Le Formulaire PCSI-PTSI PC-PSI-PT

FORMULAIRE

Le Formulaire PCSI-PTSI PC-PSI-PT

PCSI | PTSI | PC | PSI | PTDANIEL FREDONLIONEL PORCHERONMAGALI DCOMBE VASSETDIDIER MAGLOIRE

Dunod, 2014

5 rue Laromiguire, 75005 Paris

ISBN 978-2-10-071224-3

Conception et cration de couverture : Atelier 3+

Collaboration technique : Thomas Fredon, ingnieur Tlcom Bretagne

Table des matie`res

Avant-propos 11

Mathematiques 12

1. Analyse 12

1.1 Les nombres reels 121.2 Continuite 121.3 Derivation 131.4 Suites numeriques 141.5 Integration 151.6 Developpements limites 201.7 Equations differentielles 211.8 Espaces vectoriels normes 241.9 Series numeriques 251.10 Suites et series de fonctions 271.11 Calcul differentiel 31

2. Alge`bre generale 33

2.1 Ensembles et applications 332.2 Relations 342.3 Calculs algebriques 352.4 Nombres complexes 362.5 Arithmetique 372.6 Polynomes 38

3. Alge`bre lineaire et multilineaire 39

3.1 Espaces vectoriels 393.2 Applications lineaires 433.3 Matrices, determinants 453.4 Reduction des endomorphismes 483.5 Espaces vectoriels euclidiens 50

6 Table des matie`res

4. Calcul des probabilites 54

4.1 Evenements et probabilites 544.2 Variables aleatoires 57

Physique 63

1. Etude du signal 631.1 Oscillateur harmonique non amorti (ressort horizontal) 631.2 Propagation du signal 641.3 Circuits electriques 68

2. Optique 762.1 Optique geometrique 762.2 Mode`le scalaire des ondes lumineuses (PC) 782.3 Dephasage et chemin optique (PC) 802.4 Les sources lumineuses (PC) 812.5 Les detecteurs de lumie`re (PC) 832.6 Superpositions dondes lumineuses (PC) 842.7 Interferences (PC) 86

3. Mecanique 883.1 Cinematique dun point 883.2 Cinematique dun solide 903.3 Dynamique du point - Etude energetique 913.4 Dynamique de particules chargees 963.5 Dynamique du solide - Etude energetique 973.6 Mouvement dans un champ de force centrale conservative 1003.7 Referentiels non galileens - Cinematique (PC) 1033.8 Referentiels non galileens - Dynamique (PC) 1053.9 Lois de Coulomb du frottement solide (PC) 107

4. Thermodynamique 1084.1 Description dun syste`me a` lequilibre 1084.2 Changement detat dun corps pur 1104.3 Travail, transfert thermique et transformations 1114.4 Premier et second principes 1134.5 Machines thermiques 1154.6 Syste`mes ouverts en regime stationnaire 1174.7 Diffusion de particules 1194.8 Diffusion thermique 122

5. Statique des fluides 127

Table des matie`res 7

6. Mecanique des fluides 1306.1 Description dun fluide en mouvement 1306.2 Bilan de masse 1316.3 Actions de contact dans un fluide en mouvement 1326.4 Dynamique des fluides 1356.5 Bilans macroscopiques 136

7. Electromagnetisme 1387.1 Action dun champ magnetique 1387.2 Induction, auto-induction et couplage 1397.3 Conversion de puissance electromecanique 1437.4 Transport de charge electrique 1447.5 Champs electrostatiques 1477.6 Proprietes du champ electrostatique 1507.7 Champs electrostatiques de distributions particulie`res 1537.8 Analogie pour le champ de gravitation 1557.9 Dipoles electriques 1567.10 Champ magnetostatique 1597.11 Calcul de champs magnetostatiques 1627.12 Lapproximation des regimes quasi-stationnaires 163

