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Le calcul tensoriel et differentiel :
outil mathematique
pour la physique des milieux continus
par Emmanuel Plaut a Mines Nancy
Version du 4 janvier 2018 Table des matieres
Introduction 5
1 Algebre tensorielle 9
1.1 Espace - Vecteurs - Bases et reperes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Remarque sur la notation vecteur : fleche vs barre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2 Convention de sommation sur les indices repetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Ex. 1.1 : Sur la convention de sommation sur les indices repetes . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Produit scalaire - Premiere rencontre avec le point de contraction . . . . . . . . . . . . 11
1.1.4 Formule de changement de base - Notion de representation . . . . . . . . . . . . . . . 11
Ex. 1.2 : Verification de la coherence de la definition du produit scalaire . . . . . . . . . . . . 13
1.1.5 Sur le caractere direct des bases i.e. la notion d’orientation . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.6 Tenseurs d’ordre 0 et 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Definition des tenseurs comme applications lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Les tenseurs d’ordre 2 comme applications lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Representation par une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Formule de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.3 Produit tensoriel de 2 vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.4 Application : ecriture intrinseque d’un tenseur d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Ex. 1.3 : De l’interet de la notation produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.5 Tenseur identite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Les tenseurs d’ordre 2 comme applications bilineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1 Definition et exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2 Applications : definition de la transposition, tenseurs (anti)symetriques . . . . . . . . 17
Ex. 1.4 : Transposition d’un produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Les tenseurs comme applications multilineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.1 Definition des tenseurs comme applications multilineaires . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Ex. 1.5 : Application de la definition multilineaire recurrente au cas n = 2 . . . . . . . . . . . 18
1.5.2 Definition generale du produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.3 Ecriture intrinseque et representation - Base - Changement de base . . . . . . . . . . . 19
2 Table des matieres
Ex. 1.6 : Changement de base pour un tenseur d’ordre 2 application bilineaire . . . . . . . . . 20
1.5.4 Definition generale du produit contracte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Ex. 1.7 : Produit contracte de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Ex. 1.8 : Produit contracte d’un tenseur d’ordre 2 et d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Ex. 1.9 : Produit contracte de deux tenseurs d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Ex. 1.10 : Associativite du produit de contraction dans un cas general . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.5 Definition generale du produit doublement contracte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6 Tenseur alterne fondamental et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.1 Definition du tenseur alterne fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Ex. 1.11 : Utilisation du tenseur alterne fondamental pour calcul d’un determinant . . . . . . 25
1.6.2 Produits mixte et vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.3 Vecteur dual d’un tenseur d’ordre 2 - Tenseurs antisymetriques . . . . . . . . . . . . . 27
Ex. 1.12 : Formules portant sur le tenseur alterne fondamental et le vecteur dual . . . . . . . 27
Ex. 1.13 : Formule du double produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Ex. 1.14 : Vecteur dual d’un tenseur d’ordre 2 symetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Ex. 1.15 : Tenseur antisymetrique en fonction de son vecteur dual . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7 Exemples en mecanique des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.8 Notes personnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Analyse tensorielle 31
2.1 Gradient d’un champ de tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.1 Definition intrinseque en tant que differentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.2 Calculs en coordonnees cartesiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Cas du gradient d’un champ de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1 Decomposition en parties symetrique et antisymetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.2 Signification de la partie symetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.3 Signification de la partie antisymetrique - rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Divergence d’un champ de tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.1 Definition intrinseque a partir du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.2 Calculs en coordonnees cartesiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Integration des champs de tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.2 Formule integrale du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.3 Formule integrale de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Ex. 2.1 : Demonstration de la formule de la divergence dans le cas general . . . . . . . . . . . 40
2.4.4 Application : signification physique de l’operateur divergence . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 Laplacien d’un champ de tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.1 Definition intrinseque a partir du second gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.2 Calculs en coordonnees cartesiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6 Exercices visant a etablir un formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Ex. 2.2 : Divergence et rotationnel d’un produit scalaire-vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Ex. 2.3 : Compositions d’operateurs differentiels nulles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Ex. 2.4 : Divergence d’un gradient transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Table des matieres 3
Ex. 2.5 : Divergence et rotationnel d’un produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Ex. 2.6 : Divergence d’un produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Ex. 2.7 : Divergence de divers produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Ex. 2.8 : Formule du double rotationnel et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Ex. 2.9 : Formules de Navier en elasticite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Ex. 2.10 : Reecritures du terme non lineaire de l’equation de Navier-Stokes . . . . . . . . . . 46
Ex. 2.11 : Derivee particulaire de la densite d’energie cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7 Calculs en coordonnees cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7.1 Systemes a symetrie cylindrique - Principe de Curie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7.2 Definition des coordonnees cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7.3 Expressions du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7.4 Expression du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.7.5 Expressions de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7.6 Expressions du laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Ex. 2.12 : Sur le calcul du laplacien d’un champ vectoriel en cylindriques . . . . . . . . . . . . 51
Pb. 2.1 : Aspects mathematiques de l’etude d’un tuyau sous pression . . . . . . . . . . . . . . 52
Pb. 2.2 : Aspects mathematiques de l’etude d’un rheometre de Couette cylindrique . . . . . 53
2.8 Calculs en coordonnees spheriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.8.1 Definition des coordonnees spheriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.8.2 Expressions du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.8.3 Expression du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.8.4 Expressions de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.8.5 Expressions du laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.9 Notes personnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Complements : potentiels et rotationnels 59
3.1 Existence de potentiel scalaire : theoreme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Existence de potentiels vecteurs pour des champs irrotationnels . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.1 Rotationnel d’un champ de tenseurs d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.2 Premier theoreme de Cauchy generalise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.3 Lemmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.4 Deuxieme theoreme de Cauchy generalise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3 Existence de potentiel vecteur pour un champ a divergence nulle . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Bibliographie 65
A Normes - Notations de Landau pour la comparaison asymptotique 67
A.1 Sur l’exercice 1.11 : normes & notation de domination O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
A.2 Sur le gradient : normes & notation de negligeabilite o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Ex. A.1 : Etude locale d’un champ de vecteur analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4 Table des matieres
B Elements de correction des exercices et problemes 69
B.1 Corriges du chapitre 1 - Algebre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Ex. : Sur la convention de sommation sur les indices repetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Ex. : Verification de la coherence de la definition du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . 69
Ex. : De l’interet de la notation produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Ex. : Transposition d’un produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Ex. : Application de la definition multilineaire recurrente au cas n = 2 . . . . . . . . . . . . . 70
Ex. : Changement de base pour un tenseur d’ordre 2 application bilineaire . . . . . . . . . . . 71
Ex. : Produit contracte de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Ex. : Produit contracte d’un tenseur d’ordre 2 et d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Ex. : Produit contracte de deux tenseurs d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Ex. : Associativite du produit de contraction dans un cas general . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Ex. : Utilisation du tenseur alterne fondamental pour calcul d’un determinant . . . . . . . . . 72
Ex. : Formules portant sur le tenseur alterne fondamental et le vecteur dual . . . . . . . . . . 72
Ex. : Formule du double produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Ex. : Vecteur dual d’un tenseur d’ordre 2 symetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Ex. : Tenseur antisymetrique en fonction de son vecteur dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
B.2 Corriges du chapitre 2 - Analyse tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Ex. : Demonstration de la formule de la divergence dans le cas general . . . . . . . . . . . . . 73
Ex. : Divergence et rotationnel d’un produit scalaire-vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Ex. : Compositions d’operateurs differentiels nulles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Ex. : Divergence d’un gradient transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Ex. : Divergence et rotationnel d’un produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Ex. : Divergence d’un produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Ex. : Divergence de produits scalaire-vecteur et vecteur-tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Ex. : Formule du double rotationnel et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Ex. : Formules de Navier en elasticite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Ex. : Reecritures du terme non lineaire de l’equation de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . 76
Ex. : Derivee particulaire de la densite d’energie cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Ex. : Sur le calcul du laplacien d’un champ vectoriel en cylindriques . . . . . . . . . . . . . . 76
Pb. : Aspects mathematiques de l’etude d’un tuyau sous pression . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Pb. : Aspects mathematiques de l’etude d’un rheometre de Couette cylindrique . . . . . . . . 77
Introduction
La physique des milieux continus est une branche de la physique, qui s’est developpee au
XIXeme siecle puis a connu des sommets au XXeme siecle, dans laquelle la matiere est consideree
a des echelles suffisamment grandes pour que sa nature discrete, en tant que somme d’electrons,
de protons et neutrons en interactions dans le vide, n’apparaisse pas. Au contraire, la matiere est
consideree comme la reunion de milieux continus fluides ou solides, separes par des interfaces. De
meme, le rayonnement est considere comme consistant en des vibrations continues des champs
electrique et magnetique 1, et non comme des photons discrets. Les effets quantiques sont donc
oublies : la physique des milieux continus releve de la physique classique.
Les grands domaines de la physique des milieux continus sont 2
1. la thermomecanique ;
2. l’electromagnetisme ;
3. la relativite.
De ces domaines seuls les deux premiers relevent des sciences de l’ingenieur 3, et seul le tout premier
est enseigne a Mines Nancy en 1ere annee, dans les modules Mecanique des milieux continus solides
et fluides puis Transformation de la matiere et de l’energie. Tous ces domaines se sont developpes
grace au bon sens physique de certains de nos ancetres, et aussi grace a la mise au point par
ces memes ancetres 4 d’outils mathematiques que l’on pourrait designer comme l’ algebre
vectorielle generalisee 5 et l’ analyse ou calcul differentiel vectoriel generalise 6 ,
mais que l’on appelle plutot calcul tensoriel (et) differentiel ou plus simplement calcul
tensoriel , sous-entendant l’adjectif differentiel ...
1. Le lieu de ces vibrations ou ondes est soit le vide, que l’on peut considerer comme le milieu continu le
plus simple possible, soit la matiere...
2. Les frontieres entre ces domaines sont poreuses. Par exemple la modelisation complete des effets piezoelectriques
ou thermoelectriques est a l’interface entre les domaines 1 et 2. De meme en relativite (domaine 3) on peut se poser
la question des lois de transformation des champs electromagnetiques (domaine 2) par changement entre deux
referentiels en translation tres rapide...
3. Quoiqu’en spatial des effets relativistes soient a prendre en compte...
4. Par exemple, Cauchy, professeur d’analyse (donc de mathematiques) a l’ecole polytechnique au debut du
XIXeme siecle... et inventeur du tenseur des contraintes de Cauchy , objet incontournable de la mecanique des
milieux continus...
5. Le mot algebre vient de l’arabe al-jabr signifiant reconstruction ou connexion . L’algebre
etudie les relations ( connexions ) entre nombres, vecteurs, matrices, etc..., via differentes operations ,
somme, produits, etc...
6. Le mot analyse vient du grec analuein signifiant delier . L’analyse decompose et recom-
pose grace au calcul differentiel et integral ou calcul infinitesimal . Ainsi la variation de temperature
entre les deux extremites d’un segment est analysee comme T (b)− T (a) =∫ badT =
∫ baT ′(x) dx... La meme
analyse doit pouvoir etre faite pour un champ de vecteurs, par exemple le champ electrique, ce qui introduit la
question de la derivee d’un champ de vecteurs, etc...
6 Introduction
En puriste, on distinguerait
• le calcul tensoriel (forcement algebrique mais non differentiel), dans lequel les tenseurs
sont des objets algebriques, cf. le chapitre 1 ;
• du calcul tensoriel (toujours algebrique) differentiel, cf. les chapitres 2 et 3, dans le-
quel ces objets se mettre a dependre de la position dans l’espace physique - ce sont des
champs - et cette dependance est analysee ...
Dans les deux cas, des liens forts avec la geometrie existent : cf. par exemple toutes les applications
geometriques de la section 1.6, ou encore l’etude du gradient d’un champ de vecteur de la section 2.2.
Le lecteur averti comprendra vite que la mecanique des milieux deformables dans notre
espace tridimensionnel, domaine d’application qui nous motive le plus, ne peut se passer de calcul
tensoriel...
Historiquement, pour construire tout l’edifice du calcul tensoriel, il y a eu quelques etapes. L’une des
plus importantes correspond a l’article remarquable de Ricci & Levi-Civita (1900). On recommande
aux lecteurs les plus interesses de parcourir cet article, ecrit en bon francais par des italiens dans
une revue allemande... Dans son titre, Methodes de calcul differentiel absolu et leurs applications,
on dirait plutot maintenant intrinseque qu’ absolu ; nous verrons bien vite, des la
section 1.1.4, revenir cet important mot cle...
Depuis quelques decennies, le fait que la physique ait besoin, pour se developper, d’outils
mathematiques, a parfois ete minimise, voire nie, par une certaine partie, assez visible , de la
communaute physicienne francaise. Cette attitude est une reaction, initialement saine, aux exces
de mathematisation dans l’enseignement des sciences, par exemple celui de la mecanique, dans les
annees 1960-1970 et plus tard. Il nous semble cependant que cette reaction a souvent ete trop loin,
pour mener dans des cas extremes a des affirmations deraisonnables comme on peut tout faire
avec la regle de trois ... Mathematiser et formaliser a outrance sont sans doute, pour la physique,
aussi nuisibles que de cacher tous les calculs sous des raisonnements soi-disant intuitifs , mais
en fait impossible a developper sans connaıtre les fameux calculs caches . Un certain equilibre
doit etre trouve entre mathematiques et physique, la deuxieme n’existant pas sans les premiers,
puisque modeliser c’est decrire des phenomenes en langue mathematique, comme l’ont dit ces deux
grands physiciens :
La philosophie est ecrite dans ce vaste livre qui constamment se tient ouvert devant nos yeux
(je veux dire l’Univers), et on ne peut le comprendre si d’abord on n’apprend pas a connaıtre
la langue et les caracteres dans lesquels il est ecrit.
Or il est ecrit en langue mathematique, (...)
sans laquelle il est humainement impossible d’en comprendre un seul mot,
sans laquelle on erre vraiment dans un labyrinthe obscur.
Galilee
‘Our experience hitherto justifies us in believing that nature
is the realization of the simplest conceivable mathematical ideas.
I am convinced that we can discover by means of purely mathematical constructions
the concepts and the laws connecting them with each other,
which furnish the key to the understanding of natural phenomena...
Experience may suggest the appropriate mathematical concepts,
but they most certainly cannot be deduced from it.
Introduction 7
Experience remains, of course,
the sole criterion of the physical utility of a mathematical construction.
But the creative principle resides in mathematics. In a certain sense, therefore,
I hold it true that pure thought can grasp reality, as the ancients dreamed.’
Einstein 7
Notre objet est donc une introduction au calcul tensoriel, dans une optique evidemment cal-
culatoire , et avec une approche de mecanicien theoricien assumee, meme si elle est
imposee par le cours volume horaire alloue. L’eleve interesse par le calcul differentiel et integral
mathematiquement rigoureux pourra completer les bases vues en classes preparatoires en consul-
tant Chatterji (1997) 8. Tous liront, au moment ou ils rencontreront ces symboles, au niveau de
l’exercice 1.11 pour O, de la section 2.1 pour o, les annexes A.1 et A.2. Elles visent a definir ces
notations ainsi que le concept de norme dans notre contexte...
Par souci de simplicite, on se focalise sur les tenseurs euclidiens. L’existence du produit sca-
laire permet d’identifier l’espace vectoriel de travail R3 (ou R2) a son dual. On commence dans
les chapitres 1 et 2 par les tenseurs representes sur des bases orthonormees (directes) et en
coordonnees cartesiennes 9. Cependant, on introduit les champs de tenseurs representes en co-
ordonnees curvilignes a la fin du chapitre 2. Le chapitre 3 donne des elements sur les problemes
de potentiel . Par realisme, on le declare hors programme ; cependant les eleves les plus
interesses voudront bien le lire... et ceux qui poursuivront plus tard en mecanique verront bien son
importance...
La theorie generale des tenseurs en base quelconque et en distinguant l’espace de son dual 10 est
introduite par exemple dans les annexes I de Salencon (1996) ou A de Forest (2009), et presentee
de facon plus exhaustive dans Pernes (2003). Une presentation plus mathematique de cette theorie,
qui n’oublie pas cependant ses applications, est donnee dans Lichnerowicz (1946); Appel (2005);
Garrigues (2007). Deux autres references interessantes, mais moins exhaustives, sont les ouvrages
de Germain (1986) et Coirier (2001). Enfin, une reference anglo-saxonne pertinente est le traite de
Aris (1962).
L’essentiel de votre apprentissage du calcul tensoriel se fera par du travail personnel et lors
de 2 seances de cours-TD pendant la passerelle scientifique de rentree. Vous le completerez
ensuite, au fil des seances du module de mecanique des milieux continus, en utilisant le calcul
tensoriel a de nombreuses occasions. Des la reception de ce polycopie, un travail personnel est
indispensable, selon ce qui est indique sur la page web dynamique du module sus-nomme,
auquel ce mini-module de passerelle scientifique est asservi,
http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc .
Je vous invite a visiter cette page regulierement. Elle contient une version PDF de ce document,
dans laquelle figure, en plus de l’annexe A citee plus haut, l’annexe B contenant des elements de
correction des exercices et problemes.
7. Sur cette citation, voir aussi la figure culturelle 2.7 page 45, et sa legende.
8. En notant que Chatterji (1997) emploie le terme derivee au lieu de differentielle .
9. Dans ce cas on parle de tenseurs cartesiens .
10. Ce qui permet d’introduire les notions de covariance et contravariance.
8 Introduction
Je remercie les collegues qui ont permis l’introduction de ce cours a Mines Nancy, notamment
Michel Jauzein, puis, son maintien, notamment Judith Sausse. Je remercie aussi les collegues
qui m’ont inspire ou corrige, plus particulierement Didier Bernardin, chercheur au laboratoire
d’energetique et de mecanique theorique et appliquee (Lemta 11), Rainier Hreiz et Arthur Pascot.
Je remercie enfin Rachid Rahouadj pour le dessin de la figure 1.3.
Nancy, le 4 janvier 2018.
Emmanuel Plaut,
chercheur en mecanique des fluides au Lemta, professeur a l’Universite de Lorraine.
11. Unite mixte de recherche CNRS - UL.
Chapitre 1
Algebre tensorielle
L’introduction aux tenseurs en tant qu’objets algebriques est faite progressivement, en profi-
tant du fait que l’algebre tensorielle est en premier lieu une reformulation de notions bien connues
comme celles de vecteur 1, d’application lineaire ou multi-lineaire 2.
1.1 Espace - Vecteurs - Bases et reperes
L’espace physique dans lequel evoluent les objets que le theoricien des milieux continus considere
est l’espace affine euclidien oriente 3 R3. Dans cet espace, l’observateur repute immo-
bile qui mesure les mouvements est appele referentiel et note R - une definition precise
de la notion de referentiel est donnee dans l’annexe A du cours de mecanique Plaut (2017). Cet
observateur-referentiel utilise en general un repere orthonorme direct R pour reperer les posi-
tions d’objets materiels. Ce repere orthonorme, dit aussi repere cartesien , est defini par la
donnee d’un point origine O immobile (pour R) et de vecteurs fixes (toujours pour R) e1, e2, e3
formant une base orthonormee directe que l’on note ei. Un vecteur quelconque x est repere
par ses composantes x1, x2, x3 de sorte que
x =3∑i=1
xiei . (1.1)
Un point quelconque M est repere de la meme maniere par ses coordonnees cartesiennes qui
sont les composantes x1, x2, x3 du vecteur position OM, telles que
OM =
3∑i=1
xiei . (1.2)
On note parfois le repere sous la forme R = Ox1x2x3.
1. D’ailleurs sur le plan etymologique le terme tenseur vient du latin tensum qui veut dire tendu ,
ce qui pourrait designer un bipoint−−→AB c’est-a-dire l’archetype d’un vecteur.
2. En deux mots un tenseur peut etre vu soit comme l’une, soit comme l’autre, ces deux points de vue differents
ayant chacun leur propre interet. Attention aux faits que la reformulation dont il s’agit n’est pas completement
triviale (ne sous-estimez pas la complexite de l’algebre tensorielle, il vous faudra fournir un effort pour la maıtriser),
et que l’analyse tensorielle va largement au dela d’une simple reformulation de l’analyse vectorielle.
3. On reviendra sur le probleme de l’orientation de l’espace c’est-a-dire sur la notion de bases directes section 1.1.5.
10 Chapitre 1 Algebre tensorielle
1.1.1 Remarque sur la notation vecteur : fleche vs barre
Vous aurez note que la traditionnelle fleche utilisee en classes preparatoires pour designer un
vecteur est devenue une simple barre dans ce document,
−−−→OM OM . (1.3)
L’objectif de ce changement de notation est essentiellement de reduire l’encombrement 4. En
ecriture manuscrite on reviendra en general aux notations avec fleche, faisant le chemin inverse de
celui presente formule (1.3).
1.1.2 Convention de sommation sur les indices repetes
Une ecriture telle que (1.2) est tres lourde. Nous savons bien que l’espace physique est de
dimension 3, donc qu’un indice de coordonnees varie de 1 a 3. Pour alleger les notations nous
adoptons dorenavant la convention de sommation sur les indices repetes dite d’Einstein,
qui stipule qu’une formule ecrite avec des indices repetes implique une somme sur ces indices,
3∑i=1
xiei xiei . (1.4)
On dit qu’un indice repete est un indice muet : de fait on peut lui dire de changer de nom
sans dommage (comme il est muet il ne pourra pas protester !), par exemple on peut decreter que
l’indice i dans (1.4) s’appelle en fait k,
xiei = xkek . (1.5)
Pour eviter toute ambiguite facheuse, il est interdit d’employer plus de deux fois le meme indice
dans le meme produit. Ainsi dans un produit de facteurs, soit un indice apparait deux fois, auquel
cas il est muet et cache une sommation sur 3 valeurs 5, soit il apparait une seule fois, auquel cas on
parle d’ indice explicite . De facon exceptionnelle on peut avoir besoin d’ecrire une formule
avec deux fois le meme indice sans qu’il y ait sommation sur celui-ci ; alors on le souligne une fois
sur deux.
