JOURNAL POUR LES ENSEIGNANTS DE MATHEMATIQUES ET DE SCIENCES PHYSIQUES DU PREMIER CYCLE

DE L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE

petit x

1991-1992 nO 28

Comité de rédaction

Antoine Bodin Rirette Guillennard Collège d'Ornans Ecole normale I.R.E.M. de Besançon Nice

Bernard Capponi Colette Laborde Collège «le Vergeron», Moirans Equipe de Recherche en Didactique LR.E.M. de Grenoble des Mathématiques et de l'Informatique

Université J. Fourier Grenoble François Conne Chercheur en didactique des mathématiques Alain Mercier La Romanèche Lycée technique <<Jean Perrin» ElOy (Suisse) IR.E.M. d'Aix-Marseille

Régis Gras René Métrégiste LR.E.M. Université Paul Sabatier Mathématiques et Informatique

ToulouseUniversité 1 de Rennes

Denise Grenier Nadine Milhaud Equipe de Recherche en Didactique LP.R. des Mathématiques et de l'Informatique Rectorat de Montpellier Université J. Fourier Grenoble

Andrée Tiberghien LR.P.E.A.C.S.

Lyon

Secrétariat de rédaction : Denise Grenier I.R.E.M. de Grenoble

RP. 41 - 38402 Saint-Martin-d'Hères Cedex

© 1991-1992 - IR.E.M. de Grenoble - Tous droits réservés pour tous pays. ISSN 0759-9188. Directeur de publication le Directeur de l'IR.E.M. : Daniel ALmERT Composition, Annie Bicais, LR.E.M. de Grenoble.

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SOMMAIRE

Une introduction à la perspective cavalière en classe de sixième - oberservation didactique des premières activités (p. Laur, R. Noirfalise) 5

Activité Fractions (Ph. Clapponi)

Lecture de textes mathématiques par des élèves (14-15 ans) :

18

Connaissances d'élèves maliens à propos de la racine carrée (A. Bronner) 19

Activité Le journal (Ph. Clapponi) 56

une expérimentation (C. Laborde) 57

Activité Dodécagone (ph. Clapponi) 91

4

UN JOURNAL POUR LE PREMIER CYCLE.

Le journal «petit x» a été créé par l'I.R.E.M. de Grenoble pour favoriser la diffusion des réflexions, des comptes rendus de travaux et d'activités réalisés dans les classes. Ses principaux objectifs sont:

- de constituer, en ouvrant largement les pages du journal à des approches diverses, un lieu d'échanges et de débats sur les problèmes soulevés par l'apprentissage et l'enseignementdes sciences au premier cycle; - d'ajouter un moyen nouveau de formation continue àceux déjà utilisés par l' I.R.E.M. ou l' I.R.E.S.P. un complément aux stages de formation géographiquement et quantitativement limités et à la publication de brochures spécialisées; - enfin, alors que se développent largement les recherches sur l'enseignement en en particulier les recherches en Didactique des Mathématiques et en Didactique de la Physique, «petit x» souhaite constituer un lieu de rencontre pour les enseignants et les chercheurs.

Les articles publiés dans «petit x» sont pour l'essentiel d'un des types suivants :

- Vécu dans les classes: il s'agit de la présentation et de la description de séquences d'enseignement effectivement réalisées dans une des classes du premier cycle. - Outils et documents: proposition d'outils ou de documents d'enseignement - Recherches et réflexions: comptes rendus de travaux portant sur des problèmes d'enseignement ou d'apprentissage en mathématiques, physique, chimie, informatique. - Mathématiques, Physique: articles sur des questions de mathématique ou de physique étroitement liées aux sujets abordés au niveau du premier cycle.

POUR PROPOSER UN ARTICLE•••

Pourproposer un articlepourpublication dans «petit x» nous vous demandons de l'envoyer, si possible dactylographié, à:

I.R.E.M. de GRENOBLE «petit x» B.P. 41 - 38402 Saint-Martin-d'Hères cedex

Indiquer si l'article a déjà été publié, ou est soumis pour publication dans une autre revue.

Les articles soumis sont lus attentivement par quatre collègues membres du comité de rédaction de <<petit x» qui en font un compte rendu. Après discussion, le comité de rédaction prend une décision de publication avec éventuellement une demande de modification (Les manuscrits ne sontpas renvoyés).

Copyright: Le «copy right» de larevue estdétenu par l'IREM de Grenoble qui accordera cependant aux auteurs, sur demande et sans frais, l'autorisation de faire ré-imprimer leurs articles. Us devront mentionner «petit x» pour première publication, ainsi que le fait que c'est l'IREM de Grenoble qui détient le Copyright.

UNE INTRODUCTION A LA PERSPECTIVE CAVALIÈRE

EN CLASSE DE SIXIÈME

Observation didactique des premières activités

Paulette LAUR et Robert NOIRFALISE IREM de Clennont-Ferrand

Un des paradoxes de l'enseignement de la géométrie, c'est qu'il est très important de faire de la géométrie de l'espace, et qu'en réalité, on en fait très peu.

G. VERGNAUD

Introduction

Si la représentation du pavé en perspective cavalière est une capacité exigible de l'actuel programme de 6ème, les manuels sont très peu explicites sur l'introduction de cette représentation codée des objets de l'espace. Certains se bornent à donner un dessin du pavé, disant que cette représentation est en <<perspective cavalière». D'autres énoncent la conservation du parallélisme sur le dessin, règle admise sans que pour autant y soient associées des activités de découverte ou d'appropriation. La réduction sur les fuyantes (non obligatoire, mais usuelle) est rarement citée, et les conservations des alignements, ainsi que la proportionnalité des segments parallèles sont toujours absentes. Si ces dernières peuvent, en toute rigueur, se déduire de la conservation du parallélisme, c'est avec des outils mathématiques non accessibles en sixième. Elles ne sont pas évidentes pour des élèves de cette classe, et cependant, elles sont très utiles dès lors qu'il s'agit de dessiner un assemblage de cubes, ou de réduire et agrandir des solides donnés.

C'est pour faire fonctionner, et rendre explicites ces règles, qu'ont été proposés, dans une classe de 6ème1 les exercices dont on trouvera la description ci-après, de façon que les élèves soient non seulement capables de dessiner un cube ou un pavé, mais aussi un assemblage de cubes, et que cette capacité ne soit pas seulement un savoir faire empirique peu stable, mais un savoir utilisable dans des situations plus complexes de la géométrie de l'espace (en 5ème, 4ème ou 3ème).

1 Dans la classe de l'un des auteurs - P. Laur - les séquences décrites ont été réalisées sous sa conduite.

«petit x» nO 28 pp. 5 à 17, 1991-1992

6

Voici le déroulement prévu et réalisé des activités: • transfert d'un dessin modèle sur un plan horizontal (table) ; • débat pour dégager les règles de transformation du dessin; • transfert d'un dessin «modèle» sur un plan vertical «fuyant» (exercices des

paravents) ; • retour sur les règles; • d'autres séances de dessin en perspective de vrais objets en bois ont suivi;

elles ne sont pas relatées ici.

Alors que l'un des auteurs conduisait la classe où ont été proposées les activités ci-dessous, l'autre était en observation, circulant dans la classe et essayant de relever les stratégies utilisées par les élèves, les unes correctes, les autres erronées. On trouvera donc, ci-dessous, les activités proposées et les procédures, les conduites qu'elles ont engendrées chez les élèves. Nous essaierons, dans cette description, d'illustrer la pertinence de quelques concepts didactiques, comme ceux de variable didactique, du lien entre théorème en acte et procédures...

Nous verrons, en particulier, que le choix de paramètres, comme la forme de la figure, certaines données numériques, ne sont pas neutres et déterminent la mobilisation, chez les élèves, de telles règles plutôt que de telles autres, et consécutivement, d'une procédure appropriée ou non selon les élèves.

1. Transfert d'un dessin modèle sur un plan horizontal une table

Les exercices 1, 2, 3, 4 et 5 décrits ci-après ont été donnés dans l'ordre aux élèves, avec le contrat suivant: les trois premiers sont obligatoires. Il fallait avoir fini le 1er pour avoir accès au 2ème etc.2.

La première question de chaque exercice, reproduction du dessin à l'échelle 2, vise à améliorer la perception du modèle, de sa structure géométrique. C'est la deuxième question qui a fait l'objet d'observations. Le document élève ne portait ni lettre, ni cote. Nous les avons introduits pour faciliter l'exposé.

Exercice 1 : transfert du damier sur la table

cD

A •

B

1 - Reproduire ce damier à l'échelle 2

2 Les exercices du damier, et les suivants, ont été empruntés, ou inspirés, d'un travail de l'IREM de Nancy

7

2 - Reproduire ce damier sur la table. J'ai dessiné le contour

C'D'

;'=---cm-------71

Tous les élèves, sauf un, réalisent l'exercice en utilisant une procédure que l'on qualifiera de «proportionnalité». Ils utilisent, implicitement, le fait que l'image d'un

segment est un segment et que si M est un point d'un segment AB, tel que ~ =K

alors les points images A', B', M', sur le dessin en perspective vérifient ~',~: =K.

Nous avons, ici, l'exemple de ce que G. Vergnaud appelle «un théorème en acte». Les élèves n'ont pas conscience d'utiliser ces théorèmes, mais ils les utilisent dans l'action, d'où l'usage de la terminologie «en acte». Par ailleurs, les propositions utilisées ont un caractère de vérité, et donc fonctionnent, au moins localement dans l'exercice, comme des théorèmes. On verra, plus loin, l'exemple d'un théorème en acte faux. L'usage en acte de ces propriétés apparaît quand les élèves divisent en 10 segments égaux les segments A'B' et C'D' et tracent alors les images des segments «verticaux» du damier, et aussi surtout lorsqu'ils font de même avec les segments A'C' et B'D' pour tracer les images des segments horizontaux.

Remarquons que la procédure de proportionnalité est justifiée dans le cas d'un dessin en perspective cavalière : elle aurait été erronée dans le cas d'un dessin en perspective conique (la règle de proportionnalité étant alors fausse sur les fuyantes).

Il est donc à noter, que cet exercice mobilise, chez presque tous les élèves de cette classe, une représentation de la tâche faisant apparaître, spontanément, dans l'action, une règle «correcte» du dessin en perspective cavalière.

Quelques élèves utilisent bien la procédure décrite ci-dessus, mais des maladresses de report ou de mesurage font que la dixième rangées est plus petite. Il y a là une erreur ne remettant pas en cause les théorèmes en acte mobilisés, ni même la procédure en tant que telle, mais son exécution: les élèves constatent, bien volontiers, leur manque de précision et refont l'exercice avec la même procédure, mais en prenant soin de la mettre en œuvre plus correctement.

Une élève, une seule, a été en difficulté : elle a bien tracé les images des segments «verticaux» en divisant A'B ' en 10. Puis, elle a tracé des points équidistants de 1 cm sur AD'et sur B'C', se retrouvant alors avec 7 lignes sur le damier image au lieu de 10.

On peut supposer qu'elle a utilisé, pour piloter cette procédure, un théorème en acte (faux celui-là) du type: «si 2 segments sont égaux sur le modèle, alors leurs images sont aussi des segments égaux». Les «petits» segments sur A'B' font 1 cm, elle en a déduit que les «petits» segments sur A'D' font aussi 1 cm.

8

Cette élève n'est pas restée en situation de difficulté longtemps: après lui avoir fait remarquer qu'elle n'avait que 7 lignes, elle s'est trouvée devant une contradiction (conservation du nombre de lignes) qu'elle a levée en utilisant elle aussi la procédure de proportionnalité.

Exercice nO 2

Même exercice que le précédent avec la figure de départ suivante:

A

BIE-----I-=------7ID

C

L'exécution du dessin en perspective ne semble pas avoir posé de problème: les élèves utilisent le fait que l'image du milieu d'un segment est le milieu de l'image du segment (cas particulier de la proportionnalité) toujours alliée au fait que l'image d'un segment est un segment.

Toutefois, un élève a manifesté de l'étonnement en voyant que l'image du carré ABCD n'était plus un carré: il a pensé un moment que ce qu'il avait fait était faux. Cet élève a donc, dans cet exercice, mobilisé une procédure correcte, mais il mobilise également, en contrôle de son activité un théorème «en acte» faux du type: «l'image du carré est un carré».

Exercice nO 3 transfert de parallèles

D C

A B

1 - Reproduire ce dessin à l'échelle 2 2 - Reproduire ce dessin posé sur la table. J'ai dessiné le contour

L--~7 9cm C'

B'

9

Cet exercice avait été conçu pour que les élèves utilisent en acte, la conservation du parallélisme. En particulier, les dimensions, 4 cm pour la mesure de AD, 8 cm en longueur du côté du dessin à l'échelle 2, et les 5,8 cm dans le cas du dessin sur la table ont été choisis volontairement «non divisibles» par 3. On espérait ainsi que les élèves n'utiliseraient pas la procédure de proportionnalité. Il n'en a rien été. Les élèves ont utilisé cette procédure: ils ont arrondi pour les mesures non divisibles par 3.

Cet exercice, destiné donc à faire apparaître la conservation du parallélisme dans le dessin en perspective, n'a pas fonctionné correctement par rapport à l'objectif visé.

Nous proposons l'exercice suivant, modifié du précédent; toujours avec l'espoir de voir apparaître une procédure de tracé de parallèles, ce qui implique, bien sûr, l'usage de la conservation du parallélisme.

Exercice nO 3'

6cm

1 - Reproduire ce dessin à l'échelle 2 2 - Reproduire ce dessin posé sur la table

':J, III 1 il

Si la modification du contour ne permet plus d'utiliser la division par 3, cette figure est cependant un peu compliquée et l'exercice satisfaisant reste à trouver.

Cet exercice montre qu'il convient de jouer sur des variables de situation (variable didactique) pour commander l'activation de théorèmes pertinents ou intéressants.

Exercices 4 et 5

10

Ces exercices n'ont été faits que par les plus rapides. Les élèves ont utilisés correctement des prolongements des droites (AB), (AC), (DE), (DF) avec un théorème en acte du type : «si un point M est l'intersection de 2 segments Dl et D2, alors M' son image est l'intersection des images D'l et D'2». li en découle une procédure qui, alliée à la procédure de proportionnalité, permet de régler le problème.

II. Phase d'institutionnalisation sous forme de débat scientifique

Après la première phase d'activités, il convenait d'énoncer «les règles de la perspective cavalière» à retenir, d'institutionnaliser le savoir pour reprendre une expression de G. Brousseau. En effet, si les élèves ont su, parfois après corrections d'erreurs, utiliser des propriétés vraies de la perspective, ils l'ont souvent fait de façon implicite; il convient donc de formuler, explicitement, les règles formant le cours ou une partie du cours.

Pour ce faire nous avons tenté d'utiliser le principe du «débat scientifique» proposé par Marc Legrand: l'enseignant, ou les élèves, énoncent des propositions et la classe est invitée à débattre et à prendre position sur le caractère de vérité de ces propositions.

C'est ainsi que, à propos du premier exercice3, par examen des cases du damier, les élèves ont été d'accord sur le fait que «des cases égales, superposables sur le modèle ont des images superposables sur le dessin». Cette propriété, spécifique de la perspective du damier, a été utile pour contrôler certains tracés imprécis et donnant des résultats inexacts.

Le professeur énonce alors, à propos de l'exercice nO 2, la proposition suivante: «8 triangles superposables sur le modèle donnent 8 triangles superposables sur

le dessin sur la table».

Les élèves votent à l'unanimité que l'énoncé est faux. Cependant, les argumentations proposées ne manquent pas de surprendre: c'est ainsi que pour un élève: «c'est faux, car les triangles ne sont plus isocèles» et cet élève de montrer au rétroprojecteur que le triangle A'B'Q' n'est plus isocèle.

Le débat, les imprécisions des arguments conduisent le professeur à clarifier quelques règles de base du tracé en perspective cavalière.

En effet, c'est en imposant le contour du dessin que l'on impose un tracé dans cette perspective, (d'autres types de contour auraient conduit à d'autres types de perspectives), qui transforme ainsi des triangles isocèles en triangles non isocèles. Le professeur est amené à énoncer les deux règles suivantes qui ont servi aux tracés des contours:

Ho : un carré, un rectangle devient un parallélogramme. RI : les longueurs sur les fuyantes sont réduites.

3 Les figures sont rétroprojetées au tableau avec des solutions proposées par les élèves. Chacun peut aller au tableau montrer des éléments de la figure pour argumenter sa position.

11

Les élèves se souviennent avoir rencontré ces règles en E.M.T. avec un coefficient de réduction de 1/3.

Après avoir introduit RO et RI, les explications de vote n'étant toujours pas très satisfaisantes à ses yeux, le professeur propose alors au débat la proposition suivante:

Pl : Des segments de même longueur sur le modèle donnent des segments de même longueur sur le dessin horizontal.

Résultats du vote Enoncé vrai 7 Faux 5 Je ne sais pas 1 9 élèves n'ont pas voté car pour eux cet énoncé est à la fois vrai et faux.

«C'est vrai et faux, car on peut trouver des segments tels que cela soit vrai et des segments tels que cela soit faux».

Le débat est animé: les questions, les réponses fusent de tous les côtés : «C'est tous les segments ou quelques-uns ?». «Si c'est tous, c'est faux !». «Si c'est quelques-uns c'est vrai». «Des, c'est certain, parce qu'autrement ça serait les». Intéressant, fatigant ! L'enseignant a du mal à gouverner son bateau poussé par

vent de force 8. (Les interactions, centrées sur le sujet du débat, sont nombreuses et vont vites).

Cependant, de nouvelles propositions sont soumises au vote.

P2 : Certains segments égaux sur le modèle deviennent égaux sur le dessin. Vrai 19 Faux 0 ? 3 Vrai et faux 0

P3 : Tous les segments égaux sur le modèle deviennent égaux sur le dessin. Vrai 2 Faux 19 ? 1 Vrai et faux 0

Ces réflexions montrent que, en situation, les élèves seraient prêts à débattre sur l'usage de quantificateurs.

La classe arrive à un accord sur le fait que «quelques segments égaux sur le modèle restent égaux sur le dessin». Un examen des dessins montre que ce sont les segments parallèles, ce qui amènera l'institutionnalisation de la règle:

R2 : Tous les segments parallèles et de même longueur sur le modèle se dessinent parallèles et de même longueur sur le plan horizontal.

12

L'observation des dessins conduit à la règle: R3 : Toutes les droites parallèles sur le modèle se dessinent parallèles sur le

dessin.

Nous conclurons cette partie par quelques remarques sur la méthode du débat scientifique proposé par Marc Legrand, car si elle est intéressante, elle n'est pas sans difficulté.

- Elle est intéressante car elle permet aux élèves de défendre des positions éventuellement contradictoires et surtout de débattre en termes de vérité ou de fausseté s'appliquant à des propositions. Ici, il est intéressant de constater que des formulations ambiguës ne permettent pas de conclure : cela pourrait ainsi débuter un travail plus systématique sur la formulation d'énoncés.

- Elle est difficile car le choix des propositions à suggérer au débat semble primordial pour l'intérêt de celui-ci et il n'est pas aisé de retenir, sans les déformer, les propositions des élèves et d'opérer un choix pertinent parmi l'ensemble des formulations proposées. Elle est aussi difficile car les arguments fusent, avec la maladresse de formulation, et il n'est pas simple de ralentir le rythme des interactions: (on a plus l'impression de rouler en TGV que d'être dans un omnibus). Ceci justifie cette impression de l'enseignant d'être à la barre d'un voilier par un temps de force 8 : c'est la classe qui pilote et l'enseignant tente de suivre.

III. Transfert d'un modèle sur un plan vertical «fuyant» : les paravents

Le principe des exercices suivants est toujours le même : sur un dessin représentant un paravent, un panneau vu de face est décoré: il est demandé aux élèves de reproduire le décor sur les panneaux vus en obliques. Les exercices nO 6, 7, 8 et 9 sont donnés dans l'ordre, les trois premiers sont obligatoires, le dernier facultatif, pour les élèves les plus rapides.

Exercice n° 6

Voici un paravent. Tous les panneaux sont décorés de façon identique. Compléter leur décoration.

13

Pour réaliser cet exercice, beaucoup d'élèves ont utilisé les théorèmes en acte suivants:

- L'image d'un segment est un segment (donc pour tracer l'image d'un segment, il suffit de déterminer les images des extrémités).

- Conservation des distances sur les «verticales». Ceci permet de placer beaucoup de points.

- Conservation du milieu.

L'usage de ces théorèmes en acte et des procédures en découlant conduisent les élèves les utilisant à un résultat rapide.

D'autres élèves se sont servi des procédures utilisant le parallélisme pour tracer les segments du décor parallèles au bord du panneau. Parmi ceux-ci, quelques-uns ont appliqué aussi une conservation des distances sur les obliques. (Ces mêmes élèves n'avaient pas eu de difficulté par rapport à la réduction des fuyantes dans la première gamme d'exercices).

Exercice nO 7

B- 7cm

Le tracé du segment oblique AB a posé des problèmes à beaucoup. Il est à noter ici que peu ont pensé à utiliser systématiquement la procédure de

proportionnalité: peut-être que celle-ci, dans cet exercice, était perçue comme trop coûteuse à appliquer. Beaucoup, en revanche, ont tenté d'utiliser le parallélisme entre AB et CD, mais pas toujours heureusement.

C'est ainsi que souvent les élèves ont prolongé le segment CD pour avoir une des images de AB : peut-être l'usage d'un théorème en acte du type «les images de deux segments parallèles sont des segments parallèles aux deux premiers».

Face à la difficulté rencontrée (à vue d'œil, en contrôle, l'usage de la procédure précédente n'est pas satisfaisante), les élèves ont imaginé des procédures originales: c'est ainsi que l'un remarquant que AB est bissectrice, a tenté d'utiliser «une conservation des bissectrices» qui, bien sûr, n'a pas marché.

Un autre a imaginé prolonger l'oblique AB de façon à obtenir un point sur la verticale du paravent, mais prolonge les autres panneaux du paravent de telle sorte que les bases prolongées soient alignées.

14

Exercice nO 8

A· 'B, ' . x '

, >< ' • C xE." .

: •• 0 :

Le papier pointé triangulaire, qui permet d'éviter certaines mesures, a cependant davantage brouillé la perception des élèves plutôt que l'inverse. C'est ainsi que l'on trouve des non-alignements d'images de points alignés (ce qu'on n'avait jamais observé jusqu'alors), des non-conservations de distance sur des segments verticaux! On peut penser qu'un théorème en acte faux, du type suivant a joué: «l'image d'un point A sur le papier pointé a pour image nécessairement un point du papier pointé».

Débat

De la même façon qu'après la première série d'exercices, un temps a été consacré à débattre sur les propositions, et à institutionnaliser quelques règles.

Le débat a permis de revoir des règles applicables aussi au dessin sur un plan vertical fuyant: RO, RI, R2. Ces règles sont énoncées par les élèves facilement.

De plus, l'exercice nO 8 et l'analyse des erreurs commises a permis d'énoncer la règle de conservation des alignements.

R4 : les points alignés sur le modèle restent alignés sur le dessin en perspective.

L'analyse de l'exercice nO 7 a permis de repérer une règle en négatif: RS : la bissectrice d'un angle sur le modèle, n'est pas toujours la bissectrice de

l'angle sur le dessin en perspective. Cette règle n'a pas été écartée bien qu'en mathématiques il soit peu orthodoxe

d'énoncer des propositions en négatif. fi est à noter, toutefois, que ce type de règles n'est pas inutile: elles permettent de savoir ce qu'il ne faut pas faire et ainsi sont sûrement utiles pour le contrôle de l'usage de certaines procédures.

Débattre deux fois des mêmes règles pourrait paraître inutile: il apparaît, cependant, que le transfert de règles vues pour un plan horizontal fuyant à un plan vertical fuyant ne va pas de soi pour un élève de 6ème. Enoncer deux fois les règles permet de mieux en spécifier les conditions d'application.

15

IV. Commentaires

Le déroulement de cette activité introductive à la représentation en perspective de solides et son observation, nous conduisent à dégager les remarques suivantes.

Dans la détermination d'une activité à proposer aux élèves, il y a un certain nombre de variables (qu'on appelle variables didactiques) pouvant paraître a priori négligeable et, cependant, dont l'affectation de valeur entraîne, chez les élèves, le choix d'une procédure plutôt qu'une autre. C'est ainsi que dans l'exercice nO 7, le choix d'un rapport 5n de proportionnalité est pertinent pour bloquer une procédure basée sur la proportionnalité et appeler une procédure liée au parallélisme.

En revanche, le choix de rapport de proportionnalité dans l'exercice nO 3 n'a pas pour autant empêché les élèves d'utiliser une telle procédure de proportionnalité. Cela invite à modifier le contour du dessin à reproduire de telle sorte que cela oblige les élèves à recourir à des tracés de parallèles.

On le voit donc, rapport de proportionnalité, type de contour, peuvent prendre des valeurs distinctes. Le choix de valeurs à affecter à ces variables dépend donc des procédures que l'enseignant voudrait voir utiliser.

Le choix, dans l'exercice nO 8, de papier pointé au lieu de papier blanc entraîne, certes, des difficultés chez les élèves, mais permet de mettre en évidence une règle intéressante, celle de l'alignement des points, images de points alignés, qui allait de soi avec le papier blanc.

L'intérêt de jouer sur des valeurs de variables didactiques est donc que celles-ci déterminent le choix, par les élèves, de procédures, mais il convient de noter que cela est intéressant car ces procédures sont liées à l'utilisation en acte de propriétés, de relations, relativement à la situation. C'est ainsi que la procédure de la proportionnalité est liée à l'utilisation en acte de la conservation du rapport de proportionnalité; ou encore qu'une procédure liée au parallélisme est liée à l'utilisation de la conservation du parallélisme. Procédures et théorèmes en acte, vrais ou faux, sont donc étroitement liés; il est possible d'activer ou d'inhiber ceux-ci par le jeu des variables didactiques. Ce sont quelques-uns de ces théorèmes qui sont l'objet d'explicitation dans des phases d'institutionnalisation du savoir mis en œuvre.

Pour déterminer une activité, on peut alors, partant des propriétés constituant le savoir à transmettre, examiner les procédures liées à ces propriétés, et à partir de là, construire une situation mobilisant ces procédures.

