Le calcul tensoriel et di erentiel : outil math ematique ...emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc/polct.pdf · 1.3 Les tenseurs d’ordre 2 comme applications lin eaires ... est

Le calcul tensoriel et differentiel :
outil mathematique
pour la physique des milieux continus
par Emmanuel Plaut a Mines Nancy
Version du 4 janvier 2018 Table des matieres
Introduction 5
1 Algebre tensorielle 9
1.1 Espace - Vecteurs - Bases et reperes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Remarque sur la notation vecteur : fleche vs barre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2 Convention de sommation sur les indices repetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Ex. 1.1 : Sur la convention de sommation sur les indices repetes . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Produit scalaire - Premiere rencontre avec le point de contraction . . . . . . . . . . . . 11
1.1.4 Formule de changement de base - Notion de representation . . . . . . . . . . . . . . . 11
Ex. 1.2 : Verification de la coherence de la definition du produit scalaire . . . . . . . . . . . . 13
1.1.5 Sur le caractere direct des bases i.e. la notion dorientation . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.6 Tenseurs dordre 0 et 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Definition des tenseurs comme applications lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Les tenseurs dordre 2 comme applications lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Representation par une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Formule de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.3 Produit tensoriel de 2 vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.4 Application : ecriture intrinseque dun tenseur dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Ex. 1.3 : De linteret de la notation produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.5 Tenseur identite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Les tenseurs dordre 2 comme applications bilineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1 Definition et exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2 Applications : definition de la transposition, tenseurs (anti)symetriques . . . . . . . . 17
Ex. 1.4 : Transposition dun produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Les tenseurs comme applications multilineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.1 Definition des tenseurs comme applications multilineaires . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Ex. 1.5 : Application de la definition multilineaire recurrente au cas n = 2 . . . . . . . . . . . 18
1.5.2 Definition generale du produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.3 Ecriture intrinseque et representation - Base - Changement de base . . . . . . . . . . . 19

2 Table des matieres
Ex. 1.6 : Changement de base pour un tenseur dordre 2 application bilineaire . . . . . . . . . 20
1.5.4 Definition generale du produit contracte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Ex. 1.7 : Produit contracte de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Ex. 1.8 : Produit contracte dun tenseur dordre 2 et dun vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Ex. 1.9 : Produit contracte de deux tenseurs dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Ex. 1.10 : Associativite du produit de contraction dans un cas general . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.5 Definition generale du produit doublement contracte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6 Tenseur alterne fondamental et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.1 Definition du tenseur alterne fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Ex. 1.11 : Utilisation du tenseur alterne fondamental pour calcul dun determinant . . . . . . 25
1.6.2 Produits mixte et vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.3 Vecteur dual dun tenseur dordre 2 - Tenseurs antisymetriques . . . . . . . . . . . . . 27
Ex. 1.12 : Formules portant sur le tenseur alterne fondamental et le vecteur dual . . . . . . . 27
Ex. 1.13 : Formule du double produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Ex. 1.14 : Vecteur dual dun tenseur dordre 2 symetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Ex. 1.15 : Tenseur antisymetrique en fonction de son vecteur dual . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7 Exemples en mecanique des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.8 Notes personnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Analyse tensorielle 31
2.1 Gradient dun champ de tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.1 Definition intrinseque en tant que differentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.2 Calculs en coordonnees cartesiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Cas du gradient dun champ de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1 Decomposition en parties symetrique et antisymetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.2 Signification de la partie symetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.3 Signification de la partie antisymetrique - rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Divergence dun champ de tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.1 Definition intrinseque a partir du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Integration des champs de tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.2 Formule integrale du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.3 Formule integrale de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Ex. 2.1 : Demonstration de la formule de la divergence dans le cas general . . . . . . . . . . . 40
2.4.4 Application : signification physique de loperateur divergence . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 Laplacien dun champ de tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.1 Definition intrinseque a partir du second gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6 Exercices visant a etablir un formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Ex. 2.2 : Divergence et rotationnel dun produit scalaire-vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Ex. 2.3 : Compositions doperateurs differentiels nulles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Ex. 2.4 : Divergence dun gradient transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Table des matieres 3
Ex. 2.5 : Divergence et rotationnel dun produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Ex. 2.6 : Divergence dun produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Ex. 2.7 : Divergence de divers produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Ex. 2.8 : Formule du double rotationnel et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Ex. 2.9 : Formules de Navier en elasticite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Ex. 2.10 : Reecritures du terme non lineaire de lequation de Navier-Stokes . . . . . . . . . . 46
Ex. 2.11 : Derivee particulaire de la densite denergie cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7 Calculs en coordonnees cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7.1 Systemes a symetrie cylindrique - Principe de Curie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7.2 Definition des coordonnees cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7.3 Expressions du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7.4 Expression du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.7.5 Expressions de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7.6 Expressions du laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Ex. 2.12 : Sur le calcul du laplacien dun champ vectoriel en cylindriques . . . . . . . . . . . . 51
Pb. 2.1 : Aspects mathematiques de letude dun tuyau sous pression . . . . . . . . . . . . . . 52
Pb. 2.2 : Aspects mathematiques de letude dun rheometre de Couette cylindrique . . . . . 53
2.8 Calculs en coordonnees spheriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.8.1 Definition des coordonnees spheriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.8.2 Expressions du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.8.3 Expression du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.8.4 Expressions de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.8.5 Expressions du laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.9 Notes personnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Complements : potentiels et rotationnels 59
3.1 Existence de potentiel scalaire : theoreme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Existence de potentiels vecteurs pour des champs irrotationnels . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.1 Rotationnel dun champ de tenseurs dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.2 Premier theoreme de Cauchy generalise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.3 Lemmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.4 Deuxieme theoreme de Cauchy generalise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3 Existence de potentiel vecteur pour un champ a divergence nulle . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Bibliographie 65
A Normes - Notations de Landau pour la comparaison asymptotique 67
A.1 Sur lexercice 1.11 : normes & notation de domination O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
A.2 Sur le gradient : normes & notation de negligeabilite o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Ex. A.1 : Etude locale dun champ de vecteur analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4 Table des matieres
B Elements de correction des exercices et problemes 69
B.1 Corriges du chapitre 1 - Algebre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Ex. : Sur la convention de sommation sur les indices repetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Ex. : Verification de la coherence de la definition du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . 69
Ex. : De linteret de la notation produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Ex. : Transposition dun produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Ex. : Application de la definition multilineaire recurrente au cas n = 2 . . . . . . . . . . . . . 70
Ex. : Changement de base pour un tenseur dordre 2 application bilineaire . . . . . . . . . . . 71
Ex. : Produit contracte de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Ex. : Produit contracte dun tenseur dordre 2 et dun vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Ex. : Produit contracte de deux tenseurs dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Ex. : Associativite du produit de contraction dans un cas general . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Ex. : Utilisation du tenseur alterne fondamental pour calcul dun determinant . . . . . . . . . 72
Ex. : Formules portant sur le tenseur alterne fondamental et le vecteur dual . . . . . . . . . . 72
Ex. : Formule du double produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Ex. : Vecteur dual dun tenseur dordre 2 symetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Ex. : Tenseur antisymetrique en fonction de son vecteur dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
B.2 Corriges du chapitre 2 - Analyse tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Ex. : Demonstration de la formule de la divergence dans le cas general . . . . . . . . . . . . . 73
Ex. : Divergence et rotationnel dun produit scalaire-vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Ex. : Compositions doperateurs differentiels nulles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Ex. : Divergence dun gradient transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Ex. : Divergence et rotationnel dun produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Ex. : Divergence dun produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Ex. : Divergence de produits scalaire-vecteur et vecteur-tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Ex. : Formule du double rotationnel et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Ex. : Formules de Navier en elasticite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Ex. : Reecritures du terme non lineaire de lequation de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . 76
Ex. : Derivee particulaire de la densite denergie cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Ex. : Sur le calcul du laplacien dun champ vectoriel en cylindriques . . . . . . . . . . . . . . 76
Pb. : Aspects mathematiques de letude dun tuyau sous pression . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Pb. : Aspects mathematiques de letude dun rheometre de Couette cylindrique . . . . . . . . 77

Introduction
La physique des milieux continus est une branche de la physique, qui sest developpee au
XIXeme siecle puis a connu des sommets au XXeme siecle, dans laquelle la matiere est consideree
a des echelles suffisamment grandes pour que sa nature discrete, en tant que somme delectrons,
de protons et neutrons en interactions dans le vide, napparaisse pas. Au contraire, la matiere est
consideree comme la reunion de milieux continus fluides ou solides, separes par des interfaces. De
meme, le rayonnement est considere comme consistant en des vibrations continues des champs
electrique et magnetique 1, et non comme des photons discrets. Les effets quantiques sont donc
oublies : la physique des milieux continus releve de la physique classique.
Les grands domaines de la physique des milieux continus sont 2
1. la thermomecanique ;
2. lelectromagnetisme ;
3. la relativite.
De ces domaines seuls les deux premiers relevent des sciences de lingenieur 3, et seul le tout premier
est enseigne a Mines Nancy en 1ere annee, dans les modules Mecanique des milieux continus solides
et fluides puis Transformation de la matiere et de lenergie. Tous ces domaines se sont developpes
grace au bon sens physique de certains de nos ancetres, et aussi grace a la mise au point par
ces memes ancetres 4 doutils mathematiques que lon pourrait designer comme l algebre
vectorielle generalisee 5 et l analyse ou calcul differentiel vectoriel generalise 6 ,
mais que lon appelle plutot calcul tensoriel (et) differentiel ou plus simplement calcul
tensoriel , sous-entendant ladjectif differentiel ...
1. Le lieu de ces vibrations ou ondes est soit le vide, que lon peut considerer comme le milieu continu le
plus simple possible, soit la matiere...
2. Les frontieres entre ces domaines sont poreuses. Par exemple la modelisation complete des effets piezoelectriques
ou thermoelectriques est a linterface entre les domaines 1 et 2. De meme en relativite (domaine 3) on peut se poser
la question des lois de transformation des champs electromagnetiques (domaine 2) par changement entre deux
referentiels en translation tres rapide...
3. Quoiquen spatial des effets relativistes soient a prendre en compte...
4. Par exemple, Cauchy, professeur danalyse (donc de mathematiques) a lecole polytechnique au debut du
XIXeme siecle... et inventeur du tenseur des contraintes de Cauchy , objet incontournable de la mecanique des
milieux continus...
5. Le mot algebre vient de larabe al-jabr signifiant reconstruction ou connexion . Lalgebre
etudie les relations ( connexions ) entre nombres, vecteurs, matrices, etc..., via differentes operations ,
somme, produits, etc...
6. Le mot analyse vient du grec analuein signifiant delier . Lanalyse decompose et recom-
pose grace au calcul differentiel et integral ou calcul infinitesimal . Ainsi la variation de temperature
entre les deux extremites dun segment est analysee comme T (b) T (a) = badT =
baT (x) dx... La meme
analyse doit pouvoir etre faite pour un champ de vecteurs, par exemple le champ electrique, ce qui introduit la
question de la derivee dun champ de vecteurs, etc...

