La Fenomenologia de La Didactica de Las Estructuras Matematicas de Hans Freudentathal

7/26/2019 La Fenomenologia de La Didactica de Las Estructuras Matematicas de Hans Freudentathal

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Memorias Congreso Investigacin y Pedagoga. Tunja, Nmero 02 Octubre/ 2013 ISSN 2256-1951

LA FENOMENOLOGA DIDCTICA DE LAS ESTRUCTURAS MATEMTICAS, DEHANS FREUDENTHAL

Aportes de la Fenomenologa a la Didctica de la Matemtica

Omaida Seplveda DelgadoEstudiante de Doctorado en Educacin Rudecolombia

Docente Escuela de Matemticas y EstadsticaUniversidad Pedaggica y Tecnolgica de Colombia

[email protected]

RESUMEN

Esta propuesta presenta dos de los planteamientos desarrollados por Hans Freudenthal(1983). El primero se relacionado con la naturaleza de los objetos matemticos y laprctica matemtica,por tanto, se relaciona con la naturaleza de la actividad que debenrealizar los alumnos para tener acceso a una genuina experiencia matemtica (Puig,1997).

El segundo hace referencia a uno de los objetivos en la enseanza de las matemticas,con respecto a la naturaleza de los conocimientos matemticos que deben adquirir losalumnos. La expresin de Freudenthal es la Constitucin de objetos mentales versus la

adquisicin de conceptos. Para Freudenthal, el objetivo del sistema educativo ha de serbsicamente la constitucin de objetos mentales y en segundo lugar la adquisicin de losconceptos, hecho que en la educacin media y bsica tiene importancia ya que implicaconsiderar qu matemticas se deben ensear a los estudiantes? Y que conocimientodidctico necesitan los profesores de matemticas.

En este trabajo se analizan los dos planteamientos anteriores para dar respuesta a lapregunta qu alcances estableci Freudenthal en su teora de la FenomenologaDidctica de las estructuras Matemticas para la enseanza y el aprendizaje de losconceptos matemticos, y cul es el mtodo que propone? Para dar respuesta a estapregunta, se realiza un anlisis documental sobre el tema, en especial un anlisis de lasprincipales ideas propuestas por Freudenthal (Freudenthal, 1983; Rico, 1997, Puig,1997,

2001).

Finalmente, se analizan algunas de las implicaciones que trae para la enseanza y elaprendizaje el mtodo propuesto por Freudenthal. Se reconstruye el ejemplo sobre lafenomenologa del objeto matemtico longitud.

Palabras clave: Fenomenologa, Anlisis didctico, Conocimiento didctico
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]


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INTRODUCCIN

Freudenthal no se sita en ninguna de las filosofas matemtica (realista, platnicas) queconciben los objetos matemticos (conceptos) con una existencia anterior a la actividadmatemtica y sta como el descubrimiento de la geografa del mundo en el que estnesos objetos. Los conceptos matemticos no tienen una existencia independiente de laactividad matemtica que los crea. (Puig, 2001).

Establece que el mundo que los objetos matemticos organiza crece, se ampla alincorporarse a l los propios objetos matemticos, que ya no se ven como medios deorganizacin sino como objetos, cuyas propiedades, las acciones que se hacen sobreellos o las propiedades de estas acciones, solicitan nuevos medios de organizacin queden cuenta de todo esto.

Los objetos matemticos son medios de organizacin de objetos del mundo, de suspropiedades, las acciones que se realizan sobre ellos o propiedades de esas acciones yse construyen en la prctica matemtica. Los conceptos e ideas matemticas organizanfenmenos, fenmenos del mundo real y de las matemticas.

Y los objetos mentales, son los que se sitan en la menta de las personas y son los queestas elaboran a partir de su experiencia. Son un medio de organizacin que le permite ala persona informar sobre su experiencia y da un poder sobre ella (Rico, 1997, pp. 79).

