Invariances d’echelles, lois de similitude

4 fevrier 2014

Disponible sur http://www.univenligne.fr sous le nom AnalyseDimVaschiBuckingham.pdf

Table des matieres

1 Le probleme 2

2 Le theoreme de Vaschi et Buckingham 3

3 Exemples 6

4 Programmation 7

5 Corrections ou indications pour les exercices 7

6 Annexes : feuilles de travail MAPLE etc... 11

Vous avez sans doute observe au cours de vos apprentissages ou lorsque vous abordez un probleme,qu’il y a plusieurs niveaux de competences :

1. je fais ;

2. je fais et je sais que je le fais ;

3. je sais faire, je sais decrire la methode ;

4. je sais faire, je sais decrire la methode, je sais qu’elle aboutira toujours dans le type deprobleme que j’aborde ;

5. je sais decrire la methode, je sais demontrer qu’elle aboutira toujours dans le type deprobleme que j’aborde ;

6. je sais ecrire un programme qui le fera a ma place ;

7. je sais demontrer que mon programme aboutira toujours dans ce type de probleme.

Donnez des exemples.Remarques :- si vous pouvez donner un exemple du niveau 1, c’est que vous avez depasse ce niveau pour leprobleme considere ;- l’ordre n’est pas total : 5 et 6 ne sont pas comparables.

1

1 Le probleme

Une question se pose lorsque, pour etudier un probleme physique, on est amene a experimenter aechelle reduite (on parlera de modele reduit, de maquette...), a remplacer certains materiaux pard’autres (bois-carton, air-eau, neige-kaolin 1...). La question est de savoir dans quelle mesure onpeut deduire des observations realisees ce qui se passerait a l’echelle reelle.Sans intention deliberee d’experimenter on peut aussi rencontrer des phenomenes naturels sederoulant a des echelles differentes et qui presentent des analogies : un filet d’eau se frayant unpassage dans le sable que l’on est tente de comparer aux grands deltas, les trajectoires elliptiquesdes planetes avec des demi-grands axes et des periodes differentes...

• Le principe de similitude enonce que, pour que les resultats d’une experience puissent etreutilises a une autre echelle, il faut (et il suffit ?) que les grandeurs sans dimension faisant interve-nir les quantites pertinentes pour la modelisation du phenomene etudie soient les memes dans lesdeux configurations.

• Le theoreme de Vaschi et Buckingham nous donne un moyen de reduire le nombre des pa-rametres d’un probleme a partir de l’etude de ses grandeurs invariantes.

On commence doucement par un probleme simple que l’on peut traiter au niveau 1 ; on poursuivraavec un exemple classique au niveau 3 (exercice n˚2) et on passera ensuite aux niveaux superieurs...

Exercice 1 On souhaite etudier le comportement d’un systeme forme d’un parachute auquel estsuspendu un pilote (ou un mannequin). On notera ρ la masse volumique du pilote ou du manne-quin.

1. On neglige ici la masse du parachute.

(a) On presente le systeme au dessus d’une soufflerie qui exerce une pression verticale psur le parachute. Ecrire une equation adimensionnelle 2 verifiee lorsque la pression pest la pression de decollage (ou de vitesse verticale nulle).

(b) Quelle serait cette pression pour un parachute de surface 25m2 avec une masse totaledu systeme de 85kg? On la notera pd.

(c) On veut reproduire cette situation :• Cas n˚1 : on etudie une maquette du systeme parachute pilote a l’echelle 1/5, on lapresente en soufflerie avec la meme pression pd. Quelle doit etre la masse volumiquedu mannequin (celle d’un corps humain est ρh ≈ 1025kg/m3)? Proposer un materiau.

• Cas n˚2 : on presente en soufflerie une maquette avec un parachute et un mannequina la meme echelle 1/5. Mais ici le mannequin est en bois de masse volumique appa-rente ρb ≈ 650kg/m3. Quelle doit etre la pression exercee par la soufflerie ?