6 Introduction
En puriste, on distinguerait
le calcul tensoriel (forcement algebrique mais non differentiel), dans lequel les tenseurssont des objets algebriques, cf. le chapitre 1 ;
du calcul tensoriel (toujours algebrique) differentiel, cf. les chapitres 2 et 3, dans le-quel ces objets se mettre a dependre de la position dans lespace physique - ce sont des
champs - et cette dependance est analysee ...
Dans les deux cas, des liens forts avec la geometrie existent : cf. par exemple toutes les applications
geometriques de la section 1.6, ou encore letude du gradient dun champ de vecteur de la section 2.2.
Le lecteur averti comprendra vite que la mecanique des milieux deformables dans notre
espace tridimensionnel, domaine dapplication qui nous motive le plus, ne peut se passer de calcul
tensoriel...
Historiquement, pour construire tout ledifice du calcul tensoriel, il y a eu quelques etapes. Lune des
plus importantes correspond a larticle remarquable de Ricci & Levi-Civita (1900). On recommande
aux lecteurs les plus interesses de parcourir cet article, ecrit en bon francais par des italiens dans
une revue allemande... Dans son titre, Methodes de calcul differentiel absolu et leurs applications,
on dirait plutot maintenant intrinseque qu absolu ; nous verrons bien vite, des la
section 1.1.4, revenir cet important mot cle...
Depuis quelques decennies, le fait que la physique ait besoin, pour se developper, doutils
mathematiques, a parfois ete minimise, voire nie, par une certaine partie, assez visible , de la
communaute physicienne francaise. Cette attitude est une reaction, initialement saine, aux exces
de mathematisation dans lenseignement des sciences, par exemple celui de la mecanique, dans les
annees 1960-1970 et plus tard. Il nous semble cependant que cette reaction a souvent ete trop loin,
pour mener dans des cas extremes a des affirmations deraisonnables comme on peut tout faire
avec la regle de trois ... Mathematiser et formaliser a outrance sont sans doute, pour la physique,
aussi nuisibles que de cacher tous les calculs sous des raisonnements soi-disant intuitifs , mais
en fait impossible a developper sans connatre les fameux calculs caches . Un certain equilibre
doit etre trouve entre mathematiques et physique, la deuxieme nexistant pas sans les premiers,
puisque modeliser cest decrire des phenomenes en langue mathematique, comme lont dit ces deux
grands physiciens :
La philosophie est ecrite dans ce vaste livre qui constamment se tient ouvert devant nos yeux
(je veux dire lUnivers), et on ne peut le comprendre si dabord on napprend pas a connatre
la langue et les caracteres dans lesquels il est ecrit.
Or il est ecrit en langue mathematique, (...)
sans laquelle il est humainement impossible den comprendre un seul mot,
sans laquelle on erre vraiment dans un labyrinthe obscur.
Galilee
Our experience hitherto justifies us in believing that nature
is the realization of the simplest conceivable mathematical ideas.
I am convinced that we can discover by means of purely mathematical constructions
the concepts and the laws connecting them with each other,
which furnish the key to the understanding of natural phenomena...
Experience may suggest the appropriate mathematical concepts,
but they most certainly cannot be deduced from it.

Introduction 7
Experience remains, of course,
the sole criterion of the physical utility of a mathematical construction.
But the creative principle resides in mathematics. In a certain sense, therefore,
I hold it true that pure thought can grasp reality, as the ancients dreamed.
Einstein 7
Notre objet est donc une introduction au calcul tensoriel, dans une optique evidemment cal-
culatoire , et avec une approche de mecanicien theoricien assumee, meme si elle est
imposee par le cours volume horaire alloue. Leleve interesse par le calcul differentiel et integral
mathematiquement rigoureux pourra completer les bases vues en classes preparatoires en consul-
tant Chatterji (1997) 8. Tous liront, au moment ou ils rencontreront ces symboles, au niveau de
lexercice 1.11 pour O, de la section 2.1 pour o, les annexes A.1 et A.2. Elles visent a definir ces
notations ainsi que le concept de norme dans notre contexte...
Par souci de simplicite, on se focalise sur les tenseurs euclidiens. Lexistence du produit sca-
laire permet didentifier lespace vectoriel de travail R3 (ou R2) a son dual. On commence dansles chapitres 1 et 2 par les tenseurs representes sur des bases orthonormees (directes) et en
coordonnees cartesiennes 9. Cependant, on introduit les champs de tenseurs representes en co-
ordonnees curvilignes a la fin du chapitre 2. Le chapitre 3 donne des elements sur les problemes
de potentiel . Par realisme, on le declare hors programme ; cependant les eleves les plus
interesses voudront bien le lire... et ceux qui poursuivront plus tard en mecanique verront bien son
importance...
La theorie generale des tenseurs en base quelconque et en distinguant lespace de son dual 10 est
introduite par exemple dans les annexes I de Salencon (1996) ou A de Forest (2009), et presentee
de facon plus exhaustive dans Pernes (2003). Une presentation plus mathematique de cette theorie,
qui noublie pas cependant ses applications, est donnee dans Lichnerowicz (1946); Appel (2005);
Garrigues (2007). Deux autres references interessantes, mais moins exhaustives, sont les ouvrages
de Germain (1986) et Coirier (2001). Enfin, une reference anglo-saxonne pertinente est le traite de
Aris (1962).
Lessentiel de votre apprentissage du calcul tensoriel se fera par du travail personnel et lors
de 2 seances de cours-TD pendant la passerelle scientifique de rentree. Vous le completerez
ensuite, au fil des seances du module de mecanique des milieux continus, en utilisant le calcul
tensoriel a de nombreuses occasions. Des la reception de ce polycopie, un travail personnel est
indispensable, selon ce qui est indique sur la page web dynamique du module sus-nomme,
auquel ce mini-module de passerelle scientifique est asservi,
http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc .
Je vous invite a visiter cette page regulierement. Elle contient une version PDF de ce document,
dans laquelle figure, en plus de lannexe A citee plus haut, lannexe B contenant des elements de
correction des exercices et problemes.
7. Sur cette citation, voir aussi la figure culturelle 2.7 page 45, et sa legende.
8. En notant que Chatterji (1997) emploie le terme derivee au lieu de differentielle .
9. Dans ce cas on parle de tenseurs cartesiens .
10. Ce qui permet dintroduire les notions de covariance et contravariance.
http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc

8 Introduction
Je remercie les collegues qui ont permis lintroduction de ce cours a Mines Nancy, notamment
Michel Jauzein, puis, son maintien, notamment Judith Sausse. Je remercie aussi les collegues
qui mont inspire ou corrige, plus particulierement Didier Bernardin, chercheur au laboratoire
denergetique et de mecanique theorique et appliquee (Lemta 11), Rainier Hreiz et Arthur Pascot.
Je remercie enfin Rachid Rahouadj pour le dessin de la figure 1.3.
Nancy, le 4 janvier 2018.
Emmanuel Plaut,
chercheur en mecanique des fluides au Lemta, professeur a lUniversite de Lorraine.
11. Unite mixte de recherche CNRS - UL.

Chapitre 1
Algebre tensorielle
Lintroduction aux tenseurs en tant quobjets algebriques est faite progressivement, en profi-
tant du fait que lalgebre tensorielle est en premier lieu une reformulation de notions bien connues
comme celles de vecteur 1, dapplication lineaire ou multi-lineaire 2.
1.1 Espace - Vecteurs - Bases et reperes
Lespace physique dans lequel evoluent les objets que le theoricien des milieux continus considere
est lespace affine euclidien oriente 3 R3. Dans cet espace, lobservateur repute immo-bile qui mesure les mouvements est appele referentiel et note R - une definition precisede la notion de referentiel est donnee dans lannexe A du cours de mecanique Plaut (2017). Cet
observateur-referentiel utilise en general un repere orthonorme direct R pour reperer les posi-
tions dobjets materiels. Ce repere orthonorme, dit aussi repere cartesien , est defini par la
donnee dun point origine O immobile (pour R) et de vecteurs fixes (toujours pour R) e1, e2, e3formant une base orthonormee directe que lon note {ei}. Un vecteur quelconque x est reperepar ses composantes x1, x2, x3 de sorte que
x =3i=1
xiei . (1.1)
Un point quelconque M est repere de la meme maniere par ses coordonnees cartesiennes qui
sont les composantes x1, x2, x3 du vecteur position OM, telles que
OM =
3i=1
xiei . (1.2)
On note parfois le repere sous la forme R = Ox1x2x3.
1. Dailleurs sur le plan etymologique le terme tenseur vient du latin tensum qui veut dire tendu ,
ce qui pourrait designer un bipointAB cest-a-dire larchetype dun vecteur.
2. En deux mots un tenseur peut etre vu soit comme lune, soit comme lautre, ces deux points de vue differents
ayant chacun leur propre interet. Attention aux faits que la reformulation dont il sagit nest pas completement
triviale (ne sous-estimez pas la complexite de lalgebre tensorielle, il vous faudra fournir un effort pour la matriser),
et que lanalyse tensorielle va largement au dela dune simple reformulation de lanalyse vectorielle.
3. On reviendra sur le probleme de lorientation de lespace cest-a-dire sur la notion de bases directes section 1.1.5.