El mundo contiene el producto de la actividad humana, por tanto, cualquier objetomatemtico tringulo, grupo, grupo de Lie- se ve como un medio de organizacin deobjetos del mundo real o de las matemticas, acciones o propiedades de las acciones.

Freudenthal (1983, p.32), plantea una problemtica en la enseanza de los objetosmatemticos, para concebir un cierto objeto matemtico, se ensea o se intentaensear, el concepto. Por ejemplo, para concebir nmeros, grupos, espaciosvectoriales, relaciones, se tratan de inculcar los conceptos de nmero, grupo, espaciovectorial, relacin; es decir, se intentan materializar los conceptos.

En este trabajo se analizan los dos planteamientos anteriores para dar respuesta a lapregunta qu alcances establece Freudenthal en su teora de la FenomenologaDidctica de las estructuras Matemticas para la enseanza y el aprendizaje de losconceptos matemticos, y cul es el mtodo que propone? Para dar respuesta a estapregunta, se realiza un anlisis de la literatura disponible sobre el tema y un anlisis de

las principales ideas propuestas por Freudenthal (Freudenthal, 1983; Rico, 1997,Puig,1997, 2001).


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REFERENTES TERICOS

Anlisis Didctico

El Anlisis Didctico, se desarrolla con las diferentes actividades de concrecin delmodelo didctico, pensado y fundamentado, metodolgica y tericamente desde la dobleperspectiva del conocimiento curricular y didctico, desde los fundamentos del currculo(global y local) y desde la didctica de las matemticas, y tiene por objetivo la formacinprofesional (terica y prctica) de los educadores matemticos, el desarrollo, innovacin yconcrecin de los currculos locales y el mejoramiento de la actividad o prcticaprofesional concreta de los profesores de matemticas (Bedoya, 2002).

Para la realizacin del anlisis didctico, segn Rico (1997, pp. 46-50), se establecenunos organizadores del currculo, en primer lugar se consideran los errores y dificultades

detectados en el aprendizaje de las matemticas, que se presentan para cada tpico, ascomo los problemas y obstculos de aprendizaje que se detectan o se plantean para cadaconcepto. En segundo lugar las representaciones utilizadas para cada sistemaconceptual, junto con algunas modelizaciones usuales de los correspondientes conceptos.En tercer lugar, la fenomenologa de los conocimientos implicados, as como lasaplicaciones prcticas de cada bloque de contenidos. En cuarto trmino, la diversidad delos materiales de tipo manipulativo y de los recursos que pueden emplearse en laenseanza de cada tpico. Y por ltimo, la evolucin histrica de cada campo e, inclusode cada concepto.

Estas cinco perspectivas, junto con los propios contenidos, no determinan todas lasposibilidades para reflexionar sobre cada una de las unidades de un currculo de

matemticas desde un planteamiento didctico. Estos organizadores ofrecen laposibilidad de realizar un anlisis didctico de cada tema en matemticas, es decir, unanlisis de los contenidos para su enseanza en el sistema educativo. Este anlisisforma parte del trabajo que los profesores de matemticas deben realizar en sus tareasde planificacin de unidades.

El Anlisis Didctico, se integra por los anlisis: Matemtico o de contenido, el Cognitivo,el Anlisis de la Instruccin y el de la Actuacin (Gmez y Rico, 2002a, p. 34). De unAnlisis Didctico se espera, obtener un diseo de actividades en torno a las nocionesmatemticas, que guen al estudiante en el desarrollo de procesos cognitivos, que lepermitan la comprensin del objeto,y de acuerdo con este planteamiento se puedan daraportes en la solucin de la problemtica general de la falta de significado y uso de

conceptos y procesosmatemticos.El desarrollo de los componentes del Anlisis Didctico activa una serie de conocimientosque en conjunto se denominan el Conocimiento Didctico del profesor. Este ConocimientoDidctico est compuesto por herramientas tericas, denominadas los organizadores delcurrculo. Estos organizadores son los conocimientos que le permiten al profesor articularel diseo, desarrollo y evaluacin de las unidades del currculo (Rico y Segovia, 2001,p.102.), se consideran elementos tericos y metodolgicos, mediadores, articuladores del


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Anlisis Didctico y los sistemas de Conocimiento que fundamentan los significados delos conocimientos matemticos (Bedoya, 2002, p.55).

