Mathématiques Mathématiques SNSN

Les fonctionsLes fonctions

TRIGONOMÉTRIQUESTRIGONOMÉTRIQUES

Réalisé par :Réalisé par : Sébastien Lachance Sébastien Lachance

Fonctions Fonctions SINUSOÏDALESSINUSOÏDALES

Mathématiques Mathématiques SNSN- Les fonctions - Les fonctions TRIGONOMÉTRIQUESTRIGONOMÉTRIQUES - -

f(x) = f(x) = sinsin x x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)

f(x) = f(x) = aa sinsin [ [ bb ( x – ( x – hh ) ] + ) ] + kk (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)

Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture (dilatation ou contraction)(dilatation ou contraction), , l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet.l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet.

Exemple :Exemple : f(x) = - 2 f(x) = - 2 sinsin [ 3 ( x – 1 ) ] + 4 [ 3 ( x – 1 ) ] + 4

aa bb hh kk

a a == - 2 - 2

b b == 3 3

h h == 1 1

k k == 4 4

f(x) = f(x) = coscos x x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)

f(x) = f(x) = aa coscos [ [ bb ( x – ( x – hh ) ] + ) ] + kk (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)

Fonction Fonction SINUSSINUS

Fonction Fonction COSINUSCOSINUS

- 1- 1

11

f(x) = f(x) = sinsin x x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)

xx f(x)f(x)

00 00

00

11

00

-1-1

22

3322

22

22

- 2- 211

-1-1

00

5522

33

7722

22

33

22

22 55

22

33 77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

L’angle « x » L’angle « x » n’est pasn’est pas en en DEGRÉDEGRÉ, il , il est en est en RADIANRADIAN ! !

Attention avec votre Attention avec votre calculatricecalculatrice* ! * ! *Appuyer sur « *Appuyer sur « MODEMODE » et «  » et « RADIANRADIAN » »

Fonction Fonction SINUSSINUS

f(x) = f(x) = sinsin x x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)

xx f(x)f(x)

00

-1-1

00

- -

11

- - 22

- 3- 322

- 2- 2

-1-1

11

00

- 5- 522

- 3- 3

- 7- 722

- 1- 1

11

22

- 2- 2

22

33

22

22 55

22

33 77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

L’angle « x » L’angle « x » n’est pasn’est pas en en DEGRÉDEGRÉ, il , il est en est en RADIANRADIAN ! !

Attention avec votre Attention avec votre calculatricecalculatrice* ! * ! *Appuyer sur « *Appuyer sur « MODEMODE » et «  » et « RADIANRADIAN » »

Fonction Fonction SINUSSINUS

- 1- 1

11

f(x) = f(x) = coscos x x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)

xx f(x)f(x)

00 11

-1-1

00

11

00

22

3322

22

22

- 2- 200

00

-1-1

--22

--

-3-322

22

33

22

22 55

22

33 77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

Fonction Fonction COSINUSCOSINUS

f(x) = f(x) = sinsin x x

- 1- 1

11

22

- 2- 2

22

33

22

22 55

22

33 77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

- 1- 1

11

22

- 2- 2

22

33

22

22 55

22

33 77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

f(x) = f(x) = coscos x x

f(x) = f(x) = coscos x x

f(x) = f(x) = sinsin x x

- 1- 1

11

22

- 2- 2

22

33

22

22 55

22

33 77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

f(x) = f(x) = coscos x x

– – / 2/ 2– – / 2/ 2

coscos x = x = sinsin ( x + ( x + / 2 / 2 )

La fonction La fonction COSINUSCOSINUS est une fonction est une fonction SINUSSINUS qui a subie une translation qui a subie une translation horizontale de horizontale de / 2/ 2 vers la gauche. vers la gauche.

Cette translation est appelée Cette translation est appelée DÉPHASAGEDÉPHASAGE..

Comme c’est le paramètre « Comme c’est le paramètre « hh » qui représente la translation horizontale de  » qui représente la translation horizontale de la courbe, on peut donc écrire que :la courbe, on peut donc écrire que :

(car h = - (car h = - / 2/ 2))

OUOUsinsin x = x = coscos ( x – ( x – / 2 / 2 ) (car h = (car h = / 2/ 2))

La fonction La fonction COSINUSCOSINUS est donc une fonction est donc une fonction SINUSOÏDALESINUSOÏDALE..

f(x) = f(x) = sinsin x x

Les fonctions Les fonctions SINUSOÏDALESSINUSOÏDALES sont des fonctions CYCLIQUES. sont des fonctions CYCLIQUES.

