Les fonctions ponctuées et l’optique corpusculaire

Les fonctions ponctuees et l'optique corpusculaire

P. M. Duffieux

A distribution of complex amplitude F(x), x being a linear variable, has a Fourier transform f(u), directed,since u is a direction cosine and limited to the region p. F(x) isf(u) developed in a Fourier integral, whichis a continued function. But f(u) also has a development in Fourier series inside s. In this series we

call Fo(x) the summation of the terms. F(x) and Fo(x) are related by a simple convolution. Let p(u) be

the function representing the region s, having a value unity inside so at zero elsewhere. 1(x) will beits transform in x space. Then F(x) = Fo(x) X 4(x). F(x) was a diffracted and redundant function;Fo(x) is neither; it is euclidian like f(u), and the cycle of corpuscular optics is thus closed. We terminformation points the points of Fo(x); the function we call a punctuated function. If s is spread overits maximum field 2/X, the distance between the points is X/2, and in coherent as well as incoherentimagery they are at the limit of the resolving power for the wavelength used. It is therefore impossibleto distinguish the photons in a linear diffracted distribution, but its spectrum, being euclidian directed

and consequently dispersive, always isolates the photons in space and in time. (This spectrum, functionof the direction cosines u, v, w, is the basic function of the corpuscular geometric optics presently de-veloped.) The author outlines without experiment or new calculations work published at the end of1944; that was corrected in 1966 by L. C. Martin, in his Theory of the Microscope.

Reciproque du th6oreme de Dirichlet

La discussion du theoreme de Dirichlet appliqu6 auxfonctions a spectres limites nous a conduit, dans unarticle precedent,3 a deux 6quations generales:

f(... ) X V( ... ) - -f ) (1)

F est une distribution plane a une ou deux variables;f est sa transformee ou spectre; sp est le domainelimite de f et sp(.. ) sa fonction de domaine, de valeurunitaire dans ,o et nulle ailleurs. (...) est latransformee de p(... )-

L'information rpartie sur F se retrouve integrale-ment dans f, mais son mode de distribution n'est pas lememe dans les deux fonctions. Dans f l'informationest donnee point par point independants. Ces pointspeuvent 8tre en nombre fini; c'est meme, en optiqueexp6rimentale, un fait tres probable. Mais f peutaussi tre une densite de probabilite parfaitementcontinue. Nous l'avons appelee une fonction euclidi-enne, toutes les figures de g6ometrie 6tant d6finies pardes ensembles analogues de points.

F est, en optique classique, la donn6e primordiale:c'est la lumiere que 'on voit ou que l'on enregistre;malgre leurs structures cellulaires et leurs pointsaveugles, mes yeux me transmettent un ciel bleu et un

The author is with the Universit6 de Besangon, France.Received 29 August 1967.

paysage vert continus. Elle est liee tres 6troitement A latheorie ondulatoire de la lumike. L'equation (2)montre que la transformee de Fourier, (... ), de lafonction de domaine def est l'6l6ment de constitution deF. cb est illimitee, le domaine sp de son spectre 6tantlimite. Si nous assimilons ce domaine h celui d'unepupille limit6e par un diaphragme, b est la figure dediffraction a l'infini de la pupille stigmatique de m~meetendue. C'est pourquoi nous avons appel6 F unefonction diffractee; c'est aussi une fonction redondante.F et cI sont obligatoirement deux fonctions illimit6esdans le cadre des int6grales de Fourier.

Le probleme de la reciproque du theoreme de Dirichletconsiste a trouver une fonction euclidienne F0 telle que:

F(. ... .)-Fo(. ...) ) 0 ( ... )- (3)

Sa solution ne pr6sente aucune difficult6.Fonctions d'une variable. Le probleme reste le

m~me quel que soit le nombre des variables, mais lasolution est plus simple et plus curieuse pour les fonc-tions d'une variable. Les 6quations (1) et (2) devien-nent:

fAu) X .(u)-fAu), (4)

F(x) 0 -i(x) F(x), (5)

avec

(6)v(U) = 1

pour uE so et nul ailleurs.

June 1968 / Vol. 7, No. 6 / APPLIED OPTICS 1221

En comparant avec (12):

Zn = XF(nX).

Fig. 1.

Si U est la mesure de so et si l'origine des u est lemilieu de sp, ceci entraline:

ID(X) = U(sin 7rUx/7rUx). (7)

Les zros de cF(x) correspondent aux arcs 7rUx mul-tiples entiers de 7r. Posons:

UX = 1; (8)

on a:

(I?(nX) = 0 pouir n entier non nul. (9)

Un dplacement du domaine o dans l'echelle des un'impose c(x) qu'une torsion hlicoidale qui nechange pas la position des zros.

Pour obtenir F(x) tel que:

Fo(x) D1(x) = F(x), (10)

il suffit de prencire pour fonction Fo(x) 'ensemble destermes du dveloppement en srie de Fourier de f(u), dansson donaine (p pris comme priode d'analyse. En effet,prenons la srie sous la forme

f(u) = Zn cis(-27rnXu), o UX = 1, (11)nl = -

et

Zn= X f f(u) cis(+27rnXu)du. (12)

Nous crirons l'ensemble Fo(x), que j'appelle unefonction poncluee:

Fo(x) = {Zn} n=-t (13)

Or, nous pouvons representer f(u), dans le domaineinfini des u, par une integrale de Fourier qui est precise-ment la distribution continue F(x):

F(x) = . f(u) cis(2ruX)du,

c'est-h-dire, pratiquement:

F(x) = jff(u) cis(27ruX)du.

(16)

C'est la relation classique entre srie et integrale deFourier repr6sentant la m'me fonction limitee solitaire.

Les termes Z,, sont donc, pour n 5d 0, en coincidenceavec les zros de c1(x). C'est une particularite desfonctions d'une variable, mais elle a une grande im-portance.

II nous est maintenant possible de proceder laconvolution du premier membre de l'equation (10).Elle peut tre mise sous trois formes, naturellementequivalentes, mais n'offrant pas les m~mes suggestions:

+m sin rU(x - nX)Fo(x) (x) = E Zn U n entiE

= _ 0 7r-U(x-nX)

+ sinirU(x - nX)= UX F(nX) 7rU(-nX

n=-X s rU( - nX)

= + F(nX) sin-U(x-nX)71=-. 7rU(x - nX)

r, (17)

(18)

(19)

avec, naturellement, UX = 1, quelle que soit l'unit6de longueur choisie. Dans (17) et (18) la figure dedissipation de la convolution est celle de l'6quation (7).Dans l'equation (19) U a disparu; elle est maintenant latransform6e du quotient So(u)/U dont l'int6grale estegale a l'unit: la figure de dissipation est normalis6e.Elle laisse donc la valeur F(nX) F(x) pour chaquevaleur entiere de n. D'autre part F(x) et Fo(x) ontm~me spectre. Les rsultats des trois convolutionssont done bien identiques a F(x).