L'usage en acte, dans une situation donnée, d'un théorème de façon correcte n'implique pas, même après institutionnalisation, l'usage correct de ce même théorème dans une autre situation. C'est ainsi que, dans la première série d'exercices, quasiment tous les élèves ont utilisé, sans problème, la réduction des distances sur les fuyantes. Cependant, on trouve, dans la deuxième gamme d'exercices, quelques-uns de ces élèves qui utilisent de façon erronée une conservation de distance sur des fuyantes.

Relativement à cela, on peut aussi citer les résultats de l'exercice suivant qui a été proposé à la classe dans une séquence ultérieure et qui ne fait pas l'objet du présent article.

16

On proposait aux élèves le dessin d'un cube unité:

Voici le dessin en perspective du cube unité cm3

Quelles sont les dimensions du cube ci-contre ?

Certains élèves prennent leur règle et répondent: c'est un cube de dimensions 2 ; 2 et 1,7 cm! Là encore, on rencontre des élèves qui auparavant n'appliquaient pas la conservation des distances et qui, ici, l'appliquent en acte dans ce nouvel exercice. J

On peut en déduire qu'il convient d'être attentif à la variété des situations mettant en jeu des théorèmes et des procédures: il n'y a pas transfert d'apprentissage de l'une à l'autre.

L'exercice nO 8 illustre cela également: dans les exercices précédents, les élèves avaient toujours respecté la conservation des alignements. L'introduction de points sur le papier, nouvelle situation, perturbe cette conservation.

Conclusion

Signalons tout d'abord que les activités décrites ne couvrent pas le programme «ESPACE» de 6ème. Nous avons également proposé aux élèves des activités de représentation en perspective cavalière de vrais objets en bois, mais aussi des dessins de patron, des activités calculatoires (calcul d'aire, de volume, longueur de ficelle sur un solide). Nous avons aussi utilisé le logiciel de l'IREM de Poitiers «Géométrie dans l'espace: parallélépipède rectangle», une demi-classe travaillant sur le nanoréseau du collège, pendant que l'autre moitié travaillait par écrit avec permutation des groupes l'heure suivante.

Ainsi, la géométrie dans l'espace peut tenir une place tout à fait honorable dans le programme, elle peut, en particulier ne pas se traiter uniquement en fin d'année, et les tracés en perspective cavalière constituent une véritable activité de nature mathématique. Assurant le passage de la vision d'objets dans l'espace à leur représentation plane et inversement, il nous semble important, conformément aux programmes, d'entraîner nos élèves dès la sixième à son utilisation et en ce sens, elle nous semble occuper trop peu de place dans beaucoup de manuels.

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Bibliographie

M. ARTIGUE, 1990, Ingénierie didactique, in RDM, Vol. 9/3, pp. 281-308.

M. ARTIGUE et R. DOUADY, 1986, La didactique des mathématiques en France, in RFP nO 76, pp. 69-88.

F. BONAFE, 1986, Représentation d'un objet de l'espace: la construction d'un problème, petit x nO Il, pp. 37-64.

IREM de Clermont-Ferrand (coll), 1987, L'espace 6ème-Sème, Ed. [REM de Clermont-Ferrand.

IREM de Lorraine: fiches IREM nO 2 : Géométrie dans l'espace (1987) ; fiches IREM nO S : Dessiner l'espace - livre du maître (1988).

IREM de Poitiers, Logiciel de géométrie dans l'espace ; «le parallélépipède rectangle», [REM de Poitiers.

M. LEGRAND, 1989, Atelier circuit ; initialisation dans la classe de mathématiques de la distinction entre différents types de rationalité. Annales de la cinquième école d'été de didactique des mathématiques.

M. LEGRAND, 1990, Rationalité et démonstration mathématique, inRDM Vol. 9/3, pp. 365-406.

G. VERGNAUD, 1981, L'enfant, la mathématique et la réalité, Ed. Peter Lang.

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ACTIVITE... FRACTIONS

Philibert CLAPPONI IREM de Grenoble

Dans ce rectangle on a partagé la diagonale en quatre parties égales.

Quelle fraction du rectangle représente chacune des parties numérotées de 1 à 4.

Explique soigneusement les résultats que tu trouves.

<<petit x» nO 28 p. 18, 1991-1992

CONNAISSANCES D'ELEVES MALIENS

A PROPOS DE LA RACINE CARREE

Alain BRONNER Ecole Nonnale Supérieure

Bamako-MALI

Présentation de l'article

Nous proposons ici un résumé d'une recherche sur les problèmes d'apprentissage et d'enseignement de la notion de racine carrée dans IR en milieu scolaire malien. La plupart des résultats doivent pouvoir se transposer dans d'autres contextes, en particulier dans l'enseignement français.

Plus précisément nous nous sommes intéressés à l'identification et la caractérisation des éléments suivants:

- les significations du concept de racine carrée chez l'élève et, en particulier, son comportement face à des problèmes mettant en jeu cette notion;

- les difficultés et les obstacles de l'apprentissage et de l'enseignement de ce concept.

Compte tenu des liens privilégiés avec la notion de nombre réel , cette recherche concerne aussi l'apprentissage des nombres réels.

Après des études préalables au niveau épistémologique, didactique et cognitif, nous proposons une typologie de modèles de connaissance d'élèves à propos de la notion de "racine carrée". Cette typologie est mise à l'épreuve lors d'une expérimentation dans une classe. Nous tenninerons par une conclusion sur ces connaissances ainsi que sur les difficultés et obstacles repérés.

1. Le savoir mathématique "racine carrée"

Pour appréhender le concept de racine carrée dans IR, nous allons l'analyser sous différentes approches en essayant de délimiter le champ conceptuel qui lui est attaché (Vergnaud 1984).

1.1. Problèmes où la notion est un outil de résolution pertinent

Nous classerons ces problèmes selon les cadres de référence. La liste ne pouvant être exhaustive, nous donnons pour chaque cadre un problème spécifique à partir duquel les autres problèmes peuvent se ramener. Bien entendu, on a en général des correspondances entre les problèmes de divers cadres.

«petit x» nO 28 pp. 19 à 55, 1991-1992

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Cadre numérique : Trouver les nombres b d'un système de nombres tels que t>2 =a, a étant un nombre donné du système de nombres. Cadre algébrique: Résoudre x2 =a . Cadre des fonctions: Recherche des antécédents de a par l'application x--->x2. Cadre géométrique : Construire un carré d'aire donnée. Cadre graphique : Détermination graphique des antécédents de a par l'application carrée.

1.2. Propriétés et algorithmes rattachés à ce concept

Nous donnons essentiellement les propriétés que l'on peut attendre des programmes du secondaire. Nous les formulons dans le cadre numérique.

* Pour tout réel positif il existe un unique réel positif b tel que b2 =a ; b est noté ...ra. Si a> 0 il existe aussi un unique réel négatif c tel que c2 =a et c =-...ra. Si a < 0 il n'existe pas de nombre réel b tel que b2 =a. * (-{a)2 =a pour tout réel positif a. * -{a2 = lai pour tout réel a. * {ab =-va x ..Jb pour tous réels a et b positifs. * ...j a/b =...ra / ..Jb pour a réel positif et b réel strictement positif. * ...j lib =1/..Jb pour b réel strictement positif * Toute conséquence découlant des propriétés fondamentales précédentes (racine carrée du produit de plusieurs nombres, racine carrée d'une puissance,....). * Si a <b alors -va <..Jb pour tout réels a et b positifs. * Propriétés sur la nature des nombres -va. En particulier si a n'est pas un carré parfait rationnel (a n'est pas élément de (D2), la racine carrée de a n'est pas un nombre rationnel. * Algorithme de l'extraction conduisant à des valeurs approchées décimales de la racine carrée de a ; en particulier lorsque a n'est pas un carré parfait rationnel (ce savoir-faire est en désuétude).

1.3. Ensemble des représentations, signes, symboles, mots qui permettent de représenter le concept et ses propriétés

* "racine carrée positive" (ou "racine carrée" s'il n'y a pas d'ambiguïté) de a pour a réel positif: c'est une désignation dans la langue d'enseignement. Elle désigne l'unique nombre réel positif b tel que b2 = a. On désigne aussi par "racine carrée" de a tout réel b (positif ou négatif) tel que t>2 =a. * "-{l'est un symbole spécifique de la notion. On l'appelle "radical" dans la langue d'enseignement. "{a" est une désignation en langage symbolique pour désigner la racine carrée positive de a. *Les représentations graphiques des applications carrée et racine carrée. *Tout tableau de nombres correspondant à l'opérateur "carré" ou "racine carrée".

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1.4. Le champ conceptuel de la notion de racine carrée

Pour cette première exploration du concept de racine carrée, nous suivrons G.Vergnaud (1984) qui montre qu'on ne peut étudier un concept ou une situation isolément, mais à l'intérieur de son champ conceptuel. Le concept de "racine carrée" prend sa signification dans un ensemble de situations et de nombreuses notions lui sont reliées. Nous les explicitons ci-dessous.

La notion de nombre réel

Dans ce champ conceptuel, le concept de nombre, et surtout celui de nombre réel, entretient des relations privilégiées avec celui de racine carrée. A plus de vingt siècles de notre époque, la célèbre "crise des rationnels" chez les mathématiciens et philosophes grecs nous interpelle pour montrer comment le concept de racine carrée fut un promoteur (caché à l'époque) de celui de nombre réel. En retour, l'édifice des réels étant construit, le concept de racine carrée prend toute sa signification et acquiert une stabilité dans cet ensemble. :R est alors un des sur-corps K de l'ensemble des rationnels dans lequel tout élément positif admet une racine carrée dans K.

Des concepts attachés à IR comme les opérations sur les nombres, l'ordre et la valeur absolue vont intervenir de façon importante dans ce champ conceptuel. Cette liaison nous parait importante dans ces implications didactiques et cognitives, et nous y reviendrons plus longuement.

Notions de géométrie

On peut mettre en évidence des liens privilégiés avec certains concepts du cadre géométrique: carré, cercle, grandeurs (longueur, aire), distance, triangle rectangle (théorème de Pythagore et relations métriques), etc. En particulier le concept pennet de mesurer de nouvelles grandeurs (diagonale d'un carré par exemple).

Equation du second degré

Nous avons vu aussi les relations étroites avec le concept d'équation, et surtout l'équation du second degré. D'une part la notion de racine carrée est définie comme solution d'une équation d'un type particulier du second degré, et réciproquement elle est un outil efficace pour la résolution de l'équation générale du second degré dans IR.

Notion de fonction réciproque

La notion de fonction réciproque est intervenue dans ce champ conceptuel et nous laisse apercevoir une difficulté pour l'apprentissage de ce concept. En effet, la racine carrée d'un réel positif a est l'antécédent de a par la fonction réciproque de la fonction carré sur IR +. Cette définition ne fournit aucun algorithme général pour calculer la valeur (exacte) ; ici le nombre fa est seulement caractérisé selon des propriétés algébriques liées à la structure de corps de IR, contrairement à la plupart des opérateurs vus en début d'apprentissage. Cette absence de "vraie" fonction réciproque de la fonction racine carrée, explicitable à l'aide d'opérations connues de l'élève, est

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une source de difficultés surtout au début de l'apprentissage sur cette notion où les savoirs sont surtout de type procédural.

Notions d'analyse et de topologie sur l'ensemble des réels

La plupart des démonstrations du théorème fondamental de l'existence (admis en général dans l'enseignement secondaire) relèvent d'un changement de cadre. En général on se place dans le cadre des fonctions et de l'analyse en utilisant les outils suivants : fonction strictement croissante, fonction continue, limites de fonction, théorème sur les fonctions strictement monotones et continues sur un intervalle, ou propriété de la borne supérieure d'une partie majorée de IR. Ces outils ne sont pas disponibles pour des élèves du secondaire, en dehors des classes terminales où on ne se préoccupe plus de ce problème.

La complexité du champ conceptuel de ce concept laisse entrevoir de nombreuses difficultés quant à son enseignement et son apprentissage.

II. Des conceptions historiques

Une consultation épistémologique nous a permis d'avoir des éléments sur les grandes formes sous lesquelles la notion de racine carrée et les nombres sont apparus dans l'histoire des mathématiques.

La construction du concept de "racine carrée" est inscrite dans une problématique d'extension des divers systèmes de nombres (en abrégé SN) qui se sont présentés dans l'histoire. Ces extensions sont des réponses à des insuffisances au niveau de la résolution de certains problèmes:

- on n'a pas assez de nombres pour mesurer certaines grandeurs; - le système de nombres ne permet pas un calcul algébrique souple, simple et

efficace ; - certaines équations n'ont pas de racine dans le système de nombres.

Nous donnons maintenant une première typologie de conceptions "historiques" en relation avec la problématique précédente.

a. Conception Carré Parfait (CP) Issu de la conception pythagoricienne du nombre, le nombre est essentiellement

"entier", même s'il prend parfois des formes "décimale" ou "rationnelle". Le sytème de nombres est Z, ID ou <D. La racine carrée d'un entier positif est à chercher dans N et un nombre entier a une racine carrée si et seulement il est carré parfait (carré d'un entier). Le fonctionnement est analogue avec les décimaux et les rationnels lorsqu'ils sont intégrés au système de nombres.

C'est cette conception qui conduira à la "crise des irrationnels" chez les Grecs.

b. Conception Formelle (CF) Pendant une longue période de l'histoire des mathématiques, dans le but de

résoudre des équations, les mathématiciens vont développer des calculs formels sans se préoccuper de la validité des procédures ou du statut des expressions en jeu. Le système de nombres est toujours Z, ID ou <D. Les écritures {8 sont considérées comme des expressions formelles ou des artifices de calculs, que l'on manipule dans

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des calculs algébriques ou des résolutions d'équations avec des règles fonnelles de transfonnations. Elles peuvent donner des racines fonnelles pour des équations du type "x2 = a", mais les..ra, avec a non carré parfait, n'ont pas un statut de nombre.

c. Conception Approximation (CA) Très tôt dans l'histoire les mathématiciens se sont occupés d'approximation

numérique de certains nombres ou certaines grandeurs. Un grand nombre d'entre eux se sont attachés à calculer des valeurs approchées de racines carrées sans se préoccuper du statut de ces objets ou d'étudier si le résultat de certaines opérations étaient de nouveaux objets.

Les systèmes de nombres, utilisés ici, sont toujours SN = il, ID ou CD. Le concept de racine carrée est essentiellement vu comme un opérateur (parfois multiforme) : -v: (SN)+ ----> J). Le résultat n'est pas un nouveau nombre, mais

un résultat à chercher ou à calculer dans SN et en général dans ID. La racine carrée d'un nombre n'est donc pas caractérisée, dans cette conception,

par sa seule propriété algébrique fondamentale, mais plutôt par le résultat à un certain rang d'un procédé de calcul ou d'un algorithme. Cette conception est entretenue par des ambiguïtés entre un nombre et ses valeurs approchées.

d. Conception Nombre (CN) et Conception Nombre Unifié (CNU) Les..ra avec a dans CD+ commencent à avoir un statut de nombres. lis servent à

mesurer de nouvelles grandeurs, ils sont racines d'équations du second degré et les propriétés des opérations s'étendent à ces nombres.

On peut distinguer deux stades. - conception CN : ces nombres ne sont pas intégrés au sytème de nombres en

vigueur. On distingue les rationnels et les {â, avec a rationnel positif, non carré parfait,

- conception CNU : tous les nombres disponibles sont unifiés dans un système de nombres dans lequel on dispose de toutes les opérations. Celui-ci contient en particulier CD et les {ii.

e. Conception Nombre Réel (CNR) Cette conception se met en place parallèlement à une nouvelle conception sur les

statuts des nombre en mathématique. Des constructions du corps des réels apparaissent et on dispose d'un système de nombres lR qui est un surcorps de CD, caractérisé par des propriétés algébriques et topologiques et tel que tout nombre positif y possède une racine carrée.

III. La racine carrée dans l'enseignement au Mali

La division institutionnelle des niveaux d'enseignement au Mali est comparable au système français. On distingue:

- l'enseignement fondamental avec deux cycles. Le premier cycle comprend six années, de la 1ère à la 6ème, qui correspondent à l'enseignement primaire français. Le deuxième cycle comprend trois années, de la 7ème à la 9ème, qui correspondent au premier cycle du secondaire en France.

-l'enseignement secondaire (de la 10ème à la 12ème année) correspond au deuxième cycle du secondaire en France.

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L'acquisition des nombres et de notion de racine carrée n'échappe pas au projet d'enseignement des mathématiques au Mali. Ce projet suit un schéma assez classique dans son ensemble. On note cependant qu'une approche du concept de racine carrée est présentée en 8ème année.

Nous donnons dans le tableau 1 quelques éléments des programmes et les correspondances entre classes au Mali et en France.

Classe de 7ème (13 ans)

(5ème française) Divisibilité dans N

Ensemble ID + , opérations

Classe de 8ème (14 ans)

(4ème française) Ensembles Z, ID, opérations Racine carrée dans ID Introduction de IR

Classe de 9ème (15 ans)

(3ème française) Compléments sur IR Ensemble <n, opérations Racine carrée dans IR

Classe de lOème (16 ans

(2nde française)

Reprise et compléments sur la racine carrée Equations du second degré

tableau 1

Afin d'analyser la transposition didactique du concept de racine carrée nous avons consulté les manuels officiels en vigueur à l'époque de notre étude (1989-90).

Dans le manuel de 8ème année, deux problèmes sont soulevés dans le but de mettre en évidence des insuffisances dans le système de nombres ID :

- le problème de l'inverse d'un décimal dans ID, • et celui de la racine carrée d'un décimal dans D. En particulier le manuel conclut que:

0,3 n'a pas d'inverse dans ID, 3 n'a pas de racine carrée dans ID.

Le manuel suggère alors de considérer un ensemble IR contenant de nouveaux nombres pour répondre à ces deux problèmes. On peut remarquer que c'est le deuxième problème qui permet de distinguer IR de <no

Le manuel de 9ème année institutionnalise la propriété fondamentale de l'existence de la racine carrée: "Tout nombre réel positif admet une et une seule racine carrée (positive) dans IR" . L'enseignement du concept de racine carrée s'inscrit ainsi dans une problématique d'extention des divers systèmes de nombres. On retrouve dans ce projet d'enseignement le rapport dialectique perçu au niveau de la génèse du savoir mathématique entre les deux concepts de nombre réel et de racine ca"ée.

Compte tenu de la complexité des champs conceptuels de ces concepts, ils ne peuvent être réellement construits dans ces classes de 8ème et de 9ème. Le problème de l'existence de :IR et des racines carrées n'est pas mis en débat ici. L'enseignement des deux concepts s'appuie sur l'un et sur l'autre pour donner plus de réalité à l'un comme à l'autre.

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IV. Les travaux existants sur les connaissances des élèves

IV.I. En France

Teresa Assude (1988) a proposé à des élèves de 4ème et de 3ème en France des situations-problèmes afin, d'une part, de connaître les significations que ceux-ci donnent au symbole ...Ji et les cadres dans lequel ils attribuent ces significations et, d'autre part, de repérer leurs conceptions au sujet des nombres représentés par des racines carrées.

Les objectifs poursuivis dans cette recherche sont assez proches des nôtres, mais la problématique pour caractériser les connaissances des élèves est différente. Cependant, cette étude confirme que des indices des premières conceptions apparues dans l'histoire des mathématiques, à propos des nombres et des racines carrées ressortent chez les élèves dans l'apprentissage des nombres dans le premier cycle de l'enseignement secondaire français.

IV.2. Au Mali

Mohamed Sokona (1989) a réalisé des tests dans des classes de 9ème, lOème et llème au Mali (élèves de 15 à 17 ans) sur la notion de racine carrée. Les objectifs étaient les suivants:

* déterminer les procédures et les propriétés utilisées par les élèves lors de résolution d'exercices à propos de la racine carrée;

* préciser l'influence de certaines caractéristiques des exercices ; * étudier l'évolution des réponses avec le niveau de la classe.

Nous donnons ici trois des exercices composant ces tests, sur lesquels nous allons appuyer notre analyse dans tout cet article.

Exercice 1 : Dites si ces nombres existent oui ou non. Justifier votre réponse : {l6; {I3; {7; N; ff; ~16/9 ; ~13/4 ; ~13/3

~0,36 ; ~ 0,9 ; ~ 4,9 ; -fT;7.

Exercice 2 : Résoudre dans R a) x2 = 13 , b) x2 = 9.

Exercice 3 : a) Existe-t-il un carré dont le périmètre est 18 cm ? b) Existe-t-il un carré d'aire 13 cm2 ?

Ces exercices se situent dans trois cadres différents : les cadres numérique, algébrique et géométrique. Ils sont construits en jouant sur trois variables relatives au nombre figurant dans chacun des items:

* le type du nombre: carré parfait ou non (en fait lorsque le nombre a est négatif, le type du nombre s'applique à son opposé b qui est positif) ;

* le signe du nombre : positif ou négatif ; * la nature du nombre: entier, décimal, rationnel.

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IV.3. Nouvelle analyse des résultats de M. Sokona

Nous allons reprendre l'analyse des résultats de cette expérimentation selon notre problématique. En particulier nous voulons comparer les connaissances des élèves mises en jeu dans les exercices précédents avec les conceptions issues de notre étude épistémologique.

IV.3.1. Ensemble de validité de l'expression fa

Cette analyse concerne l'exercicel. Nous présentons dans le tableau 2 les différents types de réponses en les classant comme indices de certaines conceptions.

Réponses SN 9ème lOème llème Indices de conceptions

B U (-B) ID 15 % CP-N

C U (-C) <D 85 % 10%

C <D 25% 5% CP

}li U ID+ U <D+ ou

E

<D

IR

60% 95% CN CNV CNR

tableau 2

Nous avons introduit les notations suivantes :

C = CN U CD U CQ où l'on désigne par :

CN l'ensemble des entiers carrés parfaits pour l'élève,

CD l'ensemble des décimaux carrés parfaits pour l'élève,

CQ l'ensemble des nombres rationnels carrés parfaits pour l'élève,

(-C) l'ensemble des opposés des éléments de C.

B =CN U CD et (-B) l'ensemble des opposés des éléments de B.

E est un ensemble contenant l1!+ et les {;avec a dans l1!+.

1. Comportements par rapport aux deux variables signe du nombre et nature du nombre

La plupart des élèves des classes de lOème (classe de Seconde en France) et de llème (classe de Première en France) rejettent les nombres négatifs pour le problème de la validité de l'expression fa. De plus leurs réponses semblent indépendantes de la nature du nombre (entier, décimal ou rationnel).

Par contre il n'en est pas de même en 9ème où tous les élèves acceptent des nombres négatifs dans le domaine de validité et pour certains élèves la "nature du nombre" joue un rôle dans le fonctionnement de cet exercice. Par exemple des élèves de 9ème rejettent systématiquement tous les nombres en écriture fractionnaire proposés dans cet exercice.

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2. Comportements par rapport à la variable type du nombre

Trois comportements se manifestent ici en rapport avec cette variable. Nous les décrivons en termes d'indices de conceptions des élèves, telles que celles-ci sont définies en II.

a. Indice de conceptions CN, CNU, ou CNR

Pratiquement tous les élèves des classes de 11ème et un groupe important (60% environ) d'élèves des classes de 10ème fonctionnent correctement sur cet exercice, au moins du point de vue des réponses. lis acceptent tous les nombres positifs qu'ils soient entiers (16, 13, 7), décimaux (0,36, 0,9, 4,9, 1,7) ou rationnels (16/9, 13/4, 13/3). La variabletype du nombre n'intervient pas dans les réponses. Ces élèves semblent bien utiliser le théorème-en acte: "un nombre admet une racine carrée si et seulement si ce nombre est positif'. L'ensemble de validité attribué à ce théorème contient N U 10+ U <n+ =<n+.

Nous ne savons pas où en sont ces élèves dans la conceptualisation des nombres réels. Ceux-ci acceptent-ils vraiment les racines carrées comme de nouveaux nombres? Le système de nombres implicitement utilisé ici est-il <n ou un sur-ensemble de <n contenant les racines carrées de rationnels positifs? Les élèves sont-ils proches d'une conception nombre réel (CNR)? Pour répondre à ces questions, il nous faudrait connaître le fonctionnement de l'élève dans d'autres situations. C'est pour cela que, dans ce paragraphe, nous parlons en termes d'indices de conception.

b. Indice de conception CP

Un quart des élèves de 10ème présentent des indices de comportement liés à la conception CP. D'une part ils rejettent les racines carrées des nombres négatifs. D'autre part, ils semblent répondre affirmativement lorsque le radicande entier est carré parfait (....; 16) et rejettent m et {7. Ce phénomène est confirmé par les réponses données pour des nombres de "nature" différente: la racine carrée de 16/9 existe alors qu'elle n'existe pas pour 13/4 et 13/3. De même l'existence de la racine carrée de 0,36 est acceptée par une grande majorité d'élèves. L'existence de la racine carrée de certains des nombres (0,9), (1,7), (4,9) est rejetée, mais pas toujours les trois à la fois. Cette hétérogénéité des résultats lorsque le nombre est décimal semble provenir des connaissances des élèves à propos des décimaux. Nous reviendrons plus loin sur ce point.

En conclusion, que le nombre soit entier, décimal ou rationnel, ces élèves de 10ème semblent utiliser la règle: "un nombre entier (respectivement décimal, fractionnaire) a une racine carrée si et seulement si ce nombre est un carré parfait entier (respectivement décimal, fractionnaire)".

Ainsi 25% des élèves de 10ème attribuent à la racine carrée un domaine de validité égal à C =CN U CD U CQ. Compte tenu des inclusions entre les divers systèmes de nombres on a en fait C =CQ, mais nous pensons que ces inclusions ne sont pas nettement perçues par les élèves; pour cela, nous laisserons l'écriture de C sous forme de réunion qui traduit mieux le fonctionnement des élèves.

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Ces comportements sont proches de la conception pythagoricienne CP associée au système de nombres <no

La majorité des élèves considèrent que l'ensemble des entiers carrés parfaits est CN = N2 (ensemble des carrés d'entiers) et que l'ensemble des rationnels carrés parfaits est CQ = <n 2 (ensemble des carrés de rationnels) à cause de la règle simple (a/b)2 =a2 / b2. Cependant il n'en est pas de même avec les décimaux où CD dépend de la conception de l'élève sur les décimaux: "décimal =couple d'entier" ou " décimal =entier à virgule". CO est alors égal :

- soit à COI ensemble des décimaux (e,d) où la partie entière e et la partie décimale d sont des entiers carrés parfaits;

- soit à CO2 ensemble des décimaux qui considérés comme des entiers (sans la virgule) sont des carrés parfaits.

