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PSI-MP DYNAMIQUE DES SOLIDES
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I. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE
Principe = théorie vérifiée par l’expérience, donc valable dans un domaine d’étude précis.
1. PROBLEMATIQUE
Cinématique : étude du mouvement d’un ou plusieurs solides sans se poser la question : qu’est-ce qui crée, modifie ou entretient ce mouvement ?
des actions mécaniques dans les liaisons, moteurs ou résistants…
Dynamique : déterminer les relations entre les paramètres cinématiques du mouvement et les efforts extérieurs appliqués au système étudié.
Hypothèse :
On étudie un ou plusieurs solides indéformables, on parle de système de solides, à masse conservative.
Exemple : Régulateur centrifuge de la direction assistée d’une Xantia.
Considérons le régulateur centrifuge utilisé dans la direction assistée « DIRAVI » de Citroën. Ce système dont la fréquence de rotation est liée à la vitesse du véhicule, agit sur un circuit hydraulique et permet de faire varier l’assistance en fonction de la vitesse.
L’axe 1 est entraîné en rotation à une vitesse proportionnelle à celle du véhicule, les masselottes 2 et 2’ montées sur cet axe s’écartent de leur axe sous l’effet de l’accélération centripète. En s’écartant, elles translatent la coulisseau 3 et inclinent le levier 3 par l’intermédiaire du ressort (voir annexe 1).
L’inclinaison du levier 3 entraîne la translation de l’axe 5 et donc l’ouverture plus
ou moins grande de l’orifice de haute pression de l’huile circulant dans la direction assistée.
Ce régulateur permet alors d’adapter l’assistance au volant en fonction de la vitesse du véhicule.
Nous chercherons à déterminer l’inclinaison des masselottes en fonction des masses et des efforts extérieurs.
2. TORSEUR DYNAMIQUE
Torseur dynamique = quantités d’accélérations de tous les points du système de solides .
Soit un système de solides en mouvement par rapport à un repère galiléen ),,,( zyxOR . Soit A un point quelconque de
l’espace.
x
O
z
Mi
y
()
Fig. 1
En Mi :
dmRM i .)/( : quantité d’accélération élémentaire (N:homogène à une force !!)
dmRMAM ii .)/( : moment dynamique élémentaire en A (N.m :homogène au moment d’une force !!)
Il suffit de sommer sur le système pour avoir le torseur dynamique de en A par rapport au repère ),,,( zyxOR :
AdmRMAMRA
dmRMRA
RDA
.)/()/,(
.)/()/(
)/(
Résultante dynamique :
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La quantité )/( RA est la résultante dynamique du système dans son mouvement par rapport au repère
),,,( zyxOR . Unités : N.
La résultante dynamique dépend uniquement des paramètres de position des solides de dans l’espace et de leurs dérivées premières et secondes. Cette forme n’est pas utilisée pour le calcul. On verra dans le paragraphe II comment calculer cette résultante. Moment dynamique :
La quantité )/,( RA est appelée moment dynamique en A du système dans son mouvement par rapport au
repère ),,,( zyxOR . Unités : N.m
De même, le moment dynamique ne dépend que des paramètres de position des solides. Il s’agit d’un moment d’un torseur, donc il est calculable en tout point de l’espace à l’aide de la formule classique d’un champ de moments d’un torseur :
Changement de point : )/(.)/,()/,( RABAmRARB
3. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE : PFD
Enoncé :
Il existe au moins un repère galiléen R tel que pour tout système matériel , le torseur dynamique dans ce repère R en un
point A de l’espace est égal à chaque instant à la somme des torseurs en A des efforts extérieurs appliqués à .
AA
TRD ()/(
repère galiléen= pour nos études, tout repère lié à la terre sera considéré comme Galiléen.
1. Théorème de la résultante dynamique TRD
Pour le système en mouvement dans ),,,( zyxOR galiléen, la résultante dynamique est égale à la résultante des
efforts extérieures appliquées sur :
)()/( RRA
La projection de cette équation vectorielle dans une BOND nous donne 3 équations scalaires, 3 équations différentielles du mouvement liant les efforts extérieurs aux paramètres cinématiques. il y aura dans ces équations uniquement des forces ! pas de couple moteur, moment de freinage etc…
2. Théorème du moment dynamique TMD
Pour le système en mouvement dans ),,,( zyxOR galiléen, le moment dynamique en A est égal à la somme des
moments en A des efforts extérieures appliquées sur :
),()/,( AMRA
La projection de cette équation vectorielle dans une BOND nous donne 3 équations scalaires, 3 équations différentielles du mouvement liant les efforts extérieurs aux paramètres cinématiques. il y aura dans ces équations les moments des forces présentes dans le TRD plus les couples moteurs, couples résistants etc... 4. APPLICATION DU PRINCIPE FONDAMENTAL Rarement, dans les problèmes proposés, nous aurons à écrire les 6 équations du PFD pour résoudre le problème posé. Parfois quelques équations équations suffisent, il faut déterminer quel théorème appliquer et sur quel axe de projection Exemple 1 : Transformation de mouvement (Centrale 98)
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Le maneton 6 est lié au bâti par une liaison pivot d’axe ),( 0zB et est entraîné par un couple moteur 0.zCm . La croix de
Malte 5 est liée au bâti par une liaison pivot d’axe ),( 0zC .