- 1- 1

11

22

- 2- 2

22

33

22

55

22

33 77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

CYCLE : Plus petite portion de la courbe qui se répète.CYCLE : Plus petite portion de la courbe qui se répète.

22

PÉRIODE : Longueur d’un CYCLE.PÉRIODE : Longueur d’un CYCLE.

AMPLITUDE : Variation de la hauteur de la fonction.AMPLITUDE : Variation de la hauteur de la fonction.

CycleCycle

PériodePériode

P = P = 22

| | bb | |

A = A = Max – MinMax – Min

22

AA

A = | A = | aa | |

f(x) = 2 f(x) = 2 sinsin ( x ) ( x )

- 1- 1

11

22

- 2- 2

22

33

22

55

22

77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

22

PÉRIODE = PÉRIODE = 33

AMPLITUDE = AMPLITUDE = 22

CycleCycle

PériodePériode

P = P = 22

| | bb | |

A = A = Max – MinMax – Min

22

AA

Exemple :Exemple : 22

33

33

P = P = 2222

33

= = 22 x x 33

22

= 3= 3

A = A = 2 – -22 – -2

22= = 22 A = | A = | aa | | A = | 2 |A = | 2 |

A = 2A = 2

Représentation graphiqueReprésentation graphique

Méthode du Méthode du RECTANGLERECTANGLE : :

On forme un rectangle qui contient On forme un rectangle qui contient unun cyclecycle de la fonction. de la fonction.

SINUSSINUS COSINUSCOSINUS

PériodePériode PériodePériode

AA AA

AA AA

((hh, , kk)) ((hh, , kk))

((hh, , k k ++ a a))

ATTENTION ! Le signe des paramètres ATTENTION ! Le signe des paramètres aa et et bb influence l’orientation du graphique ! influence l’orientation du graphique ! Donc si Donc si aa est est négatifnégatif ou ou bb est est négatifnégatif, on obtient :, on obtient :

SINUSSINUS COSINUSCOSINUS

PériodePériode PériodePériode

AA AA

AA AA

((hh, , kk)) ((hh, , kk))

((hh, , k k –– a a))

Tracer f(x) = 2 Tracer f(x) = 2 sinsin 2 ( x + 2 ( x + ) + 2 ) + 2

11

22

44

33

22

33

22

55

22

77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

22

PP

AA

Exemple #1 :Exemple #1 :

33

P = P = 22

| | bb | |= = 22

| 2 || 2 |= =

((hh, , kk) =) = (- (- , 2), 2)

A = | A = | aa | | = | 2 | = 2= | 2 | = 2

Tracer f(x) = - 2 Tracer f(x) = - 2 sinsin ( x – ( x – /2 ) + 1/2 ) + 1

11

22

44

33

22

33

22

55

22

77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

22

AA

Exemple #2 :Exemple #2 :

33

P = P = 22

| | bb | |= = 22

| 1 || 1 |= 2= 2

((hh, , kk) =) = ((/2 , 1)/2 , 1)

A = | A = | aa | | = | - 2 | = 2= | - 2 | = 2

PP

Déterminer l’équation de la fonction sinusoïdale ci-dessous Déterminer l’équation de la fonction sinusoïdale ci-dessous sous la forme :sous la forme :

22

44

88

66

22

33

22

55

22

77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

22

AA

Exemple #3 :Exemple #3 :

33

P = P = 22

| | bb | |

22

| | bb | |33 = =

((hh, , kk) =) = (- (- , 3) , 3)

A = | A = | aa | | 5 = 5 = aa

PP

A)A) f(x) = a f(x) = a sinsin b( x – h ) + k b( x – h ) + k B)B) f(x) = a f(x) = a coscos b( x – h ) + k b( x – h ) + k

22

33| | bb | = | = ==

22

33

f(x) = 5 f(x) = 5 sinsin ( x + ( x + ) + 3 ) + 3Réponse :Réponse : 22

33

Déterminer l’équation de la fonction sinusoïdale ci-dessous Déterminer l’équation de la fonction sinusoïdale ci-dessous sous la forme :sous la forme :

22

44

88

66

22

33

22

55

22

77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

22

Exemple #3 :Exemple #3 :