Exercice 1.1 Sur la convention de sommation sur les indices repetes
1 Recrivez l’expression
E =3∑i=1
ai
3∑k=1
bikckj
en utilisant la convention de sommation d’Einstein. De quel(s) indice(s) depend E ?
2 Designez dans la formule (1.16) le ou les indices muet(s) et explicite(s). Recrivez cette suite
d’egalites sans la convention de sommation d’Einstein, i.e. en explicitant les sommes cachees.
4. Dans certains ouvrages une autre convention est adoptee,−−−→OM OM.
5. Il peut arriver que l’on etudie des problemes plans pour lesquels l’espace de travail peut etre considere de
dimension 2 : dans la troisieme direction on a invariance donc celle-ci ne joue aucun role . Dans ce cas un indice
repete cache une sommation sur 2 valeurs seulement, correspondant aux 2 directions dans le plan de travail. De
maniere generale dans la quasi totalite de ce document (a l’exclusion de la section 1.6) on peut remplacer R3 par
R2 sans dommage, a condition bien sur d’adapter comme on vient de l’expliquer la convention de sommation sur les
indices repetes.
1.1 Espace - Vecteurs - Bases et reperes 11
1.1.3 Produit scalaire - Premiere rencontre avec le point de contraction
Pour le physicien, capable de mesurer des longueurs et des angles, l’existence d’un produit
scalaire euclidien universel ne fait pas de doute ; il pourrait le definir par la formule
x · y = ||x|| ||y|| cos(x,y) . (1.6)
Le mathematicien pose plutot, dans sa base orthonormee ei, que
x · y = xiyi . (1.7)
Le point dans cette formule est le point de contraction , qui constitue une operation de
calcul tensoriel que l’on va generaliser. Par definition meme du caractere orthonorme de la base
de travail, on a
∀i,j, ei · ej = δij =
1 si i = j
0 sinon. (1.8)
Les δij sont les symboles δ de Kronecker 6.
1.1.4 Formule de changement de base - Notion de representation
Le choix de la base orthonormee ei pose au tout debut comprend une part d’arbitraire.
D’un point de vue scientifique, il est donc important de savoir reconcilier les observations faites
dans cette base avec celles que l’on pourrait faire dans une autre base orthonormee e′i (tout en
restant dans le meme referentiel). Remarquant que, du fait de la propriete (1.8), on peut obtenir
les composantes d’un vecteur x dans ces deux bases par produit scalaire avec les vecteurs de base,
xi = ei · x et x′i = e′i · x , (1.9)
on obtient
xi = ei · (x′je′j) = ei · e′jx′j ⇐⇒ [x] = [P ] · [x′] (1.10)
ou [x] designe le vecteur colonne des composantes de x dans la base ei, [x′] le vecteur colonne
des composantes de x dans la base e′i, [P ] la matrice de passage de composantes
[P ]ij = Pij = ei · e′j . (1.11)
Le point de contraction dans (1.10) designe le produit matrice-vecteur classique, i.e.
xi = Pijx′j . (1.12)
On a
e′j = Pijei , (1.13)
i.e. la matrice [P ] est constituee de colonnes qui sont les composantes des vecteurs e′j dans la base
ei. Pour cette raison on dit aussi que c’est la matrice de presentation des vecteurs e′j dans
la base des ei. Cette matrice [P ] est orthogonale, i.e. sa matrice transposee definie par
[P T ]ij = Pji (1.14)
6. Du nom du mathematicien allemand du XIXeme siecle qui les inventa.
12 Chapitre 1 Algebre tensorielle
est son inverse :
[P T ] = [P ]−1 ⇐⇒ [P T ] · [P ] = [P ] · [P T ] = [I] matrice identite. (1.15)
Ceci se verifie en partant par exemple de la propriete d’orthonormalite de la base des e′j ,
δij = e′i · e′j = e′i · (Pkjek) = (ek · e′i)Pkj = PkiPkj = [P T ]ikPkj . (1.16)
Ainsi [P T ] · [P ] = [I] ; d’apres la theorie des matrices, on a en consequence [P ] · [P T ] = [I] i.e.
δij = PikPjk . (1.17)
De facon geometrique il importe d’anticiper sur la section suivante en remarquant que l’application
lineaire L qui envoie e1, e2, e3 sur e′1, e′2, e′3 envoie donc
x = xjej sur y = L(x) = xjL(ej) = xje′j = Pijxjei . (1.18)
La matrice representative de cette application sur la base e1, e2, e3 est donc la matrice de passage
[P ] elle-meme 7. Ainsi le fait que [P ] soit orthogonale provient du fait que la transformation L
est orthogonale.
Premiere remarque importante : sur une question de convention
De nombreux auteurs introduisent, plutot que la matrice de passage [P ], une matrice de
changement de base
[Q] = [P T ] . (1.19)
Avec cette definition on remplace par exemple la formule (1.13) par
e′j = Qjiei , (1.20)
ce qui presente l’avantage de respecter un ordre des indices tres souvent rencontre en calcul
tensoriel : indice(s) explicite(s) a gauche, muets a droite. En revanche on perd l’interpretation
geometrique simple que l’on vient de mentionner.
Deuxieme remarque importante : sur l’etre (intrinseque) et le paraıtre
Il faut insister sur le fait que l’objet essentiel ou intrinseque est le vecteur lui-meme, par
exemple un bipoint x = OM ou AB, et qu’il n’est que represente par le vecteur colonne de
ses composantes
[x] = Vect(x, ei) (1.21)
qui depend du choix de la base 8 en vertu de (1.10). Il convient alors de s’assurer que des objets
comme
x · y = [x] · [y]
sont bien intrinseques , c’est-a-dire ne dependent pas du choix de la base.
7. En effet, toujours en anticipant sur la section 1.2, on a bien
[y] = Vect(L(x), ei
)= [P ] · [x] = [Pijxj ] .
8. D’ou la notation avec deux arguments dans la fonction Vect.
1.2 Definition des tenseurs comme applications lineaires 13
Exercice 1.2 Verification de la coherence de la definition du produit scalaire
En utilisant la convention de sommation sur les indices repetes et la formule de changement de
base (1.12), verifiez que la definition (1.7) du produit scalaire conduit a un objet intrinseque, i.e.
que
xiyi = x′iy′i (1.22)
quand on change de base.
1.1.5 Sur le caractere direct des bases i.e. la notion d’orientation
Une notion importante, qu’il faut poser des maintenant, est celle de l’ orientation directe des
bases. En physicien on suppose cette notion effectivement universelle et definie par la regle de la
main droite : une base ei orthonormee est dite directe si, lorsque j’oriente mon pouce droit
dans la direction de e1, mon index droit dans la direction de e2, alors mon majeur droit peut etre
naturellement oriente (sans que j’ai besoin de le tordre !) dans la direction de e3. On constate alors
que n’importe quelle rotation d’une base orthonormee directe definit une nouvelle base ortho-
normee directe, ce que le mathematicien formalise en remarquant que deux bases orthonormees
directes doivent se deduire l’une de l’autre par une transformation orthogonale directe. Nous
reviendrons sur ce point section 1.6.
1.1.6 Tenseurs d’ordre 0 et 1
Du fait de son caractere intrinseque prouve par (1.22), le nombre x · y est un reel qui ne
depend que de x et y et pas du choix de base : c’est un exemple typique de quantite scalaire ou
tenseur d’ordre 0 . Par contre un vecteur est appele tenseur d’ordre 1 . Des exemples
physiques de tenseurs d’ordre 0 et 1 sont la temperature T et un vecteur position OM.
1.2 Definition des tenseurs comme applications lineaires
Partant des deux definitions precedentes, on definit les tenseurs par recurrence de la facon
suivante :
un tenseur d’ordre n ≥ 1, note Tn, est une application lineaire
qui a tout vecteur fait correspondre un tenseur d’ordre n− 1 :
Tn : x 7−→ Tn(x) note aussi Tn · x. (1.23)
La notation avec le point correspond a une operation de contraction sur laquelle on reviendra
plus tard.
Cette definition s’applique bien des que n = 1. En effet un vecteur a peut etre vu 9 comme
l’application lineaire qui a tout vecteur x fait correspondre le tenseur d’ordre 0 ou scalaire a · x :
a : x 7−→ a(x) = a · x . (1.24)
9. Le lecteur averti remarque que l’on confond l’espace R3 et son dual. Un point de vue plus fin, qui conduit aux
notions de covariance et contravariance, est propose par la theorie generale des tenseurs presentee dans les references
bibliographiques citees en introduction.
14 Chapitre 1 Algebre tensorielle
1.3 Les tenseurs d’ordre 2 comme applications lineaires
D’apres la definition (1.23), un tenseur d’ordre 2 est une application lineaire qui a tout vecteur
fait correspondre un tenseur d’ordre 1, c’est-a-dire un vecteur. Il s’agit donc d’un endomorphisme
de l’espace R3. Pour etre coherent sur le plan des notations on note un tel tenseur non pas L2 mais
L :
L : R3 −→ R3
x 7−→ L(x) = L · x. (1.25)
En effet un tenseur d’ordre 0 (un scalaire) etant note sans barre superieure, et un tenseur d’ordre 1
(un vecteur) avec une barre superieure, un tenseur d’ordre 2 merite bien deux barres superieures 10 !
1.3.1 Representation par une matrice
On sait qu’un tel endomorphisme est represente sur une base orthonormee ei par une matrice
[L] = Mat(L, ei
)(1.26)
de composantes
Lij = ei ·(L · ej
), (1.27)
de sorte que, si
[x] = Vect(x, ei) , (1.28)
on a 11
Vect(L · x, ei
)= [L] · [x] = [Lijxj ] . (1.29)
1.3.2 Formule de changement de base
Reprenant les notations de la section 1.1.4, on se pose la question de la matrice representant L
dans la base e′i. Posant, pour x quelconque, y = L · x, on a, d’apres les formules (1.10), (1.15)
et (1.29),
[y′] = [P T ] · [y] = [P T ] · [L] · [x] = [P T ] · [L] · [P ] · [x′] ,
d’ou
[L′] = Mat(L, e′i
)= [P T ] · [L] · [P ] , (1.30)
soit en composantes 12
L′ij = PkiLkmPmj . (1.31)
10. Cette notation avec un empilement de barres ne pourra cependant pas, pour des raisons d’encombrement, etre
utilise pour des tenseurs d’ordre eleve, d’ou la notation generale Tn si n & 4. Mentionnons aussi qu’en ecriture
manuscrite on ecrira parfois=⇒L au lieu de L, de la meme facon que l’on ecrira
→x au lieu de x.
11. Dans (1.29) le point entre [L] et [x] designe le produit matrice-vecteur classique.
12. En lien avec ce qui a ete dit au niveau de l’equation (1.20) : si on utilise la matrice de changement de base
[Q] = [PT ] au lieu de la matrice de passage [P ], on obtient la formule
L′ij = QikQjmLkm
sans doute plus simple en ce qui concerne l’ordonnancement des indices.
1.3 Les tenseurs d’ordre 2 comme applications lineaires 15
1.3.3 Produit tensoriel de 2 vecteurs
On definit le produit tensoriel de 2 vecteurs comme le tenseur d’ordre 2
a⊗ b : R3 −→ R3
x 7−→ (a⊗ b) · x = a (b · x). (1.32)
Dans cette derniere equation a (b · x) signifie le produit du vecteur a par le scalaire b · x ; on
denote le produit entre un scalaire et un vecteur (ou un tenseur) par un simple espace. On montre
que
Mat(a⊗ b, ei) = [aibj ] , (1.33)
et que l’application qui a a et b associe a⊗ b est bilineaire 13.
1.3.4 Application : ecriture intrinseque d’un tenseur d’ordre 2
L’un des interets de l’operation produit tensoriel est de permettre une ecriture intrinseque des
tenseurs d’ordre 2, sous la forme
L = Lijei ⊗ ej . (1.34)
Cette ecriture est intrinseque au sens ou elle fait apparaıtre les etres essentiels que sont les vec-
teurs. Elle montre que l’ensemble des tenseurs ei⊗ej est une base de l’espace vectoriel des tenseurs
d’ordre 2. Elle permet d’eviter tout risque de melanges entre bases extremement dangereux
lors de l’etude de problemes ou plusieurs bases rentrent en jeu, puisque les vecteurs sont ecrits
explicitement 14. Cette ecriture intrinseque peut justement s’utiliser pour faire des changements de
base de facon tres efficace, comme l’illustre l’exercice suivant.
Exercice 1.3 De l’interet de la notation produit tensoriel
Dans le plan muni d’un repere R = Oxy, et du systeme des coordonnees polaires (r,θ) associe,
on note ex et ey les vecteurs de la base orthonormee du repere, er et eθ les vecteurs de la base locale
correspondant a un point M de coordonnees polaires (r,θ) quelconques. On considere le tenseur
L = er ⊗ er .
1 Donnez une interpretation geometrique de L.
2 Explicitez Mat(L, er,eθ
)puis, en utilisant la formule de changement de base (1.30), calculez
Mat(L, ex,ey
).
3 Exprimez L intrinsequement dans la base ex,ey en injectant dans L = er ⊗ er l’expression
de er en fonction de ex et ey, puis en developpant la formule obtenue grace a la bilinearite de
l’operation produit tensoriel.
4 Comparez les resultats, l’efficacite et le cout calculatoire de ces deux methodes.
13. Il s’agit donc bien d’un produit au bon sens du terme.
14. En travaillant avec des matrices et des vecteurs colonnes on a vite fait de faire des calculs insenses, consistant
par exemple a calculer L·x en multipliant la matrice representant L dans une base par le vecteur colonne representant
x dans une autre base !
16 Chapitre 1 Algebre tensorielle
1.3.5 Tenseur identite
Une application immediate des formules (1.27) et (1.34) au tenseur identite
1 : x 7−→ x (1.35)
donne, comme sa matrice representative a pour elements Iij = δij , que
1 = ei ⊗ ei . (1.36)
1.4 Les tenseurs d’ordre 2 comme applications bilineaires
1.4.1 Definition et exemple
Un point de vue dual de celui de la definition (1.23) consiste a voir un tenseur d’ordre 2
L comme l’application bilineaire 15
L : R3 × R3 −→ R(x,y) 7−→ L(x,y) = x · L · y = x ·
(L · y
) . (1.37)
Dans cette equation les deux premieres ecritures sont des notations equivalentes pour le meme
objet 16, tandis que la troisieme fournit une definition calculatoire de cet objet : une fois qu’une
base est choisie on a
L(x,y) = x · L · y = x ·(L · y
)= xiLijyj . (1.38)
Une schematisation de cette formule que l’on peut appeler regle du sandwich est presentee
sur la figure 1.1. Un cas particulier remarquable de cette formule s’obtient en utilisant pour x et
y des vecteurs de base ; on en deduit
L(ei,ej) = Lij . (1.39)
Reciproquement, si on connait l’application bilineaire (x,y) 7−→ x·L·y, on peut definir l’application
lineaire y 7−→ L · y en stipulant que ce dernier vecteur est l’unique vecteur v tel que
∀x, x · v = x · L · y .
On peut se convaincre que, avec ce point de vue,
a⊗ b : R3 × R3 −→ R(x,y) 7−→ (a · x)(b · y)
. (1.40)
Ce point de vue sera tres utilise lorsque l’on etudiera les deformations de milieux materiels. On
va maintenant exploiter ce point de vue pour (re)definir la notion de transposition, avant de le
generaliser au cas de tenseurs d’ordre quelconque.
15. Ou forme bilineaire, puisqu’elle est a valeurs reelles. La forme quadratique associee s’obtient en considerant
le cas y = x.
16. La valeur de la fonction L appliquee au couple de variables (x,y) !
1.4 Les tenseurs d’ordre 2 comme applications bilineaires 17
Sandwich commun : Sandwich tensoriel :
Fig. 1.1 – Illustration de la formule (1.37) pour x · L · y, dite regle du sandwich . L’endomorphisme
L se saisissant des vecteurs x et y forme ainsi un nouvel objet scalaire.
1.4.2 Applications : definition de la transposition, tenseurs (anti)symetriques
Le point de vue (1.37) permet de definir, etant donne un tenseur quelconque L, le tenseur
transpose LT par
LT : R3 × R3 −→ R(x,y) 7−→ LT (x,y) = L(y,x)
. (1.41)
En vertu de (1.37) et (1.38) il vient que, si l’on note (M) la matrice representant LT sur une base,
∀x,y,(LT · y
)· x = xiMijyj = yiLijxj = y ·
(L · x
), (1.42)
ou encore, en echangeant les roles de i et j dans l’expression ou apparaıt [L],
∀x,y, xiMijyj = yjLjixi = xiLjiyj .
On en deduit que la matrice [M ] representant LT n’est autre que la transposee de la matrice [L]
representant L.
On definit les tenseurs symetriques comme ceux qui sont egaux a leur tenseur transpose,
S symetrique ⇐⇒ S = ST , (1.43)
et les tenseurs antisymetriques comme ceux qui sont opposes a leur tenseur transpose,
A antisymetrique ⇐⇒ A = −AT . (1.44)
Exercice 1.4 Transposition d’un produit tensoriel
Montrez de deux manieres differentes, l’une utilisant une representation en base orthonormee,
l’autre intrinseque, que
(a⊗ b)T = b⊗ a . (1.45)
18 Chapitre 1 Algebre tensorielle
1.5 Les tenseurs comme applications multilineaires
1.5.1 Definition des tenseurs comme applications multilineaires
Nous allons voir qu’une facon equivalente a (1.23) de definir les tenseurs est de poser qu’un
tenseur Tn d’ordre n ≥ 1 est une application n-lineaire
Tn : R3 × · · · × R3 −→ R(x1, · · · , xn) 7−→ Tn(x1, · · · , xn)
. (1.46)
Par n-lineaire on signifie que Tn est lineaire par rapport a chacun de ses arguments. Comme
elle est a valeurs scalaires, on peut aussi la designer comme une forme multilineaire . Pour
ce qui est des tenseurs d’ordre 1 et 2 ce point de vue correspond a celui des sections 1.2 et 1.4.1.
En raisonnant par recurrence, supposons que l’on a ete capable de faire le lien entre les definitions
(1.23) et (1.46) pour les tenseurs d’ordre 1 a n − 1 ≥ 1. Considerons maintenant un tenseur Tn
d’ordre n ≥ 2 defini par (1.23). On peut definir Tn(x1, · · · ,xn) en remarquant que Tn · xn est un
tenseur d’ordre n− 1, donc que l’on sait definir
(Tn · xn)(x1, · · · , xn−1) .
On pose tout simplement
Tn(x1, · · · , xn) = (Tn · xn)(x1, · · · , xn−1) , (1.47)
qui est bien un nombre reel dependant lineairement de chaque variable x1, · · · ,xn.
Exercice 1.5 Application de la definition multilineaire recurrente au cas n = 2
Montrez que si n = 2 la definition par recurrence (1.47) est equivalente a celle posee en (1.37).
Reciproquement, soit Tn donne comme une application n-lineaire. En inversant la formule
(1.47), on peut definir Tn · x comme l’unique tenseur L d’ordre n− 1 verifiant
∀ x1, · · · , xn−1, Tn(x1, · · · , xn−1, x) = L(x1, · · · , xn−1) . (1.48)
Ce tenseur L depend bien lineairement de x.
1.5.2 Definition generale du produit tensoriel
L’un des interets de la definition (1.46) est de permettre de donner une definition simple du
produit tensoriel de n vecteurs a1, · · · ,an, en posant que c’est le tenseur d’ordre n
a1 ⊗ · · · ⊗ an : R3 × · · · × R3 −→ R(x1, · · · , xn) 7−→ (a1 ⊗ · · · ⊗ an)(x1, · · · ,xn) = (a1 · x1) · · · (an · xn)
.
(1.49)
Ceci generalise bien la formule (1.40) dans le cas du produit tensoriel de 2 vecteurs.
1.5 Les tenseurs comme applications multilineaires 19
Fig. 1.2 – Representation schematique de nos amis les tenseurs vus comme des applications multi-lineaires.
Les nombres de bras sont les nombres de vecteurs que chaque tenseur peut attraper en vertu de la
definition (1.46), ou encore le nombre d’indices reperant les composantes de chaque tenseur sur une base
donnee en vertu de (1.55). Au dessous de chaque top-modele figure l’ordre de tensorialite correspondant.
1.5.3 Ecriture intrinseque et representation - Base - Changement de base
La definition (1.46) et la notation precedente permettent de traiter aisement le probleme de
l’ecriture et de la representation des tenseurs. Interessons-nous par exemple au cas d’un tenseur
T3 d’ordre 3, que l’on notera parfois T. Par trilinearite, si ei est une base donnee dans laquelle
x, y et z ont des composantes xi, yj et zk, on a
T3(x, y, z) = T3(xiei, yjej , zkek)
= xiyjzkT3(ei, ej , ek)
T3(x, y, z) = Tijkxiyjzk avec Tijk = T3(ei, ej , ek) . (1.50)
La notion de produit tensoriel telle qu’elle vient d’etre definie permet en consequence d’ecrire que
T3 = Tijkei ⊗ ej ⊗ ek , (1.51)
ce qui generalise au cas des tenseurs d’ordre 3 la formule (1.34) pour les tenseurs d’ordre 2.
