Le calcul tensoriel et di erentiel : outil math ematique ...emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc/polct.pdf · 1.3 Les tenseurs d’ordre 2 comme applications lin eaires ... est

Le calcul tensoriel et differentiel :

outil mathematique

pour la physique des milieux continus

par Emmanuel Plaut a Mines Nancy

Version du 4 janvier 2018 Table des matieres

Introduction 5

1 Algebre tensorielle 9

1.1 Espace - Vecteurs - Bases et reperes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Remarque sur la notation vecteur : fleche vs barre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.2 Convention de sommation sur les indices repetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Ex. 1.1 : Sur la convention de sommation sur les indices repetes . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.3 Produit scalaire - Premiere rencontre avec le point de contraction . . . . . . . . . . . . 11

1.1.4 Formule de changement de base - Notion de representation . . . . . . . . . . . . . . . 11

Ex. 1.2 : Verification de la coherence de la definition du produit scalaire . . . . . . . . . . . . 13

1.1.5 Sur le caractere direct des bases i.e. la notion d’orientation . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.6 Tenseurs d’ordre 0 et 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Definition des tenseurs comme applications lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Les tenseurs d’ordre 2 comme applications lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.1 Representation par une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.2 Formule de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.3 Produit tensoriel de 2 vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.4 Application : ecriture intrinseque d’un tenseur d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Ex. 1.3 : De l’interet de la notation produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.5 Tenseur identite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Les tenseurs d’ordre 2 comme applications bilineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.1 Definition et exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.2 Applications : definition de la transposition, tenseurs (anti)symetriques . . . . . . . . 17

Ex. 1.4 : Transposition d’un produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5 Les tenseurs comme applications multilineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5.1 Definition des tenseurs comme applications multilineaires . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Ex. 1.5 : Application de la definition multilineaire recurrente au cas n = 2 . . . . . . . . . . . 18

1.5.2 Definition generale du produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5.3 Ecriture intrinseque et representation - Base - Changement de base . . . . . . . . . . . 19

2 Table des matieres

Ex. 1.6 : Changement de base pour un tenseur d’ordre 2 application bilineaire . . . . . . . . . 20

1.5.4 Definition generale du produit contracte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Ex. 1.7 : Produit contracte de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Ex. 1.8 : Produit contracte d’un tenseur d’ordre 2 et d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Ex. 1.9 : Produit contracte de deux tenseurs d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Ex. 1.10 : Associativite du produit de contraction dans un cas general . . . . . . . . . . . . . 22

1.5.5 Definition generale du produit doublement contracte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6 Tenseur alterne fondamental et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6.1 Definition du tenseur alterne fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Ex. 1.11 : Utilisation du tenseur alterne fondamental pour calcul d’un determinant . . . . . . 25

1.6.2 Produits mixte et vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6.3 Vecteur dual d’un tenseur d’ordre 2 - Tenseurs antisymetriques . . . . . . . . . . . . . 27

Ex. 1.12 : Formules portant sur le tenseur alterne fondamental et le vecteur dual . . . . . . . 27

Ex. 1.13 : Formule du double produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Ex. 1.14 : Vecteur dual d’un tenseur d’ordre 2 symetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Ex. 1.15 : Tenseur antisymetrique en fonction de son vecteur dual . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.7 Exemples en mecanique des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.8 Notes personnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Analyse tensorielle 31

2.1 Gradient d’un champ de tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.1 Definition intrinseque en tant que differentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.2 Calculs en coordonnees cartesiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Cas du gradient d’un champ de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.1 Decomposition en parties symetrique et antisymetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.2 Signification de la partie symetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.3 Signification de la partie antisymetrique - rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 Divergence d’un champ de tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.1 Definition intrinseque a partir du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36


2.4 Integration des champs de tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.2 Formule integrale du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4.3 Formule integrale de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Ex. 2.1 : Demonstration de la formule de la divergence dans le cas general . . . . . . . . . . . 40

2.4.4 Application : signification physique de l’operateur divergence . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5 Laplacien d’un champ de tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5.1 Definition intrinseque a partir du second gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43


2.6 Exercices visant a etablir un formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Ex. 2.2 : Divergence et rotationnel d’un produit scalaire-vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Ex. 2.3 : Compositions d’operateurs differentiels nulles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Ex. 2.4 : Divergence d’un gradient transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Table des matieres 3

Ex. 2.5 : Divergence et rotationnel d’un produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Ex. 2.6 : Divergence d’un produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Ex. 2.7 : Divergence de divers produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Ex. 2.8 : Formule du double rotationnel et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Ex. 2.9 : Formules de Navier en elasticite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Ex. 2.10 : Reecritures du terme non lineaire de l’equation de Navier-Stokes . . . . . . . . . . 46

Ex. 2.11 : Derivee particulaire de la densite d’energie cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.7 Calculs en coordonnees cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.7.1 Systemes a symetrie cylindrique - Principe de Curie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.7.2 Definition des coordonnees cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.7.3 Expressions du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.7.4 Expression du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.7.5 Expressions de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.7.6 Expressions du laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Ex. 2.12 : Sur le calcul du laplacien d’un champ vectoriel en cylindriques . . . . . . . . . . . . 51

Pb. 2.1 : Aspects mathematiques de l’etude d’un tuyau sous pression . . . . . . . . . . . . . . 52

Pb. 2.2 : Aspects mathematiques de l’etude d’un rheometre de Couette cylindrique . . . . . 53

2.8 Calculs en coordonnees spheriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.8.1 Definition des coordonnees spheriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.8.2 Expressions du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.8.3 Expression du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.8.4 Expressions de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.8.5 Expressions du laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.9 Notes personnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3 Complements : potentiels et rotationnels 59

3.1 Existence de potentiel scalaire : theoreme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2 Existence de potentiels vecteurs pour des champs irrotationnels . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2.1 Rotationnel d’un champ de tenseurs d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2.2 Premier theoreme de Cauchy generalise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2.3 Lemmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2.4 Deuxieme theoreme de Cauchy generalise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3 Existence de potentiel vecteur pour un champ a divergence nulle . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Bibliographie 65

A Normes - Notations de Landau pour la comparaison asymptotique 67

A.1 Sur l’exercice 1.11 : normes & notation de domination O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

A.2 Sur le gradient : normes & notation de negligeabilite o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Ex. A.1 : Etude locale d’un champ de vecteur analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4 Table des matieres

B Elements de correction des exercices et problemes 69

B.1 Corriges du chapitre 1 - Algebre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Ex. : Sur la convention de sommation sur les indices repetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Ex. : Verification de la coherence de la definition du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . 69

Ex. : De l’interet de la notation produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Ex. : Transposition d’un produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Ex. : Application de la definition multilineaire recurrente au cas n = 2 . . . . . . . . . . . . . 70

Ex. : Changement de base pour un tenseur d’ordre 2 application bilineaire . . . . . . . . . . . 71

Ex. : Produit contracte de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Ex. : Produit contracte d’un tenseur d’ordre 2 et d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Ex. : Produit contracte de deux tenseurs d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Ex. : Associativite du produit de contraction dans un cas general . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Ex. : Utilisation du tenseur alterne fondamental pour calcul d’un determinant . . . . . . . . . 72

Ex. : Formules portant sur le tenseur alterne fondamental et le vecteur dual . . . . . . . . . . 72

Ex. : Formule du double produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Ex. : Vecteur dual d’un tenseur d’ordre 2 symetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Ex. : Tenseur antisymetrique en fonction de son vecteur dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

B.2 Corriges du chapitre 2 - Analyse tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Ex. : Demonstration de la formule de la divergence dans le cas general . . . . . . . . . . . . . 73

Ex. : Divergence et rotationnel d’un produit scalaire-vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Ex. : Compositions d’operateurs differentiels nulles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Ex. : Divergence d’un gradient transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Ex. : Divergence et rotationnel d’un produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Ex. : Divergence d’un produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Ex. : Divergence de produits scalaire-vecteur et vecteur-tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Ex. : Formule du double rotationnel et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Ex. : Formules de Navier en elasticite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Ex. : Reecritures du terme non lineaire de l’equation de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . 76

Ex. : Derivee particulaire de la densite d’energie cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Ex. : Sur le calcul du laplacien d’un champ vectoriel en cylindriques . . . . . . . . . . . . . . 76

Pb. : Aspects mathematiques de l’etude d’un tuyau sous pression . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Pb. : Aspects mathematiques de l’etude d’un rheometre de Couette cylindrique . . . . . . . . 77

Introduction

La physique des milieux continus est une branche de la physique, qui s’est developpee au

XIXeme siecle puis a connu des sommets au XXeme siecle, dans laquelle la matiere est consideree

a des echelles suffisamment grandes pour que sa nature discrete, en tant que somme d’electrons,

de protons et neutrons en interactions dans le vide, n’apparaisse pas. Au contraire, la matiere est

consideree comme la reunion de milieux continus fluides ou solides, separes par des interfaces. De

meme, le rayonnement est considere comme consistant en des vibrations continues des champs

electrique et magnetique 1, et non comme des photons discrets. Les effets quantiques sont donc

oublies : la physique des milieux continus releve de la physique classique.

Les grands domaines de la physique des milieux continus sont 2

1. la thermomecanique ;

2. l’electromagnetisme ;

3. la relativite.

De ces domaines seuls les deux premiers relevent des sciences de l’ingenieur 3, et seul le tout premier

est enseigne a Mines Nancy en 1ere annee, dans les modules Mecanique des milieux continus solides

et fluides puis Transformation de la matiere et de l’energie. Tous ces domaines se sont developpes

grace au bon sens physique de certains de nos ancetres, et aussi grace a la mise au point par

ces memes ancetres 4 d’outils mathematiques que l’on pourrait designer comme l’ algebre

vectorielle generalisee 5 et l’ analyse ou calcul differentiel vectoriel generalise 6 ,

mais que l’on appelle plutot calcul tensoriel (et) differentiel ou plus simplement calcul

tensoriel , sous-entendant l’adjectif differentiel ...

1. Le lieu de ces vibrations ou ondes est soit le vide, que l’on peut considerer comme le milieu continu le

plus simple possible, soit la matiere...

2. Les frontieres entre ces domaines sont poreuses. Par exemple la modelisation complete des effets piezoelectriques

ou thermoelectriques est a l’interface entre les domaines 1 et 2. De meme en relativite (domaine 3) on peut se poser

la question des lois de transformation des champs electromagnetiques (domaine 2) par changement entre deux

referentiels en translation tres rapide...

3. Quoiqu’en spatial des effets relativistes soient a prendre en compte...

4. Par exemple, Cauchy, professeur d’analyse (donc de mathematiques) a l’ecole polytechnique au debut du

XIXeme siecle... et inventeur du tenseur des contraintes de Cauchy , objet incontournable de la mecanique des

milieux continus...

5. Le mot algebre vient de l’arabe al-jabr signifiant reconstruction ou connexion . L’algebre

etudie les relations ( connexions ) entre nombres, vecteurs, matrices, etc..., via differentes operations ,

somme, produits, etc...

6. Le mot analyse vient du grec analuein signifiant delier . L’analyse decompose et recom-

pose grace au calcul differentiel et integral ou calcul infinitesimal . Ainsi la variation de temperature

entre les deux extremites d’un segment est analysee comme T (b)− T (a) =∫ badT =

∫ baT ′(x) dx... La meme

analyse doit pouvoir etre faite pour un champ de vecteurs, par exemple le champ electrique, ce qui introduit la

question de la derivee d’un champ de vecteurs, etc...

6 Introduction

En puriste, on distinguerait

• le calcul tensoriel (forcement algebrique mais non differentiel), dans lequel les tenseurs

sont des objets algebriques, cf. le chapitre 1 ;

• du calcul tensoriel (toujours algebrique) differentiel, cf. les chapitres 2 et 3, dans le-

quel ces objets se mettre a dependre de la position dans l’espace physique - ce sont des

champs - et cette dependance est analysee ...

Dans les deux cas, des liens forts avec la geometrie existent : cf. par exemple toutes les applications

geometriques de la section 1.6, ou encore l’etude du gradient d’un champ de vecteur de la section 2.2.

Le lecteur averti comprendra vite que la mecanique des milieux deformables dans notre

espace tridimensionnel, domaine d’application qui nous motive le plus, ne peut se passer de calcul

tensoriel...

Historiquement, pour construire tout l’edifice du calcul tensoriel, il y a eu quelques etapes. L’une des

plus importantes correspond a l’article remarquable de Ricci & Levi-Civita (1900). On recommande

aux lecteurs les plus interesses de parcourir cet article, ecrit en bon francais par des italiens dans

une revue allemande... Dans son titre, Methodes de calcul differentiel absolu et leurs applications,

on dirait plutot maintenant intrinseque qu’ absolu ; nous verrons bien vite, des la

section 1.1.4, revenir cet important mot cle...

Depuis quelques decennies, le fait que la physique ait besoin, pour se developper, d’outils

mathematiques, a parfois ete minimise, voire nie, par une certaine partie, assez visible , de la

communaute physicienne francaise. Cette attitude est une reaction, initialement saine, aux exces

de mathematisation dans l’enseignement des sciences, par exemple celui de la mecanique, dans les

annees 1960-1970 et plus tard. Il nous semble cependant que cette reaction a souvent ete trop loin,

pour mener dans des cas extremes a des affirmations deraisonnables comme on peut tout faire

avec la regle de trois ... Mathematiser et formaliser a outrance sont sans doute, pour la physique,

aussi nuisibles que de cacher tous les calculs sous des raisonnements soi-disant intuitifs , mais

en fait impossible a developper sans connaıtre les fameux calculs caches . Un certain equilibre

doit etre trouve entre mathematiques et physique, la deuxieme n’existant pas sans les premiers,

puisque modeliser c’est decrire des phenomenes en langue mathematique, comme l’ont dit ces deux

grands physiciens :

La philosophie est ecrite dans ce vaste livre qui constamment se tient ouvert devant nos yeux

(je veux dire l’Univers), et on ne peut le comprendre si d’abord on n’apprend pas a connaıtre

la langue et les caracteres dans lesquels il est ecrit.

Or il est ecrit en langue mathematique, (...)

sans laquelle il est humainement impossible d’en comprendre un seul mot,

sans laquelle on erre vraiment dans un labyrinthe obscur.

Galilee

‘Our experience hitherto justifies us in believing that nature

is the realization of the simplest conceivable mathematical ideas.

I am convinced that we can discover by means of purely mathematical constructions

the concepts and the laws connecting them with each other,

which furnish the key to the understanding of natural phenomena...

Experience may suggest the appropriate mathematical concepts,

but they most certainly cannot be deduced from it.

Introduction 7

Experience remains, of course,

the sole criterion of the physical utility of a mathematical construction.

But the creative principle resides in mathematics. In a certain sense, therefore,

I hold it true that pure thought can grasp reality, as the ancients dreamed.’

Einstein 7

Notre objet est donc une introduction au calcul tensoriel, dans une optique evidemment cal-

culatoire , et avec une approche de mecanicien theoricien assumee, meme si elle est

imposee par le cours volume horaire alloue. L’eleve interesse par le calcul differentiel et integral

mathematiquement rigoureux pourra completer les bases vues en classes preparatoires en consul-

tant Chatterji (1997) 8. Tous liront, au moment ou ils rencontreront ces symboles, au niveau de

l’exercice 1.11 pour O, de la section 2.1 pour o, les annexes A.1 et A.2. Elles visent a definir ces

notations ainsi que le concept de norme dans notre contexte...

Par souci de simplicite, on se focalise sur les tenseurs euclidiens. L’existence du produit sca-

laire permet d’identifier l’espace vectoriel de travail R3 (ou R2) a son dual. On commence dans

les chapitres 1 et 2 par les tenseurs representes sur des bases orthonormees (directes) et en

coordonnees cartesiennes 9. Cependant, on introduit les champs de tenseurs representes en co-

ordonnees curvilignes a la fin du chapitre 2. Le chapitre 3 donne des elements sur les problemes

de potentiel . Par realisme, on le declare hors programme ; cependant les eleves les plus

interesses voudront bien le lire... et ceux qui poursuivront plus tard en mecanique verront bien son

importance...

La theorie generale des tenseurs en base quelconque et en distinguant l’espace de son dual 10 est

introduite par exemple dans les annexes I de Salencon (1996) ou A de Forest (2009), et presentee

de facon plus exhaustive dans Pernes (2003). Une presentation plus mathematique de cette theorie,

qui n’oublie pas cependant ses applications, est donnee dans Lichnerowicz (1946); Appel (2005);

Garrigues (2007). Deux autres references interessantes, mais moins exhaustives, sont les ouvrages

de Germain (1986) et Coirier (2001). Enfin, une reference anglo-saxonne pertinente est le traite de

Aris (1962).

L’essentiel de votre apprentissage du calcul tensoriel se fera par du travail personnel et lors

de 2 seances de cours-TD pendant la passerelle scientifique de rentree. Vous le completerez

ensuite, au fil des seances du module de mecanique des milieux continus, en utilisant le calcul

tensoriel a de nombreuses occasions. Des la reception de ce polycopie, un travail personnel est

indispensable, selon ce qui est indique sur la page web dynamique du module sus-nomme,

auquel ce mini-module de passerelle scientifique est asservi,

http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc .

Je vous invite a visiter cette page regulierement. Elle contient une version PDF de ce document,

dans laquelle figure, en plus de l’annexe A citee plus haut, l’annexe B contenant des elements de

correction des exercices et problemes.

7. Sur cette citation, voir aussi la figure culturelle 2.7 page 45, et sa legende.

8. En notant que Chatterji (1997) emploie le terme derivee au lieu de differentielle .

9. Dans ce cas on parle de tenseurs cartesiens .

10. Ce qui permet d’introduire les notions de covariance et contravariance.

http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc

8 Introduction

Je remercie les collegues qui ont permis l’introduction de ce cours a Mines Nancy, notamment

Michel Jauzein, puis, son maintien, notamment Judith Sausse. Je remercie aussi les collegues

qui m’ont inspire ou corrige, plus particulierement Didier Bernardin, chercheur au laboratoire

d’energetique et de mecanique theorique et appliquee (Lemta 11), Rainier Hreiz et Arthur Pascot.

Je remercie enfin Rachid Rahouadj pour le dessin de la figure 1.3.

Nancy, le 4 janvier 2018.

Emmanuel Plaut,

chercheur en mecanique des fluides au Lemta, professeur a l’Universite de Lorraine.

11. Unite mixte de recherche CNRS - UL.

Chapitre 1

Algebre tensorielle

L’introduction aux tenseurs en tant qu’objets algebriques est faite progressivement, en profi-

tant du fait que l’algebre tensorielle est en premier lieu une reformulation de notions bien connues

comme celles de vecteur 1, d’application lineaire ou multi-lineaire 2.

1.1 Espace - Vecteurs - Bases et reperes

L’espace physique dans lequel evoluent les objets que le theoricien des milieux continus considere

est l’espace affine euclidien oriente 3 R3. Dans cet espace, l’observateur repute immo-

bile qui mesure les mouvements est appele referentiel et note R - une definition precise

de la notion de referentiel est donnee dans l’annexe A du cours de mecanique Plaut (2017). Cet

observateur-referentiel utilise en general un repere orthonorme direct R pour reperer les posi-

tions d’objets materiels. Ce repere orthonorme, dit aussi repere cartesien , est defini par la

donnee d’un point origine O immobile (pour R) et de vecteurs fixes (toujours pour R) e1, e2, e3

formant une base orthonormee directe que l’on note ei. Un vecteur quelconque x est repere

par ses composantes x1, x2, x3 de sorte que

x =3∑i=1

xiei . (1.1)

Un point quelconque M est repere de la meme maniere par ses coordonnees cartesiennes qui

sont les composantes x1, x2, x3 du vecteur position OM, telles que

OM =

3∑i=1

xiei . (1.2)

On note parfois le repere sous la forme R = Ox1x2x3.

1. D’ailleurs sur le plan etymologique le terme tenseur vient du latin tensum qui veut dire tendu ,

ce qui pourrait designer un bipoint−−→AB c’est-a-dire l’archetype d’un vecteur.

2. En deux mots un tenseur peut etre vu soit comme l’une, soit comme l’autre, ces deux points de vue differents

ayant chacun leur propre interet. Attention aux faits que la reformulation dont il s’agit n’est pas completement

triviale (ne sous-estimez pas la complexite de l’algebre tensorielle, il vous faudra fournir un effort pour la maıtriser),

et que l’analyse tensorielle va largement au dela d’une simple reformulation de l’analyse vectorielle.

3. On reviendra sur le probleme de l’orientation de l’espace c’est-a-dire sur la notion de bases directes section 1.1.5.

10 Chapitre 1 Algebre tensorielle

1.1.1 Remarque sur la notation vecteur : fleche vs barre

Vous aurez note que la traditionnelle fleche utilisee en classes preparatoires pour designer un

vecteur est devenue une simple barre dans ce document,

−−−→OM OM . (1.3)

L’objectif de ce changement de notation est essentiellement de reduire l’encombrement 4. En

ecriture manuscrite on reviendra en general aux notations avec fleche, faisant le chemin inverse de

celui presente formule (1.3).