Cependant, certains élèves fonctionnent correctement avec CD = ID2 puisqu'ils n'acceptent que 0,36 comme décimal dans le domaine de validité.

c. Indice de conception CP-N

Chez tous les élèves de 9ème et 10% d'élèves de lOème, un autre comportement non décelé dans notre étude épistémologique se manifeste en rapport à la notion de "carré parfait". La majorité de ces élèves de 9ème acceptent comme nombres ayant une racine carrée :

* les entiers positifs qui sont carrés parfaits (100%) * les rationnels positifs, représentés par une écriture fractionnaire, qui sont

carrés parfaits d'un rationnel (86%)* les décimaux positifs que les élèves considèrent comme carrés parfaits d'un

décimal; mais ils acceptent aussi les opposés des entiers carrés parfaits. Nous faisons l'hypothèse qu'il en serait de même pour les opposés des autres

nombres cités ci-dessus. Cette majorité d'élèves de 9ème fonctionnent en prenant un ensemble de validité égal à C U (-C).

Un groupe minoritaire en 9ème (14%) rejette systématiquement les racines carrées des nombres rationnels, alors qu'aucun élève ne le fait pour les entiers ou les décimaux. Ces élèves rejettent peut être d'une façon générale les rationnels écrits en écriture fractionnaire et travaillent avec un système de nombres égal à if U ID . lis attribuent alors un ensemble de validité égal à B U (-B) . Ces élèves de 9ème ont un fonctionnement de type CP sur le domaine des nombres positifs, mais nous avons une différence à cause de l'acceptation de nombres négatifs dans le domaine de validité. Le système de nombres sur lequel ils fonctionnent implicitement est ID ou <n selon leur comportement par rapport à la variable "nature du nombre".

Nous notons CP-N une conception produisant ce comportement à cet exercice et que nous caractériserons plus loin. On pourrait dire qu'elle dérive formellement de CP en prenant aussi des négatifs dans l'ensemble de validité.

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IV.3.2. Solutions de "x =ail et existence du carré d'aire 13 cm2

Cette analyse concerne les exercices 2 et 3. Trois comportements se manifestent en relation avec les conceptions repérées dans notre étude épistémologique. Nous les avons regroupées dans le tableau 3.

9ème lOème llème Indices de conceptions

Pas de solution de "x2=6" Pas de carré d'aire 13 cm2

75 % CP

{6 solution de "x2=6"

Pas de carré d'aire 13 cm2 25% 65% 40% CF

19, {6, ru donnent

des solutions d'équation

"x2=a" et de la longueur d'un

côté d'aire a cm2

35% 45% CN CNV CNR

tableau 3

a. Indice de conception CP Un premier comportement, majoritaire en 9ème, semble correspondre à une

conception de type CP. Cela va conduire à rejeter l'existence de carré d'aire 13 cm2 et l'existence de solutions à l'équation x2 =6 s'écrivant avec des racines carrées.

Pour la résolution de l'équation, M. Sokona signale que quelques élèves se rabattent parfois sur des procédures de division par deux. Les nombres ...ra, avec a non carré parfait, sont toujours rejetés.

b. Indice de conception CF Des élèves acceptent les écritures {il comme expressions formelles utilisées dans

des manipulations algébriques et les équations. Ces écritures peuvent données des nombres lorsque a est carré parfait. Par contre les {il avec a non carré parfait ne sont pas acceptées comme nombre et en particulier on les rejette comme mesures de longueur. Nous avons ici affaire à un comportement de type CF. Ce comportement est majoritaire en 10ème (65 %) et apparaît encore avec une fréquence importante en llème (40 %).

c. Indice de conception CN, CNV, CNR Beaucoup d'élèves (35 % en 10ème et 45 % en 11ème) font intervenir des

nombres tels que -{9, ...}(" ...} 13 comme solutions d'équations ou de mesures de longueur. Ils semblent présenter des indices du type "conception nombre", ou "conception nombre unifié", voire "conception nombre réel". Cependant il est difficile à ce niveau de distinguer entre ces types de conceptions. Notre hypothèse est que la conception CNR ne serait pas atteinte dans ces classes.

IV.3.3. Bilan

S'il est normal d'attendre de meilleurs résultats dans les classes de 10ème et Ilème, on est cependant surpris de l'importante rupture entre les résultats des élèves

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de l'école fondamentale et ceux des classes des lycées. Cette rupture correspond aussi à une rupture institutionnelle entre l'enseignement fondamental et l'enseignement secondaire où une première sélection se réalise.

Signalons de plus que l'expérimentation dans les classes de lOème et de llème a été effectuée dans un lycée "fleuron" de Bamako (le lycée Askia); ceci peut renforcer cette rupture dans les résultats. L'évolution des résultats est ensuite beaucoup moins importante de la classe de lOème à celle de llème.

Une autre hypothèse sur cette rupture est peut être liée à la mise en place chez les élèves de conceptions de type CP ou CP-N en début d'apprentissage. Elles semblent se maintenir encore en lOème pour certains élèves. Ces conceptions correspondent à l'obstacle des "irrationnels" auquel se sont heurtés les grecs avec la conception pythagoricienne du nombre. Elles peuvent constituer un obstacle à une évolution vers des conceptions plus satisfaisantes sur les nombres et la racine carrée.

La maturation sur cette notion semble s'effectuer tard dans la scolarité en particulier lorsque l'élève a fait suffisamment fonctionner le concept dans différentes situations. Nous terminons ici en soulevant une question importante dans ces implications didactiques: les conceptions de type CP sont-elles des passages obligés de la connaissance, sont-elles constitutives du concept ou créées par l'enseignement reçu et par une certaine présentation de la notion en classe ?

v. Une typologie de modèles de connaissances d'élèves

Nous allons maintenant donner nos premières hypothèses sur les modèles de connaissances d'élèves à propos du concept de racine carrée en nous basant sur les diverses études précédentes. Nous décrirons d'abord le fonctionnement de chaque modèle par quelques commentaires, en particulier en indiquant le système de nombres et une signification du concept associés à ce modèle. Nous précisons ensuite la caractérisation du modèle en mettant en corrélation les réponses aux différentes situations dans les cadres numérique, algébrique et géométrique. Nous terminons par un tableau de synthèse reliant modèles et comportements aux trois exercices.

Pour nous, une signification du concept peut être synthétisée par une propriété caractéristique. Prenons pour exemple la propriété suivante: Pour tout réel positifa il existe un unique réel positifb tel que 1J2 =Q, b s'appelle la racine carrée de a. Si a est un réel négatif, a n'a pas de racine carrée dans IR. Dans cette caractérisation, il y a quatre aspects :

- l'aspect opératoire: {3, est un réel b tel que b2 =a, - le domaine de validité : a est un réel positif, - la condition: {3, est un réel positif, - l'unicité: {3, est unique (avec les conditions précédentes).

V.I. Les modèles de connaissances d'élèves

Ces modèles sont des constructions du chercheur pour répondre à ce besoin de description et d'interprétation des observations, en liaison avec les significations des connaissances en jeu chez les élèves. Le terme "modèle" constitue un intermédiaire entre la connaissance de l'élève et le concept mathématique. C'est une approche de

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l'état des connaissances de l'élève qui pennettra de décrire et d'expliquer celles qu'il met en oeuvre et de prévoir ses comportements dans certaines situations.

V.l.l. Le modèle Carré Parfait (CP)

Dans ce modèle, seuls sont acceptés comme nombres les entiers et éventuellement les décimaux et les rationnels. Le système de nombres SN associé à cette conception est ainsi une partie de <0 comprenant au moins N ; le plus souvent SN= ID ou <O. L'aspect opératoire du concept est en général maîtrisé: "la racine carrée de a est le nombre qui multiplié par lui même donne a".

La condition dans ce modèle peut s'énoncer ainsi : 10 est un nombre positif de SN. L'ensemble de validité est l'ensemble des carrés parfaits C ou B avec

C = CN U CD U CQ et B = CN U CD. En général CN = N2 et CQ = <02, mais CD n'est pas toujours égal à ID2 à cause

des conceptions sur les nombres décimaux. Les élèves ont des difficultés à donner un sens aux fa lorsque a n'est pas carré parfait et à les considérer comme des nouveaux nombres. Il y a une résistance à sortir du système de nombres SN. La racine carrée apparaît comme une application

-r-: C ----> SN de l'ensemble des carrés parfaits à valeurs dans le système de nombres.

Dans ce modèle, on a le théorème: Pour a E SN,..Jo existe si et seulement si a est carré parfait. La recherche de la racine carrée de a , se fait dans l'ensemble d'appartenance de a (stabilité dans chaque système de nombres), ainsi:

- si a est entier, ...ra est à chercher dans N; - si a est décimal, ...ra est à chercher dans ID; - si a est rationnel, ...ra est à chercher dans <O. Cette procédure est renforcée par le fait quelle est valide pour la fonction carrée :

si a est entier (respectivement décimal, rationnel) a2 est entier (respectivement décimal, rationnel). Elle est fausse quand on paSse à la réciproque, sauf si on se restreint aux carrés parfaits.

La règle la plus stable associée à cette conception est la suivante :

....[;.2= a si a appartient à N, ID +, ou <0 +et plus spécifiquement ..J p/q)2 = p/q pour pet q entiers. Associée à la conception "décimal = couple d'entiers", cette règle

peut s'écrire ...J e2, d2 =e,d; elle découle de celle sur le carré: (e,d)2 =e2,d2. On a aussi les règles sur les opérations, pour a et b dans le système de nombres

SN et carrés parfaits: ..J ab =fax {h; ..J (a/b) =fa / {h.

Le fonctionnement de ce modèle dans les trois exercices choisis est clair : il est régi par la notion de carré parfait. On peut fonnuler les règles mises en oeuvre dans chacun des exercices.

Ex 1 : ...ra existe si et seulement si a est un carré parfait du système de nombres. On rejette les racines carrées des nombres négatifs.

Ex 2: l'équation x2 = a admet des solutions que pour a carré parfait. Lorsque a est carré parfait, on n'envisage en général que la solution positive.

Ex 3 : le carré d'aire a n'existe que pour a carré parfait.

32

Quel est alors le statut des réponses lorsque a n'est pas carré parfait? Si l'on se place du point de vue du savoir mathématique, les réponses aux trois exercices révèlent des erreurs. Cependant, du point de vue de la conception de l'élève, ces réponses sont cohérentes. C'est en fait du point de vue des attentes du programme basé sur le savoir mathématique que la conception est insuffisante.

Ce modèle semble très stable et très répandu chez les élèves de 9ème et lOème comme nous l'avons observé dans les résultats des expérimentations de M. Sokona. De même, dans les travaux de T.Assude concernant le premier cycle français, les exemples donnés par les élèves cités sur les racines carrées de nombres sont presque toujours des carrés parfaits.

V.1.2. Modèle Carré parfait et Négatifs (CP-N)

Cette conception n'a pu être décelée dans notre analyse épistémologique et nous ne savons pas si elle est apparue dans le développement historique du concept. Nous l'avons repérée dans les résultats d'élèves de 9ème. Elle fonctionne de façon analogue au modèle CP sur les nombres positifs, avec la différence qu'on accepte les ~ lorsque a est carré parfait. Nous avançons deux hypothèses sur l'existence de ce modèle:

- la règle sur le carré (_a)2 =a 2

- dans le manuel de 9ème en vigueur, on institutionnalise au début de la leçon sur la racine carrée le fait que les "racines carrées" de a sont: ...ra et - -va ;il pourrait y avoir une permutation des deux symboles.

Dans le fonctionnement de ce modèle, il nous faut rajouter des règles qui permettent de se raccrocher au cas des positifs. Ici encore nous voyons deux possibilités en relation avec les deux raisons invoquées:

~ = 1a pour a élément de C ou --J -b2 = b (b nombre positif de SN). Comme -a et a ont même carré il pourrait en être de même pour l'opération réciproque,

~ =- ..Ja pour a élément de C ou --J -b2 =-b (b nombre positif de SN) L'application racine carrée a alors pour ensemble de définition C U -C (ou BU -B): "': C U -C ----> &

Une différence de traitement de l'équation "x2 =a", pour a négatif et a =- b2 avec b positif, apparaît ici : une solution est donnée sous l'une des deux formes x =b ou x = - b.

V.1.3. Modèle Conception Formelle (CF)

Dans ce modèle, le système de nombres SN est toujours N, ID ou CD et seuls les entiers, les décimaux et les rationnels ont le statut de nombres. Les racines carrées -..Ji sont considérées comme des expressions formelles, images des nombres du système de nombres, sur lesquelles on agit en transportant les propriétés sur les nombres par homomorphismes. Elles peuvent être considérées comme des artifices de calcul dans des transformations algébriques. La fonction racine carrée est ainsi vue comme une fonction : ~ SN ----> EF , EF désigne cet ensemble des écritures formelles 1a, a variant dans SN.

33

Ces expressions fonnelles peuvent éventuellement "être calculées" et donner un nombre de SN lorsque a est carré parfait (a élément de B ou C) à l'aide de la règle de

transfonnation -{;.2=a. Mais les va sont rejetés comme nombres lorsque a n'est pas un carré parfait et gardent seulement un statut fonnel. Il n'y a pas unification avec les autres nombres de SN. L'élève fonctionne sur cet ensemble EF par "analogie" avec (SN,<, +, x).

On retrouve en fait des règles de transformation des écritures formelles utilisées dans les calculs algébriques et les résolutions d'équations; en particulier

...[iib =va x -..[fj ; V(a/b) =va /-..[fj ; (va)2 =a. Sur les carrés parfaits on peut retrouver les règles spécifiques vues dans la

conception CP.

Le fonctionnement dans les trois exercices choisis est régi par la notion de carré parfait et par les règles fonnelles. Nous les décrirons ainsi:

Ex 1 : va existe si et seulement si a est un carré parfait du système de nombres. Le domaine de validité peut être B ou C selon le système de nombres.

Ex 2: l'équation x2 = a, a dans SN, admet comme solution l'expression fonnelle {a même pour a non carré parfait. On n'envisage en général que la solution positive.

Ex 3: le carré d'aire a n'existe que pour a carré parfait. a n'est pas accepté comme mesure lorsque a n'est pas carré parfait.

Nous envisageons une conception de ce type où l'on accepte les racines carrées de nombres négatifs et que l'on notera "CF-N" avec un domaine de validité égal à B U -B ou C U -Co

V.l.4. Le modèle Approximation CA

Le système de nombres est encore SN = ID ou (1). La racine carrée est essentiellement vue comme un opérateur ou une application

...J: ID + (ou CD +) ----> ID +. A un nombre positif du système de nombres SN on associe un autre nombre de

SN, en général décimal. On ne sort pas du système de nombres. Le résultat est à chercher dans SN. Lorsque a est carré parfait, on utilise la règle {a2 =a.

Quand a n'est pas carré parfait il y a confusion entre a et ses valeurs approchées décimales, et le résultat est l'une de ces valeurs approchées obtenue par divers procédés (machine, algorithme d'extraction, table).

...ra n'est plus entièrement caractérisée par sa propriété opératoire algébrique (...ra)2 =a.

Regardons le fonctionnement de ce modèle dans les trois exercices. Ex 1 : Le domaine de validité devrait être ID + ou (1)+. Mais on pourrait rejeter

certains nombres -va (a non carré parfait) parce qu'ils n'ont pas de "valeur exacte" (sous entendue décimale). Ainsi le domaine de validité peut être réduit à Bou C, c'est­à-dire à des carrés parfaits.

34

Lorsque a n'est pas carré parfait les solutions sont données par des valeurs approchées de fa (et éventuellement les valeurs négatives opposées). Par exemple on

2donnera comme solution positive de x =2 : x= -..ra = 1,4 ou x = -..ra =1,414.

Ex 3 : La recherche de la mesure du coté d'un carré d'aire donnée sera traité comme à l'exercice 2 en donnant des solutions avec des valeurs approchées lorsque a n'est pas carré parfait. Lorsque les racines carrées de nombres négatifs sont acceptées, on notera CA-N la conception associée.

V.l.S. Les conceptions CN, CNU, et CNR

Les racines carrées des nombres rationnels positifs sont considérées comme des nombres en ce sens qu'ils servent à mesurer certaines grandeurs, à faire des calculs algébriques et à résoudre certaines équations. Dans cette conception on dispose des nombres ordinaires (entiers, décimaux, ou rationnels) et des -..ra avec a rationnel positif. Il y a extension de l'espace numérique de l'élève.

Les racines carrées fa ont des propriétés opératoires: on peut les comparer, les ajouter, les multiplier. Les aspects" opératoire" et "condition" de la signification du concept de racine carrée sont maîtrisés.

Les règles sont les propriétés algébriques et d'ordre des racines carrées. Dans les exercices 2 et 3, elles conduisent à des réponses correctes. Dans l'exercice 2, la solution positive est bien donnée sous forme d'une racine carrée -{3 (pour a positif) et en particulier lorsque a n'est pas carré parfait. Les solutions négatives peuvent être envisagées, mais pas nécessairement.

Dans la conception CN, le système de nombres est un ensemble contenant au moins les rationnels et les racines carrées de rationnels positifs. Il peut y avoir plusieurs niveaux en partant du cas où SN est réduit aux nombres cités, jusqu'au cas où il est égal à l'ensembles des réels R. Mathématiquement il y a de nombreux intermédiaires; par exemple on peut ou non accepter des monstres comme

-J{2+ 1 ou ....; {2 + ...j 3 . Les situations retenues ne nous permettent pas actuellement de différentier ces

différents niveaux. Le domaine de validité de l'opérateur "racine carrée" est donc <n+ ou un ensemble E comme défmi plus haut.

Malgré l'extension de l'espace numérique il reste à intégrer tous ces nombres dans un système de nombres; on parlera alors de "Conception Nombre Unifié" CNU. On ne peut différentier cette conception de la précédente avec les problèmes considérés ; il faudrait pour cela envisager d'autres situations. L'homogénéité des nombres semble plus difficile à obtenir qu'avec les relatifs et les rationnels.

Bien que les connaissances des élèves ne suivent pas nécessairement le développement historique, puisque les systèmes et contraintes ne sont plus les mêmes, on peut s'attendre à des résistances à une conception CNU. Un élève, à un certain niveau, aura sûrement des hésitations avant d'écrire de lui même {3 + 1.

Quant à la conception Nombre Réel CNR, on sait la restructuration complexe qu'il faut atteindre.

35

Nous donnons dans le tableau 4 une synthèse des conceptions et réponses aux trois exercices étudiés.

Conceptions Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3

CP-N BU -B

ou CU -C

C ou

B

Pas de solution de l'équation "x2 =a"

avec a non carré parfait *

Pas de carré d'aire a

avec a non carré parfait CP

CF·N BU -B

ou CU -C

C ou

B

{; solution de l'équation "x2 =a"

avec a non carré parlait

Pas de carré d'aire a

avec

a non carré parfait CF

CA Cou B

ID+ <1l+

Solutions données sous fonne de valeurs

approchées

Solutions données sous fonne de valeurs

approchées

CN CNV CNR

<1l+

E

{; solution de l'équation "x2 =a"

avec a positif

Existence d'un carré d'aire a avec a positif La longueur d'un côté est -r;.

tableau 4

*A propos de la conception CP-N et de l'exercice 2, nous envisageons pour la résolution de

l'équation x2 =a où a =_b2 (avec b positif) que l'élève puisse donner des solutions avec deux

possibilités: soit x = ...j -~ = -{b2= b, soit x = ...j _b2 = - ...j b2 = -b.

V.2. Essai d'une hiérarchisation des conceptions

Cette hiérarchisation est présentée à l'aide d'un schéma en annexe. Cet ordre sur les conceptions n'est pas total. Pour un élève, nous pensons que divers cheminements sont possibles, et que les points d'entrée se situent dans les conceptions les plus élémentaires, mais pas nécessairement sur une conception de plus bas niveau. De plus la progression ne s'effectue peut être pas toujours dans le même sens et il peut y avoir des régressions.

D'autre part nous pensons aussi que des "ponts" (en pointillé sur le schéma) peuvent exister entre certaines conceptions, les élèves pouvant mobiliser des conceptions différentes selon les situations. Par exemple un élève peut privilégier une "conception fonnelle" dans des exercices de transformation d'écriture avec radicaux ou de résolution d'équation et mobiliser une "conception approximation" dans des problèmes de calculs de grandeurs comme la recherche du côté d'un carré d'aire donnée.

36

VI. Une nouvelle expérimentation

VI.1. Présentation et objectifs

Nous souhaitons préciser le fonctionnement du concept de racine carrée chez les élèves, en particulier dans les problèmes de validité de l'expression {il, de la résolution d'équations "x2 = a" et de recherche de carré d'aire donnée. Il s'agit d'autre part de mettre à l'épreuve la typologie proposée et éventuellement de l'affmer.

Nous avons réalisé ainsi une nouvelle expérimentation pour compléter cette étude. Nous avons tenu compte de l'importante rupture dans les résultats des élèves de la 9ème à la 10ème due peut-être au choix du lycée Askia où la sélection est importante. Ainsi nous avons choisi de faire passer le test dans une classe d'un autre établissement, l'E.C.LC.A. Il s'agit d'un établissement professionnel où les élèves, recrutés à la fin du cycle fondamental, proviennent de tout le Mali et ne sont pas spécialement sélectionnés. La classe est une 1ère année Administration dont le programme de mathématique est équivalent à une classe de 10ème de lycée (classe de seconde en France).

L'étude de la maturation du concept n'est pas prévue; elle est difficile à entreprendre puisqu'il faudrait suivre une même population d'élèves pendant plusieurs années et observer l'évolution de cette population dans les différentes classes.

Le test était individuel et les réponses devaient être écrites directement sur les feuilles du test distribuées en début de séance. L'effectif de la classe était de 66.

Le test posé Nous avons gardé l'ossature du test de M.Sokona avec les trois exercices. Les

différences concernant ces exercices se situent dans certains choix des valeurs des variables. Une différence au niveau de l'expérimentation réside dans la consigne donnée aux élèves : il était explicitement demandé aux élèves de donner une justification de leurs réponses.

Exercice 1 (concernant le domaine de validité de {ii). L'exercice est pratiquement inchangé, les nombres sont les mêmes et seul 13/3 a été enlevé. Exercice 2: Il s'agit toujours de la résolution de l'équation "xl = a" Le nombre a est toujours entier et nous avons pris les quatre possibilités compte tenu des variables "type du nombre" et "signe du nombre" :

a = 16, a =13, a = -9, a =-7 Exercice 3 : Nous avons formulé l'exercice sous la forme : "Existe-t-il un carré d'aire a cm2 ? Si oui, calcule la longueur d'un côté". a est toujours pris entier positif et nous testons essentiellement ici l'influence de la variable "type du nombre". Les valeurs choisies sont ici a = 25, et a =17.

L'analyse des réponses probables des élèves s'appuie sur notre typologie des conceptions, les résultats des travaux précédents et le choix de la classe de l'expérimentation.

Pour ce qui concerne les réponses des élèves, compte tenu de la spécificité de la classe de lOème choisie, il semble légitime d'attendre des résultats se situant entre ceux des classes de 9ème et de 10ème de l'expérimentation de M.Sokona.

37

Les modèles de conception mobilisés par les élèves devraient être de types carré parfait CP, conception formelle CF ou conception approximation CA, avec une proportion importante pour le premier type de modèle.

Nous pensons que le modèle CP-N sera rarement mobilisé à ce niveau et que les modèles CN et CNV seront rarement atteints.

VI.2. Analyse des réponses des élèves

Nous donnons les types de comportements majoritaires pour chaque exercice et présentons quelques formulations d'élèves pour essayer de préciser le fonctionnement des connaissances dans certaines situations. Les significations de ces réponses sont étudiées en liaison avec nos hypothèses.

VI.2.1. Exercice 1

Les connaissances mobilisées par les élèves de cette classe de l'E.C.I.C.A dans cet exercice sont assez proches de celles repérées dans les classes de 9ème de l'expérimentation de Sokona. Les comportements majoritaires sont du type CP ou CF, et CP-N ou CF-N.

Le domaine de validité de l'expression ...ra est en général C ou C U (-C). L'aspect opératoire du concept fonctionne correctement sur les éléments de C.

On ne relève aucune réponse liée au signe dans le cas des nombres positifs. L'existence de la racine carrée d'un nombre reste liée :

* à l'aspect opératoire du concept , * au fait de pouvoir calculer les racines carrées avec les nombres dont dispose

l'élève. Il n'y a pas extension du système de nombres sur lequel travaille l'élève. La

condition générale caractérisant l'existence des racines carrées ne peut être acquise que parallèlement à l'extension du système de nombres. Cette condition est issue du théorème fondamental sur l'existence de la racine carrée qui fait partie du programme de 9ème année et figure en bonne place dans le manuel officiel au Mali. L'intérêt du théorème fondamental n'est pas perçu par les élèves.

Les formulations d'élèves révèlent les significations sous-jacentes et confirment les règles utilisées.

Ainsi, l'aspect opératoire du concept est apparent dans ce qui suit : * oui, car 42 =16, * oui, car il existe un nombre qui multiplié par lui même donne 16, c'est 4 *n n'existe pas car il n'y a pas un réel qui son produit par lui même donne un carré négatif'.

D'autre réponses révèlent un aspect fonctionnel du concept : * "{I6=4" * "16 en sortant du radical devient 4".

ou une conception pragmatique de l'existence du nombre donné: * "--J 0,36 =0,6 donc "';0,36 existe".

38

Certaines phrases sont des indices d'une conception CP : * non, 13 n'est pas un carré parfait, il n'existe pas x qui au carré est égal à 13 * non, -7 n'est pas un carré paifait".

ainsi que la précision qui est donnée du fonctionnement de la notion de carré parfait entier (a, b), décimal (c) ou rationnel (d, e):

(a) "Non car 13 est un nombre premier et aucun nombre multiplié par lui même donne 13". (b) "Non car aucun de ces nombres au carré donne 7, -{7 est différent de 0, 1,2,3,4,5". (c) "Non car 0,9 n'est pas un carré paifait, il n'existe pas un décimal qui multiplié par lui même donne 0,9". (d) "Oui, parce que 16/9 est un carré paifait et il existe un élément x/y qui au carré =16/9,4/3". (e) "13/4 n'est pas un carré paifait car 13 n'est pas un carré paifait".