Les nombres Tijk representent le tenseur T3 dans la base ei. Ce sont les composantes de
T3 dans cette base. Ils dependent du choix de cette base. Les formules de changement de base
s’etablissent comme suit : si e′i est une autre base, caracterisee comme dans la section 1.1.4 par
sa matrice de presentation [P ] d’elements (1.11), on a
T ′ijk = T3(e′i, e′j , e′k) = T3(Pliel, Pmjem, Pnken) (1.52)
T ′ijk = PliPmjPnkTlmn . (1.53)
20 Chapitre 1 Algebre tensorielle
Exercice 1.6 Changement de base pour un tenseur d’ordre 2 application bilineaire
Etablissez une formule de changement de base equivalente a (1.53) mais dans le cas ou l’on
etudie la representation d’un tenseur T d’ordre 2, vu comme une application bilineaire. Verifiez
que cette formule est equivalente a la formule (1.31).
De fait les formules (1.50), (1.51) et (1.53) se generalisent immediatement a un tenseur Tn
d’ordre quelconque n, en ecrivant n indices, vecteurs de base et coefficients P.., selon 17
Ti1i2···in = T(ei1 , ei2 , · · · , ein) (1.54)
T = Ti1i2···inei1 ⊗ ei2 ⊗ · · · ⊗ ein (1.55)
T ′i1i2···in = Pj1i1Pj2i2 · · ·PjninTj1j2···jn . (1.56)
Revenons une derniere fois sur la remarque faite au niveau de l’equation (1.20) : si on utilise la
matrice de changement de base [Q] = [P T ] au lieu de la matrice de passage [P ], on obtient la
formule
T ′i1i2···in = Qi1j1Qi2j2 · · ·QinjnTj1j2···jn (1.57)
sans doute plus simple en ce qui concerne l’ordonnancement des indices. Pour le cas de tenseurs
d’ordre 2 les formules equivalentes a (1.54), (1.55) et (1.56) sont (1.39), (1.34) et (1.31). Ceci nous
amene enfin a enoncer qu’un tenseur d’ordre n est un etre represente sur une base par un
tableau de nombres - qui sont ses composantes - a n indices verifiant les regles de
transformation par changement de base (1.56). Ce point de vue est parfois adopte pour
introduire les tenseurs. Il est repris sur les figures 1.2 et 1.3.
Les formules (1.54) et (1.55) prouvent que les tenseurs ei1 ⊗ ei2 ⊗ · · · ⊗ ein forment une base de
l’espace des tenseurs d’ordre n. Cet espace, parfois note Tn , est ainsi un espace vectoriel
de dimension 3n... dans le cas de tenseurs agissant sur des vecteurs de R3 considere ici 18, cf. la
definition (1.46).
1.5.4 Definition generale du produit contracte
Soient An et Bm des tenseurs d’ordre n ≥ 1 et m ≥ 1. Leur produit contracte est le tenseur
Tp = An ·Bm
d’ordre p = n− 1 +m− 1 = n+m− 2 defini par 19
Tp(x1, · · · , xn−1, y2, · · · , ym) = A(x1, · · · , xn−1, ei) B(ei, y2, · · · , ym) , (1.58)
17. Dans ce qui suit on omet de rappeler l’exposant n, afin d’eviter toute confusion au niveau de la convention de
sommation d’Einstein.
18. Dans le cas de tenseurs agissant sur des vecteurs de R2, au sens de la note de bas de page numero 5 sur les
problemes plans , la dimension de Tn est bien sur 2n.
19. Dans ce qui suit on omet de rappeler les exposants n et m, afin de simplifier les notations et surtout d’eviter
toute confusion au niveau de la convention de sommation d’Einstein.
1.5 Les tenseurs comme applications multilineaires 21
Fig. 1.3 – Representation schematique des tenseurs, cette fois-ci par un veritable artiste...
ou l’indice i repete cache une sommation. Il importe de verifier que ce tenseur est bien un objet
intrinseque qui ne depend pas du choix de la base ei utilisee. Pour cela considerons une deuxieme
base e′i ; on a, en utilisant les notations de la section 1.1.4,
A(x1, · · · , xn−1, e′i) B(e′i, y2, · · · , ym)
= A(x1, · · · , xn−1, Pjiej) B(Pkiek, y2, · · · , ym)
= PjiPki A(x1, · · · , xn−1, ej) B(ek, y2, · · · , ym)
= δjk A(x1, · · · , xn−1, ej) B(ek, y2, · · · , ym)
en vertu de la formule (1.17). Ainsi
A(x1, · · · , xn−1, e′i) B(e′i, y2, · · · , ym) = A(x1, · · · , xn−1, ej) B(ej , y2, · · · , ym)
qui montre le caractere tensoriel de la definition (1.58).
Exercice 1.7 Produit contracte de deux vecteurs
Verifiez que la definition (1.58) appliquee au cas ou An est le vecteur a et Bm le vecteur b
redonne bien pour a · b le produit scalaire classique de a et b,
a · b = aibi . (1.59)
Exercice 1.8 Produit contracte d’un tenseur d’ordre 2 et d’un vecteur
Verifiez que la definition (1.58) appliquee au cas ou An est le tenseur d’ordre 2 L et Bm le
vecteur b redonne bien pour L · b l’application de L a b au sens de la definition (1.25), i.e., une
fois une base ei choisie pour representer ces objets,
L · b = Lijbjei . (1.60)
22 Chapitre 1 Algebre tensorielle
Exercice 1.9 Produit contracte de deux tenseurs d’ordre 2
Verifiez que la definition (1.58) appliquee au cas ou An est le tenseur d’ordre 2 A et Bm le
tenseur d’ordre 2 B donne, une fois une base ei choisie,
A ·B = AikBkjei ⊗ ej . (1.61)
Vous remarquerez que si l’on adopte le point de vue tenseur comme application lineaire alors
A ·B correspond a la composition de l’application lineaire B avec l’application lineaire A, que l’on
pourrait noter aussi A B, et que, si l’on raisonne en terme de matrices,
Mat(A ·B,ei
)= Mat
(A,ei
)· Mat
(B,ei
). (1.62)
Ces formules peuvent se resumer avec la regle generale suivante : le produit contracte d’un
tenseur A d’ordre n et d’un tenseur B d’ordre m s’obtient en formant le tenseur d’ordre n+m−2
dont les composantes sont les produits des composantes de A et B avec une sommation sur le
dernier indice de A pris egal au premier indice de B,
A ·B = Ai1···in−1k Bkj2···jm ei1 ⊗ · · · ⊗ ein−1 ⊗ ej2 ⊗ · · · ⊗ ejm . (1.63)
Muni de cette regle, on peut donner un sens a de nouveaux produits de la forme a ·L par exemple,
et montrer par ailleurs que le produit contracte est associatif. Ainsi
∀a, b, L, a ·(L · b
)=(a · L
)· b . (1.64)
En effet le scalaire de gauche dans (1.64) vaut
a ·(L · b
)= ai
(L · b
)i
= ai Lijbj
et celui de droite(a · L
)· b =
(a · L
)jbj = aiLij bj c’est-a-dire la meme chose.
Exercice 1.10 Associativite du produit de contraction dans un cas general
Demontrez, en explicitant ces produits dans une base orthonormee, l’egalite valable pour deux
vecteurs a et b quelconques, et un tenseur T d’ordre n quelconque,
a · (T · b) = (a ·T) · b . (1.65)
1.5.5 Definition generale du produit doublement contracte
Soient An et Bm des tenseurs d’ordre n ≥ 2 et m ≥ 2. Leur produit doublement contracte
est le tenseur
Tp = An : Bm
d’ordre p = n− 2 +m− 2 = n+m− 4 defini par 20
Tp(x1, · · · , xn−2, y3, · · · , ym) = A(x1, · · · , xn−2, ei, ej) B(ej , ei, y3, · · · , ym) . (1.66)
20. La remarque faite dans la note 19 est aussi valable ici.
1.5 Les tenseurs comme applications multilineaires 23
Verifions que cette quantite est inchangee si on travaille dans une base e′i differente. Considerons
donc
T′ = A(x1, · · · , xn−2, e′i, e′j) B(e′j , e′i, y3, · · · , ym) .
Grace aux formules (1.13), on obtient
T′ = A(x1, · · · , xn−2, Pkiek, Pljel) B(Pqjeq, Prier, y3, · · · , ym)
T′ = PkiPri PljPqj A(x1, · · · , xn−2, ek, el) B(eq, er, y3, · · · , ym) .
En utilisant le caractere orthogonal de [P ], exprime par la formule (1.17), on obtient
T′ = δkr δlq A(x1, · · · , xn−2, ek, el) B(eq, er, y3, · · · , ym)
T′ = A(x1, · · · , xn−2, ek, el) B(el, ek, y3, · · · , ym) qui est bien (1.66).
Dans le cas ou A et B sont deux tenseurs d’ordre 2, on obtient immediatement que leur produit
doublement contracte est le scalaire
A : B = A(ei,ej) B(ej ,ei) = Aij Bji . (1.67)
On a la propriete de commutation
A : B = B : A . (1.68)
En particulier on peut contracter un tenseur d’ordre 2 A avec le tenseur identite (1.35), et on
obtient alors un scalaire que l’on appele aussi la trace de A :
trA = A : 1 = Aii . (1.69)
Comme ce scalaire ne depend que de A et pas de la base choisie, on dit que c’est un inva-
riant de A... traditionnellement appele premier invariant de A...
Remarquez, en lien avec l’exercice 1.9, que, si l’on adopte momentanement le point de vue qu’un
tenseur est une application lineaire,
A : B = tr(A ·B
)= tr
(A B
). (1.70)
Ce qui nous permet de definir un second invariant 21 de A comme
A : AT = tr(A ·AT
)= AijAij (1.71)
somme des carres des composantes de A, que l’on peut voir comme une norme euclidienne carre
de A.
Dans le cas ou A est un tenseur d’ordre 3 et B un tenseur d’ordre 2, on obtient a partir de (1.66)
que leur produit doublement contracte est le vecteur
A : B = Aijk Bkjei . (1.72)
21. D’autres definitions concurrentes sont possibles, d’ou le un ; second evoque pour nous le fait que cet
invariant depend de facon quadratique de A, alors que le premier invariant depend de facon lineaire de A.
24 Chapitre 1 Algebre tensorielle
Enfin dans le cas general le produit doublement contracte d’un tenseur A d’ordre n et d’un
tenseur B d’ordre m s’obtient en formant le tenseur d’ordre n+m− 4 dont les composantes sont
les produits des composantes de A et B avec une sommation sur le dernier indice de A pris egal
au premier indice de B, et une autre sur l’avant dernier indice de A pris egal au deuxieme indice
de B,
A : B = Ai1···in−2lk Bklj3···jm ei1 ⊗ · · · ⊗ ein−2 ⊗ ej3 ⊗ · · · ⊗ ejm . (1.73)
1.6 Tenseur alterne fondamental et applications
Afin notamment de revisiter les notions de determinant, produit vectoriel et produit mixte
avec le formalisme concis et puissant du calcul tensoriel, et, aussi, de bien caracteriser les endo-
morphismes antisymetriques, nous introduisons un nouvel objet, sans doute, le premier tenseur
d’ordre 3 que vous allez manipuler...
1.6.1 Definition du tenseur alterne fondamental
Definissons le tenseur alterne fondamental ε par ses composantes εijk dans une base ortho-
normee directe ei. Celles-ci sont nulles si deux indices sont egaux parmi i, j et k ; si les indices
i, j et k sont distincts, alors εijk est la signature de la permutation (1,2,3) 7−→ (i,j,k) :
εijk =
+1 si (1,2,3) 7−→ (i,j,k) est paire
−1 si (1,2,3) 7−→ (i,j,k) est impaire
0 si deux indices sont egaux parmi i, j et k
. (1.74)
Rappelons que les permutations paires de (1,2,3), appelees aussi permutations circulaires de
(1,2,3), sont
(1,2,3) 7−→ (1,2,3) , (1,2,3) 7−→ (2,3,1) , (1,2,3) 7−→ (3,1,2) . (1.75)
Certains auteurs designent les εijk comme les symboles d’antisymetrie 22, puisqu’effective-
ment les εijk sont antisymetriques par echange d’indices :
εjik = −εijk , εkji = −εijk , εikj = −εijk . (1.76)
Comme la composition d’une permutation paire σ par une permutation donnee a la meme signature
que cette permutation donnee, on peut aussi remarquer que les εijk sont invariants par permutation
circulaire,
εσ(i)σ(j)σ(k) = εijk . (1.77)
Verifions que ε est bien un tenseur d’ordre 3. En vertu de (1.53), on doit verifier que, dans un
changement de base caracterise par une matrice de passage [P ],
ε′ijk = PliPmjPnkεlmn (1.78)
22. D’autres encore designent les εijk comme les symboles de Levi-Civita , du nom du mathematicien italien
du XIXeme siecle qui fut l’un des co-inventeurs du calcul tensoriel (cf. la citation deja mentionnee en introduction
Ricci & Levi-Civita 1900) et de cette notation ! Enfin certains designent ε comme le tenseur d’orientation ,
pour insister sur le fait qu’il n’est un tenseur qu’a condition d’utiliser des bases ayant toutes la meme orientation :
l’equation (1.79) montre bien que si on passe d’une base directe a une base indirecte, comme det[P ] = −1, il y a
alors probleme. Pour insister sur cette propriete on designe parfois ε comme un pseudotenseur .
1.6 Tenseur alterne fondamental et applications 25
coıncide avec εijk donne par (1.74).
Si deux indices parmi i, j et k sont egaux, par exemple si i = j, on peut ecrire, en echangeant tout
d’abord les indices l et m, que
ε′ijk = PliPmjPnkεlmn = PmiPljPnkεmln = −PmjPliPnkεlmn
en utilisant ensuite le fait que i = j et l’antisymetrie de ε. Comme ε′ijk est egal a son oppose, il est
nul, c’est-a-dire egal a εijk.
Si i, j et k sont tous differents, on peut remarquer que
ε′ijk = εlmnPliPmjPnk
n’est autre, d’apres la formule de Leibniz vue en classes preparatoires, que le determinant de
la matrice formee par les ieme , j eme et keme vecteurs colonnes de [P ]. D’apres la theorie des
determinants, c’est le determinant de la matrice [P ] multiplie par la signature de la permutation
faite sur les colonnes, i.e. la permutation (1,2,3) 7−→ (i,j,k) :
ε′ijk = det[P ] εijk . (1.79)
Or [P ] est une matrice de rotation (transformation orthogonale directe), donc
det[P ] = 1 . (1.80)
Ceci implique que dans ce cas aussi ε′ijk = εijk.
On remarque pour conclure cette introduction que le determinant d’un tenseur d’ordre 2 peut
s’ecrire
det A = εijkAi1Aj2Ak3 , (1.81)
ce qui est plus compact et maniable que l’ecriture en tableau utilisee en classes preparatoires... Ce
scalaire peut etre vu comme le troisieme invariant de l’endomorphisme A, troisieme au
sens ou il depend de facon cubique de A.
Exercice 1.11 Utilisation du tenseur alterne fondamental pour calcul d’un determinant
Montrez que si
F = 1 + L , (1.82)
avec L un tenseur infiniment petit i.e. d’ordre de grandeur L =∣∣∣∣L∣∣∣∣ 1, alors
det F = 1 + trL + O(L2) . (1.83)
Commentaires :
• Voyez sur cet exercice, sur la notion de norme et la notation O, l’annexe A.1.
• Une application physique de la formule (1.83) sera le calcul de la dilatation volumique en
petite transformation, cf. la section 2.1.7 de Plaut (2017).
26 Chapitre 1 Algebre tensorielle
1.6.2 Produits mixte et vectoriel
En utilisant le point de vue qu’un tenseur est une application multilineaire, ε est vu comme
l’application
(x, y, z) 7−→ ε(x, y, z) = εijkxiyjzk . (1.84)
Cette application n’est autre que le produit mixte deja rencontre en classes preparatoires, soit le
determinant des vecteurs colonnes representant x, y et z. Rappelons son interpretation geometrique :
• ce produit mixte est nul si et seulement si x, y et z sont lies ;
• dans le cas ou x, y et z sont independants et forment un triedre direct, ε(x, y, z) est le
volume du parallelepipede de cotes x, y et z ;
• dans le cas ou x, y et z sont independants et forment un triedre indirect, ε(x, y, z) est
l’oppose du volume du parallelepipede de cotes x, y et z.
On definit alors le produit vectoriel de deux vecteurs x et y comme le vecteur 23 a qui
definit, au sens de (1.24), l’application lineaire
z 7−→ ε(x, y, z) .
Par identification avec
z 7−→ a · z ,
i.e., en assurant que
∀ x, y, z , ε(x, y, z) = (x ∧ y) · z , (1.85)
on obtient que le produit vectoriel a = x ∧ y est defini en composantes par 24
x ∧ y = εijkxiyjek = εkijxiyjek = εijkxjykei , (1.86)
ou en notations tensorielles intrinseques par
x ∧ y = ε : y⊗ x . (1.87)
Rappelons son interpretation geometrique :
• ce produit vectoriel est nul si et seulement si x et y sont colineaires ;
• sinon, le vecteur x∧y est orthogonal au plan forme par x et y, tel que le triedre forme par
x, y et x ∧ y soit direct ;
• on a dans tous les cas
||x ∧ y|| = ||x|| ||y|| | sin(x,y)| (1.88)
qui est l’aire du parallelogramme construit sur x et y.
23. Pour la meme raison que celle expliquee dans la note 22, on dit parfois que le produit vectoriel est un pseu-
dovecteur.
24. Pour passer a la toute derniere expression dans (1.86) on a renomme tous les indices muets suivant (i,j,k) 7−→(j,k,i).
1.6 Tenseur alterne fondamental et applications 27
1.6.3 Vecteur dual d’un tenseur d’ordre 2 - Tenseurs antisymetriques
Si L est un tenseur d’ordre 2, on peut d’apres (1.72) definir un vecteur que l’on va appeler
vecteur dual 25 de L par
vd(L)
=1
2ε : L , (1.89)
soit en composantes
vd(L)
=1
2εijkLkj ei . (1.90)
Exercice 1.12 Formules portant sur le tenseur alterne fondamental et le vecteur dual
1 Montrez que
εijkεipq = δjpδkq − δjqδkp . (1.91)
Commentaire : cette question plus difficile peut etre consideree comme facultative : on vous re-
commande donc d’admettre la formule (1.91) ; les curieux liront sa demonstration dans le corrige
des exercices.
2 A l’aide de cette formule montrez que
vd(L)· ε =
1
2
(LT − L
). (1.92)
Exercice 1.13 Formule du double produit vectoriel
Montrez, en passant en composantes, que
a ∧ (b ∧ c) = (a · c)b − (a · b)c . (1.93)
Exercice 1.14 Vecteur dual d’un tenseur d’ordre 2 symetrique
Montrez que
S est symetrique au sens de la definition (1.43) ⇐⇒ vd(S)
= 0 . (1.94)
En consequence cette notion de vecteur dual n’est interessante que pour un tenseur A anti-
symetrique au sens de la definition (1.44). On peut se convaincre qu’alors
∀x, A · x = vd(A)∧ x . (1.95)
Cette equation permet d’ interpreter le vecteur dual comme un vecteur rotation , puisqu’un
champ A · x de cette forme coıncide avec le champ de vitesse instantane d’un solide indeformable
(une fois l’origine des x choisie sur l’axe instantane de rotation ; cf. a ce sujet la section 2.2.5 du
cours de mecanique Plaut 2017)
v(x) = ω ∧ x .
25. On devrait peut-etre dire pseudovecteur dual en vertu de la note 22.
28 Chapitre 1 Algebre tensorielle
Exercice 1.15 Tenseur antisymetrique en fonction de son vecteur dual
Explicitez la formule (1.92) dans le cas ou L est un tenseur A antisymetrique, et deduisez en
la formule (1.95).
1.7 Exemples en mecanique des milieux continus
Comme on le verra dans Plaut (2017), en mecanique des milieux continus des exemples de
tenseurs applications lineaires sont
• le tenseur gradient de la transformation F = ∇XΦ, avec Φ(X) le champ de placement
qui definit le mouvement ;
• le tenseur gradient de deplacement ∇Xu ;
• le tenseur donnant la partie deformations du deplacement linearise ε = 12
(∇Xu +∇XuT)
;
• le tenseur gradient de vitesse ∇xv ;
• le tenseur donnant la partie deformations des vitesses linearisees D = 12
(∇xv + ∇xvT)
;
• le tenseur des contraintes de Cauchy σ ;
des exemples de tenseurs applications bilineaires sont
• le tenseur des dilatations de Cauchy C = FT· F ;
• le tenseur des deformations de Green-Lagrange e = 12(C− 1) ;
• le tenseur des deformations linearise ε = 12
(∇Xu + ∇XuT)
;
• le tenseur des taux de deformations D = 12
(∇xv + ∇xvT).
La notion de gradient introduite brutalement ici fait partie des concepts fondamentaux de l’analyse
tensorielle ; il est temps de s’y lancer...
