Système numérique de contrôle-commande

Notion de Système

¡ Systema = compositions : relations organisées entre unités ou composantes

¡ Système = un réseau dynamique

L’automatique est la science étudiant les automatismes et traitant de la substitution de mécanismes automatiques à toutes les opérations susceptibles d’être exécutées par l’homme. Cette science était anciennement dénommée cybernétique. Parmi les composantes de cette science, nous allons plus particulièrement nous intéresser à la commande (automatique) des procédés dynamiques continus.

Dans ce cadre, on distingue l’automatique linéaire ou non linéaire, continue (commande analogique) ou à temps discret (commande numérique).

Il faut savoir que la commande (ou asservissement) d’un procédé physique nécessite :

- l’identification (modèle de comportement) ou la modélisation (modèle de connaissance) de son comportement dynamique à mise en équation ;

- la synthèse d’une loi de commande à fonction de transfert et transformation de Laplace; - l’implantation physique de cette loi de commande à correction.

Pourquoi  Le  Control  Numérique  à  la  place  du  Control  Analogique  ?  

Control Analogique :

Un système numérique de contrôle-commande (SNCC, ou DCS pour distributed control system en anglais) est un système de contrôle d'un procédé industriel doté d'une interface homme-machine pour la supervision et d'un réseau de communication numérique1.

Historiquement, le premier système informatique utilisé pour le contrôle industriel a été mis en place en 1959 à la raffinerie Texaco de Port Arthur, au Texas, avec un RW-300 de Ramo-Wooldridge2.

La figure ci-dessous montre le système de rétroaction continu typique. Presque tous les contrôleurs continus peuvent être construits en utilisant l'électronique analogique.

Les  avantages  des  contrôleurs  numériques  

Sensitivité

Fiabilité

Moins de problèmes de bruit

Compacts

Poids

Cout

Flexibilité au niveau de la programmation

R1

C1

C2

R2R

R

C(controller)S P

(plant)R Ye+

-

C

R

L

Energy StorageElements

Fonction de transfert

Soit un systèmes dynamique à temps discret d'entrée et de sortie . On a dit

que ce système est causal si la sortie est ne dépend que des

entrées pour et des valeurs précédentes des sorties , , soit :

(1)

On dit que le système est strictement causal si, en plus, ne dépend pas de .

Pour un systèmes linéaire, l'équation s'écrit sous la forme :

(2)

En appliquant la transformée en aux signaux , et à leurs valeurs retardées, on obtient :

(4.5)

On obtient alors :

(4.6)

avec :

(4.7)

avec . La fonction de transfert a un dénominateur d'ordre et un

numérateur d'ordre . Le système est propre si . Il est strictement

propre si . L'ordre du système est l'ordre de non dénominateur. Les pôles du système sont les zéros du dénominateur. Ses zéros sont les zéros du numérateur.

Propriété 21 (Fonction de transfert et réponse à une impulsion) La fonction de transfert d'un système à temps discret est égal à la transformée en de sa réponse à une impulsion.

Stabilité 1.  Domaine  temporel  On considère un système possédant une réponse impulsionnelle h(t) excité par un signal e(t).

On note sa sortie y(t).

La condition de stabilité énoncée dans le domaine temporel :

Un système est dit stable, si sa réponse impulsionnelle est le siège d'un régime amorti

lim ( ) 0th t

→∞=

Donc, un système est stable si lorsqu’il est excité par une impulsion de Dirac, sa sortie revient

à sa position initiale au bout d’un certain temps.

2.  Domaine  fréquentiel.  On note H(p) et Y(p) les transformées de Laplace de h(t) et de y(t) respectivement. La

transformée de Laplace de l’impulsion de Dirac à l’entrée du système est 1.

La réponse du système dans le domaine de Laplace sera donc

La décomposition de H(p) en éléments simples s’écrit

Ou ip sont réelles ou complexes conjugués.

La réponse y(t) est donc la somme d’exponentielles :

Chaque exponentielle ne revient à zéro que si la partie réelle de pi est strictement négative.

Un système est stable si tous les pôles de sa fonction de transfert sont strictement à gauche de

l’axe imaginaire dans le plan complexe dédié à p.

 

3.    Stabilité  des  systèmes  échantillonnés  

un système échantillonné de fonction de transfert ( )( )( )N zH zD z

= , ou N et D sont des

polynômes en z, est stable si tous ses poles sont à l’intérieur de cercle de centre O et de rayon

unité.

Si zi pôle de H (z) (D (zi)=0), le système est stable ⇔ iz <1 i∀ .

Il est à remarquer qu’il s’agit de stabilité aux points d’échantillonnage, le système peut

présenter des instabilités cachées.