1.1.2 Convention de sommation sur les indices repetes

Une ecriture telle que (1.2) est tres lourde. Nous savons bien que l’espace physique est de

dimension 3, donc qu’un indice de coordonnees varie de 1 a 3. Pour alleger les notations nous

adoptons dorenavant la convention de sommation sur les indices repetes dite d’Einstein,

qui stipule qu’une formule ecrite avec des indices repetes implique une somme sur ces indices,

3∑i=1

xiei xiei . (1.4)

On dit qu’un indice repete est un indice muet : de fait on peut lui dire de changer de nom

sans dommage (comme il est muet il ne pourra pas protester !), par exemple on peut decreter que

l’indice i dans (1.4) s’appelle en fait k,

xiei = xkek . (1.5)

Pour eviter toute ambiguite facheuse, il est interdit d’employer plus de deux fois le meme indice

dans le meme produit. Ainsi dans un produit de facteurs, soit un indice apparait deux fois, auquel

cas il est muet et cache une sommation sur 3 valeurs 5, soit il apparait une seule fois, auquel cas on

parle d’ indice explicite . De facon exceptionnelle on peut avoir besoin d’ecrire une formule

avec deux fois le meme indice sans qu’il y ait sommation sur celui-ci ; alors on le souligne une fois

sur deux.

Exercice 1.1 Sur la convention de sommation sur les indices repetes

1 Recrivez l’expression

E =3∑i=1

ai

3∑k=1

bikckj

en utilisant la convention de sommation d’Einstein. De quel(s) indice(s) depend E ?

2 Designez dans la formule (1.16) le ou les indices muet(s) et explicite(s). Recrivez cette suite

d’egalites sans la convention de sommation d’Einstein, i.e. en explicitant les sommes cachees.

4. Dans certains ouvrages une autre convention est adoptee,−−−→OM OM.

5. Il peut arriver que l’on etudie des problemes plans pour lesquels l’espace de travail peut etre considere de

dimension 2 : dans la troisieme direction on a invariance donc celle-ci ne joue aucun role . Dans ce cas un indice

repete cache une sommation sur 2 valeurs seulement, correspondant aux 2 directions dans le plan de travail. De

maniere generale dans la quasi totalite de ce document (a l’exclusion de la section 1.6) on peut remplacer R3 par

R2 sans dommage, a condition bien sur d’adapter comme on vient de l’expliquer la convention de sommation sur les

indices repetes.

1.1 Espace - Vecteurs - Bases et reperes 11

1.1.3 Produit scalaire - Premiere rencontre avec le point de contraction

Pour le physicien, capable de mesurer des longueurs et des angles, l’existence d’un produit

scalaire euclidien universel ne fait pas de doute ; il pourrait le definir par la formule

x · y = ||x|| ||y|| cos(x,y) . (1.6)

Le mathematicien pose plutot, dans sa base orthonormee ei, que

x · y = xiyi . (1.7)

Le point dans cette formule est le point de contraction , qui constitue une operation de

calcul tensoriel que l’on va generaliser. Par definition meme du caractere orthonorme de la base

de travail, on a

∀i,j, ei · ej = δij =

1 si i = j

0 sinon. (1.8)

Les δij sont les symboles δ de Kronecker 6.

1.1.4 Formule de changement de base - Notion de representation

Le choix de la base orthonormee ei pose au tout debut comprend une part d’arbitraire.

D’un point de vue scientifique, il est donc important de savoir reconcilier les observations faites

dans cette base avec celles que l’on pourrait faire dans une autre base orthonormee e′i (tout en

restant dans le meme referentiel). Remarquant que, du fait de la propriete (1.8), on peut obtenir

les composantes d’un vecteur x dans ces deux bases par produit scalaire avec les vecteurs de base,

xi = ei · x et x′i = e′i · x , (1.9)

on obtient

xi = ei · (x′je′j) = ei · e′jx′j ⇐⇒ [x] = [P ] · [x′] (1.10)

ou [x] designe le vecteur colonne des composantes de x dans la base ei, [x′] le vecteur colonne

des composantes de x dans la base e′i, [P ] la matrice de passage de composantes

[P ]ij = Pij = ei · e′j . (1.11)

Le point de contraction dans (1.10) designe le produit matrice-vecteur classique, i.e.

xi = Pijx′j . (1.12)

On a

e′j = Pijei , (1.13)

i.e. la matrice [P ] est constituee de colonnes qui sont les composantes des vecteurs e′j dans la base

ei. Pour cette raison on dit aussi que c’est la matrice de presentation des vecteurs e′j dans

la base des ei. Cette matrice [P ] est orthogonale, i.e. sa matrice transposee definie par

[P T ]ij = Pji (1.14)

6. Du nom du mathematicien allemand du XIXeme siecle qui les inventa.


est son inverse :

[P T ] = [P ]−1 ⇐⇒ [P T ] · [P ] = [P ] · [P T ] = [I] matrice identite. (1.15)

Ceci se verifie en partant par exemple de la propriete d’orthonormalite de la base des e′j ,

δij = e′i · e′j = e′i · (Pkjek) = (ek · e′i)Pkj = PkiPkj = [P T ]ikPkj . (1.16)

Ainsi [P T ] · [P ] = [I] ; d’apres la theorie des matrices, on a en consequence [P ] · [P T ] = [I] i.e.

δij = PikPjk . (1.17)

De facon geometrique il importe d’anticiper sur la section suivante en remarquant que l’application

lineaire L qui envoie e1, e2, e3 sur e′1, e′2, e′3 envoie donc

x = xjej sur y = L(x) = xjL(ej) = xje′j = Pijxjei . (1.18)

La matrice representative de cette application sur la base e1, e2, e3 est donc la matrice de passage

[P ] elle-meme 7. Ainsi le fait que [P ] soit orthogonale provient du fait que la transformation L

est orthogonale.

Premiere remarque importante : sur une question de convention

De nombreux auteurs introduisent, plutot que la matrice de passage [P ], une matrice de

changement de base

[Q] = [P T ] . (1.19)

Avec cette definition on remplace par exemple la formule (1.13) par

e′j = Qjiei , (1.20)

ce qui presente l’avantage de respecter un ordre des indices tres souvent rencontre en calcul

tensoriel : indice(s) explicite(s) a gauche, muets a droite. En revanche on perd l’interpretation

geometrique simple que l’on vient de mentionner.

Deuxieme remarque importante : sur l’etre (intrinseque) et le paraıtre

Il faut insister sur le fait que l’objet essentiel ou intrinseque est le vecteur lui-meme, par

exemple un bipoint x = OM ou AB, et qu’il n’est que represente par le vecteur colonne de

ses composantes

[x] = Vect(x, ei) (1.21)

qui depend du choix de la base 8 en vertu de (1.10). Il convient alors de s’assurer que des objets

comme

x · y = [x] · [y]

sont bien intrinseques , c’est-a-dire ne dependent pas du choix de la base.

7. En effet, toujours en anticipant sur la section 1.2, on a bien

[y] = Vect(L(x), ei

)= [P ] · [x] = [Pijxj ] .

8. D’ou la notation avec deux arguments dans la fonction Vect.

1.2 Definition des tenseurs comme applications lineaires 13

Exercice 1.2 Verification de la coherence de la definition du produit scalaire

En utilisant la convention de sommation sur les indices repetes et la formule de changement de

base (1.12), verifiez que la definition (1.7) du produit scalaire conduit a un objet intrinseque, i.e.

que

xiyi = x′iy′i (1.22)

quand on change de base.

1.1.5 Sur le caractere direct des bases i.e. la notion d’orientation

Une notion importante, qu’il faut poser des maintenant, est celle de l’ orientation directe des

bases. En physicien on suppose cette notion effectivement universelle et definie par la regle de la

main droite : une base ei orthonormee est dite directe si, lorsque j’oriente mon pouce droit

dans la direction de e1, mon index droit dans la direction de e2, alors mon majeur droit peut etre

naturellement oriente (sans que j’ai besoin de le tordre !) dans la direction de e3. On constate alors

que n’importe quelle rotation d’une base orthonormee directe definit une nouvelle base ortho-

normee directe, ce que le mathematicien formalise en remarquant que deux bases orthonormees

directes doivent se deduire l’une de l’autre par une transformation orthogonale directe. Nous

reviendrons sur ce point section 1.6.

1.1.6 Tenseurs d’ordre 0 et 1

Du fait de son caractere intrinseque prouve par (1.22), le nombre x · y est un reel qui ne

depend que de x et y et pas du choix de base : c’est un exemple typique de quantite scalaire ou

tenseur d’ordre 0 . Par contre un vecteur est appele tenseur d’ordre 1 . Des exemples

physiques de tenseurs d’ordre 0 et 1 sont la temperature T et un vecteur position OM.

1.2 Definition des tenseurs comme applications lineaires

Partant des deux definitions precedentes, on definit les tenseurs par recurrence de la facon

suivante :

un tenseur d’ordre n ≥ 1, note Tn, est une application lineaire

qui a tout vecteur fait correspondre un tenseur d’ordre n− 1 :

Tn : x 7−→ Tn(x) note aussi Tn · x. (1.23)

La notation avec le point correspond a une operation de contraction sur laquelle on reviendra

plus tard.

Cette definition s’applique bien des que n = 1. En effet un vecteur a peut etre vu 9 comme

l’application lineaire qui a tout vecteur x fait correspondre le tenseur d’ordre 0 ou scalaire a · x :

a : x 7−→ a(x) = a · x . (1.24)

9. Le lecteur averti remarque que l’on confond l’espace R3 et son dual. Un point de vue plus fin, qui conduit aux

notions de covariance et contravariance, est propose par la theorie generale des tenseurs presentee dans les references

bibliographiques citees en introduction.


1.3 Les tenseurs d’ordre 2 comme applications lineaires

D’apres la definition (1.23), un tenseur d’ordre 2 est une application lineaire qui a tout vecteur

fait correspondre un tenseur d’ordre 1, c’est-a-dire un vecteur. Il s’agit donc d’un endomorphisme

de l’espace R3. Pour etre coherent sur le plan des notations on note un tel tenseur non pas L2 mais

L :

L : R3 −→ R3

x 7−→ L(x) = L · x. (1.25)

En effet un tenseur d’ordre 0 (un scalaire) etant note sans barre superieure, et un tenseur d’ordre 1

(un vecteur) avec une barre superieure, un tenseur d’ordre 2 merite bien deux barres superieures 10 !

1.3.1 Representation par une matrice

On sait qu’un tel endomorphisme est represente sur une base orthonormee ei par une matrice

[L] = Mat(L, ei

)(1.26)

de composantes

Lij = ei ·(L · ej

), (1.27)

de sorte que, si

[x] = Vect(x, ei) , (1.28)

on a 11

Vect(L · x, ei

)= [L] · [x] = [Lijxj ] . (1.29)

1.3.2 Formule de changement de base

Reprenant les notations de la section 1.1.4, on se pose la question de la matrice representant L

dans la base e′i. Posant, pour x quelconque, y = L · x, on a, d’apres les formules (1.10), (1.15)

et (1.29),

[y′] = [P T ] · [y] = [P T ] · [L] · [x] = [P T ] · [L] · [P ] · [x′] ,

d’ou

[L′] = Mat(L, e′i

)= [P T ] · [L] · [P ] , (1.30)

soit en composantes 12

L′ij = PkiLkmPmj . (1.31)

10. Cette notation avec un empilement de barres ne pourra cependant pas, pour des raisons d’encombrement, etre

utilise pour des tenseurs d’ordre eleve, d’ou la notation generale Tn si n & 4. Mentionnons aussi qu’en ecriture

manuscrite on ecrira parfois=⇒L au lieu de L, de la meme facon que l’on ecrira

→x au lieu de x.

11. Dans (1.29) le point entre [L] et [x] designe le produit matrice-vecteur classique.

12. En lien avec ce qui a ete dit au niveau de l’equation (1.20) : si on utilise la matrice de changement de base

[Q] = [PT ] au lieu de la matrice de passage [P ], on obtient la formule

L′ij = QikQjmLkm

sans doute plus simple en ce qui concerne l’ordonnancement des indices.

1.3 Les tenseurs d’ordre 2 comme applications lineaires 15

1.3.3 Produit tensoriel de 2 vecteurs

On definit le produit tensoriel de 2 vecteurs comme le tenseur d’ordre 2

a⊗ b : R3 −→ R3

x 7−→ (a⊗ b) · x = a (b · x). (1.32)

Dans cette derniere equation a (b · x) signifie le produit du vecteur a par le scalaire b · x ; on

denote le produit entre un scalaire et un vecteur (ou un tenseur) par un simple espace. On montre

que

Mat(a⊗ b, ei) = [aibj ] , (1.33)

et que l’application qui a a et b associe a⊗ b est bilineaire 13.

1.3.4 Application : ecriture intrinseque d’un tenseur d’ordre 2

L’un des interets de l’operation produit tensoriel est de permettre une ecriture intrinseque des

tenseurs d’ordre 2, sous la forme

L = Lijei ⊗ ej . (1.34)

Cette ecriture est intrinseque au sens ou elle fait apparaıtre les etres essentiels que sont les vec-

teurs. Elle montre que l’ensemble des tenseurs ei⊗ej est une base de l’espace vectoriel des tenseurs

d’ordre 2. Elle permet d’eviter tout risque de melanges entre bases extremement dangereux

lors de l’etude de problemes ou plusieurs bases rentrent en jeu, puisque les vecteurs sont ecrits

explicitement 14. Cette ecriture intrinseque peut justement s’utiliser pour faire des changements de

base de facon tres efficace, comme l’illustre l’exercice suivant.

Exercice 1.3 De l’interet de la notation produit tensoriel

Dans le plan muni d’un repere R = Oxy, et du systeme des coordonnees polaires (r,θ) associe,

on note ex et ey les vecteurs de la base orthonormee du repere, er et eθ les vecteurs de la base locale

correspondant a un point M de coordonnees polaires (r,θ) quelconques. On considere le tenseur

L = er ⊗ er .

1 Donnez une interpretation geometrique de L.

2 Explicitez Mat(L, er,eθ

)puis, en utilisant la formule de changement de base (1.30), calculez

Mat(L, ex,ey

).

3 Exprimez L intrinsequement dans la base ex,ey en injectant dans L = er ⊗ er l’expression

de er en fonction de ex et ey, puis en developpant la formule obtenue grace a la bilinearite de

l’operation produit tensoriel.

4 Comparez les resultats, l’efficacite et le cout calculatoire de ces deux methodes.

13. Il s’agit donc bien d’un produit au bon sens du terme.

14. En travaillant avec des matrices et des vecteurs colonnes on a vite fait de faire des calculs insenses, consistant

par exemple a calculer L·x en multipliant la matrice representant L dans une base par le vecteur colonne representant

x dans une autre base !


1.3.5 Tenseur identite

Une application immediate des formules (1.27) et (1.34) au tenseur identite

1 : x 7−→ x (1.35)

donne, comme sa matrice representative a pour elements Iij = δij , que

1 = ei ⊗ ei . (1.36)

1.4 Les tenseurs d’ordre 2 comme applications bilineaires

1.4.1 Definition et exemple

Un point de vue dual de celui de la definition (1.23) consiste a voir un tenseur d’ordre 2

L comme l’application bilineaire 15

L : R3 × R3 −→ R(x,y) 7−→ L(x,y) = x · L · y = x ·

(L · y

) . (1.37)

Dans cette equation les deux premieres ecritures sont des notations equivalentes pour le meme

objet 16, tandis que la troisieme fournit une definition calculatoire de cet objet : une fois qu’une

base est choisie on a

L(x,y) = x · L · y = x ·(L · y

)= xiLijyj . (1.38)

Une schematisation de cette formule que l’on peut appeler regle du sandwich est presentee

sur la figure 1.1. Un cas particulier remarquable de cette formule s’obtient en utilisant pour x et

y des vecteurs de base ; on en deduit

L(ei,ej) = Lij . (1.39)

Reciproquement, si on connait l’application bilineaire (x,y) 7−→ x·L·y, on peut definir l’application

lineaire y 7−→ L · y en stipulant que ce dernier vecteur est l’unique vecteur v tel que

∀x, x · v = x · L · y .

On peut se convaincre que, avec ce point de vue,

a⊗ b : R3 × R3 −→ R(x,y) 7−→ (a · x)(b · y)

. (1.40)

Ce point de vue sera tres utilise lorsque l’on etudiera les deformations de milieux materiels. On

va maintenant exploiter ce point de vue pour (re)definir la notion de transposition, avant de le

generaliser au cas de tenseurs d’ordre quelconque.

15. Ou forme bilineaire, puisqu’elle est a valeurs reelles. La forme quadratique associee s’obtient en considerant

le cas y = x.

16. La valeur de la fonction L appliquee au couple de variables (x,y) !

1.4 Les tenseurs d’ordre 2 comme applications bilineaires 17

Sandwich commun : Sandwich tensoriel :

Fig. 1.1 – Illustration de la formule (1.37) pour x · L · y, dite regle du sandwich . L’endomorphisme

L se saisissant des vecteurs x et y forme ainsi un nouvel objet scalaire.

1.4.2 Applications : definition de la transposition, tenseurs (anti)symetriques

Le point de vue (1.37) permet de definir, etant donne un tenseur quelconque L, le tenseur

transpose LT par

LT : R3 × R3 −→ R(x,y) 7−→ LT (x,y) = L(y,x)

. (1.41)

En vertu de (1.37) et (1.38) il vient que, si l’on note (M) la matrice representant LT sur une base,

∀x,y,(LT · y

)· x = xiMijyj = yiLijxj = y ·

(L · x

), (1.42)

ou encore, en echangeant les roles de i et j dans l’expression ou apparaıt [L],

∀x,y, xiMijyj = yjLjixi = xiLjiyj .

On en deduit que la matrice [M ] representant LT n’est autre que la transposee de la matrice [L]

representant L.

On definit les tenseurs symetriques comme ceux qui sont egaux a leur tenseur transpose,

S symetrique ⇐⇒ S = ST , (1.43)

et les tenseurs antisymetriques comme ceux qui sont opposes a leur tenseur transpose,

A antisymetrique ⇐⇒ A = −AT . (1.44)

Exercice 1.4 Transposition d’un produit tensoriel

Montrez de deux manieres differentes, l’une utilisant une representation en base orthonormee,

l’autre intrinseque, que

(a⊗ b)T = b⊗ a . (1.45)


1.5 Les tenseurs comme applications multilineaires

1.5.1 Definition des tenseurs comme applications multilineaires

Nous allons voir qu’une facon equivalente a (1.23) de definir les tenseurs est de poser qu’un

tenseur Tn d’ordre n ≥ 1 est une application n-lineaire

Tn : R3 × · · · × R3 −→ R(x1, · · · , xn) 7−→ Tn(x1, · · · , xn)

. (1.46)

Par n-lineaire on signifie que Tn est lineaire par rapport a chacun de ses arguments. Comme

elle est a valeurs scalaires, on peut aussi la designer comme une forme multilineaire . Pour

ce qui est des tenseurs d’ordre 1 et 2 ce point de vue correspond a celui des sections 1.2 et 1.4.1.

En raisonnant par recurrence, supposons que l’on a ete capable de faire le lien entre les definitions

(1.23) et (1.46) pour les tenseurs d’ordre 1 a n − 1 ≥ 1. Considerons maintenant un tenseur Tn

d’ordre n ≥ 2 defini par (1.23). On peut definir Tn(x1, · · · ,xn) en remarquant que Tn · xn est un

tenseur d’ordre n− 1, donc que l’on sait definir

(Tn · xn)(x1, · · · , xn−1) .

On pose tout simplement

Tn(x1, · · · , xn) = (Tn · xn)(x1, · · · , xn−1) , (1.47)

qui est bien un nombre reel dependant lineairement de chaque variable x1, · · · ,xn.

Exercice 1.5 Application de la definition multilineaire recurrente au cas n = 2

Montrez que si n = 2 la definition par recurrence (1.47) est equivalente a celle posee en (1.37).

Reciproquement, soit Tn donne comme une application n-lineaire. En inversant la formule

(1.47), on peut definir Tn · x comme l’unique tenseur L d’ordre n− 1 verifiant

∀ x1, · · · , xn−1, Tn(x1, · · · , xn−1, x) = L(x1, · · · , xn−1) . (1.48)

Ce tenseur L depend bien lineairement de x.

1.5.2 Definition generale du produit tensoriel

L’un des interets de la definition (1.46) est de permettre de donner une definition simple du

produit tensoriel de n vecteurs a1, · · · ,an, en posant que c’est le tenseur d’ordre n

a1 ⊗ · · · ⊗ an : R3 × · · · × R3 −→ R(x1, · · · , xn) 7−→ (a1 ⊗ · · · ⊗ an)(x1, · · · ,xn) = (a1 · x1) · · · (an · xn)

.

(1.49)

Ceci generalise bien la formule (1.40) dans le cas du produit tensoriel de 2 vecteurs.

1.5 Les tenseurs comme applications multilineaires 19

Fig. 1.2 – Representation schematique de nos amis les tenseurs vus comme des applications multi-lineaires.

Les nombres de bras sont les nombres de vecteurs que chaque tenseur peut attraper en vertu de la

definition (1.46), ou encore le nombre d’indices reperant les composantes de chaque tenseur sur une base

donnee en vertu de (1.55). Au dessous de chaque top-modele figure l’ordre de tensorialite correspondant.