Como uno de los organizadores del currculo se encuentra la Fenomenologa, ademsaparecen las representaciones, el pensamiento matemtico avanzado, las dificultades,obstculos y los errores que se les presentan a los estudiantes de formacin matemticacuando aborda actividades relacionadas con conceptos de la matemtica. Estos sonalgunos de los organizadores propuestos por Rico (1997).

Fenomenologa

El trmino fenomenologa no hace referencia al sentido dado por Husserl, Hegel oHeidegger (filsofos). El nomeno es lo que es pensado mediante la razn o lointeligible y fenmeno proviene tambin del griego phainomeno que significa lo queaparece. Los fenmenos son las apariencias o lo que se nos parecen de las cosas. En la

tradicin filosfica realista, el mundo de los nomenos es el que se califica de real. Lacontraposicin entre fenmeno y nomeno es una contraposicin entre mundos, el de losFenmeno que es el de la apariencia, de la experiencia y el nomeno que es el de losensible, lo inteligible. Identificar los conceptos matemticos con nomenos, los sitafuera del campo de nuestra experiencia y esto contradice las ideas de Freudenthal, alpresentar el concepto matemtico como medio de organizacin de fenmenos, que pasaa formar parte de un campo de fenmenos que se organizan por un nuevo conceptomatemtico, por tanto, no caen fuera de nuestra experiencia ni estn en un mundodiferente del de los fenmenos que organiza.

Los conceptos matemticos no estn fuera del campo de la experiencia, ni estn enmundos diferentes del mundo de los fenmenos que organizan; el fenmeno es un el

objeto de nuestra experiencia matemtica. Se tienen entonces las cadenas (fenmenos,medio organizacin 1), (medios de organizacin 1, medios de organizacin 2)

Hacer fenomenologa, es entonces describir cada una de esas series o pares, la actividadmatemtica no permanece en el nivel inferior (fenmeno, medio de organizacin); elproceso de creacin de los objetos matemticos es un proceso por medio del cual losmedios de organizacin se convierten en objetos que aparecen en el campo defenmenos. As, los objetos matemticos se incorporan a nuestra experiencia, y entrancomo fenmenos en una nueva relacin fenmenos/medios de organizacin en la que secrean nuevos conceptos matemticos, y este proceso contina reiterativamente.

La progresin de pares fenmenos/medios de organizacin implica dos procesos: el

proceso de creacin de los conceptos matemticos como medios de organizacin,indicado por cada par y el proceso por el cual un medio de organizacin entra comofenmeno en una nueva relacin. Esta progresin representa la produccin de objetosmatemticos cada vez en un nivel ms elevado, ms abstracto y muestra como laactividad matemtica genera su propio contenido.

La fenomenologa de un concepto matemtico, de una estructura o de una ideamatemtica, significa describir el nomeno (conceptos) en su relacin con los phainomena


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para los cuales es el medio de organizacin, indicando los fenmenos para cuyaorganizacin fue creado y a cuales puede ser extendido, de qu manera acta sobre elloscomo medio de organizacin y que poder nos da sobre esos fenmenos.

Tipos de Fenomenologas

Los conceptos (nomeno) se relacionan con los phainomenon. Si en la relacin seanaliza el elemento didctico, eso es, como se adquiere la relacin concepto Rfenmenos en el proceso de enseanza y aprendizaje, se tiene una fenomenologadidctica, donde intervienen los fenmenos presentes en el mundo de los alumnos y losque se proponen en las secuencias de enseanza, se trata de los fenmenos que estnorganizados en las matemticas tomadas en el momento actual.

Si se analiza esa relacin fRc, respecto al crecimiento cognitivo de los estudiantes, serealiza una fenomenologa gentica. Los fenmenos se consideran respecto al desarrollocognitivo de los alumnos.

