Horloge hélio-caustique de temps moyen Francis Ziegeltrum 13 octobre 2012 Réunion CCS-Palais de la Découverte

Horloge hlio-caustique de temps moyen Francis Ziegeltrum 13 octobre 2012 Runion CCS-Palais de la Dcouverte

Sommaire Quest ce quune caustique? Aperu historique Les catacaustiques Les diacaustiques Etude dune horloge hlio-caustique de temps moyen cadran plat

Quest ce quune caustique? On distingue: Le terme caustique dsigne dune faon gnrale lenveloppe des rayons lumineux issus d'un point distance finie (caustique "au flambeau") ou infinie (caustique "au soleil ") aprs modification par un instrument optique. Catacaustique: Caustique forme par la rflexion des rayons lumineux par un miroir courbe. Diacaustique:Caustique forme par la rfraction des rayons lumineux par un dioptre.

Aperu historique Sige de Syracuse et les miroirs ardents dArchimde Ars Magna Lucis et Umbrae (Kircher) En 213 av JC les romains assigent Syracuse Archimde aurait russi enflammer les navires des romains laide de grands miroirs en bronze polie. Cette illustration du livre de Kircher met en scne cette lgende. Premire remarque: vu la position du Soleil par rapport au navire il semblerait plutot sagir dune boule de verre. Deuxime remarque: Plus intressants sont les illustrations montrant la parabole, lellipse et le demi- cercle.

Renaissance Lonard De Vinci (1452-1519), Codex Arundel Esquisse de la caustique du cercle Il sagit du premier trac de caustique connu.

Premires tudes La caustique dun cercle est une nphrode cest--dire une picyclode deux rebroussements (cercle de rayon a/2 roulant l'extrieur d'un cercle de rayon a). En 1690, dans son livre Trait de la lumire, Christian HUYGENS (1629-1695) donne une reprsentation gomtrique de la caustique dun cercle.

Premires tudes Ehrenfried-Walter TSCHIRNHAUSEN (1651-1708) cra le mot caustique partir du mot grec kaustikos provenant de katein = brler. Jacques et Jean Bernoulli semparrent du sujet et le traitrent dune manire beaucoup plus gnrale. Ils nont considr les caustiques que sous leur aspect mathmatique, cest dire, que comme des courbes dont il tait intressant de rechercher les proprits. On trouve dans l'Analyse des infiniment petits du Marquis de l'Hpital (1661-1704), une mthode pour dterminer les caustiques de rflexion et de rfraction d'une courbe quelconque.

Mise en quation Jean de Thomas de St Laurent (1762-1835), Arthur Cayley ( 1821 - 1895) puis Henri Bouasse (1866- 1953) parviennent mettre quelques courbes caustiques en quation. Par exemple lquation de la catacaustique dun miroir cylindrique est:

Gnralisation La thorie des catastrophes fonde par le mathmaticien Ren Thom (1923-2002) permet une nouvelle interprtation mathmatique du phnomne optique de focalisation. Les caustiques peuvent tre classes suivant leur topologie. De nombreuses recherches sont en cours pour mettre au point des outils mathmatiques pour simuler les surfaces caustiques.

Un sujet toujours brlant Etude des caustiques des tours de lhtel Vdara Las Vegas Caustic effects due to sunlight reflections from skyscrapers: simulations and experiments M Vollmer and K-P Mllmann Lhotel Vdara Las Vegas est un immeuble de 170m qui a ouvert ses portes en 2009. Ds septembre 2010 des clients, assis devant la piscine ont t svrement bruls par un soi-disant rayon de la mort, qui a galement fait fondre des objets en plastique. Une tude a t publie en aout 2012 par 2 chercheurs allemands. Ils ont dmontr que cest la forme en arc de cercle des immeubles et les vitres trs rflchissantes qui produisaient une caustique dont le point de rebroussement balayait les bords de la piscine. Ltude montre que des tempratures de 200 250C pouvaient tre atteintes localement en quelques secondes. Dimportant travaux sont envisags pour liminer la caustique. Cest ce jour la plus grande caustique au monde.

