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IL NUOVO CIMENT0 VOL. 92 B, N. 1 11 Marzo 1986
Int~grale de parcours d'une action bi-quadratique mn~sique.
L. CHETOUANI ~lld T. ~ . HAMMANN
Institut des Sciences Exavtes et Appliqudes, Universit~ de Haute Alsace 4, rue des .Fr~rcs Lu~i~rc, 68093 Mulho~e Cede:v, .Fra,ace
(ricevuto l ' l Ottobre 1985)
S u m m a r y . - - Exact pa th integrat ion of a two-t ime quadrat ic action characterizing memory effects is performed by showing tha t the quan- tum memory oscillator behaves like 2 externally forced quantum oscil- lators. The nonlocal Feynman t r ia l action for the s tudy of the FrShlich polaron is used, although the separat ion of past and future may not be possible.
PACS. 03.65.Bz. - Foun4ations, theory of measurement, miscellaneous theories. PACS. 03.65.Ca. - Formalism. PACS. 03.65.Db. - Funct ional analyt ic methods.
l . - I n t r o d u c t i o n .
Des t r a v a u x r6cen t s on t m o n t r 6 que des in t6gra les de p a r c o u r s 4 ' a c t i o n s
q u a d r a t i q u e s , p e u v e n t 6tre o b t e n u e s e x a c t e m e n t darts le c a d r e de l ' a p p r o c h o
p o l y g o n i a l c de F e y n m a n . Le p r o p a g a t e u r de l ' o s c i l l a t e u r h a r m o n l q u e a 6t6
calcul6 (~,2) avec F a c t i o n
(1) T T T
0 0 0
(x) B. K. CH~XG: Phys. Lett. A, 103, 357 (1984). (2) D. C. KHAND~.KXR, S. V. LAWA~DE and K. V. BHAGWAT: J. Phys. A: .Math., .~ucl. Gen., 16, 4209 (1983).
27
28 L. CH:ETOUANI ~ncl T. F. IIAMMAIWN
off le noyuu
G ( t , s ) = cos ( (TI2 - - It - - sl), 8 sin (coT/2)
Cruduit l 'effet m~moire: souvenir ou unticipu~ion de l ' inteructiou de l 'oscilluteur hurmonique uvec lui-m~me. Ce curuet6re mi16monique d 'une action, a 4~6 in t rodui t par F e yamun duns son t ru i tement du probl~me du poluron (3). Lu proe6dure de r~solution des r6,f. (1.5), longue et lourde~ consiste essentiellement
~tublir et ~ int~grer un sysr d'6quutions int~gro-diff6ren%ielles. Iqous nous proposons de mont re r duns ee truvuil que le propuguteur de
l 'oscilluteur hurmonique, uvee une action bi-quudrutique ~ effet mndsique, peut ~Vre ob~enu exucCemenr duns le formMisme des int~grules fonetionnelles de Feynmun, par une simple integration des propuguteurs de 2 oseilluCeurs hurmoniques forcSs. )Tous n'~vons done pus de syst~me d'6quutions inr diff6rentielles ~ r6soudre; e~ par uilleurs, le propuguteur de l 'oseilluteur hur- monique forc6 est eonnu (3). Le propuguteur est obtenu sous forme unulytique compucte. Plusieurs r6sultats de lu l i t t6ruture sent des eus purr de ce propuguteur.
2. - T r a n s f o r m a t i o n d u n o y a u .
L'int6grale double de l'6q. (1), contenunt le noyuu (5), peut ~tre trunsform6e successivement de lu fu~on suivunte:
T T
0 0
cos [eo ( T - ]t - sl)] (x( t ) - x(s)) ~ =-
T T
0 0
T t T
0 0 t
T t
0 0
T
+ f dt f exp [-- io~(s -- t) ] (x(t) -- x(s) )2 ds]} . 0 t
(a) R .P . FE:(NMAN and A. R. HIBBS : Quantum Mechanics and Path Integrals (McGraw- Hill, New York, N. Y., 1965); R. P. FEYNMAN: Statistical Mechanics, ASET Lectures (Benjamin, New York, N.Y., 1972).