1.8 Notes personnelles
1.8 Notes personnelles 29
30 Chapitre 1 Algebre tensorielle
Chapitre 2
Analyse tensorielle
En physique des milieux continus la notion de gradient d’un champ scalaire merite d’etre
generalisee, puisque, si on s’interesse par exemple a un fluide, l’analyse 1 de son champ de vecteur
vitesse semble au moins aussi importante que celle de son champ de temperature 2. L’objet de ce
chapitre est justement de generaliser, de facon la plus systematique possible, et tant qu’on y est
a des tenseurs d’ordre eleve (voire quelconque), les outils d’analyse des fonctions de plusieurs
variables vus en classes preparatoires. Ces outils d’analyse sont les operateurs differentiels
gradient, rotationnel, divergence et laplacien, que l’on introduit tout en expliquant leur si-
gnification physique, en lien avec leur definition et proprietes. On s’interesse donc a des champs
de tenseurs c’est-a-dire des applications regulieres 3 d’un ouvert Ω de l’espace physique (typi-
quement le volume d’un milieu materiel) vers l’espace vectoriel des tenseurs d’un certain ordre n.
On utilise la definition des tenseurs comme applications lineaires, donnee par l’equation (1.23).
D’autre part on s’abstient de la notation avec parentheses pour designer l’application d’un tenseur
d’ordre n a un vecteur, utilisant exclusivement la notation avec le point de contraction. Ainsi, dans
ce chapitre, un tenseur d’ordre n, note Tn, est une application lineaire
qui a tout vecteur fait correspondre un tenseur d’ordre n− 1 :
Tn : h 7−→ Tn · h. (2.1)
Une fois choisi un point origine O dans l’espace, en identifiant les points M de Ω a leur vecteur
position x = OM, on peut poser qu’un champ de tenseur d’ordre n est une fonction
Tn : x ∈ Ω 7−→ Tn(x) . (2.2)
L’utilisation du point de contraction pour designer Tn(x) applique a h, proposee en (2.1), conduit
a noter cet objet
Tn(x) · h .
Ceci permet d’eviter des notations tres lourdes du type Tn(x)(h), et de mettre en evidence la
difference fondamentale qui existe entre x vecteur position dans le champ Ω ou est defini Tn
et h vecteur totalement quelconque de R3 auquel peut s’appliquer Tn(x). Physiquement, h sera
souvent une variation infinitesimale dx de x, mais, compte tenu de la linearite de Tn(x), qu’on
l’applique a des vecteurs infinitesimaux ou non importera mathematiquement peu...
1. Voir au sujet de l’analyse la note 6 au bas de la page 5.
2. De meme en electromagnetisme l’analyse des champs electrique et magnetique est indispensable.
3. Pour simplifier on les considere de classe C2.
32 Chapitre 2 Analyse tensorielle
PSfrag replacements
dx
x
x+ dx dv
v(x)
v(x+ dx)
dv = ∇v · dx veut dire...
Fig. 2.1 – Figure illustrant la definition intrinseque (2.5) du gradient d’un champ de vecteur v(x). Ce
gradient ∇v - sous-entendu au point x - est l’application lineaire qui a la difference de position dx fait
correspondre la difference de vecteur dv, c’est donc l’application lineaire representee par la fleche courbe.
Une representation du champ ∇v · dx est proposee sur le trace inferieur gauche de la figure 2.2.
2.1 Gradient d’un champ de tenseur
2.1.1 Definition intrinseque en tant que differentielle
Soit T(x) un champ de tenseur d’ordre n sur Ω ; on omet maintenant le n a cote du T pour
simplifier les notations. L’analyse locale de ce champ autour d’un point x donne de Ω consiste a
considerer les variations ou increments
δT(x, dx) = T(x + dx)−T(x)
pour dx vecteur variation de position infinitesimal . Supposant le champ T differentiable, nous
pouvons considerer la differentielle de T au point x, application lineaire notee provisoirement
G(x), telle que
δT(x, dx) = T(x + dx)−T(x) = G(x) · dx + o(dx) , (2.3)
en renvoyant a l’annexe A.2 pour la definition de la notation o. Pour simplifier on note en calcul
differentiel
dT = δT linearise = G(x) · dx , (2.4)
i.e., on identifie la partie lineaire des variations considerees, en negligeant les termes d’ordre
superieur. L’ egalite en calcul differentiel (2.4) doit donc etre vue comme une equivalence va-
lable asymptotiquement quand δT et dx tendent vers 0. Cette egalite montre que l’application
G(x) est une application lineaire qui au vecteur dx fait correspondre le tenseur dT d’ordre n : en
vertu de la definition (2.1), c’est donc un tenseur d’ordre n+ 1. Comme G depend de x, c’est en
fait un champ de tenseur d’ordre n+ 1. On le note ∇T et on l’appelle gradient du champ
de tenseur T ; on doit retenir qu’il est defini en calcul differentiel par
∇T : dx 7−→ dT = ∇T · dx . (2.5)
La figure 2.1 illustre cette definition dans le cas ou T est un champ de vecteur v.
Pour comprendre la signification physique de ∇T, il est utile de mentionner le terme utilise
par de nombreux mathematiciens pour le designer. Ils appelent le gradient de T l’ application
lineaire tangente a T. En effet, comme la tangente a une courbe est l’approximation lineaire
locale de celle-ci, l’application lineaire tangente a T est l’approximation lineaire locale du champ
T, puisqu’elle permet de calculer les dT en fonction des dx. On illustrera ceci plus precisement
dans le cas d’un champ de vecteurs dans la section 2.2, et sur la figure 2.2.
2.1.2 Calculs en coordonnees cartesiennes
Avec les notations du chapitre precedent, on utilise ici un repere R = Ox1x2x3, les coordonnees
cartesiennes (x1, x2, x3) associees, et des representations en composantes, ou, abusivement, coor-
2.1 Gradient d’un champ de tenseur 33
donnees , des champs tensoriels etudies 4. On peut ecrire, grace a la theorie du calcul differentiel,
que
dT =∂T
∂xkdxk (2.6)
ou les derivees partielles de T sont definies par
∂T
∂xk= lim
h→0
T(x + hek)−T(x)
h. (2.7)
En identifiant les formules (2.5) et (2.6) sachant que dx = dxkek, on obtient que 5
∀k , ∇T · ek =∂T
∂xk. (2.8)
Si T est un champ scalaire T , son gradient est donc le champ de vecteur defini par
∇T =∂T
∂xkek . (2.9)
Par contre, si on a affaire a un champ de tenseur T d’ordre n ≥ 1, on obtient d’apres (2.8)
que
∇T =∂T
∂xk⊗ ek . (2.10)
Ainsi le gradient d’un champ de vecteur v est le champ de tenseur d’ordre 2 defini par
∇v =∂vi∂xj
ei ⊗ ej . (2.11)
De meme le gradient d’un champ de tenseur T d’ordre 2 est le champ de tenseur d’ordre
3 defini par
∇ T =∂Tij∂xk
ei ⊗ ej ⊗ ek . (2.12)
Mentionnons que l’on note parfois les derivees partielles avec une virgule ou un point virgule 6. Nous
n’utiliserons pas de telles notations ici, pour ne pas compliquer votre apprentissage. Cependant etre
conscient de leur existence pourra s’averer utile... si jamais vous lisiez un jour les œuvres completes
d’Einstein (voir a ce sujet la figure culturelle 2.7 page 45), ou moins improbablement des traites
ou articles de mecanique ou electromagnetisme avances.
4. Cette terminologie calculs en coordonnees cartesiennes et la methodologie associee seront tres utilisees !..
5. Cette identification repose sur le fait que les variations des coordonnees dx1, dx2, dx3 sont independantes.
Autrement dit l’egalite ∇T ·ekdxk = (∂T/∂xk)dxk doit avoir lieu quels que soient dx1, dx2, dx3 infiniment petits...
6. I.e.∂T
∂xk T,xk ou
∂T
∂xk T,k .
On y gagne une concision extreme, puisque par exemple avec cette deuxieme convention la formule (2.12) devient
∇ T = Tij,k ei ⊗ ej ⊗ ek .
Pour des derivees partielles secondes on utilise parfois des notations avec une seule virgule et en listant les coordonnees
ou indices de coordonnees par rapport auxquels on derive,
∂2T
∂x∂y T,xy ou
∂2T
∂xi∂xj T,ij .
34 Chapitre 2 Analyse tensorielle
2.2 Cas du gradient d’un champ de vecteur
2.2.1 Decomposition en parties symetrique et antisymetrique
Soit v un champ de vecteur. En general le tenseur ∇v, d’ordre 2, n’a aucune raison d’etre
ni symetrique ni antisymetrique 7. Il peut par contre etre decompose en somme d’un tenseur
symetrique D, parfois note D(v), et antisymetrique ω, parfois note ω(v), suivant le systeme
d’equations
∇v = D + ω , (2.13)
DT = D , ωT = −ω . (2.14)
En transposant (2.13) on obtient que ∇vT = D− ω . (2.15)
Par addition et soustraction de (2.13) et (2.15), il vient que la decomposition (2.13) est unique et
definie par
D =1
2
(∇v + ∇vT
), ω =
1
2
(∇v − ∇vT
). (2.16)
Dans ce qui suit on raisonne autour d’un point x donne, afin d’interpreter les contributions de D
et ω (sous entendu au point x) a
δv = v(x + dx)− v(x) ' δv linearise = dv = ∇v · dx = D · dx︸ ︷︷ ︸dvdef
+ ω · dx︸ ︷︷ ︸dvrot
. (2.17)
Les abreviations introduites vont etre justifiees. L’interpretation de ∇v en tant qu’ application
lineaire tangente a v peut s’eclairer en meditant les schemas de gauche de la figure 2.2.
2.2.2 Signification de la partie symetrique
D’apres le cours de classes preparatoires sur la reduction des endomorphismes, D, endomor-
phisme symetrique de R3, peut se diagonaliser sur une base orthonormee ni, les valeurs propres
correspondantes λi etant reelles :
D = λ1n1 ⊗ n1 + λ2n2 ⊗ n2 + λ3n3 ⊗ n3 . (2.18)
Donc dx = Xini =⇒ dvdef = D · dx = λ1X1n1 + λ2X2n2 + λ3X3n3 . (2.19)
En deux dimensions (cas X3 = 0) des champs de ce type sont presentes sur le schema du milieu
de la figure 2.2 (cas λ1 = 1,1 et λ2 = −1), ou encore sur la figure 2.6. On voit apparaıtre des
champs deformants , qui montrent que cette premiere partie de dv decrit la deformation
locale du champ dv. On peut affirmer phenomenologiquement que λi est le taux d’extension ,
s’il est positif, ou taux de contraction , s’il est negatif, du champ dvdef dans la direction ni.
2.2.3 Signification de la partie antisymetrique - rotationnel
L’endomorphisme antisymetrique ω n’est pas diagonalisable, mais on peut ecrire, d’apres (1.95),
que
dvrot = ω · dx = vd(ω)∧ dx .
7. Au sens des definitions de la section 1.4.2.
2.2 Cas du gradient d’un champ de vecteur 35
≃
= +
Fig. 2.2 – Illustration d’un gradient de vecteurs et de la decomposition (2.13) par representation de champs
dans une partie de R2 centree sur son origine. En haut a gauche, champ de vecteurs v(x) dependant non
lineairement de x, mais verifiant v(0) = 0. Grace a ces hypotheses de centrage , auxquelles on peut
toujours se ramener par de simples translations, on peut considerer que δv = v et dx = x dans la formule
(2.17). En dessous, le champ tangent dv = ∇v(0) · x. Ce champ depend lineairement de x, et
constitue au voisinage de l’origine une bonne approximation du champ precedent. Au milieu, la partie de
deformation locale de ce champ, D(0) ·x. Ici exceptionnellement les vecteurs de la base canonique sont
vecteurs propres de D(0). A droite, la partie de rotation locale de ce champ, ω(0) ·x = 12rot(v)(0)∧x.
Ceci nous pousse a definir le vecteur 8 rotationnel de v comme etant
rot(v) = 2 vd(ω)
= 2 vd(∇v)
= ε : ∇v (2.20)
en vertu du fait que ω et ∇v different seulement d’un tenseur symetrique, dont le vecteur dual
est nul d’apres (1.94). Ainsi
dvrot = ω · dx =1
2rot(v) ∧ dx . (2.21)
Un exemple de tel champ est represente sur le schema de droite figure 2.2. C’est toujours un champ
tournant : on peut interpreter cette partie de dv comme decrivant la rotation locale du
champ dv. De plus on peut affirmer sur le rotationnel d’un champ que sa direction donne celle
de l’axe de la rotation locale de ce champ, sa norme mesure l’intensite de cette rotation. Dans son
ensemble la figure 2.2 illustre toute la formule (2.17) ; il convient de la bien mediter 9.
8. Pseudovecteur pour les puristes, puisqu’a nouveau le pseudotenseur ε pointe le bout de son nez.
9. La figure 2.2 est d’une importance capitale. En effet on verra que les lois de comportement des solides et des
fluides utilisent de facon essentielle les decompositions (2.13) et (2.17).
36 Chapitre 2 Analyse tensorielle
En composantes en coordonnees cartesiennes, on a, d’apres (1.72), (2.11) et (2.20),
rot(v) = εijk∂vk∂xj
ei , (2.22)
ou l’on reconnait l’expression vue en classes preparatoires et parfois notee
rot(v) = ∇ ∧ v
a l’aide de l’ operateur nabla
∇ =∂
∂xiei .
Ces deux dernieres formules ne meritent pas qu’on leur attribue un numero car elles n’ont pas
une signification tensorielle generale ; en particulier on verra dans les sections 2.7 et 2.8 qu’elles
ne survivent pas a l’utilisation de coordonnees cylindriques ou spheriques, contrairement a des
formules intrinseques tensorielles comme la formule (2.20).
2.3 Divergence d’un champ de tenseur
2.3.1 Definition intrinseque a partir du gradient
Soit T un champ de tenseur d’ordre n ≥ 1. Alors son gradient ∇T est un champ de tenseur
d’ordre n+ 1 ≥ 2. On peut donc definir, en tout point x de Ω,
div T = ∇T : 1 (2.23)
qui est d’apres la definition du produit doublement contracte donne en section 1.5.5 un tenseur
d’ordre n+ 1 + 2− 4 = n− 1. On nomme le champ correspondant divergence du champ T.
La signification physique de div T se revele a partir de la formule integrale de la divergence
(2.39), qui implique cet operateur, mais necessite aussi des notions de calcul integral. Nous y
reviendrons donc a la fin de la section 2.4.
2.3.2 Calculs en coordonnees cartesiennes
Si T est un champ de vecteur v, on obtient d’apres les formules (1.67), (2.11) et (2.23) que
sa divergence est le champ scalaire defini en tout point de Ω par
divv = ∇v : 1 = tr∇v =∂vi∂xi
. (2.24)
C’est bien la notion qui a ete introduite en classes preparatoires.
Par contre si T est un champ de tenseur d’ordre n ≥ 2, la formule (2.10) montre que
div T =( ∂T
∂xk⊗ ek
): 1
=(∂Ti1···in
∂xkei1 ⊗ · · · ⊗ ein ⊗ ek
): ej ⊗ ej
div T =∂Ti1···in−1j
∂xjei1 ⊗ · · · ⊗ ein−1 . (2.25)
2.4 Integration des champs de tenseurs 37
En particulier si T est un champ de tenseur d’ordre 2, il vient que sa divergence est le champ
de vecteur defini en tout point de Ω par
div T =∂Tij∂xj
ei . (2.26)
2.4 Integration des champs de tenseurs
2.4.1 Definitions
En mecanique des milieux continus il importe, afin de pouvoir faire par exemple des bilans
globaux , de savoir definir les integrales de champs de tenseurs sur divers sous domaines de R3.
Pour cela on travaille en composantes, en utilisant un repere orthonorme Ox1x2x3, a partir des
notions d’integrales 10 d’une fonction a valeurs reelles f(x) :
• Integrale curviligne le long d’une courbe orientee C, l’element de longueur etant dl,
IC(f) =
∫Cf dl . (2.27)
La courbe orientee etant definie par le parametrage t ∈ [0,1] 7−→ x(t), de classe C1, on a
dl = ||x′(t)|| dt i.e. on definit IC par
IC(f) =
∫ 1
0f(x(t)) ||x′(t)|| dt . (2.28)
• Integrale de surface sur une surface S, l’element de surface etant d2S,
IS(f) =
∫∫Sf d2S . (2.29)
La surface etant parametree au moins localement par (u,v) 7−→ x(u,v), on a localement,
d’apres la formule (1.88),
d2S = ||dxu ∧ dxv|| =∣∣∣∣∣∣∂x
∂udu ∧ ∂x
∂vdv∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∂x
∂u∧ ∂x
∂v
∣∣∣∣∣∣ du dv . (2.30)
• Integrale de volume dans un volume Ω, l’element de volume etant d3x,
IΩ(f) =
∫∫∫Ωf d3x . (2.31)
Le volume etant parametre au moins localement par (u,v,w) 7−→ x(u,v,w), on a localement,
d’apres l’interpretation du produit mixte (1.84),
d3x = ε(dxu, dxv,dxw) = ε(∂x
∂udu,
∂x
∂vdv,
∂x
∂wdw)
= ε(∂x
∂u,∂x
∂v,∂x
∂w
)du dv dw. (2.32)
Considerons par exemple 11 un champ de tenseur d’ordre 2
T(x) = Tij(x) ei ⊗ ej . (2.33)
10. Pour une introduction mathematique rigoureuse de ces notions, on pourra consulter Chatterji (1997).
11. Cette demarche peut etre utilisee pour definir les integrales de tenseurs d’ordre quelconque.
38 Chapitre 2 Analyse tensorielle
PSfrag replacements
t
m
n
n
n
n
S
∂S
Fig. 2.3 – Conventions d’orientation a respecter pour le champ de vecteur normale unitaire n(x) a une
surface S de l’espace R3, et pour l’orientation de son bord ∂S, afin de pouvoir appliquer la formule du
rotationnel (2.35). On peut traduire cette convention d’orientation avec une regle de la main droite : si
j’oriente mon majeur droit le long du vecteur tangent au bord t, et mon pouce droit du cote de S, c’est-a-dire
du vecteur m, alors le vecteur n doit sortir du dos de ma main vers l’exterieur de celle-ci.
On definit en respectant la linearite des operations d’integration l’integrale curviligne de T le long
de C par 12
IC
(T)
= IC(Tij) ei ⊗ ej notee aussi
∫C
T dl , (2.34)
et de meme pour les integrales de surface et de volume.
2.4.2 Formule integrale du rotationnel
Nous rappelons la formule d’Ampere-Stokes vue en classes preparatoires, que nous appelons
plutot formule integrale du rotationnel . Cette formule concerne un champ de vecteur
v defini (et regulier) sur un ouvert contenant une surface S verifiant les hypotheses suivantes,
illustrees sur la figure 2.3 :
• S repose sur un bord ∂S qui est la courbe definie par le parametrage t ∈ [0,1] 7−→ x(t),
de classe C1, avec x(0) = x(1) ;
• on peut definir en tout point x de S un vecteur normal unitaire n(x) de sorte que sur S la
fonction x 7→ n(x) est continue ;
• si x = x(t) est sur ∂S, t(x) est le vecteur unitaire tangent a ∂S oriente dans le sens
de parcours de ∂S, c’est-a-dire colineaire a x′(t), m(x) est un vecteur tangent a S en x
independant de t(x), et pointant dans la direction de S, alors t(x), m(x) et n(x) forment
un triedre direct.
On peut alors montrer que 13 ∫∫S
(rotv) · n d2S =
∫∂S
v · t dl . (2.35)
D’ou l’interpretation du champ rotv : son flux a travers S (terme de gauche) definit la circulation
de v le long de ∂S (terme de droite). Cette formule peut s’etendre au cas de surfaces et bords
un peu moins reguliers, presentant par exemple des aretes vives, a condition de veiller a ne pas
modifier brutalement l’orientation de n(x), qui doit toujours pointer dans la meme direction.
12. Les vecteurs ei constituent une base globale fixe, les tenseurs ei ⊗ ej sont donc independants du point et
peuvent etre sortis de l’integrale.
13. Voir par exemple le chapitre 8 de Pernes (2003), qui utilise cependant des notations differentes ; pour une
approche plus mathematique voir Chatterji (1997) ; enfin l’approche pragmatique d’Aris (1962) est interessante.
Notez que t dl peut etre note dx = x′(t) dt en utilisant un parametrage t 7→ x(t) de ∂S.
2.4 Integration des champs de tenseurs 39
Ω∂Ω
n
n
n
n n
n
nn
n
n
Fig. 2.4 – Convention d’orientation a respecter pour le champ de vecteur normale unitaire sortante
n(x) au bord ∂Ω d’un ouvert Ω de l’espace R3 afin de pouvoir appliquer la formule de la divergence (2.38)
ou (2.39).
2.4.3 Formule integrale de la divergence
On designe avec ce terme la formule dite aussi de Stokes-Ostrogradski, et sa generalisation aux
tenseurs d’ordre quelconque. Ces formules concernent des integrales de volume sur un ouvert borne
Ω, connexe, dont la surface bord (ou frontiere), notee ∂Ω, verifie les hypotheses suivantes : on peut
definir en tout point x de ∂Ω, sauf eventuellement le long de courbes qui sont des aretes vives,
un vecteur normal unitaire n(x) sortant de Ω (i.e. oriente de Ω vers l’exterieur de Ω), et sur ∂Ω la
fonction x 7→ n(x) est continue par morceaux. Une situation typique est presentee sur la figure 2.4.