C'est ce que nous avions cherch6.Fonctions ponctuees limitees. Nous avons suivi

jusqu'ici les notations classiques de l'optique ondula-toire o F(x) est le plus souvent un morceau d'onded6coup6 par un diaphragme. Les trois equations (17),(18), (19) en font une fonction diffractee illimit6ecomme 41(x): c'est done une image et nous devonsplutot la noter F'(x). Pour bien pr6ciser le nouvelaspect des th6ories classiques, reprenons le sch6ma dela Fig. 4 de l'article "Image d'une fente en clairagecoherent" de 1945.' Cette Fig. 4 sera notre Fig. 1.

L'objet est une fente allongee suivant Oy, limitee pardeux discontinuites rectilignes paralleles Oy: A etB. Il est dans le plan P et sa figure de diffraction l'infini, ou spectre, est focalisee dans le plan P2; c'estf(u). L'image diffract6e F'(x) est dans le plan P3.Le spectre f(u) est limit6 par deux discontinuit6s C et D,naturelles ou artificielles et constitues dans ce cas pardeux crans opaques bords rectilignes. On n'a pasfigur6 les systemes optiques car il s'agit ici de relationsmathematiques. Elles limitent la propagation audomaine paraxial. Les distributions sont alors biendefinies et conformes aux calculs les plus precis.

Dans ces conditions les distributions sur les deuxfaces de P sont diff6rentes. Du cot6 de l'objet, ilregoit integralement le spectre f(u) de la distributionF(x) de Frauenhoffer, tendu de - +,u, c'est-a-dire de - 1/X a + 1/X. Du cot6 de l'image de P 3 nousne conservons qu'une part de ce spectre: f'(u), qui

1222 APPLIED OPTICS / Vol. 7, No. 6 / June 1968

correspond l'image F'(x). Mais nous pouvons lavoir, en image virtuelle, coincidant avec la face arrieredu plan Pi. X' correspond, dans cette image, au pouvoirr6solvant du domaine U' de f'(u); il est plus grand quele X du spectre de domaine 2 p. int6gral.

Nous extrapolerons les fonctions f'(u) et F'(x)jusqu'a cette limite 2 en supposant que les fonctionsqui interviennent dans la diffraction restent exactementles memes. L'erreur doit 8tre faible.

Nous admettrons done comme source pour definir lafente que (1) la face d'entree du diaphragme de Piest clair6e par des ondes planes homogenes, perma-nentes, d'amplitude complexe constante dans tout leplan (2) le spectre suivant u de la lumiere diffract~epar la fente s'etend suivant la m~me loi sur la totalit6des directions disponibles:

-,u < u < +u, avec = 1/X. (20)

Dans ces conditions nous pouvons admettre que lespoints d'information forment a l'envers de Pi une dis-tribution rguliere de priode X/2. Le plus simple,dans le cas de l'objet en fente, est de supposer desalignements suivant les x rpetes en lignes identiquessuivant les y (Fig. 2) des intervalles gaux encore aX/2.

Laissons de cot6 toutes les subtilites, toutes lesdifficultes que nous retrouverons plus tard. Si nousvoulons calculer la fonction directive f(u) d'une reparti-tion F(x) definie a priori, nous disposons done de deuxm6thodes de calcul:

(1) l'int6grale suivant Frauenhoffer:B

f(u) =fF(x) cis(-27rux)dx. (21)

(2) la sommation de la s6rie des points d'informationchoisis a priori, comme la fonction F(x). Si, commedans la Fig. 2, nous avons pu caser 2k + 1 pointsd'information dans le domaine AB = (2k + 1)X/2,ce qui est le cas le plus simple,

+k

f(u) = , XF(nX)cis(-27rnuX),oiX = X/2. (22)n -k

Cette somme est l'integrale approximative la plussimple qui puisse tre proposee, mais ici elle estparticulierement interessante parce que X est la limitedu pouvoir s6parateur des points d'information et parconsequent la p6riode correspondant aux frequences ex-tr~mes du domaine

U = 2. (23)

A tY B

K&&&&; :::: $::::: I."

.. .... X-IL-.

IL I

Fig. 2.

On congoit donc la possibilite, pour f(u), d'8tre latransformee d'une fonction ponctu6e limitee. Cespectre f(u) est alors la somme d'un nombre fini d'har-moniques de la periode fondamentale 2 . Cette fonc-tion represente une densit6 de probabilite; c'est untroisieme type de fonction auquel je donnerai, faute demieux, le nom defonction interferentielle parce que la plussimple correspond deux points sym6triques d'infor-mation, d'abcisses -nX et +nX. C'est encore unefonction a priori, ou plus exactement intrapol6e; f(u)reste dispersive et les galaxies lointaines les plus in-tenses ne nous envoient quand m~me qu'un semis dephotons.

En substituant la fonction ponctuee Fo(x) la dis-tribution continue F(x) de Frauenhoffer dans undiaphragme limit6 nous 6vitons les difficultes du prin-cipe de Huyghens.

R6solution d'un ensemble de points

Dans son ouvrage "L'int6grale de Fourier et sesapplications l'optique," l'auteur a publie sous cetitre un theoreme sur la resolution d'un ensemble depoints incoh6rents align6s sur un axe. I s'agissaitsurtout de montrer que la limite du pouvoir s6parateur,calculee par Lord Rayleigh, subsistait comme valeurnumerique, mais avec un autre sens. Les ensemblesde points coh6rents alignes presentaient des difficult6squi les ont fait abandonner alors par l'auteur. Lad6finition des points d'information d'imagerie co-h6rente redonne a ce vieux theoreme une significationparticuliere. Nous en reprendrons done ici com-pletement la demonstration.

L'objet est un ensemble de N points alignes suivantl'axe des x dans le domaine fini, connexe, L. A priori ilssont disperses d'une fagon quelconque mais sans super-position. Nous connaissons cet objet par son imageque nous supposons, naturellement, isoplanetique.Chaque point donne comme image, coherente ou in-coherente, une figure de diffraction fixee par le facteurd'imagerie coherente h(u), ou celui d'imagerie inco-h6rente d(u). Chacune integre la valeur du point in-t6grable qui lui sert d'objet.