La formulation (a) fait référence à l'arithmétique (nombre premier) dans N tandis que dans (b) il est explicite que la racine carrée d'un entier est à chercher dans N. Dans (c), le nombre x tel que x2 = 0,9 est à chercher dans ID. Dans (d) et (e), lorsque les nombres sont écrits sous forme fractionnaire on cherche la racine carrée sous forme fractionnaire x/y. Certains élèves fonctionnent avec le "théorème" : "p/q est carré parfait si et seulement si p et q sont carrés parfaits".

Les formulations suivantes révèlent une conception de type CP-N : * "oui car -9 est un carré paifait" (5 élèves) * "il existe ~ qui est égale à 3", * "-9 en sortant du radical devient -3", * "oui, car -32 =-9".

Avec en même temps des réponses du type suivant pour ..r:7 : * "non car -7 n'est pas un carré paifait", * "non tout nombre multiplié par lui même ne donne -7".

Dans le domaine des nombres négatifs ces élèves acceptent -{:3 lorsque a est carré parfait. Ces réponses semblent s'appuyer sur des relations ambiguës du type

"-32 =-9", ou plus explicitement sur des règles, telles que:

pour b positif, -J _b2 = b (3 élèves) ou ~= -b (13 élèves). Leurs raisonnements reposent toujours sur l'aspect opératoire de la notion avec

en plus des difficultés au niveau des opérations sur les nombres. Le fait qu'un nombre négatif ne peut être le carré d'un nombre n'est pas acquis.

Indice de conception de type CF * "La {Tfexiste, mais pas dans IR, car 13 n'estpas carré paifait".

m ne semble pas avoir un statut de nombre. Le problème est aussi de savoir ce que représente l'ensemble R pour cet élève.

Indice de conception de type CA * "Non {T3 n'existe pas directement. Elle est comprise entre -J9 et m; mais ne donne pas une réponsefue".

39

* "Non m ne donne pas un carré[zxe" et "non car en calculant il ne donne pas un entier".* "Non la racine carrée de 13 n'a pas une valeur déterminée".

Nous relevons ici les ambiguïtés des rapports entre un nombre et ses valeurs approchées. L'existence de la racine carrée semble liée au fait qu'un algorithme de calcul doit se "terminer", c'est-à-dire on doit obtenir un entier ou un décimal Il n'y a pas d'extension du domaine numérique.

D'autres formulations montrent les difficultés des élèves avec la notion de fonction réciproque.

* "Non car 13 ne peut être élevé au carré". * "Oui, car m =(6,5)2".

Il semble que ces élèves ont des difficultés à exprimer que 13 n'est pas l'image d'un nombre par l'application "carré". Des confusions entre l'application "racine carrée" et sa réciproque apparaissent.

Certaines réponses sont liées à la notion de parité du nombre. Il s'agit peut-être de confusions entre "double" et "carré" ou de confusions avec l'opérateur de division par 2:

* "Non, car 13 est un nombre impair". * "Oui car 16 est pair". * "Non, car 1,7 ne donne pas un nombre pair". * "...; 13/4 n'existe pas car 13 est impair et 4 est un nombre pair".

* "Oui, carffl=(6,5) x2".

* "Ouicar-.J0,36 = 0,18".

Liens entre règles sur racine carrée et conceptions sur les décimaux

Si les comportements majoritaires (50 %) sont tous en relation avec une conception de type CP, ils font apparaître des modèles différents sur les décimaux. Nous avons repéré trois groupes d'élèves.

Le groupe CPSDD : Il s'agit de 8 élèves fonctionnant avec une conception de type CP et sans erreurs de calcul sur les décimaux. Ils acceptent l'existence de -.JO,36 et rejettent la racine carrée de 0,9; 4,9; et 1,7 en référence à la notion de carré parfait.

En particulier CD = ID2.

Le groupe CPCED : Ces élèves (au nombre de 12) fonctionnent conjointement avec des connaissances de type CP et des conceptions de type "couple d'entiers" ou "entier à virgule" sur les décimaux. On ne peut se déterminer ici entre les deux conceptions sur les décimaux compte tenu des valeurs choisies. Ces élèves acceptent les racines carrées de 0,36; 0,9; 4,9 et rejettent celle 1,7. Nous donnons quelques formulations d'élèves de ce groupe qui illustrent notre propos:

* "oui, si je fais 2x2=4 etjefais encore 3x3=9,je peux mettre sous racine "';4,9 carré paifait", * ""';4,9 oui, tous les deux nombres ont un nombre qui multiplié par lui même dans chacun des 2 nombres",

40

* "2,3 x 2,3 =4,9 " (11 élèves) Ces élèves semblent utiliser implicitement le théorème: Un décimal a=(e,d)

est carré parfait si et seulement si la partie entière e et la partie décimale d sont carrés

parfaits, et la règle: ...j (e2, d2) = (e,d).

Le groupe CPEVD : Le dernier groupe concerne 13 élèves qui acceptent l'existence de la racine carrée de 0,36, mais aussi celle de 0,9 en le considérant en général comme le carré de 0,3. Ils rejettent les nombres 4,9 et 1,7 pour cette question d'existence. Nous pensons qu'il s'agit d'élèves fonctionnant toujours avec une conception de type CP sur ces items, mais ayant des difficultés avec la gestion de la virgule dans les opérations sur les décimaux, et surtout lorsqu'il y a présence de ° dans l'écriture décimale du nombre.

VI.2.2. Exercice 2

Le fonctionnement des élèves dans cet exercice est assez conforme à ce que l'on s'attendait et, pour la plupart, il semble issu de conceptions CP ou CP-N, et CF ou CF-N. On relève quelques comportements pouvant être associés à une conception CA.

Aucun élève ne répond correctement à cet exercice et, en particulier pour "x2 = 13". Seuls quelques élèves envisagent des solutions dans le référentiel de l'équation des nombres négatifs. On note 4 élèves qui donnent aussi -4 comme solution de l'équation "x2 = 16". Peu d'élèves (15 %) rattachent ce problème de résolution de l'équation x2 = a avec la notion de racine carrée. Dans le changement du cadre numérique au cadre algébrique il n'y a pas réinvestissement du concept pour la plupart d'entre eux.

x2 = 16

x=4 ou

x = 4 ou-4

ou

x=m

2x = 13

ocar

13 n'est pas carré parfait

x=m

x = 3,6 (valeur

awrochée)

x2= .9

ocar-9 ~o

ou car -9 n'est pas

carré oarfait

x=...r9 ou x = 3 ou x =-3

x=...r9 ou x= 3 ou x=-3

00u x=3

ou

x=-3

2x = -7

0car-7~O

ou car -7 n'est pas carré oarfait

ocar -7 n'est pas carré parfait

x =-.r7

0 ou une valeur

approchée de -fi ou-17

Indice de Nombre conception

9 CP

5 CP·N

8 CF

CF·N

3 CA

CA·N

tableau 5

Les résultats entre les classes de lOème du lycée Askia et ceux de la classe de l'E.C.I.C.A sont très différents. Par exemple si on considère l'équation x2=13, on

41

qu'on en a que 15 % à l'E.C.I.C.A. Les résultats des élèves de l'E.C.I.C.A semblent plus proches de ceux de la classe de 9ème. Comme en classe de 9ème, on observe ici de nombreuses procédures de division par 2.

Le tableau 5 caractérise les comportements des élèves que l'on peut associer strictement à un des modèles de notre typologie.

Nous précisons maintenant certains comportements et quelques formulations d'élèves.

1. A propos de la conception CP : Le référentiel implicite de l'équation est en général N, et très rarement ~. L'élève donne des solutions quand il peut les calculer avec son système de nombres. Des formulations :*"" car ()2,]2, 22, 32, 42, 52 sont différents de 13",

* "non, parce que 13 est un nombre premier différent d'un carré parfait".

2. A propos de la conception CP-N : La différence avec le comportement de type CP se présente pour le cas "x2 =-9". Les élèves présentent -9 comme un carré parfait en se basant sur des relations du type :

"-32 =-9" ou "-3 x -3 =-9" ou "-3 x 3 = -9".

3. A propos des conceptions CF et CF-N : L'élève fournit une solution sous la forme -va même pour a non carré parfait et même pour a négatif. A l'exercicel, il a rejeté l'existence de m, ...fi, mais pas {T6. On distingue deux types de formulations.

Application d'une règle formelle : "s = N13} car x2 =13 <---> x =~ 13". (règle utilisée aussi pour -9) ou

"x =m car 'V x E IR ,. Y E IR si x2 = y ----> x = -.J y". (aussi utilisée pour -7).

Application d'une convention d'écriture : - " x = m parce qu'il n'existe pas la racine de -.J 13, donc la valeur de x reste

obligatoirement sous radical", - " x = m parce que x2 est un carré parfait et 13 n'est pas un carré parfait.

Pour le résoudre on prend le carré parfaït de x2 qui est x et on écrit x sous radical", - " x2 =13 donc x =mparce que 13 n'est pas un carré parfait, on l'écrit

m". Il semble que, lorsque le nombre n'est pas carré parfait, on doit exprimer

formellement la réponse à l'aide du symbole "radical". Il se pose ici le problème du statut de la réponse m fournie par l'élève. On observe que tous ces élèves ont rejeté l'existence de mà l'exercice 1 et, en général, parce que 13 n'est pas carré parfait. Ainsi m n'est pas accepté comme nombre, mais semble convenir, par le biais de manipulation formelle et de symbolisme, comme solution ou, au moins comme réponse acceptable au problème de la résolution de l'équation "x2 = 13". Lorsque a n'est pas carré parfait, -va est une expression obéissant à une règle formelle dans la manipulation des équations, qui n'a pas un statut de nombre pour l'élève.

42

L'homogénéité des nombres du système de nombres en vigueur et des racines carrées est loin d'être réalisée.

4. A propos des conceptions CA et CA-N : Pour "x2 = 13" des élèves donnent comme solution de l'équation une valeur approchée de m. Ces élèves fournissent parfois une valeur approchée de 17 pour solution de l'équation "x2 = -7". Voici quelques exemples de formulations:

* "x =3,6056 , on calcule le radical de 13 qui est égal à 3,6056", * "x =2,647,. x2 = -7 , xl = 2,647 car si x2 = -7, x2 serait le carré de xl ", * "x =...;13. Si x2 =1 3, sachant que x2 = x.x et 13 n'est pas un carré parfait.

Pour obtenir x on cherche la racine carrée de 13 qui sera un décimal"

Ce dernier élève explicite clairement que la "racine carrée" est un opérateur qui à un nombre non carré parfait associe un nombre décimal.

Ce comportement, où {IT apparaît comme le résultat d'un opérateur ou d'un algorithme et confondant {IT avec l'une de ses approximations, nous semble un indice d'une "Conception Approximation" CA.

5. La procédure de division par 2 (D/2) Le statut de cette procédure n'avait pas encore été envisagé et en particulier elle

n'est pas intégrée comme élément d'un modèle de connaissances dans notre typologie. . Nous savons que de nombreux élèves de 9ème dans l'expérimentation de M.Sokona l'utilisent à propos de l'équation x2 = 13. T.Assude signale aussi son apparition dans son expérimentation.

Nous allons essayer de caractériser les comportements d'élèves utilisant cette procédure à l'aide des résultats de notre test. Nous relevons que 13 élèves l'utilisent, implicitement ou non, au moins une fois. Anticipant sur les résultats de l'exercice suivant nous pouvons dire que dans cette expérimentation les élèves n'ont pas mobilisé cette procédure dans l'exercice 3. De plus elle n'est utilisée que par 4 élèves à l'exercice 1. Elle n'est vraiment apparue qu'à l'exercice 2.

La fréquence maximum d'utilisation est atteinte lorsque a est un nombre positif et non carré parfait (a = 13 dans ce test), ce maximum est approché aussi lorsque a est négatif et opposé d'un nombre non carré parfait (a =-7 dans notre test).

Trois comportements se manifestent en rapport avec cette procédure.

Le comportement;::;; CP-N : Ces élèves ont pratiquement un comportement de type CP-N aux exercices 1 et 2. Cependant à l'exercice 1 ils ont utilisé implicitement D/2 pour "';0,36 en écrivant "';0,36 = 0,18. Ils donnent aussi -{f6 = 4, ~ = 3, "';0,9 = 0,3 et rejettent les racines carrées de 13, 7, -7, (4,9), (1,7), 16/9), et (13/4).

Pour ces élèves la procédure D/2 n'est pas stable. Elle apparaît comme une perturbation locale à l'exercice 1. Ces élèves sont en voie d'atteindre une conception CP-No Nous noterons;::;; CP-N ce comportement.

Les comportements CP + D/2 et CP-N + D/2 : (5 élèves). Des élèves utilisent dans certaines conditions la procédure D/2 à l'exercice 2.

L'aspect opératoire du concept de racine carrée semble maîtrisé sur l'ensemble C des carrés parfaits pour l'élève. On écrit à l'exercice 1 : -{f6 = 4, (0,6)2 = 0,36, (2,3)2 = 4,9, (4/3)2 = 1 6/9. Pour les entiers négatifs, soit on rejette les racines carrées, soit on écrit -v:9 = 3 ou -3. Au niveau de la résolution de "x2 = 16" on donne

,! '

43

4 comme solution. Pour l'équation "x2 = -9" la réponse est soit "0", soit "x = 3", soit encore "x = _3". Sur C U-(C) ces élèves ont un fonctionnement comparable à celui décrit dans les conceptions CP et CP-No

La différence se situe au niveau de la résolution des équations "x2 =a" lorsque a est positif et non carré parfait, ou l'opposé d'un tel nombre. Dans ces cas ces élèves se rabattent sur une procédure D/2 : ils donnent x = 13/2 comme solution de "x2 = 13". Pour "x2 =-T' la réponse est, soit 0, soit x =-7/2 .

L'origine d'un tel comportement peut provenir d'une confusion dans l'écriture formelle x2 entre carré et double, et plus généralement de difficultés au niveau des opérations sur les nombres. L'absence d'opérateur réciproque "explicite" de l'opérateur "élévation au carré" renforce peut être ce comportement. Lorsque les nombres sont carrés parfaits, l'élève "voit" l'antécédent du nombre, mais cela ne lui suffit pas à construire une signification correcte de l'opérateur réciproque qu'il identifie alors formellement avec la procédure de division par deux. Dans le cas de nombres non carrés parfaits, il applique alors la procédure D/2.

Les conèeptions de ces élèves sont assez proches des conceptions CP ou CP-N, mais avec une différence de traitement de l'équation x2 =a pour certaines valeurs des variables comme nous l'avons observé. On note aussi une dégénérescence de l'aspect opératoire du concept de racine carrée.

Ce comportement sera noté CP + D/2 ou CP-N + D/2 selon le cas.

Le comportement CD/2: (6 élèves). A l'exercice 1 on répond que {f6 = 4 et parfois aussi que --./ 0,36 = 0,6,

--./0,9 =0,3. On rejette les racines carrées de 13, 7, -7 et parfois à cause de la parité. Le fonctionnement commun de ces élèves est d'utiliser systématiquement une procédure D/2 à l'exercice 2 avec les nuances suivantes:

- certains donnent ainsi la réponse définitive x =al2. - d'autres, après avoir utiliser la procédure D/2, rejettent parfois le résultat pour

a = 13, -9, -7, en invoquant la notion de parité (où en disant que l'opération ne tombe pas juste). TI semble que pour ces élèves le résultat doit être dans N.

- un des élèves lève la contradiction (avec l'exercice 1) pour a = 16 en faisant ensuite une division par 4 dans ce seul cas.

A l'exercice 3 on a une procédure de division par 4. Ainsi ces élèves font fonctionner l'aspect opératoire correctement sur les carrés parfaits dans le cadre

numérique, en particulier sur les calculs du type -{iloù a EN, parfois aussi pour

aE ID, et a E <IL Mais TI semble que pour ces élèves l'opérateur formel réciproque de l'élévation

au carré est la division par 2. Dans le cadre algébrique ils utilisent systématiquement une procédure D/2 dans la résolution de l'équation x2 =a.

Cette conception sera notée CD/2 .

Ces différents modèles sont rajoutés dans notre typologie et ils apparaissent comme des dégénérescences des modèles CP et CP-No

VI.2.3. Exercice 3

Deux comportements majoritaires se manifestent à cet exercice comme le montre le tableau 6.

44

1. Comportements de type CP On relève un nombre important d'élèves qui fonctionnent avec des

connaissances de type CP à cet exercice, et en particulier qui rejettent l'existence du carré d'aire 17 cm2. L'aspect opératoire du concept de racine carrée est maîtrisé et fonctionne correctement pour des carrés parfaits.

Carré d'aire a cm2

a = 25 a = 17 Nombre Type de connaissances

oui, car 52 = 25 et Aire = L2

ou L=W

non, car 17 n'est pas un carré parfait

21 CP, CF,

CP-N . CF-N

25/4 17/4 10 Procédure D/4

tableau 6

Voici des formulations d'élèves qui utilisent explicitement la notion de racine carrée pour a = 25 (8 réponses).

* "Oui, il existe un carré d'aire 25 cm2. La longueur d'un côté est ..J25 = 5". * "Oui, la longueur d'un côté sera 5. Soit x2 le carré d'aire égale à 25 : x2 =25. Pour la longueur d'un côté on ax = ..J25 <--->x =5". * "Oui, c'est 5 cm, car si le carré d'aire (surface) est 25 cm2 ,. le côté est "';25 =5". Et des formulations d'élèves qui rejettent le carré d'aire 17 cm 2.

* "Non, parce qu'il n'existe pas ce côté car 17 n'est pas un carré". * "Non, le carré d'aire 17 cm2 n'est pas un carré parfait". * "Non, parce que la surface du carré étant 17 cm2, nous savons que la surface d'un carré = côté au carré,. or il n'existe pas un élément x qui au carré est égal à 17 parce que 17 n'est pas un carré parfait". * "Non, Lx L # 17". * "Non, parce qu'il n'existe pas de chiffre qui multiplié par lui même donne 17, je veux dire double, donc la longueur ne pourra pas être calculée".

On observe ici une confusion, au moins au niveau du langage, entre "double" et "carré". Nous voyons ici l'effet de la contextualisation choisie dans ce cadre géométrique sur les formulations des élèves.

2. Procédure de division par 4 De nombreux élèves mobilisent une procédure de division par 4 (D/4) pour les

deux items de cet exercice. Bien que cette procédure ait été envisagée, nous ne pensions pas qu'elle serait fréquente à ce niveau.

Quelques formulations :* "oui, si la surface =25 cm2 pour calculer la longueur d'un côté on divise 25 : 4 = 6,25 donc la longueur d'un côté = 6,25", * "il n'existe pas un carré d'aire 25 cm2, car pour pouvoir calculer la longueur de ce carré ilfaut un côté qui sera multiplié par 4". Parfois on rejette le résultat quand il n'est pas dans N.

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Ce comportement est fortement lié à la contextualisation choisie dans cet exercice. Il semble provenir d'une confusion entre "périmètre" et "aire". fi aurait été souhaitable de s'assurer des connaissances des élèves à propos de ces notions géométriques.

Un seul élève fait intervenir m comme mesure du côté: " oui, la longueur d'un côté seraitm comme ce n'est pas un carré parfait". Il faut signaler que, dans un premier temps, l'élève a répondu "non", et ensuite il

a raturé et écrit "oui,... ". Cet élève qui par ces réponses aux deux premiers exercices relève d'un modèle de conception CF, semble évoluer vers un modèle CN.

Un seul élève aussi semble donner une réponse de type CA avec la formulation suivante: "non, on ne peut pas calculer la longueur d'un côté de ce carré parce que 17 crri2 n'a pas de racine carrée fixe".

Aucun élève n'a utilisé une procédure de division par 2 dans cet exercice contrairement au problème de l'équation "x2 = a".

Nous voyons que la mobilisation des connaissances dans les divers problèmes dépend de la contextualisation choisie et en particulier que les problèmes ne sont pas perçus équivalents par les élèves.

VI.3. Comparaison des résultats entre les divers items du test

Le test a permis d'enregistrer 1122 réponses. Le nombre de réponses correctes est assez faible, soit 145 (12 %). Par contre le nombre de réponses liées à la notion de carré parfait est assez élevé, soit 467 (42 %).

Nous proposons dans le tableau 7 une comparaison des réponses aux items par rapport aux deux critères réussite et réponse liée à la notion de carré parfait.

Groupe d'items

Existence de {; pour a = 16 ; 0,36 ; 16/9 ; Carré d'aire a cm2 a= 25

Existence de {; pour a = 13 ; 7 ; -7 ; 4,9 ; 1,7; 13/4 Equation "x2 = a" a= 13,-7 Carré d'aire a cm2

a = 17

Existence de {; pour a = - 9

Equation "x2 = a" a = - 9

Fréq uences de réussite et de réponse de type CP

Réussite : élevée Fréquence de réponses de type CP : moyenne

Réussite : très faible Fréquence de réponses de type CP : élevée

Réussite: assez faible Fréquence de réponses de type CP : élevée Nombreuses réponses liées aux règles :

".a2 = a

ou ~ --a

Caractéristiques Remarques communes particulières

La réussite est plus fone lorsque le nombre est entier et elle est plus forte sur les décimaux que sur les rationnels

a est carré parfait

a est positif et non carré Ces items sont parfait essentiels pour repérer

et caractériser des

ou a est négatif a = -b

connaissances de type CP, CF, CA, CN

avec b non carré parfait

Ces items sont indispensables pour avoir des indices sur des connaissances de type CP-N ou CF·N

a est négatif a = -b avec b carré parfait

tableau 7

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L'item concernant l'équation "x2 = 16" a un statut particulier et ne rentre pas dans les groupes précédents. Cet item a été mal réussi malgré le fait que le nombre est ici un carré parfait. Nous pensons que cela est lié aux difficultés avec la notion générale d'équation et au fait que les élèves ne considèrent pas, en général, des nombres négatifs dans le référentiel de l'équation.

Ce tableau peut nous guider sur les choix des valeurs des variables selon les objectifs d'une séquence d'enseignement ou d'un test.

VI.4. Caractérisation des connaissances des élèves

Nous rappelons que notre but était d'identifier et de caractériser les connaissances que les élèves mettent en jeu dans des situations spécifiques de la notion de racine carrée. A ce terme de notre étude, nous avons caractérisé l'état des connaissances de chaque élève de cette classe de l'E.C.I.C.A par quatre indicateurs.

*Le système de nombre (SN) sur lequel il fonctionne implicitement. *Le domaine de validité (inclus dans SN) de l'expression fa. *Le fonctionnement sur les décimaux. *Le modèle de notre typologie de conceptions.

1. Le système de nombre SN Nous avons attribué à chaque élève l'un des modèles ~,ID, et <n lorsque cela était possible. Une étude plus approfondie serait nécessaire pour avoir des modèles plus fins et sûrement plus proches des connaissances des élèves que ces modèles mathématiques

Système de nombres ~ ID <D

Nombre d'attributions 5 15 42

2. Le fonctionnement sur les décimaux Nous avons pu déterminer le fonctionnement de 55 élèves par rapport aux

comportements CPSDD, CPCED, CPEVD définis dans l'analyse locale (VI.2.1).

Groupe sur les décimaux CPSDD CPCED CPEVD

Nombre 8 19 28

Dans cette classe, 47 élèves ont des difficultés avec les décimaux et 19 ont des symptômes de modèles de conceptions "couple d'entiers" ou "nombre entier à virgule" sur les décimaux. La notion de racine carrée semble être aussi un révélateur efficace pour l'étude des conceptions d'élèves à propos des décimaux.

3. Le modèle de conceptions attribué Les modèles sont attribués à l'élève par rapport aux trois situations étudiées. Ils

peuvent nous permettre de prévoir et d'anticiper son comportement dans des situations analogues. Cependant il peut y avoir des décalages dans des situations

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fondamentalement différentes. Il peut en être de même dans des situations mathématiquement équivalentes, mais dont la "lecture" par l'élève ne sera pas perçue comme telle à cause de la contextualisation choisie et de ses connaissances. Un exemple nous est donné avec l'exercice 3 où certains élèves font une confusion périmètre-aire.

Ainsi le modèle, associé à l'élève, est lié aux situations des trois exercices étudiés. Le tableau 8 récapitule les modèles attribués dans cette expérimentation.

Modèles de conceptions nombre d'élèves

"CA" 3

"CA-N" l """ CA-N" 3 + 1

"CF" 7

"CF-N" 3

"CP" 17

"CP-N" l """ CP-N" 17 + 3

"CP + D/2" l "CP-N + D/2" 1 + 3

"CD/2" 7

non attribué 1

tableau 8

Commentaires sur le tableau 8

Les conceptions majoritaires relèvent des modèles CP (25 %) et CP-N (30 %). Ceci nous semble un indice de résistance des connaissances des élèves. Ces conceptions se mettent assez rapidement en place comme le montre l'expérimentation de M. Sokona en classe de 9ème. Elles sont très stables et restent présentes jusqu'en lOème (voire plus tard encore) chez certains élèves.

Les modèles CF et CF-N sont moins fréquents que les précédents dans cette classe, mais une dizaine d'élèves (15 %) relèvent de ces modèles. Ils constituent une évolution des conceptions puisqu'ils permettent de donner des solutions des équations "x2 = a" sous la forme {3. Cette évolution n'est pas que positive puisque certains élèves donnent parfois V9 ou 1=7 comme solutions.

Ces conceptions nous semblent moins stables que les premières et une conception CP ou CP-N peut de nouveau être mobilisée dans des exercices formels. Par exemple, un élève de notre test a un comportement qui semble relever du modèle CF aux trois exercices. En particulier il répond à l'exercice 2 :

"x = WcarV XE JR, Y E JR six2 =y ---->x =..JY ". Cependant, dans un autre exercice de transformation que nous lui avons donné,

un comportement de type CP ressort pour certains items: ""';4 + 5, cela n'est pas possible, -{4 = 2 ,. mais il n'existe pas de nombre multiplié par lui même qui donne 5". "-{8 + {J, non, ni 8, ni 3 n'a une racine carrée".