10 Chapitre 1 Algebre tensorielle
1.1.1 Remarque sur la notation vecteur : fleche vs barre
Vous aurez note que la traditionnelle fleche utilisee en classes preparatoires pour designer un
vecteur est devenue une simple barre dans ce document,
OM OM . (1.3)
Lobjectif de ce changement de notation est essentiellement de reduire lencombrement 4. En
ecriture manuscrite on reviendra en general aux notations avec fleche, faisant le chemin inverse de
celui presente formule (1.3).
1.1.2 Convention de sommation sur les indices repetes
Une ecriture telle que (1.2) est tres lourde. Nous savons bien que lespace physique est de
dimension 3, donc quun indice de coordonnees varie de 1 a 3. Pour alleger les notations nous
adoptons dorenavant la convention de sommation sur les indices repetes dite dEinstein,
qui stipule quune formule ecrite avec des indices repetes implique une somme sur ces indices,
3i=1
xiei xiei . (1.4)
On dit quun indice repete est un indice muet : de fait on peut lui dire de changer de nom
sans dommage (comme il est muet il ne pourra pas protester !), par exemple on peut decreter que
lindice i dans (1.4) sappelle en fait k,
xiei = xkek . (1.5)
Pour eviter toute ambiguite facheuse, il est interdit demployer plus de deux fois le meme indice
dans le meme produit. Ainsi dans un produit de facteurs, soit un indice apparait deux fois, auquel
cas il est muet et cache une sommation sur 3 valeurs 5, soit il apparait une seule fois, auquel cas on
parle d indice explicite . De facon exceptionnelle on peut avoir besoin decrire une formule
avec deux fois le meme indice sans quil y ait sommation sur celui-ci ; alors on le souligne une fois
sur deux.
Exercice 1.1 Sur la convention de sommation sur les indices repetes
1 Recrivez lexpression
E =3i=1
ai
3k=1
bikckj
en utilisant la convention de sommation dEinstein. De quel(s) indice(s) depend E ?
2 Designez dans la formule (1.16) le ou les indices muet(s) et explicite(s). Recrivez cette suite
degalites sans la convention de sommation dEinstein, i.e. en explicitant les sommes cachees.
4. Dans certains ouvrages une autre convention est adoptee,OM OM.
5. Il peut arriver que lon etudie des problemes plans pour lesquels lespace de travail peut etre considere de
dimension 2 : dans la troisieme direction on a invariance donc celle-ci ne joue aucun role . Dans ce cas un indice
repete cache une sommation sur 2 valeurs seulement, correspondant aux 2 directions dans le plan de travail. De
maniere generale dans la quasi totalite de ce document (a lexclusion de la section 1.6) on peut remplacer R3 parR2 sans dommage, a condition bien sur dadapter comme on vient de lexpliquer la convention de sommation sur lesindices repetes.

1.1 Espace - Vecteurs - Bases et reperes 11
1.1.3 Produit scalaire - Premiere rencontre avec le point de contraction
Pour le physicien, capable de mesurer des longueurs et des angles, lexistence dun produit
scalaire euclidien universel ne fait pas de doute ; il pourrait le definir par la formule
x y = ||x|| ||y|| cos(x,y) . (1.6)
Le mathematicien pose plutot, dans sa base orthonormee {ei}, que
x y = xiyi . (1.7)
Le point dans cette formule est le point de contraction , qui constitue une operation de
calcul tensoriel que lon va generaliser. Par definition meme du caractere orthonorme de la base
de travail, on a
i,j, ei ej = ij ={
1 si i = j
0 sinon. (1.8)
Les ij sont les symboles de Kronecker 6.
1.1.4 Formule de changement de base - Notion de representation
Le choix de la base orthonormee {ei} pose au tout debut comprend une part darbitraire.Dun point de vue scientifique, il est donc important de savoir reconcilier les observations faites
dans cette base avec celles que lon pourrait faire dans une autre base orthonormee {ei} (tout enrestant dans le meme referentiel). Remarquant que, du fait de la propriete (1.8), on peut obtenir
les composantes dun vecteur x dans ces deux bases par produit scalaire avec les vecteurs de base,
xi = ei x et xi = ei x , (1.9)
on obtient
xi = ei (xjej) = ei ejxj [x] = [P ] [x] (1.10)
ou [x] designe le vecteur colonne des composantes de x dans la base {ei}, [x] le vecteur colonnedes composantes de x dans la base {ei}, [P ] la matrice de passage de composantes
[P ]ij = Pij = ei ej . (1.11)
Le point de contraction dans (1.10) designe le produit matrice-vecteur classique, i.e.
xi = Pijxj . (1.12)
On a
ej = Pijei , (1.13)
i.e. la matrice [P ] est constituee de colonnes qui sont les composantes des vecteurs ej dans la base
{ei}. Pour cette raison on dit aussi que cest la matrice de presentation des vecteurs ej dansla base des ei. Cette matrice [P ] est orthogonale, i.e. sa matrice transposee definie par
[P T ]ij = Pji (1.14)
6. Du nom du mathematicien allemand du XIXeme siecle qui les inventa.

est son inverse :
[P T ] = [P ]1 [P T ] [P ] = [P ] [P T ] = [I] matrice identite. (1.15)
Ceci se verifie en partant par exemple de la propriete dorthonormalite de la base des ej ,
ij = ei ej = ei (Pkjek) = (ek ei)Pkj = PkiPkj = [P T ]ikPkj . (1.16)
Ainsi [P T ] [P ] = [I] ; dapres la theorie des matrices, on a en consequence [P ] [P T ] = [I] i.e.
ij = PikPjk . (1.17)
De facon geometrique il importe danticiper sur la section suivante en remarquant que lapplication
lineaire L qui envoie e1, e2, e3 sur e1, e
2, e
3 envoie donc
x = xjej sur y = L(x) = xjL(ej) = xjej = Pijxjei . (1.18)
La matrice representative de cette application sur la base {e1, e2, e3} est donc la matrice de passage[P ] elle-meme 7. Ainsi le fait que [P ] soit orthogonale provient du fait que la transformation L
est orthogonale.
Premiere remarque importante : sur une question de convention
De nombreux auteurs introduisent, plutot que la matrice de passage [P ], une matrice de
changement de base
[Q] = [P T ] . (1.19)
Avec cette definition on remplace par exemple la formule (1.13) par
ej = Qjiei , (1.20)
ce qui presente lavantage de respecter un ordre des indices tres souvent rencontre en calcul
tensoriel : indice(s) explicite(s) a gauche, muets a droite. En revanche on perd linterpretation
geometrique simple que lon vient de mentionner.
Deuxieme remarque importante : sur letre (intrinseque) et le paratre
Il faut insister sur le fait que lobjet essentiel ou intrinseque est le vecteur lui-meme, par
exemple un bipoint x = OM ou AB, et quil nest que represente par le vecteur colonne de
ses composantes
[x] = Vect(x, {ei}) (1.21)
qui depend du choix de la base 8 en vertu de (1.10). Il convient alors de sassurer que des objets
comme
x y = [x] [y]
sont bien intrinseques , cest-a-dire ne dependent pas du choix de la base.
7. En effet, toujours en anticipant sur la section 1.2, on a bien
[y] = Vect(L(x), {ei}
)= [P ] [x] = [Pijxj ] .
8. Dou la notation avec deux arguments dans la fonction Vect.

1.2 Definition des tenseurs comme applications lineaires 13
Exercice 1.2 Verification de la coherence de la definition du produit scalaire
En utilisant la convention de sommation sur les indices repetes et la formule de changement de
base (1.12), verifiez que la definition (1.7) du produit scalaire conduit a un objet intrinseque, i.e.
que
xiyi = xiyi (1.22)
quand on change de base.
1.1.5 Sur le caractere direct des bases i.e. la notion dorientation
Une notion importante, quil faut poser des maintenant, est celle de l orientation directe des
bases. En physicien on suppose cette notion effectivement universelle et definie par la regle de la
main droite : une base {ei} orthonormee est dite directe si, lorsque joriente mon pouce droitdans la direction de e1, mon index droit dans la direction de e2, alors mon majeur droit peut etre
naturellement oriente (sans que jai besoin de le tordre !) dans la direction de e3. On constate alors
que nimporte quelle rotation dune base orthonormee directe definit une nouvelle base ortho-
normee directe, ce que le mathematicien formalise en remarquant que deux bases orthonormees
directes doivent se deduire lune de lautre par une transformation orthogonale directe. Nous
reviendrons sur ce point section 1.6.
1.1.6 Tenseurs dordre 0 et 1
Du fait de son caractere intrinseque prouve par (1.22), le nombre x y est un reel qui nedepend que de x et y et pas du choix de base : cest un exemple typique de quantite scalaire ou
tenseur dordre 0 . Par contre un vecteur est appele tenseur dordre 1 . Des exemples
physiques de tenseurs dordre 0 et 1 sont la temperature T et un vecteur position OM.
1.2 Definition des tenseurs comme applications lineaires
Partant des deux definitions precedentes, on definit les tenseurs par recurrence de la facon
suivante :
un tenseur dordre n 1, note Tn, est une application lineairequi a tout vecteur fait correspondre un tenseur dordre n 1 :
Tn : x 7 Tn(x) note aussi Tn x. (1.23)
La notation avec le point correspond a une operation de contraction sur laquelle on reviendra
plus tard.
Cette definition sapplique bien des que n = 1. En effet un vecteur a peut etre vu 9 comme
lapplication lineaire qui a tout vecteur x fait correspondre le tenseur dordre 0 ou scalaire a x :
a : x 7 a(x) = a x . (1.24)
9. Le lecteur averti remarque que lon confond lespace R3 et son dual. Un point de vue plus fin, qui conduit auxnotions de covariance et contravariance, est propose par la theorie generale des tenseurs presentee dans les references
bibliographiques citees en introduction.