Critère de jury[1]

Ce critère permet d’étudier la stabilité d’un système échantillonné sans calculer les pôles.

Ceci s’avère très utile quand D(z) contient des paramètres, ou quand son degré est élevé.

Soit D(z(=a0+ a1z+a2z2+…+anzn , avec an>0.

On construit le tableau suivant :

N°ligne

1 a0 a1 n ka − 1na − na

2 na 1na − ka a1 a0

3 0b 1b n kb − 1nb −

4 1kb − 0b

2n-5 0p 1p 2p 3p

2n-4 3p 2p 1p 0p

2n-3 0q 1q 2q

Avec :

00

0

n

n

a ab

a a= 0 n k

kn k

a ab

a a−= 0 1

11

nn n

a ab

a a−−

=

0 30

3 0

p pq

p p= 0 2

13 1

p pq

p p= 0 1

23 2

p pq

p p=

Pour que D(z) ait ses racines à l’intérieur du cercle unité, il faut et il suffit que soient vérifiées

les (n+1) conditions suivantes :

D(1) >0,

D(-1)>0 si n est pair, D(-1)< 0 si n est impair,

0a < na ,

0b > 1nb −

…

0p > 3p ,

0q > 2q .¨

Critère de Routh [2]

Pour pouvoir exploiter le critère de Routh, très utilisé pour l’étude de la stabilité des systèmes

linéaires continus, on effectue le changement de variable suivant :

11

zwz−

=+

,

Ou encore 11wzw

+=

−,

Ce qui permet de transformer l’intérieur du cercle unité en le demi-plan gauche en w.

Le dénominateur devient :

D’(z)=a’0+a’1w+…+an’wn.

Ce dernier polynome a ses racines dans le demi plan gauche si et seulement si les relations

suivantes sont vérifiées :

Tous les coefficients de D’(z) sont de même signe, soit strictement positifs,a’i>0,

Les (2n-1) termes de la première colonne du tableau suivant sont strictement positifs,

N°ligne

1 a’n a’n -2 a’n -4 …

2 a’n -1 a’n -3 a’n -5 …

3 b 0 b 1 b 2

4 c 0 c 1 …

..

..

2n-3 d 0

Avec :

1 2 20

1

1 4 51

1

0 3 1 10

0

' ' ' ' ,'

' ' ' ' ,'

....' ' ,

n n n n

n

n n n n

n

n n

a a a aba

a a a aba

b a a bcb

− − −

−

− − −

−

− −

−=

−=

−=

Stabilité des systèmes dans l’espace d’état

Cas continu

Soit¨l’équation d’état suivantes

.X AX BUY CX DU

⎧⎪ = +⎨

= +⎪⎩

En appliquant la transformée de Laplace on trouve :

pX(p)=AX(p)+BU(p)

Y(p)=CX(p)+DU(p)

è(pI-A) X(p)=BU(p)

X(p)= (pI-A)-1BU(p)

En multipliant par le vecteur C

CX(p)= C(pI-A)-1BU(p)

or on a Y(p)=CX(p)+DU(p) à CX(p)= Y(p)-DU(p)

Y(p)=[ C(pI-A)-1B-D]U(p)

1( ) ( )( )( ) ( )( ) det( )

Y p C pI A B DU pY p Cadj pI A BU p pI A

−= − +

−=

−

Le dénominateur de la fonction de transfert est égale au polynôme caractéristique de la

matrice A : ( ) det( )P p pI A= −

Ainsi les pôles de la fonction de transfert sont les valeurs propre de la matrice A

Conclusion :

un système décrit par son équation d’état est stable si les valeurs propre de la matrice A sont a

partie réel négative .

cas discret

1k k k

k K k

X AX BUY CX DU

+ = +⎧⎨

= +⎩

1

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) det( )

zX z AX z BU zY z CX z DU z

Y zF z C zI A B DU zY z Cadj zI A BF zU z zI A

−

= +⎧⎨

= +⎩

= = − +

−= =

−

Le dénominateur de la fonction de transfert est égale au polynôme caractéristique de la

matrice A : ( ) det( )P z zI A= −

Ainsi les pôles de la fonction de transfert sont les valeurs propre de la matrice A

Conclusion :

un système décrit par son équation d’état est stable si les valeurs propre de la matrice A sont a

module inférieur a un (à l’intérieur du cercle unité) .

Stabilité au sens de lyapunov

La stabilité au sens de Lyapunov

La stabilité au sens de lyapunov est une traduction mathématique d’une constatation

élémentaire :si l’énergie totale d’un système dissipe continûment (c’est à dire décroît avec

le temps)alors ce système qu’il soit (linéaire ou non, stationnaire ou non)tend à se ramener

à un état d’équilibre (il est stable).la méthode discrète cherche donc à générer une fonction

scalaire de type énergétique qui admet une dérivée temporelle négative.

