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5ième année – 2ième partie : Trigonométrie – page 1
2ième partie : TRIGONOMETRIE
TABLE DES MATIÈRES
3e partie : TRIGONOMETRIE ...................................................................................................1
TABLE DES MATIÈRES ...............................................................................................................1
1. Formules d’addition ........................................................................................................................... 3
2. Formules du double d’un angle......................................................................................................... 6
3. Formules en tg2αααα
............................................................................................................................... 6
4. Formules de Simpson ......................................................................................................................... 7
5. Équations trigonométriques .............................................................................................................. 9
A. Équations trigonométriques du type sinax r==== ........................................................................................... 9
B. Équations du type =sin sinα βα βα βα β ................................................................................................................ 19
C. Équations du type + + =cos sin 0a x b x c .............................................................................................. 23
6. Inéquations trigonométriques ......................................................................................................... 25
5ième année – 2ième partie : Trigonométrie – page 2
5ième année – 2ième partie : Trigonométrie – page 3
1. FORMULES D’ADDITION
A. Introduction
cos (30° + 60°) = cos 90° = 0
cos 30° + cos 60° = 2
13
2
1
2
3 +=+
Remarquons que :
cos (30° + 60°) ≠ cos 30° + cos 60°
B. Considérons, sur le cercle trigonométrique, deux points A et B.
Au point A correspond un angle α et au point B un angle β (compris entre 0 et 2π).
Les coordonnées de A sont (cos α, sin α) et celles de B (cos β, sin β).
Calculons de deux manières le produit scalaire OBOA . :
1. Au moyen des composantes des vecteurs :
OBOA . = cos α cos β + sin α sin β (1)
2. Par la définition qui fait intervenir le cosinus de l’angle compris entre les vecteurs :
OBOAOBOA =. cos (α – β)
Or
1== OBOA
D’où :
OBOA . = cos (α – β) (2)
En égalant les seconds membres des égalités (1) et (2), on obtient :
cos (αααα – ββββ) = cos αααα cos ββββ + sin αααα sin ββββ (3)
5ième année – 2ième partie : Trigonométrie – page 4
Autre démonstration : Calculons de deux manières la longueur du segment [AB] : a. Par la formule de la distance entre deux points, on obtient
|AB|2 = (cos α – cos β)2 + (sin α – sin β)2 (1)
b. Par le théorème de Pythagore généralisé appliqué au triangle quelconque AOB, on a :
|AB|2 = |OA|2 + |OB|2 – 2 |OA| |OB| cos (α – β)
Or
1OA OB= =
d’où :
|AB|2 = 1 + 1 – 2 cos (α – β)
|AB|2 = 2 – 2 cos (α – β) (2)
En égalant les seconds membres des égalités (1) et (2), on obtient :
2 – 2 cos (α – β) = (cos α – cos β)2 + (sin α – sin β)2
2 – 2 cos (α – β) = cos2 α – 2 cos α cos β + cos2 β + sin2 α – 2 sin α sin β + sin2 β
2 – 2 cos (α – β) = cos2 α + sin2 α + cos2 β + sin2 β – 2 cos α cos β – 2 sin α sin β
2 – 2 cos (α – β) = 2 – 2 cos α cos β – 2 sin α sin β
– 2 cos (α – β) = – 2 cos α cos β – 2 sin α sin β
et
cos (αααα – ββββ) = cos αααα cos ββββ + sin αααα sin ββββ (3)
C. Dans l’égalité (3), remplaçons β par –β, il vient :