1.5.3 Ecriture intrinseque et representation - Base - Changement de base

La definition (1.46) et la notation precedente permettent de traiter aisement le probleme de

l’ecriture et de la representation des tenseurs. Interessons-nous par exemple au cas d’un tenseur

T3 d’ordre 3, que l’on notera parfois T. Par trilinearite, si ei est une base donnee dans laquelle

x, y et z ont des composantes xi, yj et zk, on a

T3(x, y, z) = T3(xiei, yjej , zkek)

= xiyjzkT3(ei, ej , ek)

T3(x, y, z) = Tijkxiyjzk avec Tijk = T3(ei, ej , ek) . (1.50)

La notion de produit tensoriel telle qu’elle vient d’etre definie permet en consequence d’ecrire que

T3 = Tijkei ⊗ ej ⊗ ek , (1.51)

ce qui generalise au cas des tenseurs d’ordre 3 la formule (1.34) pour les tenseurs d’ordre 2.

Les nombres Tijk representent le tenseur T3 dans la base ei. Ce sont les composantes de

T3 dans cette base. Ils dependent du choix de cette base. Les formules de changement de base

s’etablissent comme suit : si e′i est une autre base, caracterisee comme dans la section 1.1.4 par

sa matrice de presentation [P ] d’elements (1.11), on a

T ′ijk = T3(e′i, e′j , e′k) = T3(Pliel, Pmjem, Pnken) (1.52)

T ′ijk = PliPmjPnkTlmn . (1.53)


Exercice 1.6 Changement de base pour un tenseur d’ordre 2 application bilineaire

Etablissez une formule de changement de base equivalente a (1.53) mais dans le cas ou l’on

etudie la representation d’un tenseur T d’ordre 2, vu comme une application bilineaire. Verifiez

que cette formule est equivalente a la formule (1.31).

De fait les formules (1.50), (1.51) et (1.53) se generalisent immediatement a un tenseur Tn

d’ordre quelconque n, en ecrivant n indices, vecteurs de base et coefficients P.., selon 17

Ti1i2···in = T(ei1 , ei2 , · · · , ein) (1.54)

T = Ti1i2···inei1 ⊗ ei2 ⊗ · · · ⊗ ein (1.55)

T ′i1i2···in = Pj1i1Pj2i2 · · ·PjninTj1j2···jn . (1.56)

Revenons une derniere fois sur la remarque faite au niveau de l’equation (1.20) : si on utilise la

matrice de changement de base [Q] = [P T ] au lieu de la matrice de passage [P ], on obtient la

formule

T ′i1i2···in = Qi1j1Qi2j2 · · ·QinjnTj1j2···jn (1.57)

sans doute plus simple en ce qui concerne l’ordonnancement des indices. Pour le cas de tenseurs

d’ordre 2 les formules equivalentes a (1.54), (1.55) et (1.56) sont (1.39), (1.34) et (1.31). Ceci nous

amene enfin a enoncer qu’un tenseur d’ordre n est un etre represente sur une base par un

tableau de nombres - qui sont ses composantes - a n indices verifiant les regles de

transformation par changement de base (1.56). Ce point de vue est parfois adopte pour

introduire les tenseurs. Il est repris sur les figures 1.2 et 1.3.

Les formules (1.54) et (1.55) prouvent que les tenseurs ei1 ⊗ ei2 ⊗ · · · ⊗ ein forment une base de

l’espace des tenseurs d’ordre n. Cet espace, parfois note Tn , est ainsi un espace vectoriel

de dimension 3n... dans le cas de tenseurs agissant sur des vecteurs de R3 considere ici 18, cf. la

definition (1.46).

1.5.4 Definition generale du produit contracte

Soient An et Bm des tenseurs d’ordre n ≥ 1 et m ≥ 1. Leur produit contracte est le tenseur

Tp = An ·Bm

d’ordre p = n− 1 +m− 1 = n+m− 2 defini par 19

Tp(x1, · · · , xn−1, y2, · · · , ym) = A(x1, · · · , xn−1, ei) B(ei, y2, · · · , ym) , (1.58)

17. Dans ce qui suit on omet de rappeler l’exposant n, afin d’eviter toute confusion au niveau de la convention de

sommation d’Einstein.

18. Dans le cas de tenseurs agissant sur des vecteurs de R2, au sens de la note de bas de page numero 5 sur les

problemes plans , la dimension de Tn est bien sur 2n.

19. Dans ce qui suit on omet de rappeler les exposants n et m, afin de simplifier les notations et surtout d’eviter

toute confusion au niveau de la convention de sommation d’Einstein.


Fig. 1.3 – Representation schematique des tenseurs, cette fois-ci par un veritable artiste...

ou l’indice i repete cache une sommation. Il importe de verifier que ce tenseur est bien un objet

intrinseque qui ne depend pas du choix de la base ei utilisee. Pour cela considerons une deuxieme

base e′i ; on a, en utilisant les notations de la section 1.1.4,

A(x1, · · · , xn−1, e′i) B(e′i, y2, · · · , ym)

= A(x1, · · · , xn−1, Pjiej) B(Pkiek, y2, · · · , ym)

= PjiPki A(x1, · · · , xn−1, ej) B(ek, y2, · · · , ym)

= δjk A(x1, · · · , xn−1, ej) B(ek, y2, · · · , ym)

en vertu de la formule (1.17). Ainsi

A(x1, · · · , xn−1, e′i) B(e′i, y2, · · · , ym) = A(x1, · · · , xn−1, ej) B(ej , y2, · · · , ym)

qui montre le caractere tensoriel de la definition (1.58).

Exercice 1.7 Produit contracte de deux vecteurs

Verifiez que la definition (1.58) appliquee au cas ou An est le vecteur a et Bm le vecteur b

redonne bien pour a · b le produit scalaire classique de a et b,

a · b = aibi . (1.59)

Exercice 1.8 Produit contracte d’un tenseur d’ordre 2 et d’un vecteur

Verifiez que la definition (1.58) appliquee au cas ou An est le tenseur d’ordre 2 L et Bm le

vecteur b redonne bien pour L · b l’application de L a b au sens de la definition (1.25), i.e., une

fois une base ei choisie pour representer ces objets,

L · b = Lijbjei . (1.60)


Exercice 1.9 Produit contracte de deux tenseurs d’ordre 2

Verifiez que la definition (1.58) appliquee au cas ou An est le tenseur d’ordre 2 A et Bm le

tenseur d’ordre 2 B donne, une fois une base ei choisie,

A ·B = AikBkjei ⊗ ej . (1.61)

Vous remarquerez que si l’on adopte le point de vue tenseur comme application lineaire alors

A ·B correspond a la composition de l’application lineaire B avec l’application lineaire A, que l’on

pourrait noter aussi A B, et que, si l’on raisonne en terme de matrices,

Mat(A ·B,ei

)= Mat

(A,ei

)· Mat

(B,ei

). (1.62)

Ces formules peuvent se resumer avec la regle generale suivante : le produit contracte d’un

tenseur A d’ordre n et d’un tenseur B d’ordre m s’obtient en formant le tenseur d’ordre n+m−2

dont les composantes sont les produits des composantes de A et B avec une sommation sur le

dernier indice de A pris egal au premier indice de B,

A ·B = Ai1···in−1k Bkj2···jm ei1 ⊗ · · · ⊗ ein−1 ⊗ ej2 ⊗ · · · ⊗ ejm . (1.63)

Muni de cette regle, on peut donner un sens a de nouveaux produits de la forme a ·L par exemple,

et montrer par ailleurs que le produit contracte est associatif. Ainsi

∀a, b, L, a ·(L · b

)=(a · L

)· b . (1.64)

En effet le scalaire de gauche dans (1.64) vaut

a ·(L · b

)= ai

(L · b

)i

= ai Lijbj

et celui de droite(a · L

)· b =

(a · L

)jbj = aiLij bj c’est-a-dire la meme chose.

Exercice 1.10 Associativite du produit de contraction dans un cas general

Demontrez, en explicitant ces produits dans une base orthonormee, l’egalite valable pour deux

vecteurs a et b quelconques, et un tenseur T d’ordre n quelconque,

a · (T · b) = (a ·T) · b . (1.65)

1.5.5 Definition generale du produit doublement contracte

Soient An et Bm des tenseurs d’ordre n ≥ 2 et m ≥ 2. Leur produit doublement contracte

est le tenseur

Tp = An : Bm

d’ordre p = n− 2 +m− 2 = n+m− 4 defini par 20

Tp(x1, · · · , xn−2, y3, · · · , ym) = A(x1, · · · , xn−2, ei, ej) B(ej , ei, y3, · · · , ym) . (1.66)

20. La remarque faite dans la note 19 est aussi valable ici.


Verifions que cette quantite est inchangee si on travaille dans une base e′i differente. Considerons

donc

T′ = A(x1, · · · , xn−2, e′i, e′j) B(e′j , e′i, y3, · · · , ym) .

Grace aux formules (1.13), on obtient

T′ = A(x1, · · · , xn−2, Pkiek, Pljel) B(Pqjeq, Prier, y3, · · · , ym)

T′ = PkiPri PljPqj A(x1, · · · , xn−2, ek, el) B(eq, er, y3, · · · , ym) .

En utilisant le caractere orthogonal de [P ], exprime par la formule (1.17), on obtient

T′ = δkr δlq A(x1, · · · , xn−2, ek, el) B(eq, er, y3, · · · , ym)

T′ = A(x1, · · · , xn−2, ek, el) B(el, ek, y3, · · · , ym) qui est bien (1.66).

Dans le cas ou A et B sont deux tenseurs d’ordre 2, on obtient immediatement que leur produit

doublement contracte est le scalaire

A : B = A(ei,ej) B(ej ,ei) = Aij Bji . (1.67)

On a la propriete de commutation

A : B = B : A . (1.68)

En particulier on peut contracter un tenseur d’ordre 2 A avec le tenseur identite (1.35), et on

obtient alors un scalaire que l’on appele aussi la trace de A :

trA = A : 1 = Aii . (1.69)

Comme ce scalaire ne depend que de A et pas de la base choisie, on dit que c’est un inva-

riant de A... traditionnellement appele premier invariant de A...

Remarquez, en lien avec l’exercice 1.9, que, si l’on adopte momentanement le point de vue qu’un

tenseur est une application lineaire,

A : B = tr(A ·B

)= tr

(A B

). (1.70)

Ce qui nous permet de definir un second invariant 21 de A comme

A : AT = tr(A ·AT

)= AijAij (1.71)

somme des carres des composantes de A, que l’on peut voir comme une norme euclidienne carre

de A.

Dans le cas ou A est un tenseur d’ordre 3 et B un tenseur d’ordre 2, on obtient a partir de (1.66)

que leur produit doublement contracte est le vecteur

A : B = Aijk Bkjei . (1.72)

21. D’autres definitions concurrentes sont possibles, d’ou le un ; second evoque pour nous le fait que cet

invariant depend de facon quadratique de A, alors que le premier invariant depend de facon lineaire de A.


Enfin dans le cas general le produit doublement contracte d’un tenseur A d’ordre n et d’un

tenseur B d’ordre m s’obtient en formant le tenseur d’ordre n+m− 4 dont les composantes sont

les produits des composantes de A et B avec une sommation sur le dernier indice de A pris egal

au premier indice de B, et une autre sur l’avant dernier indice de A pris egal au deuxieme indice

de B,

A : B = Ai1···in−2lk Bklj3···jm ei1 ⊗ · · · ⊗ ein−2 ⊗ ej3 ⊗ · · · ⊗ ejm . (1.73)

1.6 Tenseur alterne fondamental et applications

Afin notamment de revisiter les notions de determinant, produit vectoriel et produit mixte

avec le formalisme concis et puissant du calcul tensoriel, et, aussi, de bien caracteriser les endo-

morphismes antisymetriques, nous introduisons un nouvel objet, sans doute, le premier tenseur

d’ordre 3 que vous allez manipuler...

1.6.1 Definition du tenseur alterne fondamental

Definissons le tenseur alterne fondamental ε par ses composantes εijk dans une base ortho-

normee directe ei. Celles-ci sont nulles si deux indices sont egaux parmi i, j et k ; si les indices

i, j et k sont distincts, alors εijk est la signature de la permutation (1,2,3) 7−→ (i,j,k) :

εijk =

+1 si (1,2,3) 7−→ (i,j,k) est paire

−1 si (1,2,3) 7−→ (i,j,k) est impaire

0 si deux indices sont egaux parmi i, j et k

. (1.74)

Rappelons que les permutations paires de (1,2,3), appelees aussi permutations circulaires de

(1,2,3), sont

(1,2,3) 7−→ (1,2,3) , (1,2,3) 7−→ (2,3,1) , (1,2,3) 7−→ (3,1,2) . (1.75)

Certains auteurs designent les εijk comme les symboles d’antisymetrie 22, puisqu’effective-

ment les εijk sont antisymetriques par echange d’indices :

εjik = −εijk , εkji = −εijk , εikj = −εijk . (1.76)

Comme la composition d’une permutation paire σ par une permutation donnee a la meme signature

que cette permutation donnee, on peut aussi remarquer que les εijk sont invariants par permutation

circulaire,

εσ(i)σ(j)σ(k) = εijk . (1.77)

Verifions que ε est bien un tenseur d’ordre 3. En vertu de (1.53), on doit verifier que, dans un

changement de base caracterise par une matrice de passage [P ],

ε′ijk = PliPmjPnkεlmn (1.78)

22. D’autres encore designent les εijk comme les symboles de Levi-Civita , du nom du mathematicien italien

du XIXeme siecle qui fut l’un des co-inventeurs du calcul tensoriel (cf. la citation deja mentionnee en introduction

Ricci & Levi-Civita 1900) et de cette notation ! Enfin certains designent ε comme le tenseur d’orientation ,

pour insister sur le fait qu’il n’est un tenseur qu’a condition d’utiliser des bases ayant toutes la meme orientation :

l’equation (1.79) montre bien que si on passe d’une base directe a une base indirecte, comme det[P ] = −1, il y a

alors probleme. Pour insister sur cette propriete on designe parfois ε comme un pseudotenseur .

1.6 Tenseur alterne fondamental et applications 25

coıncide avec εijk donne par (1.74).

Si deux indices parmi i, j et k sont egaux, par exemple si i = j, on peut ecrire, en echangeant tout

d’abord les indices l et m, que

ε′ijk = PliPmjPnkεlmn = PmiPljPnkεmln = −PmjPliPnkεlmn

en utilisant ensuite le fait que i = j et l’antisymetrie de ε. Comme ε′ijk est egal a son oppose, il est

nul, c’est-a-dire egal a εijk.

Si i, j et k sont tous differents, on peut remarquer que

ε′ijk = εlmnPliPmjPnk

n’est autre, d’apres la formule de Leibniz vue en classes preparatoires, que le determinant de

la matrice formee par les ieme , j eme et keme vecteurs colonnes de [P ]. D’apres la theorie des

determinants, c’est le determinant de la matrice [P ] multiplie par la signature de la permutation

faite sur les colonnes, i.e. la permutation (1,2,3) 7−→ (i,j,k) :

ε′ijk = det[P ] εijk . (1.79)

Or [P ] est une matrice de rotation (transformation orthogonale directe), donc

det[P ] = 1 . (1.80)

Ceci implique que dans ce cas aussi ε′ijk = εijk.

On remarque pour conclure cette introduction que le determinant d’un tenseur d’ordre 2 peut

s’ecrire

det A = εijkAi1Aj2Ak3 , (1.81)

ce qui est plus compact et maniable que l’ecriture en tableau utilisee en classes preparatoires... Ce

scalaire peut etre vu comme le troisieme invariant de l’endomorphisme A, troisieme au

sens ou il depend de facon cubique de A.

Exercice 1.11 Utilisation du tenseur alterne fondamental pour calcul d’un determinant

Montrez que si

F = 1 + L , (1.82)

avec L un tenseur infiniment petit i.e. d’ordre de grandeur L =∣∣∣∣L∣∣∣∣ 1, alors

det F = 1 + trL + O(L2) . (1.83)

Commentaires :

• Voyez sur cet exercice, sur la notion de norme et la notation O, l’annexe A.1.

• Une application physique de la formule (1.83) sera le calcul de la dilatation volumique en

petite transformation, cf. la section 2.1.7 de Plaut (2017).


1.6.2 Produits mixte et vectoriel

En utilisant le point de vue qu’un tenseur est une application multilineaire, ε est vu comme

l’application

(x, y, z) 7−→ ε(x, y, z) = εijkxiyjzk . (1.84)

Cette application n’est autre que le produit mixte deja rencontre en classes preparatoires, soit le

determinant des vecteurs colonnes representant x, y et z. Rappelons son interpretation geometrique :

• ce produit mixte est nul si et seulement si x, y et z sont lies ;

• dans le cas ou x, y et z sont independants et forment un triedre direct, ε(x, y, z) est le

volume du parallelepipede de cotes x, y et z ;

• dans le cas ou x, y et z sont independants et forment un triedre indirect, ε(x, y, z) est

l’oppose du volume du parallelepipede de cotes x, y et z.

On definit alors le produit vectoriel de deux vecteurs x et y comme le vecteur 23 a qui

definit, au sens de (1.24), l’application lineaire

z 7−→ ε(x, y, z) .

Par identification avec

z 7−→ a · z ,

i.e., en assurant que

∀ x, y, z , ε(x, y, z) = (x ∧ y) · z , (1.85)

on obtient que le produit vectoriel a = x ∧ y est defini en composantes par 24

x ∧ y = εijkxiyjek = εkijxiyjek = εijkxjykei , (1.86)

ou en notations tensorielles intrinseques par

x ∧ y = ε : y⊗ x . (1.87)

Rappelons son interpretation geometrique :

• ce produit vectoriel est nul si et seulement si x et y sont colineaires ;

• sinon, le vecteur x∧y est orthogonal au plan forme par x et y, tel que le triedre forme par

x, y et x ∧ y soit direct ;

• on a dans tous les cas

||x ∧ y|| = ||x|| ||y|| | sin(x,y)| (1.88)

qui est l’aire du parallelogramme construit sur x et y.

23. Pour la meme raison que celle expliquee dans la note 22, on dit parfois que le produit vectoriel est un pseu-

dovecteur.

24. Pour passer a la toute derniere expression dans (1.86) on a renomme tous les indices muets suivant (i,j,k) 7−→(j,k,i).

1.6 Tenseur alterne fondamental et applications 27

1.6.3 Vecteur dual d’un tenseur d’ordre 2 - Tenseurs antisymetriques

Si L est un tenseur d’ordre 2, on peut d’apres (1.72) definir un vecteur que l’on va appeler

vecteur dual 25 de L par

vd(L)

=1

2ε : L , (1.89)

soit en composantes

vd(L)

=1

2εijkLkj ei . (1.90)

Exercice 1.12 Formules portant sur le tenseur alterne fondamental et le vecteur dual

1 Montrez que

εijkεipq = δjpδkq − δjqδkp . (1.91)

Commentaire : cette question plus difficile peut etre consideree comme facultative : on vous re-

commande donc d’admettre la formule (1.91) ; les curieux liront sa demonstration dans le corrige

des exercices.

2 A l’aide de cette formule montrez que

vd(L)· ε =

1

2

(LT − L

). (1.92)

Exercice 1.13 Formule du double produit vectoriel

Montrez, en passant en composantes, que

a ∧ (b ∧ c) = (a · c)b − (a · b)c . (1.93)

Exercice 1.14 Vecteur dual d’un tenseur d’ordre 2 symetrique

Montrez que

S est symetrique au sens de la definition (1.43) ⇐⇒ vd(S)

= 0 . (1.94)

En consequence cette notion de vecteur dual n’est interessante que pour un tenseur A anti-

symetrique au sens de la definition (1.44). On peut se convaincre qu’alors

∀x, A · x = vd(A)∧ x . (1.95)

Cette equation permet d’ interpreter le vecteur dual comme un vecteur rotation , puisqu’un

champ A · x de cette forme coıncide avec le champ de vitesse instantane d’un solide indeformable

(une fois l’origine des x choisie sur l’axe instantane de rotation ; cf. a ce sujet la section 2.2.5 du

cours de mecanique Plaut 2017)

v(x) = ω ∧ x .

25. On devrait peut-etre dire pseudovecteur dual en vertu de la note 22.


Exercice 1.15 Tenseur antisymetrique en fonction de son vecteur dual

Explicitez la formule (1.92) dans le cas ou L est un tenseur A antisymetrique, et deduisez en

la formule (1.95).

1.7 Exemples en mecanique des milieux continus

Comme on le verra dans Plaut (2017), en mecanique des milieux continus des exemples de

tenseurs applications lineaires sont

• le tenseur gradient de la transformation F = ∇XΦ, avec Φ(X) le champ de placement

qui definit le mouvement ;

• le tenseur gradient de deplacement ∇Xu ;

• le tenseur donnant la partie deformations du deplacement linearise ε = 12

(∇Xu +∇XuT)

;

• le tenseur gradient de vitesse ∇xv ;

• le tenseur donnant la partie deformations des vitesses linearisees D = 12

(∇xv + ∇xvT)

;

• le tenseur des contraintes de Cauchy σ ;

des exemples de tenseurs applications bilineaires sont

• le tenseur des dilatations de Cauchy C = FT· F ;

• le tenseur des deformations de Green-Lagrange e = 12(C− 1) ;

• le tenseur des deformations linearise ε = 12

(∇Xu + ∇XuT)

;

• le tenseur des taux de deformations D = 12

(∇xv + ∇xvT).