Si se analiza cmo se adquiri esa relacin fRc, en la historia, se tiene la fenomenologahistrica, es decir se analizan los fenmenos para cuya organizacin se cre el conceptoen cuestin y como se extendi a otros fenmenos.

El orden de las fenomenologas propuesto es, iniciar con una fenomenologa pura, esdecir con el conocimiento de las matemticas y sus aplicaciones. Se completa con lafenomenologa histrica y se contina con la fenomenologa didctica para lo cual senecesita conocer el proceso de enseanza y aprendizaje, y finalmente se realiza lafenomenologa gentica, en cuanto al crecimiento cognitivo de los alumnos.

La descripcin de las relaciones entre los fenmenos y el concepto toma enconsideracin, en el primer caso, las que estn establecidas y en los otros tres casos,como se produjeron, se adquirieron, o se conformaron esas relaciones en el sistemaeducativo, con respecto al desarrollo cognitivo o en la historia.

Anlisis Fenomenolgico

Fenomenologa es el mtodo de anlisis de los contenidos matemticos y anlisisfenomenolgico del concepto u objeto matemtico corresponde a la descripcin delobjeto matemtico.

El anlisis fenomenolgico se hace con una intencin didctica, ya que es el anlisis

previo a todo diseo o desarrollo curricular y se entiende en este contexto como uncomponente del anlisis didctico (Rico, 1997, pp.61).

El anlisis fenomenolgico tiene como objetivo servir de base para organizar laenseanza de las matemticas, y no pretende elaborar una explicacin de la naturalezade las matemticas.


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Una de las tareas de la fenomenologa es indagar, analizando los conceptos matemticos,sobre cules son los fenmenos que organizan los conceptos matemticos. Se suponeque con anterioridad no se tienen estos fenmenos.

Frente a la manera de afrontar la enseanza de la matemtica, la FenomenologaDidctica propone preparar el enfoque contrario e iniciar por los fenmenos que solicitanser organizados por el concepto y a partir de este punto, ensear al estudiante amanipular esos medios de organizacin. La fenomenologa didctica debe ser llamadapara desarrollar planes con este tipo de enfoque. Para ensear Grupos, en lugar de partirdel concepto Grupo y tratar de materializarlo, se mirarn primero los fenmenos quepodran obligar al alumno a constituir el objeto mental que est siendo matematizado porel concepto grupo. Si a una edad determinada los fenmenos no estn disponibles, serenuncia a los intentos de inspirar el concepto (Freudenthal, 1983, pp. 32).

En el sistema escolar, para los alumnos los conceptos preexisten a su experiencia con losrespectivos fenmenos y por su parte el sistema educativo busca que los alumnosconstituyan los objetos mentales como medio de organizacin de esos fenmenos y quetengan acceso a los medios de organizacin que la historia proporciona, estos son losconceptos. En la historia los conceptos matemticos no preexisten a nuestra experiencia,fue la actividad matemtica la que los creo; la actividad matemtica es la actividad de losmatemticos. As, los conceptos matemticos visto a travs de la historia sonconsolidaciones de objetos mentales, la actividad matemtica produce, conceptos a partirde objetos mentales.

La relacin entre conceptos y objetos mentales es compleja, ambos son medios deorganizacin de fenmenos, los objetos mentales preexisten a los conceptos y los

conceptos no substituyen a los objetos mentales si no que permiten la formacin denuevos objetos mentales que los contienen o con los cuales son compatibles. Ladistancia entre el primer objeto mental y el concepto puede ser grande.

Constitucin de Objetos mentales Vs. Adquisicin de Conceptos

La idea de objeto mental, confrontada con la de concepto, tiene un efecto didctico: elobjetivo de la labor educativa en el sistema escolar debe ser la constitucin de objetosmentales y en segundo lugar la adquisicin de dichos conceptos. La confrontacin objetomental Vs. Concepto es la confrontacin entre lo que est en la cabeza de la persona los objetos mentales- y lo que est en las matemticas como disciplina los conceptos. Se

tratan los conceptos tambin como medios de organizacin de fenmenos.