• Cas n˚3 : on presente en soufflerie une maquette avec un parachute a l’echelle 1/5,on suppose que la masse volumique du mannequin est celle du pilote, la soufflerie est

1. Exemple avec un TIPE 2012 : deux eleves on reproduit une avalanche avec du kaolin dans un aquarium remplid’eau ; mise en evidence du nombre de Froude. Exemple 2013 : barkhanes et nombre de Shield : vous m’en direz plus...

2. C’est a dire une equation dont chacun des deux membres est sans dimension.

2

reglee pour que p = pd. Echelle du mannequin ?

• Cas n˚4 : Toujours avec la soufflerie reglee sur pd, comment vous y prendriez vous ?

2. * On suppose que la masse du parachute est de 2 kg. On ne veut plus la negliger alors qu’onrealise une maquette avec le meme tissu. Qu’en pensez vous ?

2 Le theoreme de Vaschi et Buckingham

On a l’habitude de noter [G] la dimension d’une grandeur physiqueG.Ainsi, siM,T,L designentrespectivement les dimensions des masses, temps et longueurs, pour une vitesse v, on aura

[v] =L

T= LT−1 =

longueur

temps

et pour une force

[f ] =M L

T 2=masse × longueur

temps2.

• On se donne un ensemble fini U = {u1, u2, ..., uq}, que l’on l’appelle systeme fondamental dedimensions, et auquel on associe l’ensemble D (des dimensions construites a partir de U) formedes expressions de la forme

∏qi=1 u

αii avec (αi)1≤i≤s ∈ Zq avec la regle suivante :

q∏i=1

uαii =

q∏i=1

uβii ⇒ ∀i, αi = βi.

• L’element∏qi=1 u

0i est dit sans dimension et note 1.

• Des dimensions d1, ...dk de D sont independantes ssi pour toute famille (αj)1≤j≤k ∈ Zk,

k∏j=1

dαj

j = 1⇒ ∀j, αj = 0.

• On dira bien sur que la famille (d1, ...dk) est liee dans le cas contraire.

• On verifie sans peine que l’on peut munir D d’une structure de groupe multiplicatif commutatifet que U est une partie generatrice libre de ce groupe.

3

Exemples :– En cinematique on utilise un systeme fondamental de 2 dimensions : U = {L, T}, on pourrait

aussi utiliser 3 {V, T} {V,L} ou {V, 1

T}.

– Les dimensionsL

Tet

L

T 2sont independantes alors que L,

L

T,L

T 2ne le sont pas...

– En mecanique on utilise un systeme fondamental de 3 dimensions : U = {L, T,M}.– En physique on utilise un systeme fondamental de 4 dimensions : U = {L, T,M, I}.– En economie la question de l’homogeneite se pose aussi et fait debat : voir [3] qui est disponible

sur la toile ou [2] sur Wikipedia ou encore ’Controverse des deux Cambridge’.

Exercice 2Pour modeliser un probleme d’ecoulement (par exemple un cable en flottaison nulle etant traine

par un navire, determiner la force de traction) on est amene a considerer des grandeursF, `, d, V, ρ, µqui ont pour dimensions respectives

– F la force de traction, [F ] =ML

T 2;

– `, la longueur du cable [`] = L;– d le diametre du cable, [d] = L;

– V la vitesse du bateau, [V ] =L

T,

– ρ la masse volumique de l’eau, [ρ] =M

L3;

– µ la viscosite de l’eau, [µ] =M

LT.

1. Determiner toutes les valeurs des pi telles que

[F p1 `p2 dp3 V p4 ρp5 µp6 ] = M0 L0 T 0 = 1.

2. Montrer qu’il existe trois quantites adimensionnelles de cette forme, Π1, Π2, et Π3, tellesque toute autre expression de la forme precedente s’ecrive Πα1

1 Πα22 Πα3

3 .

3. Montrer que l’on peut par exemple choisir

Π1 =d

`, Π2 = Re =

ρ`V

µ(nombre de Reynolds) et Π3 =

F

ρV `2.

4. A faire apres la lecture du theoreme de V-B :En deduire qu’une equation donnant la force F est de la forme :

F = ρV `2f

(d

`,Re

).