La notion de gradient introduite brutalement ici fait partie des concepts fondamentaux de l’analyse

tensorielle ; il est temps de s’y lancer...

1.8 Notes personnelles

1.8 Notes personnelles 29


Chapitre 2

Analyse tensorielle

En physique des milieux continus la notion de gradient d’un champ scalaire merite d’etre

generalisee, puisque, si on s’interesse par exemple a un fluide, l’analyse 1 de son champ de vecteur

vitesse semble au moins aussi importante que celle de son champ de temperature 2. L’objet de ce

chapitre est justement de generaliser, de facon la plus systematique possible, et tant qu’on y est

a des tenseurs d’ordre eleve (voire quelconque), les outils d’analyse des fonctions de plusieurs

variables vus en classes preparatoires. Ces outils d’analyse sont les operateurs differentiels

gradient, rotationnel, divergence et laplacien, que l’on introduit tout en expliquant leur si-

gnification physique, en lien avec leur definition et proprietes. On s’interesse donc a des champs

de tenseurs c’est-a-dire des applications regulieres 3 d’un ouvert Ω de l’espace physique (typi-

quement le volume d’un milieu materiel) vers l’espace vectoriel des tenseurs d’un certain ordre n.

On utilise la definition des tenseurs comme applications lineaires, donnee par l’equation (1.23).

D’autre part on s’abstient de la notation avec parentheses pour designer l’application d’un tenseur

d’ordre n a un vecteur, utilisant exclusivement la notation avec le point de contraction. Ainsi, dans

ce chapitre, un tenseur d’ordre n, note Tn, est une application lineaire

qui a tout vecteur fait correspondre un tenseur d’ordre n− 1 :

Tn : h 7−→ Tn · h. (2.1)

Une fois choisi un point origine O dans l’espace, en identifiant les points M de Ω a leur vecteur

position x = OM, on peut poser qu’un champ de tenseur d’ordre n est une fonction

Tn : x ∈ Ω 7−→ Tn(x) . (2.2)

L’utilisation du point de contraction pour designer Tn(x) applique a h, proposee en (2.1), conduit

a noter cet objet

Tn(x) · h .

Ceci permet d’eviter des notations tres lourdes du type Tn(x)(h), et de mettre en evidence la

difference fondamentale qui existe entre x vecteur position dans le champ Ω ou est defini Tn

et h vecteur totalement quelconque de R3 auquel peut s’appliquer Tn(x). Physiquement, h sera

souvent une variation infinitesimale dx de x, mais, compte tenu de la linearite de Tn(x), qu’on

l’applique a des vecteurs infinitesimaux ou non importera mathematiquement peu...

1. Voir au sujet de l’analyse la note 6 au bas de la page 5.

2. De meme en electromagnetisme l’analyse des champs electrique et magnetique est indispensable.

3. Pour simplifier on les considere de classe C2.

32 Chapitre 2 Analyse tensorielle

PSfrag replacements

dx

x

x+ dx dv

v(x)

v(x+ dx)

dv = ∇v · dx veut dire...

Fig. 2.1 – Figure illustrant la definition intrinseque (2.5) du gradient d’un champ de vecteur v(x). Ce

gradient ∇v - sous-entendu au point x - est l’application lineaire qui a la difference de position dx fait

correspondre la difference de vecteur dv, c’est donc l’application lineaire representee par la fleche courbe.

Une representation du champ ∇v · dx est proposee sur le trace inferieur gauche de la figure 2.2.

2.1 Gradient d’un champ de tenseur

2.1.1 Definition intrinseque en tant que differentielle

Soit T(x) un champ de tenseur d’ordre n sur Ω ; on omet maintenant le n a cote du T pour

simplifier les notations. L’analyse locale de ce champ autour d’un point x donne de Ω consiste a

considerer les variations ou increments

δT(x, dx) = T(x + dx)−T(x)

pour dx vecteur variation de position infinitesimal . Supposant le champ T differentiable, nous

pouvons considerer la differentielle de T au point x, application lineaire notee provisoirement

G(x), telle que

δT(x, dx) = T(x + dx)−T(x) = G(x) · dx + o(dx) , (2.3)

en renvoyant a l’annexe A.2 pour la definition de la notation o. Pour simplifier on note en calcul

differentiel

dT = δT linearise = G(x) · dx , (2.4)

i.e., on identifie la partie lineaire des variations considerees, en negligeant les termes d’ordre

superieur. L’ egalite en calcul differentiel (2.4) doit donc etre vue comme une equivalence va-

lable asymptotiquement quand δT et dx tendent vers 0. Cette egalite montre que l’application

G(x) est une application lineaire qui au vecteur dx fait correspondre le tenseur dT d’ordre n : en

vertu de la definition (2.1), c’est donc un tenseur d’ordre n+ 1. Comme G depend de x, c’est en

fait un champ de tenseur d’ordre n+ 1. On le note ∇T et on l’appelle gradient du champ

de tenseur T ; on doit retenir qu’il est defini en calcul differentiel par

∇T : dx 7−→ dT = ∇T · dx . (2.5)

La figure 2.1 illustre cette definition dans le cas ou T est un champ de vecteur v.

Pour comprendre la signification physique de ∇T, il est utile de mentionner le terme utilise

par de nombreux mathematiciens pour le designer. Ils appelent le gradient de T l’ application

lineaire tangente a T. En effet, comme la tangente a une courbe est l’approximation lineaire

locale de celle-ci, l’application lineaire tangente a T est l’approximation lineaire locale du champ

T, puisqu’elle permet de calculer les dT en fonction des dx. On illustrera ceci plus precisement

dans le cas d’un champ de vecteurs dans la section 2.2, et sur la figure 2.2.

2.1.2 Calculs en coordonnees cartesiennes

Avec les notations du chapitre precedent, on utilise ici un repere R = Ox1x2x3, les coordonnees

cartesiennes (x1, x2, x3) associees, et des representations en composantes, ou, abusivement, coor-

2.1 Gradient d’un champ de tenseur 33

donnees , des champs tensoriels etudies 4. On peut ecrire, grace a la theorie du calcul differentiel,

que

dT =∂T

∂xkdxk (2.6)

ou les derivees partielles de T sont definies par

∂T

∂xk= lim

h→0

T(x + hek)−T(x)

h. (2.7)

En identifiant les formules (2.5) et (2.6) sachant que dx = dxkek, on obtient que 5

∀k , ∇T · ek =∂T

∂xk. (2.8)

Si T est un champ scalaire T , son gradient est donc le champ de vecteur defini par

∇T =∂T

∂xkek . (2.9)

Par contre, si on a affaire a un champ de tenseur T d’ordre n ≥ 1, on obtient d’apres (2.8)

que

∇T =∂T

∂xk⊗ ek . (2.10)

Ainsi le gradient d’un champ de vecteur v est le champ de tenseur d’ordre 2 defini par

∇v =∂vi∂xj

ei ⊗ ej . (2.11)

De meme le gradient d’un champ de tenseur T d’ordre 2 est le champ de tenseur d’ordre

3 defini par

∇ T =∂Tij∂xk

ei ⊗ ej ⊗ ek . (2.12)

Mentionnons que l’on note parfois les derivees partielles avec une virgule ou un point virgule 6. Nous

n’utiliserons pas de telles notations ici, pour ne pas compliquer votre apprentissage. Cependant etre

conscient de leur existence pourra s’averer utile... si jamais vous lisiez un jour les œuvres completes

d’Einstein (voir a ce sujet la figure culturelle 2.7 page 45), ou moins improbablement des traites

ou articles de mecanique ou electromagnetisme avances.

4. Cette terminologie calculs en coordonnees cartesiennes et la methodologie associee seront tres utilisees !..

5. Cette identification repose sur le fait que les variations des coordonnees dx1, dx2, dx3 sont independantes.

Autrement dit l’egalite ∇T ·ekdxk = (∂T/∂xk)dxk doit avoir lieu quels que soient dx1, dx2, dx3 infiniment petits...

6. I.e.∂T

∂xk T,xk ou

∂T

∂xk T,k .

On y gagne une concision extreme, puisque par exemple avec cette deuxieme convention la formule (2.12) devient

∇ T = Tij,k ei ⊗ ej ⊗ ek .

Pour des derivees partielles secondes on utilise parfois des notations avec une seule virgule et en listant les coordonnees

ou indices de coordonnees par rapport auxquels on derive,

∂2T

∂x∂y T,xy ou

∂2T

∂xi∂xj T,ij .


2.2 Cas du gradient d’un champ de vecteur

2.2.1 Decomposition en parties symetrique et antisymetrique

Soit v un champ de vecteur. En general le tenseur ∇v, d’ordre 2, n’a aucune raison d’etre

ni symetrique ni antisymetrique 7. Il peut par contre etre decompose en somme d’un tenseur

symetrique D, parfois note D(v), et antisymetrique ω, parfois note ω(v), suivant le systeme

d’equations

∇v = D + ω , (2.13)

DT = D , ωT = −ω . (2.14)

En transposant (2.13) on obtient que ∇vT = D− ω . (2.15)

Par addition et soustraction de (2.13) et (2.15), il vient que la decomposition (2.13) est unique et

definie par

D =1

2

(∇v + ∇vT

), ω =

1

2

(∇v − ∇vT

). (2.16)

Dans ce qui suit on raisonne autour d’un point x donne, afin d’interpreter les contributions de D

et ω (sous entendu au point x) a

δv = v(x + dx)− v(x) ' δv linearise = dv = ∇v · dx = D · dx︸︷︷︸dvdef

+ ω · dx︸︷︷︸dvrot

. (2.17)

Les abreviations introduites vont etre justifiees. L’interpretation de ∇v en tant qu’ application

lineaire tangente a v peut s’eclairer en meditant les schemas de gauche de la figure 2.2.

2.2.2 Signification de la partie symetrique

D’apres le cours de classes preparatoires sur la reduction des endomorphismes, D, endomor-

phisme symetrique de R3, peut se diagonaliser sur une base orthonormee ni, les valeurs propres

correspondantes λi etant reelles :

D = λ1n1 ⊗ n1 + λ2n2 ⊗ n2 + λ3n3 ⊗ n3 . (2.18)

Donc dx = Xini =⇒ dvdef = D · dx = λ1X1n1 + λ2X2n2 + λ3X3n3 . (2.19)

En deux dimensions (cas X3 = 0) des champs de ce type sont presentes sur le schema du milieu

de la figure 2.2 (cas λ1 = 1,1 et λ2 = −1), ou encore sur la figure 2.6. On voit apparaıtre des

champs deformants , qui montrent que cette premiere partie de dv decrit la deformation

locale du champ dv. On peut affirmer phenomenologiquement que λi est le taux d’extension ,

s’il est positif, ou taux de contraction , s’il est negatif, du champ dvdef dans la direction ni.

2.2.3 Signification de la partie antisymetrique - rotationnel

L’endomorphisme antisymetrique ω n’est pas diagonalisable, mais on peut ecrire, d’apres (1.95),

que

dvrot = ω · dx = vd(ω)∧ dx .

7. Au sens des definitions de la section 1.4.2.

2.2 Cas du gradient d’un champ de vecteur 35

≃

= +

Fig. 2.2 – Illustration d’un gradient de vecteurs et de la decomposition (2.13) par representation de champs

dans une partie de R2 centree sur son origine. En haut a gauche, champ de vecteurs v(x) dependant non

lineairement de x, mais verifiant v(0) = 0. Grace a ces hypotheses de centrage , auxquelles on peut

toujours se ramener par de simples translations, on peut considerer que δv = v et dx = x dans la formule

(2.17). En dessous, le champ tangent dv = ∇v(0) · x. Ce champ depend lineairement de x, et

constitue au voisinage de l’origine une bonne approximation du champ precedent. Au milieu, la partie de

deformation locale de ce champ, D(0) ·x. Ici exceptionnellement les vecteurs de la base canonique sont

vecteurs propres de D(0). A droite, la partie de rotation locale de ce champ, ω(0) ·x = 12rot(v)(0)∧x.

Ceci nous pousse a definir le vecteur 8 rotationnel de v comme etant

rot(v) = 2 vd(ω)

= 2 vd(∇v)

= ε : ∇v (2.20)

en vertu du fait que ω et ∇v different seulement d’un tenseur symetrique, dont le vecteur dual

est nul d’apres (1.94). Ainsi

dvrot = ω · dx =1

2rot(v) ∧ dx . (2.21)

Un exemple de tel champ est represente sur le schema de droite figure 2.2. C’est toujours un champ

tournant : on peut interpreter cette partie de dv comme decrivant la rotation locale du

champ dv. De plus on peut affirmer sur le rotationnel d’un champ que sa direction donne celle

de l’axe de la rotation locale de ce champ, sa norme mesure l’intensite de cette rotation. Dans son

ensemble la figure 2.2 illustre toute la formule (2.17) ; il convient de la bien mediter 9.

8. Pseudovecteur pour les puristes, puisqu’a nouveau le pseudotenseur ε pointe le bout de son nez.

9. La figure 2.2 est d’une importance capitale. En effet on verra que les lois de comportement des solides et des

fluides utilisent de facon essentielle les decompositions (2.13) et (2.17).


En composantes en coordonnees cartesiennes, on a, d’apres (1.72), (2.11) et (2.20),

rot(v) = εijk∂vk∂xj

ei , (2.22)

ou l’on reconnait l’expression vue en classes preparatoires et parfois notee

rot(v) = ∇ ∧ v

a l’aide de l’ operateur nabla

∇ =∂

∂xiei .

Ces deux dernieres formules ne meritent pas qu’on leur attribue un numero car elles n’ont pas

une signification tensorielle generale ; en particulier on verra dans les sections 2.7 et 2.8 qu’elles

ne survivent pas a l’utilisation de coordonnees cylindriques ou spheriques, contrairement a des

formules intrinseques tensorielles comme la formule (2.20).

2.3 Divergence d’un champ de tenseur

2.3.1 Definition intrinseque a partir du gradient

Soit T un champ de tenseur d’ordre n ≥ 1. Alors son gradient ∇T est un champ de tenseur

d’ordre n+ 1 ≥ 2. On peut donc definir, en tout point x de Ω,

div T = ∇T : 1 (2.23)

qui est d’apres la definition du produit doublement contracte donne en section 1.5.5 un tenseur

d’ordre n+ 1 + 2− 4 = n− 1. On nomme le champ correspondant divergence du champ T.

La signification physique de div T se revele a partir de la formule integrale de la divergence

(2.39), qui implique cet operateur, mais necessite aussi des notions de calcul integral. Nous y

reviendrons donc a la fin de la section 2.4.


Si T est un champ de vecteur v, on obtient d’apres les formules (1.67), (2.11) et (2.23) que

sa divergence est le champ scalaire defini en tout point de Ω par

divv = ∇v : 1 = tr∇v =∂vi∂xi

. (2.24)

C’est bien la notion qui a ete introduite en classes preparatoires.

Par contre si T est un champ de tenseur d’ordre n ≥ 2, la formule (2.10) montre que

div T =( ∂T

∂xk⊗ ek

): 1

=(∂Ti1···in

∂xkei1 ⊗ · · · ⊗ ein ⊗ ek

): ej ⊗ ej

div T =∂Ti1···in−1j

∂xjei1 ⊗ · · · ⊗ ein−1 . (2.25)

2.4 Integration des champs de tenseurs 37

En particulier si T est un champ de tenseur d’ordre 2, il vient que sa divergence est le champ

de vecteur defini en tout point de Ω par

div T =∂Tij∂xj

ei . (2.26)

2.4 Integration des champs de tenseurs

2.4.1 Definitions

En mecanique des milieux continus il importe, afin de pouvoir faire par exemple des bilans

globaux , de savoir definir les integrales de champs de tenseurs sur divers sous domaines de R3.

Pour cela on travaille en composantes, en utilisant un repere orthonorme Ox1x2x3, a partir des

notions d’integrales 10 d’une fonction a valeurs reelles f(x) :

• Integrale curviligne le long d’une courbe orientee C, l’element de longueur etant dl,

IC(f) =

∫Cf dl . (2.27)

La courbe orientee etant definie par le parametrage t ∈ [0,1] 7−→ x(t), de classe C1, on a

dl = ||x′(t)|| dt i.e. on definit IC par

IC(f) =

∫ 1

0f(x(t)) ||x′(t)|| dt . (2.28)

• Integrale de surface sur une surface S, l’element de surface etant d2S,

IS(f) =

∫∫Sf d2S . (2.29)

La surface etant parametree au moins localement par (u,v) 7−→ x(u,v), on a localement,

d’apres la formule (1.88),

d2S = ||dxu ∧ dxv|| =∣∣∣∣∣∣∂x

∂udu ∧ ∂x

∂vdv∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∂x

∂u∧ ∂x

∂v

∣∣∣∣∣∣ du dv . (2.30)

• Integrale de volume dans un volume Ω, l’element de volume etant d3x,

IΩ(f) =

∫∫∫Ωf d3x . (2.31)

Le volume etant parametre au moins localement par (u,v,w) 7−→ x(u,v,w), on a localement,

d’apres l’interpretation du produit mixte (1.84),

d3x = ε(dxu, dxv,dxw) = ε(∂x

∂udu,

∂x

∂vdv,

∂x

∂wdw)

= ε(∂x

∂u,∂x

∂v,∂x

∂w

)du dv dw. (2.32)

Considerons par exemple 11 un champ de tenseur d’ordre 2

T(x) = Tij(x) ei ⊗ ej . (2.33)

10. Pour une introduction mathematique rigoureuse de ces notions, on pourra consulter Chatterji (1997).

11. Cette demarche peut etre utilisee pour definir les integrales de tenseurs d’ordre quelconque.


PSfrag replacements

t

m

n

n

n

n

S

∂S

Fig. 2.3 – Conventions d’orientation a respecter pour le champ de vecteur normale unitaire n(x) a une

surface S de l’espace R3, et pour l’orientation de son bord ∂S, afin de pouvoir appliquer la formule du

rotationnel (2.35). On peut traduire cette convention d’orientation avec une regle de la main droite : si

j’oriente mon majeur droit le long du vecteur tangent au bord t, et mon pouce droit du cote de S, c’est-a-dire

du vecteur m, alors le vecteur n doit sortir du dos de ma main vers l’exterieur de celle-ci.

On definit en respectant la linearite des operations d’integration l’integrale curviligne de T le long

de C par 12

IC

(T)

= IC(Tij) ei ⊗ ej notee aussi

∫C

T dl , (2.34)

et de meme pour les integrales de surface et de volume.

2.4.2 Formule integrale du rotationnel

Nous rappelons la formule d’Ampere-Stokes vue en classes preparatoires, que nous appelons

plutot formule integrale du rotationnel . Cette formule concerne un champ de vecteur

v defini (et regulier) sur un ouvert contenant une surface S verifiant les hypotheses suivantes,

illustrees sur la figure 2.3 :

• S repose sur un bord ∂S qui est la courbe definie par le parametrage t ∈ [0,1] 7−→ x(t),

de classe C1, avec x(0) = x(1) ;

• on peut definir en tout point x de S un vecteur normal unitaire n(x) de sorte que sur S la

fonction x 7→ n(x) est continue ;

• si x = x(t) est sur ∂S, t(x) est le vecteur unitaire tangent a ∂S oriente dans le sens

de parcours de ∂S, c’est-a-dire colineaire a x′(t), m(x) est un vecteur tangent a S en x

independant de t(x), et pointant dans la direction de S, alors t(x), m(x) et n(x) forment

un triedre direct.

On peut alors montrer que 13 ∫∫S

(rotv) · n d2S =

∫∂S

v · t dl . (2.35)

D’ou l’interpretation du champ rotv : son flux a travers S (terme de gauche) definit la circulation

de v le long de ∂S (terme de droite). Cette formule peut s’etendre au cas de surfaces et bords

un peu moins reguliers, presentant par exemple des aretes vives, a condition de veiller a ne pas

modifier brutalement l’orientation de n(x), qui doit toujours pointer dans la meme direction.

12. Les vecteurs ei constituent une base globale fixe, les tenseurs ei ⊗ ej sont donc independants du point et

peuvent etre sortis de l’integrale.

13. Voir par exemple le chapitre 8 de Pernes (2003), qui utilise cependant des notations differentes ; pour une

approche plus mathematique voir Chatterji (1997) ; enfin l’approche pragmatique d’Aris (1962) est interessante.

Notez que t dl peut etre note dx = x′(t) dt en utilisant un parametrage t 7→ x(t) de ∂S.


Ω∂Ω

n

n

n

n n

n

nn

n

n

Fig. 2.4 – Convention d’orientation a respecter pour le champ de vecteur normale unitaire sortante

n(x) au bord ∂Ω d’un ouvert Ω de l’espace R3 afin de pouvoir appliquer la formule de la divergence (2.38)

ou (2.39).

2.4.3 Formule integrale de la divergence

On designe avec ce terme la formule dite aussi de Stokes-Ostrogradski, et sa generalisation aux

tenseurs d’ordre quelconque. Ces formules concernent des integrales de volume sur un ouvert borne

Ω, connexe, dont la surface bord (ou frontiere), notee ∂Ω, verifie les hypotheses suivantes : on peut

definir en tout point x de ∂Ω, sauf eventuellement le long de courbes qui sont des aretes vives,

un vecteur normal unitaire n(x) sortant de Ω (i.e. oriente de Ω vers l’exterieur de Ω), et sur ∂Ω la

fonction x 7→ n(x) est continue par morceaux. Une situation typique est presentee sur la figure 2.4.