El objeto mental es el concepto que tiene la persona puede ser de la matemtica o no, esla concepcin de la persona. La persona que lee un texto o interpreta un mensaje noopera en el conjunto de todos los significados (enciclopedia), esto es en la totalidad detodos los usos, de un concepto, sino en su campo semntico personal (grupo de palabrasque se relacionan por su significado). Aqu, Freudenthal toma partido en la didctica en laconstitucin de objetos mentales, estableciendo que la labor educativa es lograr que el


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campo semntico de los alumnos sea tan amplio que le permita interpretar todas lassituaciones en las que aparece el concepto.

La idea de objeto mental, tambin es la de medio de organizacin de fenmenos, y estosse forman por cadenas de fenmenos/medios de organizacin, al igual que los conceptos,aumentando el nivel. Constituirun objeto mental implica dar cuenta de todos los usos enlos diferentes contextos donde aparece o poder organizar todos los fenmenoscorrespondientes, entonces el objeto mental, est bien constituido.

El objetivo de las instituciones educativas debera ser la constitucin de buenos objetosmentales (Puig, 1997, pp. 77). Los conceptos aparecen relacionados con una parte delobjeto mental, ya que en el proceso de definir se selecciona parte del significado queabarca el objeto mental. Hay ms diferencias, y la relacin no es de una parte delcontenido del objeto mental a la totalidad de su contenido, es una relacin ms compleja.La adquisicin del concepto es algo secundario a la constitucin de los objetos metales yes algo que se da posteriormente. La relacin particular que cada concepto matemticotiene con el objeto mental correspondiente determina la relacin entre la constitucin delobjeto mental y la adquisicin del concepto. Los elementos que constituyen un buenobjeto mental se determinan mediante el anlisis fenomenolgico del conceptocorrespondiente.

Adquirir el concepto es examinar cmo ha sido establecido en las matemticas, como hasido organizado local o globalmente en un sistema deductivo. La relacin particular quecada concepto matemtico tiene con el objeto mental correspondiente determina cmo serelaciona la constitucin del objeto mental con la adquisicin del concepto. El logro de laconstitucin de objetos mentales lo proporciona el anlisis fenomenolgico del conceptocorresponde; anlisis previo a todo proceso de instruccin.

METODOLOGA

Investigacin documental, basada en los planteamientos de Rico y colaboradores (1997) yen los planteamientos de Puig (1997,2001) y especialmente en el libro de Freudenthal(1983).


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RESULTADOS Y CONCLUSIONES

ProblemticasLas disciplinas matemticas (lgebra, Anlisis, Aritmtica, Geometra, Estadstica,Probabilidad) no son suficientes para organizar el currculo de las matemticas. Ademsde las opciones matemticas resulta imprescindible tener en cuenta ms aspectos,denominados por Rico (1997) los organizadores del currculo.

El conocimiento profesional que necesita el educador matemtico no se limita a lasdisciplinas matemticas. El profesor necesita un conocimiento profesional propio, que lepermita valorar las propuestas de las administraciones, materiales, textos gua, que leproporcione una competencia adecuada para elaborar materiales propios. Se hace

necesario tener una aproximacin cognitiva para cada contenido, un anlisis semitico,la reflexin fenomenolgica, la perspectiva histrica y epistemolgica, la valoracin de loscontextos para cada concepto, sus usos y significados, la revisin de materiales yrecursos.

Conceptos de la Fenomenologa de Hans Freudenthal

FenomenologaFenomenologa es un mtodo de anlisis de los contenidos matemticos.

Anlisis FenomenolgicoAnlisis fenomenolgicodel concepto u objeto matemtico es la descripcin del conceptoen su relacin con los fenmenos para los cuales es el medio de organizacin, indicandolos fenmenos para cuya organizacin fue creado y a cuales puede ser extendido, dequ manera acta sobre ellos como medio de organizacin y que poder nos da sobreesos fenmenos.Tiene como objetivo servir de base para la enseanza de las matemticas, ya que es unanlisis previo para todo diseo curricular, no pretende elaborar una explicacin sobre lanaturaleza de las matemticas.