8. Dipoles magnetiques 1658.1 Moment magnetique, champ, actions 1658.2 Matie`re aimantee 167

9. Electronique (PSI) 1699.1 Stabilite des syste`mes lineaires 1699.2 Lamplificateur lineaire integre et la retroaction 1709.3 LA.L.I. et la reaction positive 1749.4 Les oscillateurs 1769.5 Lechantillonnage 1799.6 Filtrage numerique du signal 1809.7 Introduction a` la transmission des signaux 182

10.Milieux ferro-magnetiques (PSI) 18310.1 Description 18310.2 Circuits magnetiques 185

11. Conversions de puissance (PSI) 18811.1 Conversion statique 18811.2 Conversion electro-mecanique 191

8 Table des matie`res

12. Ondes electromagnetiques 19512.1 Les equations de propagation des champs 19512.2 Energie du champ electromagnetique 19612.3 Le champ electromagnetique dans le vide sans chargesni courants electriques 19712.4 Propagation du champ electromagnetique dans un plasma 19812.5 Champ electromagnetique dans le plasma 19912.6 Propagation du champ electromagnetiqueen presence dun milieu conducteur ohmique 201

13. Ondes mecaniques (PSI) 20413.1 Ondes sur les cordes 20413.2 Ondes acoustiques 205

14. Mecanique quantique 20814.1 Premie`res notions 20814.2 Physique du laser (PC) 20914.3 Mecanique quantique (PC) 211

Chimie 217

1. Thermodynamique 2171.1 Etats de la matie`re 2171.2 Description dun syste`me physico-chimique 2191.3 Etude thermodynamique dune transformation 2211.4 Diagrammes binaires (PSI) 2231.5 Application du premier principe a` la transformation chimique 2261.6 Application du second principe a` la transformation chimique 227

2. Cinetique 232

2.1 Cinetique formelle 2322.2 Mecanismes reactionnels 2352.3 Cinetique en reacteur ouvert 236

3. Architecture de la matie`re 237

3.1 Classification periodique des elements 2373.2 Edifices chimiques 2403.3 Modelisation quantique et reactivite 245

Table des matie`res 9

4. Etat solide 246

4.1 Mode`le du cristal parfait 2464.2 Types de cristaux 248

5. Solutions aqueuses 249

5.1 Reaction doxydo-reduction 2495.2 Reaction acido-basique 2515.3 Reaction de complexion 2535.4 Reaction de precipitation 2545.5 Diagrammes potentiel-pH 255

6. Electrochimie 256

6.1 Thermodynamique de loxydoreduction (PC) 2566.2 Cinetique de loxydoreduction 2566.3 Corrosion (PSI) 2586.4 Conversion et stockage denergie (PSI) 260

7. Chimie organique 260

7.1 Description des molecules organiques 2607.2 Polarimetrie et spectroscopie 2647.3 Controle et selectivite 2667.4 Mecanismes en chimie organique 2677.5 Strategie de synthe`se 2737.6 Activation des alcools, phenols et composes carbonyles 2747.7 Activation des acides carboxyliques 2787.8 Protection et deprotection de fonction 2827.9 Oxydo-reduction en chimie organique 2837.10 Creation de liaisons carbone-carbone 2867.11 Materiaux organiques polyme`res 292

Annexe A : Unites et constantes fondamentales 294

1. Unites du syste`me international 2942. Constantes fondamentales 2953. Ordres de grandeur 296

Annexe B : Classification periodique 297

Annexe C : Constantes chimiques 300

1. Potentiels standards redox 3002. Constantes acido-basiques 3013. Zone de virage des principaux indicateurs colores 302

10 Table des matie`res

Annexe D : Champs scalaires - champs vectoriels 303

1. Coordonnees cartesiennes 3032. Proprietes 3033. Coordonnees cylindriques 3044. Coordonnees spheriques 304

Index des mathematiques 306

Index de la physique 308

Index de la chimie 314

Avant-proposCe nouveau formulaire reprend la presentation et les objectifs des anciens for-mulaires concus par Lionel Porcheron. Mais il a ete entie`rement reecrit poursadapter aux nouveaux programmes, avec des auteurs nouveaux, et donc deschoix nouveaux.