1.3 Les tenseurs dordre 2 comme applications lineaires
Dapres la definition (1.23), un tenseur dordre 2 est une application lineaire qui a tout vecteur
fait correspondre un tenseur dordre 1, cest-a-dire un vecteur. Il sagit donc dun endomorphisme
de lespace R3. Pour etre coherent sur le plan des notations on note un tel tenseur non pas L2 maisL :
L : R3 R3x 7 L(x) = L x
. (1.25)
En effet un tenseur dordre 0 (un scalaire) etant note sans barre superieure, et un tenseur dordre 1
(un vecteur) avec une barre superieure, un tenseur dordre 2 merite bien deux barres superieures 10 !
1.3.1 Representation par une matrice
On sait quun tel endomorphisme est represente sur une base orthonormee {ei} par une matrice
[L] = Mat(L, {ei}
)(1.26)
de composantes
Lij = ei (L ej
), (1.27)
de sorte que, si
[x] = Vect(x, {ei}) , (1.28)
on a 11
Vect(L x, {ei}
)= [L] [x] = [Lijxj ] . (1.29)
1.3.2 Formule de changement de base
Reprenant les notations de la section 1.1.4, on se pose la question de la matrice representant L
dans la base {ei}. Posant, pour x quelconque, y = L x, on a, dapres les formules (1.10), (1.15)et (1.29),
[y] = [P T ] [y] = [P T ] [L] [x] = [P T ] [L] [P ] [x] ,
dou
[L] = Mat(L, {ei}
)= [P T ] [L] [P ] , (1.30)
soit en composantes 12
Lij = PkiLkmPmj . (1.31)
10. Cette notation avec un empilement de barres ne pourra cependant pas, pour des raisons dencombrement, etre
utilise pour des tenseurs dordre eleve, dou la notation generale Tn si n & 4. Mentionnons aussi quen ecriture
manuscrite on ecrira parfois=L au lieu de L, de la meme facon que lon ecrira
x au lieu de x.
11. Dans (1.29) le point entre [L] et [x] designe le produit matrice-vecteur classique.
12. En lien avec ce qui a ete dit au niveau de lequation (1.20) : si on utilise la matrice de changement de base
[Q] = [PT ] au lieu de la matrice de passage [P ], on obtient la formule
Lij = QikQjmLkm
sans doute plus simple en ce qui concerne lordonnancement des indices.

1.3 Les tenseurs dordre 2 comme applications lineaires 15
1.3.3 Produit tensoriel de 2 vecteurs
On definit le produit tensoriel de 2 vecteurs comme le tenseur dordre 2
a b : R3 R3x 7 (a b) x = a (b x) . (1.32)
Dans cette derniere equation a (b x) signifie le produit du vecteur a par le scalaire b x ; ondenote le produit entre un scalaire et un vecteur (ou un tenseur) par un simple espace. On montre
que
Mat(a b, {ei}) = [aibj ] , (1.33)et que lapplication qui a a et b associe a b est bilineaire 13.
1.3.4 Application : ecriture intrinseque dun tenseur dordre 2
Lun des interets de loperation produit tensoriel est de permettre une ecriture intrinseque des
tenseurs dordre 2, sous la forme
L = Lijei ej . (1.34)
Cette ecriture est intrinseque au sens ou elle fait apparatre les etres essentiels que sont les vec-
teurs. Elle montre que lensemble des tenseurs eiej est une base de lespace vectoriel des tenseursdordre 2. Elle permet deviter tout risque de melanges entre bases extremement dangereux
lors de letude de problemes ou plusieurs bases rentrent en jeu, puisque les vecteurs sont ecrits
explicitement 14. Cette ecriture intrinseque peut justement sutiliser pour faire des changements de
base de facon tres efficace, comme lillustre lexercice suivant.
Exercice 1.3 De linteret de la notation produit tensoriel
Dans le plan muni dun repere R = Oxy, et du systeme des coordonnees polaires (r,) associe,
on note ex et ey les vecteurs de la base orthonormee du repere, er et e les vecteurs de la base locale
correspondant a un point M de coordonnees polaires (r,) quelconques. On considere le tenseur
L = er er .
1 Donnez une interpretation geometrique de L.
2 Explicitez Mat(L, {er,e}
)puis, en utilisant la formule de changement de base (1.30), calculez
Mat(L, {ex,ey}
).
3 Exprimez L intrinsequement dans la base {ex,ey} en injectant dans L = er er lexpressionde er en fonction de ex et ey, puis en developpant la formule obtenue grace a la bilinearite de
loperation produit tensoriel.
4 Comparez les resultats, lefficacite et le cout calculatoire de ces deux methodes.
13. Il sagit donc bien dun produit au bon sens du terme.
14. En travaillant avec des matrices et des vecteurs colonnes on a vite fait de faire des calculs insenses, consistant
par exemple a calculer Lx en multipliant la matrice representant L dans une base par le vecteur colonne representantx dans une autre base !

1.3.5 Tenseur identite
Une application immediate des formules (1.27) et (1.34) au tenseur identite
1 : x 7 x (1.35)
donne, comme sa matrice representative a pour elements Iij = ij , que
1 = ei ei . (1.36)
1.4 Les tenseurs dordre 2 comme applications bilineaires
1.4.1 Definition et exemple
Un point de vue dual de celui de la definition (1.23) consiste a voir un tenseur dordre 2
L comme lapplication bilineaire 15
L : R3 R3 R(x,y) 7 L(x,y) = x L y = x
(L y
) . (1.37)Dans cette equation les deux premieres ecritures sont des notations equivalentes pour le meme
objet 16, tandis que la troisieme fournit une definition calculatoire de cet objet : une fois quune
base est choisie on a
L(x,y) = x L y = x (L y
)= xiLijyj . (1.38)
Une schematisation de cette formule que lon peut appeler regle du sandwich est presentee
sur la figure 1.1. Un cas particulier remarquable de cette formule sobtient en utilisant pour x et
y des vecteurs de base ; on en deduit
L(ei,ej) = Lij . (1.39)
Reciproquement, si on connait lapplication bilineaire (x,y) 7 xLy, on peut definir lapplicationlineaire y 7 L y en stipulant que ce dernier vecteur est lunique vecteur v tel que
x, x v = x L y .
On peut se convaincre que, avec ce point de vue,
a b : R3 R3 R(x,y) 7 (a x)(b y) . (1.40)
Ce point de vue sera tres utilise lorsque lon etudiera les deformations de milieux materiels. On
va maintenant exploiter ce point de vue pour (re)definir la notion de transposition, avant de le
generaliser au cas de tenseurs dordre quelconque.
15. Ou forme bilineaire, puisquelle est a valeurs reelles. La forme quadratique associee sobtient en considerant
le cas y = x.
16. La valeur de la fonction L appliquee au couple de variables (x,y) !

1.4 Les tenseurs dordre 2 comme applications bilineaires 17
Sandwich commun : Sandwich tensoriel :
Fig. 1.1 Illustration de la formule (1.37) pour x L y, dite regle du sandwich . LendomorphismeL se saisissant des vecteurs x et y forme ainsi un nouvel objet scalaire.
1.4.2 Applications : definition de la transposition, tenseurs (anti)symetriques
Le point de vue (1.37) permet de definir, etant donne un tenseur quelconque L, le tenseur
transpose LT par
LT : R3 R3 R(x,y) 7 LT (x,y) = L(y,x)
. (1.41)
En vertu de (1.37) et (1.38) il vient que, si lon note (M) la matrice representant LT sur une base,
x,y,(LT y
) x = xiMijyj = yiLijxj = y
(L x
), (1.42)
ou encore, en echangeant les roles de i et j dans lexpression ou apparat [L],
x,y, xiMijyj = yjLjixi = xiLjiyj .
On en deduit que la matrice [M ] representant LT nest autre que la transposee de la matrice [L]
representant L.
On definit les tenseurs symetriques comme ceux qui sont egaux a leur tenseur transpose,
S symetrique S = ST , (1.43)
et les tenseurs antisymetriques comme ceux qui sont opposes a leur tenseur transpose,
A antisymetrique A = AT . (1.44)
Exercice 1.4 Transposition dun produit tensoriel
Montrez de deux manieres differentes, lune utilisant une representation en base orthonormee,
lautre intrinseque, que
(a b)T = b a . (1.45)

1.5 Les tenseurs comme applications multilineaires
1.5.1 Definition des tenseurs comme applications multilineaires
Nous allons voir quune facon equivalente a (1.23) de definir les tenseurs est de poser quun
tenseur Tn dordre n 1 est une application n-lineaire
Tn : R3 R3 R(x1, , xn) 7 Tn(x1, , xn)
. (1.46)
Par n-lineaire on signifie que Tn est lineaire par rapport a chacun de ses arguments. Comme
elle est a valeurs scalaires, on peut aussi la designer comme une forme multilineaire . Pour
ce qui est des tenseurs dordre 1 et 2 ce point de vue correspond a celui des sections 1.2 et 1.4.1.
En raisonnant par recurrence, supposons que lon a ete capable de faire le lien entre les definitions
(1.23) et (1.46) pour les tenseurs dordre 1 a n 1 1. Considerons maintenant un tenseur Tndordre n 2 defini par (1.23). On peut definir Tn(x1, ,xn) en remarquant que Tn xn est untenseur dordre n 1, donc que lon sait definir
(Tn xn)(x1, , xn1) .
On pose tout simplement
Tn(x1, , xn) = (Tn xn)(x1, , xn1) , (1.47)
qui est bien un nombre reel dependant lineairement de chaque variable x1, ,xn.
Exercice 1.5 Application de la definition multilineaire recurrente au cas n = 2
Montrez que si n = 2 la definition par recurrence (1.47) est equivalente a celle posee en (1.37).
Reciproquement, soit Tn donne comme une application n-lineaire. En inversant la formule
(1.47), on peut definir Tn x comme lunique tenseur L dordre n 1 verifiant
x1, , xn1, Tn(x1, , xn1, x) = L(x1, , xn1) . (1.48)
Ce tenseur L depend bien lineairement de x.
1.5.2 Definition generale du produit tensoriel
Lun des interets de la definition (1.46) est de permettre de donner une definition simple du
produit tensoriel de n vecteurs a1, ,an, en posant que cest le tenseur dordre n
a1 an : R3 R3 R(x1, , xn) 7 (a1 an)(x1, ,xn) = (a1 x1) (an xn)
.
(1.49)
Ceci generalise bien la formule (1.40) dans le cas du produit tensoriel de 2 vecteurs.