Ensemble incoherent. Les points sont caracterisespar leur abeisse xk et leur valeur integrable hk. Las6rie repr6sentant cet ensemble de points int6grables estnaturellement infinie et m~me non convergente. Safrequence fondamentale est:

= 1/L, (24)

et la srie

k,N +Fo(x) = E E Ik cis27rm-q(x - xk).

k =1 m=- (25)

La srie representant l'image de cet ensemble estnaturellement limit6e aux fr6quences que transmet lafonction de transmission d(u). Si U est la mesure dudomaine de h(u), la serie F(x) ne contient plus que les


(a) (b)

Fig. 3.

Le domaine des equations de resolution a done mememesure U que le domaine de la fonction d'imageriecoh6rente h(u) correspondant la fonction d(u) d'ima-gerie incoherente: il ne nous offre que 2 / equationsdistinctes pour les 2 N inconnues: les Tk et les xk.C'est exactement ce qu'il faut et qui suffit pour resoudreun ensemble de ll points. Done, si: N < M, l'ensem-ble des points est rsoluble; si N > M, l'ensemble estirresoluble. Si N = ll nous tirons des equations (24)et (26):

L/N = 1/U= e

fr6quences comprises entre - U et +U.etant entier:

M1q < U < ( + )n,

il vient pour l'image:

Posons, 11

(26)

k=N +11F(x) = sE d(?n,))Ik cis27rm-q(x - Xk). (27)

k = 1 n =-1l

L'exp6rience donne cette srie sous la forme:+ 11

F'(x) = E Z(m77) cis2rimnx. (28)n = -1

Les equations permettant de rsoudre les inconnuesde Fo(x) sont donn6es par identification des termes desdeux sries (27) et (28), c'est-a-dire par l'ensemble des6quations:

k=N + 1{Z(117) = k d(rnl)Ik cis - 27rrnqxk} (29)

F(x) et F'(x) sont des fonctions continues illimit6esdu fait de la pr6sence, dans les seconds membres de(27) et (28), du facteur exponentiel cis27rm-qx, heu-reusement limin6 des equations (29). F(x) et F'(x)possedent done deux transformees-integrales: f(u) etf(u). Les deux fonctions F et F' tant relles etm~me positives, les k tant de l'energie, ces trans-form6es se decomposent chacune en une partie relle etpaire: fe Ou fe', transformees des parties paires de Fet F', et une partie imaginaire et impaire: ifo OU ifotransformes des parties impaires. Les Z(m-q) sontdone dcomposables en deux ensembles: { Ze } et

iz, }.Les equations (29) donnent done naissance deux

series d'6quations correspondant aux identifications desparties reelles et imaginaires des deux sries.

Les quations identifiant les parties relles formentun ensemble pair, les equations d'ordres -m et +m tanteidentiques.

Les quations identifiant les parties imaginaires for-ment galement un ensemble pair, les signes changeantsimultanement dans les deux membres.

Le terme d'ordre zero est unique, mais il ne peutservir qu'a identifier les unites dans les deux srie.

Tout se passe comme si l'emploi d'une sries ex-ponentielle complexe pour representer une srie in-coh6rente etait une de ces formes de redondance que lethdoreme de Dirichlet, tel que l'optique des frequencesle voit, mlous pousse A signaler.

(30)

e tant la limite du pouvoir sparateur de LordRayleigh. Si U a sa dimension maximale:

U = 2,u = 2/X,(31)

e = X/2.

Soulignons que, dans le cas de l'imagerie incoherente, cete est une distance moyenne.

Ensembles cohrents. Supposons le meme nombre Nde points coh6rents, distribues dans le meme domaine L,aux memes abeisses Xk, ayant les modules Akl mais aux-quels nous attribuons des phases ik. Fo(x) est une fonc-tion complexe; son image F(x) aussi. Pour conserver leparall6lisme, plagons le domaine U de la fonction detransmission h(u) en coincidence avec ce domaine desfrequences positives que nous avons finalement attribuea l'ensemble incoherent. Aucune symetrie fatale nepeut rduire ce domaine, qui nous fournira, pourl'ensemble coh6rent, le mme nombre d'equationsanalogues aux equations (29) de l'ensemble incoherent:l'equation d'ordre zero coordonnant encore les uniteset les 2M 6quations correspondant aux parties reelles etimaginaires.

V\/Iais, quand il s'agit de points coherents, nous devonsdeterminer 3N inconnues: les modules, les phases etles abcisses, ou les deux parties relle et imaginaire dechaque amplitude complexe A, plus son abeisse.L'auteur avait autrefois fait remarquer qu'il manquaitune donnee et que la resolution des points coherents del'ensemble exigerait une condition suppl6mentaire pourque le probleme ait un sens utile.

C'est ce que fournissent les points d'information:leur distribution est priodique et cette priode estpr6ecisment, pour MVI points, la limite E. La possibilitede cette resolution n'est qu'une propriete math6ma-tique de plus, mais elle confirme que le pouvoir spara-teur est le meme pour les points incoherents et co-h6rents; pour les premiers il est une moyenne, tandisque pour les derniers il reste une p6riodicit6.

La dimension maximale de U tant 2/X, la limite du pouvoir sparateur est done bien /2.

Au contraire la periode = 1/L des termes de f(u),qui a une limite superieure U n'a pas de limite inferieure,L pouvant croftre ind6finiment..., au moins en sym-boles mathematiques. La diff6rence entre fonctionondulatoire et fonction corpusculaire directionnellereste done constante. On peut atteindre le corpusculephoton dans son individualite et dans sa direction s'il


fait partie d'un faisceau divergent, mais son passage atravers un plan abstrait ne peut tre connu que parl'interm6diaire d'un point d'information qui peut entotaliser plusieurs et plusieurs milliers et qui presenteune incertitude minimale de X/4.

Fonctions derives des fonctions ponctuees. En ecri-vant l'equation (15) sous la forme

F(x) = J f (u) expi2 7rux du, (32)

la derivation par rapport h x est imm6diate:

Fn(x) = = (i27r)n Junf(u)exp2,rux du. (33)

Les transformees des drivees successives de F(x),(i27r)nunf(u), ont meme domaine so et par consequentpeuvent 8tre mises sous la forme de fonctions ponctueesque je note (dnF/dxn)o, et qui ont meme fonction dediffraction (x) et dont les points d'information sesuperposent. Nous les appelons les fonctions ponctuesd6rives de Fo(x).

Nous nous contentons ici de signaler cette singularitede la transformation de Fourier appliquee aux fonc-tions spectre limite. Elles sont ponctuables et parcons6quent peuvent tre mises sous une forme dis-continue et cependant il est possible de leur d6finir desfonctions derivees.

Distributions planes bidimensionnelles

La distribution plane continue est F(x,y) et on estfatalement amene a la representer par une s6rie double,suivant les x et les y. Avec des axes cartesiens perpen-diculaires, les points d'information formeront unreseau quadratique dont un exemple est deja donn6,Fig. 2, et un autre ci-dessous, Fig. 3(a), avec des com-plications qui seront expliques par la suite.