La formule integrale de la divergence pour un champ de vecteur regulier 14 v stipule que 15
∫∫∫Ω
divv d3x =
∫∫∂Ω
v · n d2S . (2.36)
Afin d’obtenir la formule integrale de la divergence pour un champ de tenseur (regulier)
T d’ordre 2, appliquons la formule precedente (2.36) au champ de vecteur ei ·T pour i fixe dans
1,2,3. On obtient∫∫∫Ω
div(ei ·T
)d3x =
∫∫∂Ω
(ei ·T
)· n d2S = ei ·
∫∫∂Ω
T · n d2S
en faisant usage de la propriete d’associativite (1.64), et en se rappelant que ei est un vecteur fixe
qui peut donc etre sorti de l’integrale. D’autre part on peut montrer facilement que 16
div(ei ·T
)= ei · div T . (2.37)
On a donc, quel que soit i,
ei ·∫∫∫
Ωdiv T d3x = ei ·
∫∫∂Ω
T · n d2S .
On en deduit la formule voulue,∫∫∫Ω
div T d3x =
∫∫∂Ω
T · n d2S . (2.38)
14. De classe C1 au moins sur un ouvert strictement plus grand que l’adherence de Ω ; rappelons que l’on a suppose
dans ce document tous les champs de classe C2.
15. Une demonstration a la physicienne de cette formule peut etre lue dans les chapitres 8 de Pernes (2003)
ou 3 de Aris (1962) ; pour une approche plus mathematique on consultera par exemple Chatterji (1997).
16. Le faire, en passant en composantes dans une base orthonormee. Ou alors traiter l’exercice 2.7...
40 Chapitre 2 Analyse tensorielle
Cette formule est en fait valable pour un tenseur T d’ordre n ≥ 1 quelconque,∫∫∫Ω
div T d3x =
∫∫∂Ω
T · n d2S . (2.39)
Certains physiciens appelent (2.39) formule du flux-divergence , car elle dit l’egalite entre
le flux (generalise) de T a travers ∂Ω (le terme de droite) et l’integrale de div T dans Ω (le terme
de gauche). Ceci donne de premiers elements d’interpretation physique de l’operateur divergence.
Exercice 2.1 Demonstration de la formule de la divergence dans le cas general
Supposez la formule (2.39) vraie pour tout champ tensoriel d’ordre n ≥ 2, et montrez sa validite
pour un tenseur T d’ordre n+ 1.
2.4.4 Application : signification physique de l’operateur divergence
Divergence d’un champ de vecteurs dans l’espace bidimensionnel
Dans un cas plan, au sens de la note de bas de page 5 p. 10, le plan R2 de repere Ox1x2 est
plonge dans l’espace R3 de repere Ox1x2x3. Un champ de vecteurs v2 regulier sur une partie Ω2
de R2 contenant une surface S est prolonge sur Ω3 = Ω2 × R en posant
∀(x1,x2,x3) ∈ Ω3 , v3(x1,x2,x3) = v2(x1,x2) .
Considerons, comme cela est represente sur la figure 2.5, le volume D = S × [0,1], de forme
cylindrique au sens large. Si n2 est le champ de normale sortante a S, defini dans le plan
Ox1x2 sur ∂S, on peut l’etendre en un champ n3 defini et regulier sur ∂D en posant
∀(x1,x2,x3) ∈ ∂D , si (x1,x2) ∈ ∂S , n3(x1,x2,x3) = n2(x1,x2) ,
si x3 = 0 , n3(x1,x2,x3) = −e3 ,
si x3 = 1 , n3(x1,x2,x3) = e3 . (2.40)
Appliquons la formule integrale de la divergence (2.36) au champ v3 sur le domaine D. Il vient∫∫∫D
divv3 d3x =
∫∫∂D
v3 · n3 d2S
soit, compte tenu des definitions memes des champs v3 et n3,∫∫S
divv2 d2S =
∫∂S
v2 · n2 dl , (2.41)
en posant naturellement
divv2 =∂(v2 · e1)
∂x1+
∂(v2 · e2)
∂x2. (2.42)
La formule integrale de la divergence dans le plan (2.41) peut par exemple etre appliquee
a une surface D(x,a) disque centre en x, de rayon a infinitesimal. On obtient, quand a tend vers
0, par continuite des champs consideres,
divv2(x) = lima→0+
1
πa2
∫C(x,a)
v2 · n2 dl (2.43)
2.4 Integration des champs de tenseurs 41
O
x1
x2
S∂S
n2
n2
n2
n2n2
n2
n2 O
x1
x2
x3
D∂D
n3n3 n3
n3
n3
n3
n3
Fig. 2.5 – Gauche : surface S du plan R2 avec son champ de normale sortante n2 ; afin de pouvoir
appliquer la formule integrale de la divergence dans le plan (2.41) le bord ∂S de S doit etre oriente dans le
sens trigonometrique, comme l’indique la fleche sous le symbole S. Droite : volume D = S× [0,1] construit
a partir de S par translations verticales, avec son champ de normale sortante n3 sur son bord lateral, utilise
pour demontrer a partir de la formule tridimensionnelle (2.36) la formule bidimensionnelle (2.41).
Fig. 2.6 – Dans le plan x1Ox2, traces de champs (2.44). Haut : (λ1,λ2) = (1,1), (1,− 12 ), ( 1
2 ,−1), (−1,−1)
de gauche a droite. En vertu de (2.45), on a affaire de gauche a droite a un champ divergent (divv = 2),
faiblement divergent (divv = 12 ), faiblement convergent (divv = − 1
2 ) puis convergent (divv = −2). Bas :
(λ1,λ2) = (1,− 1), soit un champ de divergence nulle.
en notant C(x,a) le cercle de centre x et de rayon a. La divergence de v2 en x est donc positive si
le champ v2 a un flux positif a travers des petits cercles entourant x, i.e. si le champ diverge de
x. Au contraire la divergence de v2 en x est negative si le champ v2 a un flux negatif a travers des
petits cercles entourant x, i.e. si le champ converge vers x. Ceci est illustre sur la figure 2.6,
obtenue en tracant des champs dependants lineairement des coordonnees, de la forme
v = λ1x1e1 + λ2x2e2 , (2.44)
pour lesquels on a
divv = λ1 + λ2 . (2.45)
On peut noter que, d’apres la discussion de la section 2.2.2, ces champs representent la forme
generique, en deux dimensions, de champs deformants , une fois que l’on a choisi pour base
celle des vecteurs propres de ∇v = D.
42 Chapitre 2 Analyse tensorielle
Divergence d’un champ de vecteurs dans l’espace tridimensionnel
Dans le cas d’un champ de vecteurs v3 defini (et regulier) sur une partie de R3, on peut faire un
raisonnement similaire en considerant une boule B(x,a) centree en x, de rayon a infinitesimal. On
obtient, a partir de la formule integrale de la divergence (2.36), quand a tend vers 0, par continuite
des champs consideres,
divv3(x) = lima→0+
3
4πa3
∫∫S(x,a)
v3 · n d2S (2.46)
en notant S(x,a) la sphere de centre x et de rayon a. La divergence de v3 en x est donc positive si le
champ v3 a un flux positif a travers des petites spheres entourant x, i.e. si le champ diverge de
x. Au contraire la divergence de v3 en x est negative si le champ v3 a un flux negatif a travers de
petites spheres entourant x, i.e. si le champ converge vers x.
On peut remarquer qu’un champ localement tournant (typiquement celui represente a droite
de la figure 2.2) tel que sa deformation locale, au sens de la formule (2.17), est nulle, ne diverge ni
ne converge : il doit donc etre, d’apres l’interpretation physique donnee a l’instant, a divergence
nulle. Mathematiquement, d’apres la formule (2.24), si ∇v est decompose en parties symetrique
D et antisymetrique ω, on a
divv = tr∇v = trD + trω = trD , (2.47)
donc avoir une deformation locale nulle equivaut a D = 0 qui entraine bien divv = 0.
La formule (2.47) montre que c’est la partie de deformation locale du champ, definie par D seul,
qui controle sa divergence. Comme explique au niveau de la section 2.2.2, D peut se diagonaliser
sur une base orthonormee n1,n2,n3, ou
D = λ1n1 ⊗ n1 + λ2n2 ⊗ n2 + λ3n3 ⊗ n3 , (2.48)
avec λi le taux d’extension , s’il est positif, ou taux de contraction , s’il est negatif, du
champ dvdef dans la direction ni. D’apres la formule (2.47), on a que la divergence de v est la
somme des valeurs propres de D,
divv = λ1 + λ2 + λ3 , (2.49)
i.e. la somme algebrique de ces taux .
Divergence d’un champ de tenseurs d’ordre 2 symetriques
Etant donne un champ de tenseurs T d’ordre 2 symetriques, et un vecteur de base orthonormee
ei, il est facile de montrer que 17
ei · div T = div(T · ei
). (2.50)
Ceci montre que la ieme composante du vecteur div T est la divergence du champ de vecteurs
T · ei, qui doit donc diverger ou converger pour que cette composante ne soit pas nulle.
17. Le faire, en passant en composantes dans une base orthonormee. Ou alors traiter l’exercice 2.7...
2.5 Laplacien d’un champ de tenseur 43
2.5 Laplacien d’un champ de tenseur
2.5.1 Definition intrinseque a partir du second gradient
Soit T un champ de tenseur d’ordre n ≥ 0. Alors ∇T est un champ de tenseur d’ordre
n + 1 ≥ 1. On peut donc definir en vertu de (2.23) la divergence de ce champ. Ceci definit le
laplacien de T, qui est un champ de tenseur d’ordre n,
∆T = div ∇T = ∇ ∇T : 1 . (2.51)
Sa signification physique se deduit de celles du gradient et de la divergence. Dans le cas ou T est
un champ scalaire T , on note que ∆T (x) > 0 equivaut a ce que le champ ∇T diverge autour de
x, ce qui est une condition necessaire pour qu’en x le champ T admette un minimum local. Au
contraire ∆T (x) < 0 equivaut a ce que le champ ∇T converge vers x, ce qui est une condition
necessaire pour qu’en x le champ T admette un maximum local.
2.5.2 Calculs en coordonnees cartesiennes
Si T est un champ scalaire T , son gradient est le champ de vecteur v donne par
vi =∂T
∂xi,
donc en vertu de (2.24) on obtient que ∆T est le champ scalaire donne par
∆T = div v
∆T = div ∇T =∂2T
∂xi∂xi, (2.52)
ce qui est la encore la notion vue en classes preparatoires. Rappelons au passage que les derivees
partielles secondes d’une fonction de l’espace f(x) sont definies par
∂2f
∂xi∂xj=
∂
∂xi
( ∂f∂xj
), (2.53)
et que si f est suffisamment reguliere, i.e. de classe C2, le theoreme de Schwarz 18 stipule que
l’ordre des indices n’importe pas. Dans ce cours on supposera tous les champs de classe C2, donc
le theoreme de Schwarz sera verifie.
Si T est un champ de vecteur v, son gradient est le champ de tenseur d’ordre 2 donne en vertu
de (2.11) par
L =∂vi∂xj
ei ⊗ ej .
D’apres (2.26) on a donc que ∆v est le champ de vecteur donne par
∆v = div L
∆v = div ∇v =∂2vi
∂xj∂xjei = ∆vi ei . (2.54)
Cette derniere notation est un petit peu abusive puisque l’ operateur ∆ ne doit normalement
agir que sur un champ scalaire, or vi n’est pas un tel champ au sens tensoriel du terme.
18. Mathematicien allemand de la fin XIXeme - debut XXeme .
44 Chapitre 2 Analyse tensorielle
2.6 Exercices visant a etablir un formulaire
Ils se traitent en explicitant les tenseurs et operateurs en composantes dans un systeme de
coordonnees cartesiennes (x1, x2, x3) 19, et en faisant souvent appel a la formule de Leibniz, qui
stipule que, si f et g sont des fonctions de la position a valeurs reelles,
∂(fg)
∂xi=
∂f
∂xig + f
∂g
∂xi. (2.55)
Veuillez utiliser la convention de sommation sur les indices repetes et le tenseur alterne fondamental.
Exercice 2.2 Divergence et rotationnel d’un produit scalaire-vecteur
Soient T un champ scalaire et v un champ de vecteur. Montrez que
div(T v) = T div(v) + (∇T ) · v , (2.56)
rot(T v) = T rot(v) + (∇T ) ∧ v . (2.57)
Exercice 2.3 Compositions d’operateurs differentiels nulles
Soient T un champ scalaire et v un champ de vecteur. Montrez que
rot(∇T ) = 0 , (2.58)
div(rotv) = 0 . (2.59)
Question physique facultative :
Afin de donner une interpretation physique de (2.58), en lien avec la decomposition des sec-
tion 2.2 et figure 2.2, montrez que, si ∇∇T etait purement antisymetrique avec rot(∇T ) non nul,
cela voudrait dire que, autour d’un tel point, en tournant dans le sens direct autour du rotationnel,
on aurait T qui augmente dans la direction azimutale lorsque l’on fait un tour... au bout d’un tour
T aurait augmente ce qui serait impossible ! En d’autres termes ∇T est forcement un champ
non tournant ...
Exercice 2.4 Divergence d’un gradient transpose
Soit v un champ de vecteur. Montrez que
div[(
∇v)T]
= ∇(divv) . (2.60)
Exercice 2.5 Divergence et rotationnel d’un produit vectoriel
Soient u et v deux champs de vecteur. Montrez que
div(u ∧ v) = v · rot(u) − u · rot(v) , (2.61)
rot(u ∧ v) = u div(v) − v div(u) +(∇u
)· v −
(∇v)· u . (2.62)
Indication : afin d’etablir la deuxieme identite, vous aurez besoin d’utiliser la formule (1.91).
Exercice 2.6 Divergence d’un produit tensoriel
Soient u et v deux champs de vecteur. Montrez que
div(u⊗ v) = u div(v) +(∇u
)· v . (2.63)
19. I.e., en faisant les calculs en coordonnees cartesiennes ...
2.6 Exercices visant a etablir un formulaire 45
Fig. 2.7 – Manuscrit d’Einstein presentant des calculs en relativite generale, theorie qui utilise beaucoup
le calcul tensoriel. Cette theorie peut, d’une certaine facon, etre consideree comme le prolongement de la
mecanique des milieux continus pour des systemes de tres grandes echelles d’espace, de masse et de vitesse.
C’est en etablissant cette theorie, tres mathematique, qu’Einstein aboutit aux conclusions citees page 7 ; sur
la genese de cette citation voir la communication de Norton (2008). De nombreux manuscrits d’Einstein, et
en tout cas celui montre ici, sont disponibles en ligne sur le site ‘Einstein Archives Online’.
Exercice 2.7 Divergence de divers produits
Soient f un champ scalaire, v un champ de vecteur et T un champ de tenseur d’ordre 2.
Montrez que
div(f T
)= f div T + T ·∇f , (2.64)
div(T · v
)= v · div T T + T : ∇v , (2.65)
div(v ·T
)= v · div T + T T : ∇v . (2.66)
Exercice 2.8 Formule du double rotationnel et application
Soit v un champ de vecteur. Montrez que
rot(rot(v)) = ∇(div(v)) − ∆v , (2.67)
qui equivaut bien sur a
∆v = ∇(div(v)) − rot(rot(v)) . (2.68)
Deduisez de cela la propriete de commutation
rot(∆v) = ∆(rot(v)) . (2.69)
46 Chapitre 2 Analyse tensorielle
Exercice 2.9 Formules de Navier en elasticite
En elasticite lineaire le champ de tenseur des contraintes σ(X) est lie au champ de tenseur des
deformations ε(X) par la loi de Hooke
σ = λ (trε) 1 + 2µ ε . (2.70)
D’autre part le champ ε est lie au champ de vecteurs deplacements u(X) par
ε =1
2
(∇u + ∇uT
). (2.71)
Montrez que
div σ = (λ+ µ)∇div u + µ ∆u = (λ+ 2µ)∇div u − µ rot(rot u) . (2.72)
Indication : etablissez d’abord la premiere expression de div σ en termes de ∇div u et ∆u ;
utilisez ensuite la formule du double rotationnel.
Exercice 2.10 Reecritures du terme non lineaire de l’equation de Navier-Stokes
En mecanique des fluides newtoniens incompressibles, le champ de vitesse v(x) est solution de
divv = 0 . (2.73)
Montrez que
γa :=(∇v)· v = div(v⊗ v) = ∇
(v2
2
)+(rotv
)∧ v . (2.74)
Indications :
L’expression avec la divergence, valable seulement en fluide incompressible, decoule de l’equation
(2.63). Pour demontrer l’expression faisant intervenir le vecteur vorticite rotv vous travaillerez en
composantes dans une base orthonormee directe, et ferez usage de la formule (1.91) ; vous noterez
que l’egalite entre γa et cette derniere expression est valable aussi en fluide compressible.
Complement :
En coordonnees cartesiennes seulement, on peut ecrire a l’aide de l’ operateur nabla , deja
introduit page 36,
γa =(v ·∇)v .
Cette formule ne merite pas qu’on lui attribue un numero, car elle n’a pas une signification tenso-
rielle generale qui permettrait son utilisation en coordonnees non cartesiennes. Cependant, cette
ecriture est pratique 20 donc souvent utilisee dans la litterature scientifique...
Exercice 2.11 Derivee particulaire de la densite d’energie cinetique
On considere un milieu continu dont le mouvement est decrit de facon eulerienne par un champ
de vitesse v(x,t). On montre en cinematique que les derivees temporelles pertinentes sont les
derivees particulaires
df
dt=
∂f
∂t+ v ·∇f pour un champ scalaire f(x,t) , (2.75)
20. On peut cacher le tenseur d’ordre 2, donc s’abstenir de double barre ou double fleche...
2.7 Calculs en coordonnees cylindriques 47
db
dt=
∂b
∂t+(∇b
)· v pour un champ vectoriel b(x,t) . (2.76)
Montrez que la derivee particulairedv2
dt= 2v · dv
dt. (2.77)
2.7 Calculs en coordonnees cylindriques
2.7.1 Systemes a symetrie cylindrique - Principe de Curie
Certains systemes simples sont a symetrie cylindrique , i.e. le milieu continu considere
occupe un domaine de forme cylindrique, et les sollicitations appliquees a ce milieu (dans un
contexte mecanique, les forces volumiques ou surfaciques qui creent le mouvement) sont a symetrie
cylindrique : invariantes par rotations autour d’un axe Oz, et, dans un certain intervalle de valeurs
de z, invariante par des translations de petite amplitude dans la direction z. D’apres le principe
de Curie (1894)
lorsque certaines causes produisent certains effets,
les elements de symetrie des causes doivent se retrouver dans les effets produits ,
les champs produits (dans un contexte mecanique, le champ de deplacement pour un solide,
le champ de vitesse pour un fluide) doivent eux-aussi etre a symetrie cylindrique .
Pour de tels systemes, l’usage de coordonnees cartesiennes est peu pertinent, et il vaut mieux utiliser
des coordonnees cylindriques. Le probleme du calcul des operateurs differentiels en coordonnees
cylindriques se pose alors. L’objet de ce qui suit est d’affronter ce probleme, dans le cas general
d’un systeme peu symetrique, au sens ou les champs dependent des trois coordonnees r, θ et z. Le
cas plus simple de systemes plus symetriques, au sens ou, par exemple, seule une dependance en r
existe, sera presente en cours en seance 2, et traite au TD 2 avec le probleme 2.1.
2.7.2 Definition des coordonnees cylindriques
On rappelle que la definition du systeme des coordonnees cylindriques (figure 2.8) necessite
l’usage d’un repere orthonorme direct Oxyz. Le point M defini par
x = OM = xex + yey + zez
admet (r, θ, z) comme coordonnees cylindriques si
x = r cos θ , y = r sin θ avec r ≥ 0. (2.78)
On introduit une base locale orthonormee directe er, eθ, ez qui depend de M et est definie par
les directions de variation de M en fonction des coordonnees 21,
er =∂OM/∂r
||∂OM/∂r||= cos θ ex + sin θ ey , (2.79)
eθ =∂OM/∂θ
||∂OM/∂θ||= − sin θ ex + cos θ ey , (2.80)
ez =∂OM/∂z
||∂OM/∂z||. (2.81)
21. Ce sont en fait les vecteurs unitaires tangents aux lignes de coordonnees, courbes obtenues en fixant deux
coordonnees et en faisant varier la troisieme.
48 Chapitre 2 Analyse tensorielle
On remarque que
x = OM = rer + zez . (2.82)
L’interet des definitions tensorielles intrinseques donnees plus haut pour tous les operateurs (for-
mules 2.5, 2.23, 2.51 et 2.20) est qu’elles vont permettre un calcul direct de ceux-ci dans le systeme
des coordonnees cylindriques. On va d’abord le montrer pour le gradient d’un champ de tenseur.
