Les nouveaux enjeux de la cosmologie

Francis Bernardeau

28 septembre 2005

Resume

La relativite generale a pose les bases d’une description geometriquede l’univers. Au fil des decennies, avec la consolidation du modele dubig-bang chaud, la cosmologie aussi bien observationnelle que theoriques’est considerablement developpee. Les contraintes sur les modeles cosmo-logiques s’appuient maintenant sur un ensemble d’observations dont lesfondements sont bien compris. Elles ont conduit a l’emergence d’un mo-dele concordant qui, s’il est economique d’un point de vue observationnel,reste cependant tres inconfortable d’un point de vue conceptuel. Il fait eneffet appel a des concepts comme ceux de l’inflation et de l’energie noiredont les theories classiques de la gravite ont bien du mal a rendre compte.L’elucidation de leur nature apparaıt clairement comme de nouveaux en-jeux de physique fondamentale apportes par la cosmologie.

1 Introduction

Les progres de la cosmologie observationnelle durant ces deux dernieres de-cennies ont ete considerables. Ils ont ouvert de nombreuses fenetres observation-nelles sur l’univers extragalactique. Ainsi l’univers profond a pu etre sonde danspratiquement toutes les longueurs d’onde, des ondes radio-millimetriques qui re-velent un fond micro-onde - dont la structure tres riche nous revele de nombreuxaspects de l’univers primordial - aux sursauts γ qui permettent d’illuminer lemilieu intergalactique en passant par les observations en optique qui offrent uneimage tres detaillee de la maniere dont se reparti la matiere aux tres grandesechelles.

La plupart des cosmologues modernes seraient certainement d’accord pourdire que ces progres ont place le modele standard de cosmologie sur des basesde plus en plus solides. Depuis la mise en evidence de l’expansion de l’universpar E. Hubble en 1929 [13], qui s’appuyait sur l’observation que les galaxies defaible luminosite presentaient un spectre systematiquement decale vers le rouge,l’idee que l’univers est effectivement en expansion s’est largement consolideepour conduire au modele cosmologique standard, au modele du ”Big-Bang”.Precisons tout de suite que le probleme de la naissance de l’univers est en faitau dela du champ d’investigation des theories standards de cosmologie. Nous yreviendrons dans la suite. L’idee centrale du modele du big-bang chaud est que

1

les proprietes physiques primordiales de l’univers ont rapidement evolue pendantles temps cosmologiques menant a une rapide decroissance de la temperature etde la densite de l’univers. Ce sont les consequences d’une telle decroissance quiconstituent le socle de notre comprehension de la cosmologie observationnelle.

La decouverte en 1965 du fond micro-onde par Penzias and Wilson [26] enest l’illustration la plus marquante. Ce fond revele en effet ce qui est identi-fie comme un reliquat incontournable de l’histoire thermique de l’univers, lebain de photons qui a du emerger au moment ou la temperature du plasmaa chute au dessous de la temperature de ionisation de l’hydrogene. De ce fait,cette decouverte refute quasi definitivement l’hypothese d’un univers statique ouquasi-statique et marque le debut de la cosmologie moderne. Le developpementdes outils conceptuels qui en a resulte permet d’inscrire l’ensemble des observa-tions extragalactiques presentes dans un cadre theorique solide. La presentationdes acquis, et des questions qui restent ouvertes, est precisement l’objet de cetexte.

Le plan de cet article est le suivant. La deuxieme section aborde les princi-paux aspects qui fondent historiquement les modeles cosmologiques et les decritsuccinctement : expansion de l’univers et principes cosmologiques conduisent a laconstruction de la metrique de Friedmann-Robertson-Walker et a l’identificationdes grandes etapes de l’histoire thermique de l’univers. Celles-ci permettent dedefinir les quelques observations cles qui historiquement ont soutenu la construc-tion de la cosmologie standard. Cependant la cosmologie moderne dispose denouveaux moyens d’investigation s’appuyant en grande partie sur l’etude desgrandes structures de l’univers. Ce sont ceux-ci qui permettent de passer d’unedescription qualitative a des mesures precises des parametres cosmologiques eta l’identification d’un modele concordant de cosmologie. Ces outils sont decritsen grande partie dans la troisieme section. Il reste que le modele concordant,loin d’etre une theorie complete, fait appel a des ingredients que l’on peine aidentifier dans les modeles standards de physique des particules et de gravite.Inflation, matiere noire, energie noire sont autant de concepts speculatifs dontles modeles modernes de cosmologie ne semblent pas pouvoir se passer. Nousverrons dans la quatrieme section ce qu’il en est.