Nous ne lui ferons qu'un reproche: si la p6riode est esuivant les x et les y, elle est E(2 ) 2 suivant les diagonales etles domaines particuliers des points d'information ontsuivant ces diagonales une dimension superieure lalimite du pouvoir sparateur. Une solution plusproche de la symetrie circulaire nous parait tre lereseau hexagonal de la Fig. 3(b): chaque point est ladistance e de ses voisins; le domaine de chaque pointd'information est un hexagone de cote e. Ce type dereseau est celui qui donne la densite maximum depoints d'information qui est dans le rapport 1,732 avecla densite du rseau quadratique de mme pouvoirs6parateur. La cristallographie a d6ja dvelopp6 lesapplications de la transformation de Fourier aux axesobliques. Nous y renvoyons le lecteur: tous lestheoremes utiles dmontr6s en axes cartesiens restentapplicables.

II y a, dans cet emploi des sries doubles, maillesnecessairement polygonales, un aspect choquant pour lelecteur opticien habitue aux systemes centres et auxdiaphragmes circulaires, mais qui ne doit pas le troublerexager6ment. Nous en representons un exemple, Fig.3(a). Un diaphragme circulaire de diametre L estinscrit l'interieur d'un diaphragme carre de cot6s L

paralleles aux x et y. La cellule carr6e de cot6 L yrange un rseau quadratique de points d'informationalign6s suivant la fr6quence fondamentale.

Montrons que le cercle C, rempli par une partie de cereseau quadratique carr6, doit donner a tres peu prbs ladiffraction originale du diaphragme circulaire. Sup-posons que le plan des diaphragme soit eclaire, du cot6de la lumiere incidente, par un systeme d'ondes planesd'amplitude uniforme paralleles au plan des xy. Enl'absence des diaphragmes, du cote de la lumiere in-cidente, le plan des xy contient un rseau de pointsd'information egaux en modules et en phases. Si nousy decoupons le diaphragme carre de la Fig. 3(a), nousavons lui attribuer tous les points qui lui sont in-terieurs: ceux qui sont figures par des points a l'in-t6rieur du cercle et ceux qui se placent aux intersectionsdes alignements figur6s entre le cercle et le carr6.

Si nous calculons la figure de diffraction du carrenous trouverons la figure de diffraction de symetriequadratique bien connue dont les deux systemes defranges noires sont dessin6s, Fig. 4. Leur periode est qmais la frange centrale est le maximum absolu delargeur 2-q.

Appelons Q le diaphragme carre et Q(u,v) la trans-formee de son contenu. Appelons r le domaine ducercle, r(x,y) sa fonction de domaine et y(u,v) la trans-formee de cette derniere fonction. Si nous d6signonspar C(x,y) l'information contenue dans le cercle, et parc(u,v) sa transformee, nous avons evidemment:

C(x,y) = Q(x,y) X (x,y), (34)

c(u,v) = q(u,v) ® y(u,v).

C'est a tres peu pres la figure d'Airy classique avecses franges noires circulaires reproduites Fig. 4. Ceserreurs proviennent des dfauts d'homogeneit ducontour du cercle qui coupe irregulierement les domainesdes points d'information du rseau quadratique dudiaphragme carr6. Il y a done une erreur sur les plushautes frequences de c(uv) qui l'alterent sur toute son6tendue. Nous ne pouvons ici nous avancer davantagedans une discussion possible mais tres longue et dont lelecteur trouvera quelques 6l6ments dans l'article anciendej a cit6.1

Remarque. Ce qui precede est un exemple desdifficult6s que l'on rencontre chaque fois que l'on

Fig. 4.


Pupille bidimensionnelle et diffractiontridimensionnelle

Les phenomenes de diffraction se passent de toutefaqon en espace tridimensionnel. L'optique corpuscu-laire, en plagant la fonction directionnelle commeprincipale representation des faisceaux, accroit l'im-portance de la figuration sph6rique esquissee dans unarticle precedent. Nous nous excusons de la reprendrea ses debuts, en montrant sa liaison avec la representa-tion plane classique.

La Fig. 5(a) et (b) repr6sente, comme base, les deuxrepresentations planes: celle de F(x,y) hachuree et lecercle correspondant limitant le f(u,v). Pour lesremettre en axes tridimensionnels nous avons trace lesaxes des z et des w.

Operons sur F(x,y) une convolution avec la fonctionde Dirac (z), integrable suivant les z mais non int6-grable suivant toute direction du plan des x,y. Nousecrirons:

F(x,y) ® (z) = F(x,y,O).(b)

Fig. 5.

d6finit a priori la pupille F(x,y) et ses points d'informa-tion. C'est videmment la fonction directionnelle,euclidienne, f(u,v) qui est a l'origine de la definition despupilles en ce qui concerne l'optique lineaire, la seule dontla transformation de Fourier puisse rendre compte. IIfaut concevoir le phenomene physique de la diffractionpar un obstacle comme l'6volution d'un faisceau co-h6rent de photons, a la suite des chocs de ceux-ci contrel'obstacle. Le phenomdne est beaucoup moins simpleque la diffraction par ce m6me obstacle d'ondes milli- oucentim6triques. Les longueurs d'onde ont chang6 maisnon la structure corpusculaire des obstacles. Pour lalumiere classique du visible et de son voisinage im-mediat, la diffraction prend une forme particuliere auvoisinage des obstacles et sa diffraction cesse en partied'etre lineaire: elle 6limine des calculs une partie duflux incident.

Chaque point d'information totalise un certain nom-bre de photons qui doivent correspondre au domaineindividuel du point dont le diamtre est de l'ordre deX/2. I y a done dans la position des photons dans leplan une incertitude curieuse de /4. Ces photonspeuvent etre rares mais aussi, dans certaines experiencescourantes aujourd'hui, ils peuvent etre tres nombreux:la convergence artificielle ou spontanee d'un flux delaser en impulsions tres courtes ralise la superpositionde plusieurs milliers de photons dans le volume d'unesphere de diametre X.

Or, avec les points d'information, nous avons dfinila concentration la plus troite que la statistiqueondulatoire nous permette d'esp6rer et d'observer:une dfinition point par point d'un clairement super-ficiel. Le pouvoir rsolvant en est visiblement in-suffisant pour nous rveler la structure corpusculaire dela lumiere sur la base de la distribution plane statistiquelineaire.