1.5 Les tenseurs comme applications multilineaires 19
Fig. 1.2 Representation schematique de nos amis les tenseurs vus comme des applications multi-lineaires.Les nombres de bras sont les nombres de vecteurs que chaque tenseur peut attraper en vertu de la
definition (1.46), ou encore le nombre dindices reperant les composantes de chaque tenseur sur une base
donnee en vertu de (1.55). Au dessous de chaque top-modele figure lordre de tensorialite correspondant.
1.5.3 Ecriture intrinseque et representation - Base - Changement de base
La definition (1.46) et la notation precedente permettent de traiter aisement le probleme de
lecriture et de la representation des tenseurs. Interessons-nous par exemple au cas dun tenseur
T3 dordre 3, que lon notera parfois T. Par trilinearite, si {ei} est une base donnee dans laquellex, y et z ont des composantes xi, yj et zk, on a
T3(x, y, z) = T3(xiei, yjej , zkek)
= xiyjzkT3(ei, ej , ek)
T3(x, y, z) = Tijkxiyjzk avec Tijk = T3(ei, ej , ek) . (1.50)
La notion de produit tensoriel telle quelle vient detre definie permet en consequence decrire que
T3 = Tijkei ej ek , (1.51)
ce qui generalise au cas des tenseurs dordre 3 la formule (1.34) pour les tenseurs dordre 2.
Les nombres Tijk representent le tenseur T3 dans la base {ei}. Ce sont les composantes de
T3 dans cette base. Ils dependent du choix de cette base. Les formules de changement de base
setablissent comme suit : si {ei} est une autre base, caracterisee comme dans la section 1.1.4 parsa matrice de presentation [P ] delements (1.11), on a
T ijk = T3(ei, e
j , ek) = T
3(Pliel, Pmjem, Pnken) (1.52)
T ijk = PliPmjPnkTlmn . (1.53)

Exercice 1.6 Changement de base pour un tenseur dordre 2 application bilineaire
Etablissez une formule de changement de base equivalente a (1.53) mais dans le cas ou lon
etudie la representation dun tenseur T dordre 2, vu comme une application bilineaire. Verifiez
que cette formule est equivalente a la formule (1.31).
De fait les formules (1.50), (1.51) et (1.53) se generalisent immediatement a un tenseur Tn
dordre quelconque n, en ecrivant n indices, vecteurs de base et coefficients P.., selon17
Ti1i2in = T(ei1 , ei2 , , ein) (1.54)
T = Ti1i2inei1 ei2 ein (1.55)
T i1i2in = Pj1i1Pj2i2 PjninTj1j2jn . (1.56)
Revenons une derniere fois sur la remarque faite au niveau de lequation (1.20) : si on utilise la
matrice de changement de base [Q] = [P T ] au lieu de la matrice de passage [P ], on obtient la
formule
T i1i2in = Qi1j1Qi2j2 QinjnTj1j2jn (1.57)
sans doute plus simple en ce qui concerne lordonnancement des indices. Pour le cas de tenseurs
dordre 2 les formules equivalentes a (1.54), (1.55) et (1.56) sont (1.39), (1.34) et (1.31). Ceci nous
amene enfin a enoncer quun tenseur dordre n est un etre represente sur une base par un
tableau de nombres - qui sont ses composantes - a n indices verifiant les regles de
transformation par changement de base (1.56). Ce point de vue est parfois adopte pour
introduire les tenseurs. Il est repris sur les figures 1.2 et 1.3.
Les formules (1.54) et (1.55) prouvent que les tenseurs ei1 ei2 ein forment une base delespace des tenseurs dordre n. Cet espace, parfois note Tn , est ainsi un espace vectorielde dimension 3n... dans le cas de tenseurs agissant sur des vecteurs de R3 considere ici 18, cf. ladefinition (1.46).
1.5.4 Definition generale du produit contracte
Soient An et Bm des tenseurs dordre n 1 et m 1. Leur produit contracte est le tenseur
Tp = An Bm
dordre p = n 1 +m 1 = n+m 2 defini par 19
Tp(x1, , xn1, y2, , ym) = A(x1, , xn1, ei) B(ei, y2, , ym) , (1.58)
17. Dans ce qui suit on omet de rappeler lexposant n, afin deviter toute confusion au niveau de la convention de
sommation dEinstein.
18. Dans le cas de tenseurs agissant sur des vecteurs de R2, au sens de la note de bas de page numero 5 sur les problemes plans , la dimension de Tn est bien sur 2n.
19. Dans ce qui suit on omet de rappeler les exposants n et m, afin de simplifier les notations et surtout deviter
toute confusion au niveau de la convention de sommation dEinstein.

Fig. 1.3 Representation schematique des tenseurs, cette fois-ci par un veritable artiste...
ou lindice i repete cache une sommation. Il importe de verifier que ce tenseur est bien un objet
intrinseque qui ne depend pas du choix de la base {ei} utilisee. Pour cela considerons une deuxiemebase {ei} ; on a, en utilisant les notations de la section 1.1.4,
A(x1, , xn1, ei) B(ei, y2, , ym)= A(x1, , xn1, Pjiej) B(Pkiek, y2, , ym)= PjiPki A(x1, , xn1, ej) B(ek, y2, , ym)= jk A(x1, , xn1, ej) B(ek, y2, , ym)
en vertu de la formule (1.17). Ainsi
A(x1, , xn1, ei) B(ei, y2, , ym) = A(x1, , xn1, ej) B(ej , y2, , ym)
qui montre le caractere tensoriel de la definition (1.58).
Exercice 1.7 Produit contracte de deux vecteurs
Verifiez que la definition (1.58) appliquee au cas ou An est le vecteur a et Bm le vecteur b
redonne bien pour a b le produit scalaire classique de a et b,
a b = aibi . (1.59)
Exercice 1.8 Produit contracte dun tenseur dordre 2 et dun vecteur
Verifiez que la definition (1.58) appliquee au cas ou An est le tenseur dordre 2 L et Bm le
vecteur b redonne bien pour L b lapplication de L a b au sens de la definition (1.25), i.e., unefois une base {ei} choisie pour representer ces objets,
L b = Lijbjei . (1.60)

Exercice 1.9 Produit contracte de deux tenseurs dordre 2
Verifiez que la definition (1.58) appliquee au cas ou An est le tenseur dordre 2 A et Bm le
tenseur dordre 2 B donne, une fois une base {ei} choisie,
A B = AikBkjei ej . (1.61)
Vous remarquerez que si lon adopte le point de vue tenseur comme application lineaire alors
A B correspond a la composition de lapplication lineaire B avec lapplication lineaire A, que lonpourrait noter aussi A B, et que, si lon raisonne en terme de matrices,
Mat(A B,{ei}
)= Mat
(A,{ei}
) Mat
(B,{ei}
). (1.62)
Ces formules peuvent se resumer avec la regle generale suivante : le produit contracte dun
tenseur A dordre n et dun tenseur B dordre m sobtient en formant le tenseur dordre n+m2dont les composantes sont les produits des composantes de A et B avec une sommation sur le
dernier indice de A pris egal au premier indice de B,
A B = Ai1in1k Bkj2jm ei1 ein1 ej2 ejm . (1.63)
Muni de cette regle, on peut donner un sens a de nouveaux produits de la forme a L par exemple,et montrer par ailleurs que le produit contracte est associatif. Ainsi
a, b, L, a (L b
)=(a L
) b . (1.64)
En effet le scalaire de gauche dans (1.64) vaut
a (L b
)= ai
(L b
)i
= ai Lijbj
et celui de droite(a L
) b =
(a L
)jbj = aiLij bj cest-a-dire la meme chose.
Exercice 1.10 Associativite du produit de contraction dans un cas general
Demontrez, en explicitant ces produits dans une base orthonormee, legalite valable pour deux
vecteurs a et b quelconques, et un tenseur T dordre n quelconque,
a (T b) = (a T) b . (1.65)
1.5.5 Definition generale du produit doublement contracte
Soient An et Bm des tenseurs dordre n 2 et m 2. Leur produit doublement contracteest le tenseur
Tp = An : Bm
dordre p = n 2 +m 2 = n+m 4 defini par 20
Tp(x1, , xn2, y3, , ym) = A(x1, , xn2, ei, ej) B(ej , ei, y3, , ym) . (1.66)
20. La remarque faite dans la note 19 est aussi valable ici.

Verifions que cette quantite est inchangee si on travaille dans une base {ei} differente. Consideronsdonc
T = A(x1, , xn2, ei, ej) B(ej , ei, y3, , ym) .
Grace aux formules (1.13), on obtient
T = A(x1, , xn2, Pkiek, Pljel) B(Pqjeq, Prier, y3, , ym)T = PkiPri PljPqj A(x1, , xn2, ek, el) B(eq, er, y3, , ym) .
En utilisant le caractere orthogonal de [P ], exprime par la formule (1.17), on obtient
T = kr lq A(x1, , xn2, ek, el) B(eq, er, y3, , ym)T = A(x1, , xn2, ek, el) B(el, ek, y3, , ym) qui est bien (1.66).
Dans le cas ou A et B sont deux tenseurs dordre 2, on obtient immediatement que leur produit
doublement contracte est le scalaire
A : B = A(ei,ej) B(ej ,ei) = Aij Bji . (1.67)
On a la propriete de commutation
A : B = B : A . (1.68)
En particulier on peut contracter un tenseur dordre 2 A avec le tenseur identite (1.35), et on
obtient alors un scalaire que lon appele aussi la trace de A :
trA = A : 1 = Aii . (1.69)
Comme ce scalaire ne depend que de A et pas de la base choisie, on dit que cest un inva-
riant de A... traditionnellement appele premier invariant de A...
Remarquez, en lien avec lexercice 1.9, que, si lon adopte momentanement le point de vue quun
tenseur est une application lineaire,
A : B = tr(A B
)= tr
(A B
). (1.70)
Ce qui nous permet de definir un second invariant 21 de A comme
A : AT = tr(A AT
)= AijAij (1.71)
somme des carres des composantes de A, que lon peut voir comme une norme euclidienne carre
de A.
Dans le cas ou A est un tenseur dordre 3 et B un tenseur dordre 2, on obtient a partir de (1.66)
que leur produit doublement contracte est le vecteur
A : B = Aijk Bkjei . (1.72)
21. Dautres definitions concurrentes sont possibles, dou le un ; second evoque pour nous le fait que cet
invariant depend de facon quadratique de A, alors que le premier invariant depend de facon lineaire de A.