Cet ouvrage sadresse principalement aux etudiants de PCSI, puis de PC ouPSI. Mais il sera aussi utile a` la filie`re PTSI-PT : il ne manque que la thermo-dynamique industrielle.Pour chaque item, vous trouverez :

la mention ou qui indique si cest une notion de premie`re annee ou dedeuxie`me annee ; parfois la mention PC ou PSI pour indiquer une notion reservee a` une seulesection.

Le livre est scinde en trois parties : mathematiques, physique, chimie. Danschaque partie, vous trouverez lessentiel du cours, les principaux resultats etantmis en valeur par un support trame.A` la fin un index tre`s detaille vous permettra dacceder tre`s vite a` la notion quevous voulez reviser.

Des annexes font le bilan dinformations essentielles et parfois dispersees dansvotre cours.

Ne vous trompez pas dans loffre Dunod. Vous trouverez des livres de cours etdexercices pour renforcer votre travail de classe.Pour des revisions structurees, les Tout-en-fiches par classes (PCSI, PC, PSI)comportent lessentiel du cours et quelques exercices dentranement.

Ce livre est un outil pedagogique adapte aux revisions rapides avant un devoir.Cest aussi un puissant reme`de contre lanxiete du trou de memoire. Cest enquelque sorte un anxiolytique sans risque sanitaire. Mais vous risquez lac-coutumance : quand vous aurez commence a` vous servir de ce livre, vous nepourrez plus vous en passer, surtout a` lapproche des concours (qui portent surles deux annees de prepa noubliez pas).

Un grand merci a` Thomas Fredon, soutien technique indispensable a` lexis-tence de ce livre, et a` Matthieu Daniel pour la realisation finale.

Daniel FREDONdaniel.fredon@laposte.net

Mathematiques

1. Analyse

1.1 Les nombres reels

Parties denses dans Une partie A est dense dans R si ellerencontre tout intervalle ouvert nonvide.

Une partie A est dense dans Rsi tout reel est limite dune suitedelements de A.

Borne superieure

La borne superieure de A est le plus pe-tit element (sil existe) de lensembledes majorants de A.

M = sup A si :

x A x 6 M, > 0 x A M < x.

1.2 Continuite

Continuite : definitionf est continue en a si elle est definie en a et si lim

xa f (x) = f (a).

Theore`me des valeurs intermediaires

Si f est continue, pour tout y tel quef (a) < y < f (b), il existe c tel que y =f (c).

En particulier, si une fonction f estcontinue sur [a, b], et si f (a) et f (b)sont de signe contraire, lequationf (x) = 0 admet au moins une so-lution dans [a; b].

Continuite sur un segment

Toute fonction continue sur un segment est bornee et atteint ses bornes.

Limage dun segment par une fonction continue est un segment.

1. Analyse 13

1.3 Derivation

Derivee en un point

Soit f une fonction definie sur D et x0 un element de D tel que f soit definieau voisinage de x0. On appelle derivee de f au point x0 le nombre (lorsquilexiste) :

limxx0

f (x) f (x0)x x0 = limh0

f (x0 + h) f (x0)h

= f (x0).

Derivees usuelles

f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) f (x)

xn (n , 0) nxn11x

1x2

x

12x

cos x sin x sin x cos x tan x 1cos2 x

ln x1x

ex ex cot x 1sin2 x

arcsin x1

1 x2arccos x 1

1 x2arctan x

11 + x2

Derivee dune fonction reciproque

La fonction reciproque f 1 est deri-vable en f (x0) et

( f 1)( f (x0)) =1

f (x0)

f est strictement monotone sur I,derivable en f (x0) et f (x0) , 0.