INT]~GItALE :DE P A R C O ~ R S D 'UN:E ACTION BI-QUADRATIQ1.TE MN]~SIQU~ 29
I1 est sis6 de v6rifier que ces 2 int6grales sont 6gales, s e t t jouun~ le m6me rble, duns l'intbgTation sur le demi-carr( '~.
Ainsi,
T t
I = 2 Re {exp [ ~ - ] f dt exp E-- iwt] f ds exp [i~os] (x(t) -- x(s) )~} . o 0
E n u t i l i s ~ n t l'identit('~
T t T T
0 0 0 t
on obtient, par int6gra~ion
T T t
- dt-2{ PL2 / f fx I : - 4 s in [ ic~ dt x(t) exp [-- icot] (s) exp [ires] ds + o~ ~-
0 0 0 T e
'-- exp [-- iw ~ f dt x(t) exp [icot] f x(s) exp [-- ioJs] dS}
0 o
o r
T t T ~'
0 0 0 t
T �9 0
0 0 t
T T t
= fx(t)exp [io)t] dt '--fdtx(t)exp [ - - i o ) t ] f d s e x p [ i (os]x(s)ds . o o o
D ' o f l
T T
fx S -~ 1 m(22(t ) _ ~O~oX2(t)) dr-- -~ mY2 ~ 2(t) dt + 0 0
T mD2co exp [-- iogT/2] i ~-
+ 4sTnn~T/2) t x(t) exp [loot] 1 , 0
T t
+ 2i my2~cg f x(t ) exp [-- iot] dt f x(s) exp [icos] ds o 0
3 0 L . C I I E T O U A ~ I a n d T . F . H A M M A N N
Soit Qo = ~o ~ + /22 la nouvelle pulsation, et soit
a - - - - ( ) m~22o~ exp [-- i w T / 2 ] _ 1 m Q ~ m ctg -- i 4 sin (o~T/2) 4 --2- '
le coefficient complexe. L 'ac t ion 4 'un oscillateur harmonique, interagissant avec lui-m&m% devient alors
(3)
T
%[x(~)] = g
o 0
0 0
L'effet mn~sique duns cet te action cst 4~crit par 2 pseudopotentiels complexes, dont la contribution totale g l 'aetion est ~videmment r~elle. Ces pseudo- potentiels ne peuvent ~tre isolSs, puisquqls d~pendent de variables ddfinies diff~rents instants t et s. On ne peut donc pus non plus t rouver d '~quation de SchrSdinger ou de fonction d 'onde 4~crivant ce syst~me. I2action d~pen4 visiblement du pass5 et de l 'avenir. Une manipulat ion des int~grales peut la fairc d~pendre, soit un iquement du passe, soit un iqucment de l 'avenir. Le pseudo-potentiel et l 'action sont donc acausals.
3 . - P r o p a g a t e u r .
Le propagateur de la formulat ion 4e F e y n m a n de la m~eanique quantique, est 4onn~ en fonction de l 'action S[x(t)] pr6c6dente (dq. (3)) par l 'int~grale fonctionnelle
off ~[x(t)] indique que l ' int~gration 4oit ~tre effectu~e sur t o u s l e s parcours possibles, les points [%, 0] e t [x, T] 6rant fixes.
3"1. - Nous nous proposons tou t d 'abord 4e moutrer , par un recours aux distributions de Dirac, que si l 'on pose
T T
( 5 ) U = f x(t) cos eot dt , v = f x(t) sin o~ t dr, 0 0
INT]~GRAI~E D R PA.RCOUR8 D~UN]~ A C T I O N B I - Q U A D R A T I Q L ' - E MNI~,SIQU'E 31 IP
alors le terme a Ifx(t)exp [i~t]dt]"= a(u ~" + v2), peut ~tre consider4 comme 0
irtdgpendant de l'int~gration sur N[w(t)]. En effet
- - c o 0 - - c o 0
:r
0 0
~ , ) . ~
imQ2~ exp[--io~t]dtfx(s)exp[itos]ds}], ~ + T 0 0
T
oi~ So-J�89 IJo~X,(t))dt est Faction de l'oscillateur harmonique fibre. 0
Les distributions d.e Dirac, peuvent gtre repr6sent~es par des int~grales de Fourier; par exemple,
T +co T
i i 6 (u --fx(t)cos o~$)dt-~ ~-~ lap exp [--~p (u --fx(t)cos wt dr)]. 0 --co 0
En utilisant ces int6grales de Fourier dans (6), le propagateur (4) devient
-Fro +co
i v~)l" - - o o --r
+oa
�9 f ~ o~o [_ g ~ ( ~ - f , i oo~ o, ~,)].