Pour cela nous aurons besoin d’expliciter le vecteur variation infinitesimale dx de x donne par
(2.82). Quand (r, θ, z) varient de (dr, dθ, dz), d’apres (2.79), (2.80) et (2.81), er, eθ, ez varient
de
der = eθ dθ , deθ = −er dθ , dez = 0 . (2.83)
En consequence il vient, d’apres la formule de Leibniz sous forme differentielle
d(fg) = (df) g + f dg , (2.84)
que
dx = er dr︸ ︷︷ ︸dxr
+ r eθ dθ︸ ︷︷ ︸dxθ
+ ez dz︸ ︷︷ ︸dxz
. (2.85)
On a introduit les vecteurs infinitesimaux dxr, dxθ, dxz qui correspondent aux variations res-
pectives du vecteur position sous l’effet de variations des coordonnees r, θ, z. Ceci permet par
exemple d’evaluer l’element de surface sur un cylindre r = constante, en vertu de la remarque faite
au niveau de l’equation (1.88), comme
dS = ||dxθ ∧ dxz|| = r dθ dz ,
ou encore l’element de volume en coordonnees cylindriques, en vertu de la formule (2.32),
ε(dxr, dxθ, dxz) = ε(er dr, r eθ dθ, ez dz) = r dr dθ dz . (2.86)
Accessoirement les formules (2.83) montrent que
∂er∂r
= 0 ,∂er∂θ
= eθ ,∂eθ∂r
= 0 ,∂eθ∂θ
= −er . (2.87)
2.7.3 Expressions du gradient
La definition (2.5) peut s’ecrire, compte tenu de l’expression differentielle generale de la varia-
tion infinitesimale de T en fonction de ses derivees partielles,
dT =∂T
∂rdr +
∂T
∂θdθ +
∂T
∂zdz = ∇T · (er dr + r eθ dθ + ez dz) . (2.88)
Comme les variations des coordonnees dr, dθ et dz sont independantes, on peut identifier les
facteurs de dr, dθ et dz a gauche et a droite de (2.88), d’ou les expressions de ∇T applique aux
vecteurs de la base locale,
∇T · er =∂T
∂r, ∇T · eθ =
1
r
∂T
∂θ, ∇T · ez =
∂T
∂z. (2.89)
Si T est un champ scalaire T , on sait que son gradient est un champ de vecteur, ∇T = ∇T .
Avec (2.89) on obtient immediatement
∇T =∂T
∂rer +
1
r
∂T
∂θeθ +
∂T
∂zez . (2.90)
2.7 Calculs en coordonnees cylindriques 49
PSfrag replacements
O
M
x
y
z
er
eθ
ez
r
θ
Fig. 2.8 – Definition du systeme des coordonnees cylindriques (r, θ, z).
Si T est un champ de vecteur
v = vr er + vθ eθ + vz ez , (2.91)
on sait que son gradient est un champ de tenseur d’ordre 2, que l’on note provisoirement G = ∇v.
On a, d’apres (2.89),
G · er = Grrer + Gθreθ + Gzrez =∂v
∂r=
∂vr∂r
er +∂vθ∂r
eθ +∂vz∂r
ez ,
G · eθ = Grθer + Gθθeθ + Gzθez =1
r
∂v
∂θ
=1
r
(∂vr∂θ
er + vreθ +∂vθ∂θ
eθ − vθer +∂vz∂θ
ez
),
G · ez = Grzer + Gθzeθ + Gzzez =∂v
∂z=
∂vr∂z
er +∂vθ∂z
eθ +∂vz∂z
ez ,
en faisant usage de (2.87). En identifiant les coefficients des vecteurs de la base locale dans chacune
de ces equations, on obtient
Mat(∇v, er,eθ,ez
)= [G] =
∂vr∂r
1
r
(∂vr∂θ− vθ
) ∂vr∂z
∂vθ∂r
1
r
(∂vθ∂θ
+ vr
) ∂vθ∂z
∂vz∂r
1
r
∂vz∂θ
∂vz∂z
. (2.92)
2.7.4 Expression du rotationnel
Pour ce meme champ de vecteur v, avec la meme notation G = ∇v pour son gradient, en
vertu de (2.20) et (2.92) on obtient
rot(v) = ε : G
= (εrθzGzθ + εrzθGθz) er + (εθrzGzr + εθzrGrz) eθ + (εzθrGrθ + εzrθGθr) ez
rot(v) =(1
r
∂vz∂θ− ∂vθ
∂z
)er +
(∂vr∂z− ∂vz
∂r
)eθ +
1
r
(∂(rvθ)
∂r− ∂vr
∂θ
)ez . (2.93)
50 Chapitre 2 Analyse tensorielle
2.7.5 Expressions de la divergence
Si v est un champ de vecteur, il vient, d’apres (2.24) et (2.92),
divv = tr∇v =∂vr∂r
+vrr
+1
r
∂vθ∂θ
+∂vz∂z
=1
r
∂
∂r(rvr) +
1
r
∂vθ∂θ
+∂vz∂z
. (2.94)
Si T est un champ de tenseur d’ordre 2 symetrique 22,
T = Trrer ⊗ er + Tθθeθ ⊗ eθ + Tzzez ⊗ ez
+ Trθ(er ⊗ eθ + eθ ⊗ er) + Trz(er ⊗ ez + ez ⊗ er) + Tθz(eθ ⊗ ez + ez ⊗ eθ) , (2.95)
on pourrait penser d’apres la definition (2.23)
div T = ∇ T : 1 ,
que pour expliciter div T le calcul (a priori tres lourd) de ∇ T est primordial. On peut cependant
eviter ce calcul en injectant dans cette definition l’expression locale analogue a (1.36) du tenseur
identite,
1 = er ⊗ er + eθ ⊗ eθ + ez ⊗ ez , (2.96)
et en utilisant le fait 23 que
A : (b⊗ c) =(A · b
)· c . (2.97)
Il vient ainsi
div T =(∇ T · er
)· er +
(∇ T · eθ
)· eθ +
(∇ T · ez
)· ez
div T =∂T
∂r· er +
1
r
∂T
∂θ· eθ +
∂T
∂z· ez (2.98)
en utilisant (2.89). Comme les vecteurs de la base locale ne dependent que de θ, suivant les regles
(2.87), (2.95) donne
∂T
∂r=
∂Trr∂r
er ⊗ er +∂Tθθ∂r
eθ ⊗ eθ +∂Tzz∂r
ez ⊗ ez
+∂Trθ∂r
(er ⊗ eθ + eθ ⊗ er) +∂Trz∂r
(er ⊗ ez + ez ⊗ er) +∂Tθz∂r
(eθ ⊗ ez + ez ⊗ eθ) ,
∂T
∂θ=
∂Trr∂θ
er ⊗ er +∂Tθθ∂θ
eθ ⊗ eθ +∂Tzz∂θ
ez ⊗ ez
+∂Trθ∂θ
(er ⊗ eθ + eθ ⊗ er) +∂Trz∂θ
(er ⊗ ez + ez ⊗ er) +∂Tθz∂θ
(eθ ⊗ ez + ez ⊗ eθ)
+ Trr(eθ ⊗ er + er ⊗ eθ) − Tθθ(er ⊗ eθ + eθ ⊗ er)
+ Trθ(eθ ⊗ eθ − er ⊗ er − er ⊗ er + eθ ⊗ eθ)
+ Trz(eθ ⊗ ez + ez ⊗ eθ) − Tθz(er ⊗ ez + ez ⊗ er) ,
∂T
∂z=
∂Trr∂z
er ⊗ er +∂Tθθ∂z
eθ ⊗ eθ +∂Tzz∂z
ez ⊗ ez
+∂Trθ∂z
(er ⊗ eθ + eθ ⊗ er) +∂Trz∂z
(er ⊗ ez + ez ⊗ er) +∂Tθz∂z
(eθ ⊗ ez + ez ⊗ eθ) .
22. Cette hypothese permettra de simplifier les calculs ; dans le cadre du cours de mecanique des milieux continus
on n’aura pas besoin de la divergence d’un tenseur d’ordre 2 non symetrique.
23. Facile a etablir a partir de (1.72).
2.7 Calculs en coordonnees cylindriques 51
Au final, en utilisant la regle (1.32) pour evaluer les produits de la forme (ei ⊗ ej) · ek, la formule
(2.98) donne
div T =∂Trr∂r
er +∂Trθ∂r
eθ +∂Trz∂r
ez
+1
r
(∂Tθθ∂θ
eθ +∂Trθ∂θ
er +∂Tθz∂θ
ez + Trrer − Tθθer + 2Trθeθ + Trzez
)+
∂Tzz∂z
ez +∂Trz∂z
er +∂Tθz∂z
eθ
i.e.
div T =(∂Trr∂r
+1
r
∂Trθ∂θ
+∂Trz∂z
+Trr − Tθθ
r
)er
+(∂Trθ∂r
+1
r
∂Tθθ∂θ
+∂Tθz∂z
+2Trθr
)eθ
+(∂Trz∂r
+1
r
∂Tθz∂θ
+∂Tzz∂z
+Trzr
)ez
. (2.99)
Il peut parfois etre utile de recrire la derniere composante de ce vecteur sous la forme
ez · div T =1
r
∂
∂r(rTrz) +
1
r
∂Tθz∂θ
+∂Tzz∂z
. (2.100)
2.7.6 Expressions du laplacien
Si T est un champ scalaire, on obtient, a partir de (2.51), (2.90) et (2.94),
∆T = div ∇T =1
r
∂
∂r
(r∂T
∂r
)+
1
r2
∂2T
∂θ2+∂2T
∂z2=
∂2T
∂r2+
1
r
∂T
∂r+
1
r2
∂2T
∂θ2+∂2T
∂z2. (2.101)
Si v est un champ de vecteur, on peut montrer que son laplacien en coordonnees cylindriques
est donne par
∆v =(
∆vr −2
r2
∂vθ∂θ− vrr2
)er +
(∆vθ +
2
r2
∂vr∂θ− vθr2
)eθ + ∆vz ez , (2.102)
la notation ∆ etant definie par (2.101). Une demonstration de cette formule est donnee dans Pernes
(2003), cf. sa section 9.19.
Exercice 2.12 Sur le calcul du laplacien d’un champ vectoriel en cylindriques
Expliquez pourquoi il serait errone, pour calculer ce laplacien, d’utiliser la definition
∆v = div ∇v
en remplacant dans (2.99) le tenseur T par le gradient de v donne par (2.92).
52 Chapitre 2 Analyse tensorielle
Probleme 2.1 Aspects mathematiques de l’etude d’un tuyau sous pression
Dans de nombreux systemes industriels, on doit transporter un fluide a haute pression. C’est
par exemple le cas des centrales nucleaires a eau pressurisee, comme explique dans l’enonce du
probleme 4.4 du cours de mecanique. On veut justement ici preparer l’etude de ce probleme, qui
sera faite en TD, en traitant la partie mathematique de la modelisation du champ de deplacement
produit par une surpression dans un tuyau. Pour cela, on n’utilisera pas les formules de cette
section, mais on les redemontrera (partiellement, dans un cas plus simple) pour la plupart afin de
mieux les comprendre. Le tuyau est cylindrique ; sa section est une couronne de rayons interieur
a, exterieur b. On utilise un repere cartesien Oxyz d’axe Oz de revolution du tuyau, et les coor-
donnees cylindriques associees (r,θ,z). En travaillant, en elasticite lineaire, en difference entre la
configuration de reference ou le tuyau est plein d’air a pression atmospherique patm et la configu-
ration actuelle ou le tuyau est plein du liquide pressurise a p = patm + δp, le champ de forces cause
du mouvement est defini par la densite de forces surfaciques purement radiales
T =d2f
d2S= δp er ,
forces surfaciques qui s’appliquent sur la surface interieure du tuyau en r = a. Le champ ef-
fet produit est le champ de deplacement du tuyau,
u = u(x,t) ,
defini, en hypothese de petits deplacements, dans toute la couronne r = ||x|| ∈ [a,b].
1 Representez sur des schemas la situation etudiee. En faisant un inventaire des symetries res-
pectees par le champ T, et en appliquant le principe de Curie, montrez que le champ de deplacement
peut etre suppose de la forme
u = U(r) er .
2 Dans la realite le probleme pose est thermomecanique, au sens ou le champ de temperature dans
le tuyau, T (r) par symetrie, est non uniforme. En repartant de sa definition intrinseque, calculez
le champ ∇T . Vous calculerez dans un premier temps la differentielle dx du vecteur position, en
prenant garde au fait que les vecteurs er et eθ de la base locale dependent de x.
3 En repartant de sa definition intrinseque, calculez le champ de tenseurs ∇u. On vous demande
de donner une ecriture matricielle et une ecriture intrinseque de ce tenseur.
4 Par un raisonnement simple n’impliquant pas de calcul, donnez la valeur du rotationnel du
champ de deplacement.
5 Calculez la divergence du champ de deplacement.
6 Question subsidiaire facultative : calculez le laplacien du champ de deplacement 24.
Indications : observez que le probleme est bidimensionnel (r,θ) , posez
G = ∇u
puis calculez
T = ∇ G
en partant de formules du type (2.89) pour identifier les Tijk pour i,j,k ∈ r,θ...24. Afin de manipuler un tenseur d’ordre 3, on s’interdit l’usage (a priori astucieux ) de la formule (2.68).
2.7 Calculs en coordonnees cylindriques 53
Probleme 2.2
Aspects mathematiques de l’etude d’un rheometre de Couette cylindrique
Un rheometre de Couette cylindrique, tel celui presente sur la figure 2.9, est une cavite, comprise
entre un cylindre interieur pouvant tourner autour de son axe et un cylindre exterieur fixe, remplie
du liquide a etudier. En appliquant un couple au cylindre interieur, on cree un ecoulement dans le
liquide. On va developper ici la partie mathematique de la modelisation de cet ecoulement, sans
utiliser les formules de cette section, en les redemontrant (partiellement, dans un cas plus simple)
pour la plupart afin de mieux les comprendre. La partie physique de la modelisation et la resolution
du modele seront l’objet du probleme 7.2 du cours de mecanique.
On utilise naturellement un systeme de coordonnees cylindriques (r, θ, z) avec Oz l’axe vertical
de symetrie du systeme, axe de revolution des deux cylindres. On suppose que le systeme est
suffisamment allonge pour permettre de negliger les effets des frottements au niveau du socle, situe
en z = 0, ou ceux de la surface libre, situee autour de z = h. Dans ces conditions le seul champ de
forces cause de l’ecoulement est defini par la densite de forces surfaciques purement azimutales
T =d2f
d2S= τ eθ ,
forces surfaciques qui sont appliquees par le cylindre interieur tournant sur le liquide, sur toute la
surface de contact entre ceux-ci. Pour fixer les idees on suppose la constante τ strictement positive.
Le champ effet produit est le champ de vitesse de l’ecoulement
v = v(x,t) ,
vitesse instantanee des particules liquides passant a l’instant t au point x.
1 En faisant un bilan des symetries respectees par le champ T, et en appliquant le principe de
Curie, montrez que le champ de vitesse peut etre suppose de la forme
v = U(r) er + V (r) eθ .
2 On considere un champ scalaire p caracteristique de l’ecoulement 25. On admet qu’il est aussi
tres symetrique, i.e. de la forme
p = p(r) .
En repartant de sa definition intrinseque, calculez le champ ∇p. Vous calculerez dans un premier
temps la differentielle dx du vecteur position, en prenant garde au fait que les vecteurs er et eθ de
la base locale dependent de x.
3 En repartant de sa definition intrinseque, calculez le champ de tenseurs ∇v. On vous demande
de donner une ecriture matricielle et une ecriture intrinseque de ce tenseur.
4 En exploitant l’une des proprietes physiques fondamentale d’un liquide incompressible, a savoir
que divv = 0, ainsi que les conditions d’impermeabilite des parois, montrez que la fonction U est
forcement nulle. Vous calculerez d’abord divv en repartant de sa definition intrinseque.
5 Afin de preparer l’ecriture du bilan local de quantite de mouvement dans le liquide, et toujours
en revenant aux definitions intrinseques, etablissez a l’aide du calcul tensoriel l’expression de ∆v
(pour le champ de vitesse non general etudie ici).
25. En pratique ce sera le champ de pression motrice p.
54 Chapitre 2 Analyse tensorielle
Indications : observez que le probleme est bidimensionnel (r,θ) , posez
G = ∇v
puis calculez
T = ∇ G
en partant de formules du type (2.89) pour identifier les Tijk pour i,j,k ∈ r,θ...
2.8 Calculs en coordonnees spheriques
Evidemment le meme type de calculs peuvent etre faits en coordonnees spheriques, ou ils seront
neanmoins (encore) plus lourds. En consequence on se contente ici de donner les resultats de ces
calculs. Le lecteur scrupuleux et courageux pourra consulter Pernes (2003), et en particulier sa
section 9.20, pour trouver des elements sur le detail de ces calculs.
2.8.1 Definition des coordonnees spheriques
Le systeme des coordonnees spheriques defini sur la figure 2.10 s’utilise pour des systemes
ou une geometrie de reference est a symetrie spherique , i.e. invariante par toutes les rotations
d’axe passant par O. On privilegie un axe Oz d’un repere orthonorme direct Oxyz et on dit que
M defini par
x = OM = xex + yey + zez
admet (r, θ, ϕ) comme coordonnees spheriques si
x = r sin θ cosϕ , y = r sin θ sinϕ , z = r cos θ . (2.103)
Ici encore on introduit une base locale orthonormee directe a partir des directions de variation
de M,
er =∂OM/∂r
||∂OM/∂r||= sin θ (cosϕ ex + sinϕ ey) + cos θ ez , (2.104)
eθ =∂OM/∂θ
||∂OM/∂θ||= cos θ (cosϕ ex + sinϕ ey) − sin θ ez , (2.105)
eϕ =∂OM/∂ϕ
||∂OM/∂ϕ||= − sinϕ ex + cosϕ ey . (2.106)
On peut remarquer que
x = rer (2.107)
et calculer les variations des vecteurs de la base locale,
der = eθ dθ + eϕ sin θ dϕ , (2.108)
deθ = −er dθ + eϕ cos θ dϕ , (2.109)
deϕ = −(er sin θ + eθ cos θ) dϕ . (2.110)
On en deduit que
dx = er dr︸ ︷︷ ︸dxr
+ r eθ dθ︸ ︷︷ ︸dxθ
+ r eϕ sin θ dϕ︸ ︷︷ ︸dxϕ
, (2.111)
2.8 Calculs en coordonnees spheriques 55
Fig. 2.9 – Photographie d’une experience de Couette cylindrique au Lemta menee dans l’equipe
de Salaheddine Skali-Lami par Ghania Benbelkacem. En haut on distingue le moteur electrique, de l’axe
duquel est solidaire le cylindre interieur du systeme (de rayon exterieur = a). Entre celui-ci et le cylindre
exterieur fixe (de rayon interieur = b) se trouve le liquide a etudier, dont on distingue la surface libre.
Le cylindre exterieur est fixe dans une cuve parallelepipedique. Toutes ces pieces solides sont en plexiglass
afin de permettre des visualisations. La cuve est en general remplie d’eau (pour les besoins de la photo ce
remplissage n’a pas ete effectue jusqu’en haut), afin notamment d’assurer une regulation thermique.
PSfrag replacements
O
M
x
y
z er
eθ
eϕ
rθ
ϕ
Fig. 2.10 – Definition du systeme des coordonnees spheriques (r, θ, ϕ).
56 Chapitre 2 Analyse tensorielle
avec des notations similaires a celles de l’equation (2.85). Ceci permet par exemple d’evaluer
l’element de volume naturel en coordonnees spheriques,
ε(dxr, dxθ, dxϕ) = ε(er dr, r eθ dθ, r eϕ sin θ dϕ) = r2 sin θ dr dθ dϕ . (2.112)
2.8.2 Expressions du gradient
On etablit que le gradient d’un champ scalaire T est donne par
∇T =∂T
∂rer +
1
r
∂T
∂θeθ +
1
r sin θ
∂T
∂ϕeϕ . (2.113)
Pour un champ de vecteur
v = vr er + vθ eθ + vϕ eϕ , (2.114)
on peut montrer que
Mat(∇v, er,eθ,eϕ
)=
∂vr∂r
1
r
(∂vr∂θ− vθ
) 1
r sin θ
(∂vr∂ϕ− vϕ sin θ
)∂vθ∂r
1
r
(∂vθ∂θ
+ vr
) 1
r sin θ
(∂vθ∂ϕ− vϕ cos θ
)∂vϕ∂r
1
r
∂vϕ∂θ
1
r sin θ
(∂vϕ∂ϕ
+ vr sin θ + vθ cos θ)
. (2.115)
2.8.3 Expression du rotationnel
On peut montrer que le rotationnel d’un champ de vecteur v est donne par
rot(v) =1
r sin θ
(∂(vϕ sin θ)
∂θ− ∂vθ∂ϕ
)er +
1
r
( 1
sin θ
∂vr∂ϕ− ∂(rvϕ)
∂r
)eθ +
1
r
(∂(rvθ)
∂r− ∂vr
∂θ
)eϕ .
(2.116)
2.8.4 Expressions de la divergence
Si v est un champ de vecteur, on montre que
divv =1
r2
∂(r2vr)
∂r+
1
r sin θ
∂(vθ sin θ)
∂θ+
1
r sin θ
∂vϕ∂ϕ
. (2.117)
Dans le cas d’un champ de tenseur d’ordre 2 symetriques
T = Trrer ⊗ er + Tθθeθ ⊗ eθ + Tϕϕeϕ ⊗ eϕ
+ Trθ(er ⊗ eθ + eθ ⊗ er) + Trϕ(er ⊗ eϕ + eϕ ⊗ er) + Tθϕ(eθ ⊗ eϕ + eϕ ⊗ eθ)(2.118)
2.9 Notes personnelles 57
on montre que
div T =
(∂Trr∂r
+1
r
∂Trθ∂θ
+1
r sin θ
∂Trϕ∂ϕ
+1
r(2Trr − Tθθ − Tϕϕ + Trθcotanθ)
)er
+
(∂Tθr∂r
+1
r
∂Tθθ∂θ
+1
r sin θ
∂Tθϕ∂ϕ
+1
r
((Tθθ − Tϕϕ)cotanθ + 3Trθ
))eθ
+
(∂Tϕr∂r
+1
r
∂Tϕθ∂θ
+1
r sin θ
∂Tϕϕ∂ϕ
+1
r(3Trϕ + 2Tθϕcotanθ)
)eϕ
.