Theore`me de Rolle

Soit f une fonction continue sur [a, b], derivable sur ]a, b[, et telle quef (a) = f (b).Alors il existe au moins un point c ]a, b[ tel que f (c) = 0.

14 [1] Mathematiques

Egalite des accroissements finis

Si f est continue sur [a, b] et derivablesur ]a, b[. il existe au moins un pointc ]a, b[ tel que :

f (b) f (a) = (b a) f (c).Ce theore`me ne se prolonge pas auxfonctions de R dans C.

Inegalite des accroissements finis

Soit f une fonction continue sur [a, b],derivable sur ]a, b[.

Si m 6 f 6 M, alors :

m (b a) 6 f (b) f (a) 6 M (b a).

En particulier, si | f | 6 K, alors,pour tous x et x de ]a, b[,

| f (x) f (x)| 6 K |x x|.

Limite de la derivee

Si f est continue sur [a, b], derivablesur ]a, b[, et si f a une limite finie l ena, alors f est derivable a` droite en a etf d(a) = l.

Attention, il sagit dune conditionsuffisante de derivabilite, mais ellenest pas necessaire. Il peut arriverque f d(a) existe sans que f

ait unelimite en a.

1.4 Suites numeriques

Suite convergente

La suite (un) est convergente vers l si : > 0 n0 N n > n0

|un l| 6 .

Une suite qui nest pas convergenteest dite divergente.

Lorsquelle existe, la limite dunesuite est unique.

Theore`me dencadrement

Si, a` partir dun certain rang, un 6 xn 6 vn et si (un) et (vn) convergent vers lameme limite l, alors la suite (xn) est convergente vers l.

1. Analyse 15

Suite extraite

La suite (vn) est extraite de la suite (un)sil existe une application de N dansN, strictement croissante, telle que vn =u(n) .

On dit aussi que (vn) est une sous-suite de (un).Si une suite posse`de une limite(finie ou infinie), toute sous-suiteposse`de la meme limite.

Theore`me de la limite monotone

Toute suite de reels croissante et majoree est convergente.Toute suite de reels decroissante et minoree est convergente.Si une suite est croissante et non majoree, elle diverge vers +.Si une suite est decroissante et non minoree, elle diverge vers .

Suites adjacentes

(un) et (vn) sont adjacentes si :(un) est croissante ;(vn) est decroissante ;lim

n+(vn un) = 0.Si deux suites sont adjacentes, ellesconvergent et ont la meme limite.

VarianteSi (un) croissante, (vn) decroissanteet un 6 vn pour tout n, alors ellesconvergent vers l1 et l2. Il reste a`montrer que l1 = l2 pour quellessoient adjacentes.

1.5 Integration

Valeur absolue ba

f (x) dx

6 ba| f (x)| dx.

Integrales et ordre

Si a < b, et si f 6 g sur [a, b], alors : ba

f (x) dx 6 bag(x) dx.

16 [1] Mathematiques

Si f est continue et positive sur [a, b], on a : ba

f (x) dx = 0 x [a, b] f (x) = 0.

Inegalite de la moyenne

ba

f (x)g(x) dx 6 sup

x[a,b]| f (x)|

ba|g(x)| dx.

Sommes de RiemannSi f est continue sur [a; b], a` valeursdans R, on a :

limn

1n

n1k=0

f( kn)

=

10

f (x) dx.

Les sommes de Riemann, donton conside`re la limite, sont dessommes daires de rectangles.

Integration par parties

bau(t) v(t) dt

=[u(t) v(t)

]ba

bau(t) v(t) dt.

u et v sont deux fonctions de classeC1 sur un intervalle I, et a et b desreels de I.

Integration par changement de variable

f(u(t)

)u(t) dt =

u()u()

f (x) dx. u de classe C1 de [, ] dans [a, b],

et f continue sur [a, b].