�9 f " , ' [_ ~,, (~_f~(t) ~in ~t) a,] ~ exp
~ 2 L . C H E T O U A N I 3,12(1 T. F . t I A M M A N N
: ( ~ - - : 2' t
�9 ~[x(t)] exp So + 5 jx(~) exp [-- icot] d (s) exp [/ms] ds ---
:e(O)--xo 0 0
+~o + r +co +co
::(~')--= T
�9 f~[x(t)]exp[~[So-~-fdt(pcoseot~-p'sino~t)x(t) ~, z(O)~=0 0
t
0 0
Dans eet tc ~quation, lc t e rme mn('~monique a disparu en faveur d 'une force
oscillante
F - p cos ~.t -~- p ' s in e~t = f . e ,
f := (p, p ' ) , e - (cos eot, s in ~ot).
Le nouveau prop~gaCeur d~pend de Faction d~un oscillateur soumis ~ une force sinusoid~le e t ~ un seul pseudo-po~nr mnPsique,
(7a) A = So § cos cot ~- p ' sin wt)x(t) dt ~-
T t
+ ~i m~2~( t ) exp [--io)t]dtfx(s)exp [iws]ds 0 0
~Tous obtenons d.onc f inalement l 'expression suivante pour le p ropaga teu r
(Tb) Ko(x, T; xo, 0) - -
off
-{-co + c o
i ~- p'v)] K~,~,(x, T; O),
z(T)--z
i K,.,,(x, T; xo, O) ----S~[x(t)]oxp [~ A[x(t)] ] . x(O)--=.
INT]~GRALE DE PARCO'URS D'UNE ACTION BI-Q'UADRATIQ1~E MN~SIQ]~E 33
3"2. - Proc6dons maintenant ~ l'61imination de l ' int6grale double figuran$ dans Faction (7a).
/)ans leur t ra i tement des syst6mes ouverts, FEu et HraBS (3) 6tudient le probl6me de Foscillateur harmonique coupl6 lin6airement ~ un potentiel externe, consid6r6 comme une per turbat ion, et obt iennent une amplitude dc probabilit5 Gee de t rouver l 'oscillateur harmonique dans l '6tat fondamental l ' instant initial et ~ l ' instant T, dent le logarithme est de la m6me forme que le potentiel mn6sique de 1'6% (7a). Nous pouvons done utiliser les r6sultats de ce calcul de la r6f. (3). Montrons tou t d 'abord que le propagateur K~.~, peut 4tre d(,riv6 du propagateur de 2 particules en interaction ~ par exemple un 61ectron et ull boson comme darts le probl6me du polaron ~ par une moyen- nisation de ce propagateur de 2 particules sur le fondamental du boson, ce qui a pour effet d'('~liminer le boson. Soient, en effet, x(t) et y(t) ]es positions de l'(qectron et du boson, et ~ff = YLfo -- 5~ b + ~"~.t, le Lagrangien du syst6me, alors, le propagateur s'(~crit (~)
(8)
x(~) - -x yt~'):-y
f f P ( x , y, T; Xo, Y0, 0) = ~[x(t)] ~[y(t)] exp ~ dt =
x(O)--xo ~(0)~ 'o 0
x (T )=z ~' ,p(T)--v T
:e(o)~r o ",v(o)'-'ym o
Le mod61e de polaron le plus simple consiste 's prcndre pour Laga'angien des 2 particules, celui de l'oscill 'tteur:
(9a) s = ~ m22(t) - - �89 m-Q~xZ(t) -~ E( t ) x ( t ) ,
(9b) .Lf b - �89 M~f-(t) - - �89 M(,f~y2(t) ,
m, ~o, M e t (o 6ran t les masses e t pulsations respectives 4e l'~lectron et du bosom
~ous ehoisissons, avec Feynman , une interaction du type
(9c) Lf~,r = y[x ( t )Jy ( t ) .
Une int6gration de l'~q. (8) sur ~[y(t)] permet d 'expr imer P e n fonetion de
tl( ~')--a ~'
1 y y ( t ) ) dt]
lv~OJ--uo 0
3 - I I N u r ( T i m e ~ o ]3.
