Faculte des Sciences et Techniques Universite Paul Cezanne

Formulaire : Derivees et primitives usuelles

Lycee Blaise Pascal TSI 1 annee

Fiche : Derivees et primitives des fonctions usuelles

Dans tout le formulaire, les quantitees situees au denominateur sont supposees non nulles

Derivees des fonctions usuelles

Dans chaque ligne, f 0 est la derivee de la fonction f sur lintervalle I.

f (x) I f 0 (x)

(constante) R 0x R 1xn (n 2 N) R nxn11

x]1, 0[ ou ]0,+1[ 1

x21

xnou` n 2 N, n > 2 ]1, 0[ ou ]0,+1[ n

xn+1px ]0,+1[ 1

2px

lnx ]0,+1[ 1x

ex R ex

sinx R cos xcos x R sinxtan x

i2+ k,

2+ k

h, k 2 Z 1 + tan2 x = 1

cos2 x

Operations et derivees

(f + g)0 = f 0 + g0 (f g)0 = g0 (f 0 g)(f)0 = f 0 , designant une constante (un)0 = nun1u0 (n 2 N, n > 2)(fg)0 = f 0g + fg0

1

un

0= nu

0

un+1(n 2 N, n > 1)

1

g

0= g

0

g2(eu)0 = u0eu

f

g

=

f 0g fg0g2

(ln |u|)0 = u0

u

En particulier,si u > 0 : 8a 2 R, (ua)0 = u0ua1

Primitives des fonctions usuelles

Dans chaque ligne, F est une primitive de f sur lintervalle I. Ces primitives sont

uniques a` une constante pre`s notee C.

f (x) I F (x)

(constante) R x+ C

x R x2

2+ C

xn (n 2 N) R xn+1

n+ 1+ C

1

x]1, 0[ ou ]0,+1[ ln |x|+ C

1

xnou` n 2 N, n > 2 ]1, 0[ ou ]0,+1[ 1

(n 1)xn1 + C1px

]0,+1[ 2px+ C

lnx R+ x lnx x+ Cex R ex + Csinx R cos x+ Ccos x R sinx+ C1 + tan2 x =

1

cos2 x

i2+ k,

2+ k

h, k 2 Z tan x+ C

Operations et primitives

On suppose que u est une fonction derivable sur un intervalle I

Une primitive de u0un sur I est un+1

n+ 1(n 2 N)

Une primitive de u0

u2sur I est 1

u.

Une primitive de u0

unsur I est 1

(n 1) un1 .(n 2 N, n > 2.

Une primitive de u0

pu

sur I est 2pu (En supposant u > 0 sur I.)

Une primitive de u0

usur I est ln |u|.

Une primitive de u0eu sur I est eu.En particulier, si u > 0 sur I et si a 2 R \ {1}, une primitive de u0ua sur I est :

Zu0ua =

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