Formule de Taylor avec reste integral

Soit f une fonction de classe Cn+1 sur I, x0 et x des points de I. On a :

f (x) = Pn(x) + xx0

(x t)nn!

f (n+1)(t) dt ,

1. Analyse 17

ou` Pn(x) = f (x0) +(x x0)

1!f (x0) + + (x x0)

n

n!f (n)(x0)

est lapproximation de Taylor a` lordre n ;

et Rn(x) = xx0

(x t)nn!

f (n+1)(t) dt est le reste integral dordre n.

Fonction integrable

limx+

xa

f (t) dt existe +a

f (t) dt converge +a| f (t)| dt converge f integrable sur [a,+[ b

a| f (t)| dt converge f integrable sur [a, b]

Re`gles dintegrabilite (fonctions positives)

ComparaisonSupposons 0 6 f 6 g sur [a,+[. Si g est integrable sur [a,+[, alors f est integrable sur [a,+[. Si f nest pas integrable sur [a,+[, alors g nest pas integrable sur [a,+[. DominationSi f (x) =

+ O(g(x)

), lintegrabilite de g sur [a,+[ implique celle de f .

equivalenceSi f (x)

+ g(x), lintegrabilite de g sur [a,+[ equivaut a` celle de f .

Situations de reference

Pour a > 0, 1x

integrable sur [a,+[ > 1. Pour > 0, ex integrable sur [0,+[. 1x

integrable sur ]0, a] < 1. ln x integrable sur ]0, 1].

18 [1] Mathematiques

Theore`me de convergence dominee

( fn) fonctions a` valeurs dans R ou C, continues par morceaux sur I.( fn) converge simplement sur I vers f continue par morceaux sur I,il existe une fonction g continue par morceaux sur I, positive et integrable surI, telle que pour tout entier n, on ait | fn| 6 g (hypothe`se de domination),= les fonctions fn et f sont integrables sur I et

If = lim

n+

Ifn.

Theore`me dintegration terme a` terme

Soit ( fn) une suite de fonctions a` valeurs reelles ou complexes, continues parmorceaux et integrables sur I, telle que la serie

fn converge simplement

vers f continue par morceaux sur I et telle que la serie

I| fn| converge.

= f est integrable sur I et I

n=0

fn =n=0

Ifn.

Integrales a` parame`tre (existence et continuite)

On conside`re I et J des intervalles de R,f une fonction definie sur J I a` valeurs dans K.

On suppose : f continue par rapport a` la premie`re variable, continue par morceaux par rap-port a` la seconde.

il existe une fonction , integrable sur I, a` valeurs dans R+, telle que, pourtout x de J, on ait | f (x, .)| 6 , cest-a`-dire :

x J t I f (x, t)| 6 (t).Alors la fonction x 7 g(x) =

If (x, t) dt est definie et continue sur J.

1. Analyse 19

Integrales a` parame`tre (derivabilite)

Soit I et J deux intervalles de R et f une fonction definie sur J I, avec : f continue par morceaux par rapport a` la seconde variable, pour tout x de J, t 7 f (x, t) integrable sur I, fx

est definie sur J I, continue par rapport a` la premie`re variable, continuepar morceaux par rapport a` la seconde.

il existe une fonction integrable sur I, a` valeurs dans R+ telle que, pour toutx de J,

fx (x, .) 6 .

Alors la fonction g est de classe C1 sur J et verifie :x J g(x) =

I

fx

(x, t) dt.

Transformation de Laplace

L[ f ](p) = +

0ept f (t) dt

pour Re (p) > a

f fonction causale, soit f (t) = 0pour t < 0a abscisse dintegrabilite de f

Proprietes de la transformation de Laplace

LineariteL[1 f1 + 2 f2](p)

= 1L[ f1](p) + 2L[ f2](p).

Changement dechelle

L[ f (kt)](p) = 1kL[ f (t)]

( pk

)k > 0.

Retard sur la fonctionL[ f (t t0)](p) = et0pL[ f ](p).