Dans ce test il y a peu d'élèves à qui on peut attribuer strictement un modèle CA ou CA-N. Sept élèves présentent des indices de comportements de ce type. Une

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hypothèse est que nous n'avons peut être pas donné aux élèves les moyens de les mobiliser: l'algorithme d'extraction est au programme, mais nous ne savons pas s'il est connu de tous. On aurait pu fournir des tables de carrés ou des calculatrices.

Le nombre d'élèves associés aux modèles CP + D/2 , CP-N + D/2, CD/2 n'est pas négligeable. Nous pensons qu'ils doivent être pris en compte dans la typologie et surtout dans des classes de "bas niveau" d'apprentissage. L'un de ces modèles a été attribué à 11 élèves (soit 17 %). Ceux-ci ont des difficultés avec la notion de fonction réciproque et identifient parfois l'opérateur "racine carrée" comme la procédure de "division par 2" D/2.

VI.S. Confrontation avec les prévisions dans cette classe

Dans l'analyse a priori, on avait prévu qu'il y aurait une proportion importante d'élèves qui mobilisent des conceptions de type CP, CF, CA avec une priorité pour le premier. C'est effectivement ce que l'on a constaté.

Par contre, nous ne pensions pas relever une proportion aussi importante de conceptions de type CP-N dans une classe de lOème. Cette tendance ne s'était pas présentée dans les classes de 10ème du lycée Askia. Or 30 % des élèves de l'expérimentation de l'E.C.I.C.A relèvent encore de ce modèle CP-N 'qui semblait être le modèle majoritaire des classes de 9ème.

Les modèles CD/2, CP + D/2, et CP-N + D/2 n'avaient pas été envisagés. L'examen détaillé des protocoles a permis de mettre en évidence et caractériser ces conceptions de "plus bas niveau" dans la hiérarchie des modèles. Nous n'avons pas pu attribuer des modèles CN ou CNV à certains élèves, nous pensions en rencontrer très peu, mais quelques uns cependant. Les modèles attribués aux élèves de cette classe et leurs fréquences montrent que le niveau général d'acquisition du concept est faible et se situe autour du modèle CP. Beaucoup d'élèves semblent avoir des conceptions assez proches de celles repérées dans les classes de 9ème, c'est-à-dire associées à des modèles CP-No

Nous avons relevé chez de nombreux élèves des difficultés avec la notion de fonction réciproque; ce qui peut expliquer, en partie, le faible niveau d'acquisition. D'autre part de nombreux élèves ont des difficultés avec les nombres et en particulier les décimaux. Vingt d'entre eux semblent rejeter les nombres en écriture fractionnaire.

Bien entendu, le concept de nombre réel, parallèlement à celui de racine carrée, n'est pas construit ici par les élèves et il n'y a pas véritablement extension du domaine numérique.

Cette étude nous a pennis d'affiner les connaissances des élèves correspondant aux modèles de plus "bas niveaux" dans notre typologie. Elle doit être complétée par des expérimentations dans des classes à plus forte acquisition des connaissances à propos du concept de façon à étudier les modèles de plus haut niveau, c'est-à-dire les modèles de type CN et CNV.

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VII. Conclusions relatives à l'apprentissage du concept de racine carrée

L'analyse du savoir mathématique "racine carrée" montre la complexité et la diversité du champ conceptuel de ce concept. Les remarques de nombreux professeurs et les différents travaux confInnent cette complexité se traduisant par de nombreuses erreurs et procédures erronées chez les élèves. Ces comportements peuvent s'expliquer par des modèles dont les majoritaires, en début d'apprentissage, sont de type CP.

Nous donnons d'abord les diffIcultés repérées pour l'apprentissage de la notion de racine carrée et des hypothèses sur l'origine possible de certains modèles de la typologie. Les diffIcultés des élèves ont surement des origines diverses, mais il semble que l'on puisse en identifier deux importantes liées aux concepts de "fonction réciproque" et de "nombres".

VII.!. La racine carrée comme fonction réciproque

Difficultés avec la notion de fonction réciproque

Dans notre expérimentation nous avons souvent relevé des réponses d'élèves, présentant des indices de diffIcultés avec cette notion de fonction réciproque. Notamment dans des fonnulations d'élèves on relève que certains confondent -{3, a et a2• Pour que -..ra existe certains disent que a est au carré, que a = a2, que -..ra est égale à a 2 .

Pendant la période des mathématiques modernes qui privilégiait l'étude des relations et des fonctions dès le début du cycle fondamental, de nombreux manuels présentaient cette notion directement à l'aide de la notion de fonction réciproque, en admettant ou suggérant le caractère bijectif de la fonction carrée sur lR+.

La défInition de la notion de racine carrée, quelqu'en soit la présentation, est en fait une défInition de fonction réciproque, celle de la fonction carrée sur lR+ ' même si elle n'est pas explicitée. On ne peut y échapper et l'apprentissage du concept doit l'intégrer, au moins implicitement, pour la construction d'une signification satisfaisante.

Complexification de la difficulté

La complexité est accentuée, ici, par l'absence de construction explicite de cette fonction réciproque. On ne dispose pas d'algorithme, de "fonnule" pennettant un calcul direct, même pour les nombres entiers (non carrés parfaits), comme c'est le cas pour la plupart des fonctions rencontrées au cycle fondamental.

Des réponses possibles des élèves à cette difficulté

Les conceptions de type CA et D/2 peuvent être des réponses des élèves à cette "absence" de fonction réciproque. L'élève ne va plus pouvoir manipuler les racines carrées selon les algorithmes classiques sur les décimaux et les entiers, liés à l'écriture décimale, mais il devra utiliser les propriétés algébriques caractérisant ces nombres et la structure de corps. En particulier il devra considérer que -..ra est une désignation

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satisfaisante et suffisante du nombre positif qui élevé au carré donne a. On sait que certains élèves rejettent cette désignation et la remplacent systématiquement par une valeur décimale (qui n'en est en général qu'une valeur approchée). Par exemple ils donnent comme solution de l'équation x2 = 2, les nombres 1,414 et -1,414. Ce comportement est à rapprocher de la conception Approximation CA relevée dans l'histoire des mathématiques. L'algorithme d'extraction approchée, l'usage d'une calculatrice, voire d'une table des carrés favorisent la mise en place chez l'élève d'une pseudo-fonction réciproque

-I: SN ----> D qui permet en pratique de résoudre un certain nombre de problèmes. Cette construction peut se consolider en classe si des résultats du type -{2 "" 1,41, voire {2 = 1,41, sont conservés sans une analyse critique sur leurs significations.

De même une conception de type D/2 peut être le résultat d'une recherche implicite de la fonction réciproque et dont l'identification avec la "division par 2" peut être entretenue par une confusion entre carré et double, ou carré parfait et pair. Cette conception devrait être plus facile à déstabiliser que la première dans la mesure où il n'y a que deux valeurs (0 et 4) où les fonctions coïncident.

VIL2. L'obstacle des nombres entiers ou rationnels et la conception CP

Conditions de mise en place des connaissances sur la racine carrée

La notion de racine carrée est organiquement liée à la notion de nombre. Au moment d'aborder le concept de racine carrée, et même plus tard, les élèves n'ont vu et ne fonctionnent effectivement qu'avec des nombres rationnels ou décimaux, perçus eux mêmes souvent comme des entiers. De plus ils ont encore des difficultés avec ces nombres décimaux et rationnels. D'autre part les élèves n'ont pas vraiment construit le concept de nombre réel sur lequel on s'appuie pour définir et mettre en place la notion de racine carrée. En fait c'est cette notion qui permet, pour la première fois (à part le nombre 1t), de manipuler, calculer et comparer des nombres autre que rationnels.

C'est à partir des connaissances sur les nombres et ce qu'on peut faire avec, que vont se mettre en place les conceptions sur le concept de racine carrée. L'apprentissage du concept va souvent s'ancrer sur une conception "pythagoricienne" du nombre, c'est-à-dire le nombre est essentiellement entier, même s'il prend des "formes" décimales ou rationnelles.

Mise en place de la conception CP et stabilité

Nous avons vu que dans la caractérisation sommaire du concept il figure un élément que l'on a désigné, la "condition" : "-va est un réel positif" . Avec une conception pythagoricienne du nombre la condition ne peut être "lue" implicitement que comme "-va est un nombre positif du système de nombres SN", avec SN = <n dans le meilleur des cas.

Il va alors se mettre en place pour beaucoup d'élèves une conception correspondante au modèle CP. Cette conception va être très stable. Sa stabilité repose sur une grande cohérence locale. Cette connaissance est valide, mais limitée. Par

51

exemple avec une telle lecture de la condition, le théorème "-{ii existe si et) seulement si a est carré parfait" est vrai. De plus ce théorème peut être appuyé par le fonctionnement pragmatique "ça existe si on peut le calculer", source de nombreuses difficultés ou obstacles dans l'évolution de la pensée mathématique.

L'origine de la conception CP-N est liée pour nous à une dégénérescence de la connaissance CP due à des difficultés avec la notion de fonction réciproque et avec les opérations sur les nombres.

Facteurs de renforcement par l'enseignement

La fonction racine carrée apparaît dans la conception CP comme une fonction ...J: C ------> SN.

De plus une restriction de cette fonction, est "montrée" en général aux élèves, sous la forme symbolique d'une table des carrés de 0 à un certain entier, mais lue à l'envers.

La cohérence peut être aussi renforcée par l'enseignement si on ne pose, du moins au début, que des problèmes où les valeurs des variables permettent d'avoir des calculs qui tombent "justes", c'est-à-dire aboutissant à des racines carrées de carrés parfaits.

Dans les manuels officiels, en dehors du cas de la racine carrée de 3, éventuellement traité en 8ème il faut attendre le chapitre sur la racine carrée en classe de 9ème pour voir fonctionner des nombres non rationnels. Ceci peut conforter des élèves dans des conceptions du type "CP" proche de la conception pythagoricienne du nombre.

Evolutions possibles et résistance de la conception CP

Pour échapper à la contradiction, si elle est perçue, l'élève va peut être évoluer vers des conceptions de type CF qui permettent de donner des réponses pour des exercices formels, ou vers des conceptions de type CA qui peuvent résoudre, d'une certaine manière, des situations comme l'exercice 3 du test.

Les nombreux exercices de simplifications ou de transformations d'expressions contenant des radicaux sont souvent traités sans aucun lien avec des situations de mesure ou des situations où les racines carrées ont explicitement le statut de nombre. Ceci risque de conforter une conception formelle "CF" et de faire considérer les racines carrées comme des nombres artificiels, des artifices utilisés dans les calculs. Nous savons que cela s'est présenté dans l'histoire des mathématiques et même aussi pour les négatifs et les fractions.

Dans le manuel de 9ème on trouve dix pages sur l'approximation décimale de racines carrées. On donne des méthodes et des conseils pratiques pour calculer des valeurs approchées à 1,0,1,0,01, 0,001 près.

Les statuts des valeurs approchées d'un nombre, de sa représentation décimale illimitée et du nombre lui-même ne sont peut-être pas encore clairement perçus à ce stade de la scolarité.

De plus le manuel de 8ème veut indiquer l'asservissement pratique de IR à ID, mais ceci n'est pas sans ambiguïté (page 224 du manuel) :

"Si, pour introduire la notion de nombres réels et justifier l'existence de ces nouveaux nombres nous avons recouru à la notion de mesure il n'en demeure pas

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moins que dans la pratique on ne se sert que des décimaux. En effet on est et on sera toujours limité par la précision des mesures.

Dans le premier exemple étudié, est-on sûr, d'une part, que la longueur dufil soit exactement un mètre? d'autre part, que 3 morceaux mesurant respectivement 0,3332 ,. 0,3333 ,. 0,3334 ne paraîtront pas de même longueur à l'oeil nu ?

Les décimaux ou tout au moins des encadrements distingués sont souvent suffisants dans la pratique". Cela peut favoriser la mise en place d'une conception CA à partir de connaissances de type CP. Mais souvent la conception CP se refait sentir même s'il y a eu une certaine évolution dans certaines situations. Elle est très résistante à une évolution vers des modèles CA et CF, voire CN, comme on a pu le constater dans de nombreux cas.

VII.3. La conception CP comme objet d'enseignement en Sème

Selon la condition et le système de nombres associé, on change la connaissance à construire. C'est ainsi que le programme de 8ème année demande explicitement de faire acquérir par les élèves cette connaissance CP avec SN = ID. Après avoir défini "la racine carrée dans ID d'un nombre décimal" le manuel propose la recherche de la racine carrée dans ID de deux nombres décimaux carrés parfaits 3,24 et 199,9396. Le paragraphe se termine par le cas du nombre 3 et donne en conclusion la formulation "3 n'a pas de racine carrée".

La conception CP n'est pas une connaissance erronée; on la trouve même dans les programmes! Mais elle est plutôt étriquée par rapport à celle qu'on veut mettre en place en 9ème. Elle va produire des erreurs que si on se place d'un autre point de vue pour la condition.

Ce choix, au niveau de la transposition didactique, de la connaissance CP comme objet d'enseignement en 8ème au Mali peut être un facteur important de renforcement de la stabilité et la résistance de ces conceptions de type CP.

VIlA. Relativité des connaissances

Nous avons vu que la connaissance CP est une connaissance valide, mais limitée. En classe de 9ème il est demandé de mettre en place une connaissance plus large, celle de "racine carrée dans IR" . Cependant, même la notion de "racine carrée dans IR" est une connaissance locale, et n'est pas la plus optimale par rapport à celle de "racine carré dans [ " ([ corps des nombres complexes), qu'il faut mettre en place dans les classes terminales. La condition "-va est un réel positif' est alors remplacée par "les racines carrées de a sont des nombres complexes" et le système de nombres est [. La connaissance est changée; les nombres négatifs ont des racines carrées et toute équation du second degré a des solutions dans [.

Les connaissances sont ainsi relatives et la transposition didactique fait un choix parmi celles là selon les acquis des élèves et les besoins de la formation. Ce choix au niveau de la notion de racine carrée s'effectue en relation à un système de nombres en fonction des problèmes à résoudre.

53

VII.S. La conception CP, obstacle épistémologique et didactique

En conclusion de cette étude nous voyons que la conception CP est un bon candidat comme obstacle épistémologique (Brousseau 1983). En particulier les conditions données par Duroux (1982) sont vérifiées:

a) Il s'agit d'une connaissance, non pas d'une difficulté ou d'un manque de connaissance. Elle produit des réponses correctes pour certaines situations et pour certaines valeurs des variables.

b) L'obstacle est une connaissance qui, en tentant de s'adapter à d'autres situations ou pour d'autres valeurs des variables, va provoquer des erreurs spécifiques, repérables, analysables.

c) L'obstacle est une connaissance stable, elle résiste aux contradictions par une adaptation à tout prix.

d) Même, après une prise de conscience de contradictions ou d'erreurs provoquées par cette connaissance, elle continue à se manifester.

De plus l'enseignement effectif de cette connaissance en 8ème (avec SN=ID) en fait aussi un obstacle didactique renforçant l'obstacle épistémologique CP constitutif du concept.

VII.6. La réussite de l'apprentissage

Pour réussir l'apprentissage de ce concept il faut que l'élève fasse sa crise tks irrationnels. On ne peut espérer que la plupart des élèves la réalise et la franchisse facilement et rapidement. Une certaine maturité est à atteindre comme le suggèrent les travaux sur les connaissances des élèves et les difficiles tentatives de dépassement de l'obstacle des illustres mathématiciens grecs.

Le fonctionnement correct aux situations des exercices 2 et 3 est aussi une étape décisive sur l'évolution des connaissances à propos du concept de racine carrée. Cette évolution ne peut être effective que parallèlement à une évolution sur les nombres. Le concept de racine carrée va se former sur plusieurs années et nécessite une remise en cause des connaissances antérieures sur les nombres.

Les conditions de négociation de cette crise est un problème de didactique à étudier.

BIBLIOGRAPHIE

ASSUDE T. (1989), Racines carrées: Conceptions et mises en situations d'élèves de 4ème et 3ème, Petit x nO 20 pp. 5 à 33.

BRONNER A. (1991), Modélisation de connaissances d'élèves à propos de la racine carrée, DEA de didactique des disciplines scientifiques, Université J.Fourier, Grenoble.

BROUSSEAU G. (1981), Problèmes de didactiques des décimaux, RDM Vol 2.1 ,La Pensée Sauvage, Grenoble.

54

BROUSSEAU G. (1981), Problèmes de didactiques des décimaux, RDM VoI2.J, La Pensée Sauvage, Grenoble.

BROUSSEAU G. (1983), Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques, RDM Vol 42, La Pensée Sauvage, Grenoble.

DUROUX A. (1982), La valeur absolue, difficultés majeures pour une notion mineure, Mémoire de DEA de didactique, Université de Bordeaux J.

DUROUX A. (1983), La valeur absolue, difficultés majeures pour une notion mineure, Petit x nO 3 pp. 43-67.

SOKONA M. (1989), Erreurs et conceptions d'élèves de 9ème, 10ème, 11ème sur la notion de racine carrée, Mémoire defin d'étude, ENSUP, Bamako.

VERGNAUD G. (1984), Interactions sujet-situation, Actes de la 3ème école d'été de didactiques des mathématique, Institut Imag, Université J.Fourier, Grenoble.

55

ANNEXE

SCHEMA DES HIERARCHIES DE MODELES

(CO/2 ) ----} (CP-N + 012)

l J­~ ( =:CP-N)eCP + 0/2 ) (CP-N J

~ ,___1-------.,. :""::: (CF-N J ::::::::: ( CA-N J ( =: CP ) ~ (cp J:: ::. ~ :::. ::. i =~ - -- 1

~ ( CNU J

1 ( CNR J

J

( CN J

,':::::::: (CF ) :-:::.-:.;_~~_\ CA

56

ACTIVITE... LE JOURNAL*

Philibert CLAPPONI IREM de Grenoble

1

J

t ~

~~ 1 1 .

1 1

Cb

J'ai trouvé par terre une feuille de journaL

Je sais que ce journal n'est constitué que de feuilles doubles.

Quel est le numéro de la dernière page du journal ?

* D'après Rallye mathématique d'Orléans 1986. Dessin de Serge Cecconi.

<<petit x» nO 28 p. 56, 1991-1992

LECTURE DE TEXTES MATHEMATIQUES PAR DES

ELEVES (14-15 ANS) : UNE EXPERIMENTATIONI

Colette LABORDE Equipe de didactique des mathématiques et de l'informatique

LSD2-IMAG - BP 53 X 38041 Grenoble Cedex

Les recherches sur l'apprentissage des mathématiques ont essentiellement porté sur les processus de construction de connaissances ou d'utilisation de connaissances déjà disponibles chez les élèves. Mais elles n'ont pour ainsi dire pas abordé la question de la prise d'information par les élèves comme si elle allait de soi. Or depuis une vingtaine d'années, le caractère naturel, évident de la lecture ou de l'écoute est remis en question, ces activités ne sont plus considérées comme un simple transport d'informations du texte ou du discours à l'ensemble des connaissances déjà disponibles du sujet lecteur ou auditeur. Elles sont maintenant analysées comme des activités complexes au cours desquelles le lecteur ou l'auditeur s'engage avec ses connaissances (Descotes, 1989, Sprenger Charolles, 1988, p.3-5).

La prise d'information est pourtant fondamentale dans l'enseignement qui sollicite fortement des activités d'écoute ou de lecture de la part de l'élève: écoute du discours de l'enseignant en classe, lecture de textes de problèmes, de passages du manuel, d'énoncés écrits au tableau par l'enseignant et la construction du sens qui lui est concomitante.

Cette étude concerne la lecture de textes mathématiques par des élèves de fin de scolarité obligatoire (14-15 ans). A ce niveau d'enseignement, la prise d'informations à partir d'un texte écrit est considérée comme devant faire partie des compétences des élèves. Selon un constat devenu banal cette compétence n'est partagée que par un nombre restreint d'élèves.

Deux situations de lecture nous paraissent particulièrerment fréquentes dans l'enseignement mathématique:

- lecture du texte d'un problème à chercher - lecture d'un passage du manuel à des fins de prise de connaissance d'un

nouveau contenu ou de rafraîchissement de notions déjà vues. Cet article est relatif au deuxième type de situation. L'activité de lecture met en

jeu des traitements de différente nature:

1 La recherche présentée ici a été menée dans le cadre de l'ATP Langage du CNRS avec comme participants Robert Bouchard et Jacqueline Lachcar (linguistes, Université Stendhal, Grenoble), Mireille Dupraz, Michel Guillerault et Colette Laborde (didacticiens des mathématiques, Université Joseph Fourier, Grenoble). Elle concerne des passages de manuels qui ne sont plus en vigueur actuellement La présentation dans les manuels actuels de l'objet d'enseignement relatif à ces extraits a subi des modifications. Les problèmes de lecture abordés dans cet article restent néanmoins d'actualité.

«petit x» nO 28 pp. 57 à 90, 1991-1992

58

- un traitement perceptif (fIxation visuelle) - un traitement en mémoire des infonnations - des stratégies d'élaboration sémantique qui permettent de passer du matériau

écrit à la signifIcation; ces stratégies portent à différents niveaux du texte: . à un niveau global, elles visent à construire une cohérence et à un défmir

un thème global ; . à un niveau local, elles visent à défInir des significations locales à partir

d'énoncés ou de parties d'énoncés.

C'est le troisième type de traitement qui est étudié ici. Nous avons cherché à connaître les interprétations construites par les élèves lors de la lecture de textes extraits de manuels de mathématiques, et à dégager l'incidence des caractéristiques linguistiques de ces textes sur les interprétations des élèves. Notre approche est expérimentale mais elle se situe au sein d'un cadre théorique et elle est fondée sur les hypothèses que nous précisons ci-dessous.

I. Cadre théorique

L'analyse de l'activité de compréhension d'un texte a pu être centrée sur l'appréhension par le lecteur du contenu mathématique sous-jacent et négliger les aspects linguistiques. Inversement d'autres recherches n'ont pris en compte que les aspects de surface du texte cherchant à défInir des critères de lisibilité indépendants du contenu et du lecteur. fi nous paraît au contraire important de prendre en compte à la fois la complexité cognitive des contenus en jeu dans le texte et sa complexité rédactionnelle. Cela signifie que notre analyse des conduites de lecture prend en compte et de façon interdépendante les éléments suivants:

-le contenu mathématique sous-jacent -le sujet lecteur, ici l'élève, en tant que sujet cognitif avec ses conceptions tant

des objets mathématiques que de la langue dans laquelle est rédigé le texte à lire -le modèle langagier en vigueur dans l'enseignement mathématique et les

caractéristiques rédactionnelles (Duval, 1986) des textes du même type (ici des manuels de mathématiques) et celles particulières au texte à lire

-la situation de lecture: le statut du texte pour le lecteur, et surtout la fInalité de la lecture: à quoi sert la lecture, quelle activité ultérieure lui est-elle subordonnée?

Dans ce schéma, le sens voulu par l'auteur du texte n'est pas automatiquement appréhendé par le lecteur mais est reconstruit par ce dernier en fonction de ses connaissances linguistiques, de la façon dont il conçoit les objets mathématiques sous­jacents, dont il se représente la situation de lecture et sa fInalité.

Dans cette activité complexe, nous avons choisi d'analyser l'effet des caractéristiques linguistiques du texte sur la compréhension; il nous semble en effet que l'incidence des éléments liés au contenu mathématique du texte sont davantage connus en particulier grâce aux études qui ont été menées en didactique des mathématiques à la fois sur l'épistémologie des objets d'enseignement et sur les conceptions des élèves. Maintenant que ces aspects cognitifs ont été cernés, il nous paraît important dans une deuxième étape de dégager dans quelle mesure les éléments de complexité du texte liés à son organisation, sa rédaction, ses modes d'expression affectent l'interprétation de l'élève lecteur.

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Cela ne signifie pas que nous laissons de côté les aspects liés au contenu. Nous tiendrons compte des conceptions des élèves à propos de ce contenu pour déterminer comment ils comprennent le texte. Mais le contenu mathématique n'est pas une variable de notre expérimentation, tous les textes à lire sont relatifs au même contenu, les opérations sur les racines carrées, et sont destinés à un même public de lecteurs, des élèves de 3ème (14-15 ans). Les variations dont nous voulons analyser l'effet sur la lecture, portent sur les aspects du texte liés aux signifiants.

Deux caractéristiques importantes des textes à lire marquent profondément leurs spécificités rédactionnelles :

- ce sont des textes d'enseignement - ce sont des textes de mathématiques.

Des textes d'enseignement La première caractéristique se traduit par un guidage spécifique du lecteur plus

ou moins explicite: -les éléments du texte sont différenciés, voire repérés suivant leur importance par

rapport au savoir à acquérir par des marques typographiques, la mise en page ou des commentaires

-le texte est structuré de façon précise et explicite (titres de chapitres, paragraphes, sous-paragraphes); le plan peut être même annoncé en début de chapitre ou de paragraphe

-la prise en compte du lecteur est plus explicite que dans un ouvrage de mathématiques de visée moins pédagogique (ouvrage universitaire par exemple) et se manifeste en particulier par la présence d'activités proposées au lecteur (exercices à résoudre, questions) visant à illustrer ou à introduire les notions présentées.

Ces particularités se retrouvent à des degrés divers dans les textes d'enseignement, il en résulte que des usages implicites coutumiers (pour la définition de coutume cf. Balacheff, 1986) se sont établis qui interviennent au niveau des attentes du lecteur et donc de ses représentations du texte en jeu dans la lecture. En accord avec ces usages, le lecteur interprète par exemple des différences de typographie sans qu'elles soient expliquées et décide d'attacher plus d'importance, à des énoncés en gras qu'aux autres, à des énoncés dans le cours du texte qu'à ceux écrits en marge.

Une des questions de la recherche concerne l'effet de ces usages sur les interprétrations construites par le lecteur. Comme il l'a déjà été maintes fois remarqué, ces effets sont particulièrement apparents dans les cas de rupture avec les usages. Un texte d'enseignement peut en effet être rédigé sur la base d'un contrat particulier, en opposition (ou du moins différemment) d'avec la coutume. On peut penser que le conflit entre les usages habituels et le contrat particulier est susceptible d'avoir des conséquences sur les interprétations construites par le lecteur. Dans l'ensemble des textes donnés à lire on a donc choisi un extrait d'un manuel dont le mode d'exposition participe d'une telle rupture par rapport aux manuels standard de mathématiques.