cos (α – (–β)) = cos α cos (–β) + sin α sin (–β)
cos (α + β) = cos α cos β + sin α (– sin β)
cos (αααα + ββββ) = cos αααα cos ββββ – sin αααα sin ββββ (4)
5ième année – 2ième partie : Trigonométrie – page 5
D. Du fait que
+−=+ )( βαπβα2
cos)sin( , on a successivement
sin (α + β) = cos
+− )( βαπ2
sin (α + β) = cos
−
− βαπ2
sin (α + β) = cos
− απ2
cos β + sin
− απ2
sin β
sin (αααα + ββββ) = sin αααα cos ββββ + cos αααα sin ββββ (5)
E. Dans l’égalité (5), remplaçons β par –β, il vient :
sin (α + (–β)) = sin α cos (–β) + cos α sin (–β)
sin (α – β) = sin α cos β + cos α (– sin β)
sin (αααα – ββββ) = sin αααα cos ββββ – cos αααα sin ββββ (6)
F. En supposant α, β et α + β ≠ 2
kπ + π ( k ∈ Z ), on tire des formules (4) et (5) :
tg (α + β) = sin cos cos sinsincos cos cos sin sin
( )( )
α β α βα β α βα β α βα β α βα βα βα βα βα β α β α βα β α β α βα β α β α βα β α β α β
++ =+ −
En divisant le numérateur et le dénominateur par cos cosα β , on obtient successivement :
tg (α + β)
α β + α βα β= α β − α βα β
α + β=
− α β
sin cos cos sincos cos
cos cos sin sincos cos
tg tgtg tg1
Donc
tg (αααα + ββββ) = tg tgtg tg
α βα βα βα βα βα βα βα β
+−1
(7)
G. En supposant α, β et α – β ≠ π+πk
2 ( k ∈ Z ) et en remplaçant dans l’égalité (7), β par -β, il
vient :
1
1
α − β = α + −βα + −β=
− α −βα − β=
+ α β
tg( ) tg( ( ))tg tg( )tg .tg( )
tg tgtg .tg
et donc
tg (αααα – ββββ) = tg tg
tg .tgα − βα − βα − βα − β
+ α β+ α β+ α β+ α β1 (8)
5ième année – 2ième partie : Trigonométrie – page 6
2. FORMULES DU DOUBLE D’UN ANGLE
En tenant compte que 2α = α + α et en appliquant les formules précédentes, on obtient :
2cos cos² sin²α α αα α αα α αα α α= − qui entraîne :
cos 2α = 2 cos2 α – 1 et cos 2α = 1 – 2 sin2 α
sin sin cos2 2α α αα α αα α αα α α=
Pour α différent de 24
π+πk et de π+π
k2
( k ∈ Z ) , on a :
tgtg2tg
αααααααααααα
=− 2
21
3. FORMULES EN tg2αααα
Partant des formules du paragraphe 2, nous trouvons pour α ≠ π+πk
2 ( k ∈ Z )
2 2
2 sin cossin 2
cos sin
α αα =α + α
=
ααα
ααα
2
22
2
cos
sincoscos
cossin2
+
= 2
2 tg
1 tg
α+ α
Remplaçons α par 2
α , il vient
αααα
αααα αααα++++ 2
22
12
tgsin =
tg (α ≠ π + 2kπ)
5ième année – 2ième partie : Trigonométrie – page 7
Partant des formules du paragraphe 2, nous trouvons pour 2
kπα ≠ + π ( k ∈ Z ) :
cos 2α = αααα
22
22
sincos
sincos
+−
=
ααα
ααα
2
22
2
22
cos
sincoscos
sincos
+
−
= tg
tg
αα
2
2
1
1
+−
Remplaçons α par 2
α , il vient :
2
2
1 tg2cos
1 tg2
αααα−−−−α =α =α =α =
αααα++++ α ≠ π + 2kπ ( k ∈ Z )
En remplaçant α par 2
α dans la dernière formule du paragraphe 2, on trouve pour α ≠ π + 2kπ
et α ≠ π+πk
2 ( k ∈ Z ) :
2
2tg2tg
1 tg2
αααα
α =α =α =α =αααα−−−−
4. FORMULES DE SIMPSON
Reprenons les formules d’addition : sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
Additionnons et soustrayons successivement membre à membre les deux premières, on obtient :
sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β (1) sin (α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β (2)
De même, pour les deux dernières, il vient :
cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β (3) cos (α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β (4)
5ième année – 2ième partie : Trigonométrie – page 8
Posons
=−=+
q
p
βαβα
nous avons
−=−=
+=+=
22
22
qpetqp
qpetqp
ββ
αα,
et les égalités (1), (2), (3) et (4) s’écrivent :
sin sin 2sin cos2 2
sin sin 2cos sin2 2
cos cos 2cos cos2 2
cos cos 2sin sin2 2
p q p qp q
p q p qp q
p q p qp q
p q p qp q
+ −+ −+ −+ −+ =+ =+ =+ =
+ −+ −+ −+ −− =− =− =− =
+ −+ −+ −+ −+ =+ =+ =+ =
+ −+ −+ −+ −− = −− = −− = −− = −
L’intérêt de ces formules est de transformer en produit une somme ou une différence de nombres trigonométriques.
