IAE Plaques - Mines ParisTechmms2.ensmp.fr/mms_paris/plaque/transparents/plaques-2010.pdf · Introduction : solides et structures minces Introduction : solides et structures minces

IAE Plaques

Saber EL AREM

Centre des MatériauxEcole des Mines de Paris/CNRS

Plan

Introduction : solides et structures minces

Introduction : définition d’une plaque

Efforts extérieurs et résultants

Plaques élastiques linéaires isotropes

Equations d’équilibre

Cinématique : Hypothèse des sections planes

Relations efforts résultants-déformations

Conditions aux limites

Excercices

Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Plaques 22 mai 2006 2 / 41

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Excercices



Les solides minces sont des solides tridimensionnels ayant descaractéristiques particulières au niveau géométrique, cinématique etmécanique.Un solide 3D est un objet massif dont les trois dimensions sont dumême ordre de grandeur. Les structures minces ou corps orientés ontau moins une dimension, appelée épaisseur, petite par rapport auxautres dimensions. On distingue :

plaque : solide défini par une surface plane et une épaisseur h ;

coque : solide défini par une surface courbe et une épaisseur hfaible devant longueur, largeur et rayon de courbure ;

poutre droite : solide défini par une ligne droite et par unesection ;

arc ou poutre courbe : solide défini par une ligne courbe et parune section.




Les structures minces de type poutre, arc, plaque et coque sonttrès répandues dans le milieu naturel (feuilles d’arbres,mollusques, cellules vivantes, etc.) et dans les réalisationshumaines les plus diverses (charpentes, voûtes, réservoirs,caissons, tabliers de ponts, carrosseries automobiles, coques debateaux, ailes d’avions, etc.).

L’analyse du comportement et la conception des ces structures sontdes activités importantes sur les plans techniques et économiques.

Une enquête récente auprès d’utilisateurs d’un grand code decalcul de structures a révélé que 75% des modélisationsimpliquaient des éléments finis de type coque.



Introduction : solides et structures mincesSuivant l’ordre de grandeur de l’épaisseur h par rapport aux autresdimensions, on introduit parfois l’adjectif mince ou épais. Cettequalification n’implique pas seulement une caractéristiquegéométrique mais sous-entend également un rôle particulier desdéformations dites de cisaillement transversal.La géométrie d’une structure mince favorise le choix d’unecinématique particulière par rapport à la cinématique générale d’unsolide.Les théories linéaires souvent adoptées pour les poutres, lesplaques et coques sont des théorie dites du premier ordre où lechamps de déplacement varie linéairement en x3, sans variationd’épaisseur, en incluant l’influence des déformations decisaillement transversal. Ces théories sont basées sur l’hypothèsedes section droites. Elles sont généralement associée au nom deTimoshenko pour les poutres et à ceux de Reissner et Mindlinpour les plaques.


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Définition d’une plaque

Une plaque est un solide défini par une surface deréférence plane (x1x2) et une épaisseur, petite parrapport aux autres dimensions (longueur et largeur).

X1

X2

X3

B

CD

A

h

ABCD : plan moyen. C’est également le plan neutresi les propriétés matérielles sont symétriques parrapport au plan (x1x2).h : épaisseur de la plaque


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Excercices


Définitions des efforts extérieurs

Dans la suite on désigne par :

Sf : la partie du contour de la plaque où des efforts sont imposés

Su : la partie du contour de la plaque où des déplacements (et rotations)sont imposés

fν1, fν1 et fν1 : les forces par unité de volume suivant x1, x1 et x3

f1, f2, f3, m1 et m2 : les forces par unité de surface, avec :

f1(x1,x2) =Z h

2

− h2

fν1dx3 f2(x1,x2) =Z h

2

− h2

fν2dx3 f3(x1,x2) =Z h

2

− h2

fν3dx3

m1(x1,x2) =Z h

2

− h2

x3fν1dx3 m2(x1,x2) =−Z h

2

− h2

x3fν2dx3

Sur Sf agissent les efforts ms et fs par unité de longueur.