Des textes de mathématiques Les caractéristiques linguistiques des discours scientifiques ont déjà été dégagées

à plusieurs reprises chez les linguistes. Le texte mathématique par certains aspects rejoint la catégorie des textes informatifs (Combettes & Tomassone 1988) (volonté de fournir un apport d'informations) et par d'autres celle des textes explicatifs (volonté de faire comprendre, de justifier en l'occurrence par une méthode propre aux

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mathématiques). Il présente donc une superstructure particulière organisant l'ensemble composé d'énoncés de propriétés, de démonstrations et d'exemples. Dans une rhétorique qui lui est propre, il développe une démonstration en usant de façon particulière de connecteurs, il introduit son vocabulaire aux références spécifiques. Enfin il utilise deux codes, la langue naturelle et un code sémiologique propre, l'écriture symbolique faite de signes extérieurs à la langue naturelle et possédant ses propres règles de fonctionnement. Ces deux codes sont utilisés conjointement et parfois de manière très imbriquée dans le discours mathématique. L'écriture symbolique (ainsi dénommée) possède deux registres de fonctionnement, le numérique et le littéral, le numérique étant une instanciation du littéral: (3 x 4)2 = 32

x 42 est un cas particulier de (a x b)2 =a2 x b2.

II. Méthodes d'obtention d'observables dans une activité de lecture

Comment savoir ce que le lecteur a compris, ou n'a pas compris? Une observation directe d'un sujet en train de lire ne fournit guère de données dans la mesure où la lecture est une activité individuelle destinée à soi-même. Un autre point que nous tenons à souligner concerne le caractère illusoire d'une analyse de ces interprétations indépendamment d'une prise en compte de la finalité de la lecture.

Pour obtenir des observables liés à l'activité de lecture nous avons donc choisi de la finaliser au sens où l'activité de lecture a conditionné une activité ultérieure de formulation écrite de l'élève lecteur, suivant en cela les méthodes des recherches sur la construction de signification par un lecteur à partir d'un texte. Nous avons donc en fait évalué la lecture en évaluant la production écrite fournie par l'élève qui nous a permis de dégager des informations sur l'interprétation et la compréhension du texte par ce dernier. Cependant la tâche d'écriture que nous utilisons est plus complexe que celles habituellement en usage qui sont plutôt des tâches de rappel immédiat ou différé d'un seul texte.

III. Dispositif expérimental

On a donné quatre extraits de manuels en vigueur en France à l'époque de la recherche (pour la classe de 3ème, élèves de 14-15ans) portant sur les opérations sur les racines carrées à deux élèves qui devaient dans une première phase les lire attentivement pour, dans une deuxième phase, écrire ensemble un texte commun pour d'autres élèves du même âge ne connaissant pas les opérations sur les racines carrées et destiné à leur permettre de les apprendre. Les élèves travaillant à' deux ont été observés et enregistrés. Le travail durait environ deux heures. L'expérimentation s'est déroulée avec douze paires d'élèves de 3ème qui avaient reçu un enseignement sur les racines carrées six mois auparavant.

IV. Choix des extraits de manuels à lire

Il répond à notre objectif de repérer l'effet des variables de présentation d'un même contenu mathématique sur la compréhension des élèves lecteurs. En effet les

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quatre textes retenus donnés en annexe ont été choisis parce qu'ils diffèrent essentiellement sur les six aspects suivants :

-utilisation de diagrammes, schémas, tableaux: un seul manuel en utilise -choix du code dans lequel sont formulés les énoncés récapitulatifs des

propriétés sur les racines carrées : langue naturelle, écriture symbolique, usage conjoint et plus ou moins imbriqué des deux codes. Ainsi un manuel formule-t-il systématiquement une même propriété, une première fois en langue naturelle, une seconde fois en écriture symbolique :

"La racine carrée d'un produit de réels positifs est égale au produit des racines

carrées de ces réels: -{{ib =...ra x{b, a E JR+, b E JR+" La même propriété est ainsi formulée par un autre des 4 textes : "Quels que soient les réels positifs a et b, -{{ib =...ra .{b". Le premier manuel énonce volontairement deux formulations redondantes mais

chacune homogène du point de vue du code utilisé; le second manuel a recours aux deux codes au sein d'un énoncé unique hétérogène.

- existence de démonstrations des propriétés des racines carrées: un seul manuel ne fait aucune démonstration

- le type d'objets sur lesquels porte la démonstration: nombres ftxés ou nombres indéterminés désignés par des lettres ou les deux types à la fois.

- importance en nombre et place des exemples - existence d'exercices soit d'application, soit introductifs à une propriété.

Les quatre extraits retenus sont en annexe. Les manuels correspondants sont des manuels de troisième de 1983 : Corrieu & Gourion; Deledicq, Lassave & Misserand; Durrande; Jéomatri notés respectivement dans la suite pour simplifier CG, DL, Du, J.

V. Analyse de la tâche à laquelle sont confrontés les élèves

V.I Analyse de la situation

Dans cette tâche la lecture est finalisée par l'activité de production qui la suivra ; puisque dans cette dernière les élèves ont à s'exprimer pour des pairs, on peut penser qu'ils vont retenir les informations qu'ils jugent importantes et qu'ils vont les transmettre sous la forme qu'ils pensent la plus accessible pour eux mêmes. On pourra aussi avoir accès à leurs interprétations des textes à lire, dans la mesure où ils vont développer à l'intention des élèves lecteurs de leur production des explications susceptibles d'aider à la compréhension du contenu.

Le travail à deux permet l'extériorisation des démarches de pensée de chacun des partenaires grâce aux échanges verbaux; la confrontation des points de vue des deux partenaires est aussi un élément qui contribue à la dynamique de l'activité.

Le choix de donner à lire quatre textes rend la tâche particulièrement complexe. TI a été conçu pour nous permettre de repérer l'effet des variables de présentation d'un même contenu, en particulier au niveau des choix faits par les élèves pour la présentation qu'ils adoptent dans leur texte. La lecture de plusieurs textes exige une plus grande activité de construction de la part des élèves et évite une recopie possible s'ils n'avaient eu qu'un texte à lire.

62

V.2 Hypothèses théoriques sous jacentes à l'analyse

Nous reprendrons pour cette étude les hypothèses souvent prises sur les processus de construction d'une signification par le lecteur (Sprenger-Charolles, 1982). Le lecteur élabore au cours de sa lecture une hypothèse et la mène jusqu'au bout. Tant que cette hypothèse lui permet de construire une cohérence globale et locale au texte, il la maintient. Si en revanche il aboutit à des contradictions entre la suite du texte et sa construction, il se produit une crise qui peut conduire le lecteur à revenir sur son hypothèse et la modifier. Signalons que nous avons pu observer un autre règlement d'une telle contradiction chez des élèves de collège lors de la lecture d'énoncés de géométrie (Guillerault, Laborde, 1986) : ces élèves déformaient le texte lu de façon à le rendre consistant avec leur interprétation initiale allant jusqu'à modifier la syntaxe des énoncés. Il semble que les retours en arrière et les possibilités de réanalyse soient difficiles chez ces élèves que nous avons observés.

A cette stratégie du "labyrinthe" on oppose la stratégie du traitement parallèle de deux hypothèses préalables tout au long de la lecture, le lecteur tranchant seulement en fm de lecture. Nous considérons comme improbable une telle stratégie pour les élèves lecteurs de notre expérimentation parce que d'une part elle exige une grande distanciation par rapport au processus même de lecture et que d'autre part nos observations précédentes mentionnées plus haut témoignent au contraire de l'attachement des élèves à une seule hypothèse de lecture.

Cette hypothèse de lecture permet la construction d'une cohérence globale du texte et d'interprétations locales des différents passages en lien avec cette cohérence globale. Nous supposons que cette dernière se fait en fonction du texte et des connaissances mathématiques et linguistiques des élèves. On verra ainsi qu'une cohérence construite par les élèves visant à donner comme fil conducteur aux textes les opérations arithmétiques est la résultante de la structuration des manuels et de la façon dont les élèves organisent leurs connaissances arithmétiques autour de quatre opérations fondamentales.

La complexité de la tâche de lecture est due ici à la dialectique entre les lectures internes à chaque texte et la comparaison inter-textes que le lecteur doit construire s'il veut pouvoir produire lui-même un texte unique. Examinons les quatre extraits et leur ensemble de ce point de vue.

V.3 Cohérence relative à un texte et cohérence entre textes, source de conflits

La lecture de chaque texte requiert - une construction d'une signification globale, d'une cohérence globale du

texte: quel est l'hyperthème du texte? - une structuration de cet hyperthème en thèmes et sous-thèmes dont

l'enchaînement se fait grâce à la cohérence construite, -la construction d'une interprétation locale du développement de chacun des

thèmes et sous-thèmes en liaison avec la cohérence et la structuration globale construites.

La lecture de l'ensemble des textes à des fins d'écriture d'un texte unique exige de construire une cohérence de l'ensemble des quatre textes; cette construction exige de dépasser les différences entre les textes afin de repérer un fil conducteur commun

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aux textes et de pouvoir organiser autour de ce fil conducteur les éléments de différence et de ressemblance des quatre textes relatifs à chacun des thèmes et sous­thèmes.

Le choix des quatre textes ne rend pas facile la construction d'une cohérence globale car si trois des textes (Du, CG, J) peuvent donner lieu à une cohérence voisine construite autour de l'idée de propriétés ou de règles de calcul sur des radicaux ordonnées suivant les opérations concernées (produit, quotient, éventuellement somme), DL a une cohérence beaucoup plus difficile à déterminer compte tenu des ses multiples ruptures de contrat avec le lecteur. Précisons.

Une macrostructure voisine pour trois des textes

La structuration des trois textes Du, CG et J. est assez voisine comme le montre le récapitulatif de leurs titres de paragraphes :

Durrande 5.2 propriétés des racines carrées 1 - produit 2 - quotient 5.3 Problèmes 1 - rendre rationnelle dénominateur d'un rapport

Corrieu & Gourion 3.4 Calculs sur les radicaux a) racine carrée d'un produit b) racine carrée d'un quotient c) somme contenant des radicaux d) quotients contenant des radicaux au dénominateurs

Jéomatri V - Calcul sur les radicaux 5.1 racine carrée et multiplication 5.2 racine carrée et division 5.3 racine carrée et addition

On reconnaîtra aisément le parallélisme entre - les paragraphes 5.2.1 Du, 3.4 a CG , et 5.1 J qui traitent du produit - les paragraphes 5.2.2 Du, 3.4.b CG, 5.2. J qui traitent du quotient - les paragraphes 3.4.c CG et 5.3 J qui traitent de la somme - les paragraphes 5.3.1 Du et 3.4 d CG qui traitent des radicaux au

dénominateur. Le paradigme de l'opération arithmétique autour duquel s'organise chacun de ces

textes est aussi assez mis en évidence dans ces trois textes.

En revanche DL diffère de ces trois textes de par son intention annoncée au niveau de son titre et de par son absence de sous-titres et son développement interne fait de ruptures comme il a déjà été dit.

Un texte en rupture constante de contrat L'extrait du manuel Deledicq & al. annonce par son titre général qu'il s'agit

d'apprendre à transformer des écritures contenant des radicaux.

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Première rupture : Immédiatement après ce titre un alinéa est consacré aux écritures contenant des additions de radicaux dont on apprend justement qu'elles ne peuvent être transformées :

"Lorsque tu effectues des calculs avec des radicaux, il faut te méfier des additions et des soustractions.

Par exemple :...J 5 + 4 n'a rien à voir avec {5 + {4"

Deuxième rupture: li poursuit en ne traitant toujours pas le thème annoncé mais en introduisant une "remarque" d'écriture selon laquelle on peut sous-entendre le signe de multiplication. En particulier il écrit : {3{5 représente le nombre {3 x {5" .

Enfin il énonce directement à la suite de cette remarque les règles de calcul sur les radicaux. L'absence de transition entre la remarque d'écriture et l'énoncé des règles de calcul données sans démonstration peut donner lieu à une interprétation englobant convention d'écriture et règles de calcul sur les radicaux: dans les deux cas il s'agit d'écrire autrement les expressions selon certaines conventions ce qui après tout est consistant avec le titre principal.

Troisième rupture : Enfin des exemples sont donnés après l'énoncé des propriétés dont seuls les premiers sont des exemples authentiques, les deux suivants portant sur un autre mode de calcul visant à rendre rationnel un dénominateur contenant un radical, les deux derniers portant sur la somme de radicaux non traitée dans l'énoncé des règles de calcul.

Une hypothèse de lecture permettant d'éviter plusieurs de ces ruptures de contrat consiste à comprendre tout le texte comme la présentation de conventions d'écritures à propos de radicaux : suppression du signe x, déplacement du signe ...J dans les produits et les quotients. On constatera les traces plus ou moins fortes d'une telle hypothèse chez deux binômes.

Plusieurs comportements de lecture sont possibles face à ce conflit potentiel de cohérences entre textes:

- les élèves ne gardent que des textes cohérents entre eux pour construire leur texte, soit Du, CG, et J, soit DL seul; le conflit est alors évité.

-les élèves prennent en compte les quatre textes: on peut s'attendre soit à un échec dans la construction d'une cohérence unique se traduisant par exemple par la coexistence de deux cohérences, soit par le règlement en faveur d'une des cohérences, soit par le dépassement du conflit par la construction d'une cohérence différente des deux autres.

V.4 Compréhension interne de chacun des textes

Un deuxième élément de la tâche consiste à comprendre à un niveau plus microstructurel chacun des textes en lien avec la cohérence globale construite. Les caractéristiques rédactionnelles de chacun des textes (présentées lors du choix des textes, §N) peuvent faciliter ou inversement gêner la compréhension.

65

Les démonstrations Il semble a priori qu'un élément important de la construction du sens, une fois la

macrostructure dégagée, réside dans la compréhension des démonstrations pour les trois textes qui en font (Du, CG, J), compréhension qui s'articule autour des éléments suivants:

i) lien avec la macro-structure: le lecteur doit comprendre que l'objectif de la démonstration est justement de démontrer une propriété ou règle de calcul correspondant à une opération sur les radicaux;

ii) construction d'un enchaînement entre les énoncés formant la démonstration à l'aide des connecteurs ou des raisons explicitées par le texte;

iü) compréhension de chacun des énoncés formant la démonstration et attribution d'un statut opératoire (s'agit-il d'une hypothèse, d'une conclusion, d'une règle d'inférence? (Duval 1991))

iv) addition éventuelle d'un constituant manquant de la démonstration (par exemple, les règles d'inférence sont souvent implicites).

Les trois textes Durrande, Comeu & Gourion et Jéomatri qui présentent des démonstrations diffèrent sur chacun des points soulevés en particulier sur la démonstration relative au produit dont le rôle est crucial dans le texte car c'est la première démonstration fournie et que le fond et la forme des suivantes en sont très inspirés.

i) L'objectif de la démonstration sur le produit est annoncé par J alors qu'il est partiellement évoqué dans CG ("comparons -{ab et ...ra -Yb") et qu'il ne l'est pas du tout dans Du:

"As tu démontré que la propriété suivante est vraie? Si a et b sont des réels positifs ou nuls -{(ib =...ra x...[lj Pourquoi? Nous allons démontrer cette propriété." (Jeomatri, § 5.1).

ii) L'enchaînement est explicité dans le J et le CG alors qu'il ne l'est pas dans le Du.

Les explicitations de l'enchaînement ne sont pas les mêmes dans CG et Du. Nous donnons ci-dessous les deux démonstrations en soulignant (c'est nous qui soulignons) les éléments qui constituent l'enchaînement.

Comeu & Gourion: "Soit des réels positifs a et b. Comparons ...ra et...ra {b. Ces nombres sont

égaux si et seulement si leurs carrés sont égaux : (-{(ibf2 =ab (..ra...[ljf2 = (...raf2 (...[ljf2 = ab fk2JK (-vabf2 =(...raf2 ({bf2 =ab par suite -vab =...ra ...[lj lk2lK : Quelques soient les réels positifs a et b, {lib ={il {li".

Jéomatri : "Si a et b sont des réels positifs ou nuls -{(ib =...ra ...[b Pourquoi?

66

Nous allons démontrer cette propriété.

Soient a et b des nombres positifs réels ou nuls. Les nombres fax -{lj sont positifs ou nuis; pour les comparerï de compar,r leurs carrés.

(fa x#)2 =(fap x (#)2 (..[{ibj2 =ab

=00 Puisaue fax ...Jl2....e.L1ëib sont deux nombres réels positifs ou nuls dont les

carrés sont égaux. nous DOUVOns conclure. Si a et b sont des réels positifs ou nuls,

-ra x # = ...J{ib"

Une des difficultés de compréhension de la démonstration réside dans le fait que tous les énoncés symboliques la constituant ne sont pas dépendants. Ainsi les énoncés (-{ib)2 = ab et (fi ...[b)2 = ({a)2 x (...[b)2 =ab sont indépendants, le premier résultant de la défmition de la racine carrée de ab, le deuxième d'une règle de calcul du carré d'un produit puis de la défmition de la racine carrée de a et de celle de b.

En revanche l'énoncé ({ab)2 = (va ...Jb)2 est conséquence des deux précédents. L'énoncé qui suit fi x ...Jb = ...Jab est conséquence du seul précédent en raison du théorème selon lequel si leurs carrés sont égaux, deux nombres sont égaux. L'enchaînement de la démonstration n'est donc pas aisé à reconstituer pour au moins deux raisons:

- la suite des énoncés n'est pas une chaîne d'implications mais aurait plutôt une structure d'arbre.

Nab)2 =ab NaYb)2 =Na)2 x (jb)2 =ab

Nab)2 =NaYb)2

Va x~L..Ja.j, - la variété des liens entre chacun des énoncés : chaque lien repose sur un

théorème mathématique différent de ceux sous-jacents aux autres liens.

La structure de l'enchaînement n'est pas explicitée par CG qui en aurait plutôt une présentation linéaire (les énoncés sont écrits exactement les uns en dessous des autres) mais elle est suggérée par Jéomatri par la mise en vis à vis dans la page des deux premiers énoncés indépendants. Il faudrait tirer de l'absence de connecteur dans CG entre les deux premiers énoncés qu'ils sont indépendants mais cette inférence ne peut être faite en raison des usages en vigueur suivant lesquels l'absence de connecteurs est aussi bien due à une absence de lien qu'à un lien jugé trop évident pour être mentionné.

Les liens sont donnés - dans CG uniquement par des connecteurs explicitant seulement qu'il y a un lien

d'implication mais non la raison de cette implication sauf pour l'énoncé final lié au précédent par un "par suite" dont la raison avait été explicitée au début de la démonstration sous forme d'un théorème sur l'égalité potentielle de deux nombres dans le cas où leurs carrés sont égaux. Cependant aucune marque de renvoi à ce théorème n'est présente.

67

- le seul lien exprimé dans J est ce même dernier lien mais la raison en est complètement explicitée et non de façon potentielle comme dans CG mais rattachée au cas des nombres de la démonstration dont l'égalité est réalisée (cf. énoncé souligné dans la démonstration de J). J n'utilise aucun connecteur du type "donc" "par suite".

Si une étude détaillée des deux précédents manuels à propos de cette démonstration en montre les implicites, une analyse analogue sur le Durrande met fortement en évidence des implicites incomparablement plus importants et des ambiguïtés dans les explicitations faites! Redonnons cette démonstration pour la clarté de l'exposé.

"Soit le produit (I7 x ~ 13). Son carré (I7 x ~ 13)2 s'écrit (puissance d'un produit de réels) :

({7 x~ 13)2 =({7J2 x(ffl)2 = 7 x 13.

D'où: {7 x {IT=~ 7 x 13. De même, quels que soient a et b, réels positifs, le carré du produit (fax{lj) s'écrit:

(fax{ljJ2 =(faJ2 x({ljJ2 =a xb.

D'où: fax{lj =~a x b".

Une particularité de cette démonstration repose sur l'utilisation de deux registres le registre numérique (première partie) et le registre littéral (deuxième partie) qui aboutit à la donnée de deux démonstrations, l'une sur un exemple numérique, l'autre sur n'importe quels nombres réels positifs ou nuls représentés par des lettres exprimant le caractère variable et générique de ces nombres suivant les usages en cours en mathématiques.

La raison pour laquelle ces deux démonstrations sont données n'est pas indiquée, le seul lien entre elles étant exprimé par "de même" dont la portée est ambiguë. Alors que dans l'esprit de l'auteur il porte sur toute la démonstration, de par son insertion dans une phrase ne mentionnant que l'écriture du carré du produit

({il x -Yb il peut aussi être interprété comme ne portant que sur l'élévation au carré de ce produit: de même que

({7 x -fIT)2 = ({7)2 x (...JT3)2 =7 x 13,

({il x {b)2 = ({il)2 x ({b)2 = a x b.

L'enchaînement de la démonstration n'est pour ainsi dire marqué en surface à part le "d'où" introduisant l'énoncé final. La raison évoquée dans CG et J de l'égalité de deux nombres dans le cas où leurs carrés sont égaux est absente. En revanche la

raison explicative du développement du carré de ({7 x -fIT) est donnée. Comme de plus l'écriture de ce carré est soulignée par l'avertisseur "s'écrit", et que le "de même" peut être compris comme portant uniquement sur le développement du carré, l'accent est fortement mis dans la démonstration non pas sur la comparaison des carrés mais sur le développement du carré d'un produit. Cela ne sera pas sans conséquence sur les interprétations construites par les élèves comme on le verra plus bas.

Enfin tous les énoncés symboliques de la démonstration ne sont pas donnés contrairement à CG et J. Il manque l'énoncé ({ilb)2 = ab. Le seul connecteur "d'où" renvoie donc en fait à deux énoncés dont l'un n'est pas explicité! L'incitation est forte pour qu'il soit compris comme ne portant que sur

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l'énoncé précédent selon un principe d'économie qui pourrait être qualifié d'association locale.

En résumé cinq éléments sont susceptibles d'être facteurs d'interprétation erronée de cette démonstration: la présence de deux registres, la portée ambiguë d'un connecteur entre les deux parties de la démonstration, l'ellipse de la raison fondamentale de la démonstration, l'accent mis sur une étape de la démonstration, à savoir le passage au carré, l'absence d'un énoncé nécessaire à la démonstration.

Signalons que l'autre démonstration fournie par les manuels CG et J à propos du quotient est calquée sur celle qu'ils ont donnée pour le produit. Dans Du en revanche, contrairement au cas du produit, elle ne contient que la partie relative au registre numérique. Ce dernier élément d'hétérogénéité de Du peut gêner la construction d'une cohérence entre les deux démonstrations du produit et du quotient.

Exemples et exercices Parmi les variables rédactionnelles des textes dont nous nous proposions

d'étudier l'incidence sur la lecture des élèves, figure la présence d'exemples et d'exercices. Nous faisons l'hypothèse que les exemples permettent de mieux dégager le caractère opératoire des règles de calcul à retenir qui n'apparaît pas dans la démonstration. Il est difficile d'anticiper les rôles possibles des exercices dans la compréhension des élèves dans la situation présente. Il s'agit d'une lecture isolée de l'enseignant qui n'est là ni pour demander la réponse aux exercices ni pour en donner une validation. La lecture à finalité de production immédiate d'un texte de présentation pour d'autres élèves dans une durée d'élaboration relativement réduite (deux heures) peut conduire l'élève lecteur à sacrifier les exercices porteurs d'inconnu au profit d'informations explicitées et donc de traitement immédiat. La situation expérimentale ne permettra donc peut-être pas d'apprécier la portée des exercices sur la compréhension.

Présence conjointe de la langue naturelle et du code sémiologique propre aux mathématiques

Seul Du donne les énoncés des propriétés dans les deux modes d'expression, langue naturelle et code sémiologique, les autres manuels se contentant de fournir l'énoncé symbolique. Nous supposons que cette double expression dans deux modes de formulations différents, d'une part met en valeur la propriété ou règle à retenir, d'autre part permet un contrôle de l'interprétation d'une formulation par la présence de l'autre. Evidemment cela suppose que les élèves reconnaissent bien que les deux formulations r~nvoient au même référent.

VI. Méthode d'analyse des productions et conduites des élèves

Comme nous l'avons dit lors de l'exposé de notre cadre théorique de travail, l'accès aux interprétations construites par le sujet lecteur d'un texte tient de la gageure dans la mesure où ces interprétations pour être observables doivent être extériorisées dans un contexte et de ce fait vont être modifiées de par l'opération d'extériorisation et l'influence du contexte.

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Nous soulignons donc que les interprétations des élèves que nous cherchons à reconstruire sont forgées dans une double situation de lecture écriture avec ses caractéristiques propres, en particulier, celle de comporter la lecture de quatre textes relatifs au même contenu mathématique.

Trois voies d'accès aux interprétations des élèves seront utilisées: - étude des manuels et des passages des manuels qui les ont inspirés ou leur ont

servi à des emprunts; l'hypothèse sous jacente est que les passages retenus par les élèves pour leur propre texte ont été considérés comme de lecture plus simple ou du moins ressentis comme mieux compris, puisqu'il s'agit de faire un texte permettant à d'autres élèves de comprendre le contenu mathématique en jeu;

- étude des modifications voire des erreurs dans la transcription de ces emprunts ou de ces passages qui ont servi de sources d'inspiration; l'hypothèse correspondante attribue aux décalages entre les textes donnés et le texte fourni par les élèves un rôle de révélateur des significations construites dans la lecture.

- étude des éléments constitutifs de la cohérence de leur texte produit qui reflétera les cohérences intra et intertextuelle qu'ils ont construites à partir des quatre textes donnés.

Ces trois axes d'étude seront entrepris à l'aide des productions écrites des élèves et des échanges verbaux lors de l'élaboration de leur texte.

VII. Utilisation des textes de base par les élèves inspiration et emprunts

Nous distinguons deux utilisations des textes de base: - une utilisation dans laquelle les textes de base ont inspiré les productions des

élèves; - une utilisation dans laquelle il s'agit tout simplement d'emprunts de taille

variable faits aux manuels.

VII.! Les textes de base en tant que sources d'inspiration

Pour donner une idée générale de l'influence respective de chacun des textes de base, essayons d'abord d'estimer pour chacune des productions des élèves leurs sources d'inspiration.