2 Une description succincte de l’histoire ther-mique de l’univers

Avant d’entamer une modelisation mathematique des proprietes de l’universquelques remarques elementaires sur notre objet d’etude meritent d’etre faites.Si l’univers observable n’est pas homogene, sa metrique est quasiment partoutasymptotiquement plate. Pour s’en convaincre il suffit de garder a l’esprit que,sauf en de rares occasions, la lumiere se deplace sur des trajectoires essentiel-lement rectilignes. Les effets de lentilles gravitationnelles ne sont observes defait que sur de rares lignes de visee et ils trahissent de modestes fluctuations demetriques, de l’ordre de 10−5 tout au plus. Il est donc assez legitime de vouloir

2

parler des proprietes metriques globales de l’univers observable.Si en cosmologie standard les proprietes globales de l’univers sont suscep-

tibles d’evoluer avec le temps, l’univers n’en est pas moins suppose etre, dumoins statistiquement, isotrope et homogene. Ce sont les principes cosmolo-giques. Dans le cadre de la relativite generale cela implique que la metriquede l’univers observable doit etre de la forme d’une metrique de Friedmann-Robertson-Walker,

ds2 = c2 dt2 − a2(t)(

dx2

1− k x2+ dΩ2

)(1)

ou ds est l’element de longueur invariant de Lorentz, a(t) une fonction libre dutemps et k une constante. Dans cette notation, x sont les coordonnees dites co-mobiles. Si k est nul la partie spatiale de la metrique est plate, sinon la courburepeut etre positive ou negative selon le signe de k. Notons que cette relation estpurement locale1.

Une telle metrique ouvre la possibilite d’une expansion globale de l’univers.Ce qu’elle nous dit est que la distance entre objets au repos par rapport a l’en-semble de l’univers croıt comme a(t)2. Cette variation de distance, due au flot deHubble, se superpose bien sur a des variations de distance dues eventuellementaux mouvements propres des objets. (Notre galaxie par exemple n’est pas fixe.Elle bouge a une vitesse de l’ordre de 300 km/s comme des mesures de l’effetDoppler sur le fond cosmologique le montrent.) La vitesse de cette expansionest mesuree par la constante dite de Hubble,

H(t) =a

a. (2)

Revenons alors a l’observation de l’expansion de l’univers. Quand en 1929 E.Hubble constate que plus les galaxies sont lointaines plus leur spectre presenteun decalage vers le rouge important, il interprete cet effet comme un effet d’eloi-gnement, un effet Doppler. Ce decalage vers le rouge, qui sera appele ”redshift”

1Cette metrique est construite pour etre independante de la position et sans direction pri-vilegiee. Mais cela ne prejuge pas a priori de la topologie globale de l’univers. Meme quandk est nul ou negatif, l’univers peut tres bien etre de taille finie avec une topologie periodique(voir par exemple [17]). Notons que cela brise tout de meme l’isotropie globale de l’Univers.De telles conditions de periodicite n’ont pas de consequences sur la dynamique, sur la resolu-tion des equations d’Einstein, qui sont purement locales (c’est vrai aussi bien pour le facteurd’expansion, que pour la formation des structures, au moins tant que ces structures sont pluspetites que la maille elementaire). Par contre cette hypothese a des consequences observa-tionnelles des que l’on s’interesse aux proprietes statistiques des champs cosmiques : la memeportion d’univers se retrouve dans des directions differentes induisant de ce fait des proprietesstatistiques specifiques. Cette possibilite a en particulier ete evoquee pour expliquer certainesanomalies observees dans le spectre des anisotropies du fond diffus cosmologique [19].

2Precisons si besoin est que cela ne veut pas dire que toutes les distances croissent commea(t). La taille des objets macroscopiques, la distance terre-lune, la taille du systeme solaireet meme celle de notre galaxie pour donner des exemples precis sont determines par desconstantes physiques – interaction electromagnetique, constante de gravite, etc. – qui nechangent pas, meme sur des periodes cosmologiques. Ce qui change ce sont les distancesentre objets sans interaction entre eux.

3

dans toute la suite, apparaıt comme un deplacement des longueurs d’onde desraies d’emission (ou d’absorption) observees par rapport a celles mesurees enlaboratoire,

1 + z ≡ λobs.

