Student Achievement Division

Student Achievement Division

Division du rendement des élèves

Division du rendement des élèvesMai 2013

Faire la différence…De la recherche à la pratique

Une série de monographies sur la mise en pratique de la recherche produite en collaboration par le Secrétariat de la littératie et de la numératie et l’Ontario Association of Deans of Education.

Monographie n° 42Est-ce que nous mettons trop l’accent sur ce que les enfants ne peuvent pas faire en sous-estimant leur potentiel en mathématiques?

Selon la recherche • Il se peut que les stades du

développement cognitif de Piaget ne donnent pas une représentation fidèledupotentieldel’enfant.

• S’ils en ont la possibilité, les enfants peuvent comprendre des notions mathématiques plus avancées que cellesdeleurniveauscolaire.

• En créant un contexte mathématique riche, les enseignants peuvent respecter le programme tout en donnant l’occasion aux enfants de se mesurer à de grandes idéesenmathématiques.

• Les stratégies pour créer un contexte mathématique riche incluent la littérature pour enfants, la communication axée sur les arts, des méthodes qui offrent undegrédedifficultéàlaportéede tous les élèves et l’exploration à l’aide dematérielconcret.

GEORGE GADANIDIS est professeur associé de la faculté d’éducation de l’UniversitéWestern.Sarecherchesepenche sur les liens entre l’enseignement desmathématiques,l’artetlatechnologie.Vous trouverez des documentaires sur sestravaux,desvidéosfilmésenclasse et des plans de cours sur le site Web www.researchideas.ca.

La Division du rendement des élèves a pour objectif de fournir, aux enseignantes et enseignants, lesrésultatsdelarechercheactuellesurl’enseignementetl’apprentissage.Lesopinionsetlesconclusionsexpriméesdanscesmonographiessont,toutefois,cellesdesauteurs;ellesnereflètentpas nécessairement les politiques, les opinions et l’orientation du ministère de l’Éducation de l’OntariooucellesdelaDivisiondurendementdesélèves.

La trigonométrie en 3e année? George Gadanidis Université Western

« C’est épatant qu’ils apprennent ces notions de mathématiques en troisième année. Je ne la croyais pas capable de faire ça, mais elle a réussi. J’espère que vous donnerez davantage de devoirs comme celui-ci. »

– Parent d’une élève de 3e année

Les enseignants des écoles élémentaires ont beaucoup à faire pour enseigner l’ensemble des contenus du programme de mathématiques, mais que faire si le programme ne suffit pas? Ginsburg soutient que « les enfants sont plus compétents en mathématiques et plus intéressés qu’il n’est généralement reconnu » et qu’il faut leur offrir le défi de maîtriser les grandes idées mathématiques et « de jouir de la réalisation de cette poursuite intellectuelle1 » (p. 7, traduction libre). C’est aussi l’avis de Moss et de ses collègues qui ont étudié l’enseignement des fonctions en quatrième année2. En créant un contexte stimulant et riche en mathématiques pour le contenu que les élèves doivent apprendre, les enseignants peuvent relever certaines attentes précises du programme tout en offrant aux élèves le plaisir de faire des découvertes mathématiques. Ces chercheurs ont démontré que les jeunes élèves profitent de ces occasions pour développer leur imagination et saisir la beauté des mathématiques. Cette monographie fait état de travaux de recherche dans ce domaine et souligne la façon dont des élèves ont abordé des notions mathématiques normalement enseignées à des niveaux bien supérieurs.

Sous-estimer les enfantsEt si les suppositions de Piaget (ou l’interprétation qu’on en fait) étaient erronées?L’influence de Piaget est très forte et très répandue. Egan affirme qu’en éducation le « développement » est abordé et enseigné « presque entièrement dans l’optique de Piaget3 » (p. 105, traduction libre). Le constructivisme de Piaget, par exemple, a énormément contribué à la pédagogie des mathématiques en démontrant que « l’apprentissage prend sa source dans l’enfant4 » (p. 260, traduction libre). Mais supposons que les travaux de Piaget sur les stades du développement cognitif ne tiennent pas compte du potentiel des enfants3? Piaget lui-même nous prévient que l’application de ces stades de développement ne peut se généraliser : « Nous avons utilisé des situations expérimentales plutôt spécifiques. On peut donc se demander si

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ces situations sont fondamentalement de nature très générale et si elles conviennent à toutes les écoles et à tous les milieux de travail5 » (p. 46, traduction libre).

Papert met en question la progression linéaire des stades de développement de Piaget et suggère que cette séquence ne découle pas de la pensée des enfants, mais plutôt de l’indigence culturelle des écoles6 (p. 7). Fernandez-Armesto ajoute que « des générations d’écoliers ont été privés de défis parce que Piaget les avait jugés incapables de les relever et ont souffert des conséquences7 » (p. 18, traduction libre). Soulignons qu’en nous interrogeant sur les stades de développement cognitif de Piaget, nous ne mettons pas nécessairement en question l’organisation de l’enseignement par niveaux.