Remarque1
Avec les restrictions d’usage, il est facile de démontrer en outre que :
( )qp
qpqp
coscos
sintgtg
+=+
et
( )qp
qpqp
coscos
sintgtg
−=−
1 Hors-programme.
5ième année – 2ième partie : Trigonométrie – page 9
5. ÉQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES
A. Équations trigonométriques du type sinax r==== Notes
� Dans ce chapitre, k représente toujours un nombre entier. � Nous exprimerons les arcs en radians. � Les points-images des arcs seront désignés sur les figures par des lettres grecques. � La représentation des solutions sur la droite graduée sera limitée à l'intervalle [ ]0,2π .
Exemple 1
Résoudre l’équation 2
3sin =x et représenter les solutions
sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée.
23
x k= +π π
et en tenant compte du fait que deux angles supplémentaires ont le même sinus, on a aussi
2
2 23 3
x k k= − + = +π ππ π π
Les solutions principales2 sont donc
3= πα 2
3= πβ
Illustration graphique
2 Les solutions principales sont celles comprises entre 0 et 2π .
x
y
−0,5π 0 0,5π π 1,5π 2π 2,5π 3π 3,5π 4π
-4
-2
0
2
4
5ième année – 2ième partie : Trigonométrie – page 10
Exemple 2
Résoudre l’équation 2
2cos −=x et représenter les solutions
sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée. 3
24
x kπ= + π
et en tenant compte du fait que deux angles opposés ont le même cosinus, on a aussi
32
4x k
π= − + π
Les solutions principales sont donc
32
4x k
π= + π 3
24
x kπ= − + π
0=k 3
4
πα =
1=k 5
4
πβ =
Illustration graphique
5ième année – 2ième partie : Trigonométrie – page 11
Exemple 3 Résoudre l’équation tg 0,5x = et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée.
0,464x k= + π
Les solutions principales sont donc
0k = 0,464...α = 1k = 3,605...β =
Illustration graphique
x
y
−1,25π −π −0,75π −0,5π −0,25π 0 0,25π 0,5π 0,75π π 1,25π
-1
0
1
2
5ième année – 2ième partie : Trigonométrie – page 12
Exemple 4 Résoudre l’équation cot g 2x = − et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée.
0,464x k= − + π Les solutions principales sont donc
1k = 2,677...α = 2k = 5,819...β =
Illustration graphique
5ième année – 2ième partie : Trigonométrie – page 13
Exemple 5 Résoudre l’équation 2sin =x et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée. Il est clair que cette équation n’admet pas de solution puisque le sinus d’un angle est toujours compris entre –1 et 1.
Exemple 6
Résoudre l’équation 1
sin 22
x = et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et
sur la droite graduée.
2 26
x kπ= + π
ce qui entraîne
12x k
π= + π
En tenant compte du fait que deux angles supplémentaires ont le même sinus, on a aussi
52 2
6x k
π= + π
ce qui entraîne 5
12x k
π= + π
Les solutions principales sont
12
x kπ= + π 5
12x k
π= + π
0k ==== 12
πα ==== 5
12
πγ ====
1k ==== 13
12 12
π πβ π= + == + == + == + = 5 17
12 12
π πδ π= + == + == + == + =
5ième année – 2ième partie : Trigonométrie – page 14
Exemple 7
Résoudre l’équation 1
cos 22
x = et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et
sur la droite graduée.