λrepos. (3)

La relativite generale fournit une nouvelle interpretation de cet effet qui tientcompte de la courbure spatio-temporelle de la metrique. Imaginons en effet qu’ondetecte un signal lumineux (d’une galaxie lointaine) a un instant t0. On peutrelier le moment ou il a ete emis, t1, a la ”distance” comobile de la galaxie x1 enecrivant que les photons qui nous parviennent ont suivi une geodesique. Dansce cas tres simple celle-ci s’ecrit ds = 0 conduisant a

c2 dt2 − a2(t)dx2

1− k x2= 0. (4)

On en deduit que, ∫ t0

t1

dta(t)

=∫ x1

0

dx√1− k x2

. (5)

Si alors la galaxie emettrice est immobile, x1 independant du temps, deux eve-nements separes par un intervalle de temps δ t1 au moment de l’emission sontsepares d’un intervalle de temps δ t0 a la reception avec,

δ t0a(t0)

=δ t1a(t1)

. (6)

C’est cette dilatation des temps que l’on retrouve de maniere omnipresente encosmologie. On la retrouve au niveau des frequences electromagnetiques recues,les longueurs d’onde λ1 et λ0 sont donc reliees par

1 + z =λ0

λ1=a(t0)a(t1)

, (7)

qui redonne le redshift des objets, mais aussi dans toute autre manifestation donton peut mesurer l’echelle de temps (par exemple la decroissance radioactive dela luminosite des supernovae.)

Le redshift s’interprete donc simplement comme le rapport du facteur d’ex-pansion entre le moment de l’emission et le moment de la reception. Cetteidentification est d’ailleurs independante de la forme fonctionnelle de a(t), doncindependante des parametres cosmologiques. Cela signale au passage que le de-calage spectral n’est qu’improprement associe a un effet Doppler. Le redshiftne mesure pas la vitesse d’eloignement initial de l’objet emetteur, ax, mais di-rectement un element de metrique au moment de l’emission. En raison d’unepart de la relative facilite avec laquelle on peut mesurer les redshifts et du faitqu’ils sont directement lies au comportement du facteur d’expansion, ils sont lamesure de distance des objets lointains par defaut.

4

Les equations d’Einstein forment les equations du mouvement de ce systemeet permettent de relier les elements de la metrique et le contenu en matiere,densite d’energie et pression, de l’univers. Leur forme generale est,

Rµν −12gµνR− Λgµν = 8πGTµν (8)

ou Rµν est le tenseur de Ricci et R est le scalaire de Ricci, R = gµνRµν , et ouΛ est une eventuelle constante cosmologique. Dans le cas qui nous interesse,

R00 = −3(a

a− a2

a2

)− 3

a2

a2(9)

R0i = 0 (10)Rij = (2a2 + aa)δij (11)

et

R = 6(a

a+a2

a2

). (12)

Pour un univers homogene et isotrope, le tenseur energie-impulsion prend ne-cessairement la forme suivante,

Tµν =

−ρ 0 0 00 P 0 00 0 P 00 0 0 P

, (13)

ou la densite d’energie ρ et la pression locale P ne dependent que du temps.L’ecriture des equations d’Einstein donne alors les equations de Friedmann. Lapremiere s’ecrit,

a

a=

Λ3− 4πG

3

∑fluides

ρi + 3Pi, (14)

ou la somme porte sur chacun des fluides cosmologiques eventuellement presents.La seconde equation de Friedmann, qui en est l’integrale premiere compte tenuede la conservation de l’energie, est

H2 =Λ3

+8πG

3

∑fluides

ρi −k

a2. (15)

Cette derniere implique que H2 est proportionnel a la densite totale d’energiedans l’univers. Le dernier terme de droite fait apparaıtre la courbure spatialede l’univers qui pour la metrique (1) s’ecrit R = k/a2. On peut aussi remarquerque la constante cosmologique peut etre reinterpretee comme une nouvelle com-posante du fluide cosmologique. Cela revient a ecrire que le vide a une densited’energie ρvide et une pression Pvide donnes par,

ρvide = −Pvide =Λ

8πG. (16)

5

Sauf a supposer que la constante cosmologique est negative et compenseexactement la densite d’energie du reste de la matiere, il n’y a pas de raison depenser que H soit nul et donc que a soit independant du temps. Les densitessont alors usuellement donnees en unite de la densite dite critique,

ρc =3H2

8πG. (17)

Les parametres de densite reduits sont alors definis (y compris pour le videcosmologique) par

