JOURNEES INTER- ACADEMIQUES NANCY 2009 Entrer par les problèmes en seconde. [email protected]

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NANCY 2009NANCY 2009

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NANCY 2009NANCY 2009Entrer par les problèmes en seconde.Entrer par les problèmes en seconde.

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Isabelle JACQUES 2009 2

Présentation

• Raisons et objectifs de cet atelier• Moyens• Qu’est-ce qu’une entrée par les problèmes?• Organisation en classe

– La démarche d’investigation– Une méthode : le débat scientifique

• Des exemples de problèmes


Raisons et Objectifs

• Une attente des programmes :– Les nouveaux programmes de seconde mettent l'accent sur les problèmes.– Développer l’autonomie et l’esprit critique des élèves..– Varier les méthodes : utilisation des TICE, travail en groupe…

• Une attente des élèves :– « A quoi ça sert? ».

Un problème peut permettre de comprendre la nécessité d’avoir de nouveaux outils.

– Résoudre des problèmes concrets.

• Une attente des enseignants :

– Rendre les mathématiques attractives.

– Faire des mathématiques autrement.

– Ne pas rajouter des « problèmes ».

– Gérer l’hétérogénéité.


Moyens• Transformer des activités classiques

d’introduction en problèmes permettant d'aborder des nouvelles notions.

• Transformer des exercices d'application en problèmes à prise d'initiative.

• Favoriser des problèmes qui peuvent être résolus de façon différentes (géométrie, analyse, TICE…).

• Utiliser des problèmes relativement « ouverts ».• Organiser un débat dans la classe.


Que peut être une entrée par les problèmes…


Quelques critères

• L’énoncé est court et facile à comprendre

• La réponse n’est pas évidente

• Aucune méthode de résolution n’est sous entendue

• Le problème est « ouvert »


Démarche d’investigation

• Le choix d'une situation - problème• L’appropriation du problème par les élèves • La formulation de conjectures, d’hypothèses explicatives, de

protocoles possibles• L’investigation ou la résolution du problème conduite par les

élèves• L’échange argumenté autour des propositions élaborées• L’acquisition et la structuration des connaissances


Le choix d'une situation - problème• Enoncé du problème

– Quels pré-requis nécessaires?– Quelle définition, quel théorème pourra être introduit?– La question induit-elle une réponse, une méthode?– Le problème ouvre-t-il suffisamment de portes?– Y a-t-il des prolongations possibles?

• Consignes aux élèves– Faire des essais, choisir des méthodes différentes,

chercher un contre-exemple…• Aides à anticiper


L’appropriation du problème par les élèves

• Vérifier la compréhension de l’énoncé.– Reformuler la question.– Traiter un exemple.

• Phase de recherche personnelle.– L’enseignant peut guider les élèves sans les influencer sur

leurs conjectures mais au contraire en aidant à faire naître le questionnement.


La formulation de conjectures, d’hypothèses explicatives, de

protocoles possibles

• Les élèves formulent des conjectures et exposent leurs méthodes.

• Les résultats visiblement faux sont mis en évidence par des contre-exemples.

• Le problème peut être reformulé.


L’échange argumenté (débat) autour des propositions

élaborées• Communication des solutions élaborées, des réponses

apportées, des résultats obtenus, des interrogations qui demeurent.

• Confrontation des propositions, débat autour de leur validité, recherche d’arguments. Cet échange peut se terminer par le constat qu’il existe plusieurs voies pour parvenir au résultat attendu et par l’élaboration collective de preuves.

• Quand une réponse fait l’unanimité un protocole de démonstration si nécessaire est suggéré.


L’acquisition et la structuration des connaissances

(Institutionnalisation)

• Mise en évidence de nouveaux éléments de savoir (notion, technique, méthode) utilisés au cours de la résolution.

• Reformulation écrite par les élèves, avec l’aide du professeur, des connaissances nouvelles acquises en fin de séquence.


Phases

• Présentation du problème

• Recherche personnelle des élèves

• Mise en commun (débat)

• Institutionnalisation


Attitude du professeur

• Respect des phases et de l’ordre des phases.• Le professeur est l’initiateur de la première et de la

dernière phase.• Pour les deux phases intermédiaires, il doit essayer

de rester neutre pour laisser « vivre le faux ».