Les caustiques, phnomnes optiques, ont t un sujet dtude pour de nombreux mathmaticiens. Certaines caustiques ont mme t mises en quation. Conclusion

Les catacaustiques

Az=-45 Catacaustique dun miroir cylindrique Az=0Az=45

Source: Playing with caustic phenomena Christian Ucke/Christoph Engelhardt Influence de langle dincidence

Source: Kaustik in der Kaffeetasse Christian Ucke und Christoph Engelhardt Influence de la hauteur du miroir

Az=-10 Catacaustique dun miroir parabolique Az=0 Az=10 La parabole est trs connue pour ses proprits optiques. Elle concentre en son foyer les rayons parallles son axe. Si les rayons ne sont pas parallles laxe il se forme une caustiques en forme de courbe de Tchirnhausen. Cette caustique suit le mouvement du Soleil, mais uniquement lazimut et non la hauteur.

Az=-45 Catacaustique dun miroir en forme de deltoide Az=0 Az=90 La deltoide est une courbe de la famille des cycloides. Cette coube a la particularit de produire une caustique en forme dastroide dont les points de rebroussements suivent le mouvement du Soleil. Jean Franois Echard a dpos un brevet en 2005 pour ce type de cadran solaire. Malheureusement la forme de la caustique nest pas sensible aux variations de la hauteur du Soleil.

Les catacaustiques tudies ne permettent pas de raliser une horloge hlio-caustique de temps moyen car elles ne prennent pas assez en compte la hauteur du Soleil Conclusion

Les diacaustiques

Az=-10 Diacaustique dun cylindre en verre Az=0 Az=30Az=0

Walter Gordon Benoy Erich Pollhne Diacaustique dun cylindre en verre http://de.wikipedia.org/wiki/Erich_Poll%C3%A4hne Voici des cadrans solaires dont lindication des heures est ralise avec une caustique produite par un cylindre en verre.

Cadran dErich Pollhne Wennigsen Diacaustique dun cylindre http://de.wikipedia.org/wiki/Erich_Poll%C3%A4hne

Diacaustique dune boule en verre

Horologium heliocausticum Athanasius Kircher 1646 Ars Magna Lucis et Umbrae Anthanasius Kircher a dcrit dans son livre une horloge hliocaustique dont la chaleur permet de mettre le feu de la poudre chaque heure. On notera la petitesse de la boule par rapport sa caustique. Ce qui me drange cest que lon attribut linvention mot caustique Tschirnhausen alors que Kircher utilise dj ce mot.

Diacaustique dune boule en verre Johannes Zahn 1641-1707 Oculus artificialis teledioptricus Quelques annes plus tard Johannes Zahn reprend lide de Kircher et rajoute un exemple dhorloge hliocaustique.

Diacaustique dune boule en verre Hliographe de Campbell-Stokes Vers 1850

Diacaustique dune boule en verre Cadran solaire pour aveugle de Claude Guicheteau daprs Jacques Ozanam http://www.cadrans-solaires.fr/cadran-solaire-pour-aveugles.html

Diacaustique dune boule en verre Kitt Peak National Observatory Ralis par Stephen Jacobs Install en 2005

Diacaustique dune boule en verre Iwan Kahn http://www.kahn-glas.com/Bildu%20Grafiken/Doku_gesamt.pdf

Les ralisations existantes montrent quune boule en verre, grce sa caustique, peut servir dhorloge solaire et peut mme indiquer le temps moyen. Peut-on raliser une horloge solaire de temps moyen cadran plat? Conclusion

Etude de la caustique dune boule en verre

Diacaustique dune boule de verre Les rayons du Soleil sont dvies une premire fois par le passage de lair dans le verre puis une deuxime fois en passant du verre dans lair. Les rayons mergents sont tangents une courbe en rouge, cest la caustique de la boule de verre.