Retard sur la transformeeL[ f ](p p0) = L

[ep0t f (t)

](p)

Theore`me de la valeur initialelimx+ xL[ f ](x) = f (0

+).Theore`me de la valeur finale

limx0+

xL[ f ](x) = l.

20 [1] Mathematiques

1.6 Developpements limites

Formule de Taylor-Young

Soit f une fonction derivable sur I jusqua` lordre n. Alors la fonction definieau voisinage de 0 par :

f (x0 + h) = f (x0) + h f (x0) + + hn

n!f (n)(x0) + hn(h)

est telle que limh0

(h) = 0.

Developpements limites usuels

(1 + x) = 1 + x1!

+ + ( 1) . . . ( n + 1) xn

n!+ o(xn)

avec les cas particuliers :

=12

1 + x = 1 +

12x 1

8x2 +

116

x3 + o(x3)

= 1 11 + x

= 1 x + x2 + + (1)nxn + o(xn)

= 12

11 + x

= 1 12x +

38x2 5

16x3 + o(x3)

ex = 1 +x1!

+ + xn

n!+ o(xn)

cos x = 1 x2

2!+ + (1)p x

2p

(2p)!+ o(x2p+1)

ch x = 1 +x2

2!+ + x

2p

(2p)!+ o(x2p+1)

sin x = x x3

3!+ + (1)p1 x

2p1

(2p 1)! + o(x2p)

sh x = x +x3

3!+ + x

2p1

(2p 1)! + o(x2p)

tan x = x +13x3 +

215

x5 + o(x6)

th x = x 13x3 +

215

x5 + o(x6)

1. Analyse 21

ln (1 + x) = x x2

2+x3

3+ + (1)n x

n+1

n + 1+ o(xn+1)

arctan x = x x3

3+x5

5+ + (1)

p

2p + 1x2p+1 + o(x2p+2)

arcsin x = x +16x3 +

340

x5 + o(x6)

arccos x =pi

2 x 1

6x3 3

40x5 + o(x6)

1.7 Equations differentielles

Equations differentielles lineaires du premier ordre

De la forme :

y + a(x) y = b(x) (1)

equation homoge`ne associee :

y + a(x) y = 0 (2)

Solution generale de (1)= Solution generale yS de (2)

+ Solution particulie`re de (1)

Resolution de lequation homoge`ne (2)

Les solutions de lequation (2) sont du type :

yS (x) = K eA(x) ou` A(x) = xt0a(u) du est une primitive de a(x)

avec K constante arbitraire et x0 element quelconque de I.

Recherche dune solution particulie`re de (1)

y1 etant une solution non nulle de (2), on introduit une fonction auxiliaire in-connue K(x) telle que y(x) = K(x) y1(x) soit solution de (1).

Ceci conduit a` K(x) =b(x)y1(x)

ce qui permet de calculer K(x) puis y(x).

Cette methode sappelle aussi methode de variation de la constante.

22 [1] Mathematiques

Equations du second ordre a` coefficients constants

De la forme :

y + ay + by = f (x) (1)

equation homoge`ne associee :

y + ay + by = 0 (2)

Solution generale de (1)= Solution generale yS de (2)

+ Solution particulie`re de (1)

Resolution de lequation homoge`ne (2)

> 0 deux racines r1 et r2.yS (x) = K1 er1x + K2 er2x

= 0 une racine double r0.yS (x) = (K1 x + K2) er0x

< 0 deux racines i.yS (x) = ex (K1 cos x + K2 sin x)

cas a, b, c reels.equation caracteristique :

r2 + ar + b = 0.

= a2 4b.K1 et K2 sont des constantes reellesquelconques.

Recherche dune solution particulie`re de (1)

Cas ou` f (x) est un polynome P(x) de degrenIl existe une solution particulie`re de(1) sous la forme dun polynome dedegre :

n si b , 0 ;n + 1 si b = 0 et a , 0 ;n + 2 si a = b = 0.

La recherche de cette solution sefait par identification.