(35)

II lui correspond en espace u, v, w, le produit alg6brique:

(36)f(u,v) X H.(O) = f(u,v,w),

avec la condition physique:

U2 + V2 + W2

= /X2 (37)

H,,(0) est une fonction de valeur unitaire tout le longde l'axe des w, de - a + co. Le produit algebriquecorrespond done a une translation du spectre repr6sent6en plan: f(u,v) tout le long de l'axe des w. La condi-tion (37) represente la sphere de centre 0 et de rayon1/X. Nous avons repr6sent6, Fig. 5(b), la demi-spheredes directions dans le sens de w positifs. La conceptionclassique de F(x,y) envoyant la lumiere diffractee dansle sens des z positifs nous oblige, provisoirement, a cetterestriction.

f(u,v,x) est done l'intersection du cylindre (36) par lasph~re (37). Cette representation est la seule quicorresponde au seul proed6 dont l'opticien dispose,pour 6tudier directement et avec precision la diffractionde la pupille F(x,y), par collimation des directionsparalleles issues de F(x,y) au foyer d'un objectif largedont l'axe peut tourner autour du centre de figure 0 deF(x,y).

Loi de Lambert. La fonction de domaine du cercleplan equatorial, sp(u,v), a pour transform6e la figureplane 4I(x,y) qui est l'image diffract6e du domaine dupoint d'information 0 du plan des x,y. Considerons,Fig. 6, un el6ment dS du plan des u,v. I porte avec luien se dplagant dans le cercle equatorial une quantit6constante de rayonnement. S'il est centre en 0,centre de ce cercle, la translation Hw(O) le transporteau p6le de la demi-sphere, sans deformation: ladensit6 y est done 6gale a l'unit6. Ecartons cet elementdu centre, par exemple, par translation le long de l'axedes u. I correspond alors a la direction de rayonne-ment qui fait un angle a avec l'axe des w. La trans-lation HW(O) dcoupe sur la sphere un 6l6ment dS' gala dS/ cos a; la densite y est done 6gale a cos a; si nous


(a)

avons pris la longueur d'onde pour unite de longueur,elle est done egale a w (Fig. 7).

Le plan des x,y, rayonne done en suivant la loi deLambert.

Peu de surfaces lumineuses planes peuvent passer poursuivre la loi de Lambert qu'elles abandonnent pour les6missions sous des mergences rasantes.

Pour obtenir sur la sphere, entiere cette fois, unedensite constante, le point lumineux de 1'espace x,y,zdoit 8tre un e16ment de volume de sym6trie spherique.

Position des points d'information dans la th6oriedes images

Les th6ories anciennes des images, gometrique etphysique, ont limit6 g6n6ralement leur curiosit6 auxbasses fr6quences. Cela suffit pour l'astronomie, pourles lunettes, pour la photographic d'amateur, le cinemaet la t6l6vision. Mais les hologrammes, qui entrainentla fabrication d'6mulsions ayant un pouvoir rsolvantde 3000 cm-', rhabilitent les plus hautes frequences,proches de la limite /2 de l'imagerie incoherente.L'experience, dans ces rgions, est sporadique etm~me "d6cousue." Nous nous contenterons done icide voir quoi conduisent les theories classiques pous-sees a bout. Nous raisonnerons sur le cas simple de laFig. 1 sch6matisant l'image d'une fente en 6eclairagecoherent.

L'equation (10) qui reie l'ensemble Fo(x) des pointsd'information la fonction continue classique F(x)d6finie priori, contient la transform6e (x) de lafonction de domaine du spectre directionnel f(u) quel'on pr6sente comme la figure de diffraction l'infini.Ce qui est ainsi dfini posteriori, c'est une imageF'(x) que nous pouvons imaginer focalis6e, relle, dansle plan P3 , ou virtuelle, sur le plan P1. Supposons quele f(u) dont le centre est en 0 dans le plan P2 , envahissetout le domaine spectral d'6tendue 2 . La p6riode despoints d'information est alors X/2. Dans le domaine L

Fig. 6.

Coic

-1 I ,

U * 1'-

(a)

(b)

Fig. S.

de l'objet, limite par les deux discontinuites A et B. il yen a N.

Le spectre est lui aussi limite par deux discontinuit6sC et D. Les images geometriques de A et B sont enA' et B'. Nous avons trae6 A'B' gal AB. Lespectre est coupe en deux zeros sym6triques de la fonc-tion sin au/au. Les franges qui serpentent autour dupalier A'B', qui est l'image gometrique de AB, ontainsi leurs amplitudes maximales tandis que les frangesext6rieures A 'B' ont des amplitudes minimales.Cela nous simplifiera les observations et les figures quiresteront plane, les phases de toutes les amplitudes6tant nulles. Nous ne cherchons pas ici puisertoutes les questions qui se posent.

Numerotons 0 le maximum de la frange centrale def(u) et del +ou- M les z6ros lateraux: Fig. 8, M estegal a 4. I y a done neuf points d'information sur A 'B'dont deux, aux extremit6s, ne jouissent chacun que dudomaine e'/2 . Le spectre est rduit par le diaphragmeCD (Fig. 8). Dans la Fig. 8 ce spectre est figur enamplitude et l'image en intensite, c'est-a-dire en densitede photons. L'image d'amplitude, tant relle, estfacile dduire. Les points d'information de l'imagecoincident done avec les maxima et les minima desfranges contenues dans l'image gometrique; a 'ex-t6rieur ils coincident avec les maxima. Les pointssitues aux limites A' et B' ont des amplitudes qui sont apeu pres gales la moiti6 de la hauteur du paliergeom6trique.

Si nous largissons progressivement le domaine def(u), c'est-a-dire le nombre de ses zeros, nous aug-mentons progressivement le nombre de ses franges etparallelement le nombre de ses points d'information al'interieur du palier A'B'. Si la fente-objet atteint lemillimetre, nous aurons un millier de franges et l'aspectde l'image ne changera plus guere sinon par leur nombreet l'uniformit6 progressive du centre de l'image.

L'auteur a 6tudi6 cette 6volution dans un article d6jacite.' Contentons nous ici de la regarder dans les


Fig. 7.

45. ^ S. z o_ ,i_ | \ J \ T

\ \ . \ \ _ / t t >\ S i n 8 SA 7 \ t \ . _ i. \ \

/ 4

.5 10 °1+ + +' + + t + ++ ++ .. .. B-

*. -;-. ' i t-tI- B_., , I. 4 ; ; , B

+ L/2

I'artie o nue du djphragne

. . . . . Points d'infor titon-Objet

..... ... Points d'info-ation-I..go (n energie, en nobre de photons)

-- Imge gpon6trique

Fig. 9.

moments oA f(u) est coupee en deux z6ros sym6triques.La diffraction ext6rieure au palier A'B' est alors mini-male et les amplitudes des franges interieures sont alorsmaximales; ces franges sont d'ailleurs d'autant plusconstantes au cours de l'eargissement de CD qu'ellessont plus proches des bords A' et B' et d'autant plusvariables que l'on se rapproche du centre de l'image.