Sites Web utiles Performing Research Ideas (en anglais seulement)

Un site qui offre des plans de leçons détaillésetdesvidéosfilmésenclasseoù l’on peut voir des élèves qui explorent desnotionsmathématiquesavancées.www.researchideas.ca

Windows into Elementary Mathematics (en anglais seulement)

On trouve sur ce site des interviews avec des mathématiciens canadiens qui discutent des thèmes des mathématiquesélémentaires. www.fields.utoronto.ca/mathwindows

Apprendre par les arts (en français)

Ce site met en vedette les prestations artistiques des élèves qui parlent de mathématiquesaumoyendechansons,desketchsetd’œuvresd’art. www.apla.cc

La trigonométrieLes fonctions trigonométriques permettent de modéliser les phénomènes périodiques tels que les ondes sonores et lumineuses, l’intensité du soleil et la durée du jour, les températures saisonnières, la fluctuationdelatensionartériellequiaccompagne la contraction et la détente du cœur et le poids de certains animaux sauvagesaulongdel’année.

Est-ce que la Terre est plate?À l’école nous avons tous appris que les lignes parallèles sont des « lignes droites qui ne se rencontrent jamais » même si nous habitons sur une sphère où ce qui est droit ou parallèle est beaucoup plus complexe et intéressant que cet énoncé ne laisse supposer. Si les lignes parallèles ne se rencontrent jamais, comment résoudre l’énigme suivante?

Molly quitte sa tente. Elle marche vers le sud sur une distance de 1 km, puis vers l’ouest sur 1 km. Elle aperçoit un ours. Elle court vers le nord sur 1 km et revient à sa tente. Comment est-ce possible et de quelle couleur est l’ours qu’elle a vu?

Une compréhension approfondie des lignes de longitude parallèles nous aide à trouver la réponse. La tente de Molly doit se trouver au pôle Nord auquel cas l’ours qu’elle a vu est sans doute blanc puisqu’il s’agit d’un ours polaire.

Les jeunes enfants sont-ils capables de pensée abstraite?La direction de l’une des écoles élémentaires participant à notre projet a un jour déclaré : « La justice est la vertu de la semaine. » Si les jeunes élèves sont en mesure de comprendre des notions complexes telles que la vertu et la justice, ils peuvent certainement apprendre que les lignes parallèles peuvent se croiser. Egan remarque que sans la pensée abstraite, les enfants ne pourraient pas développer le langage : « Je soutiens que le développement du langage implique l’abstraction et que la pensée abstraite, dans le sens le plus répandu et vague de ces termes, est aussi courante chez les jeunes enfants que la pensée concrète8 » (p. 47, traduction libre). Comme l’affirme Ginsburg, si les notions mathématiques sont « grandes », l’esprit des enfants l’est davantage1.

APERÇU DE NOTRE MÉTHODE

Centrée surtout sur des classes de la première à la quatrième année, notre recherche explore comment amener les élèves à traiter de grandes idées mathématiques des années supérieures, telles que la trigonométrie, les limites et l’infini,lesfonctionsaffines,l’optimisationetlagéométrienoneuclidienne.Ennousappuyantsurlalittératurepour enfants et la communication basée sur les arts, nous utilisons ces idées pour créer un contexte mathématique riche pourl’apprentissageducontenu.Nousutilisonslesélémentssuivantspourintéresserlesjeunesélèvesauxidées abstraites associées à la trigonométrie tout en répondant aux attentes du programme relatives au traitement des données(tracerdesdiagrammesàbandes,interpréterdesdonnées)etàl’algèbre(proposeretvérifieruneconjecture,formulerunegénéralisationetcomparerdesmodèles).

• Littérature pour enfants. Nous utilisons la littérature pour enfants pour intéresser les élèves aux notions mathématiques tant sur le plan émotionnel que sur le plan cognitif9, 10.Ainsi,lesmathématiquesdeviennentplusfacilesàreteniretàpartager.Ilestaussiplusfacilepourl’enseignanteoul’enseignantdes’appuyersurunehistoirepourexploreretdiscuterlesidéesensuivantuneséquencelogique(unmodèledeleçon).

• Méthode englobant tous les niveaux.Nousconcevonsdesactivitésquiontunseuildedifficultéinférieurpeuélevé,desortequ’onpeutyparticiperavecpeudeconnaissancesmathématiques,etunseuilsupérieurélevédesortequeles notions peuvent être étendues à des relations plus complexes et à des représentations variées2.