Enfin dans le cas general le produit doublement contracte dun tenseur A dordre n et dun
tenseur B dordre m sobtient en formant le tenseur dordre n+m 4 dont les composantes sontles produits des composantes de A et B avec une sommation sur le dernier indice de A pris egal
au premier indice de B, et une autre sur lavant dernier indice de A pris egal au deuxieme indice
de B,
A : B = Ai1in2lk Bklj3jm ei1 ein2 ej3 ejm . (1.73)
1.6 Tenseur alterne fondamental et applications
Afin notamment de revisiter les notions de determinant, produit vectoriel et produit mixte
avec le formalisme concis et puissant du calcul tensoriel, et, aussi, de bien caracteriser les endo-
morphismes antisymetriques, nous introduisons un nouvel objet, sans doute, le premier tenseur
dordre 3 que vous allez manipuler...
1.6.1 Definition du tenseur alterne fondamental
Definissons le tenseur alterne fondamental par ses composantes ijk dans une base ortho-
normee directe {ei}. Celles-ci sont nulles si deux indices sont egaux parmi i, j et k ; si les indicesi, j et k sont distincts, alors ijk est la signature de la permutation (1,2,3) 7 (i,j,k) :
ijk =
+1 si (1,2,3) 7 (i,j,k) est paire1 si (1,2,3) 7 (i,j,k) est impaire
0 si deux indices sont egaux parmi i, j et k
. (1.74)
Rappelons que les permutations paires de (1,2,3), appelees aussi permutations circulaires de
(1,2,3), sont
(1,2,3) 7 (1,2,3) , (1,2,3) 7 (2,3,1) , (1,2,3) 7 (3,1,2) . (1.75)
Certains auteurs designent les ijk comme les symboles dantisymetrie 22, puisqueffective-
ment les ijk sont antisymetriques par echange dindices :
jik = ijk , kji = ijk , ikj = ijk . (1.76)
Comme la composition dune permutation paire par une permutation donnee a la meme signature
que cette permutation donnee, on peut aussi remarquer que les ijk sont invariants par permutation
circulaire,
(i)(j)(k) = ijk . (1.77)
Verifions que est bien un tenseur dordre 3. En vertu de (1.53), on doit verifier que, dans un
changement de base caracterise par une matrice de passage [P ],
ijk = PliPmjPnklmn (1.78)
22. Dautres encore designent les ijk comme les symboles de Levi-Civita , du nom du mathematicien italien
du XIXeme siecle qui fut lun des co-inventeurs du calcul tensoriel (cf. la citation deja mentionnee en introduction
Ricci & Levi-Civita 1900) et de cette notation ! Enfin certains designent comme le tenseur dorientation ,
pour insister sur le fait quil nest un tenseur qua condition dutiliser des bases ayant toutes la meme orientation :
lequation (1.79) montre bien que si on passe dune base directe a une base indirecte, comme det[P ] = 1, il y aalors probleme. Pour insister sur cette propriete on designe parfois comme un pseudotenseur .

1.6 Tenseur alterne fondamental et applications 25
concide avec ijk donne par (1.74).
Si deux indices parmi i, j et k sont egaux, par exemple si i = j, on peut ecrire, en echangeant tout
dabord les indices l et m, que
ijk = PliPmjPnklmn = PmiPljPnkmln = PmjPliPnklmn
en utilisant ensuite le fait que i = j et lantisymetrie de . Comme ijk est egal a son oppose, il est
nul, cest-a-dire egal a ijk.
Si i, j et k sont tous differents, on peut remarquer que
ijk = lmnPliPmjPnk
nest autre, dapres la formule de Leibniz vue en classes preparatoires, que le determinant de
la matrice formee par les ieme , j eme et keme vecteurs colonnes de [P ]. Dapres la theorie des
determinants, cest le determinant de la matrice [P ] multiplie par la signature de la permutation
faite sur les colonnes, i.e. la permutation (1,2,3) 7 (i,j,k) :
ijk = det[P ] ijk . (1.79)
Or [P ] est une matrice de rotation (transformation orthogonale directe), donc
det[P ] = 1 . (1.80)
Ceci implique que dans ce cas aussi ijk = ijk.
On remarque pour conclure cette introduction que le determinant dun tenseur dordre 2 peut
secrire
det A = ijkAi1Aj2Ak3 , (1.81)
ce qui est plus compact et maniable que lecriture en tableau utilisee en classes preparatoires... Ce
scalaire peut etre vu comme le troisieme invariant de lendomorphisme A, troisieme au
sens ou il depend de facon cubique de A.
Exercice 1.11 Utilisation du tenseur alterne fondamental pour calcul dun determinant
Montrez que si
F = 1 + L , (1.82)
avec L un tenseur infiniment petit i.e. dordre de grandeur L =L 1, alors
det F = 1 + trL + O(L2) . (1.83)
Commentaires :
Voyez sur cet exercice, sur la notion de norme et la notation O, lannexe A.1. Une application physique de la formule (1.83) sera le calcul de la dilatation volumique en
petite transformation, cf. la section 2.1.7 de Plaut (2017).

1.6.2 Produits mixte et vectoriel
En utilisant le point de vue quun tenseur est une application multilineaire, est vu comme
lapplication
(x, y, z) 7 (x, y, z) = ijkxiyjzk . (1.84)
Cette application nest autre que le produit mixte deja rencontre en classes preparatoires, soit le
determinant des vecteurs colonnes representant x, y et z. Rappelons son interpretation geometrique :
ce produit mixte est nul si et seulement si x, y et z sont lies ; dans le cas ou x, y et z sont independants et forment un triedre direct, (x, y, z) est le
volume du parallelepipede de cotes x, y et z ;
dans le cas ou x, y et z sont independants et forment un triedre indirect, (x, y, z) estloppose du volume du parallelepipede de cotes x, y et z.
On definit alors le produit vectoriel de deux vecteurs x et y comme le vecteur 23 a qui
definit, au sens de (1.24), lapplication lineaire
z 7 (x, y, z) .
Par identification avec
z 7 a z ,
i.e., en assurant que
x, y, z , (x, y, z) = (x y) z , (1.85)
on obtient que le produit vectoriel a = x y est defini en composantes par 24
x y = ijkxiyjek = kijxiyjek = ijkxjykei , (1.86)
ou en notations tensorielles intrinseques par
x y = : y x . (1.87)
Rappelons son interpretation geometrique :
ce produit vectoriel est nul si et seulement si x et y sont colineaires ; sinon, le vecteur xy est orthogonal au plan forme par x et y, tel que le triedre forme par
x, y et x y soit direct ; on a dans tous les cas
||x y|| = ||x|| ||y|| | sin(x,y)| (1.88)
qui est laire du parallelogramme construit sur x et y.
23. Pour la meme raison que celle expliquee dans la note 22, on dit parfois que le produit vectoriel est un pseu-
dovecteur.
24. Pour passer a la toute derniere expression dans (1.86) on a renomme tous les indices muets suivant (i,j,k) 7(j,k,i).

1.6 Tenseur alterne fondamental et applications 27
1.6.3 Vecteur dual dun tenseur dordre 2 - Tenseurs antisymetriques
Si L est un tenseur dordre 2, on peut dapres (1.72) definir un vecteur que lon va appeler
vecteur dual 25 de L par
vd(L)
=1
2 : L , (1.89)
soit en composantes
vd(L)
=1
2ijkLkj ei . (1.90)
Exercice 1.12 Formules portant sur le tenseur alterne fondamental et le vecteur dual
1 Montrez que
ijkipq = jpkq jqkp . (1.91)Commentaire : cette question plus difficile peut etre consideree comme facultative : on vous re-
commande donc dadmettre la formule (1.91) ; les curieux liront sa demonstration dans le corrige
des exercices.
2 A laide de cette formule montrez que
vd(L) = 1
2
(LT L
). (1.92)
Exercice 1.13 Formule du double produit vectoriel
Montrez, en passant en composantes, que
a (b c) = (a c)b (a b)c . (1.93)
Exercice 1.14 Vecteur dual dun tenseur dordre 2 symetrique
Montrez que
S est symetrique au sens de la definition (1.43) vd(S)
= 0 . (1.94)
En consequence cette notion de vecteur dual nest interessante que pour un tenseur A anti-
symetrique au sens de la definition (1.44). On peut se convaincre qualors
x, A x = vd(A) x . (1.95)
Cette equation permet d interpreter le vecteur dual comme un vecteur rotation , puisquun
champ A x de cette forme concide avec le champ de vitesse instantane dun solide indeformable(une fois lorigine des x choisie sur laxe instantane de rotation ; cf. a ce sujet la section 2.2.5 du
cours de mecanique Plaut 2017)
v(x) = x .
25. On devrait peut-etre dire pseudovecteur dual en vertu de la note 22.