On se propose d’expliquer et prolonger ce que l’on a observe dans les exercices precedents. Onnote Γ =

∏qi=1Ei ou chaque Ei est tantot R∗ tantot R∗+ selon que les grandeurs ai se mesurent

dans l’un ou l’autre de ces ensembles.

Theoreme 1 de Vaschy et Buckingham (1914)Soient n grandeurs physiques a1, a2, ..., ap, ap+1, ..., an dont les p premieres sont de dimensionsindependantes alors que ([a1], ..., [ap], [ap+j ]) est liee pour tout 1 ≤ j ≤ n− p..

3. il ne s’agit pas de savoir si ce serait une bonne idee ou pas !

4

Si une modelisation d’un probleme P conduit a une relation F (a1, a2, ..., ap, ...an) = 0 entre cesquantites verifiant

F (a1, ..., ap, ap+1, ...an) = 0⇒ ∀(t1, ..., tp) ∈ Γ, F (t1a1, ..., tpap, ap+1, ...an) = 0 (2.1)

alors il existe n− p grandeurs sans dimension (x1, ..., xn−p) qui sont de la forme

xi =

p∏i=1

aαii

et une fonction f telle que : F (a1, a2, ..., ap, ...an) = 0⇔ f(x1, x2, ...xn−p) = 0

Demonstration• Pour faire simple, on commence par le cas ou les dimensions de a1, ..., ap sont des dimensionsfondamentales. On notera [ai] = ui pour 1 ≤ i ≤ p. On a bien sur, p ≤ s.– Comme ([a1], ..., [ap], [ap+j ]) est liee, il existe des entiers relatifs tels que

p∏i=1

[ai]αi × [ap+j ]

β = 1.

– Reecrivons cela dans le systeme fondamental de dimensions U avec [ap+j ] =∏sk=1 u

γj,kk . Il

vient :p∏i=1

uαii ×

s∏k=1

uγj,kβk = 1.

Cela impose, pour k ≥ p, γj,k = 0 ce qui signifie que [ap+j ] peut s’exprimer avec les seulesdimensions [a1], ..., [ap]. Nous aurons des solutions avec αk = −γj,k pour 1 ≤ k ≤ p et β = 1.

– On pose alors pour 1 ≤ j ≤ n− p,

xj =ap+j∏pi=1 a

γj,ki

Pour 1 ≤ j ≤ n− p, [xj ] = 1 et ap+j = xj∏pi=1 a

γj,ki .

– La relation F (a1, ..., ap, ap+1, ...an) = 0 devient

G(a1, ..., ap, x1, ..., xn−p) := F

(a1, ..., ap, , ap, x1

p∏i=1

aγ1,ki , ...xn−p

p∏i=1

aγn−p,k

i

)= 0

L’hypothese (2.1) se traduit

G(a1, ..., ap, xp+1, ...xn) = 0⇒ ∀(t1, ..., tp) ∈ Rp∗,+, G(t1a1, ..., tpap, xp+1, ...xn) = 0.

En prenant des valeurs arbitraires pour a1, ..., ap, posons

f(x1, x2, ..., xn−p) := G(θ1, ..., θp, x1, x2, ..., xn−p).

et il est alors clair que

G(a1, ..., ap, x1, ..., xn−p)⇔ f(x1, ..., xn−p) = 0.

�•

5

3 Exemples

Exercice 3 la troisieme loi de KeplerConsiderons une planete en orbite autour de son etoile :– la seule force prise en compte est l’attraction gravitationnelle. On oublie donc le reste.

~F = mp~A = GmpmS

~r

r3.

– On suppose que le mouvement est periodique de periode Tp et que sa trajectoire est elliptiquede demi-grand axe ap.

Quelle serait la forme d’une relation entre ap et Tp?

Exercice 4 circuits RLC

1. Preciser les dimensions des grandeurs qui interviennent dans la base {L, T,M, I}.2. On note U la tension aux bornes.

Peut on etudier ce probleme avec une equation φ(R,L, C, q, t, ω) = 0 ou ω est la pulsationdu generateur sinusoıdal ?