Cas ou` f (x) = ekx P(x) avec P polynome et k constanteOn effectue le changement de fonc-tion inconnue

y(x) = ekx z(x)ou` z est une nouvelle fonction incon-nue.

En reportant y, y et y dans (1), onest conduit a` une equation en z dutype precedent.

1. Analyse 23

Cas ou` f (x) = ex cos x P(x) ou f (x) = ex sin x P(x) avec et reels,et P polynome a` coefficients reels

On cherche une solution particulie`re(a` valeurs complexes) obtenuepour lequation de second membree(+i) xP(x).

Une solution particulie`re est la par-tie reelle, ou la partie imaginaire, dela solution ainsi obtenue.

Equation differentielle lineaire

y(n) + an1(t) y(n1) + + a1(t)y + a0(t)y = b(t) (1).y(n) + an1(t) y(n1) + + a1(t)y + a0(t)y = 0 (2).

Syste`me differentiel dordre n

(S )

x1(t) = a11 x1(t) + + a1p xp(t) + b1(t)

...xp(t) = ap1 x1(t) + + app xp(t) + bp(t)

X(t) = A(t) X(t) + B(t) (1).X(t) = A(t) X(t) (2).

Solutions dune equation differentielle lineaireLa solution generale de (1) est la somme de la solution generale de (2) et dunesolution particulie`re de (1).

Resolution dun syste`me a` coefficients constantscas A diagonalisable

Soit A diagonalisable ; notons 1, . . ., p ses valeurs propres et V1, . . .,Vp desvecteurs propres associes. Lespace vectoriel des solutions du syste`me homoge`ne (S ) admet pour base :(

V1 e1t, . . .,Vp ept).

On a A = PDP1 ou` D est diagonale.Si lon pose Y(t) = P1X(t) et C(t) = P1B(t), le syste`me (S ) secrit :

Y (t) = DY(t) +C(t) .On resout ce syste`me reduit et on en deduit X(t) = PY(t).

24 [1] Mathematiques

1.8 Espaces vectoriels normes

NormeUne norme sur E est une application N de E dans R qui verifie :

(1) x E N(x) > 0 et N(x) = 0 = x = 0;(2) K x E N (x) = || N(x);(3) x E y E N (x + y) 6 N (x) + N (y).

VoisinageUne partie V est un voisinage de a E sil existe une boule ouverte centree ena et incluse dans V .

Ouvert Une partie A de E est ouverte (ou est un ouvert) si elle est au voisinage dechacun de ses points, ce qui secrit :

a A ra > 0 B(a, ra) A. Un point a est un point interieur de A si A est un voisinage de a.Lensemble des points interieurs de A est linterieur

A de A. On a

A A.

La reunion dune famille quelconque douverts, lintersection dune famillefinie douverts sont des ouverts.

Ferme Une partie A est fermee (ou est un ferme) si son complementaire est un ou-vert. a est un point adherent a` A si toute boule B(a, r) avec r > 0 contient un pointde A. Lensemble des points adherents a` A est ladherence A de A. On a A A.Si A = E, on dit que A est dense dans E. Une partie A est fermee si, et seulement si, pour toute suite delements de Aqui converge dans E, la limite appartient a` A. Lintersection dune famille quelconque de fermes, la reunion dune famillefinie de fermes sont des fermes.

Frontie`re

La frontie`re dune partie A est lensemble A \ A.Cest lensemble des points a tels que toute boule B(a, r) avec r > 0 contientau moins un vecteur de A et un vecteur qui nappartient pas a` A.

1. Analyse 25

Caracterisation sequentielle de la continuite

Pour que f soit continue en a, il faut et il suffit que, pour toute suite (un) quiconverge vers a, la suite

(f (un)

)converge vers f (a).

Fonction lipchitzienne

Une fonction f de D dans F est lipschitzienne de rapport k > 0 si :x D y D f (y) f (x) 6 k y x.

Si 0 < k < 1, on dit que f est contractante .