2 23
x kπ= + π
ce qui entraîne
6x k
π= + π
En tenant compte que deux angles opposés ont le même cosinus, on a aussi
2 23
x kπ= − + π
ce qui entraîne
6x k
π= − + π
Les solutions principales sont
6
x kπ= + π
6x k
π= − + π
0k ==== 6
πα =
1k ==== 7
6 6
π πγ = + π = 5
6 6
π πδ = − + π =
2k ==== 112
6 6
π πβ = − + π =
5ième année – 2ième partie : Trigonométrie – page 15
Exemple 8 Résoudre l’équation tg2 3x = et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée.
23
x kπ= + π
ce qui entraîne
6 2x k
π π= +
Les solutions principales sont
6 2
x kπ π= +
0k ==== 6
πα =
1k ==== 4
6 2 6
π π πβ = + =
2k ==== 72
6 2 6
π π πγ = + =
3k ==== 103
6 2 6
π π πδ = + =
Exemple 9
Résoudre l’équation 3
sin3 2
x = et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique3 et
sur la droite graduée.
2 ; 23 3 3 3
x xk k
π π= + π = π − + π
ce qui entraîne
6 ; 3 6 2 6x k x k k= π + π = π − π + π = π + π Les solutions principales sont
6x k= π + π 2 6x k= π + π 0k ==== α π==== 2β π====
3 Les solutions ont été indiquées entre parenthèses sur le cercle trigonométrique du fait que la période est supérieur à 2π et que dès lors, tous les arcs définis par ces points-images ne sont pas solutions de l’équation donnée.
5ième année – 2ième partie : Trigonométrie – page 16
Exemple 10
Résoudre l’équation 4 3
sin 23 2
xπ − =
et représenter les solutions sur le cercle
trigonométrique et sur la droite graduée.
42 2
3 3x k
π π− = + π
ce qui entraîne 4
2 23 3
x kπ π− = − + π
et 2 2x k− = −π+ π
et enfin
2x k
π= + π
Compte tenu du fait que deux angles supplémentaires ont le même sinus, on a aussi
42 2
3 3x k
π π− = π − + π
ce qui entraîne 4
2 23 3
x kπ π− = π − − + π
et 2
2 23
x kπ− = − + π
et enfin
3x k
π= + π
Les solutions principales sont
2
x kπ= + π
3x k
π= + π
0k = 2
πα = 3
πδ =
1k = 3
2 2
π πγ = + π = 4
3 3
π πβ = + π =
5ième année – 2ième partie : Trigonométrie – page 17
Exemple 11 Résoudre l’équation 2cos ² 5cos 2 0x x+ + = et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée. Il s’agit ici d’une équation du deuxième degré en cosx . Posons donc cosy x= . L’équation donnée peut s’écrire 2 ² 5 2 0y y+ + = . On a successivement :
5² 4.2.( 2) 25 16 9∆ = − + = − = 5 3
4y
− ±=
1' ; " 2
2y y= − = −
1
cos2
x = −
22
3x k
π= + π
Comme deux angles opposés ont le même cosinus, on a aussi
22
3x k
π= − + π
cos 2x = −
Cette solution est à rejeter puisque le cosinus d’un angle est toujours compris entre –1 et 1.
Les solutions principales sont donc
22
3x k
π= + π 22
3x k
π= − + π
0k = 2
3
πα =
1k = 2 42
3 3
π πβ = − + π =
5ième année – 2ième partie : Trigonométrie – page 18
Exemple 12 Résoudre l’équation cos ² 3sin 3 0x x− + = et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée. Cette équation peut s’écrire :
1 sin ² 3sin 3 0x x− − + = ou
sin ² 3sin 4 0x x+ − = En posant siny x= , on obtient
² 3 4 0y y+ − = dont les racines sont 1 et –4. La valeur –4 est à rejeter pour les raisons que l’on sait, tandis que la valeur 1 donne comme solutions à l’équation de départ:
22
x kπ= + π
La solution principale est donc
2
πα =
5ième année – 2ième partie : Trigonométrie – page 19
B. Équations du type =sin sinα βα βα βα β
Exemple 1
Résoudre l’équation sin sin3
xπ= et représenter les solutions
sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée.