L . C I - 1 - E T O U A N I a n d T . F . H A M I Y I A N N
qui est le propagateur bien connu de l 'oscillateur harmonique forc6:
T[x(t) ] : [2gi~M~n ~oT]i exp [~ So~..] ,
l 'action classique ~tant
(10) So,~.,- 2 sin co~ (y2 § yo~)
T
2yo f y § ~ (t) s i n [~o(T - - t ) ] d t - - - -
0
0 T t ] M2m~ (t)y(s) s i n [ w ( T - - t)] sinwsdsdt .
0 0
Soit
(11) [Mco\i [ Mcoy ~]
le fondamental de l 'oscillateur harmonique 4'4nergie Eo ~ ~o~/2, alors Fampli- rude de probabilit~ de t rouver le boson dans l '~tat ~0 ~ l ' instant t --~ 0 et aussi
Finstant t = T, est donn~o par
(12a)
Compte tenu des ~qs. (10), (11), on obtient
(12b) Goo ~ exp [
T t
0 0
En identifiant y(t) avee f2w(Mm)i x(t), l 'argument de (12a) est juste le potentiel mn6sique de l 'aotioa (7a), ~ la phase exp [iEoT/]~] = exp [icoT/2], prbs.
Soit Lf' un Lagrangien ne 4iff6rant de ~q~ que par un demi-quantum d'6nergie
?ho ze, _- ~e § ~ : = T § (~=(t) - ~Ix~(t)) § m
§ M (~t2(t) _ to2y2(t) ) + f2o)(Mm)ix(t)y(t) § ~(t)x(t).
En prcnant la valeur moyenne sur l '6tat fondamental du boson ~o, de l 'op6rateur 4'~volution correspondant au Lugr~ngien ~f', c'est-~-dire du propugateur dans Fespace des configurations, le boson est 61imin6.
INT]~GRAL:E D E P A R C O ~ R S D~UN:E A C T I O N BI-Q 'UAI)RATIQU:E MN]~SIQ~J:E 3 ~
La valeur moyenne de (8) s'~crit
f ,o(y) f dyo ' y, T; x., y., O),o(Yo)= --co --co
--co --ca x(O)~xo y(O)=yo 0
x(O)~zo 0 0
--r --co ~(O)~yo
�9 exp ~ ~- (~(t) - ~y~(t ) ) dt + ~
o O
1 . ~
1 "exp [-- 2 2 ~ cojj[[~2~c~
0 o
= K,, . (x, T; Xo, 0).
On peut donc 5crire le propagateur (7b):
-boa ~ c o
(2z~)~ v exp a (u ~ @ v 2) �9
- - c o - - c o
+r + ~ +co + ~
y, T ; xo, Yo, O)~oo(Yo),
La prdsence du coefficient complexe a dans la premiere exponentielle de (13), rend l'intdgrale sur u et v non absolument convergente et interdit de commencer l'int~gr~tion par u et v. Lu presence de ce coefficient complexe s'explique par le fair que le propagateur (13) eontient un propagateur d~crivant la creation d'un boson ~ t--~ 0 et F~bsorption de ee boson ~ t = T (action mn(siquc). L'effet global de eette erdation-absorption se traduit par une phase complexe. L'exposant complexe en question, annule Feffet de cette phase et rend Paction
36 L. CI~XTOVA~'I and T. F. HAM~A.~'~
finale r6elle (effet mn6sique r6el). L 'ordre des 2 processus, cr(,ation-absorption, est indiff6rent (aeausalit(~).
Effectuons I~ t r ans fo rmat ion lin6aire (x, y ) > (q~, q~)~ de Jacobien (mM)~, in t rodui te par (~):
~x = Y ~ /M sin0 + x ~ c o s 0 ,
q~ -~ y ~ /M cos 0 - - x ~ sin 0 ,
(]a)
- 2 w , c o s 0 = D ~ - 2 w ~ - ~ W ~,
w - - [(9~ - ~ ) ~ + 4 ~ 9 ~ ] * .