Un exemple d’animation :Le débat scientifique

(IREM de Grenoble)


L’élève n’a pas de responsabilité scientifique en classe.La vérité mathématique est l’affaire du professeur et dépend du statut de l’énoncé.Quel sens peut avoir un énoncé mathématique si on se prive de le penser soi-même?

Pourquoi organiser des débats scientifiques en classe?


Organisation du débat• Débat « privé » : temps de réflexion des

élèves. Ils peuvent échanger avec leurs voisins. (Le professeur est neutre)

• Vote : « vrai », « faux », « autre ».• Débat « publique » : le professeur organise le

tour de parole, inscrit au tableau les arguments en respectant une neutralité stricte.

• Nouveau vote : « vrai » ou « faux ».• Institutionnalisation par le professeur.


Changement de contrat didactique

Activité classique :

L’élève doit produire une réponse et il n’a pas la charge de vérifier la pertinence de sa réponse.Le professeur détient la vérité et pose les bonnes questions.

Dans le débat scientifique :

L’élève peut douter. Se tromper est source de progrès.

Le professeur fait vivre le « faux » en classe.


Avantages vécus

Le pouvoir du contre-exemple.L’intérêt de démontrer.Les énoncés prennent du sens pour les élèves.La rédaction de l’énoncé est importante.Il y a des problème sans solution ou il peut y avoir plusieurs solutions à un problème.Douter est un droit : développement du sens critique.


Quelques problèmes qui peuvent servir d’introduction au programme de seconde pour de nouvelles notions

mais aussi pour réinvestir les notions de collège.


Repères

Le quadrilatère ABCD ci-dessous a été représenté dans un repère orthonormé qui a disparu.Le retrouver à partir des coordonnées, dans ce repère, des points suivants : A(-4 ;2) B(2 ;-6) C(3 ;6) D(1 ;2)

QuickTime™ et undécompresseur

sont requis pour visionner cette image.


Conditions nécessaires et suffisantes

Théorème de VarignonPeut-on déterminer des conditions (nécessaires, suffisantes, nécessaires et suffisantes) pour que IJKL soit un parallélogramme, un rectangle, un losange, un carré?

22


Les coordonnées d’un vecteurVariablesxA, yA, xB, yB , xC, yC, xD, yD EntréesSaisir xA, yA, xB, yB , xC, yC, xD, yD TraitementAffecter à xu la valeur (xB - xA)Affecter à yu la valeur (yB - yA)Affecter à xv la valeur (xC - xD)Affecter à yv la valeur (yC - yD)SortieSi xU = xV et yU = yV

Alors afficher ABCD est un parallélogrammeSinon afficher ABCD n'est pas un parallélogrammeCet algorithme est-il valide ?


• Quel est l’aire du parallélogramme?

3 cm

4 cm

Trigonométrie

Dans un deuxième temps , on rajoute la valeur d’un angle.


Le triangle de mesures, 3, 4 ,5 est rectangle. Existe-t-il d’autres triangles rectangles dont les mesures des côtés sont des entiers consécutifs?(Développé dans PARI n°20)

Calcul algébrique


Variations de fonctionsFonctions polynômes de degré 2

2626

Pour fabriquer une boîte (sans couvercle), on découpe un carré de même dimension à chaque coin d’une plaque de carton carrée de côté 20 cm .Comment fabriquer une boîte de volume maximal?

x

20 cm

x

…….

…….


Fonctions homographiques

• Un prix subit une hausse de 15% puis une baisse de 15%, le prix revient-il à sa valeur initiale?

• De façon générale, à quelle condition un prix qui subit deux évolutions successives peut-il revenir au prix initial?


• Comparer

Peut-on généraliser ?

€

14− 3

et 4+ 3

Calculs sur les racines carrées et identités remarquables


• « A la place de calculer le carré d'un nombre, on peut tout aussi bien calculer le produit du suivant de ce nombre et son précédent, car la baisse de l'un est compensé par la hausse de l'autre. Dans les deux cas on obtient le même résultat. »

« Est-ce une bonne idée, une idée qui marche? »

€

x2 = x−1( ) x+1( )

Identités remarquables


Fonctions linéaires et affines

Un vidéoclub propose 3 options de location:Option 1 : 60 € d’abonnement annuel et 2 € par DVD loué.Option 2 : 30 € d’abonnement annuel et 3 € par DVD loué.Option 3 : Pas d’abonnement mais 5 € par DVD loué.

