LE CALCUL LITTÉRAL AU COLLÈGE

2

Calcul de (-3/2 a) x(-8a)

Factoriser (x+5)² - 4

Développer (5-x)(5+2x)

48%

15%

58%

Quelques résultats des évaluations (nationale, Apmep, Inrp)

Faux Vrai

35 % 65 %

43 % 57 %

Vrai ou faux (en justifiant)2(x y) = 2x2y2 (5x) = 10 x

Troisième

Seconde 97

Seconde 97

Fin de troisième 97

Le nombre 2 est-il solution de l’équation x² - x –2 = 0 ?

72,2 % Seconde 95

3

Parmi les expressions suivantes: 3x+4 ; x(x+1); x(x+3)–4 ; x+(x-1)(x+2) ;(x+1)² ; 2x(x-3)+3(x-1)

reconnaître les sommes

reconnaître les produits

Seconde 97

4 sommes : 28% 3 sommes : 38,2%

56,3%

Quelques résultats des évaluations (nationales, Apmep, Inrp)

52,4 % Seconde 96

4

Pour désigner un objet.

Pour désigner une variable.

Pour désigner une inconnue.

Pour désigner une indéterminée.

Différents statuts des lettres

5

Exemples pour la lettre objet.

La lettre désigne une unité : 4 m pour 4 mètres.

La lettre désigne une abréviation d’un objet mathématique : A = L X l

retour

6

Exemples pour variable en 6éme

Quel nombre peut-on mettre à la place de t ?1,2 < t < 1,5

Complète le tableau suivant :

a 1 2,5 4 7

7xa retour

7

Exemple pour indéterminées

Pour tous les nombres k, a, b

k(a + b) = k a + kb

retour

8

Différents statuts du signe égal

Annonce d’un résultat, déclencheur d’opérations. (EXE)

Égalité sous conditions : équations.

Égalité toujours vraie : identité.

Un adressage, une affectation dans le cadre fonctionnel.

9

Les autres signes opératoires

En arithmétique, les signes opératoires indiquent principalement les procédures.

Les résultats sont numériques.

En algèbre, les écritures indiquent la procédure et le résultat.

10

Les écritures en algèbre

« x + 7 ».

Procédure (addition)

et / ou résultat (somme)

Cette difficulté est à l’origine de transformations « non cohérentes » en 7x ou en x + 7 = 0…

11

Les écritures en algèbre

6x² + 9x

Pour substituer 4

Pour résoudre 6x² + 9x = 0

Aspect procédural

Aspect structural

12

Un premier bilan

13

Les principaux objectifs du calcul littéral

Outil qui permet la justification et l’explication des règles de calcul et des techniques de calcul.Exemple : Application au calcul mental.

Outil performant pour la résolution de problèmes.

Outil de généralisation et de preuve.

14

Résolution de problèmes

Le carré ACFG et le triangle équilatéral BDC ont le même périmètre.Quelle est la mesure d’un côté du triangle ?

15

Résolution de problèmes

Le carré ACFG et le triangle équilatéral BDC ont le même périmètre.Quelle est la mesure d’un côté du triangle ?

x la mesure d’un côté du triangle. Équation : 3 x = 4(10 – x)

Solution : x = 740

16

Outil de généralisation

Le professeur a écrit au tableau l’exercice suivant :Calculer23 X 7 + 7 ; 23 X 8 + 7 ; 23 X 9 + 7 ; 23 X 10 + 723 X 11 + 7 ; 23 X 12 + 7 ; 23 X 13 + 7 ; 23 X 14 + 7Un camarade est absent. Quelle consigne lui donner au téléphone, sans lui dicter tous les calculs. La consigne est bonne si le camarade sait exactement ce qu’il doit faire.(Manuel Triangle, édition Hatier)

Les exercices du type programme de calcul.

17

Outil de généralisation

18

Outil de preuve

LLorsqu’on ajoute trois nombres entiers consécutifs, peut-on affirmer que la somme obtenue est un multiple de 3 ?CChoisis deux nombres dont la somme est 300 et calcule leur produit. Ajoute 7 à chacun d’eux, de combien augmente le produit ?

19

Un apprentissage progressif

de la sixième à la seconde

20

En sixième

Développer les sens de l’égalité.

Dans une expression littérale, fixer toutes les variables sauf une qui prend successivement plusieurs valeurs.

Par des activités numériques du type :

0,4 = =

23,52 =2x10+3+5x +2x5

2

10

4

10

1100

1

21

Initiation aux écritures littérales : tâches de substitution(formulaire pour les

aires et périmètre du cercle) mise en jeu implicite de notions

fonctionnelles. trouver une formule exprimant le périmètre

d’une figure en fonction d’une ou deux longueurs désignées par une ou deux lettres.

En sixième

22

En sixième

Initiation à la résolution d’équations : égalités à trous.

Absence de lettre pour marquer l’inconnue.

Procédures en référence au sens des opérations.

Procédure utilisant un schéma.

23

Exemple d’utilisation d’un schéma.

Trouver la longueur manquante dans chaque cas :

10

7

?

3

2?

Longueur totale 9

24

En cinquième

Introduction de la lettre comme indéterminée : kx(a+b) = kxa + kxb.

Conventions d’écriture Écritures littérales :

tâches de substitution transformations d’écriture

25

En cinquième

Fonctions : dans une formule, variation d’une grandeur en

fonction d’une autre mise en jeu implicite de notions fonctionnelles.

Suite du travail sur la résolution d’équations : lettre pour marquer l’inconnue. tests dans des égalités, des inégalités. résolution basée sur le sens des opérations.

26

En quatrième

Mise en équation d’un problème. Algorithme de résolution des équations

en référence aux règles connues. «  Double distributivité ». Tests pour vérifier les transformations

algébriques. Égalité : d = v x t.

27

En troisième

Résolution de systèmes d’équations. Identités remarquables. Premières formalisations sur la notion

de fonction. Prise d’initiative lors des tâches

portant sur le calcul littéral.

28

Exemple en troisième

A = (2x + 3)(-4 + x) – 4x(x – 4)•Montrer que A = (x – 4) (3 – 2x)•Montrer que A = -2x² + 11x – 12•Résoudre A = - 12•Résoudre A = 0