Définitions des efforts résultants

On désigne par

N1, N2, N3 : les efforts résultants de membrane (en N/m) :

N1 =Z h

2

− h2

σ11dx3 N2 =Z h

2

− h2

σ22dx3 N12 =Z h

2

− h2

σ12dx3

M1, M2, M12 : les efforts résultants de flexion ou moments (en Nm/m) :

M1 =Z h

2

− h2

x3σ11dx3 M2 =−Z h

2

− h2

x3σ22dx3 M12 =Z h

2

− h2

x3σ12dx3

T1, T2 : les efforts résultants de cisaillement ou efforts tranchants (en N/m) :

T1 =Z h

2

− h2

σ13dx3 T2 =Z h

2

− h2

σ23dx3

On remarque que les moments M1, M2, M12 sont associés aux contraintes σ11,σ22, σ12, ainsi M1 ne représente pas un moment autour de x1.


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Grâce aux hypothèses simplificatrices :

Pas de variation d’épaisseur de la plaque : ε3 = 0.

La contrainte σ33 est négligeable par rapport aux autres composantes dutenseur des contraintes.

La loi de Hooke peut être exprimée par :

σ11 =E

1−ν2 (ε11 +νε22)

σ22 =E

1−ν2 (ε22 +νε11)

σ12 =E

1+νε12

E module d’Young et ν coefficient de Poisson.


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Excercices


Equations d’équilibre d’une plaque

Les équations d’équilibre en un point de coordonnées x1, x2, x3 s’écrivent :

σ11,1 +σ12,2 +σ13,3 + fν1 = 0 (A1)

σ12,1 +σ22,2 +σ23,3 + fν2 = 0 (A2)

σ31,1 +σ32,2 +σ33,3 + fν3 = 0 (A3)

L’équilibre global sur l’épaisseur de la plaque s’écrit :

Z h2

− h2

{équations(A)}dx3 = 0

SoitN1,1 +N12,2 + f1 = 0

N12,1 +N2,1 + f2 = 0

T1,1 +T2,2 + f3 = 0



Equations d’équilibre d’une plaque

Les équations d’équilibre en un point de coordonnées x1, x2, x3 s’écrivent :

σ11,1 +σ12,2 +σ13,3 + fν1 = 0 (A1)

σ21,1 +σ22,2 +σ23,3 + fν2 = 0 (A2)

σ31,1 +σ32,2 +σ33,3 + fν3 = 0 (A3)

L’équilibre des moments par rapport aux axes x1 et x2 s’écrit :

Z h2

− h2

x3{équations(A1etA2)}dx3 = 0

et conduit, en considérant σ13 = σ23 = 0 pour x3 =± h2 à :

M1,1 +M12,2 −T1 +m1 = 0

M12,1 −M2,2 −T2 −m2 = 0



Equations d’équilibre d’une plaque : récaputilatif


N1,1 +N12,2 + f1 = 0

N12,1 +N2,1 + f2 = 0

T1,1 +T2,2 + f3 = 0


M1,1 +M12,2 −T1 +m1 = 0

M12,1 −M2,2 −T2 −m2 = 0

En combinant ces équations, on obtient :

M1,11 +2M12,12 −M2,22 + f3 +m1,1 −m2,2 = 0


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Cinématique d’une plaque de Reissner-Mindlin

Les points matériels situés sur une normale à la surfacemoyenne non déformée restent sur une droite dans laconfiguration déformée. Les déplacements U et V (suivant x1 etx2) d’un point quelconque (x1,x2,x3) varient linéairement en x3et le déplacement transversal W (suivant x3) n’est fonction quede x1 et x2. Cette hypothèse permet de prendre en comptel’influence des déformations de CT.

L’hypothèse d’une déformation transversale nulle : ε3 = 0.

L’hypothèse des contraintes plane : σ3 est négligeable devantles autres contraintes.



Cinématique d’une plaquede Reissner-Mindlin

Plaque définie dans le plan (x1–x2) ; normale à la plaque x3, épaisseur h.

Déplacement défini par 3 translations, U, V , W , et deux angles, θ1 et θ2, qui sontfonctions de x1–x2 uniquement.