Avant d’énoncer le théorème de Lyapunov concernant la stabilité locale d’un point

d’équilibre, nous allons tout d’abord donner quelques définition.

Définitions :

Fonction  définie  positive    Une fonction scalaire V(x) continûment différentiable(par rapport à X)est dite définie positive

dans une région U autour de l’origine si :

( )0 0v = et ( ) 0, | 0v X X U X> ∀ ∈ ≠

fonction définie semi-positive si :

( )0 0v = et ( ) 0, | 0v X X U X≥ ∀ ∈ ≠ .

Fonction quadratique définie positive.

La fonction quadratique définie ( ) Tv X X QX= ,ou Q une matrice n*n réelle symétrique, est

dite définie positive si toutes les valeurs propres de la matrice sont strictement positives.

Fonction de lyapunov

Soit ( )1 *,f C U X U∈ ∈ telque ( )* 0F X =

Alors, la fonction ( )1: nV R R C U→ ∈ ,U ouvert nR

Telle que :

( )* 0v X = et ( )* *0, |v X X U X X> ∀ ∈ ≠

est appelée fonction de Lyapunov de F au point X

théorème :

soit U un ouvert de nR contenant *X supposons qu’il existe une fonction de Lyapunov

( )*v X de F en *X alors ,

ü si .( ) 0,V x x U≤ ∀ ∈ X* est stable

ü si .( ) 0,V x x U< ∀ ∈ X*est asymptotique stable.

ü si .( ) 0,V x x U> ∀ ∈ X* est instable

ce théorème est une condition suffisante de stabilité mais ne permet pas de guider l’utilisateur

dans le choix de la fonction de lyapunov et ne permet pas de conclure si on ne trouve pas une

telle fonction.

Une fonction de lyapunov candidate est une fonction définie positive dont on teste la

décroissance autour de point d’équilibre.

Les fonctions quadratiques sont souvent utilisées dans l’analyse des systèmes dynamiques

(fonction de lyapunov ).notamment :l’énergie cinétique, l’énergie potentielle élastique ou de

gravité et l’énergie totale sont des fonctions quadratiques de l’état pour les systèmes

mécaniques .

EXEMPLES

ü .. .

2( ) ( ) ( ) ( ) 0x t x t x t x tε− + =

ü .

21 1 2.

22 2 1

2 ( 1)

( 1)

x x x

x x x

⎧ = −⎪⎨⎪ = − +⎩

ü .. . .

( ) ( ) 0M x f x x g x x+ + =

ü ..sin( ) 0θ θ+ =

étudier la stabilité de ces systèmes.

Stabilité des systèmes linéaires

Si le système est linéaire :

., nX AX X R= ∈

alors le système est globalement asymptotiquement stable(le point d’équilibre étant à l’origine

)si toutes les valeurs propres iλ de A sont à partie réelle strictement positive ,soit :

( ) 0eR iλ <

Théorème : (stabilité au sens de lyapunov des systèmes linéaires) le système linéaire est

asymptotiquement stable(ou les valeurs propres de A sont à partie réelles négatives) si et

seulement si , pour toute matrice symétrique définie positive Q, il existe une matrice P définie

positive (symétrique) satisfaisant l’équation de lyapunov :

0TA P PA Q+ + =

démonstration

ü condition suffisante

considérons la fonction de lyapunov candidate

( ) TV X X PX=

alors

.. .( ) T TV X X P X X PX= +

.( ) T T TV X X PAX X A PX= +

.( ) ( )T TV X X PA A P X= +

soit Q une matrice définie positive, si P est solution positive de l’équation de lyapunov alors :

( ) 0,V X X> ∀ et .( ) TV X X QX= −

.( ) 0, 0V X X⇒ < ∀ ≠

donc d’après le théorème général le système linéaire est asymtpotiquement stable

ü condition nécessaire :

Pour un couple(A,Q)quelconque donné, l’équation de lyapunov admet une solution unique :

P=0

TA ATe Qe dt+∞

∫

En effet A

0 0

)T TiT T A At A t AtA P PA A e Qe e Qe Adt

+∞ +∞

+ = +∫ ∫

0

0

( )T

T

A t At

A t At

d e Qe dtdt

e Qe

Q

+∞

+∞

=

⎡ ⎤= ⎣ ⎦= −

∫

0

( )TA t Atd e Qe dt

dt

+∞

∫

car 0Ate → , quand t →∞ , si A est stable

exemple :

ü système linéaire stationnaire

4 42 6

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

on choisit 1 00 1

Q ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

d’ou 7 414 640

P ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

système linéaire non stationnaire

ü on considère le système : .. .