Tipos de Fenomenologafenmenos R concepto matemticoSi en el anlisis de la relacin se enfoca hacia el elemento didctico, esto es, a como seadquiere esta relacin en el proceso de enseanza y aprendizaje, se tiene lafenomenologa didctica. Intervienen los fenmenos presentes en el mundo de losalumnos y los que se proponen en las secuencias de enseanza, se trata de losfenmenos que estn organizados en las matemticas tomadas en el momento actual.


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Si se analiza cmo se adquiri esta relacin en la historia, se tiene la fenomenologahistrica, donde se analizan los fenmenos para cuya organizacin se cre el concepto encuestin y como se extendi a otros fenmenos.

Si se analiza la relacin respecto al crecimiento, desarrollo cognitivo de los estudiantes, sehace fenomenologa gentica. Los fenmenos se consideran respecto al desarrollocognitivo de los alumnos.El orden para las fenomenologas debe ser, iniciar con una fenomenologa pura, es decircon el conocimiento de las matemticas y sus aplicaciones, completar con lafenomenologa histrica y continuar con la fenomenologa didctica para la cual senecesita conocer el proceso de enseanza y aprendizaje, y finalmente se realiza lafenomenologa gentica, en cuanto al crecimiento cognitivo de los alumnos.

Anlisis DidcticoEs un anlisis de los contenidos de las matemticas, para la organizacin de suenseanza en el sistema Educativo. Forma parte del trabajo de los profesores en sustareas de planificacin de unidades, para su realizacin se necesitan unos organizadoresdel currculo. En la organizacin de un tema, adems de las posibles opcionesmatemticas de organizacin, se deben tener en cuenta aspectos como: los errores ydificultades detectadas en el aprendizaje de cada tpico, los problemas u obstculos deaprendizaje; en segundo lugar, las representaciones utilizadas en cada sistemaconceptual junto con las modelizaciones. En tercer lugar, la fenomenologa de losconocimientos implicados, y las aplicaciones prcticas de los contenidos; la diversidad delos materiales y los recursos y por ltimo la evolucin histrica del concepto (Rico, 1997)

Conocimiento Didctico del ProfesorConstituido por una serie de conocimientos, los cuales se activan al desarrollar el anlisisdidctico, especficamente los organizadores del currculo como herramientas tericaspermiten el desarrollo de algunos de los conocimientos.

Proceso de creacin de los objetos matemticosFenmenos Concepto

Medios de organizacin

Permutaciones, simetras

-permutaciones-simetras

Grupo

-Grupo1= Z-Grupo2=Zn-Grupo3=R

Anillos


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Anillo1=RealesAnillo2=complejos

Cuerpos

Cuerpo1=Reales Espacio topolgicoEspacios topolgicos ..

Los conceptos matemticos no estn fuera del campo de la experiencia, ni en mundosdiferentes del mundo de los fenmenos que organizan, el fenmeno es un objeto denuestra experiencia matemtica. Se constituyen las cadenas (fenmenos, medioorganizacin 1), (medios de organizacin 1, medios de organizacin 2)

Hacer fenomenologa, es describir cada una de esas series o pares, por tanto la actividadmatemtica no permanece en el nivel inferior (fenmeno, medio de organizacin); elproceso de creacin de los objetos matemticos es un proceso por medio del cual losmedios de organizacin se convierten en objetos que aparecen en el campo defenmenos. As, los objetos matemticos se incorporan a nuestra experiencia, y entrancomo fenmenos en una nueva relacin fenmenos/medios de organizacin en la que secrean nuevos conceptos matemticos, y este proceso contina reiterativamente.

Implicaciones de la Fenomenologa parala enseanza de conceptos Matemticos.

Implicaciones de la Fenomenologa en elaprendizaje de los conceptosmatemticos.

