Le calcul tensoriel et di erentiel : outil math ematique ... · PDF file1.3 Les tenseurs d’ordre 2 comme applications lin eaires ... est enseign e a Mines Nancy en 1 ere ann ee,

Le calcul tensoriel et differentiel :

outil mathematique

pour la physique des milieux continus

par Emmanuel Plaut a Mines Nancy

Version du 4 janvier 2018 Table des matieres

Introduction 5

1 Algebre tensorielle 9

1.1 Espace - Vecteurs - Bases et reperes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Remarque sur la notation vecteur : fleche vs barre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.2 Convention de sommation sur les indices repetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Ex. 1.1 : Sur la convention de sommation sur les indices repetes . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.3 Produit scalaire - Premiere rencontre avec le point de contraction . . . . . . . . . . . . 11

1.1.4 Formule de changement de base - Notion de representation . . . . . . . . . . . . . . . 11

Ex. 1.2 : Verification de la coherence de la definition du produit scalaire . . . . . . . . . . . . 13

1.1.5 Sur le caractere direct des bases i.e. la notion dorientation . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.6 Tenseurs dordre 0 et 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Definition des tenseurs comme applications lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Les tenseurs dordre 2 comme applications lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.1 Representation par une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.2 Formule de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.3 Produit tensoriel de 2 vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.4 Application : ecriture intrinseque dun tenseur dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Ex. 1.3 : De linteret de la notation produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.5 Tenseur identite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Les tenseurs dordre 2 comme applications bilineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.1 Definition et exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.2 Applications : definition de la transposition, tenseurs (anti)symetriques . . . . . . . . 17

Ex. 1.4 : Transposition dun produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5 Les tenseurs comme applications multilineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5.1 Definition des tenseurs comme applications multilineaires . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Ex. 1.5 : Application de la definition multilineaire recurrente au cas n = 2 . . . . . . . . . . . 18

1.5.2 Definition generale du produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5.3 Ecriture intrinseque et representation - Base - Changement de base . . . . . . . . . . . 19

2 Table des matieres

Ex. 1.6 : Changement de base pour un tenseur dordre 2 application bilineaire . . . . . . . . . 20

1.5.4 Definition generale du produit contracte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Ex. 1.7 : Produit contracte de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Ex. 1.8 : Produit contracte dun tenseur dordre 2 et dun vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Ex. 1.9 : Produit contracte de deux tenseurs dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Ex. 1.10 : Associativite du produit de contraction dans un cas general . . . . . . . . . . . . . 22

1.5.5 Definition generale du produit doublement contracte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6 Tenseur alterne fondamental et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6.1 Definition du tenseur alterne fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Ex. 1.11 : Utilisation du tenseur alterne fondamental pour calcul dun determinant . . . . . . 25

1.6.2 Produits mixte et vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6.3 Vecteur dual dun tenseur dordre 2 - Tenseurs antisymetriques . . . . . . . . . . . . . 27

Ex. 1.12 : Formules portant sur le tenseur alterne fondamental et le vecteur dual . . . . . . . 27

Ex. 1.13 : Formule du double produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Ex. 1.14 : Vecteur dual dun tenseur dordre 2 symetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Ex. 1.15 : Tenseur antisymetrique en fonction de son vecteur dual . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.7 Exemples en mecanique des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.8 Notes personnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Analyse tensorielle 31

2.1 Gradient dun champ de tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.1 Definition intrinseque en tant que differentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.2 Calculs en coordonnees cartesiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Cas du gradient dun champ de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.1 Decomposition en parties symetrique et antisymetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.2 Signification de la partie symetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.3 Signification de la partie antisymetrique - rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 Divergence dun champ de tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.1 Definition intrinseque a partir du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.2 Calculs en coordonnees cartesiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Integration des champs de tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.2 Formule integrale du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4.3 Formule integrale de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Ex. 2.1 : Demonstration de la formule de la divergence dans le cas general . . . . . . . . . . . 40

2.4.4 Application : signification physique de loperateur divergence . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5 Laplacien dun champ de tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5.1 Definition intrinseque a partir du second gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5.2 Calculs en coordonnees cartesiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.6 Exercices visant a etablir un formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Ex. 2.2 : Divergence et rotationnel dun produit scalaire-vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Ex. 2.3 : Compositions doperateurs differentiels nulles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Ex. 2.4 : Divergence dun gradient transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Table des matieres 3

Ex. 2.5 : Divergence et rotationnel dun produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Ex. 2.6 : Divergence dun produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Ex. 2.7 : Divergence de divers produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Ex. 2.8 : Formule du double rotationnel et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Ex. 2.9 : Formules de Navier en elasticite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Ex. 2.10 : Reecritures du terme non lineaire de lequation de Navier-Stokes . . . . . . . . . . 46

Ex. 2.11 : Derivee particulaire de la densite denergie cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.7 Calculs en coordonnees cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.7.1 Systemes a symetrie cylindrique - Principe de Curie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.7.2 Definition des coordonnees cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.7.3 Expressions du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.7.4 Expression du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.7.5 Expressions de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.7.6 Expressions du laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Ex. 2.12 : Sur le calcul du laplacien dun champ vectoriel en cylindriques . . . . . . . . . . . . 51

Pb. 2.1 : Aspects mathematiques de letude dun tuyau sous pression . . . . . . . . . . . . . . 52

Pb. 2.2 : Aspects mathematiques de letude dun rheometre de Couette cylindrique . . . . . 53

2.8 Calculs en coordonnees spheriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.8.1 Definition des coordonnees spheriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.8.2 Expressions du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.8.3 Expression du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.8.4 Expressions de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.8.5 Expression