33

P = P = 22

| | bb | |

22

| | bb | |33 = =

((hh, , kk) =) = (- (- , 3) , 3)

A = | A = | aa | | 5 = 5 = aa

A)A) f(x) = a f(x) = a sinsin b( x – h ) + k b( x – h ) + k B)B) f(x) = a f(x) = a coscos b( x – h ) + k b( x – h ) + k

22

33| | bb | = | = ==

22

33

P = P = 22

| | bb | |

22

| | bb | |33 = =

((hh, , kk) =) = (- (- /4 , 3)/4 , 3)

A = | A = | aa | | 5 = 5 = aa

22

33| | bb | = | = ==

22

33

f(x) = 5 f(x) = 5 sinsin ( x + ( x + ) + 3 ) + 3Réponse :Réponse : 22

33

AA

PP

f(x) = 5 f(x) = 5 coscos ( x + ) + ( x + ) + 33

Réponse :Réponse : 22

33

44

Fonction Fonction TANGENTETANGENTE

f(x) = f(x) = tan tan x x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)

f(x) = f(x) = aa tantan [ [ bb ( x – ( x – hh ) ] + ) ] + kk (forme générale TRANSFORMÉE)(forme générale TRANSFORMÉE)

Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture (dilatation ou contraction)(dilatation ou contraction), , l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet.l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet.

Exemple :Exemple : f(x) = - 2 f(x) = - 2 tan tan [ 3 ( x – 1 ) ] + 4[ 3 ( x – 1 ) ] + 4

aa bb hh kk

a a == - 2 - 2

b b == 3 3

h h == 1 1

k k == 4 4

x = ( h + n) + x = ( h + n) + PPn où n n où n (Équation des ASYMPTOTES)(Équation des ASYMPTOTES)PP

22

Mathématiques Mathématiques SNSN- Les fonctions - Les fonctions TRIGONOMÉTRIQUESTRIGONOMÉTRIQUES - -

- 5- 5

55

f(x) = f(x) = tantan x x (forme générale de BASE)(forme générale de BASE)

xx f(x)f(x)

00 00

11

-1-1

44

- - 44

- - 22

22

33

22

22 55

22

33 77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

L’angle « x » L’angle « x » n’est pasn’est pas en en DEGRÉDEGRÉ, il , il est en est en RADIANRADIAN ! !

Attention avec votre Attention avec votre calculatricecalculatrice* ! * ! *Appuyer sur « *Appuyer sur « MODEMODE » et «  » et « RADIANRADIAN » »

22

2,412,413388

-2,41-2,41- 3- 3

88

f(x) = f(x) = tan tan xx

La fonction La fonction TANGENTETANGENTE est une fonction CYCLIQUE. est une fonction CYCLIQUE.

PÉRIODE : Longueur d’un CYCLE.PÉRIODE : Longueur d’un CYCLE.

Il n’y a pas d’AMPLITUDE associée à cette fonction Il n’y a pas d’AMPLITUDE associée à cette fonction (contrairement aux fonctions (contrairement aux fonctions sinusoïdalessinusoïdales.)

PériodePériode

P = P =

| | bb | |

- 5- 5

55

22

33

22

22 55

22

33 77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

f(x) = f(x) = tan tan xxPériodePériode

- 5- 5

55

22

33

22

22 55

22

33 77

22

--

22

---3-3

22

-2-2-5-5

22

-3-3-7-7

22

((hh, , kk))

x = h x = h ++ PP

22

PP

22

AsymptoteAsymptote

-P-P

22

x = h x = h –– PP

22

AsymptoteAsymptote

Les équations des Les équations des asymptotesasymptotes sont donc : sont donc :

x = ( h + n ) + x = ( h + n ) + PPn où n n où n PP

22

Exemple :Exemple : Représenter graphiquement Représenter graphiquement f(x) = - 2 f(x) = - 2 tan tan [ ( x + ) ] + 3[ ( x + ) ] + 3 . .

Période = 4Période = 4

- 5- 5

55

33 55---4-4-6-6

22

11

44

P = P =

| | bb | |= =

| 1/4 || 1/4 |= 4= 4

((hh, , kk) =) = (- (- /2 , 3)/2 , 3)

-3-3-5-5 -2-2-7-7 22 44 7766

+ 2+ 2- 2- 2

Période = 4Période = 4Période = 4Période = 4