1θ

2θ

1x

2x

3x

u1(x1,x2,x3) = U +θ2x3

u2(x1,x2,x3) = V −θ1x3

u3(x1,x2,x3) = W

ε11 = U,1 +θ2,1x3

ε22 = V,2 −θ1,2x3

ε33 = 0

2ε12 = U,2 +θ2,2x3 +V,1 −θ1,1x3

2ε23 =−θ1 +W,2

2ε31 = θ2 +W,1


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Lois de comportement

Considérons l’exemple de l’effort N1. Nous avons

N1 =Z h

2

− h2

σ11dx3

or

σ11 =E

1−ν2 (ε11 +νε22)

Ainsi

N1 =E

1−ν2

Z h2

− h2

(U,1 +θ2,1x3 +ν(V,2 −θ1,2x3))dx3

La plaque étant symétrique par rapport au plan moyen (x1x2), on obtient :

N1 =Eh

1−ν2 (U,1 +νV,2)



Lois de comportement

Considérons maintenant l’exemple du moment M1. Nous avons

M1 =Z h

2

− h2

x3σ11dx3

or

σ11 =E

1−ν2 (ε11 +νε22)

Ainsi

M1 =E

1−ν2

Z h2

− h2

x3(U,1 +θ2,1x3 +ν(V,2 −θ1,2x3))dx3

La plaque étant symétrique par rapport au plan moyen (x1x2), on obtient :

M1 = D(θ2,1 −νθ1,2)

Avec D =Eh3

12(1−ν2): Rigidité à la flexion de la plaque.



Remarque concernant la rigidité à la flexion

Si l’on avait considéré une bande isolée de largeur unitaire (selonx2), et appliqué à cette bande la formule classique de la flexion despoutres, on aurait trouvé :

M1 = EIθ2,1 =Eh3

12θ2,1

En comparant les deux résultats, on constate que la plaque estplus rigide que ne l’indique la théorie des poutres ; cetteaugmentation de rigidité 1

1−ν2 vaut, dans le cas de l’acier,1

0.91 = 1.10 ; elle est due au fait que, dans une plaque, la dilatationtransversale ε2 peut s’effectuer librement tandis que dans le casd’une plaque, elle est empêchée par suite de la continuité dans lesens des x2. Il naît de ce fait des contraintes σ2.



Lois de comportementEn suivant la même démarche, on obtient :

N1 =Eh

1−ν2 (U,1 +νV,2)

N2 =Eh

1−ν2 (νU,1 +V,2)

N12 =Eh

1−ν2 (U,1 +V,2)

M1 = D(θ2,1 −νθ1,2)

M2 = D(νθ2,1 −θ1,2)

M12 =D2

(1−ν)(θ2,2 −θ1,1)

T1 = kGh(W,1 +θ2)

T2 = kGh(W,2 −θ1)

Avec G = E2(1+ν) et k = 5

6 : facteur de correction de CT.



Cinématique d’une plaque de Kirchhoff : conservation desnormales

La théorie de kirchhoff peut être interprétée comme un casparticulier de la théorie de Reissner-Mindlin.

Les points matériels situés sur une normale à la surfacemoyenne non déformée restent sur une normale dans laconfiguration déformée. Cette hypothèse néglige l’influencedes déformations de CT. On admet ainsi que la rigidité decisaillement est très grande par rapport à la rigidité de flexion.

Ainsi : ε13 = ε23 = 0 ou θ1 = W,2 et θ2 =−W,1



Equations d’équilibre d’une plaque de Kirchhoff


N1,1 +N12,2 + f1 = 0

N12,1 +N2,1 + f2 = 0

T1,1 +T2,2 + f3 = 0


M1,1 +M12,2 −T1 +m1 = 0

M12,1 −M2,2 −T2 −m2 = 0

En combinant ces équations, on obtient :

M1,11 +2M12,12 −M2,22 + f3 +m1,1 −m2,2 = 0



Lois de comportement pour une plaque de KirchhoffLes lois de comportement deviennet :