La formule integrale de la divergence pour un champ de vecteur regulier 14 v stipule que 15

∫∫∫Ω

divv d3x =

∫∫∂Ω

v · n d2S . (2.36)

Afin d’obtenir la formule integrale de la divergence pour un champ de tenseur (regulier)

T d’ordre 2, appliquons la formule precedente (2.36) au champ de vecteur ei ·T pour i fixe dans

1,2,3. On obtient∫∫∫Ω

div(ei ·T

)d3x =

∫∫∂Ω

(ei ·T

)· n d2S = ei ·

∫∫∂Ω

T · n d2S

en faisant usage de la propriete d’associativite (1.64), et en se rappelant que ei est un vecteur fixe

qui peut donc etre sorti de l’integrale. D’autre part on peut montrer facilement que 16

div(ei ·T

)= ei · div T . (2.37)

On a donc, quel que soit i,

ei ·∫∫∫

Ωdiv T d3x = ei ·

∫∫∂Ω

T · n d2S .

On en deduit la formule voulue,∫∫∫Ω

div T d3x =

∫∫∂Ω

T · n d2S . (2.38)

14. De classe C1 au moins sur un ouvert strictement plus grand que l’adherence de Ω ; rappelons que l’on a suppose

dans ce document tous les champs de classe C2.

15. Une demonstration a la physicienne de cette formule peut etre lue dans les chapitres 8 de Pernes (2003)

ou 3 de Aris (1962) ; pour une approche plus mathematique on consultera par exemple Chatterji (1997).

16. Le faire, en passant en composantes dans une base orthonormee. Ou alors traiter l’exercice 2.7...


Cette formule est en fait valable pour un tenseur T d’ordre n ≥ 1 quelconque,∫∫∫Ω

div T d3x =

∫∫∂Ω

T · n d2S . (2.39)

Certains physiciens appelent (2.39) formule du flux-divergence , car elle dit l’egalite entre

le flux (generalise) de T a travers ∂Ω (le terme de droite) et l’integrale de div T dans Ω (le terme

de gauche). Ceci donne de premiers elements d’interpretation physique de l’operateur divergence.

Exercice 2.1 Demonstration de la formule de la divergence dans le cas general

Supposez la formule (2.39) vraie pour tout champ tensoriel d’ordre n ≥ 2, et montrez sa validite

pour un tenseur T d’ordre n+ 1.

2.4.4 Application : signification physique de l’operateur divergence

Divergence d’un champ de vecteurs dans l’espace bidimensionnel

Dans un cas plan, au sens de la note de bas de page 5 p. 10, le plan R2 de repere Ox1x2 est

plonge dans l’espace R3 de repere Ox1x2x3. Un champ de vecteurs v2 regulier sur une partie Ω2

de R2 contenant une surface S est prolonge sur Ω3 = Ω2 × R en posant

∀(x1,x2,x3) ∈ Ω3 , v3(x1,x2,x3) = v2(x1,x2) .

Considerons, comme cela est represente sur la figure 2.5, le volume D = S × [0,1], de forme

cylindrique au sens large. Si n2 est le champ de normale sortante a S, defini dans le plan

Ox1x2 sur ∂S, on peut l’etendre en un champ n3 defini et regulier sur ∂D en posant

∀(x1,x2,x3) ∈ ∂D , si (x1,x2) ∈ ∂S , n3(x1,x2,x3) = n2(x1,x2) ,

si x3 = 0 , n3(x1,x2,x3) = −e3 ,

si x3 = 1 , n3(x1,x2,x3) = e3 . (2.40)

Appliquons la formule integrale de la divergence (2.36) au champ v3 sur le domaine D. Il vient∫∫∫D

divv3 d3x =

∫∫∂D

v3 · n3 d2S

soit, compte tenu des definitions memes des champs v3 et n3,∫∫S

divv2 d2S =

∫∂S

v2 · n2 dl , (2.41)

en posant naturellement

divv2 =∂(v2 · e1)

∂x1+

∂(v2 · e2)

∂x2. (2.42)

La formule integrale de la divergence dans le plan (2.41) peut par exemple etre appliquee

a une surface D(x,a) disque centre en x, de rayon a infinitesimal. On obtient, quand a tend vers

0, par continuite des champs consideres,

divv2(x) = lima→0+

1

πa2

∫C(x,a)

v2 · n2 dl (2.43)


O

x1

x2

S∂S

n2

n2

n2

n2n2

n2

n2 O

x1

x2

x3

D∂D

n3n3 n3

n3

n3

n3

n3

Fig. 2.5 – Gauche : surface S du plan R2 avec son champ de normale sortante n2 ; afin de pouvoir

appliquer la formule integrale de la divergence dans le plan (2.41) le bord ∂S de S doit etre oriente dans le

sens trigonometrique, comme l’indique la fleche sous le symbole S. Droite : volume D = S× [0,1] construit

a partir de S par translations verticales, avec son champ de normale sortante n3 sur son bord lateral, utilise

pour demontrer a partir de la formule tridimensionnelle (2.36) la formule bidimensionnelle (2.41).

Fig. 2.6 – Dans le plan x1Ox2, traces de champs (2.44). Haut : (λ1,λ2) = (1,1), (1,− 12 ), ( 1

2 ,−1), (−1,−1)

de gauche a droite. En vertu de (2.45), on a affaire de gauche a droite a un champ divergent (divv = 2),

faiblement divergent (divv = 12 ), faiblement convergent (divv = − 1

2 ) puis convergent (divv = −2). Bas :

(λ1,λ2) = (1,− 1), soit un champ de divergence nulle.

en notant C(x,a) le cercle de centre x et de rayon a. La divergence de v2 en x est donc positive si

le champ v2 a un flux positif a travers des petits cercles entourant x, i.e. si le champ diverge de

x. Au contraire la divergence de v2 en x est negative si le champ v2 a un flux negatif a travers des

petits cercles entourant x, i.e. si le champ converge vers x. Ceci est illustre sur la figure 2.6,

obtenue en tracant des champs dependants lineairement des coordonnees, de la forme

v = λ1x1e1 + λ2x2e2 , (2.44)

pour lesquels on a

divv = λ1 + λ2 . (2.45)

On peut noter que, d’apres la discussion de la section 2.2.2, ces champs representent la forme

generique, en deux dimensions, de champs deformants , une fois que l’on a choisi pour base

celle des vecteurs propres de ∇v = D.


Divergence d’un champ de vecteurs dans l’espace tridimensionnel

Dans le cas d’un champ de vecteurs v3 defini (et regulier) sur une partie de R3, on peut faire un

raisonnement similaire en considerant une boule B(x,a) centree en x, de rayon a infinitesimal. On

obtient, a partir de la formule integrale de la divergence (2.36), quand a tend vers 0, par continuite

des champs consideres,

divv3(x) = lima→0+

3

4πa3

∫∫S(x,a)

v3 · n d2S (2.46)

en notant S(x,a) la sphere de centre x et de rayon a. La divergence de v3 en x est donc positive si le

champ v3 a un flux positif a travers des petites spheres entourant x, i.e. si le champ diverge de

x. Au contraire la divergence de v3 en x est negative si le champ v3 a un flux negatif a travers de

petites spheres entourant x, i.e. si le champ converge vers x.

On peut remarquer qu’un champ localement tournant (typiquement celui represente a droite

de la figure 2.2) tel que sa deformation locale, au sens de la formule (2.17), est nulle, ne diverge ni

ne converge : il doit donc etre, d’apres l’interpretation physique donnee a l’instant, a divergence

nulle. Mathematiquement, d’apres la formule (2.24), si ∇v est decompose en parties symetrique

D et antisymetrique ω, on a

divv = tr∇v = trD + trω = trD , (2.47)

donc avoir une deformation locale nulle equivaut a D = 0 qui entraine bien divv = 0.

La formule (2.47) montre que c’est la partie de deformation locale du champ, definie par D seul,

qui controle sa divergence. Comme explique au niveau de la section 2.2.2, D peut se diagonaliser

sur une base orthonormee n1,n2,n3, ou

D = λ1n1 ⊗ n1 + λ2n2 ⊗ n2 + λ3n3 ⊗ n3 , (2.48)

avec λi le taux d’extension , s’il est positif, ou taux de contraction , s’il est negatif, du

champ dvdef dans la direction ni. D’apres la formule (2.47), on a que la divergence de v est la

somme des valeurs propres de D,

divv = λ1 + λ2 + λ3 , (2.49)

i.e. la somme algebrique de ces taux .

Divergence d’un champ de tenseurs d’ordre 2 symetriques

Etant donne un champ de tenseurs T d’ordre 2 symetriques, et un vecteur de base orthonormee

ei, il est facile de montrer que 17

ei · div T = div(T · ei

). (2.50)

Ceci montre que la ieme composante du vecteur div T est la divergence du champ de vecteurs

T · ei, qui doit donc diverger ou converger pour que cette composante ne soit pas nulle.

17. Le faire, en passant en composantes dans une base orthonormee. Ou alors traiter l’exercice 2.7...

2.5 Laplacien d’un champ de tenseur 43

2.5 Laplacien d’un champ de tenseur

2.5.1 Definition intrinseque a partir du second gradient

Soit T un champ de tenseur d’ordre n ≥ 0. Alors ∇T est un champ de tenseur d’ordre

n + 1 ≥ 1. On peut donc definir en vertu de (2.23) la divergence de ce champ. Ceci definit le

laplacien de T, qui est un champ de tenseur d’ordre n,

∆T = div ∇T = ∇ ∇T : 1 . (2.51)

Sa signification physique se deduit de celles du gradient et de la divergence. Dans le cas ou T est

un champ scalaire T , on note que ∆T (x) > 0 equivaut a ce que le champ ∇T diverge autour de

x, ce qui est une condition necessaire pour qu’en x le champ T admette un minimum local. Au

contraire ∆T (x) < 0 equivaut a ce que le champ ∇T converge vers x, ce qui est une condition

necessaire pour qu’en x le champ T admette un maximum local.


Si T est un champ scalaire T , son gradient est le champ de vecteur v donne par

vi =∂T

∂xi,

donc en vertu de (2.24) on obtient que ∆T est le champ scalaire donne par

∆T = div v

∆T = div ∇T =∂2T

∂xi∂xi, (2.52)

ce qui est la encore la notion vue en classes preparatoires. Rappelons au passage que les derivees

partielles secondes d’une fonction de l’espace f(x) sont definies par

∂2f

∂xi∂xj=

∂

∂xi

( ∂f∂xj

), (2.53)

et que si f est suffisamment reguliere, i.e. de classe C2, le theoreme de Schwarz 18 stipule que

l’ordre des indices n’importe pas. Dans ce cours on supposera tous les champs de classe C2, donc

le theoreme de Schwarz sera verifie.

Si T est un champ de vecteur v, son gradient est le champ de tenseur d’ordre 2 donne en vertu

de (2.11) par

L =∂vi∂xj

ei ⊗ ej .

D’apres (2.26) on a donc que ∆v est le champ de vecteur donne par

∆v = div L

∆v = div ∇v =∂2vi

∂xj∂xjei = ∆vi ei . (2.54)

Cette derniere notation est un petit peu abusive puisque l’ operateur ∆ ne doit normalement

agir que sur un champ scalaire, or vi n’est pas un tel champ au sens tensoriel du terme.

18. Mathematicien allemand de la fin XIXeme - debut XXeme .


2.6 Exercices visant a etablir un formulaire

Ils se traitent en explicitant les tenseurs et operateurs en composantes dans un systeme de

coordonnees cartesiennes (x1, x2, x3) 19, et en faisant souvent appel a la formule de Leibniz, qui

stipule que, si f et g sont des fonctions de la position a valeurs reelles,

∂(fg)

∂xi=

∂f

∂xig + f

∂g

∂xi. (2.55)

Veuillez utiliser la convention de sommation sur les indices repetes et le tenseur alterne fondamental.

Exercice 2.2 Divergence et rotationnel d’un produit scalaire-vecteur

Soient T un champ scalaire et v un champ de vecteur. Montrez que

div(T v) = T div(v) + (∇T ) · v , (2.56)

rot(T v) = T rot(v) + (∇T ) ∧ v . (2.57)

Exercice 2.3 Compositions d’operateurs differentiels nulles

Soient T un champ scalaire et v un champ de vecteur. Montrez que

rot(∇T ) = 0 , (2.58)

div(rotv) = 0 . (2.59)

Question physique facultative :

Afin de donner une interpretation physique de (2.58), en lien avec la decomposition des sec-

tion 2.2 et figure 2.2, montrez que, si ∇∇T etait purement antisymetrique avec rot(∇T ) non nul,

cela voudrait dire que, autour d’un tel point, en tournant dans le sens direct autour du rotationnel,

on aurait T qui augmente dans la direction azimutale lorsque l’on fait un tour... au bout d’un tour

T aurait augmente ce qui serait impossible ! En d’autres termes ∇T est forcement un champ

non tournant ...

Exercice 2.4 Divergence d’un gradient transpose

Soit v un champ de vecteur. Montrez que

div[(

∇v)T]

= ∇(divv) . (2.60)

Exercice 2.5 Divergence et rotationnel d’un produit vectoriel

Soient u et v deux champs de vecteur. Montrez que

div(u ∧ v) = v · rot(u) − u · rot(v) , (2.61)

rot(u ∧ v) = u div(v) − v div(u) +(∇u

)· v −

(∇v)· u . (2.62)

Indication : afin d’etablir la deuxieme identite, vous aurez besoin d’utiliser la formule (1.91).

Exercice 2.6 Divergence d’un produit tensoriel

Soient u et v deux champs de vecteur. Montrez que

div(u⊗ v) = u div(v) +(∇u

)· v . (2.63)

19. I.e., en faisant les calculs en coordonnees cartesiennes ...

2.6 Exercices visant a etablir un formulaire 45

Fig. 2.7 – Manuscrit d’Einstein presentant des calculs en relativite generale, theorie qui utilise beaucoup

le calcul tensoriel. Cette theorie peut, d’une certaine facon, etre consideree comme le prolongement de la

mecanique des milieux continus pour des systemes de tres grandes echelles d’espace, de masse et de vitesse.

C’est en etablissant cette theorie, tres mathematique, qu’Einstein aboutit aux conclusions citees page 7 ; sur

la genese de cette citation voir la communication de Norton (2008). De nombreux manuscrits d’Einstein, et

en tout cas celui montre ici, sont disponibles en ligne sur le site ‘Einstein Archives Online’.

Exercice 2.7 Divergence de divers produits

Soient f un champ scalaire, v un champ de vecteur et T un champ de tenseur d’ordre 2.

Montrez que

div(f T

)= f div T + T ·∇f , (2.64)

div(T · v

)= v · div T T + T : ∇v , (2.65)

div(v ·T

)= v · div T + T T : ∇v . (2.66)

Exercice 2.8 Formule du double rotationnel et application

Soit v un champ de vecteur. Montrez que

rot(rot(v)) = ∇(div(v)) − ∆v , (2.67)

qui equivaut bien sur a

∆v = ∇(div(v)) − rot(rot(v)) . (2.68)

Deduisez de cela la propriete de commutation

rot(∆v) = ∆(rot(v)) . (2.69)


Exercice 2.9 Formules de Navier en elasticite

En elasticite lineaire le champ de tenseur des contraintes σ(X) est lie au champ de tenseur des

deformations ε(X) par la loi de Hooke

σ = λ (trε) 1 + 2µ ε . (2.70)

D’autre part le champ ε est lie au champ de vecteurs deplacements u(X) par

ε =1

2

(∇u + ∇uT

). (2.71)

Montrez que

div σ = (λ+ µ)∇div u + µ ∆u = (λ+ 2µ)∇div u − µ rot(rot u) . (2.72)

Indication : etablissez d’abord la premiere expression de div σ en termes de ∇div u et ∆u ;

utilisez ensuite la formule du double rotationnel.

Exercice 2.10 Reecritures du terme non lineaire de l’equation de Navier-Stokes

En mecanique des fluides newtoniens incompressibles, le champ de vitesse v(x) est solution de

divv = 0 . (2.73)

Montrez que

γa :=(∇v)· v = div(v⊗ v) = ∇

(v2

2

)+(rotv

)∧ v . (2.74)

Indications :

L’expression avec la divergence, valable seulement en fluide incompressible, decoule de l’equation

(2.63). Pour demontrer l’expression faisant intervenir le vecteur vorticite rotv vous travaillerez en

composantes dans une base orthonormee directe, et ferez usage de la formule (1.91) ; vous noterez

que l’egalite entre γa et cette derniere expression est valable aussi en fluide compressible.

Complement :

En coordonnees cartesiennes seulement, on peut ecrire a l’aide de l’ operateur nabla , deja

introduit page 36,

γa =(v ·∇)v .

Cette formule ne merite pas qu’on lui attribue un numero, car elle n’a pas une signification tenso-

rielle generale qui permettrait son utilisation en coordonnees non cartesiennes. Cependant, cette

ecriture est pratique 20 donc souvent utilisee dans la litterature scientifique...

Exercice 2.11 Derivee particulaire de la densite d’energie cinetique

On considere un milieu continu dont le mouvement est decrit de facon eulerienne par un champ

de vitesse v(x,t). On montre en cinematique que les derivees temporelles pertinentes sont les

derivees particulaires

df

dt=

∂f

∂t+ v ·∇f pour un champ scalaire f(x,t) , (2.75)

20. On peut cacher le tenseur d’ordre 2, donc s’abstenir de double barre ou double fleche...

2.7 Calculs en coordonnees cylindriques 47

db

dt=

∂b

∂t+(∇b

)· v pour un champ vectoriel b(x,t) . (2.76)

Montrez que la derivee particulairedv2

dt= 2v · dv

dt. (2.77)

2.7 Calculs en coordonnees cylindriques

2.7.1 Systemes a symetrie cylindrique - Principe de Curie

Certains systemes simples sont a symetrie cylindrique , i.e. le milieu continu considere

occupe un domaine de forme cylindrique, et les sollicitations appliquees a ce milieu (dans un

contexte mecanique, les forces volumiques ou surfaciques qui creent le mouvement) sont a symetrie

cylindrique : invariantes par rotations autour d’un axe Oz, et, dans un certain intervalle de valeurs

de z, invariante par des translations de petite amplitude dans la direction z. D’apres le principe

de Curie (1894)

lorsque certaines causes produisent certains effets,

les elements de symetrie des causes doivent se retrouver dans les effets produits ,

les champs produits (dans un contexte mecanique, le champ de deplacement pour un solide,

le champ de vitesse pour un fluide) doivent eux-aussi etre a symetrie cylindrique .

Pour de tels systemes, l’usage de coordonnees cartesiennes est peu pertinent, et il vaut mieux utiliser

des coordonnees cylindriques. Le probleme du calcul des operateurs differentiels en coordonnees

cylindriques se pose alors. L’objet de ce qui suit est d’affronter ce probleme, dans le cas general

d’un systeme peu symetrique, au sens ou les champs dependent des trois coordonnees r, θ et z. Le

cas plus simple de systemes plus symetriques, au sens ou, par exemple, seule une dependance en r

existe, sera presente en cours en seance 2, et traite au TD 2 avec le probleme 2.1.

2.7.2 Definition des coordonnees cylindriques

On rappelle que la definition du systeme des coordonnees cylindriques (figure 2.8) necessite

l’usage d’un repere orthonorme direct Oxyz. Le point M defini par

x = OM = xex + yey + zez

admet (r, θ, z) comme coordonnees cylindriques si

x = r cos θ , y = r sin θ avec r ≥ 0. (2.78)

On introduit une base locale orthonormee directe er, eθ, ez qui depend de M et est definie par

les directions de variation de M en fonction des coordonnees 21,

er =∂OM/∂r

||∂OM/∂r||= cos θ ex + sin θ ey , (2.79)

eθ =∂OM/∂θ

||∂OM/∂θ||= − sin θ ex + cos θ ey , (2.80)

ez =∂OM/∂z

||∂OM/∂z||. (2.81)

21. Ce sont en fait les vecteurs unitaires tangents aux lignes de coordonnees, courbes obtenues en fixant deux

coordonnees et en faisant varier la troisieme.


On remarque que

x = OM = rer + zez . (2.82)

L’interet des definitions tensorielles intrinseques donnees plus haut pour tous les operateurs (for-

mules 2.5, 2.23, 2.51 et 2.20) est qu’elles vont permettre un calcul direct de ceux-ci dans le systeme

des coordonnees cylindriques. On va d’abord le montrer pour le gradient d’un champ de tenseur.

