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Cours de Physique I Chapitre III M. BOUGUECHAL 2010-2011
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Direction
Sens
Point d’application
Chapitre trois : Rappel sur les vecteurs
3.1 Introduction
3.2 Produit scalaire
3.3 Produit vectoriel
3.4 Produit mixte
3.1 Introduction
Un vecteur est un outil mathématique, très utilisé en physique. Il faut le manipuler avec
précaution. Il existe en physique deux types de grandeurs : les grandeurs scalaires et les
grandeurs vectorielles. Les grandeurs scalaires sont représentées par un nombre, positif,
négatif ou nul comme la masse m, la température θ, la longueur l ou le temps t. La seule
connaissance de la valeur suffit à déterminer la grandeur. Mais il existe aussi des grandeurs
physiques dont la valeur ne suffit pas à caractériser la grandeur. Par exemple, la connaissance
de la valeur de la vitesse ne décrit pas tous les paramètres de la vitesse, car la vitesse a une
direction, un sens et a aussi un point particulier appelé point d’application ou origine où elle
est déterminée. Un vecteur est donc caractérisé par un ensemble de propriétés.
La direction ou support : c’est une droite.
Le sens : une direction a deux sens.
Le point d’application ou origine.
La norme ou le module ou la valeur.
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Il ne faut pas confondre les quantités scalaires et vectorielles, cette confusion
provient du fait qu'on peut toujours associer à une quantité vectorielle une quantité
scalaire, c’est la norme du vecteur.
Il faut savoir que certaines grandeurs physiques ne sont ni des scalaires, ni des
vecteurs mais des nombres complexes, comme l’impédance d’une bobine, d’un
condensateur.
Il faut donc être vigilant à la présence ou à l'absence d'une flèche sur une quantité
vectorielle. Sa présence signifie que l'on parle du vecteur et donc on a trois composantes,
tandis que son absence signifie que l'on parle de grandeur scalaire.
Exemple de grandeurs scalaires et de grandeurs vectorielles et de grandeurs complexes :
Grandeurs scalaires unités
Masse kg
Temps s
Longueur m
Température K
volume m3
Intensité d’un courant A
Tension électrique V
Grandeurs vectorielles unités
Vecteur-vitesse m/s
Vecteur accélération ( m/s2 )
Vecteur-force N
Vecteur quantité de mouvement Kg.m/s
Vecteur champ magnétique T
Vecteur champ électrique V/m
Vecteur position m
Grandeurs complexes unités
Impédance d’une bobine Ω
Impédance d’un condensateur Ω
Tension électrique V
Intensité électrique A
Il faut noter que certaines grandeurs scalaires peuvent s’écrire sous forme complexe.
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Pour les vecteurs, en coordonnées cartésiennes, on écrit :
Pour la quantité de mouvement :
Pour la force :
Quelques opérations simples sur les vecteurs
Vecteur unitaire porté par :
On ne peut additionner des vecteurs que s’ils ont la même unité
Déterminer les vecteurs unitaires portés par les vecteurs suivants :
;
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3.2 Produit scalaire
Il existe deux façons très différentes de multiplier les vecteurs et donc de faire leur produit.
La plus simple s'appelle le produit scalaire et se symbolise par un point placé entre les deux
vecteurs. Il faut écrire de préférence les vecteurs en colonnes et faire tout simplement les
produits des composantes, ligne par ligne tout en additionnant les résultats obtenus.
On obtient alors un nombre scalaire numériquement égal au produit des normes des deux
vecteurs par le cosinus de l'angle que font ces deux vecteurs.
Le travail d’une force est un exemple de scalaire obtenu en multipliant scalairement le
vecteur force par le vecteur déplacement.
Ou encore :
)
r et r’ étant les normes des vecteurs.
Le produit scalaire sert à projeter un vecteur sur un autre. (voir figure)
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Exercice 1 : Déterminer l’angle entre deux vecteurs.
On peut toujours calculer un angle entre deux vecteurs de nature différente.
On peut toujours faire le produit de vecteurs (scalaire ou vectoriel) même s’ils
n’ont pas la même unité
Déterminer l’angle entre ces deux vecteurs :
;
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3.3 Produit vectoriel
L'autre manière de multiplier deux vecteurs entre eux et donc de faire leur
produit est appelé produit vectoriel, symbolisée par le signe X ou ⋀, et permet d'obtenir un
troisième vecteur :
perpendiculaire aux deux premiers
formant un trièdre direct (orientation du troisième vecteur donnée par la règle des
trois doigts de la main droite).
Sa norme est donnée par r r’ sin ( θ ) ; θ étant l’angle compris entre les deux
vecteurs.
Il faut faire attention de mettre sur la gauche la colonne représentant le vecteur placé à
gauche du signe ⋀ et sur la droite, la colonne représentant le vecteur placé à droite du
signe ⋀. Pour obtenir la composante suivant l’axe x du nouveau vecteur, il faut neutraliser
la ligne x en la barrant, puis multiplier le nombre de gauche juste en dessous y par le
nombre de droite situé en diagonale z’ et soustraire le produit de l'autre diagonale zy’.
Pour les composante y ou z il faut faire la même opération, mais en barrant les lignes y et
z au lieu de la ligne x. Pour la ligne y et toutes les lignes impaires il ne faut pas oublier de
mettre un signe – devant l’ensemble. Cette règle est parfois appelée règle du gamma γ.
On obtient alors :
Attention : Si vos vecteurs n’ont que deux composantes, il faut obligatoirement rajouter
la troisième composante en indiquant qu’elle est nulle.
Pour la composante suivant l’axe x.
Pour la composante suivant l’axe y.N’oubliez pas de mettre un signe-
Pour la composante suivant l’axe z..
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La norme du vecteur obtenu est égale au produit des normes r et r’ des deux vecteurs
multiplié par le sinus de l’angle entre les vecteurs.
La technique des trois doigts de la main
droite. Le premier vecteur est sur le pouce,
le deuxième est sur l’index et le troisième
sur le majeur.
La technique de la main droite. Le premier
vecteur est sur la main, initialement
ouverte, de telle sorte que la paume de la
main soit orientée vers le vecteur bleu,
quand ferme la main on passe du vecteur
violet au vecteur bleu, le vecteur obtenu en
faisant le produit vectoriel de deux
précédents est donné par le pouce : vecteur
rouge.
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Calculer le produit vectoriel entre ces deux vecteurs :
;
On dévisse
La technique du tire -bouchon. On
fait tourner le tire-bouchon dans le
sens premier vecteur vers deuxième
vecteur ( violet vers bleu ), le vecteur
obtenu en faisant le produit vectoriel
des deux précédents est donné par le
mouvement de l’axe du tire-bouchon,
deux possibilités suivant que le tire-
bouchon pénètre ou sort du bouchon.
On visse
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Produit vectoriel : propriétés et règles de calcul
Quelques règles :
: le produit vectoriel est anticommutatif.
Toutes ces relations peuvent trouvées en utilisant le schéma ci-dessous.
Interprétation géométrique de la norme du produit vectoriel
Pour calculer la norme on peut décomposer les vecteurs et appliquer les règles ci-dessus, ou
utiliser la règle
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h
α
Aire du parallélogramme formé par :
La norme du produit vectoriel donne l’aire du parallélogramme formé par les vecteurs
3.4 Produit mixte
Le produit mixte donne le volume du parallélogramme formé par les trois vecteurs.
