)




f(x) 10 18 28

80 90 100 11040 54 70 88


x40 50 60 70 80 90 100 110

y

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

••

•

•distance

defre

inage(enm)




f(x) 10 18 28

80 90 100 11040 54 70 88


x40 50 60 70 80 90 100 110

y

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

••

•

•

•

distance

defre

inage(enm)




f(x) 10 18 28

80 90 100 11040 54 70 88


x40 50 60 70 80 90 100 110

y

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

••

•

•

•

•

distance

defre

inage(enm)




f(x) 10 18 28

80 90 100 11040 54 70 88


x40 50 60 70 80 90 100 110

y

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

••

•

•

•

•

•

distance

defre

inage(enm)




f(x) 10 18 28

80 90 100 11040 54 70 88


x40 50 60 70 80 90 100 110

y

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

••

•

•

•

•

•

distance

defre

inage(enm)



MéthodePour lire graphiquementl’image d’un réel a parune fonction f , on cherchel’ordonnée du point de lacourbe d’abscisse a.

x40 50 60 70 80 90 100 110

y

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

distance

defre

inage(enm)




L’image de 100 par f est :

x40 50 60 70 80 90 100 110

y

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

distance

defre

inage(enm)





x40 50 60 70 80 90 100 110

y

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

distance

defre

inage(enm)





70

x40 50 60 70 80 90 100 110

y

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

distance

defre

inage(enm)



MéthodeInversement, pour liregraphiquement lesantécédents d’un réel bpar une fonction f , oncherche les abscisses despoints de la courbed’ordonnée b.

x40 50 60 70 80 90 100 110

y

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

distance

defre

inage(enm)




L’antécédent de 40 par fest :

x40 50 60 70 80 90 100 110

y

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

distance

defre

inage(enm)





x40 50 60 70 80 90 100 110

y

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

distance

defre

inage(enm)





80x40 50 60 70 80 90 100 110

y

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

distance

defre

inage(enm)



Sommaire

1. Activité





Sommaire

1. Activité





MéthodePour résoudregraphiquement l’équationf(x) = b on cherche lesabscisses des points de lacourbe qui ont pourordonnée b.

f(x) = 2

a pour ensemble desolutions :

S = {−1; 1; 2, 5}

x−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y

−1

0

1

2

3

4

5Cf



f(x) = 2


S = {−1; 1; 2, 5}

x−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y

−1

0

1

2

3

4

5Cf



f(x) = 2


S = {−1; 1; 2, 5}

x−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y

−1

0

1

2

3

4

5Cf



f(x) = 2


S = {−1; 1; 2, 5}

x−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y

−1

0

1

2

3

4

5Cf

1 2.5


MéthodePour résoudregraphiquement l’équationf(x) = g(x) on cherche lesabscisses des pointsd’intersection des deuxcourbes.

f(x) = g(x)


S = {−1; 2}

x−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y

−1

0

1

2

3

4

5

6

Cf

Cg



f(x) = g(x)


S = {−1; 2}

x−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y

−1

0

1

2

3

4

5

6

Cf

Cg



f(x) = g(x)


S = {−1; 2}

x−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y

−1

0

1

2

3

4

5

6

Cf

Cg



f(x) = g(x)


S = {−1; 2}

x−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y

−1

0

1

2

3

4

5

6

Cf

Cg

2


Sommaire

1. Activité





MéthodePour résoudregraphiquement l’équationf(x) 6 b on cherche lesabscisses des points de lacourbe dont l’ordonnée estinférieure ou égale b.

f(x) 6 2


S = [−2, 5; 0] ∪ [3; 5]

x−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

y

−1

0

1

2

3

4

5Cf



f(x) 6 2


S = [−2, 5; 0] ∪ [3; 5]

x−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

y

−1

0

1

2

3

4

5Cf



f(x) 6 2


S = [−2, 5; 0] ∪ [3; 5]

x−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

y

−1

0

1

2

3

4

5Cf



f(x) 6 2


S = [−2, 5; 0] ∪ [3; 5]

x−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

y

−1

0

1

2

3

4

5Cf



f(x) 6 2


S = [−2, 5; 0] ∪ [3; 5]

x−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

y

−1

0

1

2

3

4

5Cf


MéthodePour résoudregraphiquement l’inéquationf(x) 6 g(x) on cherche lesabscisses des points de Cf

situés en dessous de Cg.