Admettons que la loi en sinau/au subsiste jusqu'al'extr~me limite def(u), ce qui n'introduit qu'une erreurl6gere, f(u,w) tendant aux extremit6s vers zero. Ad-mettons aussi que cette limite coincide avec des z6ros dela fonction ce qui exige seulement que L comporte unnombre entier de longueurs d'onde. Les points d'in-formation seront alors distribu6s avec la m~me p6riodeX/2 et aux memes abeisses dans l'objet et dans l'imagemais la repartition des photons entre les points d'in-formation ne sera plus la meme dans l'objet et dans sonimage. Laissons de cote, provisoirement, la lunmirediffractee exterieure l'image gom6trique, qui estsecondaire dans le cas choisi et repr6sente une perteinfime d'6nergie pour le contenu de cette image gome-trique. Dan la Fig. 9 nous avons repr6sent6 les deuxpaliers AB et A 'B' de l'objet et de l'image dans le cas deL = OX avec les cotes energetiques des points d'in-formation. Le choix du nombre 10 est 1i6 au dessin dela figure et non a des soucis d'exactitude physique.

En Fig. 9-objet tous les points d'information sont surla droite du palier AB.

En Fig. 9-image les points oscillent entre les maximaet minima des franges de diffraction suivant une p6riodedouble de celle des zros, c'est-a-dire 2 e, finalementegale a X. Dans la distribution nerg6tique ils sontdonc parfaitement sparables. L'amplitude de cesoscillations dcroit de A' vers le milieu 0 et croltsym6triquement sur l'autre moiti6, de 0 vers B'. Desvecteurs reliant les points d'information a l'alignementrectiligne du palier geom6trique indiquent la valeur et lesens des carts. Si on num6rote ces points de -10

+10, on voit que tous les points de meme parit6 que lesdeux maximums extremes sont aussi des maximums.

Si le lecteur curieux a entre les mains Particle cit6,'il verra, Fig. 13, comment volue l'image diffract6equand L crolt d'une facon continue. Les frangesm6dianes ont des amplitudes maximales quand L est unnombre entier de longueurs d'onde; si l'on accroit L deX/2 elles s'aplatissent et leurs z6ros ne sont plus exacte-ment periodiques. Au cours de cet 6largissement de lafente, sans qu'il soit touch6 au domaine spectral, on al'impression tres nette que rapidement tout se passecomme si les deux lvres de la fente entranaient deuxdistributions p6riodiques amorties qui se combinent aumilieu de l'image. Ces deux distributions sont con-sider6es comme presque identiques aux franges dediffraction d'un 6ecran unique a bord rectiligne coupantun train d'ondes planes illimit6es. On en trouvera ledessin,' Fig. 16. On a pu suivre le ph6nomene jusquevers la 830e frange.

La diffraction corpusculaire

Nous avons choisi le cas ou L est un nombre entier delongueurs d'onde, pair par surcroit, et nous avons coupele spectre en deux zros sym6triques, pour rduire auminimum la lumiere diffractee hors de l'image g6ome-trique. Cette diffraction exterieure est alors, aumoins pour la plus grande partie, attribuable aux dis-continuit6s limitant le domaine L de l'objet dans leplan P. Nous avons extrapol6 les observationsjusqu'a la totalite du spectre effectif, allant de - a + .pour 6liminer dfinitivement tout probleme touchantles limites materielles du spectre formant l'image. Cesont alors les limites materielles du domaine L qui sontseules responsables de la diffraction. Nous pouvonsalors contr6ler cette image, virtuelle, sur la face du planPi par laquelle sort la lumibre, ou nous pouvons en-r6gistrer son spectre et la calculer, soit sous sa formecontinue F'(x), soit sous sa forme ponctuee F(x).L'image F' est tout ce que nous pouvons connattre del'objet F(x) par la propagation du faisceau.

Dans les conditions que nous venons de decrire, laquantit6 d'energie qui s'6vade de l'image geom6triqueest infime et n'a de valeur sensible que dans l'au-delaimmediat des points d'information coincidant avec lesdeux extr6mit6s A et B du domaine L. Nous n'avonspas figure, Fig. 9, les points d'information d'ordressuperieurs a + ou -10. Theoriquement, ils prolongentjusqu'aux x infinis la srie des points d'information;mais ils totalisent une energie negligeable au-dela despremiers zros de F'(x) ext6rieurs a l'image gom6-trique. Nous retiendrons seulement, de cette diffrac-tion ext6rieure incontestable, ce fait que le faisceauincident parallele sort 6tal6 du plan Pi. Cet etalement,dont l'ouverture theorique est r, est pratiquement con-dens6 autour du faisceau mergent d'optique gom6-trique.

Appelons x cette fonction de dispersion. Elle dis-tribue la lunmire suivant la variable u. Ecrivons-ladonc x(x,u) car il est visible, aussi bien sur la Fig. 8 quesur la Fig. 9, que cette loi de diffraction ne peut pasrester constante sur toute l'6tendue du domaine L et doit


n .10 -5+ + + + +'t + ++ +++ ++ + + +A

. I

: ' * A, :^v~- A ',_*

_10 .

- L/2 0

I

S 0

aC PI P2

Fig. 10.

presenter, partir des limites de L, des oscillationsamorties vers le milieu de L, paralleles aux oscillationsamorties des franges de la Fig. 8 ou des points d'in-formation de la Fig. 9. Remettons les precisions a plustard et contentons-nous de cette impression simple etqualitative. Elle sera accentuee pour le lecteur quianalysera la Fig. 15 de l'article cit6,' ou mieux encorela reproduction corrig6e et transpos6e en 6nergie, qu'ena donn6 rcemment Martin dans la Fig. 6-36 de sonTheory of the Microscope.2 C'est alors f(u) qui jouele rle de pupille et F'(x) celui de spectre; la frangecentrale, en se dplaqant dans son diaphragme, pose,sur le rle des bords de ce dernier, des problemessinguliers que l'auteur abandonna, en 1944, apres ladestruction de son laboratoire. 3

Nous pouvons maintenant nous repr6senter ladiffraction corpusculaire et ses relations avec la statis-tique ondulatoire. Nous donnons, Fig. 10, un graphiquetrbs sommaire qui nous facilitera un expose egalementsommaire.