La structuration du texte en paragraphes (organisation macrostructurelle)

Rappelons que trois des quatre manuels présentent une organisation macrostructurelle marquée en surface par des paragraphes annoncés par des titres. Il s'agit de Du, CG et J (cf§ II). Mais J se distingue des deux autres par la place accordée aux quotients irrationnels. En effet Du et CG placent le thème des dénominateurs irrationnels au même niveau que les thèmes du produit et du quotient en lui consacrant un paragraphe spécifique. J traite ce thème de façon cachée au sein d'un exercice à l'intérieur du paragraphe sur le quotient.

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En revanche, l'organisation du dernier manuel DL n'apparaît guère en surface (cf §V.3).

Dans l'ensemble des douze textes produits par les élèves, trois textes reprennent exactement l'organisation de CG, un texte reprend exactement celle de Du. Tous les autres textes sauf un (inorganisé) ont une organisation originale avec soit des ajouts du type introduction, conclusion, soit des suppressions de paragraphes ou création de paragraphes regroupant plusieurs paragraphes des textes de base. Ainsi Corrine et Valérie ont-elles seulement deux paragraphes 1 - produit, 2 - quotient, ce dernier paragraphe contenant la méthode pour rendre rationnel un dénominateur.

Un premier constat est que tous les textes des élèves sauf un sont organisés par une structuration en paragraphes. En cela ils suivent les manuels Du, CG et J. Cependant l'influence de J semble s'être exercée de façon moindre puisque 9 binômes (cf. tableau) ont traité comme un thème en soi le problème des quotients irrationnels et que 7 d'entre eux ont consacré un paragraphe à ce thème. L'organisation majoritaire retenue a donc été celle du Du et du CG. Le choix de ne pas traiter directement le thème mais de le faire au détour d'un exercice ajouté à une typographie et une mise en page ne détachant pas les titres de paragraphe n'ont pas permis au Jéomatri d'être une source d'inspiration du point de vue macrostructurel.

Il semble donc que seuls les deux manuels qui présentaient une organisation macro-structurelle quasi linéaire accompagnée d'une mise en page et d'une typographie claires aient inspiré l'organisation des textes des élèves. CG qui a été préféré présente une organisation à un niveau et une plus grande homogénéité dans la numérotation et les titres de paragraphes que Du qui présente une organisation à deux niveaux.

Le contenu des paragraphes (microstructure)

On s'intéresse ici au discours produit par les élèves à l'intérieur de chacun des paragraphes de leur production. Il peut s'agir de l'énoncé d'une propriété, d'une démonstration de cette propriété, d'exemples, d'exercices traités ou non, de méta­remarques portant sur le référent mathématique ("il est souvent commode" CG, "il faut te méfier" DL). Ce discours peut être un emprunt pur et simple à l'un des manuels, il peut être seulement inspiré par l'un des manuels en ce que les élèves suivent l'argumentation du manuel en en changeant les termes.

Un exemple de cette dernière catégorie peut être donné par Vincent et Franck à propos du quotient. Ils s'inspirent profondément de Du en modifiant cependant le choix numérique et les énoncés en langue naturelle introductifs aux égalités mathématiques écrites en code sémiologique:

" 2) QUiJfÏent

~1 le ca"é de ce nombre est {Jh-r 1'. .. (~)2 _ 9

S ecrit ausSI . 2 - Ti (ill)

Si a et b e JR+ et b :FO

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1a __ ra" {b-\jb

En un premier temps, nous avons dénombré ensemble ces deux cas, emprunts et forte inspiration dans les textes des élèves en ne prenant pas en compte de légers emprunts au sein d'un discours original. Deux binômes ont créé un texte original du point de vue de la macro et la micro structure (Alain & Raphaël, Nathalie & Fabienne). On peut cependant voir une influence de CG sur le texte de Nathalie et Fabienne dans l'énoncé des propriétés du produit et du quotient. Deux phrases de Du, une formule de CG ont été reprises par Alain et Raphaël qui se sont aussi inspirés de phrases de DL qu'ils ont modifiées.

Nous donnons ci-dessous les différentes combinaisons des textes de base qui ont inspiré les textes des autres élèves avec pour chacun d'eux le nombre de textes d'élèves concernés.

4 textes de base: 2 binômes Durrande, Corrieu & Gourion, Jéomatri, Deledicq & al.

Philippe et Eddy, Valérie et Béatrice

3 textes de base : 3 binômes au total Durrande, Corrieu & Gourion, Jéomatri 1 binôme : Marc et Christian Corrieu & Gourion, Jéomatri, Deledicq & al. 1binôme : David et

Dominique Durrande, Jéomatri, Deledicq & al. 1 binôme: Pierre-Yves et Franck

2 textes de base : 4 binômes au total Durrande, Corrieu & Gourion 3 binômes : Vincent et Franck, Danielle

et Sandrine, Yvan et David Corrieu & Gourion, Jéomatri 1 binôme: José et Emmanuel

1 texte de base : 1 binôme Durrande 1 binôme: Corrine et Valérie

Quand les binômes se sont inspirés de trois textes, la combinaison Du, CG, DL n'est pas apparue. Lorsque les binômes ne retiennent que un ou deux manuels pour des emprunts, deux manuels sont préférés Du et CG. On peut émettre l'interprétation que pour les élèves n'ayant pas réussi à construire une cohérence entre textes, il a été plus facile d'en construire une entre ces deux ouvrages, qui comme nous l'avions indiqué dans notre analyse précédente étaient proches. Pour la même raison, la combinaison Du, CG, DL n'est pas apparue la distance entre DL et les deux autres manuels étant trop grande.

L'influence du Durrande et du Corrieu & Gourion ressort de ce dénombrement. La combinaison de ces deux manuels a inspiré le plus grand nombre des textes des élèves. Seuls ces deux manuels ont pu être la source unique de productions d'élèves. Précisons cette influence en indiquant combien de textes de binômes ont été inspirés par chacun des manuels.

Corrieu & Gourion: 8 binômes Durrande : 8 binômes

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Jéomatri : 6 binômes Deledicq & al. : 4 binômes

On retrouve l'influence plus forte du CG et du Du.

VII.2 Emprunts aux textes de base

Les emprunts aux textes de base sont de tailles diverses. Ce peut être simplement la reprise d'une phrase, d'un exemple numérique, d'une expression particulièrement frappante, telle "n'a rien à voir" ou "il faut te méfier" (DL), ou encore "on dit qu'on a rendu entier le dénominateur" (J).

Nous distinguons les emprunts importants qui portent sur un paragraphe ou une démonstration de ceux qui ne portent que sur une phrase, une expression insérée soit dans des énoncés originaux produits par les élèves, soit dans un emprunt important fait à un autre texte de base. Nous laissons de côté pour l'instant les emprunts dans les titres de paragraphes que nous étudierons ensuite.

Exemple: Alain et Raphaël à propos de l'addition des racines carrées :

"l'addition et la soustraction ont parfois quelques pièges dans leur calcul.

Par exemple -v7 + 8 n'a rien à voir avec {7 + {[J. Dans l'addition la simplification est difficile. Quand on trouve par exemple -V 5 + 4 = {9 on peut le simplifier par 3. Mais si l'on trouve -V 7 + 8 = {T5on ne peut simplifier, nous gardons donc ID. Cependant l'on peut faire une simplification enfaisant une mise en

~~W "

ex: m + -v27 + -v75 = "4 x 3 + " 3 x 3 x 3 + "25 x 3 =2{3 + 3{3 + 5..J3

= (2 + 3 +5) {3 =10..J3 "

Cet extrait contient l'énoncé "Par exemple -V 7 + 8 n'a rien à voir avec {7 + {B" calqué sur celui du Deledicq & al. " Par exemple -v5 + 4 n'a rien à voir avec {5 + {4". Il Y a reprise intégrale de la partie en langue naturelle avec un changement dans les expressions numériques. Mais cet énoncé se trouve inséré dans un paragraphe pour l'essentiel original. On considérera qu'il s'agit d'un emprunt léger.

Emprunts importants Nous donnons ci-dessous les ensembles des textes de base qui ont servi à des

emprunts importants avec pour chaque ensemble le nombre de binômes concernés. Emprunts importants à :

Durrande, Jéomatri, Deledicq & al. 1 binôme : Pierre-Yves et Franck

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Durrande, Corrieu & Gourion, Jéomatri 1 binôme : Marc et Christian

Corrieu & Gourion, Jéomatri 4 binômes: Philippe et Eddy, Valérie et Béatrice, David et Dominique, José et Emmanuel

Durrande, Corrieu & Gourion 1 binôme: Yvan et David Corrieu & Gourion 4 binômes: Vincent et Franck, Alain et Raphaël,

Danielle et Sandrine, Nathalie et Fabienne Durrande 1 binôme: Corrine et Valérie

En comparaison avec le dénombrement fait à propos des manuels en tant que source d'inspiration, il est intéressant de constater qu'un décalage se produit: Du qui avait une rôle net en tant que source d'inspiration des textes des élèves a beaucoup moins servi pour les emprunts alors que CG et de façon moindre J ont servi à des emprunts. Plus précisément

Nombre de binômes ayant fait un emprunt à CG Du J DL 10 4 6 1

Certains passages de Du ont inspiré les textes des élèves mais ont été modifiés par ces derniers alors que les passages de CG et de J ont été repris intégralement. Souvent ces modifications correspondent à des interprétations erronées construites par les élèves lecteurs (cf.VIII.1).

Emprunts dans les titres de paragraphes Nous indiquons dans le tableau ci-dessous l'importance des emprunts de titres

de paragraphes et leur répartition dans les manuels. En colonne figure le manuel dans lequel le titre a été emprunté, en ligne le paragraphe auquel correspond le titre, à l'intersection de chaque ligne et de chaque colonne figure le nombre de binômes ayant choisi ce titre.

Corrieu & Gourion Durrande Jéomatri Del. & al.

titre général 2 (ou Jéomatri) 2 2(ou Corrieu & 0 Gourion)

paragraphe 1 5 0 x sur le produit

paragraphe sur 1 5 1 x le quotient

paragraphe sur 2 x 0 x la somme

paragraphe sur 5 3 x x rendre rationnel un dénominateur

N.B. Une croix indique l'absence de titre correspondant au paragraphe et au manuel concerné

donc l'impossibilité d'emprunt

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Les titres de Du ont été surtout repris en ce qui concerne le produit et le quotient, peut-être en raison de leur brièveté alors que CG et J avaient des titres composés. En revanche le titre de CG "Quotient contenant des radicaux au dénominateur" a été davantage repris que celui de Du "Rendre rationnelle dénominateur d'un rapport". Peut-être est-ce dû au fait que cette question est mise sur le même plan que les autres thèmes abordés dans le CG alors qu'une dissymétrie a lieu dans Du où le titre "Rendre rationnelle dénominateur d'un rapport" n'est qu'un sous-titre du titre Problèmes. D'autre part ce titre de CG fonne un ensemble plus homogène avec les autres titres que celui de Du qui ne se présente pas sous forme d'un groupe nominal comme pour les autres titres. fi semble que l'homogénéité et la simplicité aient motivé les emprunts des élèves.

Trois conclusions peuvent être tirées de cette analyse des textes en tant que sources d'inspiration et d'emprunts:

- l'organisation de deux des manuels Du et CG a été comprise puisqu'elle a servi dans les textes des élèves et qu'elle n'a pas dans la majorité des cas été une simple recopie;

- les textes de base qui ont le plus inspiré les textes des élèves présentent une organisation linéaire, une mise en page simple (rien ou très peu dans la marge, pas d'utilisation des deux dimensions de la feuille), exposent directement les thèmes sans recours à des exercices d'introduction;

- les textes n'ont pas eu la même importance en tant que source d'inspiration et en tant que source d'emprunt. CG et J ont davantage servi que Du en tant que source d'emprunt. Deux hypothèses peuvent être proposées: les manuels ont été source d'emprunt parce qu'ils ont été compris par les élèves ou les manuels ont été source d'emprunts aux endroits où ils n'étaient pas compris par les élèves qui ne pouvant les interpréter les ont recopiés sans changement.

L'analyse des passages des textes des élèves inspirés de Du en ce qui concerne le produit montre des erreurs dans tous ces passages qu'on peut facilement imputer à des erreurs d'interprétation. De plus les passages recopiés de CG et de J le sont dans des textes d'élèves ne présentant dans leur totalité en général (sauf dans deux cas) aucune erreur mathématique et dont l'articulation entre les différentes parties ne souffre d'aucune défaillance. Nous pouvons au moins en conclure que les manuels recopiés ont été globalement compris mais rien ne permet de penser que le détail des passages recopiés ait été effectivement compris. Cependant on peut aussi penser que les emprunts des élèves ont été faits sur des critères positifs, comme en attestent certains de leurs propos dans leurs dialogues, c'est à dire qu'ils ont recopié des passages qui leur paraissaient particulièrement clairs :

Ainsi Vincent et Franck à propos du paragraphe sur les dénominateurs contenant des radicaux consultent chacun des manuels en les jugeant "trop dur" ou "pas bon" jusqu'à tomber d'accord sur CG en disant "celui là il est bien"; ils recopient alors le passage concerné.

De même Emmanuel cherche pendant quelque temps le passage sur le quotient qui lui avait plu" c'est pas sur çui la quj'ai vu quelque chose de bien"

Après plusieurs recherches il retrouve ce passage dans Du :"c'estpas çui la... oh j'ai rien compris c'est pas çui la c'est un autre, produit, quotient,j'crois qu'c'est çui la ; c'est çui la,jini, qu'on comprend le mieux"

A l'inverse Corrine dit à Valérie: "si fi! comprends rien faut pas écrire"

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VII.3 Exemples et exercices Les productions des élèves proposent très peu d'exercices suivant encore en cela

Du et CG qui n'en proposent aucun. Seuls cinq binômes insèrent des exercices. Panni eux deux binômes ont forgé leurs propres exercices, les autres binômes ayant pris les exercices de J.

Tous les textes des élèves présentent des exemples: pour 10 des 12 textes, les exemples suivent l'énoncé de chacune des propriétés comme dans Du et CG et non comme dans DL, où les exercices sont rassemblés en fin.

VIlA Schéma d'organisation de la présentation d'une propriété Le schéma majoritairement emprunté est celui commun au Du et à CG

démonstration d'une propriété, énoncé de la propriété puis un ou des exemples (7 binômes sur 12). Un binôme donne les exemples après la démonstration et avant l'énoncé de la propriété. Ce schéma majoritaire a-t-il paru le plus facile à suivre pour les élèves à la lecture, correspond il au script qu'ils ont construit de l'exposé écrit d'un cours de mathématiques?

VIII. Décalages entre les textes de base et celui produit par les élèves

Nous nous intéressons ici aux passages des textes des élèves visiblement inspirés d'un manuel et présentant des modifications par rapport au manuel en question.

VIII.1 Interprétation de la démonstration sur le produit du Durrande

Le passage qui a donné lieu à ce phénomène est le paragraphe du produit dans Du. Quatre binômes se sont inspirés de ce passage et trois binômes ont fourni un passage laissant transparaître des erreurs d'interprétation. On a analysé plus haut les difficultés potentielles que sa lecture est susceptible de soulever; il semble que certaines d'entre elles soient à l'origine des erreurs d'interprétation des élèves.

L'accent mis par Du sur le passage au carré de l'expression (..Ji x {b) n'a pas été sans effet sur la lecture. Le texte de Danièle et Sandrine est extrême de ce point de vue" puisque elles consacrent les deux premiers paragraphes aux produit et quotient dans lesquels elles s'inspirent de Du puis continuent par un troisième paragraphe intitulé calcul des radicaux dans lequel elles recopient les démonstrations de CG sur les mêmes thèmes. Elles n'ont pas reconnu que ces deux manuels traitaient des même propriétés. En effet elles ont interprété la démonstration de Du sur le produit comme la démonstration de la règle de calcul suivante sur l'expression (..Ji x ~)2 :

(..Ji x {b)2 =a x b En témoignent d'une part le texte qu'elles ont écrit, d'autre part les exercices

d'application qu'elles donnent: "Soit le produit (~ x {2) apour carré (~ x {2J2 peut aussi s'écrire (~x{2J2 = (~)2 x{22 = 7 x2 Quels que soit a, b (...ra x-JbJ2 =...JQ2 x-Jb2 = a xb

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donc (...ra x #)2 = ...[a2 x..[ïj2 = a xb ex...;,. (...[7 x-v13)2 =...[72 x-{l32 = 7 x 13 = 91 Calcule ; ({]3x-v13)2 = ?

({l6 x..J4J2 = ?

(-{8 x-v24)2 = ? _r5 Jiil?- ?"('13 x-v9r - ....

On reconnaît dans ce passage un traitement véritable du passage correspondant de Du avec des ajouts originaux d'un exemple et plusieurs exercices ponant tous sur

l'élévation au carré de (13. x ..Jb)2. L'accent mis par Du sur cette élévation au carré en particulier par la mention "son carré s'écrit" est repris voire renforcé par Danièle et Sandrine par les deux expressions "a pour carré" et "s'écrit".

Le fait que l'identité (13. x {h)2 = ...[3.2 x ..Jb2 = a x b est bien le résultat de la démonstration est attesté par la répétition de l'égalité qui ne relève pas du tout d'une étourderie. La deuxième mention de l'égalité est à prendre comme le résultat final qu'il faut retenir alors que la première mention est une généralisation de la formule numérique donnée auparavant.

L'élévation au carré a aussi été reconnue comme centrale par Vincent dans le binôme Vincent Franck alors qu'il semble que Franck ait compris que le résultat

important était {ab =-..ra x {h. Cette incompréhension entre les deux élèves a donné lieu à une démonstration ne correspondant pas au résultat déclaré

...[ab = -..ra x -{fj, Franck le scripteur l'ayant d'abord écrit et Vincent réagissant en

obligeant Franck à écrire l'égalité (13. x -{fj)2 = -..ra2 x -{fj2 et à mettre un "d'où" annonciateur d'un résultat devant cette dernière. Citons ce passage de leur texte:

"1) Produit de radicaux (19 x -{fI) le ca"é de ce nombre est .. (19 x {ll)2 {92 x{lT2 =9 x 11 Ikmf;. quelque soit a et b non nuls (mention rajoutée par Vincent)

...rax...Jb=~a x b d'où (...ra x#j2 = ...[a2 x..[ïj2 = a x b".

Il ne semble pas que le "d'où" imposé par Vincent reflète un enchaînement à partir de l'énoncé précédent, celui-ci ayant été écrit par Franck comme le résultat final de la démonstration. Le "d'où" est d'ailleurs pris par Vincent dans Du où il sen d'annonce du résultat de la démonstration. Vincent dicte à Franck:

"d'où, marque d'où comme ça (il montre Du) d'où radical de afois radical de b au c~é parenthèses égal radical de a au c~é fois radical de b au c~é égal a fois b"

L'incohérence du texte est due ici au désaccord des deux élèves non tranché parce que probablement eux-même n'ont pas perçu cette incohérence.

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Valérie et Béatrice produisent elles aussi un texte peu cohérent: "Le produit (...[7 x...J 13) =...[7 xW Son carré (...[7 x...J13)2 = (...[7)2 x (...J 17)2 = 7 x13 La racine carrée d'un produit de réels positifs est égale au produit des

racines carrées de ces réels. {{lb =...ra x...[lj a et b E JR+ Si a et b sont des réels positifs ou nuls et que leurs carrés sont égaux

alors: ...Jlz x ..Jb = {ii.b "

Leur démonstration faite sur un exemple numérique débouche sur l'élévation au carré. Elles passent sans aucune explicitation à l'énoncé encadré du Durrande énonçant la propriété du produit en langue naturelle et code sémiologique. Ce seul passage pourrait laisser penser qu'elles ont compris la démonstration encore que le passage abrupt de l'élévation au carré sur un exemple numérique sans mention du résultat fmal

numérique -f7 x m = ...j 7 x 13 à l'énoncé général sur les lettres laisse perplexe. Mais l'ajout après cet énoncé d'un théorème faux (inspiré d'une explication de J) débouchant sur la même propriété que celle encadrée remet en cause la pertinence de leur compréhension. On pourra noter que là encore l'étape retenue de la démonstration de Du est l'écriture du carré d'un produit de radicaux. La raison de la démonstration absente de Du n'est évidemment pas évoquée mais elle ne semble même pas reconnue lorsqu'elle est lue dans J puisqu'elle est restituée sous une forme erronée comme introduisant un résultat nouveau (on remarquera que dans ce deuxième énoncé de la propriété {ab est passé à la droite du signe égal et que formellement il diffère de celui qui était encadré quelques lignes auparavant).

Il ressort que pour ces trois binômes l'étape reconnue de la démonstration de Du semble bien être l'élévation au carré du produit de radicaux, les autres étapes pouvant être omises ainsi que le résultat même de la démonstration. Deux d'entre eux (Danièle et Sandrine, Béatrice et Valérie) ne construisent pas d'équivalence sémantique entre ce passage de Du et les passages correspondants des autres manuels.

Les textes des élèves à propos du produit s'inspirant des autres manuels ne révèlent pas de problèmes à part le premier brouillon de Philippe et Eddy qui prennent aussi comme idée charnière l'élévation au carré (est ce dû à Du ?) et réécrivent la démonstration du CG en prenant comme hypothèse que ...[ab = ...Ja ...J1) (on sait {ab = ...ra ..Jb écrivent-ils en début) et en démontrant que ({ab)2 = (...ra ..Jb)2.

Une des raisons en est peut être due à une mauvaise interprétation de la phrase du Corrieu & Gourion : "Comparons {lib et ...Ja {b ces nombres sont égaux si et seulement si leurs carrés sont égaux" phrase reconnue par Philippe comme difficile à comprendre lorsque l'observateur lui demande son avis sur les textes des manuels. Philippe tire de cette phrase l'hypothèse que ces nombres sont égaux et cherche à en montrer la deuxième partie l'égalité sur les carrés.

VIII.2 Interprétation de l'hyperthème du Deledicq & al.

Une hypothèse de lecture (cf.§V.2) permettant d'éviter plusieurs ruptures de contrat dans la lecture de DL consiste à comprendre tout le texte comme la présentation

78

de conventions d'écritures à propos de radicaux: suppression du signe x, déplacement du signe -rdans les produits et les quotients.

Un binôme semble avoir été fortement influencé par l'hyperthème de convention d'écriture qui peut se dégager de ce manuel. Il s'agit de Philippe et Eddy qui ont construit leur texte autour de l'idée de simplification, la simplification portant aussi

bien sur les écritures du type 2{S que ...ra ...Jb, ~ , {ab.

Ainsi Philippe et Eddy changent-ils le "représente" de la formulation "2{S représente 2 x {S" en "=", uniformisant de cette façon les simplifications d'écriture qu'elles relèvent d'une convention ou d'une propriété.

On peut aussi penser que cette même idée se fait jour dans la conclusion de David et Dominique qui à l'inverse de Philippe et Eddy transforment les signes d'égalité en "représente" :

"2-..[5 représente le nombre 2 x-..[5 {3 -..[5 représente le nombre 13 x -..[5

-{Q , mb- ra--:th represente 1e no re -\1 li""

~ a x b représente le nombre -{Q x {fj"

VIII.3 Interprétation d'un exercice du Deledicq & al.

Comme il a été dit plus haut, DL est en rupture constante de contrat dans l'organisation de son discours. Il l'est aussi volontairement par rapport au contrat habituel qui régit les rapports entre auteur de manuel et élève lecteur. Ce manuel privilégie en effet l'activité de l'élève préalablement à l'introduction de nouveaux savoirs. C'est le rôle joué par ce qu'il appelle les expériences placées en marge du texte et écrites en petits caractères; ces expériences jouent dans l'opinion des auteurs le rôle d'expériences dans des matières expérimentales (physique, chimie, ... ) servant à susciter des observations de la part des élèves. L'expérimentation 6 a conduit un binôme (Pierre-Yves, Franck) à induire la propriété erronée de linéarité sur la somme de racines CaIliées alors que l'objectif de cette expérimentation était bien de mettre en évidence l'absence de linéarité.

L'expérience 6 demande: ((avec ta calculette, calcule une approximation de -../5 + 4 et -{5 + -# -../5 - 4 et -{5--#

~ 5 x 4 et -{5 x-#

~ 5 et-..[54 14

2-..[5 et {llfet ~4 x 5" Pierre-Yves et Franck ont conclu à l'égalité des nombres des quatre premières

paires sans essayer de faire le calcul en se reposant sur le contrat habituel qu'en général les nombres dont on demande la comparaison sont égaux. Ici, l'énoncé ne demandait pas explicitement une comparaison mais y incitait. fis ont écrit :

-../5 + 4 ={5 +-# -../5 - 4 = -{5 - -..[4 on emploie la même méthode pour les quatre fonctions {5x14=-..[5x14

79

-v 5 et {54 {4

mais à la ligne suivante, ils ajoutent prenant l'information toujours de DL : "{2 + {8 :F~2 + 8" Cette dernière infonnation a été traitée par eux puisqu'elle figurait dans DL sous

la forme "{2 + -{8 = .. , =3{2 (tu vois que le résultat n'a rien à voir avec ~2 + 8". Ajoutons que ces fonnulations n'ont été l'objet d'aucun commentaire ou échange verbal entre les deux élèves.

Deux interprétations sont possibles de ces formulations contradictoires à l'intérieur d'un même texte:

1 - La coexistence des deux propositions ~ 5 + 4 = ~5 + ~"4 et -{2 + {8 '1:- ~ 2 + 8 ne revêt pas pour ces élèves le caractère contradictoire qu'elle présente pour nous. Chacune de ces propositions est interprétée par les élèves comme valide dans son contexte d'énonciation, les élèves n'ayant pas reconnu l'actualisation dans chacun de ces contextes d'une règle générale sur la somme de racines carrées.

2 - Les élèves ne visent pas à construire une cohérence dans ce qu'ils lisent même si les informations tirées proviennent d'un même texte.

Dans les deux cas, un manque crucial de l'enseignement se fait jour : soit il n'a pas permis l'apprentissage du passage du registre littéral au registre numérique, soit il n'a pas permis un apprentissage minimal de la lecture d'un texte.