23
x kπ= + π
Du fait que des angles supplémentaires ont le même sinus, on a aussi
22 2
3 3x k k
π π= π − + π = + π
Les solutions principales sont donc
2
3x k
π= + π 2
23
x kπ= + π
0k = 3
πα = 2
3
πβ =
Exemple 2 Résoudre l’équation tg tg3x x= et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée .
Les conditions d'existence sont
2x k
π≠ + π et 32
x kπ≠ + π
ce qui peut s'écrire
2x k
π≠ + π et 6 3
x kπ π≠ +
On a évidemment 3x x k= + π
ou
2x k
π= −
ce qui donne comme solutions principales
2
x kπ= −
0k = 0x = 0β = 1k = −
2x
π= À rejeter
2k = − x = π δ = π 3k = − 3
2x
π= À rejeter
5ième année – 2ième partie : Trigonométrie – page 20
Exemple 3 Résoudre l’équation cos5 cos7x x= et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée.
5 7 2x x k= + π ou
x k= − π ou encore
x k= π Du fait que des angles opposés ont le même cosinus, on a aussi
5 7 2x x k= − + π ce qui entraîne
6
kx
π=
Les solutions principales sont
6
kx
π= x k= π
0k = 0α = 0α =
1k = 6
πβ = µ = π
2k = 2
6
πγ =
3k = 3
6
πδ =
4k = 4
6
πε =
5k = 5
6
πλ =
6k = 6
6
πµ = = π
7k = 7
6
πν =
8k = 8
6
πς =
9k = 9
6
πρ =
10k = 10
6
πσ =
11k = 11
6
πφ =
5ième année – 2ième partie : Trigonométrie – page 21
Exemple 4
Résoudre l’équation tg tg(4 )3
x xπ= + et représenter les solutions sur le cercle
trigonométrique et sur la droite graduée.
43
x x kπ= + + π
ou
9 3
kx
π π= − −
Les solutions principales sont
9 3
kx
π π= − −
1k = − 2
9 3 9
π π πβ = − + =
2k = − 2 5
9 3 9
π π πγ = − + =
3k = − 3 8
9 3 9
π π πδ = − + =
4k = − 4 11
9 3 9
π π πε = − + =
5k = − 5 14
9 3 9
π π πη = − + =
6k = − 6 17
9 3 9
π π πα = − + =
5ième année – 2ième partie : Trigonométrie – page 22
Exemple 5
Résoudre l’équation cos 2 sin(3 )4
x xπ= + et représenter les solutions sur le cercle
trigonométrique et sur la droite graduée.
Cette équation peut s’écrire :
cos 2 cos (3 )2 4
x xπ π = − +
ou
cos 2 cos 34
x xπ = −
2 3 24
x x kπ= − + π
ou 2
20 5
kx
π π= +
Du fait que deux angles opposés ont le même cosinus, on a aussi
2 3 24
x x kπ= − + π
ou
24
x kπ= − π
Les solutions principales sont donc
2
20 5
kx
π π= + 24
x kπ= − π
0k = 20
πα = 4
πη =
1k = 2 9
20 5 20
π π πβ = + =
2k = 4 17
20 5 20
π π πγ = + =
3k = 6 25
20 5 20
π π πδ = + =
4k = 8 33
20 5 20
π π πε = + =
5ième année – 2ième partie : Trigonométrie – page 23
C. Équations du type + + =cos sin 0a x b x c
Exemple 1 Résoudre l’équation (2 3)cos sin 1 0x x− − + = et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée.