Pour cela nous aurons besoin d’expliciter le vecteur variation infinitesimale dx de x donne par

(2.82). Quand (r, θ, z) varient de (dr, dθ, dz), d’apres (2.79), (2.80) et (2.81), er, eθ, ez varient

de

der = eθ dθ , deθ = −er dθ , dez = 0 . (2.83)

En consequence il vient, d’apres la formule de Leibniz sous forme differentielle

d(fg) = (df) g + f dg , (2.84)

que

dx = er dr︸︷︷︸dxr

+ r eθ dθ︸︷︷︸dxθ

+ ez dz︸︷︷︸dxz

. (2.85)

On a introduit les vecteurs infinitesimaux dxr, dxθ, dxz qui correspondent aux variations res-

pectives du vecteur position sous l’effet de variations des coordonnees r, θ, z. Ceci permet par

exemple d’evaluer l’element de surface sur un cylindre r = constante, en vertu de la remarque faite

au niveau de l’equation (1.88), comme

dS = ||dxθ ∧ dxz|| = r dθ dz ,

ou encore l’element de volume en coordonnees cylindriques, en vertu de la formule (2.32),

ε(dxr, dxθ, dxz) = ε(er dr, r eθ dθ, ez dz) = r dr dθ dz . (2.86)

Accessoirement les formules (2.83) montrent que

∂er∂r

= 0 ,∂er∂θ

= eθ ,∂eθ∂r

= 0 ,∂eθ∂θ

= −er . (2.87)

2.7.3 Expressions du gradient

La definition (2.5) peut s’ecrire, compte tenu de l’expression differentielle generale de la varia-

tion infinitesimale de T en fonction de ses derivees partielles,

dT =∂T

∂rdr +

∂T

∂θdθ +

∂T

∂zdz = ∇T · (er dr + r eθ dθ + ez dz) . (2.88)

Comme les variations des coordonnees dr, dθ et dz sont independantes, on peut identifier les

facteurs de dr, dθ et dz a gauche et a droite de (2.88), d’ou les expressions de ∇T applique aux

vecteurs de la base locale,

∇T · er =∂T

∂r, ∇T · eθ =

1

r

∂T

∂θ, ∇T · ez =

∂T

∂z. (2.89)

Si T est un champ scalaire T , on sait que son gradient est un champ de vecteur, ∇T = ∇T .

Avec (2.89) on obtient immediatement

∇T =∂T

∂rer +

1

r

∂T

∂θeθ +

∂T

∂zez . (2.90)


PSfrag replacements

O

M

x

y

z

er

eθ

ez

r

θ

Fig. 2.8 – Definition du systeme des coordonnees cylindriques (r, θ, z).

Si T est un champ de vecteur

v = vr er + vθ eθ + vz ez , (2.91)

on sait que son gradient est un champ de tenseur d’ordre 2, que l’on note provisoirement G = ∇v.

On a, d’apres (2.89),

G · er = Grrer + Gθreθ + Gzrez =∂v

∂r=

∂vr∂r

er +∂vθ∂r

eθ +∂vz∂r

ez ,

G · eθ = Grθer + Gθθeθ + Gzθez =1

r

∂v

∂θ

=1

r

(∂vr∂θ

er + vreθ +∂vθ∂θ

eθ − vθer +∂vz∂θ

ez

),

G · ez = Grzer + Gθzeθ + Gzzez =∂v

∂z=

∂vr∂z

er +∂vθ∂z

eθ +∂vz∂z

ez ,

en faisant usage de (2.87). En identifiant les coefficients des vecteurs de la base locale dans chacune

de ces equations, on obtient

Mat(∇v, er,eθ,ez

)= [G] =

∂vr∂r

1

r

(∂vr∂θ− vθ

) ∂vr∂z

∂vθ∂r

1

r

(∂vθ∂θ

+ vr

) ∂vθ∂z

∂vz∂r

1

r

∂vz∂θ

∂vz∂z

. (2.92)

2.7.4 Expression du rotationnel

Pour ce meme champ de vecteur v, avec la meme notation G = ∇v pour son gradient, en

vertu de (2.20) et (2.92) on obtient

rot(v) = ε : G

= (εrθzGzθ + εrzθGθz) er + (εθrzGzr + εθzrGrz) eθ + (εzθrGrθ + εzrθGθr) ez

rot(v) =(1

r

∂vz∂θ− ∂vθ

∂z

)er +

(∂vr∂z− ∂vz

∂r

)eθ +

1

r

(∂(rvθ)

∂r− ∂vr

∂θ

)ez . (2.93)


2.7.5 Expressions de la divergence

Si v est un champ de vecteur, il vient, d’apres (2.24) et (2.92),

divv = tr∇v =∂vr∂r

+vrr

+1

r

∂vθ∂θ

+∂vz∂z

=1

r

∂

∂r(rvr) +

1

r

∂vθ∂θ

+∂vz∂z

. (2.94)

Si T est un champ de tenseur d’ordre 2 symetrique 22,

T = Trrer ⊗ er + Tθθeθ ⊗ eθ + Tzzez ⊗ ez

+ Trθ(er ⊗ eθ + eθ ⊗ er) + Trz(er ⊗ ez + ez ⊗ er) + Tθz(eθ ⊗ ez + ez ⊗ eθ) , (2.95)

on pourrait penser d’apres la definition (2.23)

div T = ∇ T : 1 ,

que pour expliciter div T le calcul (a priori tres lourd) de ∇ T est primordial. On peut cependant

eviter ce calcul en injectant dans cette definition l’expression locale analogue a (1.36) du tenseur

identite,

1 = er ⊗ er + eθ ⊗ eθ + ez ⊗ ez , (2.96)

et en utilisant le fait 23 que

A : (b⊗ c) =(A · b

)· c . (2.97)

Il vient ainsi

div T =(∇ T · er

)· er +

(∇ T · eθ

)· eθ +

(∇ T · ez

)· ez

div T =∂T

∂r· er +

1

r

∂T

∂θ· eθ +

∂T

∂z· ez (2.98)

en utilisant (2.89). Comme les vecteurs de la base locale ne dependent que de θ, suivant les regles

(2.87), (2.95) donne

∂T

∂r=

∂Trr∂r

er ⊗ er +∂Tθθ∂r

eθ ⊗ eθ +∂Tzz∂r

ez ⊗ ez

+∂Trθ∂r

(er ⊗ eθ + eθ ⊗ er) +∂Trz∂r

(er ⊗ ez + ez ⊗ er) +∂Tθz∂r

(eθ ⊗ ez + ez ⊗ eθ) ,

∂T

∂θ=

∂Trr∂θ

er ⊗ er +∂Tθθ∂θ

eθ ⊗ eθ +∂Tzz∂θ

ez ⊗ ez

+∂Trθ∂θ

(er ⊗ eθ + eθ ⊗ er) +∂Trz∂θ

(er ⊗ ez + ez ⊗ er) +∂Tθz∂θ

(eθ ⊗ ez + ez ⊗ eθ)

+ Trr(eθ ⊗ er + er ⊗ eθ) − Tθθ(er ⊗ eθ + eθ ⊗ er)

+ Trθ(eθ ⊗ eθ − er ⊗ er − er ⊗ er + eθ ⊗ eθ)

+ Trz(eθ ⊗ ez + ez ⊗ eθ) − Tθz(er ⊗ ez + ez ⊗ er) ,

∂T

∂z=

∂Trr∂z

er ⊗ er +∂Tθθ∂z

eθ ⊗ eθ +∂Tzz∂z

ez ⊗ ez

+∂Trθ∂z

(er ⊗ eθ + eθ ⊗ er) +∂Trz∂z

(er ⊗ ez + ez ⊗ er) +∂Tθz∂z

(eθ ⊗ ez + ez ⊗ eθ) .

22. Cette hypothese permettra de simplifier les calculs ; dans le cadre du cours de mecanique des milieux continus

on n’aura pas besoin de la divergence d’un tenseur d’ordre 2 non symetrique.

23. Facile a etablir a partir de (1.72).


Au final, en utilisant la regle (1.32) pour evaluer les produits de la forme (ei ⊗ ej) · ek, la formule

(2.98) donne

div T =∂Trr∂r

er +∂Trθ∂r

eθ +∂Trz∂r

ez

+1

r

(∂Tθθ∂θ

eθ +∂Trθ∂θ

er +∂Tθz∂θ

ez + Trrer − Tθθer + 2Trθeθ + Trzez

)+

∂Tzz∂z

ez +∂Trz∂z

er +∂Tθz∂z

eθ

i.e.

div T =(∂Trr∂r

+1

r

∂Trθ∂θ

+∂Trz∂z

+Trr − Tθθ

r

)er

+(∂Trθ∂r

+1

r

∂Tθθ∂θ

+∂Tθz∂z

+2Trθr

)eθ

+(∂Trz∂r

+1

r

∂Tθz∂θ

+∂Tzz∂z

+Trzr

)ez

. (2.99)

Il peut parfois etre utile de recrire la derniere composante de ce vecteur sous la forme

ez · div T =1

r

∂

∂r(rTrz) +

1

r

∂Tθz∂θ

+∂Tzz∂z

. (2.100)

2.7.6 Expressions du laplacien

Si T est un champ scalaire, on obtient, a partir de (2.51), (2.90) et (2.94),

∆T = div ∇T =1

r

∂

∂r

(r∂T

∂r

)+

1

r2

∂2T

∂θ2+∂2T

∂z2=

∂2T

∂r2+

1

r

∂T

∂r+

1

r2

∂2T

∂θ2+∂2T

∂z2. (2.101)

Si v est un champ de vecteur, on peut montrer que son laplacien en coordonnees cylindriques

est donne par

∆v =(

∆vr −2

r2

∂vθ∂θ− vrr2

)er +

(∆vθ +

2

r2

∂vr∂θ− vθr2

)eθ + ∆vz ez , (2.102)

la notation ∆ etant definie par (2.101). Une demonstration de cette formule est donnee dans Pernes

(2003), cf. sa section 9.19.

Exercice 2.12 Sur le calcul du laplacien d’un champ vectoriel en cylindriques

Expliquez pourquoi il serait errone, pour calculer ce laplacien, d’utiliser la definition

∆v = div ∇v

en remplacant dans (2.99) le tenseur T par le gradient de v donne par (2.92).


Probleme 2.1 Aspects mathematiques de l’etude d’un tuyau sous pression

Dans de nombreux systemes industriels, on doit transporter un fluide a haute pression. C’est

par exemple le cas des centrales nucleaires a eau pressurisee, comme explique dans l’enonce du

probleme 4.4 du cours de mecanique. On veut justement ici preparer l’etude de ce probleme, qui

sera faite en TD, en traitant la partie mathematique de la modelisation du champ de deplacement

produit par une surpression dans un tuyau. Pour cela, on n’utilisera pas les formules de cette

section, mais on les redemontrera (partiellement, dans un cas plus simple) pour la plupart afin de

mieux les comprendre. Le tuyau est cylindrique ; sa section est une couronne de rayons interieur

a, exterieur b. On utilise un repere cartesien Oxyz d’axe Oz de revolution du tuyau, et les coor-

donnees cylindriques associees (r,θ,z). En travaillant, en elasticite lineaire, en difference entre la

configuration de reference ou le tuyau est plein d’air a pression atmospherique patm et la configu-

ration actuelle ou le tuyau est plein du liquide pressurise a p = patm + δp, le champ de forces cause

du mouvement est defini par la densite de forces surfaciques purement radiales

T =d2f

d2S= δp er ,

forces surfaciques qui s’appliquent sur la surface interieure du tuyau en r = a. Le champ ef-

fet produit est le champ de deplacement du tuyau,

u = u(x,t) ,

defini, en hypothese de petits deplacements, dans toute la couronne r = ||x|| ∈ [a,b].

1 Representez sur des schemas la situation etudiee. En faisant un inventaire des symetries res-

pectees par le champ T, et en appliquant le principe de Curie, montrez que le champ de deplacement

peut etre suppose de la forme

u = U(r) er .

2 Dans la realite le probleme pose est thermomecanique, au sens ou le champ de temperature dans

le tuyau, T (r) par symetrie, est non uniforme. En repartant de sa definition intrinseque, calculez

le champ ∇T . Vous calculerez dans un premier temps la differentielle dx du vecteur position, en

prenant garde au fait que les vecteurs er et eθ de la base locale dependent de x.

3 En repartant de sa definition intrinseque, calculez le champ de tenseurs ∇u. On vous demande

de donner une ecriture matricielle et une ecriture intrinseque de ce tenseur.

4 Par un raisonnement simple n’impliquant pas de calcul, donnez la valeur du rotationnel du

champ de deplacement.

5 Calculez la divergence du champ de deplacement.

6 Question subsidiaire facultative : calculez le laplacien du champ de deplacement 24.

Indications : observez que le probleme est bidimensionnel (r,θ) , posez

G = ∇u

puis calculez

T = ∇ G

en partant de formules du type (2.89) pour identifier les Tijk pour i,j,k ∈ r,θ...24. Afin de manipuler un tenseur d’ordre 3, on s’interdit l’usage (a priori astucieux ) de la formule (2.68).


Probleme 2.2

Aspects mathematiques de l’etude d’un rheometre de Couette cylindrique

Un rheometre de Couette cylindrique, tel celui presente sur la figure 2.9, est une cavite, comprise

entre un cylindre interieur pouvant tourner autour de son axe et un cylindre exterieur fixe, remplie

du liquide a etudier. En appliquant un couple au cylindre interieur, on cree un ecoulement dans le

liquide. On va developper ici la partie mathematique de la modelisation de cet ecoulement, sans

utiliser les formules de cette section, en les redemontrant (partiellement, dans un cas plus simple)

pour la plupart afin de mieux les comprendre. La partie physique de la modelisation et la resolution

du modele seront l’objet du probleme 7.2 du cours de mecanique.

On utilise naturellement un systeme de coordonnees cylindriques (r, θ, z) avec Oz l’axe vertical

de symetrie du systeme, axe de revolution des deux cylindres. On suppose que le systeme est

suffisamment allonge pour permettre de negliger les effets des frottements au niveau du socle, situe

en z = 0, ou ceux de la surface libre, situee autour de z = h. Dans ces conditions le seul champ de

forces cause de l’ecoulement est defini par la densite de forces surfaciques purement azimutales

T =d2f

d2S= τ eθ ,

forces surfaciques qui sont appliquees par le cylindre interieur tournant sur le liquide, sur toute la

surface de contact entre ceux-ci. Pour fixer les idees on suppose la constante τ strictement positive.

Le champ effet produit est le champ de vitesse de l’ecoulement

v = v(x,t) ,

vitesse instantanee des particules liquides passant a l’instant t au point x.

1 En faisant un bilan des symetries respectees par le champ T, et en appliquant le principe de

Curie, montrez que le champ de vitesse peut etre suppose de la forme

v = U(r) er + V (r) eθ .

2 On considere un champ scalaire p caracteristique de l’ecoulement 25. On admet qu’il est aussi

tres symetrique, i.e. de la forme

p = p(r) .

En repartant de sa definition intrinseque, calculez le champ ∇p. Vous calculerez dans un premier

temps la differentielle dx du vecteur position, en prenant garde au fait que les vecteurs er et eθ de

la base locale dependent de x.

3 En repartant de sa definition intrinseque, calculez le champ de tenseurs ∇v. On vous demande

de donner une ecriture matricielle et une ecriture intrinseque de ce tenseur.

4 En exploitant l’une des proprietes physiques fondamentale d’un liquide incompressible, a savoir

que divv = 0, ainsi que les conditions d’impermeabilite des parois, montrez que la fonction U est

forcement nulle. Vous calculerez d’abord divv en repartant de sa definition intrinseque.

5 Afin de preparer l’ecriture du bilan local de quantite de mouvement dans le liquide, et toujours

en revenant aux definitions intrinseques, etablissez a l’aide du calcul tensoriel l’expression de ∆v

(pour le champ de vitesse non general etudie ici).

25. En pratique ce sera le champ de pression motrice p.


Indications : observez que le probleme est bidimensionnel (r,θ) , posez

G = ∇v

puis calculez

T = ∇ G

en partant de formules du type (2.89) pour identifier les Tijk pour i,j,k ∈ r,θ...

2.8 Calculs en coordonnees spheriques

Evidemment le meme type de calculs peuvent etre faits en coordonnees spheriques, ou ils seront

neanmoins (encore) plus lourds. En consequence on se contente ici de donner les resultats de ces

calculs. Le lecteur scrupuleux et courageux pourra consulter Pernes (2003), et en particulier sa

section 9.20, pour trouver des elements sur le detail de ces calculs.

2.8.1 Definition des coordonnees spheriques

Le systeme des coordonnees spheriques defini sur la figure 2.10 s’utilise pour des systemes

ou une geometrie de reference est a symetrie spherique , i.e. invariante par toutes les rotations

d’axe passant par O. On privilegie un axe Oz d’un repere orthonorme direct Oxyz et on dit que

M defini par

x = OM = xex + yey + zez

admet (r, θ, ϕ) comme coordonnees spheriques si

x = r sin θ cosϕ , y = r sin θ sinϕ , z = r cos θ . (2.103)

Ici encore on introduit une base locale orthonormee directe a partir des directions de variation

de M,

er =∂OM/∂r

||∂OM/∂r||= sin θ (cosϕ ex + sinϕ ey) + cos θ ez , (2.104)

eθ =∂OM/∂θ

||∂OM/∂θ||= cos θ (cosϕ ex + sinϕ ey) − sin θ ez , (2.105)

eϕ =∂OM/∂ϕ

||∂OM/∂ϕ||= − sinϕ ex + cosϕ ey . (2.106)

On peut remarquer que

x = rer (2.107)

et calculer les variations des vecteurs de la base locale,

der = eθ dθ + eϕ sin θ dϕ , (2.108)

deθ = −er dθ + eϕ cos θ dϕ , (2.109)

deϕ = −(er sin θ + eθ cos θ) dϕ . (2.110)

On en deduit que

dx = er dr︸︷︷︸dxr

+ r eθ dθ︸︷︷︸dxθ

+ r eϕ sin θ dϕ︸︷︷︸dxϕ

, (2.111)

2.8 Calculs en coordonnees spheriques 55

Fig. 2.9 – Photographie d’une experience de Couette cylindrique au Lemta menee dans l’equipe

de Salaheddine Skali-Lami par Ghania Benbelkacem. En haut on distingue le moteur electrique, de l’axe

duquel est solidaire le cylindre interieur du systeme (de rayon exterieur = a). Entre celui-ci et le cylindre

exterieur fixe (de rayon interieur = b) se trouve le liquide a etudier, dont on distingue la surface libre.

Le cylindre exterieur est fixe dans une cuve parallelepipedique. Toutes ces pieces solides sont en plexiglass

afin de permettre des visualisations. La cuve est en general remplie d’eau (pour les besoins de la photo ce

remplissage n’a pas ete effectue jusqu’en haut), afin notamment d’assurer une regulation thermique.

PSfrag replacements

O

M

x

y

z er

eθ

eϕ

rθ

ϕ

Fig. 2.10 – Definition du systeme des coordonnees spheriques (r, θ, ϕ).


avec des notations similaires a celles de l’equation (2.85). Ceci permet par exemple d’evaluer

l’element de volume naturel en coordonnees spheriques,

ε(dxr, dxθ, dxϕ) = ε(er dr, r eθ dθ, r eϕ sin θ dϕ) = r2 sin θ dr dθ dϕ . (2.112)

2.8.2 Expressions du gradient

On etablit que le gradient d’un champ scalaire T est donne par

∇T =∂T

∂rer +

1

r

∂T

∂θeθ +

1

r sin θ

∂T

∂ϕeϕ . (2.113)

Pour un champ de vecteur

v = vr er + vθ eθ + vϕ eϕ , (2.114)

on peut montrer que

Mat(∇v, er,eθ,eϕ

)=

∂vr∂r

1

r

(∂vr∂θ− vθ

) 1

r sin θ

(∂vr∂ϕ− vϕ sin θ

)∂vθ∂r

1

r

(∂vθ∂θ

+ vr

) 1

r sin θ

(∂vθ∂ϕ− vϕ cos θ

)∂vϕ∂r

1

r

∂vϕ∂θ

1

r sin θ

(∂vϕ∂ϕ

+ vr sin θ + vθ cos θ)

. (2.115)

2.8.3 Expression du rotationnel

On peut montrer que le rotationnel d’un champ de vecteur v est donne par

rot(v) =1

r sin θ

(∂(vϕ sin θ)

∂θ− ∂vθ∂ϕ

)er +

1

r

( 1

sin θ

∂vr∂ϕ− ∂(rvϕ)

∂r

)eθ +

1

r

(∂(rvθ)

∂r− ∂vr

∂θ

)eϕ .

(2.116)

2.8.4 Expressions de la divergence

Si v est un champ de vecteur, on montre que

divv =1

r2

∂(r2vr)

∂r+

1

r sin θ

∂(vθ sin θ)

∂θ+

1

r sin θ

∂vϕ∂ϕ

. (2.117)

Dans le cas d’un champ de tenseur d’ordre 2 symetriques

T = Trrer ⊗ er + Tθθeθ ⊗ eθ + Tϕϕeϕ ⊗ eϕ

+ Trθ(er ⊗ eθ + eθ ⊗ er) + Trϕ(er ⊗ eϕ + eϕ ⊗ er) + Tθϕ(eθ ⊗ eϕ + eϕ ⊗ eθ)(2.118)

2.9 Notes personnelles 57

on montre que

div T =

(∂Trr∂r

+1

r

∂Trθ∂θ

+1

r sin θ

∂Trϕ∂ϕ

+1

r(2Trr − Tθθ − Tϕϕ + Trθcotanθ)

)er

+

(∂Tθr∂r

+1

r

∂Tθθ∂θ

+1

r sin θ

∂Tθϕ∂ϕ

+1

r

((Tθθ − Tϕϕ)cotanθ + 3Trθ

))eθ

+

(∂Tϕr∂r

+1

r

∂Tϕθ∂θ

+1

r sin θ

∂Tϕϕ∂ϕ

+1

r(3Trϕ + 2Tθϕcotanθ)

)eϕ

.