f(x) 6 g(x)


S = [−1; 2]

x−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y

−1

0

1

2

3

4

5

6

Cf

Cg




f(x) 6 g(x)


S = [−1; 2]

x−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y

−1

0

1

2

3

4

5

6

Cf

Cg




f(x) 6 g(x)


S = [−1; 2]x−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y

−1

0

1

2

3

4

5

6

Cf

Cg


Sommaire

1. Activité





Sommaire

1. Activité





Définition 4L’ensemble des abscisses de tous les points de la droite graduée est appelél’ensemble des nombres réels. On le note R.Pour écrire qu’un nombre x appartient à R, on note x ∈ R.

Exemples :7 ∈ R, −5 ∈ R, 2, 5 ∈ R, 2

3 ∈ R, π ∈ R,√

2 ∈ R . . . etc.


Sommaire

1. Activité





Soit a ∈ R et b ∈ R avec a < b, compléter le tableau suivant :

Intervalle Inégalité Représentation

[a ; b

]

a 6 x 6 bO I

−∞ +∞a b

[ ]

[a ; b

[

a 6 x < bO I

−∞ +∞a b

[ [

]a ; b

]

a < x 6 bO I

−∞ +∞a b

] ]

]a ; b

[

a < x < bO I

−∞ +∞a b

] [




[a ; b

]

a 6 x 6 bO I

−∞ +∞a b[ ]

[a ; b

[

a 6 x < bO I

−∞ +∞a b

[ [

]a ; b

]

a < x 6 bO I

−∞ +∞a b

] ]

]a ; b

[

a < x < bO I

−∞ +∞a b

] [




[a ; b

]a 6 x 6 b

O I

−∞ +∞a b[ ]

[a ; b

[

a 6 x < bO I

−∞ +∞a b

[ [

]a ; b

]

a < x 6 bO I

−∞ +∞a b

] ]

]a ; b

[

a < x < bO I

−∞ +∞a b

] [




[a ; b

]a 6 x 6 b

O I

−∞ +∞a b[ ]

[a ; b

[

a 6 x < bO I

−∞ +∞a b[ [

]a ; b

]

a < x 6 bO I

−∞ +∞a b

] ]

]a ; b

[

a < x < bO I

−∞ +∞a b

] [




[a ; b

]a 6 x 6 b

O I

−∞ +∞a b[ ]

[a ; b

[a 6 x < b

O I

−∞ +∞a b[ [

]a ; b

]

a < x 6 bO I

−∞ +∞a b

] ]

]a ; b

[

a < x < bO I

−∞ +∞a b

] [




[a ; b

]a 6 x 6 b

O I

−∞ +∞a b[ ]

[a ; b

[a 6 x < b

O I

−∞ +∞a b[ [

]a ; b

]

a < x 6 bO I

−∞ +∞a b] ]

]a ; b

[

a < x < bO I

−∞ +∞a b

] [




[a ; b

]a 6 x 6 b

O I

−∞ +∞a b[ ]

[a ; b

[a 6 x < b

O I

−∞ +∞a b[ [

]a ; b

]a < x 6 b

O I

−∞ +∞a b] ]

]a ; b

[

a < x < bO I

−∞ +∞a b

] [




[a ; b

]a 6 x 6 b

O I

−∞ +∞a b[ ]

[a ; b

[a 6 x < b

O I

−∞ +∞a b[ [

]a ; b

]a < x 6 b

O I

−∞ +∞a b] ]

]a ; b

[

a < x < bO I

−∞ +∞a b] [




[a ; b

]a 6 x 6 b

O I

−∞ +∞a b[ ]