VIII.4 Usage des deux codes langue naturelle et écriture symbolique

a. Enoncés des propriétés

Les énoncés des propriétés des racines carrées présents dans les textes des élèves font plus fortement appel à l'écriture symbolique que ceux des manuels. Les différences constatées avec les manuels concernent 3 binômes qui ont seulement indiqué les règles de calcul sur les racines carrées sans indiquer les conditions de validité. Par exemple dans le cas de la multiplication, ils ont seulement écrit :

."{(z {b ={{ïb" Elles concernent aussi un binôme (Alain et Raphaël) qui contrairement aux

manuels n'a pas donné d'énoncé de propriété mais des méta-énoncés comme {{l'addition dans son calcul a un petitpiège" {{la multiplication des radicaux est assez simple; il existe une méthode qui

facilite cette multiplication

ex : {7 x {Ifne peut se multiplier qu'en faisant -V7 x 13" .

Ci-dessous un tableau résumant l'importance quantitative des emplois respectifs de la langue naturelle et de l'écriture symbolique dans l'énoncé des propriétés relatives au produit, au quotient et à la somme

produit quotient somme

langue naturelle seule (LN) 0 0 0 écriture symbolique seule (E) 1 3 6 deux fois, une en LN , une en E 3 2 0 mélange E, LN 7 6 2 oubli des conditions de validité 3 3

80

Les énoncés les plus fréquents sont hybrides, mélanges de langue naturelle et d'écriture symbolique, le code dominant étant surtout l'écriture symbolique.

b. Discours explicatif en langue naturelle

En dehors de l'énoncé des propriétés, l'usage de la langue naturelle (à part l'exception constituée par le binôme Alain et Raphaël) est faible. Ce faible usage de la langue naturelle est dû dans les productions des élèves à l'absence de méta-discours explicatif ou introductif malgré la consigne d'écrire un texte qui permette à d'autres élèves de comprendre les propriétés des racines carrées. Ce sont les titres de paragraphes et de sous paragraphes qui forment la plus grande partie des énoncés en langue naturelle des productions des élèves. De l'ensemble du contenu présenté dans les textes, les élèves ont retenu les règles de calcul sous forme symbolique et jugé important de les transmettre.

IX. Construction d'une cohérence par les élèves

La cohérence inter et intra-textuelle construite par les élèves à la lecture de ces quatre extraits est évaluée au travers de celle qui apparaît dans leur texte. Certes, comme il a déjà été noté (cf. § II), cette méthode ne permet pas d'avoir accès directement à la cohérence construite et la cohérence que nous reconstruisons à partir des textes des élèves est résultat d'une double reconstruction, d'une part par notre interprétation, d'autre part parce que la cohérence des productions des élèves est construite par eux à partir de celle qu'ils ont constituée à la lecture. Nous rendons compte dans ce qui suit de la cohérence sous jacente aux productions des élèves.

L'analyse a priori (cf. § V.3), prévoyait deux conduites possibles: - celle d'une construction d'une cohérence à partir des quatre textes, rendue

difficile par les différences entre le DL et les trois autres textes; - celle de la construction d'une cohérence à partir des trois textes (Du, CG, J).

L'étude des cohérences construites s'appuie sur les manuels qui ont servi de source d'inspiration. Comme on a pu le constater à l'alinéa VII, deux binômes se sont inspirés de quatre textes et contrairement à ce que nous pensions a priori, deux binômes ont essayé de construire une cohérence à partir d'un éventail de trois textes dont l'un était le DL. Il s'agit de David et Dominique et de Pierre-Yves et Franck. Ce dernier binôme n'a pas réussi à construire une cohérence dans son texte qui n'est qu'une suite de morceaux empruntés aux trois manuels sans logique.

Quant à David et Dominique, la construction de leur texte s'appuie surtout sur CG et J qui pouvaient tout à fait permettre ensemble la construction d'une cohérence autour des propriétés des racines carrées. Cela semble, en surface, le cas dans tout leur texte. Mais si on l'examine plus attentivement, on peut se demander s'ils ont véritablement réussi à construire une cohérence pour deux raisons:

i) Comme exemple de la propriété du produit, ils proposent

(17 x -{ï3)2 = (-V7 x 13)2

=7 x 13 =91

(17 x {f3)2 =7 x 13 =91

81

L'élévation au carré d'un produit de racines carrées serait le résultat qu'ils ont tiré du théorème qu'ils viennent de démontrer. On retrouve l'idée force issue de Du de l'élévation au carré (cf. § V.3)

ii) ils écrivent un dernier paragraphe inspiré du DL qui "résume" ce qui précède en fournissant éventuellement une cohérence contradictoire à tout le texte puisqu'ils écrivent dans ce bilan :

2-{5 représente le nombre 2 x-{5 {3 -{5 {3 x-{5

~ _ra ..Jb -'lb

~ a xb Wz x-../b On retrouve l'idée de simplification de notation sous jacente au texte de Philippe

et Eddy puisque la suppression du signe x est mise sur le même plan que les propriétés des racines carrées. Le texte de David et Dominique ne permet pas de dégager une cohérence véritable et semble plutôt ne pas avoir su choisir entre trois cohérences possibles, celle des propriétés, celle de l'élévation au carré, celle de la simplification.

En ce qui concerne les deux binômes qui se sont appuyés sur les quatre textes, Philippe et Eddy, Béatrice et Valérie, deux cas prévus a priori se sont produits:

- triomphe d'une cohérence, celle tirée de DL; - construction d'une nouvelle cohérence.

Cette situation a été très dure à gérer par Philippe et Eddy qui tout au long de leur travail ont cherché un fil conducteur commun aux textes pour organiser le leur. Philippe l'a manifesté par plusieurs questions à l'observateur :

Obs: "en commun, vousfaites un texte en commun" Ph. : " oui mais de tout c'qu'on a là" (plus tard) Ph. à Obs.: "Mais ilfaut reprendre tous les exercices qu'ily a là?" enfm il remarque après que l'observateur a mentionné que les textes sont là pour

les aider: "mais ça se suitpas" Une première tentative est faite par Eddy autour de l'élévation au carré qui joue

un rôle charnière dans les démonstrations des propriétés du produit et du quotient, élévation au carré qu'il essaie d'appliquer à la somme en écrivant ...ra + {b = --./ a + b et en élevant au carré les deux membres de cette égalité de façon erronée pour le premier membre: ({8.)2 + ({b)2 = (--./ a + b)2 Une deuxième tentative qui est la tentative finale est faite autour de l'idée de simplification qui est très apparente dans DL (cf. §V.3) mais qui peut être aussi tirée des autres extraits: "quelquefois on peut simplifier une somme de racines" , il est souvent commode lorsqu'on veut faire un calcul numérique ou des simplifications..."(CG), "écris sous une forme plus simple", "donne une écriture plus simple"(J) "on a intérêt pour faciliter le calcuL .." (Du).

Dans le texte de Philippe et Eddy, les propriétés des produit et quotient suivent immédiatement les remarques de suppression du signe x comme dans le DL. L'égalité -{ab = ..ra {b est présentée comme une simplification de l'égalité de leurs carrés (ils remplacent le "par suite" de la démonstration du CG par un "simplification ~") et leur texte se termine par un paragraphe sur la simplification d'un nombre contenant des exercices d'utilisation des propriétés des racines carrées. La première cohérence construite a été intégrée dans la deuxième comme un aspect de la simplification qui est

82

le fil conducteur du texte [mal produit. Dans ce cas, c'est donc une cohérence héritée du DL. qui a dominé les autres en les assujetissant.

Béatrice et Valérie ont résolu le problème en construisant une nouvelle cohérence externe aux quatre extraits, autour des quatre opérations arithmétiques. TI s'agit bien là d'une nouvelle cohérence pour deux raisons:

- aucun des extraits n'indiquait en titre que le thème était les opérations sur les racines carrées

- une opération non apparente dans les ouvrages a été rajoutée : la soustraction ; les manuels se situent en effet dans le registre algébrique, et la dénomination "somme" y renvoie à "somme algébrique" alors que Béatrice et Valérie se sont placées dans le registre arithmétique. L'ordre a été changé en respectant l'ordre traditionnel des opérations arithmétiques, addition, soustraction, multiplication et division; les noms arithmétiques des opérations sont ceux employés par Béatrice et Valérie.

Enfin, un dernier binôme a construit une cohérence originale en plaçant à la fois l'élévation au carré et les propriétés des racines dans son texte. Il s'agit de Danièle et Sandrine dont le cas a déjà été présenté en Vill.

Trois cohérences non prévues par les auteurs de manuels ont donc pu être tirées des extraits par les élèves: celle de l'élévation au carré (tirée du Du), celle de la simplification (tirée du DL), celle des opérations arithmétiques proche de celle des manuels. Si celle du DL a pu dominer et intégrer les autres, celle du Du n'apparaît qu'avec une autre dans des textes manquant alors de cohérence compte tenu de cette juxtaposition. La cohérence construite autour des opérations arithmétiques témoigne au contraire d'une maîtrise de l'ensemble des textes.

x. Quelques mots de conclusion

Les divers aspects analysés montrent la plus grande influence de manuels de présentation classique et les interprétations erronées que peuvent construire les élèves à partir d'un manuel de contrat inhabituel. Doit-on y voir une influence de l'enseignement reçu par les élèves au cours des neuf années de scolarité qu'ils avaient effectuées? Ou la surcharge cognitive d'un texte non construit linéairement, exigeant des aller et retour et une coordination entre texte et cotexte (informations en marge, schémas) est elle trop grande? On peut de toutes façons en tirer la conclusion que la lecture de textes mathématiques surtout de contrat inhabituel nécessite un apprentissage.

Un des manuels classiques a suscité une importante erreur de compréhension par les implicites et les ambiguïtés de sa rédaction. Il semble que sur ce point des améliorations locales peuvent être apportées qui facilitent l'interprétation des élèves.

La présentation expositive classique avec démonstration a été la plus retenue par les élèves mais les deux binômes qui ont su prendre une distance par rapport aux textes de base et fournir un texte cohérent n'ont pas donné de démonstration... L'attachement à une exposition classique serait-il entraîné par une trop grande complexité de la tâche? La solution de rester près des textes classiques aurait été adoptée car nécessitant moins travail de construction. Il faut souligner que les élèves avaient déjà appris les racines carrées. On peut imaginer combien un texte permettant

83

l'apprentissage d'une nouvelle notion uniquement par son intermédiaire doit être longuement réfléchi.

Références

BALACHEFF N., 1986, Le contrat et la coutume : deux registres de l'interaction didactique, in Actes du premier colloque franco-allemand de didactique des mathématiques et de l'informatique, Laborde C. (ed.), Editions La Pensée Sauvage, Grenoble, pp. 15-26

COMBETIES B. & TOMASSONE R., 1988, Le texte informatif, aspects linguistiques. 140pp., Prisme, Problématiques 9, De Booeck Université, Editions Universitaires, Paris

DESCOTES M., 1989, La lecture méthodique, de la construction du sens à la lecture méthodique, 244pp., CRDP Toulouse

DUVAL R, 1986, Lecture et compréhension de textes, Polycopié, [REM de Strasbourg

DUVAL R, 1991, Structure du raisonnement déductif et apprentissage de la démonstration, Educational Studies in Mathematics, Vol. 22, n03, pp. 233-62

GUILLERAULT M. & LABORDE c., 1986, A study of pupils reading geometry, an experimentation, in Pragmatics and Education, Lowenthal F. & Vandarnme F. (eds), Plenum Press, Londres, New York, pp. 223-38

SPRENGER CHAROLLES L., 1982, Quand lire c'est comprendre, approche linguistique et psycho-linguistique de l'activité de lecture, Pratiques, nO 35, pp.7-25.

SPRENGER CHAROLLES L., 1988, La lecture et son apprentissage, Langue française, n080

Manuels utilisés pour l'expérimentation

CORRIEU L., GOURION M., 1980, Mathématiques 3ème, Nathan DELEDICQ A., MISSERAND c.et D., LASSAVE C. 1984, Faire des

mathématiques, nouvelle collection, 3ème, Cedïc Nathan JEOMATRI, 1980, Mathématiques en 3ème, IREM de Grenoble, Ophrys THUIZAT A., GIRAULT G., DIDI R, 1980, Math 3ème, nouvelle collection

Durrande, Technique et Vulgarisation

84

ANNEXE Durande 3ème (1989)

5.2. PROPRIÉTÉS DES RACINES CARRÉES

OJ Produit

Soit le produit (V7 xVï3). Son carré (V7 x Vï3)2 s'écrit (puissance d'un produit de réels) :

(V7 x Vï3)2 =(V7)2 x (Vï3f. (V7xVï3)2=7x 13.

D'où: V7 x Vï3 =v7X13. De même, quels que soient a et b, réels positifs, le carré du produit (va x Yb) s'écrit:

(va x Yby = (vay x (Ybf. (Va x Yby = a x b.

D'où: va x Yb = YaXb. On obtient ainsi, de proche en proche, le produit de plusieurs racines carrées de réels positifs:

va x Yb x vC = v'abC. Exemples:

v3 x VS = v'ïS. v'ï2 x Vïï = v'2s2. V7 x V7 x VS = Vï45.

Problème réciproque: décomposer v3b (a E IR+ , b E IR+).

Soit à calculer V484. Vous pouvez écrire: 484 = 4 x 121.

Donc: V4 x Vi2ï = V484. Par suite: V484 = 2 xII. Soit: V484 = 22.

D'une façon générale:

La racine carrée d'un produit de réels positüs est égale au produit des racines carrées de ces réels :

aE IR+,

Exemples:

• v'55 = VS x Vïï. • v'39 = v3 x v'ï3.

• v'63 = v9 x V7; • v'i76 = v'ï6 x Vïï; v'63 = 3V7. v'i76 = 4Vïï.

[gJ Ouotient

S .Olt 1 . V7e quotIent V2' S ,(V7)2on carre V2 " . s ecnt :

Soit: D'où:

De même, quels que soient a et b, réels positifs, et boF 0 :

~=~.

85

ANNEXE Durande 3ème (1980)

Exemples:

V700 = fiOO = v'5O.v'ï4 . {ï4

Réciproquement, quels que soient a et b, réels positifs, et b #- 0, on peut écrire .[a va -y bsous la forme Yb'

La racine carrée d'un quotient de réels strictement positifs est égale au quotient des racines carrées de ces réels :

~= \t~. IR+ bEIR+, b-'-O-yb \lb' a E , or- •

Exemples:

5.3. PROBLÈMES

OJ Rendre rationnel le dénominateur d'un rapport

Lorsqu'on doit calculer une valeur approchée d'Une expression comportant un radical au dénominateur, on a intérêt, pour faciliter le calcul, à transformer l'expression de façon que le dénominateur s'écrive sans radical. On dit que l'on rend rationnel le dénominateur. Cette transformation permet d'éviter la division par un nombre décimal représentant une valeur approchée du dénominateur. Elle permet en outre de simplifier certains rapports .

• Cas d'un rndical isolé Il suffit alors de multiplier les deux termes du rapport par le facteur irrationnel figurant au dénominateur.

Exemples:

2 2VS 2VS • VS= VSXVS=-S-'

v'3 v'3 v'3 v'3 x v2 Y6 • Vi8= v'9X2= 3v2=~=6'

3 3Y7 3Y7 3Y7 • 4-v7= 4v7xV7 m:=-;g"

4 + Vil (4 + Vil) Vil Il +4Vi1 • Vil = Vil x Vil Il

• Cas d'un radical asSocié par addition à un réel Soient a réel et b réel positif. Les réels (a + Yb) et (a - Yb) sont dits conjugués. Leur produit est (a + Yb)(a - Yb), produit d'une somme de réels par leur différence:

(a + YbXa - Yb) =a2 - (Yb)2 = a2

- b.

Ce produit s'exprime sans radical. On utilise cette propriété pour rendre rationnelle dénominateur d'un rapport, en multipliant les deux termes par l'expression conjuguée du dénominateur.

Exemples:

2 2(v2+ 1) 2(v2+ 1) 2(v2+ 1).

v2-1 (v2-IXv2+ 1) 2-(

a+ v'b (a+ v'bXa + v'b) (a+ v'b)2--_. (b;;.O el a2 - b;e 0).a-v'b (a - v'bXa + v'b) a2 - b

3x 3x(x-VS) 3x(x - VS) (x2 -S;e0).

x+VS (x + vsXx - VS) x2 - 5

86

ANNEXE

4. Transformer des écritures contenant des radicaux

Lorsque tu effectues des calculs avec des radicaux, il faut te méfier des additions et des soustractions. Par exemple: Y5+4 n'a rien à voir avec Y5+Y4.

Remarque:

2 Y5 représente le nombre 2 X Y5. Devant un radical, le signe de multiplication peut ,donc être sous-entendu comme dans une écriture avec des lettres.

Rappelle-toi: 2 X a s'écrit plus simplement 2 a. De la même manière a X b s'écrit ab et: Y3 Y5 représente le nombre Y3 X Y5.

PROPRIÉTÉS

Règles de calculs sur les radicaux --------- ­

Si a et b sont deux réels positifs,

a alors • r; • ~ et, si b :1:: 0: v 0 Vvax v b= vab ~b -- - 'b

Exemple:

25 V25 5• -=--=_.~ 36 Y36 6 • (Y3)3 ="\.l'23=Y8=Y4 X 2=Y4 Y2=2 V2.

1 V2 1 V2• -=---=-.

V2 V2 Y2 2

2 Y7 2-Y7 2 • --=--=-=2Y7 1·Y7 1 . • Certaines mises en facteur peuvent simplifier des écritures : Y2+Y8=Y2+\1'4 Y2=Y2+2 Y2=3 Y2 (tu vois que le résultat n'a rien à voir avec Y2+8). Y45-Y80=Y9-Y5-Y16-Y5=3 Y5-4 Y5= -Y5.

Deledicq 3ème (1984)

Expérience 6.

A vec ta calculette, calciùe une approximation de :

'\15+4 et v'5 +v'4 V5 -4 et v'5-v'4 v'5X4 et v'5 X v'4

I~ et v'5

" 4 v'4 2 v'5 et v'lO et V4X5.

v'3 X v'ï2 = V3XT2 =06 =6

(1,732 X 3,464 '" 5,999)

v27=~=V9=3 v'3 3 5,196 )

( --=3. 1,732

Expérience 7_ Tu sais que V289= 17. Peux-tu en déduire V28900?

Peux-tu en déduire V2,89?

Peux..tu en déduire V2890?

Peux-tu en déduire V28,9?

Calcule des approximations de

V2890 el V28,9 avec ta cal­culette.

87

ANNEXE Jeomatri 3ème (1980)

v - CALCUL SUR LES RADICAUX.

5.1 Racine carrée et multiplication.

Recopie et complète le tableau ci-contre.

As-tu démontré que la propriété suivante est vraie ?

Si a et b sont des réels positifs ou nuls

a b V; Yb ab ~ V:XyÇ

4 9

25 16

1 36

144 121

Pourquoi?

Nous allons démontrer cette propriété. Soit a et b des nombres réels positifs ou nuls. Les nombres ..;;; X Yb et ...rab

sont positifs ou nuls ; pour les comparer il suffit de comparer leurs carrés.

(V; X Yb)2 = (";;;)2 X (Yb)2 (..;';;b)2 = ab

=ab

Puisque ..;;; X Yb et ..;';;b sont deux nombres réels positifs ou nuls dont les carrés sont égaux, nous pouvons conclure.

Si . et i b ~ntdes réelsp6~iùf{J~ril.dS~ii

~;;V'ab.

Remarque.

On pourrait démontrer de même que si a, b et c sont des réels positifs ou nuls, alors

~=";;;XYbX~

Exercice 1.

Donne une écriture sans radical des nombres soivants.

Exercice 2.

Considérons le nombre 150 ; on peut écrire que

150 = 25 X 6,

v'15O =.J25 X YB, V15D=5YB.

Ecris sous la forme aYb où a et b sont des naturels, les nombres suivants.

vs V24 V48 v'aOO v12 .J27 m. Déduis-en une écriture plus simple de m -v12 +.J27. Ecris sous une forme plus simple v18 + .J32 -v'98 et .J54 + v294 -Y486.

88

vÇ-~iYb .:-.•.... b~

ANNEXE Jeomatri 3ème (1980)

5.2 Racine carrée et division.

Soit a un réel positif ou nul et b un réel positif.

Nous allons comparer les nombres vÇ et ~.Yb -Jb

Ces deux nombre~· sont positifs ou nuls nous allons donc comparer leurs carrés.

vÇ)2 = (vÇ)2 =!!..( Yb (Yb)2 (AY=~·b

Concluons.

Si. a •.. est un réel· pOsitif ou

.

Exercice 1.

Donne d'autres écritures pour les nombres suivants.

~ ; ";0.75; fI; !4 ; Vi ; IN r::m:::::­../"4 ../27 -JïQ VS ";25 ../1ססOO

Exercice 2.

Soit a un réel positif.

Montre que Il= _1_ .../ -;; vÇ

Exercice 3.

3 3 _ 3 Xv5 _ 3v55Considérons le nombre . c . On peut écrire queVb v5- .JSXv5 --5­5

On dit qu'on a «rendu entier le dénominateur du quotient .Js-». Rends entiers les dénominateurs des quotients suivants.

1 3

Vi et

V3'

Exercice 4.

Considérons le nombre 1 On peut écrire que2--../3'

1 _ 2+V3 =2+V3=2+V3. 2-V3 - (2-V3)(2+V3) 4-3

Rends entiers les dénominateurs des quotients suivants.

3 + 2-../2

2-V3

5.3 Racine carrée et addition.

Donne une écriture sans radical des nombres .Jï6 , ...;g et v'16+9. Compare .Jï6 +...;g et ~.

Penses-tu que la propriété suivante soit vraie ?

Si a et b sont des réels positifs ou nuls• ..;;;-+b = Yb.

16 • (2)t---....a

et 5 *- 7.c?-25-0-~ 9 .. (2) '--3

89

ANNEXE Corrieu-Gourion 3ème (1984)

3.4 Calculs sur les radicaux

a) Racine carrée d'un produit

Soit des réels positifs a et b. Comparons Yab et va Yb. Ces nombres sont égaux si et seulement si leurs carrés sont égaux:

(Yaby = ab

(vaYbY = (va)2(Yby = ab

donc (Yaby=(vaYbY, par suite Yab=vaYb. Donc:

Quels que soient les réels positifs a et b, v;;b =~Vb.

Conséquences

• Soit a, b, c des réels positifs. On peut écrire:

vtibC = Y(ab )c =(Yab)Vë = vaYbVë. • Soit a un réel positif et n un entier naturel non nul:

Vli2ii = Van X an = vanvan = (van)2 = an.

Donc:

[POUT tout a E IR+ et tout nE IN*, ~=an.

Cette égalité sera utilisée quand l'exposant de la puissance de.a est pair.

Exemples

Calculer A = VS x V245 et B = Y254016.

• A=Y5x245=Y5x(5x49) A = V52 X 72 = \f52 x '.f7î A=5x7 =35.

• La décomposition de 254016 en produit de facteurs premiers permet d'écrire:

B = Y26 X 34

X 72 = 23 X 32

X 7 = 504.

b) Racine carrée d'un quotient

Soit des réels positifs a et b (b #' 0). Comparons .jf; et ~. Ces

nombres sont égaux si et seulement si leurs carrés sont égaux:

(~r=~ (va) 2 (va? _a Yb -

_

(Yb)2-;

donc ( ~r = (~r.

par suite

Donc:

l~ba_- ~b·Pour tout a E IR+ et tout b E IR:, ,t;: v 0

90

ANNEXE Corrieu-Gourion 3ème (1984)

Exemple

/32 x 0,2Calculer C = V 4 9 . ,

On peut écrire :

c) Sommes contenant des radicaux

• V9+I6 = V25 = 5 v9+V16=3+4=7,

Dans ')uel cas a-t-on cet exemple nous montre, en prenant a = 9 et b = 16, que:va+b =va + Yb? va+b #- va + Yb_

• Cependant on peut quelquefois simplifier une somme de racines carrées en faisant une mise en facteur:

V'12 + vTi - V75 = v'4X3 + v'9X3 - v25X3 = 2V3 + 3V3 - 5V3 = (2 + 3- 5)V3 =0.

d) Quotients contenant des radicaux aux dénominateurs

Il est souvent commode, lorsqu'on veut faire un calcul numérique ou des simplifications, de transformer les quotients de manière que les dénominateurs ne contiennent plus de radicaux. Donnons-en deux exemples:

1. Soit a un réel quelconque et b un réel positif non nul. On peut écrire:

a a XYb aYb aYb (Yb)2 --b-­Yb-YbXYb

1v'21V3 IVSAinsi: v'2-2 V3-3 VS=S­2. On remarque que, si b et c sont des réels positifs,

(Yb +VCXYb -VC)= (Yb)2 - (VC)2 =b - c,

b - c ne contient plus de radicaux_

On verra au chapitre 4 des De même, si b est un réel positif et c un réel quelconque, calculs d'encadrements con­ (Yb+cXYb-C)=(Yb)2_ C 2=b _c 2,tenant des radicaux.

b - c 2 ne contient plus de radicaux.

Par exemple (les dénominateurs étant supposés non nuls) :

a a(Yb - VC) a(Yb -VC) Yb+VC (Yb+vcXYb-VC) b-c

a a(Yb-c) a(Yb-c) Yb+c -(Yb+cXYb-c) b-c2

91

ACTIVITE... DODECAGONE

Philibert CLAPPONI !REM de Grenoble

Un dodécagone est un polygone régulier à 12 côtés. Sur la figure on a tracé 3 diagonales.

Les triangles KAS et SUD ont l'air d'être équilatéraux. Est-ce vrai ?

D u

«petit x» nO 28 p. 91, 1991-1992

92

LISTE DES AUTEURS AYANT PARTICIPE A CE NUMERO

Alain BRONNER Ecole Nonnale Supérieure BAMAKo-MALI

Colette LABORDE Equipe de didactique des mathématiques et de l'infonnatique LSD-IMAG B.P. 53 X 38041 GRENOBLE-CEDEX

Paulette LAUR IREM de Clennont-Ferrand Université de Clennont-Ferrand II Complexe Scientifique des Cézeaux 63177 AUBIERE

Robert NOIRFALISE IREM de Clennont-Ferrand Université de Clennont-Ferrand II Complexe Scientifique des Cézeaux 63177 AUBIERE

LOUIS-JEAN avenue d'Embrun, 05003 GAP cedex

Tél. : 92.53.17.00 Dépôt légal: 921 - Novembre 1991

Imprimé en France