Un couple résistant s’exerce sur 5 autour de l’axe ),( 0zC : 0.zCr .
La liaison entre 6 et 5 au niveau du galet peut être assimilée à une liaison ponctuelle de normale ),( vA :
Fig. 2
A
A
vAFF
0
.6565
Les actions de pesanteur sont négligées et la croix de Malte 5 tourne librement autour de son axe. On souhaite exprimer
mC en fonction de rC lorsque le mouvement est connu.
Quel(s) système(s) à isoler, quel théorème utiliser et sur quel axe de projection ? 2 inconnues donc 2 équations !!
On isole 6, pour faire apparaître Cm il faut une équation de moment dynamique en B en projection sur 0z , elle
fera apparaître le moment en B de 65F : 00 )..(.)0/5,( zvABACzB m
On isole 5, pour connaître A sans faire intervenir les actions de la pivot en C, il faut écrire l’équation de moment
dynamique en C sur 0z : 00 )..(.)0/6,( zvACACzC r
Exemple 2 : Suspension de moto
La liaison entre le châssis 5 et le bâti 1 est une liaison glissière d’axe ),( yO . La liaison entre la traverse 9 et la roue 6 est
une liaison ponctuelle, les actions de 9 sur 6 peuvent être modélisées par I
I
yFFF
0
.6969 en négligeant la
faible inclinaison de la traverse.
0x
0y
A
0z C B
5 6
v
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Fig. 3
Le champ de pesanteur est défini par ygg . . Le repère lié à 1 est considéré comme galiléen.
Connaissant le mouvement (à l’aide d’un enregistrement), on souhaite connaître F. Quel(s) système(s) à isoler, quel théorème utiliser et sur quel axe de projection ? 1 inconnue donc 1 équation scalaire suffit, c’est une force, on utilise le théorème de la résultante dynamique à l’ensemble
en mouvement en projection sur l’axe y : 0.)/(. FMgyRGM
Il faut désormais être capable de calculer la résultante dynamique de et son moment dynamique en tout point. C’est l’objet du paragraphe II.
y
x
I
9
6
1
5
7
8
2
10
11
G
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II. CINETIQUE
1. CARACTERISTIQUES D’INERTIE DES SOLIDES
1. Masse
Soit S un solide de volume V, M un point de volume dV de ce solide. La masse du solide S est : dVMSm ).()( .
Avec , masse volumique du matériau constituant S en 3. mkg .
dVO
x
M
z
y
(S)
Fig. 4
Exemples : = 7800 3. mkg pour l’acier ; = 2700
3. mkg pour l’aluminium ; = 8900 3. mkg pour le bronze.
Cas particulier du solide homogène : =cste .)( VSm .
2. Centre d’inertie
a. Définition
Le centre de gravité d’un solide est le point unique G, tel que : S
dmGM 0. .
b. Position
On a OMGOGM d’où 0...)( S SS
dmOMdmGOdmOMGO et finalement : S
S dmOMOGm .. .
Cette relation permet d’obtenir les coordonnées du centre de gravité G dans le repère ),,,( zyxOR .
On projette sur les axes du repère et on obtient :
SS
G
SS
G
SS
G
dmzm
z
dmym
y
dmxm
x
..1
..1
..1
c. Symétries
Si un solide S ou un système de solides possèdent un plan ou un axe de symétrie matériel alors le centre de gravité
G appartient à ce plan ou cet axe.
d. Systèmes de solides
Soit un système de i solides Si, i=1 à n, de centre de gravité Gi et de masse mi. Le centre de gravité G du système
de masse M est tel que :
n
i
ii OGmOGM1
.. et
n
i
imM1
.
Exemple :
Déterminer la position du centre de gravité d’un demi cylindre de rayon R et de hauteur h.
y
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Fig. 5
Deux plans de symétrie donc 0Gx et 0Gz .