Coh6rence corpusculaireLe point lumineux S emet un large cne rgulier de

lumiere monochromatique dont nous conservons lec6ne qui rentre dans le condensateur C et le traverse endevenant parallele. Correctement nous devrions rem-placer tout cela par un train d'ondes planes provenantd'une etoile reelle ou artificielle a travers un air homo-gene. Coupons le cne par la calotte spherique 2.Tous les chemins optiques, tous les temps de propaga-tion entre S et 2 sont gaux. Et tout de suite nousvoyons la diff6rence fondamentale entre les m6canismesondulatoire et corpusculaire. L'onde qui part l'instant t = 0 du point S se superpose d'un seul coup a2 qui reste une surface de dispersion homogenependant '6mission du train d'ondes de dure T et quinous fournira l'energie W. 2 est une surface qui-phase pour toutes les ondes du train.

Les photons partent un a un de S pendant le temps Tsuivant une dispersion stochastique: dispersion dansle temps T et dispersion sur la surface 2. Mais tousles photons mettent le meme temps 0 pour aller de S en2. Pour eux, 0 n'est pas une date du Temps Universelt, mais une duree individuelle, dont sera fonction lamarche du photon, ses accidents, qui seront, pour lui etses successeurs, le long de la meme trajectoire, unphenomene extemporann6, ce que Eppler appelle unefonction d'influence.4 5 0 peut etre compt6 a partir detoute surface equiphase, par exemple la sphre 2 ou leplan 2', que la diffraction par le condensateur C n'apas eu le temps de troubler beaucoup.

Le train d'ondes de duree T correspond a l'energietotale W et done a un nombre N de photons tel que:W = Nhv = Nw, v 6tant la frequence liee au photon.Chose curieuse et infiniment significative: quel quesoit le d6bit des photons, si espaces qu'ils soient, dans letemps et dans l'espace, leur chemin a travers le systemeoptique, les phenomenes de diffraction et d'interferencesconstates au-dela du plan Pi, jusqu'a l'infini (c'est-a-dire loin), restent les m~mes. Le volume de diffraction,tel que la theorie ondulatoire peut le calculer, fait subiraux photons une evolution qui ne depend pas du tempst mais uniquement de leur trajectoire. Ce volume estdone celui d'un champ de phenomenes extemporannesqui ne peut 8tre d qu'aux interactions individuellesentre photons et mat6riaux provoquant la diffraction:ici les diaphragmes de Pi et P2.

Aux densites acceptables dans les appareils d'optiquetraditionnels, les photons n'ont aucune action les unssur les autres, aucune correlation physique. Ils formentun ensemble lin6aire dont les propri6tes statistiques sontla somme des propriet6s individuellesY. C'est laraison pour laquelle les ph6nomenes individuels dediffraction sont extemporannes, c'est-a-dire fonction desdurees et non du temps gneral t. Bien entendu lechamp statistique de diffraction et d'interference de cesensembles lineaires reste celui qui est donn6 par lecalcul analogique de la theorie ondulatoire.

L'auteur donne ici deux exemples qui lui paraissentet lui ont toujours paru indiscutables.

En 1917 il etait a Bordeaux, assistant militaire etcivil du professeur Henri Benard, 6leve de J. J. Thomp-son. H. B6nard l'amena un jour dans une salle ou dejeunes tudiantes d6pouillaient des cliches de la Cartedu Ciel. Les toiles les plus faibles donnaient lafrange centrale sans franges ext6rieures. On les photo-graphiait en trois poses de une ou deux heures, disposeesen triangle equilateral. Les plus beaux cliches avaientete pris a Meudon, avec la grande lunette de 95 cmd'ouverture. H. Benard demanda a l'auteur de cal-culer la densite des photons sur l'objectif, en supposantun rendement de 1%, deja faible a cette 6poque. Pourune pose d'une heure l'objectif avait recu 8 photons parcm2 et les photons se suivaient 17000 km l'un del'autre. I en passait un, de temps en temps, dans les19 m de la lunette.

Au debut du XIXe siecle, Fresnel a souvent r6peteson experience ce6lbre sur les franges brillantes con-tenues dans l'ombre d'un fil tendu, 6eclair6 par un pointou une fente lumineux. Il a rduit a l'extr~me lesdimensions du fil et de tout le systeme optique. Ilutilisait des lentilles de tres courtes focales du type desmicroscopes simples du biologiste hollandais Leeuwen-hoek. Entre la source et la r6tine de Fresnel il ne restaitque quelques centimetres. I eut fallu un debit de 109a 1010 photons par seconde pour qu'il y eut au moinsun photon, constamment, passant travers lesappareils. Le debit devait 8tre au plus de 106 photons.

Dans les appareils de Fresnel, comme dans la lunettede Meudon, il ne se passait rien la majeure partie dutemps. On peut trouver des correlations math6ma-tiques entre ces photons; correlations symboliques de


l'utilit6 du modele math6matique de l'onde, mais nondes correlations physiques.

On ne connait pas d'interaction entre photons libresappartenant des faisceaux de densite usuelle. Miaison sait maintenant que la focalisation spontanee desfaisceaux issus de lasers a rubis en impulsions puissanteset breves, est due la densit6 lev6e et h6t6rogene6quivalente un accroissement d'indice, maximumdans l'axe des faisceaux. On compte alors plusieursmilliers de photons dans une sphere de diametre X.Les photons semblent y conserver leur individualitemais on est encore loin des densit6s d'6nergie au centredes grandes toiles les plus chaudes. Sur le trajet deces faisceaux denses les appareils d'optique usuels etclassiques sont d6t6riores.

Quel est le r6le, dans l'hypothese corpusculaire, de lasurface fictive qui ferme le diaphragme dans le plan desx,y? Dans la th6orie ondulatoire c'est la surface desconditions aux limites entre les deux milieux distincts depropagation: avant et aprs l'obstacle. Elle doitjoindre le contour du diaphragme, dans la mesure o ilest determin6. Elle a une forte dose d'arbitraire. Onne voit pas bien, priori, ce qui la definirait pour unphoton qui traverse obliquement le "trou" en sonmilieu. Mais ici intervient la relativite restreinte etcette vitesse limite c ou c/n qui fait que tout traind'ondes limit6 ne peut etre perqu que comme onde dechoc, une discontinuite plane. Inversement, si nousnous mettons la place du photon, ce sont les obstaclesindividualises qui sont plans, quitte a donner des chocsdiff6rents suivant leur forme et l'angle d'attaque.C'est au point de vue du photon que se placent, sans leprdciser, ceux qui mettent en equation l'onde lumineuse.C'est la meme aventure qui doit se produire pour le traind'ondes de quelques nanosecondes d'aujourd'hui. Jesoupgonne le photon d'etre, dans son espace relativiste,plus allong6 sur son axe de propagation que tel traind'ondes de 3 nanosecondes.