Se hacen necesarios los anlisisfenomenolgico del contenido matemticoque se pretende ensear, ya que al accesoal conocimiento matemtico parte delanlisis de problemas reales.

El campo semntico del estudiante seforma con el conocimiento de de los usosdel concepto en los diversos contextos quese presentan. Se pretende que elestudiante tenga un campo semnticoamplio para cada concepto.

El anlisis didctico es un mtodo detrabajo que permite el acceso alconocimiento matemtico para suenseanza. Permite el diseo deactividades tanto para la enseanza comopara el aprendizaje; se encuentra integradopor organizadores del currculo, dentro delos cuales se encuentra el anlisisfenomenolgico.

Los objetos mentales estn descritos porlos campos semnticos personales, y lossistemas educativos deben pretender queel campo semntico del estudiante sea losuficientemente amplio para que puedausar los conceptos en los diversoscontextos que se presentan.

Intencin del currculo debe ser, laconstitucin de objetos mentales yposteriormente la adquisicin de conceptos.

Colocar la fenomenologa en primer plano,significa colocar situaciones-problemas quellevan al estudiante a realizar una accinmatemtica. En una fase posterior lasacciones matemticas se regulan con eldiscurso terico.

El docente establece los criterios quedeben satisfacerse para que un objetopueda considerarse constituidomentalmente.

Las propuesta didctica, es colocarle alestudiante, las situaciones-problema(fenmenos), con lo cual inicia laconstitucin de los objetos mentales,


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significa la constitucin de la estructuracognitiva personal que se enriquece luegocon el discurso.

El conocimiento profesional del educadormatemtico no se limita a la disciplinamatemtica, necesita de la fenomenologa,entre uno de sus componentes.

La fenomenologa de cada concepto debeestar en la base de los ejercicios yactividades que se proponen o en lasactividades de motivacin y ampliacin.

2. El mtodo: Fenomenologa de las estructuras Matemticas ejemplo: Magnitud.

1. Qu es la longitud?2. Qu es duracin?3. Qu es contenido?4. Qu es peso?

"Largo", "peso", la "duracin", "contenido", son magnitudes, entre las que longitud tiene suestatus especial.

En este sentido significa la longitud de algo, por ejemplo del largo de un objeto,Entonces longitud es sinnimo de: ancho, alto, espesor, distancia, latitud, profundo, quese relacionan con otras situaciones o dimensiones.

Qu es longitud?La longitud de ____es___; un giro tpicamente matemtico. Qu es un hermano? Unhermano de ____es_____ El hermano de x es cada y tal que x e y tienen los mismospadres.

Longitud de _____es___De esta forma se consigue un significado, se trabaja un smbolo funcional, una funcinque habla de objetos, como son de largos.

MagnitudesContinuando en la misma direccin, se pueden tener las funciones:Longitud de (objeto largo)Contenido de (una parte del espacio)Peso de (de un objeto pesado)Duracin de (un tiempo en un intervalo)

Entonces, l(x), c(x), p(x), d(x); donde x es algo que puede decirse que tiene una longitud,un peso, una duracin. Y se llaman a los valores de l longitudes, a los valores de p,pesos.

Y se tiene el sistema L: sistema de longitudesW, sistema de pesos, D, sistema de Duraciones, V, sistema de Contenidos, y se miransus propiedades.


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Adicionando longitudes

Se pueden adicionar longitudes cuando las concebimos numricamente. Cmo sehace?Dadas dos longitudes a,b provenientes de dos objetos largos x,y con longitudes l(x)=a,l(y)=b, se componen en un nuevo objeto x*y. Este objeto tiene una cierta longituddenominada l(x*y).

Entonces por definicin,se tiene que a+b:=l(x*y), yl(x)+l(y)=l(x*y), se tiene la propiedad que, la longitud de la compuesta es igual a lasuma de las partes que la componen.

Si se eligen otros representantes l(x)=a, l(y)=b se define el nuevo objeto x*y, entoncesl(x*y)=l(x*y). Y se tiene que la longitud de la compuesta no depende de la eleccin delos representantes.Hay que tener cuidado que al combinar objetos largos cumplan con esta condicin.