Le Lagrangien s acquier t la forme d6eoupl~.e
2 --F ~ -- ff -Q~,~, n_ g,(t)q, ~2]q] 4- g~(t)q~
et d~crit le m o u v e m e n t de 2 oscillateurs harmoniques fore(~s, ind~pendants~
de masses unit6 at de pulsat ions,
co ~ + ~ o ~ + w
Q~=: 2 '
Les fonetions g~ sent 46finies par
:_ , 1 zv(t) cos 0 gl(t) ~/ m
to ~ + .Qo ~ - W 2
sin 0 g~(t) ---- - - - , _ F( t ) .
v m
Ainsi _P(x, y, T; xo, yo,0) est proport ionnel au produi t des deux propaga teurs
harmoniques fore6s:
p(x , y, T; xo, yo, O) .~ (Mm)~ exp [i21~ z~l(qj, l '; q'~, O) vg,(q~, T; q'~, O)
off les propagateurs ~g, sent denn i s pa r l'~q. (10)~ m o y e n n a n t les remplacements !
(o -~ ~2j, M § 1~ y -~ g~, y --> qs, Y0 --> q~. F ina lement , le p ropaga teur correspondant "~ Fact ion S (eq. (1))~ s~exprime
(4) F. BROS~S and J. T. DEWtE~.S~: J. Math. Phys. (1~.~.), 25, 1752 (1984).
INT~GI~ALE DE PAI~COUR8 D'UNE ACTION BI-QIYADRATIQUE MN~SIQUE 37
exclus ivement en fonction des propagateurs des oscilluteurs harmoniques forc6s:
(15) (Mm)i [McoV
~o,x~xoo, ~ t ~ ~ + m + m
- - c o - - ~
exp ~ (pu + - - r - - r
Dj "f f d y d y o e x p [ - - ~ ( Y ~ + Y ~ ) ] ~ exp[~2s in~jT]
- - v o - - r
T { �9 (q~ ~_ q;2) COS D~ T - - 2qjq~ + ~ tgj(t)[q, sin Q , t ~ qj sin D,(T - - t)] - -
0
} ~ t sgj(t)g~(s) sin Djs sin D~(T-- t) . 0 D
4 . - I n t 6 g r a t i o n d e l '~q . ( 1 5 ) .
Les int6gT~tions de l '6qu~tion (15) pr6c6dente, ne pr6sentenr pas de difficult6 majeure, puisqu'el les ne por ten t que sur des gaussiennes.
Posons
b ~ - ~S2~ X = (m~o~ X ' bno4~ , ~ s i n Q j r ' ~1~' = ~ ) ~ '
A ~ bl sin 2 0 cos Q1 T + b~ cos 2 0 cos ~Q~ T ,
B ---- bl sin20 + b2 cos20 ,
q = ( x - ~ ) ~ - B 2 ,
a = X -- b~(X cos ~ T - - X ' ) , a' -~ X' -- bl(X' cos/21 T - - X) .
4"1. Intdgration par rapport au eouple de variables (y, Yo).
(~) ( )( o~ ), Ko(x,T;xo, O ) : 2 h �89 1 Q1 ~ 2 i~hs in
- - V ~ 2 i ~ sin~21T /22T " + ~ + r
~ f ~ ~ ~,]
- - c o - - ~
38 L. CH~TOVAm ~nd T. F. HAMMANN
~ o u s avons pos6
A, - - ~ sin c o t exp [icoT] ~- 2 + Q
(2co 1 { B, = \ m ~ ] [21 -- ~ - - X exp [imT] -- X ' @
1 1} ~- ~ [a[(1 - - A) exp [icoT] -- B] + a ' [ ( 1 - - A) - - B exp [/coT]] ,
C, - - m~coQ~ exp [icoT] sin c o t - - 1 ~- ~ (1 - - A) ,
1), - - - - exp [icoT] {-- i sin co + Q [B + (A - - l ) cos coT]}
(2co , i { E , = \ m ~ ] ~ , - cos X exp [icoT] - - X ' - -
1 [a(B ~- (1 - - A) exp [i~oT]) - - a ' (1 - - A ~- B exp i / c o T ] ) ] ] Q
t g ~ 0 ~ , = -Q--- {(1 - A) (a ~ 4- a '2) - - 2 Baa ' } - - tg~0(X ~ + X '2) -}-
bl + ~ {(x~ + x'~) cos 9 , T -- 2 X X ' } .