Par quel m6ecanisme la coherence se maintient-elle atravers diaphragmes et autres obstacles? Dans l'hy-pothbse ondulatoire seul un changement d6sordonn6 defrequence, une pulv6risation de la phase en fragmentsinf6rieurs la limite du pouvoir sparateur, peuventalt6rer la coh6rence. Toutes les deformations con-tinues et permanentes des surfaces d'onde, tels que lesrepliements et les superpositions, tous les accidentsd'aire nulle, tels que les points singuliers, aretes derebroussement, discontinuit6s, respectent la coh6rence.

Dans la Fig. 10, nous avons figur6 le montage optiquede la Fig. 1, mais en enlevant toutes les piees d'optiquessupposes anterieurement entre les plans PI et P3 , en neconservant en P2 que le diaphragme. Nous avonsaccepte, suivant les usages courants de laboratoire,que le faisceau conique des photons issus de S devenaitparallele aprds la traversee du condensateur C. Il estevident que le plan P2 regoit une collection vari6e defaisceaux issus des points d'information du plan P.Si nous avions prolong6 le dessin jusqu'au plan P3 , nousaurions vite renonc6, comme nous l'avons fait, dis-tribuer les trajectoires complexes et vraisemblables desphotons.

C'est videmment la permanence des volumes dediffraction calcul6s par la th6orie ondulatoire,c' est-a-dire, a notre point de vue, la permanence des fonctionsd'influence attach6es au mat6riel optique immobile, quiassure la continuite de la coherence. Chaque fois quele flux de photons traverse un plan de choc et de crise,comme P1 et P2 , nous pouvons representer la distribu-tion de la lumiere par un plan de points d'informationirr6solubles. De chaque point part un faisceau coniquede trajectoires qui est coherent d'apres le test decoh6rence corpusculaire de Young et Fresnel. Cecic'est pour la propagation en aval du plan de choc. Enamont le faisceau de trajectoires tait par dfinitioncoh6rent: done il le reste en aval du plan de choc, tousles points d'information tant coh6rents d'apres lastatistique ondulatoire. Dans la Fig. 10, le faisceau quipart de S est coherent. Le condensateur C et sa monture,les diaphragmes de Pi, P2, P3 , . . . sont autant de plansde choc et de crise qui compliquent et melent lestrajectoires des photons; ils ne peuvent y mettre del'ordre que s'il y a formation d'une image.

Quelles sont les parts du diaphragme et du photondans la fonction d'influence extemporannee qui regle, enfonction de 0, les avatars du photon le long de sa trajec-toire? L'auteur ne peut s'empecher de comparer ceprobleme au suivant: Quand un violon rend un latres pur, quel est le responsable? la corde? qui tres peu pres fixe la frequence mais n'a aucune sonorite?la caisse de rsonance? passive et qui ragit sur lafr6quence de la corde en poss6dant un tres large domainede rsonance? sa table? ses ouYes? son me? levioloniste? qui fournit l'energie avec ses bras et sonmenton, par l'intermediaire de l'archet, de ses crins etde sa colophane? Le photon apparaft etre a la fois lacorde et le violoniste, peut-etre l'archet, et la matierediffractante, la caisse de rsonance.

On ne peut pas limiter le photon a un corpuscule quasiponetuel et il n'est pas dit que le volume de diffractionpr6sente un champ prealable a son passage. I seraitd'ailleurs i6 plus la forme geometrique qu'a la sub-stance des obstacles dont les propri6t6s sont importantespour les quations de Maxwell, qui semblent relegu6esdans la diffraction non lin6aire. Restons dans levague et disons que la discontinuite plane qui accom-pagne le photon "condense un champ" qui est probable-ment d'une autre nature que les champs nucl6aires etqui est probablement structure d'apres cette longueurd'onde qui ne correspond plus a aucun phenomene con-tr6lable. Les directions interdites aux photons par lesfranges noires de diffraction a l'infini semblent rv6lerune structure priodique. Le photon n'est pas unsimple grain d'6nergie.

Son tendue parait m~me considerable: au moinsl'ouverture des plus grands objectifs (Palomar); aumoins un rayon gal la base de l'interf6rometre deMichelson, que le pouvoir rsolvant des franges dediffraction formees par la lune semble porter 30m.C'est la raison pour laquelle l'auteur ecrivait ailleurs:"supposons un photon de 60m de diametre". Cen'est pas une certitude mais seulement un gros pro-bleme.


Si le choc contre un diaphragme brise la trajectoiredont les morceaux restent rectilignes, l'6nergie duphoton n'est plus disponible dans les franges sombres ounoires qu'il traverse apres le hoc. Rien de tresnouveau: les franges d'un seul miroir, Lyot, Lipp-man ou Wiener, prouveraient, dans les conditions del'exp6rience de Fresnel citee plus haut, que les ex-tinctions totales priodiques sont possibles, pour unphoton isol6, apres une rflexion ou plut6t autour d'une

reflexion qui d'ailleurs est un ph6nomene d'optiquenon lin6aire.

Bibliographie1. P. Duffieux, J. Tiroufiet, H. Guenoche, et G. Lansraux, Ann.

Phy. 19, 355 (1944).2. L. C. Martin, The Theory of the Microscope (Blackie and Son,

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The Ealing Corporation of Cambridge, Mass. last Novemberpurchased Diffraction Limited, Incorporated, and will operate itas a wholly owned subsidiary under its current management....Spectrolab has established a Southeastern sales and service officeat 2030 16th Street North, Arlington, Va. 22201.... EG&G,Incorporated Products Group has established a Laboratory Prod-ucts Division at Santa Barbara, Calif. with Gordon S. Humphreyas general manager.... An RF sputtering system that can beused to deposit high quality insulator films on integrated cir-cuits-with high deposition rates and in uniform layers-has beenpatented by Leon I. Maissel (left in the photo below) and PieterD. Davidse, both of IBM's Components Division. Patent3,369,991 details their development of a two-electrode sputteringsystem that claims to overcome many of the difficulties experi-enced with earlier sputter insulators. The material to be coatedis on the bottom electrode (RF anode) and that to be sputtered isattached to the top electrode (RF cathode).

Illustrated above is Narinder Singh Kapany (left), presidentand director of research of Optics Technology, Inc., receiving thefirst G. J. Watumull Distinguished Achievement Award for his"many research contributions [that] have applications in thefields of lens design, spectroscopy, hypersonic reconnaissance,lunar probe instrumentation, and many others." Mrs. ChesterBowles, wife of the U.S. Ambassador to India, and Mrs. G. J.Watumull are also in the picture. The Watumull Foundationwas founded in Hawaii in 1942 by Gobindram JhamandasWatumull, an India-born businessman and philanthropist. Itsprimary objectives are the promotion of better understanding be-tween India and the United States, promotion of India's nationalefficiency, and the support of educational, cultural, and philan-thropic institutes in Hawaii.


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Les fonctions ponctuées et l’optique corpusculaire