6

4 Programmation

En vous inspirant des feuilles de travail MAPLE des pages 11 et 13 reflechissez a un programmeMAPLE qui pour un jeu de grandeurs donnees avec leurs dimensions retourne les grandeurs adi-mensionnelles associees.

5 Corrections ou indications pour les exercices

Corrige n˚ 5.0.1 – exercice 11. On neglige la masse du parachute :

(a) L’equilibre ou pression de decollage est donnee par pS = mg ou

pS

mg=

pS

ρV g= 1.

(b) Dans ce cas pd =mg

S≈ 33.4Pa

(c) • cas n˚ 1 :

pd S

ρh V g=

pdS

25

ρmV

125g

et ρm = 5ρh.

On cherche un materiau de densite 5125kg/m3. Un petit tour chez Wikipedia 4 parexemple, nous convainc que ce n’etait pas la bonne facon de faire.• cas n˚ 2 :

pd S

ρh V g=

p′S

25

ρbV

125g

et p′ =1

5

ρbρhpd ≈ 4.23Pa.

• cas n˚ 3 :

pd S

ρh V g=

pdS

25ρh V e3 g

et e =3

√1

25≈ 0.34.

• cas n˚ 3 : je commence par regarder de quels materiaux pratiques je dispose pour lemannequin et je calcule son echelle.

2. L’equation devient ici d etant l’epaisseur du tissu et ρt sa masse volumique :

pd S

(ρh V + dS ρt) g= 1

anticipons sur ce qui suit dans le poly et cherchons les variables adimensionnelles de laforme

P p1Sp2ρhp3V p4dp5ρt

p6gp7

4. http ://fr.wikipedia.org/wiki/Masse volumique

7

L’equation aux dimensions est obtenue en remplacant

[P ] =M

T 2L, [S] = L2, [ρh] =

M

L3, [V ] = L3, [d] = L, [ρh] =

M

L3, [g] =

L

T 2

ce qui donne(M

T 2L

)p1 (L2)p2 (M

L3

)p3 (L3)p4

Lp5

(M

L3

)p6 ( L

T 2

)p7

= 1

d’ou le systeme :−2 p1 − 2 p7 = 0

p1 + p3 + p6 = 0

−p1 + 2 p2 − 3 p3 + 3 p4 + p5 − 3 p6 + p7 = 0

les solutions entieres dependent de 4 parametres, et donnent les variables adimensionnellescomme produits de puissances de {

S

d2,V

d3,ρtρh,ρhdg

P

}Comme dans notre probleme d, g et ρt ne sont pas negociables, il n’y a pas d’espoir derealiser une experimentation a l’echelle si la masse de la voile ne peut etre negligee devantcelle du pilote (ie : la negliger conduit a une erreur jugee acceptable – on peut ici estimercette erreur dans le cas de la configuration reelle par exemple– ).Remarque : feuille MAPLE page 6, pour les details du calcul qui se fait aussi tres bien a lamain, mais le but est d’inciter a programmer la methode.

Corrige n˚ 5.0.2 – exercice 21. Pour les calculs cela se fait a la main ou en page 13 avec MAPLE qui donne :

N1 =d

`,N2 =

`2V 2ρ

F,N3 =

`V µ

F

2. D’ou l’on deduit que l’on peut aussi exprimer les grandeurs sans dimensions a l’aide de :

N1 =d

`,Re =

ρ`V

µ=N2

N3,

1

N2=

F

ρV `2.

Ainsi d’apres le theoreme de Vaschi et Buckingham, le probleme admet une equation in-variante φ(N1, Re,N2) = 0 et une fois cette expression resolue en N2 sous la forme

N2 = g(N1, Re) ou encore1

N2= f(N1, Re), la force sera donnee par l’expression di-

mensionnee

F = ρV `2f

(d

l, Re

)

8

Corrige n˚ 5.0.3 – exercice 3L’expression de la force gravitationnelle montre que la masse de la planete n’intervient pas

dans notre probleme. Les 4 grandeurs en jeu sont {ap, Tp,mS , G} comme il y a 3 dimensionsindependantes dans notre probleme, il conduit a une relation f(Π) = 0 ou Π est une variable sansdimension de la forme axp T

yp mz

S Gt.