N1 =Eh

1−ν2 (U,1 +νV,2)

N2 =Eh

1−ν2 (νU,1 +V,2)

N12 =Eh

1−ν2 (U,1 +V,2)

M1 =−D(W,11 +νW,22)

M2 =−D(νW,11 +W,22)

M12 =−D(1−ν)W,12

En remplaçant dans M1,11 +2M12,12 −M2,22 + f3 +m1,1 −m2,2 = 0 on obtientl’équation de Lagrange :

W,1111 +2W,1122 +W,2222 =f3D


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Moments de flexion et de torsion dans une sectionquelconque

Pour trouver le moment de flexion M(θ) et le couple de torsion C(θ) supportéspar unité de longueur d’une section de la plaque dont la normale fait l’angle θ

avec Ox1, il suffit d”écrire l’équilibre des moments appliqués à un élémenttriangulaire ABC (BC = ds, AB = ds sinθ, AC = ds cosθ). Nous obtenons :

M(θ) = M2 sin2θ−2M12 sinθcosθ−M1 cos2

θ

C(θ) =−(M1 +M2)sinθcosθ−M12(sin2θ− cos2

θ)

T (θ) = T1 cosθ+T2 sinθ

Ainsi :

C(0) = M12 =−C(π

2) = C(π) =−C(

3π

2)




Les conditions aux limites sur le contour d’une plaque le plus souventrencontrées sont :

Bord encastré :

W = 0∂W∂n

= 0

Bord simplement appuyé :

W = 0 M(θ) = 0

Bord libre :R(θ) = 0 M(θ) = 0

n étant la normale intérieure au contour au point considéré faisant un angle θ

avec l’axe x1.

∂W∂n

=∂W∂x1

cosθ+∂W∂x2

sinθ




La densité de réaction d’appui R(θ), composée positivement selon x3, sedécompose en une densité de réaction T (θ) due à l’effort tranchant et unedensité de réaction d’appui due au moment de torsion. Soit s l’abscissecurviligne du contour de la plaque compté positivement dans le senstrigonométrique. Le couple de torsion C(θ)ds appliqué à un élément PP ′ = ds ducontour est équivalent à une réaction C(θ) en P et une réaction −C(θ) en P ′.la densité de réaction R(θ) est donc donnée par la formule de Kirchhoff :

R(θ) = T (θ)+∂C(θ)

∂s

Le raisonnement précédent montre qu’en un point anguleux Q du contour ilexiste une réaction concentrée RQ :

RQ = C(θ2)−C(θ1)




Q

i1i2

X1

X2

i

j

R(θ) = T (θ)+∂C(θ)

∂s

RQ = C(θ2)−C(θ1)



Conditions aux limites : exemple

X1

X2

i

j A B

CD

Donner les valeurs de M(θ) et R(θ) en tout point du contour.

Le long de AD(θ = 0)

∂W∂n

=∂W∂x1

M(θ) =−M1 R(θ) = T1 −∂M12

∂x2

Le long de AB(θ = π

2 )

∂W∂n

=∂W∂x2

M(θ) = M2 R(θ) = T2 +∂M12

∂x1

et on vérifie que RA = C(π/2)−C(0) =−2M12


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Excercices

Plaque rectangulaire simplement appuyée soumise àune charge sinusoidaleSoit une plaque rectangulaire de côtés a et b selon x1 et x2 respectivement. Elleest soumise à une charge répartie q = q0 sin πx1

a sin πx2b . q0 représente l’intensié de

la charge au centre de la plaque.Ecrire la flèche W .La flèche de la plaque vérifie l’équation

W,1111 +2W,1122 +W,2222 =qD

(1)

Ecrire les conditions aux limites pour des bords simplement appuyés.Dans ce cadres, les conditions aux limites s’écrivent :

W = 0 M1 = 0 pour x1 = 0 et x1 = a

W = 0 M2 = 0 pour x2 = 0 et x2 = b

or (lois de comportement des plaques de Kirchhoff)

M1 =−D(W,11 +νW,22) M2 =−D(νW,11 +W,22)