(2.119)
2.8.5 Expressions du laplacien
Si T est un champ scalaire, on montre que
∆T = ∆rT +1
r2
∂2T
∂θ2+
1
r2(cotanθ)
∂T
∂θ+
1
r2 sin2 θ
∂2T
∂ϕ2
avec ∆rT =1
r2
∂
∂r
(r2∂T
∂r
)=
1
r
∂2(rT )
∂r2=
2
r
∂T
∂r+∂2T
∂r2
. (2.120)
Si v est un champ de vecteur, on montre que
∆v =
(∆vr −
2
r2
(vr +
1
sin θ
∂
∂θ(vθ sin θ) +
1
sin θ
∂vϕ∂ϕ
))er
+
(∆vθ +
2
r2
(∂vr∂θ− vθ
2 sin2 θ− cos θ
sin2 θ
∂vϕ∂ϕ
))eθ
+
(∆vϕ +
2
r2 sin θ
(∂vr∂ϕ
+ (cotanθ)∂vθ∂ϕ− vϕ
2 sin θ
))eϕ
. (2.121)
2.9 Notes personnelles
58 Chapitre 2 Analyse tensorielle
Chapitre 3
Complements d’analyse tensorielle :
potentiels et rotationnels
La problematique de ce chapitre est celle des conditions necessaires et suffisantes d’existence
de potentiels scalaires ou vecteurs pour des champs de vecteurs ou de tenseurs. Il s’agit de
repondre a des questions telles que :
1. etant donne un champ de vecteurs v(x) sur Ω ouvert de R3, a quelle condition existe t’il
un champ scalaire φ tel que
∀x ∈ Ω, v(x) = ∇xφ ?
2. etant donne un champ de tenseurs A(x) sur Ω ouvert de R3, a quelle condition existe t’il
un champ de vecteurs v tel que
∀x ∈ Ω, A(x) = ∇xv ?
Dans le premier cas on dit que φ est un potentiel scalaire pour v, et dans le second cas que v
est un potentiel vecteur pour A. La solution de la premiere question est sans doute connue
du lecteur, qui se souvient que le rotationnel du champ de vecteurs v est un outil utile pour
cette solution ; on va le rappeler dans la section 3.1. Pour pouvoir repondre a la deuxieme question,
et a une question analogue posee par la mecanique des milieux continus, on va devoir introduire
le rotationnel d’un champ de tenseurs d’ordre 2 A. Cela sera fait dans la section 3.2.
La section 3.2 s’inspire grandement de l’une des annexes de Bernardin (2008). Je le remercie encore
pour m’avoir permis de la reproduire ici, en la reformatant a ma maniere.
Enfin, dans la section 3.3, on donnera des elements de reponse a une troisieme question :
3. etant donne un champ de vecteurs v(x) sur Ω ouvert de R3, a quelle condition existe t’il
un champ potentiel vecteur a(x) tel que
∀x ∈ Ω, v(x) = rota(x) ?
3.1 Existence de potentiel scalaire : theoreme de Cauchy
Ce theoreme repond a la question 1 ci-dessus. Il est valable dans un ouvert simplement
connexe Ω tel que tout circuit γ de Ω peut se deformer continument en un point. Une definition
plus precise de cette notion est donnee par Plaut (2006) dans un cadre bidimensionnel restreint,
60 Chapitre 3 Complements : potentiels et rotationnels
tandis que Appel (2005); Chatterji (1997) sont des references d’autorite pour le cas general, par
exemple, tridimensionnel. On peut retenir qu’un ouvert simplement connexe est un ouvert sans
trou , dans lequel, si γ est un circuit quelconque de Ω, on peut definir une surface interieure de
γ (dont γ est le bord) qui soit entierement contenue dans Ω. Un ouvert non simplement connexe
est dit multiplement connexe .
On a, si v est un champ regulier, de classe C1, sur Ω simplement connexe,
∃φ ∈ C2(Ω→ R) tel que v = ∇φ ⇐⇒ rotv = 0 . (3.1)
Ce theoreme est par exemple demontre, avec des methodes assez elementaires , dans la section
8.16 de Pernes (2003). Une demonstration beaucoup plus sophistiquee, faisant appel a la theorie
des formes differentielles , est donnee dans Appel (2005).
En se gardant d’utiliser ces notions, donnons les grandes lignes d’une demonstration elemen-
taire . Le sens =⇒ a ete traite dans l’exercice 2.3 ; on peut noter que dans ce sens la simple
connexite de Ω n’est pas necessaire 1. Dans le sens ⇐= on construit le potentiel φ en integrant v
le long d’un chemin connectant un point particulier origine a un point courant M, en posant donc,
si α est un tel chemin, que 2
φ(M) =
∫α
v · dx .
On a alors bien, localement, ∇φ = v, mais il faut verifier que φ(M) ne depend pas du choix du
chemin α. Considerant deux chemins α et β, on doit montrer que le circuit γ compose de α dans
son sens mis bout a bout avec β dans le sens oppose verifie∫γ
v · dx = 0 .
Ceci s’obtient avec la formule integrale du rotationnel (2.35), que l’on a le droit d’appliquer puisque,
du fait de la simple connexite de Ω, l’interieur de γ est une surface entierement contenue dans Ω,
domaine de regularite de v.
3.2 Existence de potentiels vecteurs pour des champs
irrotationnels : theoremes de Cauchy generalises
3.2.1 Rotationnel d’un champ de tenseurs d’ordre 2
Soit A(x) un champ de tenseurs d’ordre 2 sur Ω. On definit le rotationnel de A comme le
champ sur Ω des applications lineaires verifiant 3
∀y ∈ R3, rotx
(A)· y = rotx
(AT · y
). (3.2)
En coordonnees cartesiennes, on obtient, si [R] et [A] designent les matrices representant rot(A)
et A,
∀i, Rijyj = εijk∂
∂xj(Alkyl) = εilk
∂Ajk∂xl
yj
1. Cette remarque est valable pour les theoremes de Cauchy generalises de la section 3.2.
2. Ce que l’on note ici dx est le tdl de la section 2.4, avec t le vecteur unitaire tangent au chemin, dl l’element
de longueur le long du chemin.
3. Par la suite on omettra la plupart du temps les indices x, qui rappellent dans la definition (3.2) qui est la
variable d’espace parcourant Ω.
3.2 Existence de potentiels vecteurs pour des champs irrotationnels 61
donc
Rij = εilk∂Ajk∂xl
. (3.3)
Ainsi le j eme vecteur colonne de [R] a pour composantes celles du rotationnel du j eme vecteur ligne
de [A].
3.2.2 Premier theoreme de Cauchy generalise
Soit A(x) un champ de tenseurs d’ordre 2 sur Ω, de classe C1 sur Ω. Si Ω est simplement
connexe, on a
∃v ∈ C2(Ω→ R3) tel que A = ∇v ⇐⇒ rot(A)
= 0 . (3.4)
Dans le sens ⇒ , si A = ∇v, alors pour tout vecteur fixe y on a
AT · y = ∇vT · y = ∇(v · y) .
En consequence
rot(A)· y = 0
quelque soit y, donc
rot(A)
= 0 .
Dans le sens ⇐=, on remarque que rot(A)
= 0 implique, pour les vecteurs ei d’une base ortho-
normee,
rot(AT · ei
)= 0 .
Donc, en vertu du theoreme de Cauchy, il existe trois champs scalaires vi tels que
∀i, AT · ei = ∇vi .
Notons v = viei. Il vient
∀i, AT · ei = ∇vT · ei ,donc
AT = ∇vT ⇐⇒ A = ∇v .
3.2.3 Lemmes
On laisse au lecteur courageux le soin de montrer les lemmes suivants.
1 Pour u ∈ C2(Ω→ R3), montrez que
∇(rotu)
= rot(∇uT
). (3.5)
2 Dans les memes conditions, en notant
D(u)
=1
2
(∇u + ∇uT
), (3.6)
deduisez de (3.5) que
rot(D(u))
=1
2∇(rotu
). (3.7)
3 Si maintenant u ∈ C3(Ω→ R3), montrez que
rot(rot(D(u)))
= 0 . (3.8)
62 Chapitre 3 Complements : potentiels et rotationnels
3.2.4 Deuxieme theoreme de Cauchy generalise
Soit E(x) un champ de tenseurs d’ordre 2 sur Ω, de classe C2 sur Ω. Si Ω est simplement
connexe, on a
∃v ∈ C3(Ω→ R3) tel que E = D(v) ⇐⇒ rot(rot(E))
= 0 . (3.9)
Dans le sens ⇒ le resultat decoule immediatement du lemme (3.8). Reciproquement soit E tel
que rot(rot(E))
= 0. D’apres le premier theoreme de Cauchy generalise (3.4), il existe u dans
C2(Ω→ R3) tel que
rot(E)
= ∇u .
En revenant a la definition de rot(E)
, il vient, puisque E est symetrique,
∀y ∈ R3, rot(E · y
)= ∇u · y = rot(u ∧ y) + y divu .
En prenant la divergence de cette equation on obtient
∀y ∈ R3, 0 = div(ydivu) = y ·∇(divu) .
Il en resulte que ∇(divu) est nul donc que divu est une certaine constante C. On a alors
∀y ∈ R3, rot(E · y− (u− 1
2Cx) ∧ y)
= 0 .
En prenant successivement pour y chaque vecteur ei d’une base orthonormee, on obtient par le
theoreme de Cauchy (3.1) l’existence de champs vi tels que
∀i, E · ei − (u− 12Cx) ∧ ei = ∇vi .
Posant v = viei, il vient
∀y ∈ R3, E · y− (u− 12Cx) ∧ y = ∇vT · y .
Introduisant l’application antisymetrique
Ω : y 7−→ (u− 12Cx) ∧ y ,
on a
E−Ω = ∇vT .
En ajoutant a cette equation sa transposee on obtient bien
2E = 2D(v) .
En coordonnees cartesiennes, la condition d’existence du potentiel v au sens de (3.9), dite aussi
condition de compatibilite geometrique , s’ecrit, si [e] est la matrice representative de E,
3.3 Existence de potentiel vecteur pour un champ a divergence nulle 63
sous la forme des equations suivantes :
2∂2e23
∂X2∂X3=
∂2e33
∂X2∂X2+
∂2e22
∂X3∂X3, (3.10a)
2∂2e31
∂X3∂X1=
∂2e11
∂X3∂X3+
∂2e33
∂X1∂X1, (3.10b)
2∂2e12
∂X1∂X2=
∂2e22
∂X1∂X1+
∂2e11
∂X2∂X2, (3.10c)
∂2e13
∂X2∂X3+
∂2e32
∂X3∂X1=
∂2e12
∂X3∂X3+
∂2e33
∂X2∂X1, (3.10d)
∂2e21
∂X3∂X1+
∂2e13
∂X1∂X2=
∂2e23
∂X1∂X1+
∂2e11
∂X3∂X2, (3.10e)
∂2e32
∂X1∂X2+
∂2e21
∂X2∂X3=
∂2e31
∂X2∂X2+
∂2e22
∂X1∂X3. (3.10f)
La demonstration de ce resultat est laissee au lecteur courageux. On verra des applications de cette
condition dans la methode des contraintes exposee dans la section 4.4 de Plaut (2017).
Par rapport aux presentations de ces conditions de compatibilite donnees par exemple dans les
sections II.6 de Salencon (1996), 3.4 de Le Tallec (2009), ou 2.3 de Forest (2009), le fait de pouvoir
proposer une version intrinseque de ces conditions,
rot(rot(E))
= 0 ,
nous semble conceptuellement interessant, puisqu’il permet en principe d’ecrire ces conditions dans
n’importe quel systeme de coordonnees.
3.3 Existence de potentiel vecteur
pour un champ a divergence nulle
Dans l’exercice 2.3, on a vu qu’un champ de rotationnel est a divergence nulle : si a(x) est de
classe C2 sur Ω, alors
div(rota) = 0 . (3.11)
Montrons que la reciproque est vraie, a une condition topologique sur Ω pres, a savoir, que Ω soit
un ouvert etoile, ce qui sera precise ci-dessous. Ainsi, si v est un champ regulier, de classe C1, sur
Ω,
∃a ∈ C2(Ω→ R3) tel que v = rota ⇐⇒ divv = 0 . (3.12)
La condition d’ouvert etoile stipule l’existence d’un point particulier de Ω, que l’on peut
appeler O et choisir comme origine d’un repere cartesien Ox1x2x3, tel que
∀M ∈ Ω , le segment OM est contenu dans Ω , (3.13)
ou encore, en notant x = OM le vecteur position,
∀x ∈ Ω , tx, ∀t ∈ [0,1] ⊂ Ω . (3.14)
Pour demontrer l’implication dans le sens ⇐=, on construit le potentiel vecteur a a partir de la
formule integrale
a(x) =
∫ 1
0v(tx) ∧ tx dt ,
64 Chapitre 3 Complements : potentiels et rotationnels
soit, en composantes,
ak(x) = εkpq
∫ 1
0vp(tx) txq dt .
On en deduit que
∂ak∂xj
= εkpq
∫ 1
0
∂vp(tx)
∂xjt2xq dt + εkpq
∫ 1
0vp(tx) tδqj dt
∂ak∂xj
= εkpq
∫ 1
0
∂vp(tx)
∂xjt2xq dt + εkpj
∫ 1
0vp(tx) t dt .
En consequence
wi =[rota
]i
= εijk∂ak∂xj
= εijkεkpq
∫ 1
0
∂vp(tx)
∂xjt2xq dt + εijkεkpj
∫ 1
0vp(tx) t dt
= εkijεkpq
∫ 1
0
∂vp(tx)
∂xjt2xq dt + εkijεkpj
∫ 1
0vp(tx) t dt
wi =[rota
]i
= (δipδjq − δiqδjp)∫ 1
0
∂vp(tx)
∂xjt2xq dt + (δipδjj − δijδjp)
∫ 1
0vp(tx) t dt
en faisant usage de la formule (1.91). Ainsi
wi =
∫ 1
0
∂vi(tx)
∂xjt2xj dt −
∫ 1
0
∂vj(tx)
∂xjt2xi dt + 3
∫ 1
0vi(tx) t dt −
∫ 1
0vi(tx) t dt
=
∫ 1
0
[∂vi(tx)
∂xjt2xj + 2vi(tx) t
]dt
=
∫ 1
0
d
dt[t2 vi(tx)] dt
= [t2 vi(tx)]1t=0
wi = vi(x) , CQFD.
On admet ici que l’equivalence (3.12) s’etend au cas d’un ouvert contractile, qui peut se deformer
continument en un point. Une esquisse de la demonstration de ce theoreme sophistique, du essen-
tiellement a Poincare, est donnee dans Appel (2005).
Un contre-exemple instructif est donne dans la section 6.6.4 de Chatterji (1997), qui considere, dans
l’ouvert non contractile R3 prive de son origine O, Ω = R3 − O, le champ defini en coordonnees
spheriques (r,θ,ϕ) par
v =err2
.
On recommande en exercice de verifier que
divv = 0
mais que, pour autant, il n’existe pas de champ a regulier sur Ω qui verifierait
v = rota .
Pour cela, on considerera une sphere S centree sur l’origine, qui peut etre vue comme reposant sur
un bord ∂S reduit a un point, et on evaluera de deux manieres∫∫S
v · n d2S ,
avec, bien entendu, n la normale unitaire sortant de S, i.e., n = er...
Bibliographie
Appel, W. 2005 Mathematiques pour la physique et les physiciens ! H & K Editions.
Aris, R. 1962 Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics. Prentice-Hall.
Bernardin, D. 2008 Rheologie des fluides simples. Cours du Master 2 recherche de mecanique-energetique
de Nancy.
Chatterji, S. D. 1997 Cours d’Analyse 1 - Analyse vectorielle. Lausanne : Presses polytechniques et
universitaires romandes.
Coirier, J. 2001 Mecanique des milieux continus. Dunod.
Curie, P. 1894 Sur la symetrie dans les phenomenes physiques, symetrie d’un champ electrique et d’un
champ magnetique. J. Phys. Theor. Appl. 1, 393–415, http://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00239814/fr.
Forest, S. 2009 Mecanique des milieux continus. Cours de Mines ParisTech, telechargeable sur
http://mms2.ensmp.fr.
Garrigues, J. 2007 Fondements de la mecanique des milieux continus. Lavoisier.
Germain, P. 1986 Mecanique. Cours de l’ecole polytechnique. Ellipses.
Le Tallec, P. 2009 Modelisation et calcul des milieux continus. Cours de l’ecole polytechnique.
Lichnerowicz, A. 1946 Elements de calcul tensoriel . J. Gabay, reimpr. 2005.
Norton, J. D. 2008 Einstein’s Methods and his discovery of General Relativity. Geneva Summer School
in the Philosophy of Physics. http://www.pitt.edu/˜jdnorton/teaching/Geneva SS 2008.
Pernes, P. 2003 Introduction a la mecanique des milieux deformables - Elements de calcul tensoriel .
CEMAGREF Editions.
Plaut, E. 2006 Analyse complexe. Cours de l’ENSEM (1A), telechargeable sur
http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/publisp.
Plaut, E. 2017 Mecanique des milieux continus solides et fluides. Cours de Mines Nancy (1A),
telechargeable sur http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/publisp.
Ricci, M. M. G. & Levi-Civita, T. 1900 Methodes de calcul differentiel absolu et leurs applications.
Math. Annalen 54, 125–201, Lorraine Clic.
Salencon, J. 1996 Mecanique des milieux continus. Cours de l’ecole polytechnique. Ellipses.
Annexe A
Normes - Notations de Landau
pour la comparaison asymptotique
On revisite ici, dans le contexte des tenseurs, les notions bien connues de norme et de notations
de Landau, sur deux exemples tres concrets. On propose enfin un exercice elementaire qui pourra
etre traite assez tot, une fois la lecture de la section 2.2 terminee.
A.1 Sur l’exercice 1.11 : normes & notation de domination O
Dans cet exercice, comme toutes les normes sont equivalentes en dimension finie, et l’espace
T2 des tenseurs d’ordre 2 est de dimension finie 9, en notant Lij les composantes de la matrice
representant L dans la base canonique, on peut poser que
L =∣∣∣∣L∣∣∣∣ =
∣∣∣∣L∣∣∣∣∞ = maxij|Lij | . (A.1)
Il s’agit de montrer que, quand L → 0, ce que sous-entend le physicien quand il ecrit que L 1,
on a
det(1 + L
)= 1 + trL + O(L2) . (A.2)
On doit donc montrer l’existence de constantes reelles strictement positives ` definissant un voisi-
nage de l’origine dans T2 et C definissant le rapport de domination telles que le reste
R(L)
= det(1 + L
)− 1 − trL (A.3)
soit O(L2) i.e. verifie
∀ L ∈ T2 , L =∣∣∣∣L∣∣∣∣ < ` =⇒
∣∣∣R(L)∣∣∣ ≤ C L2 . (A.4)
En developpant le determinant de 1 + L a l’aide de la formule (1.81), on montre que le reste
contient par exemple un terme quadratique
R1 = εijkδi1Lj2Lk3 = L22L33 − L32L23 tel que |R1| ≤ 2L2 ,
et d’autres termes quadratiques R2 et R3 similaires et domines de meme. Le reste R contient en
sus un terme cubique
R4 = εijkLi1Lj2Lk3 = det L tel que |R4| ≤ 6L3 .
En prenant par exemple ` = 1, on a alors
L < ` =⇒ |R4| ≤ 6L2 ...
68 Annexe A Normes - Notations de Landau pour la comparaison asymptotique
A.2 Sur le gradient : normes & notation de negligeabilite o
Dans la section 2.1.1, on definit le gradient G du champ de tenseur T d’ordre n, au point x
fixe, par l’egalite
δT(dx) = T(x + dx)−T(x) = G · dx + o(dx) , (A.5)
ou l’on omet de rappeler que δT et G dependent aussi de x. Le fait que le reste
R(dx) = δT(dx) − G · dx (A.6)
soit o(dx) signifie qu’il doit pouvoir s’ecrire sous la forme
R(dx) = ||dx|| F(dx) avec F(dx)→ 0 quand dx→ 0 , (A.7)
i.e.,
∀ε > 0 , ∃ ` > 0 tel que ∀dx , ||dx|| < ` =⇒ ||F(dx)|| ≤ ε . (A.8)
La norme utilisee pour mesurer les vecteurs dx peut etre la norme euclidienne, ou, eventuellement,
pour des commodites de calcul, une autre norme qui lui est equivalente, par exemple, la norme in-
fini. Pour mesurer F(dx), pas de souci non plus : l’espace des tenseurs d’ordre n etant de dimension
finie 3n, comme nous l’avons remarque apres avoir ecrit la formule en composantes (1.55),
F(dx) = Fi1i2···in(dx) ei1 ⊗ ei2 ⊗ · · · ⊗ ein , (A.9)
on peut par exemple poser 1
||F(dx)|| = ||F(dx)||∞ = maxi1i2···in
|Fi1i2···in(dx)| . (A.10)
Pour travailler ces notions, on propose l’exercice elementaire suivant.
Exercice A.1 Etude locale d’un champ de vecteur analytique
On considere le champ de vecteurs defini dans le plan R2 muni d’un repere x1Ox2 correspondant
aux vecteurs de base orthonormee e1, e2 par
v(x) = (9x1 − 6x2 + 4x21) e1 + (6x1 − 8x2 − 6x2
2) e2 .
1 Montrez de deux manieres differentes, a partir de (2.11), ou directement a partir de (A.5), que
le gradient de v a l’origine est l’application lineaire
G : x 7−→ G · x = (9x1 − 6x2) e1 + (6x1 − 8x2) e2 .