De igual forma, para los objetos pesados se tiene que p(x) + p(y)=p(x*y),

Ahora se quiere saber que es a+a; entonces para cada sumando se elige unrepresentante l(x)=a, l(y)=a, para obtener que a+a=l(x)+l(y)=l(x*y). Se necesita unrepresentante para cada objeto largo.

La adicin de longitudes, pesos, obedece las leyes conmutativa y asociativa:Se prueba que a+b=b+a y(a+b)+c=a+(b+c),

I. Se establecen una primera propiedad en los sistemas L, P, D, la operacinadicin, +, es conmutativa y asociativa.

Orden de las longitudes

Relaciones como ms grandes, ms pequeas, son relaciones de orden.Cada par de elementos a,b de L, est en exactamente una de las situaciones: a


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con b=a+k, o,existe un con a=b + .

Llamo dos objetos largos x,y directamente comparables si: x puede ser consideradocomo una parte de y o y puede ser una parte de x, entonces la propiedad anteriorpuede ser traducida en trmino de objetos largos como:Dados dos objetos largos x,y entonces yo puedo encontrar objetos largosdirectamente comparables x,y tales que l(x)=l(x) , l(y)=l(y) , yo, elijo x,y de tal formaque:x es una parte de y,o, y es una parte de xEntonces la segunda propiedad que se tiene para los sistemas L, W es:II. La definicin a


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El mtodo propuesto es: a partir del concepto longitud, se hace una primera preguntaqu es? Una magnitud (objetos, propiedades, procesos, equivalencias, caractersticas),es una medida (unidades, procesos, instrumentos) Se hace otra pregunta para qusirve? Son los usos (comparar, medir) un tercer momento que no aparece en el ejemplo,son las situaciones cientficas, prcticas en las que se usa el concepto, para determinarposibles actividades para los estudiantes (manejar instrumentos de medida, manejarsistemas de unidades de longitud: m, cm). Hay otros elementos que entran en juego parael diseo de actividades y son los sistemas de representacin que se van a usar paracada situacin problema (grfica, tabla, simblica, numrica), y tambin se tienen encuenta los recursos y los modelos (instrumentos de medida, cuadricula). Todo elprocedimiento es complejo, ya que para el ejemplo faltara el anlisis fenomenolgicohistrico, que es de especial importancia para determinar el origen de los conceptos einiciar en la bsqueda de los siguientes niveles de abstraccin. Falta la fenomenologagentica, que permite establecer errores y dificultades para los estudiantes relacionadoscon el aprendizaje del concepto.

La fenomenologa es una parte dentro del Conocimiento del profesor, que le permitenmejorar y enriquecer la prctica educativa y por tanto facilita el aprendizaje de losestudiantes. La fenomenologa provee un conocimiento sobre aspectos de la matemtica,aspectos del aprendizaje, aspectos de la enseanza y aspectos del currculo.Componente que no cubre todo el complejo de conocimientos didcticos, matemticosque necesita el profesor de matemtica en su prctica educativa.

BIBLIOGRAFA

Bedoya, E. (2002). Formacin de profesores de matemticas: Funciones, Sistemasde Representacin y Calculadoras Graficadoras. Departamento de Didctica de laMatemtica. Granada: Universidad de Granada.

Freudenthal, H. (1983). Didactical Phenomenology of Mathematical Structures.Dordrech: Reidel Publishing Company.

Puig, L. (1997). Anlisis Fenomenolgico. En L. Rico (Ed), La EducacinMatemtica en la Enseanza Secundaria. Universidad de Barcelona: Horsori.

Puig, L. (2001) Fenomenologa didctica de las estructuras matemticas. Mxico:Departamento de Matemtica Educativa. Cinvestav.

Rico, L. (Ed.) (1997). La educacin Matemtica en la enseanza Secundaria.Barcelona:Editorial Horsori.

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