3Mai 2013

Ondes mathématiquesLes élèves explorent des phénomènes périodiques tels que le trajet d’un point jaune sur le pneu d’une voiture qui avance et la hauteur de la pointe de l’aiguille d’une horloge qui marque l’heure. Ceci crée un cadre mathématique riche pour l’application et le développement de compétences pour la représentation et l’analyse de données et la prédiction, la vérification et le prolongement d’une régularité.

Quelle sera la trajectoire du point jaune?• Posez le problème suivant aux élèves : « Imagine un point

jaune sur le pneu d’une voiture qui tourne quand la voiture avance. Quelle sera la trajectoire du point jaune? »

• Modélisez cette situation en substituant un contenant cylin-drique au pneu et en collant un marqueur (le point jaune) à l’intérieur du cylindre de manière à ce que sa pointe dépasse.

• Demandez à deux élèves d’utiliser du papier quadrillé pour noter leurs prédictions, partager leurs idées et expliquer leur raisonnement.

• Encouragez les élèves à vérifier leurs prédictions en roulant leurs cylindres contre une feuille de papier collée au mur.

• Comparez les prédictions des élèves (souvent des trajectoires en spirale) aux motifs d’onde sur le mur et discutez-en.

• Répétez la démarche (prédiction, explication et vérification) en utilisant un contenant de forme carrée.

La souris, l’horloge et le fromage• Lisez l’histoire de Math Waves15, qui raconte l’histoire d’une

souris qui grignote des morceaux de fromage placés sur chacun des chiffres d’une horloge analogique.

• Quand la souris monte grignoter le fromage à une heure, les élèves mesurent et tracent sa hauteur. Demandez aux élèves de répéter l’exercice pour chaque heure de l’horloge et de créer ainsi leurs propres diagrammes.

• Discutez du motif d’onde qui se dégage du diagramme et encouragez les élèves à partager leurs idées avec toute la classe. Discuter des liens entre les activités entourant l’horloge et la voiture qui avance. Un élève a remarqué que « L’horloge est une roue et ses aiguilles tournent en rond, donc l’horloge est en mouvement ».

• La surprise. Nous organisons les activités de manière à favoriser chez les élèves des moments de surprise et de découvertes mathématiques11.

• L’exploration à l’aide de matériel concret. Nousfournissonsauxélèvesunevariétédematérielconcretafindefavoriserdiversesreprésentationsdesconceptsmathématiques.

• La communication par les arts. Nous empruntons au théâtre, aux arts plastiques et à la musique pour aider les élèves à développer leurs compétences en communication et à raconter des histoires mathématiques intéressantes12, 13, 14.

• Le foyer. Les élèves partagent leur apprentissage avec leurs parents et nous invitons les parents à commenter ce que leursenfantsontapprisetcequ’eux-mêmesontappris.

• Savoir collectif. En utilisant les commentaires, les discussions et les écrits des élèves, nous composons des sommaires concisdenotreexpérienceetdenotreapprentissagecollectif.Lesélèvess’eninspirentpourcréerdessketchsoudeshistoireshumoristiquesquirésumentleurapprentissage.Nouslesutilisonsaussi,aveclescommentairesdesparents,pourécrirelesparolesdeschansonsdelaclasse.

• Un public. Nous donnons l’occasion aux élèves de partager leur savoir avec les autres classes, avec les parents et aveclemondeentierparlebiaisdeMathPerformanceFestival(www.mathfest.ca).

Les ondes mathématiques nous entourent• Discutez d’autres phénomènes pouvant créer des motifs d’ondes.

• Demandez aux élèves d’inscrire sur des diagrammes l’heure du lever du soleil et les températures mensuelles moyennes pour qu’ils découvrent d’autres motifs d’ondes.

Un lien avec le foyer• Demandez aux élèves de consigner ce qu’ils ont appris et ressenti à l’aide de

mots, de symboles, de diagrammes et d’images.

• Combinez ces éléments pour créer un résumé de leur apprentissage collectif.

• Demandez aux élèves d’utiliser des idées tirées de ce résumé pour créer une bande dessinée sous le thème « Qu’avez-vous appris en mathématiques aujourd’hui? ».

• Encouragez-les à apporter leurs travaux à la maison et à partager ce qu’ils ont appris avec leurs parents.

• Invitez les parents à transmettre leurs commentaires sur l’apprentissage de leur enfant et à partager ce qu’ils ont eux-mêmes appris.

• Utilisez leurs commentaires pour écrire les paroles d’une chanson.

• Enregistrez les élèves qui chantent la chanson et diffusez la chanson à l’occasion de Math Performance Festival (www.mathfest.ca).