Exercice 1.15 Tenseur antisymetrique en fonction de son vecteur dual
Explicitez la formule (1.92) dans le cas ou L est un tenseur A antisymetrique, et deduisez en
la formule (1.95).
1.7 Exemples en mecanique des milieux continus
Comme on le verra dans Plaut (2017), en mecanique des milieux continus des exemples de
tenseurs applications lineaires sont
le tenseur gradient de la transformation F = X, avec (X) le champ de placementqui definit le mouvement ;
le tenseur gradient de deplacement Xu ; le tenseur donnant la partie deformations du deplacement linearise = 12
(Xu +XuT ) ; le tenseur gradient de vitesse xv ; le tenseur donnant la partie deformations des vitesses linearisees D = 12
(xv + xvT ) ; le tenseur des contraintes de Cauchy ;
des exemples de tenseurs applications bilineaires sont
le tenseur des dilatations de Cauchy C = FT F ;
le tenseur des deformations de Green-Lagrange e = 12(C 1) ; le tenseur des deformations linearise = 12
(Xu + XuT ) ; le tenseur des taux de deformations D = 12
(xv + xvT ).La notion de gradient introduite brutalement ici fait partie des concepts fondamentaux de lanalyse
tensorielle ; il est temps de sy lancer...
1.8 Notes personnelles

1.8 Notes personnelles 29

Chapitre 2
Analyse tensorielle
En physique des milieux continus la notion de gradient dun champ scalaire merite detre
generalisee, puisque, si on sinteresse par exemple a un fluide, lanalyse 1 de son champ de vecteur
vitesse semble au moins aussi importante que celle de son champ de temperature 2. Lobjet de ce
chapitre est justement de generaliser, de facon la plus systematique possible, et tant quon y est
a des tenseurs dordre eleve (voire quelconque), les outils danalyse des fonctions de plusieurs
variables vus en classes preparatoires. Ces outils danalyse sont les operateurs differentiels
gradient, rotationnel, divergence et laplacien, que lon introduit tout en expliquant leur si-
gnification physique, en lien avec leur definition et proprietes. On sinteresse donc a des champs
de tenseurs cest-a-dire des applications regulieres 3 dun ouvert de lespace physique (typi-
quement le volume dun milieu materiel) vers lespace vectoriel des tenseurs dun certain ordre n.
On utilise la definition des tenseurs comme applications lineaires, donnee par lequation (1.23).
Dautre part on sabstient de la notation avec parentheses pour designer lapplication dun tenseur
dordre n a un vecteur, utilisant exclusivement la notation avec le point de contraction. Ainsi, dans
ce chapitre, un tenseur dordre n, note Tn, est une application lineaire
qui a tout vecteur fait correspondre un tenseur dordre n 1 :Tn : h 7 Tn h
. (2.1)
Une fois choisi un point origine O dans lespace, en identifiant les points M de a leur vecteur
position x = OM, on peut poser quun champ de tenseur dordre n est une fonction
Tn : x 7 Tn(x) . (2.2)
Lutilisation du point de contraction pour designer Tn(x) applique a h, proposee en (2.1), conduit
a noter cet objet
Tn(x) h .
Ceci permet deviter des notations tres lourdes du type Tn(x)(h), et de mettre en evidence la
difference fondamentale qui existe entre x vecteur position dans le champ ou est defini Tn
et h vecteur totalement quelconque de R3 auquel peut sappliquer Tn(x). Physiquement, h serasouvent une variation infinitesimale dx de x, mais, compte tenu de la linearite de Tn(x), quon
lapplique a des vecteurs infinitesimaux ou non importera mathematiquement peu...
1. Voir au sujet de lanalyse la note 6 au bas de la page 5.
2. De meme en electromagnetisme lanalyse des champs electrique et magnetique est indispensable.
3. Pour simplifier on les considere de classe C2.

32 Chapitre 2 Analyse tensorielle
PSfrag replacements
dx
x
x+ dx dv
v(x)
v(x+ dx)
dv = v dx veut dire...
Fig. 2.1 Figure illustrant la definition intrinseque (2.5) du gradient dun champ de vecteur v(x). Cegradient v - sous-entendu au point x - est lapplication lineaire qui a la difference de position dx faitcorrespondre la difference de vecteur dv, cest donc lapplication lineaire representee par la fleche courbe.
Une representation du champ v dx est proposee sur le trace inferieur gauche de la figure 2.2.
2.1 Gradient dun champ de tenseur
2.1.1 Definition intrinseque en tant que differentielle
Soit T(x) un champ de tenseur dordre n sur ; on omet maintenant le n a cote du T pour
simplifier les notations. Lanalyse locale de ce champ autour dun point x donne de consiste a
considerer les variations ou increments
T(x, dx) = T(x + dx)T(x)
pour dx vecteur variation de position infinitesimal . Supposant le champ T differentiable, nous
pouvons considerer la differentielle de T au point x, application lineaire notee provisoirement
G(x), telle que
T(x, dx) = T(x + dx)T(x) = G(x) dx + o(dx) , (2.3)en renvoyant a lannexe A.2 pour la definition de la notation o. Pour simplifier on note en calcul
differentiel
dT = T linearise = G(x) dx , (2.4)i.e., on identifie la partie lineaire des variations considerees, en negligeant les termes dordre
superieur. L egalite en calcul differentiel (2.4) doit donc etre vue comme une equivalence va-
lable asymptotiquement quand T et dx tendent vers 0. Cette egalite montre que lapplication
G(x) est une application lineaire qui au vecteur dx fait correspondre le tenseur dT dordre n : en
vertu de la definition (2.1), cest donc un tenseur dordre n+ 1. Comme G depend de x, cest en
fait un champ de tenseur dordre n+ 1. On le note T et on lappelle gradient du champde tenseur T ; on doit retenir quil est defini en calcul differentiel par
T : dx 7 dT = T dx . (2.5)
La figure 2.1 illustre cette definition dans le cas ou T est un champ de vecteur v.
Pour comprendre la signification physique de T, il est utile de mentionner le terme utilisepar de nombreux mathematiciens pour le designer. Ils appelent le gradient de T l application
lineaire tangente a T. En effet, comme la tangente a une courbe est lapproximation lineaire
locale de celle-ci, lapplication lineaire tangente a T est lapproximation lineaire locale du champ
T, puisquelle permet de calculer les dT en fonction des dx. On illustrera ceci plus precisement
dans le cas dun champ de vecteurs dans la section 2.2, et sur la figure 2.2.
2.1.2 Calculs en coordonnees cartesiennes
Avec les notations du chapitre precedent, on utilise ici un repere R = Ox1x2x3, les coordonnees
cartesiennes (x1, x2, x3) associees, et des representations en composantes, ou, abusivement, coor-

2.1 Gradient dun champ de tenseur 33
donnees , des champs tensoriels etudies 4. On peut ecrire, grace a la theorie du calcul differentiel,
que
dT =T
xkdxk (2.6)
ou les derivees partielles de T sont definies par
T
xk= lim
h0
T(x + hek)T(x)h
. (2.7)
En identifiant les formules (2.5) et (2.6) sachant que dx = dxkek, on obtient que5
k , T ek =T
xk. (2.8)
Si T est un champ scalaire T , son gradient est donc le champ de vecteur defini par
T = Txk
ek . (2.9)
Par contre, si on a affaire a un champ de tenseur T dordre n 1, on obtient dapres (2.8)que
T = Txk ek . (2.10)
Ainsi le gradient dun champ de vecteur v est le champ de tenseur dordre 2 defini par
v = vixj
ei ej . (2.11)
De meme le gradient dun champ de tenseur T dordre 2 est le champ de tenseur dordre
3 defini par
T = Tijxk
ei ej ek . (2.12)
Mentionnons que lon note parfois les derivees partielles avec une virgule ou un point virgule 6. Nous
nutiliserons pas de telles notations ici, pour ne pas compliquer votre apprentissage. Cependant etre
conscient de leur existence pourra saverer utile... si jamais vous lisiez un jour les uvres completes
dEinstein (voir a ce sujet la figure culturelle 2.7 page 45), ou moins improbablement des traites
ou articles de mecanique ou electromagnetisme avances.
4. Cette terminologie calculs en coordonnees cartesiennes et la methodologie associee seront tres utilisees !..
5. Cette identification repose sur le fait que les variations des coordonnees dx1, dx2, dx3 sont independantes.
Autrement dit legalite T ekdxk = (T/xk)dxk doit avoir lieu quels que soient dx1, dx2, dx3 infiniment petits...6. I.e.
T
xk T,xk ou
T
xk T,k .
On y gagne une concision extreme, puisque par exemple avec cette deuxieme convention la formule (2.12) devient
T = Tij,k ei ej ek .
Pour des derivees partielles secondes on utilise parfois des notations avec une seule virgule et en listant les coordonnees
ou indices de coordonnees par rapport auxquels on derive,
2T
xy T,xy ou
2T
xixj T,ij .

2.2 Cas du gradient dun champ de vecteur
2.2.1 Decomposition en parties symetrique et antisymetrique
Soit v un champ de vecteur. En general le tenseur v, dordre 2, na aucune raison detreni symetrique ni antisymetrique 7. Il peut par contre etre decompose en somme dun tenseur
symetrique D, parfois note D(v), et antisymetrique , parfois note (v), suivant le systeme
dequations
v = D + , (2.13)
DT = D , T = . (2.14)
En transposant (2.13) on obtient que vT = D . (2.15)Par addition et soustraction de (2.13) et (2.15), il vient que la decomposition (2.13) est unique et
definie par
D =1
2
(v + vT
), =
1
2
(v vT
). (2.16)
Dans ce qui suit on raisonne autour dun point x donne, afin dinterpreter les contributions de D
et (sous entendu au point x) a
v = v(x + dx) v(x) ' v linearise = dv = v dx = D dx dvdef
+ dx dvrot
. (2.17)
Les abreviations introduites vont etre justifiees. Linterpretation de v en tant qu applicationlineaire tangente a v peut seclairer en meditant les schemas de gauche de la figure 2.2.
2.2.2 Signification de la partie symetrique
Dapres le cours de classes preparatoires sur la reduction des endomorphismes, D, endomor-
phisme symetrique de R3, peut se diagonaliser sur une base orthonormee {ni}, les valeurs proprescorrespondantes i etant reelles :
D = 1n1 n1 + 2n2 n2 + 3n3 n3 . (2.18)
Donc dx = Xini = dvdef = D dx = 1X1n1 + 2X2n2 + 3X3n3 . (2.19)
En deux dimensions (cas X3 = 0) des champs de ce type sont presentes sur le schema du milieu
de la figure 2.2 (cas 1 = 1,1 et 2 = 1), ou encore sur la figure 2.6. On voit apparatre deschamps deformants , qui montrent que cette premiere partie de dv decrit la deformation
locale du champ dv. On peut affirmer phenomenologiquement que i est le taux dextension ,
sil est positif, ou taux de contraction , sil est negatif, du champ dvdef dans la direction ni.
2.2.3 Signification de la partie antisymetrique - rotationnel
Lendomorphisme antisymetrique nest pas diagonalisable, mais on peut ecrire, dapres (1.95),
que
dvrot = dx = vd() dx .
7. Au sens des definitions de la section 1.4.2.