R
S
G
Rddrr
Rdzddrrr
hRy
0 0
2
22 3
4.sin...
1.....sin..
..
1
; 3
4RyG .
3. Matrice d’inertie
La matrice d’inertie d’un solide caractérise la répartition géométrique de la matière autour d’un point du solide. La matrice d’inertie s’exprime en un point et dans une BOND quelconque.
a. Définition
Fig. 7
Soit un solide S et un point matériel de masse dm et ),,,( zyxOR un repère associé. La matrice d’inertie de S au point
O de l’espace est l’opérateur qui a tout vecteur u fait correspondre le vecteur :
u S
dmOMuOMuSOI ).().,(
b. Calcul
Calculons les termes de la matrice d’inertie : on pose
c
b
a
u dans ),,,( zyxOR .
byzaxzcycx
axycyzbzbx
cxzbxyazay
yaxb
xcza
zbyc
z
y
x
c
b
a
z
y
x
z
y
x
uOMOMOMuOM
..
..
..
22
22
22
En utilisant la notation matricielle, on remarque que ce terme peut s’écrire comme le produit de deux matrices :
c
b
a
yxyzxz
yzzxxy
xzxyzy
OMuOM .22
22
22
.En intégrant sur S on obtient finalement en simplifiant par u :
x
R
G
x
y
z
( )S
O
M
dm
u
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B
SSS
SSS
SSS
CDE
DBF
EFA
dmyxdmyzdmxz
dmyzdmzxdmxy
dmxzdmxydmzy
SOI
).(..
.).(.
..).(
),(
22
22
22
A, B, C sont appelés respectivement moments d’inertie par rapport aux axes ),( xO , ),( yO , ),( zO .
D, E, F sont appelés respectivement produits d’inertie par rapport aux plans ),,( zyO , ),,( zxO , ),,( yxO .
c. Propriétés
Repère principal d’inertie : La matrice d’inertie est différente en chaque point de S et est exprimée dans une BOND. C’est une matrice réelle 3x3 symétrique, elle est donc diagonalisable.
Il existe une BOND de vecteurs )',','( zyx dans laquelle, la matrice d’inertie en un point O est diagonale :
'00
00
00
),(
RC
B
A
SOI
)',',',(' zyxOR est appelé repère principal d’inertie ;
A, B et C sont appelés les moments principaux d’inertie de S en O.
Systèmes de solides :
Pour un système de Si solides on applique le théorème de superposition : i
iSOIOI ),(),( .
Toutes les matrices doivent être exprimées au même point et dans la même base.
d. Symétries
Fig. 8
Si le solide S admet le plan ),,( yxO comme plan de symétrie matérielle alors la matrice d’inertie est de la forme
suivante :
RsC
BF
FA
SOI
00
0
0
),(
y
z
( )S
O
M
x
( )1S
z
z
'M ( )2S
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En effet : 21
...SSS
dmyzdmyzdmyzD or z sur 2S z sur 1S donc 0..11
SS
dmyzdmyzD .
Idem pour E.
Propriétés :
Si z est la normale d’un plan de symétrie matérielle de S alors S
dmyzD . et S
dmxzE . sont nuls.
Pour une normale suivant x : E=F=0.
Pour une normale suivant y : D=F=0.
Cela implique que si deux des trois plans de références sont des plans de symétrie matérielle alors tous les
produits d’inertie sont nuls, la matrice d’inertie de S est alors diagonale :
RsC
B
A
SOI
00
00
00
),(
Si l’axe ),( zO est un axe de révolution matérielle pour S alors les produits d’inertie sont tous nuls et la matrice
d’inertie est de la forme suivante :
RsC
A
A
SOI
00
00
00
),(
Pour ),( xO axe de révolution ;
RsB
B
A
SOI
00
00
00
),(
Pour ),( yO axe de révolution ;
RsA
B
A
SOI
00
00
00
),(
avant de se lancer dans les calculs, il faut impérativement simplifier la matrice en observant les symétries du solide S.
e. Théorème de Huygens généralisé :
Il est parfois nécessaire de calculer la matrice d’inertie de S en un point quelconque A du solide S.
Le théorème de Huygens donne une relation entre ),( SAI et ),( SGI avec G centre de gravité de S !!
Par définition :
S S
dmGMAGuGMAGdmAMuAMuSAI ).()(.).,(
S S SS
dmGMuGMdmAGuGMdmGMuAGdmAGuAGuSAI ....).,(
S
dmGMuAG .