Excercices

SuiteAinsi

W = 0 W,11 = 0 pour x1 = 0 et x1 = a

W = 0 W,22 = 0 pour x2 = 0 et x2 = b

Forme générale de la solution.On constate que toutes les conditions aux limites sont satisfaites si l’onexprime les flèches par :

W = C sinπx1

asin

πx2

b(2)

Déterminer la constante C.En remplaçant (2) dans (1), on obtient : π4( 1

a2 + 1b2 )2C = q0

DEcrire l’équation de la surface fléchie :On conclut que la surface fléchie, satisfaisant à (1) et aux conditions auxlimites est :

W =q0

π4D( 1a2 + 1

b2 )2sin

πx1

asin

πx2

b(3)


Excercices

SuiteDéduire les expressions des moments M1, M2 et M12.A l’aide de l’expression de la flèche (3) on trouve :

M1 =−D(W,11 +νW,22) =q0

π2( 1a2 + 1

b2 )2(

1a2 +

ν

b2 )sinπx1

asin

πx2

b

M2 =−D(νW,11 +W,22) =q0

π2( 1a2 + 1

b2 )2(

ν

a2 +1b2 )sin

πx1

asin

πx2

b

M12 =−D(1−ν)W,12 =− q0(1−ν)π2( 1

a2 + 1b2 )2ab

cosπx1

acos

πx2

b

Déduire la flèche maximum et les moments de flexion maximum.On voit que la flèche et les moments maxi se situent au centre de la plaque.Remplaçons x1 par a

2 et x2 par b2 , on trouve :

Wmax =q0

π4D( 1a2 + 1

b2 )2(M1)max =

q0

π2( 1a2 + 1

b2 )2(

1a2 +

ν

b2 )

(M2)max =q0

π2( 1a2 + 1

b2 )2(

ν

a2 +1b2 )


Excercices

Suite

Déduire ces valeurs pour le cas d’une plaque carrée.Dans le cas d’une plaque carrée, a = b, on obtient :

Wmax =q0a4

4π4Dq0

π2( 1a2 + 1

b2 )2(

1a2 +

ν

b2 )

(M1)max = (M2)max =q0(1+ν)a2

4π2

Calculer les efforts tranchants.Les efforts tranchant sont donnés par les équations d’équilibre :

T1 = M1,1 +M12,2 =q0

πa( 1a2 + 1

b2 )cos

πx1

asin

πx2

b

T2 = M12,1 −M2,2 =− q0

πb( 1a2 + 1

b2 )sin

πx1

acos

πx2

b


Excercices

SuiteDonner les réactions aux bords appuyés de la plaque.Pour le bord x1 = a :

R1 = (T1 +M12,2)x1=a =− q0

πa( 1a2 + 1

b2 )2(

1a2 +

2−ν

b2 )sinπx2

b(h)

Pour le bord x2 = b :

R2 = (T2 +M12,1)x2=b =− q0

πb( 1a2 + 1

b2 )2(

1b2 +

2−ν

a2 )sinπx1

a(i)

Ainsi, la répartition de la pression suit une loi sinusoidale, le signe moinsindiquant que les réactions sur la plaque agissent vers le haut. Par symétrie,on conclut que les expressions (h) et (i) représentent aussi les distributionsde pression le long des côtés x1 = 0 et x2 = 0. La résultante des pressionsest :

2Z b

0(h)dx2 +2

Z b

0(i)dx1 =−4q0ab

π2 − 8q0(1−ν)π2ab( 1

a2 + 1b2 )2


Excercices

SuiteComparer à la charge totale appliquée .On remarquant que

4q0abπ2 =

Z a

0

Z b

0q0 sin

πx1

asin

πx2

bdx1dx2

on conclut que la somme des réactions réparties est plus grande que lacharge totale appliquée sur la plaque.Déduire les réactions concentrées aux coins.Ces quatres réactions sont équivalentes (symétrie) et leur valeur est :

R =2q0(1−ν)

π2ab( 1a2 + 1

b2 )2=−2(M12)x1=a,x2=b

R R

R

a

b

x1

x2


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