2.2 Cas du gradient dun champ de vecteur 35
= +
Fig. 2.2 Illustration dun gradient de vecteurs et de la decomposition (2.13) par representation de champsdans une partie de R2 centree sur son origine. En haut a gauche, champ de vecteurs v(x) dependant nonlineairement de x, mais verifiant v(0) = 0. Grace a ces hypotheses de centrage , auxquelles on peut
toujours se ramener par de simples translations, on peut considerer que v = v et dx = x dans la formule
(2.17). En dessous, le champ tangent dv = v(0) x. Ce champ depend lineairement de x, etconstitue au voisinage de lorigine une bonne approximation du champ precedent. Au milieu, la partie de
deformation locale de ce champ, D(0) x. Ici exceptionnellement les vecteurs de la base canonique sontvecteurs propres de D(0). A droite, la partie de rotation locale de ce champ, (0) x = 12rot(v)(0)x.
Ceci nous pousse a definir le vecteur 8 rotationnel de v comme etant
rot(v) = 2 vd()
= 2 vd(v)
= : v (2.20)
en vertu du fait que et v different seulement dun tenseur symetrique, dont le vecteur dualest nul dapres (1.94). Ainsi
dvrot = dx =1
2rot(v) dx . (2.21)
Un exemple de tel champ est represente sur le schema de droite figure 2.2. Cest toujours un champ
tournant : on peut interpreter cette partie de dv comme decrivant la rotation locale du
champ dv. De plus on peut affirmer sur le rotationnel dun champ que sa direction donne celle
de laxe de la rotation locale de ce champ, sa norme mesure lintensite de cette rotation. Dans son
ensemble la figure 2.2 illustre toute la formule (2.17) ; il convient de la bien mediter 9.
8. Pseudovecteur pour les puristes, puisqua nouveau le pseudotenseur pointe le bout de son nez.
9. La figure 2.2 est dune importance capitale. En effet on verra que les lois de comportement des solides et des
fluides utilisent de facon essentielle les decompositions (2.13) et (2.17).

En composantes en coordonnees cartesiennes, on a, dapres (1.72), (2.11) et (2.20),
rot(v) = ijkvkxj
ei , (2.22)
ou lon reconnait lexpression vue en classes preparatoires et parfois notee
rot(v) = v
a laide de l operateur nabla
= xi
ei .
Ces deux dernieres formules ne meritent pas quon leur attribue un numero car elles nont pas
une signification tensorielle generale ; en particulier on verra dans les sections 2.7 et 2.8 quelles
ne survivent pas a lutilisation de coordonnees cylindriques ou spheriques, contrairement a des
formules intrinseques tensorielles comme la formule (2.20).
2.3 Divergence dun champ de tenseur
2.3.1 Definition intrinseque a partir du gradient
Soit T un champ de tenseur dordre n 1. Alors son gradient T est un champ de tenseurdordre n+ 1 2. On peut donc definir, en tout point x de ,
div T = T : 1 (2.23)
qui est dapres la definition du produit doublement contracte donne en section 1.5.5 un tenseur
dordre n+ 1 + 2 4 = n 1. On nomme le champ correspondant divergence du champ T.La signification physique de div T se revele a partir de la formule integrale de la divergence
(2.39), qui implique cet operateur, mais necessite aussi des notions de calcul integral. Nous y
reviendrons donc a la fin de la section 2.4.
2.3.2 Calculs en coordonnees cartesiennes
Si T est un champ de vecteur v, on obtient dapres les formules (1.67), (2.11) et (2.23) que
sa divergence est le champ scalaire defini en tout point de par
divv = v : 1 = trv = vixi
. (2.24)
Cest bien la notion qui a ete introduite en classes preparatoires.
Par contre si T est un champ de tenseur dordre n 2, la formule (2.10) montre que
div T =( Txk ek
): 1
=(Ti1in
xkei1 ein ek
): ej ej
div T =Ti1in1j
xjei1 ein1 . (2.25)

2.4 Integration des champs de tenseurs 37
En particulier si T est un champ de tenseur dordre 2, il vient que sa divergence est le champ
de vecteur defini en tout point de par
div T =Tijxj
ei . (2.26)
2.4 Integration des champs de tenseurs
2.4.1 Definitions
En mecanique des milieux continus il importe, afin de pouvoir faire par exemple des bilans
globaux , de savoir definir les integrales de champs de tenseurs sur divers sous domaines de R3.Pour cela on travaille en composantes, en utilisant un repere orthonorme Ox1x2x3, a partir des
notions dintegrales 10 dune fonction a valeurs reelles f(x) :
Integrale curviligne le long dune courbe orientee C, lelement de longueur etant dl,
IC(f) =
Cf dl . (2.27)
La courbe orientee etant definie par le parametrage t [0,1] 7 x(t), de classe C1, on adl = ||x(t)|| dt i.e. on definit IC par
IC(f) =
10f(x(t)) ||x(t)|| dt . (2.28)
Integrale de surface sur une surface S, lelement de surface etant d2S,
IS(f) =
Sf d2S . (2.29)
La surface etant parametree au moins localement par (u,v) 7 x(u,v), on a localement,dapres la formule (1.88),
d2S = ||dxu dxv|| =xudu x
vdv = x
u xv
du dv . (2.30) Integrale de volume dans un volume , lelement de volume etant d3x,
I(f) =
f d3x . (2.31)
Le volume etant parametre au moins localement par (u,v,w) 7 x(u,v,w), on a localement,dapres linterpretation du produit mixte (1.84),
d3x = (dxu, dxv,dxw) = (xudu,
x
vdv,
x
wdw)
= (xu,x
v,x
w
)du dv dw. (2.32)
Considerons par exemple 11 un champ de tenseur dordre 2
T(x) = Tij(x) ei ej . (2.33)10. Pour une introduction mathematique rigoureuse de ces notions, on pourra consulter Chatterji (1997).
11. Cette demarche peut etre utilisee pour definir les integrales de tenseurs dordre quelconque.

PSfrag replacements
t
m
n
n
n
n
S
S
Fig. 2.3 Conventions dorientation a respecter pour le champ de vecteur normale unitaire n(x) a unesurface S de lespace R3, et pour lorientation de son bord S, afin de pouvoir appliquer la formule durotationnel (2.35). On peut traduire cette convention dorientation avec une regle de la main droite : si
joriente mon majeur droit le long du vecteur tangent au bord t, et mon pouce droit du cote de S, cest-a-dire
du vecteur m, alors le vecteur n doit sortir du dos de ma main vers lexterieur de celle-ci.
On definit en respectant la linearite des operations dintegration lintegrale curviligne de T le long
de C par 12
IC
(T)
= IC(Tij) ei ej notee aussiC
T dl , (2.34)
et de meme pour les integrales de surface et de volume.
2.4.2 Formule integrale du rotationnel
Nous rappelons la formule dAmpere-Stokes vue en classes preparatoires, que nous appelons
plutot formule integrale du rotationnel . Cette formule concerne un champ de vecteur
v defini (et regulier) sur un ouvert contenant une surface S verifiant les hypotheses suivantes,
illustrees sur la figure 2.3 :
S repose sur un bord S qui est la courbe definie par le parametrage t [0,1] 7 x(t),de classe C1, avec x(0) = x(1) ;
on peut definir en tout point x de S un vecteur normal unitaire n(x) de sorte que sur S lafonction x 7 n(x) est continue ; si x = x(t) est sur S, t(x) est le vecteur unitaire tangent a S oriente dans le sens
de parcours de S, cest-a-dire colineaire a x(t), m(x) est un vecteur tangent a S en x
independant de t(x), et pointant dans la direction de S, alors t(x), m(x) et n(x) forment
un triedre direct.
On peut alors montrer que 13 S
(rotv) n d2S =S
v t dl . (2.35)
Dou linterpretation du champ rotv : son flux a travers S (terme de gauche) definit la circulation
de v le long de S (terme de droite). Cette formule peut setendre au cas de surfaces et bords
un peu moins reguliers, presentant par exemple des aretes vives, a condition de veiller a ne pas
modifier brutalement lorientation de n(x), qui doit toujours pointer dans la meme direction.
12. Les vecteurs ei constituent une base globale fixe, les tenseurs ei ej sont donc independants du point etpeuvent etre sortis de lintegrale.
13. Voir par exemple le chapitre 8 de Pernes (2003), qui utilise cependant des notations differentes ; pour une
approche plus mathematique voir Chatterji (1997) ; enfin lapproche pragmatique dAris (1962) est interessante.
Notez que t dl peut etre note dx = x(t) dt en utilisant un parametrage t 7 x(t) de S.

2.4 Integration des champs de tenseurs 39
n
n
n
n n
n
nn
n
n
Fig. 2.4 Convention dorientation a respecter pour le champ de vecteur normale unitaire sortanten(x) au bord dun ouvert de lespace R3 afin de pouvoir appliquer la formule de la divergence (2.38)ou (2.39).
2.4.3 Formule integrale de la divergence
On designe avec ce terme la formule dite aussi de Stokes-Ostrogradski, et sa generalisation aux
tenseurs dordre quelconque. Ces formules concernent des integrales de volume sur un ouvert borne
, connexe, dont la surface bord (ou frontiere), notee , verifie les hypotheses suivantes : on peut
definir en tout point x de , sauf eventuellement le long de courbes qui sont des aretes vives,
un vecteur normal unitaire n(x) sortant de (i.e. oriente de vers lexterieur de ), et sur la
fonction x 7 n(x) est continue par morceaux. Une situation typique est presentee sur la figure 2.4.La formule integrale de la divergence pour un champ de vecteur regulier 14 v stipule que 15
divv d3x =
v n d2S . (2.36)
Afin dobtenir la formule integrale de la divergence pour un champ de tenseur (regulier)

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