1.9 Series numeriques

Serie : convergence

Une serie

un converge si la suite

S n =n

k=0

uk converge.

Une suite (un) converge laserie

(un+1 un) converge.

Convergence absolue

Si|un| converge, on dit que

un

est absolument convergente.

Si une serie est absolument conver-gente, alors elle est convergente ;mais la reciproque est fausse.

Comparaison de deux series a` termes positifsvn converge=

un converge ;

un diverge =

vn diverge.

Si 0 6 un 6 vn a` partir dun certainrang.

Cas de deux series a` termes positifs equivalentes

Si un + vn, les deux series sont alors de

meme nature, cest-a`-dire quelles sontconvergentes ou divergentes en memetemps.

Ce theore`me nest pas vrai pourdes series qui ne sont pas de signeconstant.

26 [1] Mathematiques

Series de Riemann

1n

converge > 1. La serie harmonique 1

ndiverge.

- Series geometriques+n=0

azn = a1

1 z a C, z Cconvergence (absolue) si, et seule-ment si, |z| < 1

Serie exponentielle

+n=0

zn

n!= ez z C

Re`gle de dAlembert

Soit un une serie a` termes strictement positifs telle queun+1un

admette une limite

l quand n tend vers +.Si l < 1, la serie converge ; si l > 1, la serie diverge.

Comparaison serie-integrale

Si f est une fonction continue par morceaux et decroissante de R+ dans R+,

alors la serie de terme general nn1

f (t) dt f (n) converge.

Serie alternee

En supposant u0 > 0, une serie alternee a pour terme general un = (1)nan ou`an = |un|.Crite`re special des series alterneesSi la suite de termes positifs (an) est decroissante et converge vers 0, alors

la serie alternee+n=0

(1)nan est convergente.

1. Analyse 27

le reste Rn =+

k=n+1

(1)kak est du signe de (1)n+1 et verifie :

|Rn| 6 an+1

Produit de Cauchy

Le produit de Cauchy de deux series

un et

vn est la serie de terme

general : wn =p+q=n

upvq .

Si les series

un et

vn sont absolument convergentes, alors la seriewn lest aussi et lon a :

+n=0

wn =

+p=0

up

+q=0

vq

.1.10 Suites et series de fonctions

Convergence simple dune suite de fonctions

La suite ( fn) converge simplement surA vers une fonction f , de A dans F, si :

x A limn+ fn(x) f (x) = 0.

. est la norme dans A

Convergence uniforme dune suite de fonctions

La suite ( fn) converge uniformementvers f sur I si : lim

n+ fn f = 0 f = sup

xI| f (x)|

convergence uniforme = convergence simple.

Continuite de la limite Si la suite ( fn)n>0 converge uniformement vers f sur A, et si chaque fn estcontinue sur A, alors f est continue sur A.

Il suffit que la convergence soit uniforme sur tout segment inclus dans A, pourque f soit continue sur A.

28 [1] Mathematiques

Integration de la limite

Si les fn sont continues sur I et sin

fn converge uniformement sur I, alors,

pour tous a et b dans I, on a : ba

( +n=0

fn(x))

dx =+n=0

( ba

fn(x) dx)

Derivation de la limite

Si les fn sont de classe C1 sur I et sin

f n converge uniformement sur I, alors

la somme+n=0

fn est de classe C1 et sa derivee est+n=0

f n .

Convergence simple dune serie de fonctions

On dit que la serien

fn converge simplement sur I si la suite(S n =

nk=0

fk)

converge simplement et on note :

S (x) =+k=0

fk(x) = limn+ S n(x).

Convergence uniforme dune serie de fonctions

La serien

fn converge uniformement sur I si la suite (S n) converge uni-

formement sur I.

Sin

fn converge uniformement sur I :

Si les fn sont continues sur I, alors la somme S est continue sur I. Si les fn sont continues dans I et si

n

fn converge uniformement sur I, alors,

pour tous a et b dans I, on a :