[a ; b

[a 6 x < b

O I

−∞ +∞a b[ [

]a ; b

]a < x 6 b

O I

−∞ +∞a b] ]

]a ; b

[a < x < b

O I

−∞ +∞a b] [




[a ; +∞

[

x > aO I

−∞ +∞a

[

]a ; +∞

[

x > aO I

−∞ +∞a

]

]−∞ ; b

]

x 6 bO I

−∞ +∞b

]

]−∞ ; b

[

x < bO I

−∞ +∞b

[




[a ; +∞

[

x > aO I

−∞ +∞a[

]a ; +∞

[

x > aO I

−∞ +∞a

]

]−∞ ; b

]

x 6 bO I

−∞ +∞b

]

]−∞ ; b

[

x < bO I

−∞ +∞b

[




[a ; +∞

[x > a

O I

−∞ +∞a[

]a ; +∞

[

x > aO I

−∞ +∞a

]

]−∞ ; b

]

x 6 bO I

−∞ +∞b

]

]−∞ ; b

[

x < bO I

−∞ +∞b

[




[a ; +∞

[x > a

O I

−∞ +∞a[

]a ; +∞

[

x > aO I

−∞ +∞a]

]−∞ ; b

]

x 6 bO I

−∞ +∞b

]

]−∞ ; b

[

x < bO I

−∞ +∞b

[




[a ; +∞

[x > a

O I

−∞ +∞a[

]a ; +∞

[x > a

O I

−∞ +∞a]

]−∞ ; b

]

x 6 bO I

−∞ +∞b

]

]−∞ ; b

[

x < bO I

−∞ +∞b

[




[a ; +∞

[x > a

O I

−∞ +∞a[

]a ; +∞

[x > a

O I

−∞ +∞a]

]−∞ ; b

]

x 6 bO I

−∞ +∞b]

]−∞ ; b

[

x < bO I

−∞ +∞b

[




[a ; +∞

[x > a

O I

−∞ +∞a[

]a ; +∞

[x > a

O I

−∞ +∞a]

]−∞ ; b

]x 6 b

O I

−∞ +∞b]

]−∞ ; b

[

x < bO I

−∞ +∞b

[




[a ; +∞

[x > a

O I

−∞ +∞a[

]a ; +∞

[x > a

O I

−∞ +∞a]

]−∞ ; b

]x 6 b

O I

−∞ +∞b]

]−∞ ; b

[

x < bO I

−∞ +∞b[




[a ; +∞

[x > a

O I

−∞ +∞a[

]a ; +∞

[x > a

O I

−∞ +∞a]

]−∞ ; b

]x 6 b

O I

−∞ +∞b]

]−∞ ; b

[x < b

O I

−∞ +∞b[


Sommaire

1. Activité





Définition 5La réunion de 2 intervalles I et J , notée I ∪ J , est l’ensemble des réelsappartenant à I ou à J.L’intersection de 2 intervalles I et J, notée I ∩ J , est l’ensemble des réelsappartenant à I et J.

Exemple :

I =[−3 ; 4

]et J =

[−1 ; 7

]O

0

I

1−∞ +∞−3 4[ ]

−1 7[ ]

[ ][ ]



Exemple :

I =[−3 ; 4

]et J =

[−1 ; 7

]I ∪ J =

[−3 ; 7

]O

0

I

1−∞ +∞−3 4[ ]

−1 7[ ][ ]

[ ]

Remarque :I ∪ J est l’ensemble constitué en rassemblant tous les nombres des 2 intervalles.



Exemple :

I =[−3 ; 4

]et J =

[−1 ; 7

]I ∩ J =

[−1 ; 4

]O

0

I

1−∞ +∞−3 4[ ]

−1 7[ ]

[ ]

[ ]

Remarque :I ∪ J est l’ensemble constitué en rassemblant tous les nombres des 2 intervalles.I ∩ J est l’ensemble constitué des seuls nombres communs aux 2 intervalles.


FINXavier Hallosserie (Lycée Blaise Pascal) Chapitre 3 octobre 2018 33 / 33

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