AGudmGMS
.
uSGI ).,(
Finalement : AGuAGmuSGIuSAI S ).,().,(
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Avec le calcul du 3.b, on obtient :
Théorème de Huygens généralisé :
Soit S un solide de masse Sm , de centre de gravité G. Soit A un point de ce solide. On note
G
G
G
z
y
x
AG dans le repère
),,,( zyxAR :
BsGGGGGG
GGGGGG
GGGGGG
S
yxzyzx
zyzxyx
zxyxzy
mSGISAI
22
22
22
..
..
..
.),(),(
2. CINETIQUE
Ce paragraphe a pour objet le calcul de la résultante dynamique et du moment dynamique d’un solide S en mouvement
par rapport au repère galiléen ),,,( zyxOR .
1. Torseur cinétique
a. Définition
Le torseur cinétique de S au point A dans son mouvement par rapport au repère galiléen ),,,( zyxOR est :
AS
SA
RMVAMRSA
dmRMVRSp
RSC
)/()/,(
)./()/(
)/(
)/( RSp est la résultante cinétique appelée couramment quantité de mouvement ;
)/,( RSA est le moment cinétique en A de S dans son mouvement par rapport à R.
b. Calcul
)/(...)/( RGVmdmOMdt
ddmOM
dt
dRSp S
S S
dmAMRSAMdmRAVAMdmRSMARAVAMRSAS SS
.)/(.)/(.)/()/()/,(
puis
)/(. RAVAGmS
)/().,( RSSAI
Le moment cinétique en A d’un solide S dans son mouvement par rapport au repère galiléen ),,,( zyxOR est :
)/(.)/().,()/,( RAVAGmRSSAIRSA S
Au centre de gravité G se S :
)/().,()/,( RSSGIRSG
En un point A fixe :
)/().,()/,( RSSAIRSA
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Pour calculer le moment cinétique en un point B quelconque, on applique la relation du changement de point du
moment d’un torseur classique :
)/(.)/,()/,( RGVBAmRSARSB S
Pour un ensemble de solides Si, le moment cinétique en A est la somme des moments cinétiques en A de
chaque solide :
)/,()/,( RSARA i
i
Au même point A !!!
3. Torseur dynamique
a. Résultante dynamique
Par définition la résultante dynamique d’un solide S dans son mouvement par rapport au repère galiléen
),,,( zyxOR est :
La résultante dynamique d’un solide S en mouvement est :
)/(.)/( RGmRSA S
Pour un ensemble de solides Si, la résultante dynamique est la somme des résultantes dynamiques de chaque
solide :
)/()/( RGmRA i
i
Si Attention en Gi !!!
b. Moment dynamique
Par définition, le moment dynamique en A d’un solide S dans son mouvement par rapport au repère galiléen
),,,( zyxOR est : dmRMAMRSAS
.)/()/,(' .
Or le moment cinétique en A vaut dmRMVAMRSAS
.)/()/,( . En dérivant par rapport au temps et en
appliquant la conservation de la masse, on obtient :
SSS
dmRMVdt
dAMdmRMVAM
dt
ddmRMVAM
dt
dRSA
dt
d)]./([)./(][.)]/([)/,(
)/,( RSA
Or S S
S
S
RGVRAVmdmRMVOMdt
ddmRMVOA
dt
ddmRMVAM
dt
d)/()/(.)./(][)./(][)./(][
Finalement, le moment dynamique en A d’un solide S dans son mouvement par rapport au repère galiléen
),,,( zyxOR est :
)/()/(.)]/,([)/,(' RGVRAVmRSAdt
dRSA S
Au centre de gravité G se S :
)]/,([)/,(' RSGdt
dRSG
En point fixe A :
)]/,([)/,(' RSAdt
dRSA
)/(....)/()/(2
2
2
2
RGmdmOMdt
ddmOM
dt
ddmRMRA
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Pour calculer le moment dynamique en un point B quelconque, on applique la relation du changement de point du
moment d’un torseur :
)/(.)/,()/,( RGBAmRSARSB S
Pour un ensemble de solides Si, le moment dynamique en A est la somme des moments dynamiques en A de
chaque solide :
)/,()/,( RSARA i
i
Au même point A !!!
Exemple traité : Régulateur centrifuge
Figures angulaires planes :
Données :
0
1
2
0y
0z
0x
0O
2O
2G
1y
1y
2y
21
A 'A
3
4 2’
5
1G
x0
x1
y1
10 21
z0=z1
y0 z1
z2
y1
x1=x2
y2
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)2,2,2(22
22
2
2
0
0
00
)2,(
zyxCD
DB
A
SGI
101010 ),(),( yyxx 212121 ),(),( zzyy
0110 .zlGO ; 110120 .. yLzdOO ; 2222 .ylGO
Hypothèses :
1 =cste ; 2
=cste
Isolons la masselotte 2. Nous cherchons à calculer le torseur dynamique en O2 de 2 par rapport au repère galiléen
R0.