(2.119)

2.8.5 Expressions du laplacien

Si T est un champ scalaire, on montre que

∆T = ∆rT +1

r2

∂2T

∂θ2+

1

r2(cotanθ)

∂T

∂θ+

1

r2 sin2 θ

∂2T

∂ϕ2

avec ∆rT =1

r2

∂

∂r

(r2∂T

∂r

)=

1

r

∂2(rT )

∂r2=

2

r

∂T

∂r+∂2T

∂r2

. (2.120)

Si v est un champ de vecteur, on montre que

∆v =

(∆vr −

2

r2

(vr +

1

sin θ

∂

∂θ(vθ sin θ) +

1

sin θ

∂vϕ∂ϕ

))er

+

(∆vθ +

2

r2

(∂vr∂θ− vθ

2 sin2 θ− cos θ

sin2 θ

∂vϕ∂ϕ

))eθ

+

(∆vϕ +

2

r2 sin θ

(∂vr∂ϕ

+ (cotanθ)∂vθ∂ϕ− vϕ

2 sin θ

))eϕ

. (2.121)

2.9 Notes personnelles


Chapitre 3

Complements d’analyse tensorielle :

potentiels et rotationnels

La problematique de ce chapitre est celle des conditions necessaires et suffisantes d’existence

de potentiels scalaires ou vecteurs pour des champs de vecteurs ou de tenseurs. Il s’agit de

repondre a des questions telles que :

1. etant donne un champ de vecteurs v(x) sur Ω ouvert de R3, a quelle condition existe t’il

un champ scalaire φ tel que

∀x ∈ Ω, v(x) = ∇xφ ?

2. etant donne un champ de tenseurs A(x) sur Ω ouvert de R3, a quelle condition existe t’il

un champ de vecteurs v tel que

∀x ∈ Ω, A(x) = ∇xv ?

Dans le premier cas on dit que φ est un potentiel scalaire pour v, et dans le second cas que v

est un potentiel vecteur pour A. La solution de la premiere question est sans doute connue

du lecteur, qui se souvient que le rotationnel du champ de vecteurs v est un outil utile pour

cette solution ; on va le rappeler dans la section 3.1. Pour pouvoir repondre a la deuxieme question,

et a une question analogue posee par la mecanique des milieux continus, on va devoir introduire

le rotationnel d’un champ de tenseurs d’ordre 2 A. Cela sera fait dans la section 3.2.

La section 3.2 s’inspire grandement de l’une des annexes de Bernardin (2008). Je le remercie encore

pour m’avoir permis de la reproduire ici, en la reformatant a ma maniere.

Enfin, dans la section 3.3, on donnera des elements de reponse a une troisieme question :

3. etant donne un champ de vecteurs v(x) sur Ω ouvert de R3, a quelle condition existe t’il

un champ potentiel vecteur a(x) tel que

∀x ∈ Ω, v(x) = rota(x) ?

3.1 Existence de potentiel scalaire : theoreme de Cauchy

Ce theoreme repond a la question 1 ci-dessus. Il est valable dans un ouvert simplement

connexe Ω tel que tout circuit γ de Ω peut se deformer continument en un point. Une definition

plus precise de cette notion est donnee par Plaut (2006) dans un cadre bidimensionnel restreint,

60 Chapitre 3 Complements : potentiels et rotationnels

tandis que Appel (2005); Chatterji (1997) sont des references d’autorite pour le cas general, par

exemple, tridimensionnel. On peut retenir qu’un ouvert simplement connexe est un ouvert sans

trou , dans lequel, si γ est un circuit quelconque de Ω, on peut definir une surface interieure de

γ (dont γ est le bord) qui soit entierement contenue dans Ω. Un ouvert non simplement connexe

est dit multiplement connexe .

On a, si v est un champ regulier, de classe C1, sur Ω simplement connexe,

∃φ ∈ C2(Ω→ R) tel que v = ∇φ ⇐⇒ rotv = 0 . (3.1)

Ce theoreme est par exemple demontre, avec des methodes assez elementaires , dans la section

8.16 de Pernes (2003). Une demonstration beaucoup plus sophistiquee, faisant appel a la theorie

des formes differentielles , est donnee dans Appel (2005).

En se gardant d’utiliser ces notions, donnons les grandes lignes d’une demonstration elemen-

taire . Le sens =⇒ a ete traite dans l’exercice 2.3 ; on peut noter que dans ce sens la simple

connexite de Ω n’est pas necessaire 1. Dans le sens ⇐= on construit le potentiel φ en integrant v

le long d’un chemin connectant un point particulier origine a un point courant M, en posant donc,

si α est un tel chemin, que 2

φ(M) =

∫α

v · dx .

On a alors bien, localement, ∇φ = v, mais il faut verifier que φ(M) ne depend pas du choix du

chemin α. Considerant deux chemins α et β, on doit montrer que le circuit γ compose de α dans

son sens mis bout a bout avec β dans le sens oppose verifie∫γ

v · dx = 0 .

Ceci s’obtient avec la formule integrale du rotationnel (2.35), que l’on a le droit d’appliquer puisque,

du fait de la simple connexite de Ω, l’interieur de γ est une surface entierement contenue dans Ω,

domaine de regularite de v.

3.2 Existence de potentiels vecteurs pour des champs

irrotationnels : theoremes de Cauchy generalises

3.2.1 Rotationnel d’un champ de tenseurs d’ordre 2

Soit A(x) un champ de tenseurs d’ordre 2 sur Ω. On definit le rotationnel de A comme le

champ sur Ω des applications lineaires verifiant 3

∀y ∈ R3, rotx

(A)· y = rotx

(AT · y

). (3.2)

En coordonnees cartesiennes, on obtient, si [R] et [A] designent les matrices representant rot(A)

et A,

∀i, Rijyj = εijk∂

∂xj(Alkyl) = εilk

∂Ajk∂xl

yj

1. Cette remarque est valable pour les theoremes de Cauchy generalises de la section 3.2.

2. Ce que l’on note ici dx est le tdl de la section 2.4, avec t le vecteur unitaire tangent au chemin, dl l’element

de longueur le long du chemin.

3. Par la suite on omettra la plupart du temps les indices x, qui rappellent dans la definition (3.2) qui est la

variable d’espace parcourant Ω.

3.2 Existence de potentiels vecteurs pour des champs irrotationnels 61

donc

Rij = εilk∂Ajk∂xl

. (3.3)

Ainsi le j eme vecteur colonne de [R] a pour composantes celles du rotationnel du j eme vecteur ligne

de [A].

3.2.2 Premier theoreme de Cauchy generalise

Soit A(x) un champ de tenseurs d’ordre 2 sur Ω, de classe C1 sur Ω. Si Ω est simplement

connexe, on a

∃v ∈ C2(Ω→ R3) tel que A = ∇v ⇐⇒ rot(A)

= 0 . (3.4)

Dans le sens ⇒ , si A = ∇v, alors pour tout vecteur fixe y on a

AT · y = ∇vT · y = ∇(v · y) .

En consequence

rot(A)· y = 0

quelque soit y, donc

rot(A)

= 0 .

Dans le sens ⇐=, on remarque que rot(A)

= 0 implique, pour les vecteurs ei d’une base ortho-

normee,

rot(AT · ei

)= 0 .

Donc, en vertu du theoreme de Cauchy, il existe trois champs scalaires vi tels que

∀i, AT · ei = ∇vi .

Notons v = viei. Il vient

∀i, AT · ei = ∇vT · ei ,donc

AT = ∇vT ⇐⇒ A = ∇v .

3.2.3 Lemmes

On laisse au lecteur courageux le soin de montrer les lemmes suivants.

1 Pour u ∈ C2(Ω→ R3), montrez que

∇(rotu)

= rot(∇uT

). (3.5)

2 Dans les memes conditions, en notant

D(u)

=1

2

(∇u + ∇uT

), (3.6)

deduisez de (3.5) que

rot(D(u))

=1

2∇(rotu

). (3.7)

3 Si maintenant u ∈ C3(Ω→ R3), montrez que

rot(rot(D(u)))

= 0 . (3.8)


3.2.4 Deuxieme theoreme de Cauchy generalise

Soit E(x) un champ de tenseurs d’ordre 2 sur Ω, de classe C2 sur Ω. Si Ω est simplement

connexe, on a

∃v ∈ C3(Ω→ R3) tel que E = D(v) ⇐⇒ rot(rot(E))

= 0 . (3.9)

Dans le sens ⇒ le resultat decoule immediatement du lemme (3.8). Reciproquement soit E tel

que rot(rot(E))

= 0. D’apres le premier theoreme de Cauchy generalise (3.4), il existe u dans

C2(Ω→ R3) tel que

rot(E)

= ∇u .

En revenant a la definition de rot(E)

, il vient, puisque E est symetrique,

∀y ∈ R3, rot(E · y

)= ∇u · y = rot(u ∧ y) + y divu .

En prenant la divergence de cette equation on obtient

∀y ∈ R3, 0 = div(ydivu) = y ·∇(divu) .

Il en resulte que ∇(divu) est nul donc que divu est une certaine constante C. On a alors

∀y ∈ R3, rot(E · y− (u− 1

2Cx) ∧ y)

= 0 .

En prenant successivement pour y chaque vecteur ei d’une base orthonormee, on obtient par le

theoreme de Cauchy (3.1) l’existence de champs vi tels que

∀i, E · ei − (u− 12Cx) ∧ ei = ∇vi .

Posant v = viei, il vient

∀y ∈ R3, E · y− (u− 12Cx) ∧ y = ∇vT · y .

Introduisant l’application antisymetrique

Ω : y 7−→ (u− 12Cx) ∧ y ,

on a

E−Ω = ∇vT .

En ajoutant a cette equation sa transposee on obtient bien

2E = 2D(v) .

En coordonnees cartesiennes, la condition d’existence du potentiel v au sens de (3.9), dite aussi

condition de compatibilite geometrique , s’ecrit, si [e] est la matrice representative de E,

3.3 Existence de potentiel vecteur pour un champ a divergence nulle 63

sous la forme des equations suivantes :

2∂2e23

∂X2∂X3=

∂2e33

∂X2∂X2+

∂2e22

∂X3∂X3, (3.10a)

2∂2e31

∂X3∂X1=

∂2e11

∂X3∂X3+

∂2e33

∂X1∂X1, (3.10b)

2∂2e12

∂X1∂X2=

∂2e22

∂X1∂X1+

∂2e11

∂X2∂X2, (3.10c)

∂2e13

∂X2∂X3+

∂2e32

∂X3∂X1=

∂2e12

∂X3∂X3+

∂2e33

∂X2∂X1, (3.10d)

∂2e21

∂X3∂X1+

∂2e13

∂X1∂X2=

∂2e23

∂X1∂X1+

∂2e11

∂X3∂X2, (3.10e)

∂2e32

∂X1∂X2+

∂2e21

∂X2∂X3=

∂2e31

∂X2∂X2+

∂2e22

∂X1∂X3. (3.10f)

La demonstration de ce resultat est laissee au lecteur courageux. On verra des applications de cette

condition dans la methode des contraintes exposee dans la section 4.4 de Plaut (2017).

Par rapport aux presentations de ces conditions de compatibilite donnees par exemple dans les

sections II.6 de Salencon (1996), 3.4 de Le Tallec (2009), ou 2.3 de Forest (2009), le fait de pouvoir

proposer une version intrinseque de ces conditions,

rot(rot(E))

= 0 ,

nous semble conceptuellement interessant, puisqu’il permet en principe d’ecrire ces conditions dans

n’importe quel systeme de coordonnees.

3.3 Existence de potentiel vecteur

pour un champ a divergence nulle

Dans l’exercice 2.3, on a vu qu’un champ de rotationnel est a divergence nulle : si a(x) est de

classe C2 sur Ω, alors

div(rota) = 0 . (3.11)

Montrons que la reciproque est vraie, a une condition topologique sur Ω pres, a savoir, que Ω soit

un ouvert etoile, ce qui sera precise ci-dessous. Ainsi, si v est un champ regulier, de classe C1, sur

Ω,

∃a ∈ C2(Ω→ R3) tel que v = rota ⇐⇒ divv = 0 . (3.12)

La condition d’ouvert etoile stipule l’existence d’un point particulier de Ω, que l’on peut

appeler O et choisir comme origine d’un repere cartesien Ox1x2x3, tel que

∀M ∈ Ω , le segment OM est contenu dans Ω , (3.13)

ou encore, en notant x = OM le vecteur position,

∀x ∈ Ω , tx, ∀t ∈ [0,1] ⊂ Ω . (3.14)

Pour demontrer l’implication dans le sens ⇐=, on construit le potentiel vecteur a a partir de la

formule integrale

a(x) =

∫ 1

0v(tx) ∧ tx dt ,


soit, en composantes,

ak(x) = εkpq

∫ 1

0vp(tx) txq dt .

On en deduit que

∂ak∂xj

= εkpq

∫ 1

0

∂vp(tx)

∂xjt2xq dt + εkpq

∫ 1

0vp(tx) tδqj dt

∂ak∂xj

= εkpq

∫ 1

0

∂vp(tx)

∂xjt2xq dt + εkpj

∫ 1

0vp(tx) t dt .

En consequence

wi =[rota

]i

= εijk∂ak∂xj

= εijkεkpq

∫ 1

0

∂vp(tx)

∂xjt2xq dt + εijkεkpj

∫ 1

0vp(tx) t dt

= εkijεkpq

∫ 1

0

∂vp(tx)

∂xjt2xq dt + εkijεkpj

∫ 1

0vp(tx) t dt

wi =[rota

]i

= (δipδjq − δiqδjp)∫ 1

0

∂vp(tx)

∂xjt2xq dt + (δipδjj − δijδjp)

∫ 1

0vp(tx) t dt

en faisant usage de la formule (1.91). Ainsi

wi =

∫ 1

0

∂vi(tx)

∂xjt2xj dt −

∫ 1

0

∂vj(tx)

∂xjt2xi dt + 3

∫ 1

0vi(tx) t dt −

∫ 1

0vi(tx) t dt

=

∫ 1

0

[∂vi(tx)

∂xjt2xj + 2vi(tx) t

]dt

=

∫ 1

0

d

dt[t2 vi(tx)] dt

= [t2 vi(tx)]1t=0

wi = vi(x) , CQFD.

On admet ici que l’equivalence (3.12) s’etend au cas d’un ouvert contractile, qui peut se deformer

continument en un point. Une esquisse de la demonstration de ce theoreme sophistique, du essen-

tiellement a Poincare, est donnee dans Appel (2005).

Un contre-exemple instructif est donne dans la section 6.6.4 de Chatterji (1997), qui considere, dans

l’ouvert non contractile R3 prive de son origine O, Ω = R3 − O, le champ defini en coordonnees

spheriques (r,θ,ϕ) par

v =err2

.

On recommande en exercice de verifier que

divv = 0

mais que, pour autant, il n’existe pas de champ a regulier sur Ω qui verifierait

v = rota .

Pour cela, on considerera une sphere S centree sur l’origine, qui peut etre vue comme reposant sur

un bord ∂S reduit a un point, et on evaluera de deux manieres∫∫S

v · n d2S ,

avec, bien entendu, n la normale unitaire sortant de S, i.e., n = er...

Bibliographie

Appel, W. 2005 Mathematiques pour la physique et les physiciens ! H & K Editions.

Aris, R. 1962 Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics. Prentice-Hall.

Bernardin, D. 2008 Rheologie des fluides simples. Cours du Master 2 recherche de mecanique-energetique

de Nancy.

Chatterji, S. D. 1997 Cours d’Analyse 1 - Analyse vectorielle. Lausanne : Presses polytechniques et

universitaires romandes.

Coirier, J. 2001 Mecanique des milieux continus. Dunod.

Curie, P. 1894 Sur la symetrie dans les phenomenes physiques, symetrie d’un champ electrique et d’un

champ magnetique. J. Phys. Theor. Appl. 1, 393–415, http://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00239814/fr.

Forest, S. 2009 Mecanique des milieux continus. Cours de Mines ParisTech, telechargeable sur

http://mms2.ensmp.fr.

Garrigues, J. 2007 Fondements de la mecanique des milieux continus. Lavoisier.

Germain, P. 1986 Mecanique. Cours de l’ecole polytechnique. Ellipses.

Le Tallec, P. 2009 Modelisation et calcul des milieux continus. Cours de l’ecole polytechnique.

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Norton, J. D. 2008 Einstein’s Methods and his discovery of General Relativity. Geneva Summer School

in the Philosophy of Physics. http://www.pitt.edu/˜jdnorton/teaching/Geneva SS 2008.

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Plaut, E. 2006 Analyse complexe. Cours de l’ENSEM (1A), telechargeable sur

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Ricci, M. M. G. & Levi-Civita, T. 1900 Methodes de calcul differentiel absolu et leurs applications.

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Salencon, J. 1996 Mecanique des milieux continus. Cours de l’ecole polytechnique. Ellipses.

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http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/publisp

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http://link.springer.com.bases-doc.univ-lorraine.fr/article/10.1007%2FBF01454201

Annexe A

Normes - Notations de Landau

pour la comparaison asymptotique

On revisite ici, dans le contexte des tenseurs, les notions bien connues de norme et de notations

de Landau, sur deux exemples tres concrets. On propose enfin un exercice elementaire qui pourra

etre traite assez tot, une fois la lecture de la section 2.2 terminee.

A.1 Sur l’exercice 1.11 : normes & notation de domination O

Dans cet exercice, comme toutes les normes sont equivalentes en dimension finie, et l’espace

T2 des tenseurs d’ordre 2 est de dimension finie 9, en notant Lij les composantes de la matrice

representant L dans la base canonique, on peut poser que

L =∣∣∣∣L∣∣∣∣ =

∣∣∣∣L∣∣∣∣∞ = maxij|Lij | . (A.1)

Il s’agit de montrer que, quand L → 0, ce que sous-entend le physicien quand il ecrit que L 1,

on a

det(1 + L

)= 1 + trL + O(L2) . (A.2)

On doit donc montrer l’existence de constantes reelles strictement positives ` definissant un voisi-

nage de l’origine dans T2 et C definissant le rapport de domination telles que le reste

R(L)

= det(1 + L

)− 1 − trL (A.3)

soit O(L2) i.e. verifie

∀ L ∈ T2 , L =∣∣∣∣L∣∣∣∣ < ` =⇒

∣∣∣R(L)∣∣∣ ≤ C L2 . (A.4)

En developpant le determinant de 1 + L a l’aide de la formule (1.81), on montre que le reste

contient par exemple un terme quadratique

R1 = εijkδi1Lj2Lk3 = L22L33 − L32L23 tel que |R1| ≤ 2L2 ,

et d’autres termes quadratiques R2 et R3 similaires et domines de meme. Le reste R contient en

sus un terme cubique

R4 = εijkLi1Lj2Lk3 = det L tel que |R4| ≤ 6L3 .

En prenant par exemple ` = 1, on a alors

L < ` =⇒ |R4| ≤ 6L2 ...

68 Annexe A Normes - Notations de Landau pour la comparaison asymptotique

A.2 Sur le gradient : normes & notation de negligeabilite o

Dans la section 2.1.1, on definit le gradient G du champ de tenseur T d’ordre n, au point x

fixe, par l’egalite

δT(dx) = T(x + dx)−T(x) = G · dx + o(dx) , (A.5)

ou l’on omet de rappeler que δT et G dependent aussi de x. Le fait que le reste

R(dx) = δT(dx) − G · dx (A.6)

soit o(dx) signifie qu’il doit pouvoir s’ecrire sous la forme

R(dx) = ||dx|| F(dx) avec F(dx)→ 0 quand dx→ 0 , (A.7)

i.e.,

∀ε > 0 , ∃ ` > 0 tel que ∀dx , ||dx|| < ` =⇒ ||F(dx)|| ≤ ε . (A.8)

La norme utilisee pour mesurer les vecteurs dx peut etre la norme euclidienne, ou, eventuellement,

pour des commodites de calcul, une autre norme qui lui est equivalente, par exemple, la norme in-

fini. Pour mesurer F(dx), pas de souci non plus : l’espace des tenseurs d’ordre n etant de dimension

finie 3n, comme nous l’avons remarque apres avoir ecrit la formule en composantes (1.55),

F(dx) = Fi1i2···in(dx) ei1 ⊗ ei2 ⊗ · · · ⊗ ein , (A.9)

on peut par exemple poser 1

||F(dx)|| = ||F(dx)||∞ = maxi1i2···in

|Fi1i2···in(dx)| . (A.10)

Pour travailler ces notions, on propose l’exercice elementaire suivant.

Exercice A.1 Etude locale d’un champ de vecteur analytique

On considere le champ de vecteurs defini dans le plan R2 muni d’un repere x1Ox2 correspondant

aux vecteurs de base orthonormee e1, e2 par

v(x) = (9x1 − 6x2 + 4x21) e1 + (6x1 − 8x2 − 6x2

2) e2 .

1 Montrez de deux manieres differentes, a partir de (2.11), ou directement a partir de (A.5), que

le gradient de v a l’origine est l’application lineaire

G : x 7−→ G · x = (9x1 − 6x2) e1 + (6x1 − 8x2) e2 .