2 Representez les champs v(x) et G · x au voisinage de l’origine, et commentez.
3 Calculez D, partie symetrique de G. Representez le champ D · x au voisinage de l’origine, et
commentez.
4 Calculez ω, partie antisymetrique de G. En plongeant R2 dans R3, completant la base e1,e2par un vecteur e3 normal au plan x1Ox2 tel que la base e1,e2,e3 soit directe, exprimez ω · xcomme un produit vectoriel ω ∧ x. Calculez ω et nommez-le.
Representez le champ ω · x au voisinage de l’origine, et commentez.
1. A l’instar de ce que l’on a ecrit pour les tenseurs d’ordre 2 au niveau de l’equation (A.1).
Annexe B
Elements de correction des exercices
et problemes
Ces elements de correction sont plus ou moins precis, selon le niveau de difficulte des exercices
et problemes, et aussi le fait qu’ils seront abordes ou non en TD. Lire un enonce puis son corrige
est totalement inutile voire contre-productif. La seule bonne facon de profiter de ces corriges
est de chercher d’abord a resoudre l’exercice ou probleme par soi-meme, puis ensuite seulement
de consulter les corriges... pour vous debloquer ou mieux verifier que votre solution est correcte...
Pour eviter d’etre tente, je vous recommande de ne pas imprimer ces corriges, mais de les consulter
seulement sous leur forme electronique. Je vous souhaite bon courage !..
B.1 Corriges du chapitre 1 - Algebre tensorielle
Exercice 1.1 Sur la convention de sommation sur les indices repetes
1 E = aibikckj . Comme j est le seul indice explicite dans cette formule, E est une fonction de j.
2 Dans la formule (1.16) les indices i et j sont explicites tandis que k est un indice muet. Sans la
convention d’Einstein, cette formule s’ecrirait
δij = e′i · e′j
=3∑
k=1
e′i · (Pkjek)
=
3∑k=1
(ek · e′i)Pkj
δij =
3∑k=1
PkiPkj =3∑
k=1
[P T ]ikPkj .
Exercice 1.2 Verification de la coherence de la definition du produit scalaire
xiyi = Pijx′j Piky
′k = PijPik x
′jy′k = δjkx
′jy′k
en vertu de (1.16).
70 Annexe B Elements de correction des exercices et problemes
Exercice 1.3 De l’interet de la notation produit tensoriel
1 Interpreter un tenseur d’ordre 2, puisque sa nature est d’etre une application lineaire, c’est
interpreter la relation entre v et L · v...
L realise la projection orthogonale sur le vecteur er.
2 Notons
[L′] = Mat(L,er,eθ
)=
[1 0
0 0
],
il s’agit de calculer
[L] = Mat(L,ex,ey
).
Avec la matrice de presentation
[P ] =
[ex · er ex · eθey · er ey · eθ
]=
[cos θ − sin θ
sin θ cos θ
],
on a
[L′] = [P ]T · [L] · [P ] ⇐⇒ [L] = [P ] · [L′] · [P ]T
[L] =
[cos2 θ sin θ cos θ
sin θ cos θ sin2 θ
].
2 L = (cos θ ex + sin θ ey)⊗ (cos θ ex + sin θ ey)
L = cos2 θ ex ⊗ ex + sin θ cos θ(ex ⊗ ey + ey ⊗ ex) + sin2 θ ey ⊗ ey .
3 Evidemment on trouve les memes resultats avec ces deux methodes. La deuxieme (nouvelle par
rapport aux acquis des classes preparatoires) est clairement plus efficace et moins couteuse.
Exercice 1.4 Transposition d’un produit tensoriel
En composantes
Mat[(a⊗ b)T , ei
]= [aibj ]
T = [biaj ] = Mat(b⊗ a, ei] .
Intrinsequement
(a⊗ b)T (x,y) = (a⊗ b)(y,x) = (a · y)(b · x) = (b · x)(a · y) = (b⊗ a)(x,y) .
Exercice 1.5 Application de la definition multilineaire recurrente au cas n = 2
Si n = 2 la definition multilineaire recurrente (1.47) donne
T2(x1,x2) = (T2 · x2)(x1)
ou T2 · x2 est un vecteur. D’apres la definition (1.24) d’un vecteur comme tenseur d’ordre 1, on a
donc
T2(x1,x2) = (T2 · x2) · x1
qui est identique a la definition directe (1.37) d’un tenseur d’ordre 2 comme application bilineaire.
B.1 Corriges du chapitre 1 - Algebre tensorielle 71
Exercice 1.6 Changement de base pour un tenseur d’ordre 2 application bilineaire
On peut ecrire d’apres les definitions du cours que
T ′ij = T(e′i, e′j) = T(Pkiek, Pmjem) = PkiPmjT(ek, em) = PkiPmjTkm
qui correspond bien a (1.31).
Exercice 1.7 Produit contracte de deux vecteurs
Dans le cas ou An et Bm sont les tenseurs d’ordre 1 a et b on a n = m = 1 donc leur produit
An ·Bm = a ·b est un tenseur d’ordre p = 1+1−2 = 0 c’est-a-dire un scalaire. D’apres la definition
(1.58) ce scalaire est defini par
a · b = a(ei) b(ei) = (a · ei) (b · ei) = aibi ,
ce qui est bien la definition du produit scalaire.
Exercice 1.8 Produit contracte d’un tenseur d’ordre 2 et d’un vecteur
Dans le cas ou An est le tenseur d’ordre 2 L et Bm le tenseur d’ordre 1 b, le produit An ·Bm =
L · b est un tenseur d’ordre p = 2 + 1− 2 = 1 c’est-a-dire un vecteur. D’apres la definition (1.58)
ce vecteur est defini comme l’application lineaire qui, a tout x, fait correspondre le scalaire(L · b
)(x) = L(x,ei) b(ei) =
(x ·(L · ei
))(b · ei) =
(x ·(L · ei
))bi = x ·
(L · b
);
dans le membre d’extreme droite L · b designe le vecteur introduit au niveau de la definition
premiere (1.25). D’apres la regle (1.24) on peut donc bien identifier L · b au sens de la definition
(1.58) avec L · b au sens de la definition (1.25).
Exercice 1.9 Produit contracte de deux tenseurs d’ordre 2
Si An est le tenseur d’ordre 2 A et Bm le tenseur d’ordre 2 B, le produit An ·Bm = A ·B est
un tenseur d’ordre p = 2 + 2− 2 = 2, defini selon (1.58) comme l’application bilineaire qui a x et
y fait correspondre le scalaire(A ·B
)(x,y) = A(x,ek) B(ek,y) = xiAik Bkjyj
d’apres (1.38). En utilisant (1.40) on obtient que(A ·B
)(x,y) = Aik Bkj(ei ⊗ ej)(x,y)
qui etablit l’equation (1.61).
Exercice 1.10 Associativite du produit de contraction dans un cas general
D’apres la regle (1.63), on a
T · b = Ti1···in−1k bk ei1 ⊗ · · · ⊗ ein−1
et
a ·T = ai Tii2···in ei2 ⊗ · · · ⊗ ein .
En reappliquant cette regle de contraction, on obtient
a · (T · b) = ai Tii2···in−1k bk ei2 ⊗ · · · ⊗ ein−1 = (a ·T) · b .
72 Annexe B Elements de correction des exercices et problemes
Exercice 1.11 Utilisation du tenseur alterne fondamental pour calcul d’un determinant
det F = εijk(δi1 + Li1)(δj2 + Lj2)(δk3 + Lk3)
= ε123 + εi23Li1 + ε1j3Lj2 + ε12kLk3 +O(||L||2
)det F = 1 + L11 + L22 + L33 +O
(||L||2
).
Exercice 1.12 Formules portant sur le tenseur alterne fondamental et le vecteur dual
1 Soient quatre indices j, k, p et q, pris dans 1,2,3 ; on veut montrer que la somme
f(j,k,p,q) := εijkεipq = δjpδkq − δjqδkp . (B.1)
Si p = q, alors εipq = 0 donc f(j,k,p,q) = 0 ; comme il en est de meme de δjpδkq − δjqδkp =
δjpδkp − δjpδkp, l’egalite (B.1) est acquise dans ce cas.
Si p 6= q, considerons le premier sous-cas ou (p,q) 6= (j,k) et (p,q) 6= (k,j). Alors, comme il n’y
a que trois valeurs d’indices possibles, forcement j est egal a k. Donc εijk = 0 et f(j,k,p,q) = 0 ;
comme il en est de meme de δjpδkq − δjqδkp = δjpδjq − δjqδjp, l’egalite (B.1) est acquise dans ce
sous-cas.
Deux autres sous-cas sont possibles.
Le premier est celui ou (p,q) = (j,k). Alors f(j,k,p,q) = εipqεipq qui se reduit a la contribution
correspondant a i 6= p et q. Comme εipq vaut alors ±1, on a dans ce sous-cas f(j,k,p,q) = 1 ce qui
est bien la valeur de δjpδkq − δjqδkp.Le second sous-cas est celui ou (p,q) = (k,j). Alors f(j,k,p,q) = εiqpεipq qui se reduit a la contribu-
tion correspondant a i 6= p et q. Comme εipq vaut alors ±1, et εiqp = −εipq, on a dans ce sous-cas
f(j,k,p,q) = −1 ce qui est bien la valeur de δjpδkq − δjqδkp.
2 Soit L un tenseur quelconque. Notons v son vecteur dual vd(L)
, et formons le tenseur
M = v · ε .
On a en representation sur une base
Mjk = viεijk =1
2εipqLqp εijk =
1
2εijkεipq Lqp .
D’apres la formule (1.91), on obtient bien
Mjk =1
2(δjpδkq − δjqδkp) Lqp =
1
2(Lkj − Ljk) .
Exercice 1.13 Formule du double produit vectoriel
a ∧ (b ∧ c) = εijkaj(εkpqbpcq)ei = εkijεkpqajbpcqei
par permutation circulaire d’indices. En utilisant la formule (1.91) il vient
a ∧ (b ∧ c) = (ajbicj − ajbjci)ei = (a · c)b − (a · b)c .
B.2 Corriges du chapitre 2 - Analyse tensorielle 73
Exercice 1.14 Vecteur dual d’un tenseur d’ordre 2 symetrique
Soit S un tenseur symetrique. Considerons la composante i du vecteur dual v = vd(S)
:
vi =1
2εijkSkj =
1
2εikjSjk = −1
2εijkSkj = −vi ...
Reciproquement soit un tenseur quelconque S tel que vd(S)
= 0. Utilisez la formule (1.92)...
Exercice 1.15 Tenseur antisymetrique en fonction de son vecteur dual
Si L est un tenseur A antisymetrique, en notant v le vecteur vd(A)
la formule (1.92) donne
v · ε =1
2
(−A−A
)= −A ,
soit en indices
vjεjik = −Aik . (B.2)
Considerons donc pour x quelconque le vecteur
v ∧ x = εijkvjxkei
d’apres (1.86). Par antisymetrie de ε il vient
v ∧ x = −εjikvjxkei ,formule dans laquelle on peut injecter l’identite (B.2). Il vient
v ∧ x = Aikxkei = A · x .
B.2 Corriges du chapitre 2 - Analyse tensorielle
Exercice 2.1 Demonstration de la formule de la divergence dans le cas general
Il suffit d’adapter la demonstration faite pour passer du cas des tenseurs d’ordre 1 a celui de
tenseurs d’ordre 2.
Si T est un champ de tenseurs d’ordre n+ 1, ei est l’un des vecteurs de la base canonique de
R3, alors ei ·T est un champ de tenseurs d’ordre n. On peut donc lui appliquer la formule (2.39),
qui s’ecrit ∫∫∫Ω
div(ei ·T) d3x =
∫∫∂Ω
(ei ·T) · n d2S = ei ·∫∫
∂ΩT · n d2S (B.3)
en vertu de la propriete d’associativite (1.65), et du fait que le vecteur ei ne depend pas de la
position.
Comme
ei ·T = Tii2···in+1 ei2 ⊗ · · · ⊗ ein+1 ,
d’apres la formule (2.25) on a
div(ei ·T) =∂Tii2···inj∂xj
ei2 ⊗ · · · ⊗ ein = ei · divT = ei ·∂Ti1i2···inj
∂xjei1 ⊗ · · · ⊗ ein .
En consequence l’egalite (B.3) peut se recrire
ei ·∫∫∫
ΩdivT d3x = ei ·
∫∫∂Ω
T · n d2S .
Ceci etant quelquesoit le vecteur de base ei choisi, la formule (2.39) a l’ordre n+1 est bien etablie.
74 Annexe B Elements de correction des exercices et problemes
Exercice 2.2 Divergence et rotationnel d’un produit scalaire-vecteur
div(T v) =∂(Tvi)
∂xi= T
∂vi∂xi
+∂T
∂xivi = ...
rot(T v) = εijk∂(Tvk)
∂xjei = Tεijk
∂vk∂xj
ei + εijk∂T
∂xjvk ei = ...
Exercice 2.3 Compositions d’operateurs differentiels nulles
rot(∇T ) = εijk∂(∇T )k∂xj
ei = εijk∂2T
∂xj∂xkei = εikj
∂2T
∂xk∂xjei = −εijk
∂2T
∂xj∂xkei = 0
Reponse a la question physique facultative :
Utilisons un repere cartesien Oxyz avec Oz dans la direction de rot(∇T ) suppose non nul en
O,
rot(∇T )O = 2αez avec α > 0 ,
alors que D(∇T ) est lui suppose nul en O. Ainsi, pour un petit vecteur x,
∇(∇T )O · x = ω(∇T )O · x = αez ∧ x
prototype de champ tournant. Dans le plan Oxy, utilisons des coordonnees polaires (r,θ), et
considerons le chemin circulaire defini par x(θ) = r(ex cos θ+ey sin θ) = rer(θ) avec r infinitesimal,
er(θ) le vecteur radial local des coordonnees polaires. Le long de ce chemin
T (x(2π))− T (x(0)) =
∫ 2π
0∇T · dx(θ) =
∫ 2π
0∇T · rdθeθ(θ)
avec eθ(θ) le vecteur azimutal local des coordonnees polaires. Ainsi
T (x(2π))− T (x(0)) '∫ 2π
0(∇T )O · rdθeθ +
∫ 2π
0
[∇(∇T )O · x(θ)
]· rdθeθ
T (x(2π))− T (x(0)) '∫ 2π
0αreθ · rdθeθ = αr22π 6= 0
ce qui est impossible !
Cette situation (impossible) est representee ici, en supposant pour simplifier ∇TO = 0, en representant
le champ ∇T sur le chemin considere, ∇T ' αreθ, et en se souvenant que ∇T pointe vers les
valeurs elevees de T :
+
−O
Fin de l’exercice 2.3 :
div(rotv) =∂(rotv)i∂xi
= εijk∂2vk∂xi∂xj
= −div(rotv) = 0 .
B.2 Corriges du chapitre 2 - Analyse tensorielle 75
Exercice 2.4 Divergence d’un gradient transpose
Notons [G] la matrice representant ∇v dans la base canonique. On a
div[(
∇v)T]
=∂(GT )ij∂xj
ei =∂Gji∂xj
ei =∂
∂xj
(∂vj∂xi
)ei =
∂
∂xi
(∂vj∂xj
)ei
d’apres un theoreme connu...
Exercice 2.5 Divergence et rotationnel d’un produit vectoriel
div(u ∧ v) = εijk∂(ujvk)
∂xi= εijk
∂uj∂xi
vk + εijkuj∂vk∂xi
= vk εkij∂uj∂xi
− uj εjik∂vk∂xi
= ...
rot(u ∧ v) = εijk∂(εkpqupvq)
∂xjei = εkijεkpq
(∂up∂xj
vq + up∂vq∂xj
)ei ;
utilisez ensuite la formule (1.91)...
Exercice 2.6 Divergence d’un produit tensoriel
div(u⊗ v) =∂(uivj)
∂xjei =
(∂ui∂xj
vj + ui∂vj∂xj
)ei = ...
Exercice 2.7 Divergence de produits scalaire-vecteur et vecteur-tenseur
div(fT)
=∂(fTij)
∂xjei = f
∂Tij∂xj
ei +∂f
∂xjTijei = ...
div(T · v
)=
∂(T · v
)i
∂xi=
∂(Tijvj)
∂xi= vj
∂Tij∂xi
+ Tij∂vj∂xi
= ...
div(v ·T
)=
∂(v ·T
)i
∂xi=
∂(vjTji)
∂xi=
∂vj∂xi
Tji + vj∂Tji∂xi
= ...
Exercice 2.8 Formule du double rotationnel et application
rot(rot(v)) = εijk∂
∂xj
(εkpq
∂vq∂xp
)ei = εkijεkpq
∂2vq∂xj∂xp
ei = ...
Donc
∆v = ∇(div(v)) − rot(rot(v)) .
En consequence
∆(rot(v)) = − rot(rot(rot(v)))
et
rot(∆v) = − rot(rot(rot(v))) .
76 Annexe B Elements de correction des exercices et problemes
Exercice 2.9 Formules de Navier en elasticite
Pour alleger les notations, on note x et non X la variable d’espace, car ∇X '∇x. Ainsi
σij = λ∂uk∂xk
δij + µ(∂ui∂xj
+∂uj∂xi
)donc
(div σ)i = λ∂2uk∂xi∂xk
+ µ∂2ui∂xj∂xj
+ µ∂2uj∂xj∂xi
= λ∂2uj∂xi∂xj
+ µ∂2ui∂xj∂xj
+ µ∂2uj∂xi∂xj
= ...
Exercice 2.10 Reecritures du terme non lineaire de l’equation de Navier-Stokes
[∇(
v2
2
)+(rotv
)∧ v
]i
= vj∂vj∂xi
+ εijkεjpq∂vq∂xp
vk
= vj∂vj∂xi
+ εjkiεjpq∂vq∂xp
vk
= vj∂vj∂xi
+ (δkpδiq − δkqδip)∂vq∂xp
vk = ...
Exercice 2.11 Derivee particulaire de la densite d’energie cinetique
dv2
dt=
∂(vivi)
∂t+ vj
∂
∂xj(vivi)
= 2vi∂vi∂t
+ 2vj vi∂vi∂xj
= 2v · ∂v
∂t+ 2v ·
[(∇v)· v]
= ...
Exercice 2.12 Sur le calcul du laplacien d’un champ vectoriel en cylindriques
Le calcul qui a abouti a la formule (2.99) du cours pour la divergence d’un tenseur d’ordre 2
n’est valable que si ce tenseur est symetrique, or il n’y a aucune raison pour que le gradient d’un
champ de vecteurs soit symetrique.
Probleme 2.1 Aspects mathematiques de l’etude d’un tuyau sous pression
1 Exploitez successivement les symetries suivantes :
• invariance de T par translations temporelles t 7→ t+ δt ;
• invariance de T par translations dans la direction axiale z 7→ z + δz ;
• invariance de T par un miroir par rapport a un plan contenant l’axe Oz ;
• invariance de T par un miroir par rapport a un plan perpendiculaire a l’axe Oz ;
• invariance de T par les rotations d’axe Oz et d’angle δθ.
B.2 Corriges du chapitre 2 - Analyse tensorielle 77
2 Posez G = ∇T et identifiez
dT = T ′(r)dr = G · dx
quelles que soient les variations dr, dθ et dz.
3 Posez G = ∇u et identifiez
du = G · dx...
4 Symetrie.
5 Trace.
6 Par exemple a partir de
T · er = Tijrei ⊗ ej =∂G
∂r= U ′′er ⊗ er +
(U ′
r− U
r2
)eθ ⊗ eθ ,
montrez que
Trrr = U ′′ ; Tθθr =U ′
r− U
r2; Tθrr = Trθr = 0 .
Au bilan
T = U ′′er ⊗ er ⊗ er +1
r
(U ′ − U
r
)(er ⊗ eθ ⊗ eθ + eθ ⊗ er ⊗ eθ + eθ ⊗ eθ ⊗ er) .
En consequence
∆u = Tijjei = (Trrr + Trθθ)er + (Tθrr + Tθθθ)eθ =
(U ′′ +
U ′
r− U
r2
)er .
Probleme 2.2
Aspects mathematiques de l’etude d’un rheometre de Couette cylindrique
1 Exploitez successivement les symetries suivantes :
• invariance de T par translations temporelles t 7→ t+ δt ;
• invariance de T par translations dans la direction axiale z 7→ z + δz ;
• invariance de T par le miroir ez 7→ −ez, a position fixee ;
• invariance de T par les rotations d’axe Oz et d’angle δθ, agissant sur la position et les
champs de vecteur.
2 Posez G = ∇p et identifiez
dp = p′(r)dr = G · dx
quelles que soient les variations dr, dθ et dz.
3 Posez G = ∇v et identifiez
dv = G · dx...
4 Aboutissez a une equation differentielle ordinaire d’ordre 1 sur U(r), a resoudre avec la bonne
condition initiale ou limite selon le point de vue.
78 Annexe B Elements de correction des exercices et problemes
5 Par exemple a partir de
T · er = Tijrei ⊗ ej =∂G
∂r= V ′′eθ ⊗ er +
(V
r2− V ′
r
)er ⊗ eθ ,
montrez que
Trrr = Tθθr = 0 ; Tθrr = V ′′ ; Trθr =V
r2− V ′
r.
Au bilan
T =1
r
(V
r− V ′
)(er ⊗ er ⊗ eθ + er ⊗ eθ ⊗ er − eθ ⊗ eθ ⊗ eθ) + V ′′eθ ⊗ er ⊗ er .
En consequence
∆v = Tijjei = (Trrr + Trθθ)er + (Tθrr + Tθθθ)eθ =
(V ′′ +
V ′
r− V
r2
)eθ .