L’equation aux dimensions donne :

[axp Typ m

zS G

t] = Lx T yM z L3t

M t T 2t= Lx+3t T y−2tM z−2t = 1

soit

axp Typ m

zS G

t =

(T 2p m

2S G

a3p

)t.

Le probleme, s’il conduit a une relation φ(ap, Tp,ms, G) = 0 se reduit a f

(T 2p m

2S G

a3p

)= 0, soit

T 2p m

2S G

a3p= constante ou encore

T 2p m

2S

a3p= constante ce qui est la troisieme loi de Kepler.

Corrige n˚ 5.0.4 – exercice 4

1. Retrouvons nos petits 5. On note U,R,L, C, q et i les grandeurs.

equation dimension

q ~E = ~F [E] =

[U

L

], d’ou [U ] =

[LF

q

]=M L2

I T 3

u1 − u2 = Ri = Rdq

dt[R] =

M L2

I2 T 3

u2 − u3 = Ldidt

= Ld2q

dt2[L] =

M L2

I2 T 2

u3 − u0 =q

C[C] =

I2T 4

M L2

5. A la mode de...– La culture, c’est ce qui reste quand on a tout oublie– L’analyse dimensionnelle, c’est ce qui reste quand on a tout oublie.

9

2. Il n’existe pas de variable sans dimension de la forme Rx Ly Cz Qt avec t 6= 0, donc pas desolution de la forme Q = f(R,L, C).

3. Il existe dans ce cas des variables sans dimensions

LU

R2q,C U

q

ce qui conduit a q = f

(LU

R2, C U

)par exemple.

10

6 Annexes : feuilles de travail MAPLE etc...

• L’exercice 1, derniere question :

> >

(3)(3)

> >

> >

(1)(1)

(5)(5)

(4)(4)> >

> >

> >

(2)(2)

> >

(6)(6)

LT

M

11

> >

> >

(6)(6)

12

• L’exercice 2, premiere et deuxieme questions :

> >

> >

(1)(1)

> >

> >

(4)(4)> >

> >

(2)(2)

(6)(6)

> >

(5)(5)

(3)(3)

LTM

13

(6)(6)

> >

14

• L’exercice 4, deuxieme et troisieme questions :

(2)(2)

(1)(1)

> >

> >

> >

(4)(4)

> >

> >

> >

> >

(3)(3)

restart;eqdim := {U= M*L^2*A^(-1)*T^(-3), R = M*L^2*A^(-2)*T^(-3), Lind = M*L^2*A^(-2)*T^(-2), Cap = M^(-1)*L^(-2)*A^( 2)*T^(4), Q=A*T, T=T};

map(assume, {t, r, ell, c, u, q}, integer); var :=R^r*Lind^ell*Cap^c*Q^q*U^u*T^t;subs(eqdim,var);expand(%):simplify(%,power);varSep := [seq(select(has,%,dim), dim in {L,M,T,A})];

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References

[1] O. DURAN, P. CLAUDIN, B. ANDREOTTI .On aeolian transport : Grain-scale interactions, dynamical mechanisms and scaling lawsAeolian Research 3 (2011) 243-270Cet article de revue ci-dessus est aussi disponible en ligne sur le site de l’ESPCI :http ://www.pmmh.espci.fr/fr/morphodynamique/articles.html

[2] WIKIPEDIA : AUSTRIAN SCHOOL .http ://en.wikipedia.org/wiki/Austrian economics.htm Wikipedia en anglais.

[3] WILLIAM BARNETT .Dimensions and economics : some problemsThe quarterly Journal of Austrian Economics, Vol. 7, Number 1 (Spring 2004), pp.95-104

[4] HARALD HANCHE-OLSEN .Buckingham’s Π−theorem, 2004http ://www.math.ntnu.no/ hanche/notes/buckingham/

[5] ANDREW C. PALMER .Dimensional Analysis and Intelligent ExperimentationWorld Scientific, 2005

[6] AIN A. SONIN .A generalization of the Π−theorem and dimensional analysishttp ://www.pubmedcentral.nih.gov/picrender.fcgi ?artid=423226&blobtype=pdf

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