Torseur cinématique de 2/0 en O2:
( )
( ))0,,(10
0
00/1
0
00
00
0/1
0/1
z
OOV
V
; ( )
( )),,1(
21
2
21/2
00
00
0
1/2
1/2
x
OOV
V
( )
( )( ) ( )
( ) ( )
0/11/2
0/11/2
0/2
0/2
222
0/2OVOVOV
V ;
( ) ( ) ( ) ( ) 110111011110202 .....0/10/10/1 xLzyLzdOOOVOV .
( )( )
110
10121
2
0/2
0
00
.
0/2
0/2
B
L
OVV
Torseur cinétique de 2/0 en G2 :
Par définition : ( )
( )
0/2
0/2.
2
2220/2
G
GVmC
G
.
( ) ( ) ( ) ( )1102212211012222 .....0/20/20/2 zxylxLOGOVGV
( ) 221102221221012 .cos......0/2 xlzlxLGV .
Calcul du moment cinétique : ( ) ( ) ( )0/2.2,0/2 22 GIG
( ) ( )
( )2
101010
101010
21
1010
1010
21
2
2
cos.sin..
cos.sin..
.
cos.
sin..
0
0
00
0/2
BBCD
DB
A
CD
DB
A
G
.
( )
( )( )
22121102122
212110
211021212
20/2
.....
...0
..cos..
B
G
cCsDlm
cDsB
AlLm
C
Torseur dynamique en O2 :
Par définition : ( )
( )
0/2
0/2.
2
22
20/2O
GmD
O
.
( ) ( ) ( )0/2,.0/2,0/2, 222222 GGOmGO
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Cherchons la composante du moment dynamique sur l’axe ( )22 , xO :
( ) ( )( ) 2222 .0/2,.0/2, xGdt
dxG
Astuce 1 : ( ) ( ) ( ) ( )dt
xdA
dt
dx
dt
dx
dt
dx
dt
d 221222 .....
0
( ) ( )2102101011022 .sin.cos..0/2 zyyx
dt
xd
Finalement : ( ) 21102122 sin.... lxdt
d
( ) ( ) ( )( )101010101010102
22 sin...cos.....0/2, sDcCcDsBxG
( )
101010
2
22 .2cos..2sin.2
..0/2, DCB
xG
Astuce 2 : Il reste à calculer ( ) ( )0/2..0/2 22222222 GGOxxGGO
( ) ( ) ..0/2,...0/2, 2222222222 zlGylxxGGO
( ) ( ) ( )dt
zdVzV
dt
dzV
dt
dzG
R
222022 ....0/2
0
( ) 2101022122 .sin..0/2 xyz
dt
zd
( ) ( ) 102
10212122 .sin.cos..0/2 lLzG
Finalement :
( ) ( )
102121101010
2
22 sincos..2cos..2sin.2
..0/2, lLDCB
xO .
Application du Principe Fondamental de la Dynamique :
Isolons la masselotte 2, faisons le BAME :
( )
,,12121
2121
21
2
21
0
xONZ
MY
X
T ;
( )0,0,022
2
0.
00
00
zyxG
pes
gm
T
;
( )1,,162
62
2
26
0
00
0
zxOZ
L
T
Ecrivons le théorème du moment dynamique en O2 en projection sur 2x :
( ) ( ) 2222 .2,.0/2, xextOMxO
( ) ( ) ( ) 2122202222022222 cos...........2, lgmxzgmylxzgmGOxpesOM
L’équation de mouvement obtenue est :
( ) 6221221021211010102 cos...sincos..2cos..2sin.
2. LlgmlLD
CB
Cette équation permet d’obtenir l’inclinaison 21 de la masselotte 2 en fonction de 10 et de l’effort du ressort.
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ANNEXE I – REGULATEUR CENTRIFUGE
Figures angulaires planes :
Données :
)2,2,2(22
22
2
2
0
0
00
)2,(
zyxCD
DB
A
SGI
101010 ),(),( yyxx 212121 ),(),( zzyy
0110 .zlGO
110120 .. yLzdOO
2222 .ylGO
Hypothèses :
1 =cste ; 2
=cste
x0
x1
y1
10 21
z0=z1
y0 z1
z2
y1
x1=x2
y2
0
1
2
0y
0z
0x
0O
2O
2G
1y
1y
2y
21
A 'A
3
4 2’
5
1G