4"2. Intdgration par rapport au couple de variables (p, p ' )
Ko(x' , T ; x , , O) = ~ ~ ] \ 2 i ~ s ~ D~T] 2izdi sin D~T "
+ c o + o a
�9 f f d u d v e x p [ D 2 u 2 § 2 4 7 2 4 7 u v § 2 4 7 �9 - - v o - -o~
~ o u s ~vons pos6
A ~ _ - - i s i n c o T ( A 2 - B ~ l ) ~ - 2 ( B - A c o s w T ) ,
A~ mD~m i c tg (A 2 - B 2 + i A cos roT) 4 ~ A '
�9 [2m\* co* -- ~ { X [A - - B cos c o t § b, (cos c o t - - cos t2~ T +
~- i A sin cot - - i B sin c o t cos Q~ T)] +
~- X ' [i(A ~ - - B ~) sin c o t - - B + A cos c o t + b,(1 + i B sin c o t - -
- - cos c o t cos [2 ,T -- i A sin coT cos Q , T ) ] } ,
INT]~GRALE DE PARCOURS D'TJN~, ACTION BI-QI~ADRATIQI~ MN~SIQI~E ~
C2 - - z a w ~ ~ r ~ n ~ w sin ~oT ( B ~ _ A ~ 4 - 1 ) , 2/~A ' Q 4- 2 ( 1 - - A)) sin c o t - - 2/~d
D ~ - - m ~ e ~ [ 4 ~ i c tg -~-wT _ "~2(iAsin~ 4- cos w T ) } ,
= ' E2 ~ w ] ~j { X [A s -- B 2 4- i B sin co t 4- b~(B -- A cos m T - -
- - i sin w T - - A cos ~ 1 T 4- B cos ~2~ T cos coT)] 4 -
4- X ' [ (B ~ - - A ~) cos c o t -- i A sin oJT ~- b i (A -- B cos co t - -
- - cos E21T(B -- A cos o T - - i sin coT))]},
bl cos~ 0 [ (X ~ ~ X '2) cos E21T -- 2 X X ' ] §
tg20 4- ~ {(X ~ 4- X '~) [ (B ~ - - A ~) cos w T -- i A sin w T
4- 2b~ [cos ~ T ( A sin c o t 4- i sin w T - - B) 4- A - - B cos coT] 4-
~- b~ [(14- cos 2 ~ T ) ( i A sin w T 4- cos wT) - - 2 cos Q~ T(1 4- i B sin wT)] ] ~
+ 2 X X ' [A ~ -- B 2 + i B sin co t +
4- 2bl[B -- A cos c o t - - i sin co t - - (A - - B cos co) cos ~ T] +
4- b~ [ - - 2 cos ~ I T ( i A sin c o t + cos coT) + (1 + i B sin coT)(1 4- cos ~ ~ T)]]}.
Tous ces coefficients sont imag ina i r e s ; on u donc b ien conve rgence de l ' int~grale .
4"3. Integrat ion par rapport au couple de variables (u, v). - Nous ob tenons le r~sul tu t s u i v a n t
Ko(x, T; Xo, O) ~-- ~wz~(B -- A ) sin D 1 T sin D~ "
�9 exp (2XB - - X~)~ b: sin s . . T)s in20 cos~0 ( _ ) [ (b~sin ~ 9 1 T + 4-
4- 2bib2 [sin20 (cos ~ 2 T - - cos Qx T) +
4- sin20 cos~0(cos 9 ~ T cos D2 T - - 1) 4- 1 - - cos ~ T]] J r
4 - B - - A X2 + X'2 [b~b~(cos ~2~T - - 1 + cos f2~T - - cos f21T cos 93 T)]]
Ce t t e ~quut ion p e u t se rScrire sous lu f o r m e fmule su ivan t e qui est celle de la
~0 L. CH:ETOUANI ~nd T. F. HAMMAIWN
r6f. (~):
(16)
�9 exp
[(O~ -- co s) sin (9~ r / 2 )
-- tg, Os [(0~ -- ~o 2) sin (~9~T/2)
=[ ],. Ko(x, T; Xo, O) [4xi~D sin (01T/2) sin (O~T/2)J
~ (x--xo) ~ 2D~D~ sin (D~ D~) e o s ~ T cos D~T
4-201f2'(f)~'--f2')sin(f)'T/2)sin("T/2)~-~---~.- (x' -~ x,)}] ( o ~ - ) ( 3-- )
off nous avons pos6
: 2 ( 0 2 - - ~r ) [ ~ 1 [
D --
sin (O1T/2) cos (O~/2T) 02 sin (03 T/2) cos (O1T/2)]
O~ - ~ O~ - ~ J '
s sin cos 2 O2 sin cos O~T.