(2 sin( )) 0y y t y+ + + =

comme fonction de lyapunov on choisit :

22 2

1 2 1( , , )2 sinxV t x x x

t= +

+

Cas des systémes non linéaires décrits dans l’espace d’état

nous considérons les processus dont l’évolution est caractérisée par une relation de la forme :

.

(.)X A X=

ou (.)A est une matrice dont les coefficient (.)ija peuvent dépendre de l’etat , du temps et/ou

de tout paramètre ou perturbation extérieure.

Notons '(.)A la matrice d’éléments

'(.) (.),

'(.) (.) ,ii ii

ij ij

a a i

a a j i

= ∀

= ∀ ≠

plusieurs cas remarquable peuvent être envisagés suivant le choix de la fonction de

lyaponuv .

les courbes des figures suivantes représente des exemples d’équipotentielle de lyapunov

Remarque

dans toutes l’étude qui suit les résultats obtenus sont d’autant meilleurs que la matrice (.)Aest diagonale dominante , aussi est –il parfois intéressant avant toute étude de stabilité

d’effectuer un changement de base permettant de renforcer cette propriété, la matrice (.)A est

alors remplacée par 1 (.)P A P− avec P la matrice de passage.

Un cas particulier important à noter est celui ou (.)A ne dépend que de x. dans ce cas , pour

une étude au voisinage de point 0x , il peut être intéressant de choisir la changement de base

qui diagonalise 0( )A x . La nouvelle matrice d’état 1 (.)P A P− diagonale au point 0x , reste

diagonale dominante au voisinage de ce point.

Norme de max

Prenons :

( ) max ii

V x x=

notons mi l’indice donnant la composante de module maximum de x, il vient

( ) ( ),im imV x x signe x=

soit . .( ) ( ) ,im imV x signe x x=

d’ou .

,( ) ( ) (.) ,im im j jj

V x signe x a x= ∑

il vient .

, ,( ) (.) ( ) (.)m

im i im im im j jj i

V x a x signe x a x≠

= + ∑

on a la majoration .

, ,( ) (.) (.)m

im i im im j jj i

V x a x a x≠

≤ +∑

comme j imx x<

on obtient .

, ,( ) ( (.) (.) )m

im im i im jj i

V x x a a≠

≤ +∑

soit avec la notation précedente :.

',( ) (.) ( ),im j

jV x a V x≤∑

d’ou la condition suffisante pour avoir .V négatif :

', (.) 0,i j

ja c i≤ < ∀∑

ainsi , ,(.) (.) 0,i i i jj i

a a c i≠

+ ≤ < ∀∑

norme duale du max

prenons ( ) ii

V x x=∑

un calcul semblable au precedend conduit a un condition suffissante de meme type pour avoir .V négatif '

, (.) 0,i jja c i≤ < ∀∑

soit : , ,(.) (.) 0,i i i jj i

a a c i≠

+ ≤ < ∀∑

Distance euclidienne

Prenons ( ) TV x x Px= , avec P matrice définie positive. Il vient pour .V /

.( (.) (.)) ,T TdVV x A P PA x

dt= = +

la condition .V négatif est assurée si la matrice (.) (.)TA P PA+ reste definie négative dans le

domaine considéré.

Critère  de  Borne  Gentina  Ce critère est d’application très simple et conduit sous sa forme simplifier à la recherche de

conditions de stabilité illimitée.

Si la matrice A(.) a ses éléments non constants isolés dans une seule colonne, une condition

suffisante de stabilité asymptotique et que les mineurs principaux successifs de A’(.)

soient de signe alternés le premier étant négative

Cette condition se met sous la forme

11

11 12

21 22

11 12 13

21 22 23

31 32 33

(.) 0

(.) (.)det 0

(.) (.)

(.) (.) (.)det (.) (.) (.) 0

(.) (.) (.)

a

a aa a

a a aa a aa a a

<

⎛ ⎞>⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟

<⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

une variante importante de ce critère est envisageable ,qui permet l’étude de la stabilité de

processus complexes et/ou mal définis

s’il est possible de trouver une matrice M qui a ses éléments hors diagonaux positifs ,dont

les éléments non constants sont isolés dans une seule colonne et telle que :. ?/

, (.) (.) 0ii iii a m∀ ≤ < , i j∀ ≠ (.) (.)ij ijm a≥

Alors la vérification des condition linéaire de stabilité pour la matrice M(.) permet de

conclure à la stabilité du système réel.

Ces conditions se mettent sous la forme :

11

11 12

21 22

11 12 13

21 22 23

31 32 33

(.) 0

(.) (.)det 0

(.) (.)

(.) (.) (.)det (.) (.) (.) 0

(.) (.) (.)

m

m mm m

m m mm m mm m m

<

⎛ ⎞>⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟

<⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

L