Quelle option choisirais-tu ?


Fonctions affines

• Au vidéoclub, on peut louer un DVD pour 5 €. Le gérant veut proposer à ses clients d’acheter un abonnement qui permet d’emprunter chaque DVD à prix réduit. Il souhaite que pour 20 DVD empruntés, le client paie le même prix quelle que soit la formule. Que proposez-vous ?


La boîte, l’araignée et la mouche !

L’araignée est à 1 cm du haut en partant du milieu de l’arête, au point A.La mouche, paralysée de peur, est à 1 cm du fond de la boîte, au point M.Quelle est la longueur du chemin le plus court pour aller de A à M ?

(L’araignée ne vole

pas ! Elle se déplace

uniquement sur les

parois de la boîte.)

Patrons - Pythagore


Repères - Fonctions affines

d

Tracer un repère orthonormé dans le cadre ci-dessous dans lequel la droite d représente la fonction affine définie par :

€

f(x)= −3x + 4


Soit ABC un triangle quelconque, I un point de [BC] .

Peut-on construire M sur [AC] tel que l’aire du triangle IMC soit égale à la moitié de l’aire du

triangle ABC ? A

BI

C

Revoir le théorème de ThalèsProlongement : étude de la fonction

€

x a1

2x


Equation du second degré

ABCD est un rectangle, AD = 8 cm et AB = 10 cm.M est un point du segment [AB].On construit le carré AMEP et le rectangle EGCF.Où placer le point M pour que l’aire colorée soit égale à l’aire non colorée.


On désire imprimer une carte carrée (ABCD). On souhaite cependant laisser une marge de 2 cm en haut et en bas de la carte et de 1 cm à gauche et à droite. Quelles doivent être les dimensions de cette carte pour que l’aire de la surface centrale (FKLM) soit de 8 cm2, de 12 cm2 ?

Résolution d’une équation f(x) =k


Volumes de solides

• On veut verser la même quantité de

liquide dans un verre cylindrique et un

verre conique de mêmes diamètres. A

quelle hauteur doit-on les remplir?


SystèmesUn fermier se trouve dans sa basse-cour composée de lapins et de canards. Il s’amuse à compter le nombre de pattes. Il en dénombre 106.

Combien y a-t-il de canards et de lapins ?

Après une première phase de recherche,

on peut rajouter qu’il compte 38 têtes.


Médiane

M. Misant, fabricant de boîtes de chaussures, doit renouveler son stock. Il veut pour cela concilier différentes contraintes :

• Eviter le gaspillage (pas de grandes boîtes pour de petites chaussures)

• Ne faire que deux formats de boîtes car il ne dispose que de deux chaînes de fabrication

• Produire la même quantité de boîtes sur chaque chaîne de fabrication.

Une étude a été réalisée auprès d’une population d’adultes pour connaître la répartition des pointures. Les résultats sont indiqués dans le tableau ci-dessous : Pointure 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 effectif 33 63 108 140 156 120 94 70 61 54 51 50 Que conseiller à M. Misant ? Prolongement : Avec des effectifs plus grands, proposer le tableur en étant attentif à ce que la médiane soit bien diff érente de la moyenne.


Résolutions d’inéquations

Un fil de fer a pour longueur 4,50 m.On le coupe en deux morceaux : on plie le premier morceau en forme de carré et le second morceau en forme de rectangle dont une dimension est 1 m.Compare les aires des deux quadrilatères.

D’après hyperbole seconde 2009


Bibliographiehttp://www-irem.ujf-grenoble.fr/irem/Debat_scientifique/Db_Sci_&_rem_etudiants.pdfhttp://dialog.ac-reims.fr/math-pbouvertsGrand N n°51 sur le site du CRDP de GrenobleBrochure APMEP n°150 : « Pour un enseignement problématisé des Mathématiques au lycée ».PASI : activité de recherche (PARI n°20)

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