2 Representez les champs v(x) et G · x au voisinage de l’origine, et commentez.

3 Calculez D, partie symetrique de G. Representez le champ D · x au voisinage de l’origine, et

commentez.

4 Calculez ω, partie antisymetrique de G. En plongeant R2 dans R3, completant la base e1,e2par un vecteur e3 normal au plan x1Ox2 tel que la base e1,e2,e3 soit directe, exprimez ω · xcomme un produit vectoriel ω ∧ x. Calculez ω et nommez-le.

Representez le champ ω · x au voisinage de l’origine, et commentez.

1. A l’instar de ce que l’on a ecrit pour les tenseurs d’ordre 2 au niveau de l’equation (A.1).

Annexe B

Elements de correction des exercices

et problemes

Ces elements de correction sont plus ou moins precis, selon le niveau de difficulte des exercices

et problemes, et aussi le fait qu’ils seront abordes ou non en TD. Lire un enonce puis son corrige

est totalement inutile voire contre-productif. La seule bonne facon de profiter de ces corriges

est de chercher d’abord a resoudre l’exercice ou probleme par soi-meme, puis ensuite seulement

de consulter les corriges... pour vous debloquer ou mieux verifier que votre solution est correcte...

Pour eviter d’etre tente, je vous recommande de ne pas imprimer ces corriges, mais de les consulter

seulement sous leur forme electronique. Je vous souhaite bon courage !..

B.1 Corriges du chapitre 1 - Algebre tensorielle

Exercice 1.1 Sur la convention de sommation sur les indices repetes

1 E = aibikckj . Comme j est le seul indice explicite dans cette formule, E est une fonction de j.

2 Dans la formule (1.16) les indices i et j sont explicites tandis que k est un indice muet. Sans la

convention d’Einstein, cette formule s’ecrirait

δij = e′i · e′j

=3∑

k=1

e′i · (Pkjek)

=

3∑k=1

(ek · e′i)Pkj

δij =

3∑k=1

PkiPkj =3∑

k=1

[P T ]ikPkj .

Exercice 1.2 Verification de la coherence de la definition du produit scalaire

xiyi = Pijx′j Piky

′k = PijPik x

′jy′k = δjkx

′jy′k

en vertu de (1.16).

70 Annexe B Elements de correction des exercices et problemes

Exercice 1.3 De l’interet de la notation produit tensoriel

1 Interpreter un tenseur d’ordre 2, puisque sa nature est d’etre une application lineaire, c’est

interpreter la relation entre v et L · v...

L realise la projection orthogonale sur le vecteur er.

2 Notons

[L′] = Mat(L,er,eθ

)=

[1 0

0 0

],

il s’agit de calculer

[L] = Mat(L,ex,ey

).

Avec la matrice de presentation

[P ] =

[ex · er ex · eθey · er ey · eθ

]=

[cos θ − sin θ

sin θ cos θ

],

on a

[L′] = [P ]T · [L] · [P ] ⇐⇒ [L] = [P ] · [L′] · [P ]T

[L] =

[cos2 θ sin θ cos θ

sin θ cos θ sin2 θ

].

2 L = (cos θ ex + sin θ ey)⊗ (cos θ ex + sin θ ey)

L = cos2 θ ex ⊗ ex + sin θ cos θ(ex ⊗ ey + ey ⊗ ex) + sin2 θ ey ⊗ ey .

3 Evidemment on trouve les memes resultats avec ces deux methodes. La deuxieme (nouvelle par

rapport aux acquis des classes preparatoires) est clairement plus efficace et moins couteuse.

Exercice 1.4 Transposition d’un produit tensoriel

En composantes

Mat[(a⊗ b)T , ei

]= [aibj ]

T = [biaj ] = Mat(b⊗ a, ei] .

Intrinsequement

(a⊗ b)T (x,y) = (a⊗ b)(y,x) = (a · y)(b · x) = (b · x)(a · y) = (b⊗ a)(x,y) .

Exercice 1.5 Application de la definition multilineaire recurrente au cas n = 2

Si n = 2 la definition multilineaire recurrente (1.47) donne

T2(x1,x2) = (T2 · x2)(x1)

ou T2 · x2 est un vecteur. D’apres la definition (1.24) d’un vecteur comme tenseur d’ordre 1, on a

donc

T2(x1,x2) = (T2 · x2) · x1

qui est identique a la definition directe (1.37) d’un tenseur d’ordre 2 comme application bilineaire.

B.1 Corriges du chapitre 1 - Algebre tensorielle 71

Exercice 1.6 Changement de base pour un tenseur d’ordre 2 application bilineaire

On peut ecrire d’apres les definitions du cours que

T ′ij = T(e′i, e′j) = T(Pkiek, Pmjem) = PkiPmjT(ek, em) = PkiPmjTkm

qui correspond bien a (1.31).

Exercice 1.7 Produit contracte de deux vecteurs

Dans le cas ou An et Bm sont les tenseurs d’ordre 1 a et b on a n = m = 1 donc leur produit

An ·Bm = a ·b est un tenseur d’ordre p = 1+1−2 = 0 c’est-a-dire un scalaire. D’apres la definition

(1.58) ce scalaire est defini par

a · b = a(ei) b(ei) = (a · ei) (b · ei) = aibi ,

ce qui est bien la definition du produit scalaire.

Exercice 1.8 Produit contracte d’un tenseur d’ordre 2 et d’un vecteur

Dans le cas ou An est le tenseur d’ordre 2 L et Bm le tenseur d’ordre 1 b, le produit An ·Bm =

L · b est un tenseur d’ordre p = 2 + 1− 2 = 1 c’est-a-dire un vecteur. D’apres la definition (1.58)

ce vecteur est defini comme l’application lineaire qui, a tout x, fait correspondre le scalaire(L · b

)(x) = L(x,ei) b(ei) =

(x ·(L · ei

))(b · ei) =

(x ·(L · ei

))bi = x ·

(L · b

);

dans le membre d’extreme droite L · b designe le vecteur introduit au niveau de la definition

premiere (1.25). D’apres la regle (1.24) on peut donc bien identifier L · b au sens de la definition

(1.58) avec L · b au sens de la definition (1.25).

Exercice 1.9 Produit contracte de deux tenseurs d’ordre 2

Si An est le tenseur d’ordre 2 A et Bm le tenseur d’ordre 2 B, le produit An ·Bm = A ·B est

un tenseur d’ordre p = 2 + 2− 2 = 2, defini selon (1.58) comme l’application bilineaire qui a x et

y fait correspondre le scalaire(A ·B

)(x,y) = A(x,ek) B(ek,y) = xiAik Bkjyj

d’apres (1.38). En utilisant (1.40) on obtient que(A ·B

)(x,y) = Aik Bkj(ei ⊗ ej)(x,y)

qui etablit l’equation (1.61).

Exercice 1.10 Associativite du produit de contraction dans un cas general

D’apres la regle (1.63), on a

T · b = Ti1···in−1k bk ei1 ⊗ · · · ⊗ ein−1

et

a ·T = ai Tii2···in ei2 ⊗ · · · ⊗ ein .

En reappliquant cette regle de contraction, on obtient

a · (T · b) = ai Tii2···in−1k bk ei2 ⊗ · · · ⊗ ein−1 = (a ·T) · b .


Exercice 1.11 Utilisation du tenseur alterne fondamental pour calcul d’un determinant

det F = εijk(δi1 + Li1)(δj2 + Lj2)(δk3 + Lk3)

= ε123 + εi23Li1 + ε1j3Lj2 + ε12kLk3 +O(||L||2

)det F = 1 + L11 + L22 + L33 +O

(||L||2

).

Exercice 1.12 Formules portant sur le tenseur alterne fondamental et le vecteur dual

1 Soient quatre indices j, k, p et q, pris dans 1,2,3 ; on veut montrer que la somme

f(j,k,p,q) := εijkεipq = δjpδkq − δjqδkp . (B.1)

Si p = q, alors εipq = 0 donc f(j,k,p,q) = 0 ; comme il en est de meme de δjpδkq − δjqδkp =

δjpδkp − δjpδkp, l’egalite (B.1) est acquise dans ce cas.

Si p 6= q, considerons le premier sous-cas ou (p,q) 6= (j,k) et (p,q) 6= (k,j). Alors, comme il n’y

a que trois valeurs d’indices possibles, forcement j est egal a k. Donc εijk = 0 et f(j,k,p,q) = 0 ;

comme il en est de meme de δjpδkq − δjqδkp = δjpδjq − δjqδjp, l’egalite (B.1) est acquise dans ce

sous-cas.

Deux autres sous-cas sont possibles.

Le premier est celui ou (p,q) = (j,k). Alors f(j,k,p,q) = εipqεipq qui se reduit a la contribution

correspondant a i 6= p et q. Comme εipq vaut alors ±1, on a dans ce sous-cas f(j,k,p,q) = 1 ce qui

est bien la valeur de δjpδkq − δjqδkp.Le second sous-cas est celui ou (p,q) = (k,j). Alors f(j,k,p,q) = εiqpεipq qui se reduit a la contribu-

tion correspondant a i 6= p et q. Comme εipq vaut alors ±1, et εiqp = −εipq, on a dans ce sous-cas

f(j,k,p,q) = −1 ce qui est bien la valeur de δjpδkq − δjqδkp.

2 Soit L un tenseur quelconque. Notons v son vecteur dual vd(L)

, et formons le tenseur

M = v · ε .

On a en representation sur une base

Mjk = viεijk =1

2εipqLqp εijk =

1

2εijkεipq Lqp .

D’apres la formule (1.91), on obtient bien

Mjk =1

2(δjpδkq − δjqδkp) Lqp =

1

2(Lkj − Ljk) .

Exercice 1.13 Formule du double produit vectoriel

a ∧ (b ∧ c) = εijkaj(εkpqbpcq)ei = εkijεkpqajbpcqei

par permutation circulaire d’indices. En utilisant la formule (1.91) il vient

a ∧ (b ∧ c) = (ajbicj − ajbjci)ei = (a · c)b − (a · b)c .

B.2 Corriges du chapitre 2 - Analyse tensorielle 73

Exercice 1.14 Vecteur dual d’un tenseur d’ordre 2 symetrique

Soit S un tenseur symetrique. Considerons la composante i du vecteur dual v = vd(S)

:

vi =1

2εijkSkj =

1

2εikjSjk = −1

2εijkSkj = −vi ...

Reciproquement soit un tenseur quelconque S tel que vd(S)

= 0. Utilisez la formule (1.92)...

Exercice 1.15 Tenseur antisymetrique en fonction de son vecteur dual

Si L est un tenseur A antisymetrique, en notant v le vecteur vd(A)

la formule (1.92) donne

v · ε =1

2

(−A−A

)= −A ,

soit en indices

vjεjik = −Aik . (B.2)

Considerons donc pour x quelconque le vecteur

v ∧ x = εijkvjxkei

d’apres (1.86). Par antisymetrie de ε il vient

v ∧ x = −εjikvjxkei ,formule dans laquelle on peut injecter l’identite (B.2). Il vient

v ∧ x = Aikxkei = A · x .

B.2 Corriges du chapitre 2 - Analyse tensorielle

Exercice 2.1 Demonstration de la formule de la divergence dans le cas general

Il suffit d’adapter la demonstration faite pour passer du cas des tenseurs d’ordre 1 a celui de

tenseurs d’ordre 2.

Si T est un champ de tenseurs d’ordre n+ 1, ei est l’un des vecteurs de la base canonique de

R3, alors ei ·T est un champ de tenseurs d’ordre n. On peut donc lui appliquer la formule (2.39),

qui s’ecrit ∫∫∫Ω

div(ei ·T) d3x =

∫∫∂Ω

(ei ·T) · n d2S = ei ·∫∫

∂ΩT · n d2S (B.3)

en vertu de la propriete d’associativite (1.65), et du fait que le vecteur ei ne depend pas de la

position.

Comme

ei ·T = Tii2···in+1 ei2 ⊗ · · · ⊗ ein+1 ,

d’apres la formule (2.25) on a

div(ei ·T) =∂Tii2···inj∂xj

ei2 ⊗ · · · ⊗ ein = ei · divT = ei ·∂Ti1i2···inj

∂xjei1 ⊗ · · · ⊗ ein .

En consequence l’egalite (B.3) peut se recrire

ei ·∫∫∫

ΩdivT d3x = ei ·

∫∫∂Ω

T · n d2S .

Ceci etant quelquesoit le vecteur de base ei choisi, la formule (2.39) a l’ordre n+1 est bien etablie.


Exercice 2.2 Divergence et rotationnel d’un produit scalaire-vecteur

div(T v) =∂(Tvi)

∂xi= T

∂vi∂xi

+∂T

∂xivi = ...

rot(T v) = εijk∂(Tvk)

∂xjei = Tεijk

∂vk∂xj

ei + εijk∂T

∂xjvk ei = ...

Exercice 2.3 Compositions d’operateurs differentiels nulles

rot(∇T ) = εijk∂(∇T )k∂xj

ei = εijk∂2T

∂xj∂xkei = εikj

∂2T

∂xk∂xjei = −εijk

∂2T

∂xj∂xkei = 0

Reponse a la question physique facultative :

Utilisons un repere cartesien Oxyz avec Oz dans la direction de rot(∇T ) suppose non nul en

O,

rot(∇T )O = 2αez avec α > 0 ,

alors que D(∇T ) est lui suppose nul en O. Ainsi, pour un petit vecteur x,

∇(∇T )O · x = ω(∇T )O · x = αez ∧ x

prototype de champ tournant. Dans le plan Oxy, utilisons des coordonnees polaires (r,θ), et

considerons le chemin circulaire defini par x(θ) = r(ex cos θ+ey sin θ) = rer(θ) avec r infinitesimal,

er(θ) le vecteur radial local des coordonnees polaires. Le long de ce chemin

T (x(2π))− T (x(0)) =

∫ 2π

0∇T · dx(θ) =

∫ 2π

0∇T · rdθeθ(θ)

avec eθ(θ) le vecteur azimutal local des coordonnees polaires. Ainsi

T (x(2π))− T (x(0)) '∫ 2π

0(∇T )O · rdθeθ +

∫ 2π

0

[∇(∇T )O · x(θ)

]· rdθeθ

T (x(2π))− T (x(0)) '∫ 2π

0αreθ · rdθeθ = αr22π 6= 0

ce qui est impossible !

Cette situation (impossible) est representee ici, en supposant pour simplifier ∇TO = 0, en representant

le champ ∇T sur le chemin considere, ∇T ' αreθ, et en se souvenant que ∇T pointe vers les

valeurs elevees de T :

+

−O

Fin de l’exercice 2.3 :

div(rotv) =∂(rotv)i∂xi

= εijk∂2vk∂xi∂xj

= −div(rotv) = 0 .


Exercice 2.4 Divergence d’un gradient transpose

Notons [G] la matrice representant ∇v dans la base canonique. On a

div[(

∇v)T]

=∂(GT )ij∂xj

ei =∂Gji∂xj

ei =∂

∂xj

(∂vj∂xi

)ei =

∂

∂xi

(∂vj∂xj

)ei

d’apres un theoreme connu...

Exercice 2.5 Divergence et rotationnel d’un produit vectoriel

div(u ∧ v) = εijk∂(ujvk)

∂xi= εijk

∂uj∂xi

vk + εijkuj∂vk∂xi

= vk εkij∂uj∂xi

− uj εjik∂vk∂xi

= ...

rot(u ∧ v) = εijk∂(εkpqupvq)

∂xjei = εkijεkpq

(∂up∂xj

vq + up∂vq∂xj

)ei ;

utilisez ensuite la formule (1.91)...

Exercice 2.6 Divergence d’un produit tensoriel

div(u⊗ v) =∂(uivj)

∂xjei =

(∂ui∂xj

vj + ui∂vj∂xj

)ei = ...

Exercice 2.7 Divergence de produits scalaire-vecteur et vecteur-tenseur

div(fT)

=∂(fTij)

∂xjei = f

∂Tij∂xj

ei +∂f

∂xjTijei = ...

div(T · v

)=

∂(T · v

)i

∂xi=

∂(Tijvj)

∂xi= vj

∂Tij∂xi

+ Tij∂vj∂xi

= ...

div(v ·T

)=

∂(v ·T

)i

∂xi=

∂(vjTji)

∂xi=

∂vj∂xi

Tji + vj∂Tji∂xi

= ...

Exercice 2.8 Formule du double rotationnel et application

rot(rot(v)) = εijk∂

∂xj

(εkpq

∂vq∂xp

)ei = εkijεkpq

∂2vq∂xj∂xp

ei = ...

Donc

∆v = ∇(div(v)) − rot(rot(v)) .

En consequence

∆(rot(v)) = − rot(rot(rot(v)))

et

rot(∆v) = − rot(rot(rot(v))) .


Exercice 2.9 Formules de Navier en elasticite

Pour alleger les notations, on note x et non X la variable d’espace, car ∇X '∇x. Ainsi

σij = λ∂uk∂xk

δij + µ(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)donc

(div σ)i = λ∂2uk∂xi∂xk

+ µ∂2ui∂xj∂xj

+ µ∂2uj∂xj∂xi

= λ∂2uj∂xi∂xj

+ µ∂2ui∂xj∂xj

+ µ∂2uj∂xi∂xj

= ...

Exercice 2.10 Reecritures du terme non lineaire de l’equation de Navier-Stokes

[∇(

v2

2

)+(rotv

)∧ v

]i

= vj∂vj∂xi

+ εijkεjpq∂vq∂xp

vk

= vj∂vj∂xi

+ εjkiεjpq∂vq∂xp

vk

= vj∂vj∂xi

+ (δkpδiq − δkqδip)∂vq∂xp

vk = ...

Exercice 2.11 Derivee particulaire de la densite d’energie cinetique

dv2

dt=

∂(vivi)

∂t+ vj

∂

∂xj(vivi)

= 2vi∂vi∂t

+ 2vj vi∂vi∂xj

= 2v · ∂v

∂t+ 2v ·

[(∇v)· v]

= ...

Exercice 2.12 Sur le calcul du laplacien d’un champ vectoriel en cylindriques

Le calcul qui a abouti a la formule (2.99) du cours pour la divergence d’un tenseur d’ordre 2

n’est valable que si ce tenseur est symetrique, or il n’y a aucune raison pour que le gradient d’un

champ de vecteurs soit symetrique.

Probleme 2.1 Aspects mathematiques de l’etude d’un tuyau sous pression

1 Exploitez successivement les symetries suivantes :

• invariance de T par translations temporelles t 7→ t+ δt ;

• invariance de T par translations dans la direction axiale z 7→ z + δz ;

• invariance de T par un miroir par rapport a un plan contenant l’axe Oz ;

• invariance de T par un miroir par rapport a un plan perpendiculaire a l’axe Oz ;

• invariance de T par les rotations d’axe Oz et d’angle δθ.


2 Posez G = ∇T et identifiez

dT = T ′(r)dr = G · dx

quelles que soient les variations dr, dθ et dz.

3 Posez G = ∇u et identifiez

du = G · dx...

4 Symetrie.

5 Trace.

6 Par exemple a partir de

T · er = Tijrei ⊗ ej =∂G

∂r= U ′′er ⊗ er +

(U ′

r− U

r2

)eθ ⊗ eθ ,

montrez que

Trrr = U ′′ ; Tθθr =U ′

r− U

r2; Tθrr = Trθr = 0 .

Au bilan

T = U ′′er ⊗ er ⊗ er +1

r

(U ′ − U

r

)(er ⊗ eθ ⊗ eθ + eθ ⊗ er ⊗ eθ + eθ ⊗ eθ ⊗ er) .

En consequence

∆u = Tijjei = (Trrr + Trθθ)er + (Tθrr + Tθθθ)eθ =

(U ′′ +

U ′

r− U

r2

)er .

Probleme 2.2

Aspects mathematiques de l’etude d’un rheometre de Couette cylindrique

1 Exploitez successivement les symetries suivantes :

• invariance de T par translations temporelles t 7→ t+ δt ;

• invariance de T par translations dans la direction axiale z 7→ z + δz ;

• invariance de T par le miroir ez 7→ −ez, a position fixee ;

• invariance de T par les rotations d’axe Oz et d’angle δθ, agissant sur la position et les

champs de vecteur.

2 Posez G = ∇p et identifiez

dp = p′(r)dr = G · dx

quelles que soient les variations dr, dθ et dz.

3 Posez G = ∇v et identifiez

dv = G · dx...

4 Aboutissez a une equation differentielle ordinaire d’ordre 1 sur U(r), a resoudre avec la bonne

condition initiale ou limite selon le point de vue.


5 Par exemple a partir de

T · er = Tijrei ⊗ ej =∂G

∂r= V ′′eθ ⊗ er +

(V

r2− V ′

r

)er ⊗ eθ ,

montrez que

Trrr = Tθθr = 0 ; Tθrr = V ′′ ; Trθr =V

r2− V ′

r.

Au bilan

T =1

r

(V

r− V ′

)(er ⊗ er ⊗ eθ + er ⊗ eθ ⊗ er − eθ ⊗ eθ ⊗ eθ) + V ′′eθ ⊗ er ⊗ er .

En consequence

∆v = Tijjei = (Trrr + Trθθ)er + (Tθrr + Tθθθ)eθ =

(V ′′ +

V ′

r− V

r2

)eθ .

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