En brefLors des ateliers de mathématiques pour parents, j’ai demandé aux parents comment les enfants répondent à la question « Qu’as-tu fait en mathématiques aujourd’hui? » Le plus souvent, ils répondent « Rien » ou « Je ne sais pas ». Pour que ça change, les élèves ont besoin de deux choses. Premièrement, on doit leur enseigner des mathématiques dignes d’intérêt, qui sont reliées aux grandes idées qui retiennent leur attention et qui stimulent leur imagination. L’utilisation de grandes idées plus avancées a l’avantage d’aider les élèves (et les enseignants) à mieux saisir la beauté et les interrelations dans les mathématiques enseignées à l’école. Elles enrichissent l’apprentissage de tous les élèves et forment une base qui leur permettra d’assimi-ler plus tard des notions mathématiques complexes. Deuxièmement, les élèves ont besoin d’apprendre à communiquer à l’aide des arts afin de raconter des histoires mathématiques intéressantes; des histoires qui émerveillent et qui révèlent la beauté des idées mathématiques. Pour atteindre ces objectifs, il faut se poser la question suivante en planifiant les leçons : « Les élèves auront-ils envie de raconter à leurs familles et à leurs amis ce qu’ils ont appris en mathématiques aujourd’hui? »

Pour en savoir davantage sur les ressources du SLN En ligne : http://www.edu.gov.on.ca/fre/ literacynumeracy/publications.html

Téléphone : 416 325-2929 1 800 387-5514

Courriel : LNS@ontario.ca

RemerciementsLe Conseil de recherches en sciences humaines du Canada, le Fields Institute for Research in Mathematical Sciences, le Réseau d’échange des connaissances pour la recherche appliquée en éducation (RECRAE) et l’Imperial Oil Foundation ontfinancécetteétudeetsadiffusion.

BIBLIOGRAPHIE1 GINSBURG, H. G. (2002). « Little children, big mathematics:

Learning and teaching in the pre-school ». Cité dans A. D. COCKBURN et E. NARDI (éditeurs), comptes rendus de la 26e conférence de l’International Group for the Psychology of Mathematics Education, vol. 1, University of East Anglia, R.-U. : PME, 2002, p. 3-14.

2. MOSS, J., R. BEATTY, S. BARKIN et G. SHILLOLO « “What is your theory? What is your rule?” Fourth graders build an understanding of functions through patterns and generalizing problems ». Cité dans C.E. GREENES et R. RUBENSTEIN, (éditeurs), Algebra and algebraic thinking in school mathematics, Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 2008, p. 155-168.

3. EGAN, K. Getting it wrong from the beginning. Our progressive inheritance from Herbert Spencer, John Dewey, and Jean Piaget, New Haven, CT: Yale University Press, 2002.

4. KAMMI, C. et J. K. EWING. « Basing teaching on Piaget’s con-structivism », Childhood Education, vol. 72, 1996, p. 260–264.

5. PIAGET, J. « Intellectual evolution from adolescence to adulthood », Human Development, vol. 51, OI:10.1159/000112531 [première édition publiée en 1972], 2008, p. 40-47.

6. PAPERT, S. Mindstorms: Children, computers, and powerful ideas, New York, NY: Basic Books, 1980.

7. FERNANDEZ-ARMESTO, F. Truth: A history and a guide for the perplexed, Londres, R.-U. : Bartam, 1997.

8. EGAN, K. The educated mind: How cognitive tools shape our understanding, Chicago, IL: University of Chicago Press, 1997.

9. WHITTIN, D.J. et C. C. GARY. « Promoting mathematical explora-tions through children’s literature », The Arithmetic Teacher, vol. 41, 1994, p. 394–399.

10. WHITTIN, D.J. et S. WILDE. It’s the story that counts. More children’s books for mathematical learning, K–6, Portsmouth, NH: Heinemann Educational Books, 1995.

11. WATSON, A. et J. MASON. « Surprise and inspiration », Mathematics Teaching, vol. 200, 2007, p. 4–7.

12. GADANIDIS, G., J. HUGHES et M. BORBA. « Students as performance mathematicians », Mathematics Teaching in the Middle School, vol. 14, 2008, p. 168–175.

13. GADANIDIS, G. « I heard this great math story the other day! », Education Canada, vol. 49, n°. 5, [En ligne], 2009, p. 44-46. [http://publish.edu.uwo.ca/george.gadanidis/pdf/EdCan-2009-v49-n5- Gadanidis.pdf]

14. GADANIDIS, G. et J. HUGHES. « Performing big math ideas across the grades », Teaching Children Mathematics, vol. 17, 2011, p. 486–496.

15. GADANIDIS, G. et M. GADANIDIS. Math waves, Whitby, ON: Brainy Day Publications, 2011.

Faire la différence… De la recherche à la pratique est mise à jour tous les mois et publiée sur le site Web

www.edu.gov.on.ca/fre/literacynumeracy/inspire/research/whatWorks.html

ISSN 1913-1097 Faire la différence… De la recherche à la pratique (imprimé)

ISSN 1913-1100 Faire la différence… De la recherche à la pratique (en ligne)