5. - Cas p a r t i c u l i e r s de F a c t i o n .
5"1. - Si ~Oo : 0 comme dans la r6f. (2), ulors,
0 2 = 0 ,
et l'6q. (16) se simplifie en
( m ) ' s i n ( c o T / 2 ) ~1 Ko(x, T; xo, 0) : 2 z ~ eo sin (s
rimo. f "exp [2--~1~/(x -- Xo) 2 ~ + ~ tg, ctg
r6sultat obtenu dans la r6f. (3).
5"2. Cas du noyau de Bezak (5). _ BEZAK prend G(t, s) = mT22/4T, qui est la l imite du noyau (2) quand ~o -~ 0.
L'6q. (16) se simplifie alors en
Ko(x, T; xo, 0) = 2 / ~ 2 sin (DT/2) exp [ ~ - ctg - - (x -- Xo) ~
q u i ~ 46j~ 6t6 obtenue en (5).
(5) V. BEZAK: Proe. R. Soc. London, Set. A, 315, 339 (1970); G. PArADOPOULOS: J. Phys. A, 7, 183 (1974).
INT]~GRAL]~ D~ PA.RCOZIRS D'UINW, ACTION BI-Q'UADRATIQIS~ MN]~SIQ'U'~, 41
5"3. Cas oi~ eOo ~ 0 el [2 = O. - On obtient ainsi le prop~gateur de l'oscil- lateur ha~monique libre,
[ mogo \~ i m ~ ( x ~ + x g ) Ks(x, T; xo, O) -~ ~ 2 i ~ s i n c o o T ) exp - ~
6 . - C o n c l u s i o n .
Nous avons obtenu le prop&gateur de l'oscill~teur harmonique, avec une
action bi-quadratique ~ effet mn6monique g6n6rMis6, en nous ramenant , dans
le formalisme des int6grales de pareours de Feynman, au cas de 2 oscillateurs
harmoniques fore6s ind6pendants. Ce propagateur est obtenu sous forme ana- lytique eompacte.
En prenant des eas partieuliers de Faction, nous retrouvons les r6sultats de la litt6rature.
Le fMt que G(t, s) ne respecte pas le prineipe de causalit6, explique que le propagateur (16) est ind6pendant du signe de la pulsation co du boson.
Cette m6thode s'applique 6videmment aussi au cas off la p~rticule est soumise en outre, ~ une force ext6rieure, avee ou sans champ magnetique (e), mais
les calculus sont plus longs.
(n) D .P .L . CASTI:tlGIANO and N. KOKIANTONI8: Phys. I~ett. A, 104, 123 (1984); 96, 55 (1983); J. ADAMOWSKI, B. G~3RLACtt and M. LXSCHK]~: J. Math. Phys. (~V. Y.), 23, 243 (1982).
�9 R#, SUM]~
Nous calculons exaetement, dans le formalisme des int6grales fonctionnelles de FeFn- rnan, le propagateur de l'oscillateur harrnonique d'une action s effet mn6monique, en montrant l'6quivalence du syst~me avec celui form6 par 2 oscillateurs forc6s. Nous utilisons le noyau nonlocal introduit par Feynman dans la r6solution du probl~me du polaron de FrShlich, en 46pit du fair qu'il rende impossible la distinction entre pass6 et avenir.
�9 R I A S S U N T O (*)
Si opera un'esatta integrazione eli percorso di un'azione quadratica a due tempi the caratterizza gli effetti di memoria mostrando the l'oseillatore quantico di memoria si cornporta come due oscillatori quantici forzati 4all'esterno. Si usa l'azione di prova eli Feynman non locale per lo studio del polarone eli Fr6hlich, anche se la separazione eli passato e futuro pub non essere possibile.
(*) Traduzione a cura della Redazione.
Pes ioMe He HOJly~IeHO.