Pour autant que 2
xsoit différent de
2k
π + π (ou x différent4, de 2kπ + π ) on peut
remplacer sinx et cosx par leurs valeurs en fonction de tg2
x, on obtient alors une équation
en tg2
x. Il vient successivement
(2 3)cos sin 1 0x x− − + =
1 tg² 2tg2 2(2 3) 1 0
1 tg² 1 tg²2 2
x x
x x
−− − + =
+ +
(2 3) 1 tg² 2tg 1 tg² 02 2 2
x x x − − − + + =
2 2tg² 3 3tg² 2tg 1 tg² 02 2 2 2
x x x x− − + − + + =
( 1 3)tg² 2tg (3 3) 02 2
x x− + − + − =
( )2
4 4( 1 3)(3 3) 4 4( 3 3 3 3 3)
4 4( 6 4 3) 28 16 3 4(7 4 3) 4 2 3
∆ = − − + − = − − + + −
= − − + = − = − = −
Dès lors 2 4 2 2(2 3) 1 (2 3)
tg2 2 2( 1 3) ( 1 3)
x b b ac
a
− ± − ± − ± −= = =− + − +
Les deux valeurs de tg2
x sont donc 3 et 1.
tg 32
x =
2 3
xk
π= + π
22
3x k
π= + π
tg 12
x =
2 4
xk
π= + π
22
x kπ= + π
Les solutions principales sont
22
3x k
π= + π 22
x kπ= + π
0k = 2
3x
π= 2
xπ=
4 Si l'on omet de vérifier que cette condition est remplie, il est indispensable que contrôler si toutes les solutions sont acceptables.
5ième année – 2ième partie : Trigonométrie – page 24
Exemple 2 Résoudre l’équation 3 cos sin 2 0x x+ + = et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique et sur la droite graduée.
En posant 3
tg 31
ϕ = = (quotient du coefficient de cosx par celui de sinx - ou
l’inverse), avec ,2 2
π πϕ ∈ − , il vient successivement :
3 cos sin 2 0x x+ + =
tg cos sin 2 0x xϕ + + =
sin cos cos sin 2cos 0x xϕ + ϕ + ϕ =
sin( ) 2cos 0x + ϕ + ϕ =
et puisque 3
πϕ = , on a sin( ) 13
xπ+ = −
ce qui entraîne 3
23 2
x kπ π+ = + π
et 3 7
2 22 3 6
x k kπ π π= − + π = + π
La solution principale est 7
6
πα =
5ième année – 2ième partie : Trigonométrie – page 25
6. INÉQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Notes préliminaires � Les solutions sont indiquées en gras sur les figures. � Les extrémités des intervalles appartiennent aux ensembles-solutions s’ils sont renforcés. � Les représentations graphiques sont ici capitales.
Exemple 1
Résoudre l’inéquation 3
sin2
x < et représenter
graphiquement les solutions sur le cercle trigonométrique et sur une droite graduée.
2 7
2 23 3
k x kπ π+ π < < + π
5ième année – 2ième partie : Trigonométrie – page 26
Exemple 2
Résoudre l’inéquation 2
cos2
x > − et
représenter graphiquement les solutions sur le cercle trigonométrique et sur une droite graduée.
3 3
2 24 4
k x kπ π− + π < < + π
Exemple 3 Résoudre l’inéquation sin 2x < et représenter graphiquement les solutions sur le cercle trigonométrique et sur une droite graduée.
Il est clair que cette inéquation est indéterminée puisque le sinus d’un angle est toujours inférieur à 2.
Exemple 4 Résoudre l’inéquation sin 2x > et représenter graphiquement les solutions sur le cercle trigonométrique et sur une droite graduée.
Il est clair que cette inéquation est impossible puisque le sinus d’un angle n’est jamais supérieur à 2.
5ième année – 2ième partie : Trigonométrie – page 27
Exemple 5 Résoudre l’inéquation tg 0,5x ≤ et représenter graphiquement les solutions sur le cercle trigonométrique et sur une droite graduée.
3,606...2
k x kπ π π+ < ≤ +
Exemple 6 Résoudre l’inéquation cotg 2x ≥ et représenter graphiquement les solutions sur le cercle trigonométrique et sur une droite graduée.
0,464...k x kπ π< ≤ +
5ième année – 2ième partie : Trigonométrie – page 28
Exemple 7
Résoudre l’inéquation 1
sin 22
x < et représenter
graphiquement les solutions sur le cercle trigonométrique et sur une droite graduée.
5 13
2 2 26 6
k x kπ π+ π < < + π
ou 5 13
12 12k x k
π π+ π < < + π