Tous les rayons mergents sont tangents une surface de rvolutions appele nappe tangentielle et se croisent le long de la nappe sagittale. Seuls les rayons centraux convergent au foyer paraxial Fp. Diacaustique dune boule en verre Nappe sagittale Nappe tangentielle Foyer paraxial Fp

SubstanceIndice de rfraction nDistance focale R=50mm Eau1,33100,75 Verre1,5174,0 Calcul de la distance du foyer paraxial Fp au centre de la sphre Fp Cette distance dpend du rayon de la boule et de la matire. Plus lindice de rfraction est faible plus cette distance focale est leve.

Longueur de la nappe sagittale SubstanceIndice de rfraction n Angle critiqueLongueur partie de Fp Eau1,3348,7523 mm Verre1,5141.4713 mm La longueur de la nappe sagittale dpend de lindice de rfraction du milieu car partir dun certain angle, les rayons sont entirement rflchis.

Gomtrie de la caustique Voici trois coupes de la caustique: Lextrmit se rduit un point trs lumineux La coupe au niveau de la nappe sagittale fait apparaitre une tache avec en son centre un point trs lumineux La dernire tranche montre labsence du point central.

Influence de lindice de rfraction verre eau

Taille du point La nappe sagittale est limage du Soleil. Le diamtre apparent du Soleil est de 32, donc lpaisseur de la nappe sagittale est de :

Intensit de la nappe sagittale La puissance solaire incidente est en moyenne de 1400W/m 2 Comme la sphre a un rayon de 50mm, la puissance sur la demi-sphre est de 22W. Cette puissance ramene au point de diamtre de 0.68mm donne une puissance de 151380W/m 2. En utilisant la loi dite de Stefan on peut calculer la temprature du point sur lcran, on trouve 800C. Se pose le problme de la matire de lcran. Il doit rsister aux hautes tempratures.

Photo de la caustique Aberration sphrique du 3me ordre d'une lentille Source: http://semunt.supelec.fr http://semunt.supelec.fr

Schmatisation Sphre de rayon 0Fp Nappe sagittale Foyer paraxial

Ralisation dune maquette

Impact de la caustique Ecran en bois Quelques secondes dexposition au Soleil ont suffit pour brler le bois. Le diamtre du point est faible.

La nappe sagittale de la diacaustique dune boule de verre peut tre utilise pour indiquer trs prcisment lheure sur un cran Conclusion

Etude dune horloge hlio-caustique de temps moyen cadran plat Boule en verre de 100mm de diamtre Indice de rfraction n=1.51 soit Fp=74mm Longitude=-726 Latitude=4736 Ecran (matire dfinir)

Mesure de lazimut Lcran est plac la limite de la nappe sagittale

Mesure de la hauteur latitude

(x h, y h, z h) sont les coordonnes du Soleil dans le repre local Le point dimpact est le projet du centre de la sphre suivant le vecteur S0 S ZhZh XhXh latitude (x h, y h, z h) (0,0,0) XiXi ZiZi

Calcul des courbes en huit Les coordonnes(x h, y h, z h) du Soleil dans le repre local sont calcules en utilisant la formule: Lcran tant inclin, les coordonnes du Soleil dans le repre li lcran scrivent: Les coordonnes cartsiennes du Soleil sont calcules laide des formules prsentes dans le Trait abrg de gnomonique.

Calcul des courbes en huit Enfin on projette le centre de la boule dont les coordonnes dans le repre cran sont: suivant la droite passant par S et par le centre de la boule

Ecran pour la lecture de lheure 12 13 14 15 Solstice dhiver Solstice dt Un cran circulaire est plac derrire la boule de verre. La boule de verre ne permet que dindiquer les heures de midi 15h.

12 1314 15 Solstice dhiver Solstice dt 16 11 La caustique dun rcipient sphrique rempli deau permet dindiquer les heures lgales de 11h 16h.

Il est donc possible de raliser une horloge hliocaustique de temps moyen cadran plat. Le choix de la matire de lcran est toutefois difficile. Je suis la recherche de verre vitro- cramique opaque Conclusion finale

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Horloge hélio-caustique de temps moyen Francis Ziegeltrum 13 octobre 2012 Réunion CCS-Palais de la Découverte