Ωi =ρi

ρc, (18)

Ωk = − k

a2H2, (19)

et la deuxieme equation de Friedmann devient,

1 =∑

i

Ωi + Ωk. (20)

On appelle usuellement Einstein-de Sitter un Univers ou la densite reduite dela matiere Ωm vaut 1, les autres etant nulles. Force est cependant de constaterque cela ne correspond pas a l’univers dans lequel on vit, lequel est mieux decritpar un modele avec une courbure spatiale negligeable, Ωk ≈ 0, et ou Ωm ≈ 0.3et la densite reduite associee a la densite d’energie du vide ΩΛ ≈ 0.7. Un desenjeux de la cosmologie moderne est precisement de comprendre l’origine de ceparametre. J’y reviendrai.

Evidemment une modification du contenu en energie de l’univers changel’evolution du facteur d’expansion (et incidemment l’age de l’univers). Cet effetest illustre sur la figure 1.

Il est aussi a noter que le terme de source de la premiere equation de Fried-mann, en ρ+ 3P , est inattendu en gravite Newtonienne. Il traduit le fait que lagravite relativiste peut etre induite non seulement par la densite locale d’ener-gie mais aussi par la densite locale de pression3. Cela ouvre une toute nouvellephenomenologie dont on verra l’importance aussi bien pour expliquer l’inflationque pour le probleme de l’energie noire.

Si l’effet des decalages vers le rouge est omnipresent, une consequence nonmoins importante de cette expansion est que, si bien sur matiere et energie sontconservees, leurs densites doivent inevitablement decroıtre au cours du temps.Il est assez simple de voir que la conservation de l’energie implique que cettedecroissance doit se faire comme,

ρm ∝ a−3, (21)

pour la matiere ou comme,ρrad. ∝ a−4, (22)

3Cela peut s’interpreter microscopiquement comme etant du au mouvement relativiste desparticules qui composent le fluide cosmologique.

6

0.5 0. 0.5 1. 1.5 2.H0t origine des temps aujourd'hui0.

0.5

1.

1.5

2.

2.5

at

Fig. 1 – Evolution temporelle du facteur d’expansion pour differents modelescosmologiques. Les tirets longs correspondent a un modele plat avec Ωm =0.3,ΩΛ = 0.7, les autres cas sont sans constante cosmologique : la ligne continuecorrespond a un modele Einstein-de Sitter (k = 0), les tirets courts a un universouvert (k = −1) avec Ωm = 0.3 et les pointilles a un modele ferme (k = 1) avecΩm = 2,

pour le champ de radiation. Une telle evolution des proprietes physiques del’univers ne peut qu’avoir de nombreuses consequences. La cosmologie standardest dans une large mesure la confrontation de ces consequences aux donneesobservationnelles.

On s’attend ainsi a ce qu’au cours du refroidissement l’etat physique de l’uni-vers change au travers de diverses transitions de phase. Elles sont resumees surla figure 2 qui presente la chronologie des principales etapes de l’histoire ther-mique de l’univers. Si une extrapolation de la densite actuelle de l’univers versdes densites un peu plus grandes ne pose pas trop de problemes, quand celles-ciatteignent de grandes valeurs, inaccessibles aupres des accelerateurs, les phe-nomenes attendues deviennent tres speculatifs. En particulier le mecanisme debaryogenese reste mysterieux, l’inflation est une ere extremement speculative...D’un autre cote la nucleosynthese primordiale et la physique de la recombinaisonsont les resultats bien etablis d’une physique de relativement basse energie. Ilsapportent les meilleures preuves observationnelles en faveur du modele standardde cosmologie.

La nucleosynthese primordiale (en anglais big-bang nucleosynthesis, BBN)decrit le gel des reactions nucleaires quand la temperature des fluides cosmiquesdecroıt permettant la formation de noyaux lourds par la capture de protons oude neutrons dans un plasma originellement fait de protons de neutrons et d’elec-trons. Il faut remarquer incidemment que ce sont des processus hors d’equilibre.La cinetique de ces reactions est cependant bien connue ; le resultat final va de-pendre directement de la cinetique du gel et donc de la valeur de H au momentde celui-ci. Que la BBN puisse expliquer la fraction de masse d’helium observee,

7

Facteur d’expansionPhases de l’histoire

thermique

Echelle de Planck

G.U.T. inflation

Brisure de symétrie

Electrofaible

Baryogenèse ?

Découplage des

neutrinos

Nucléosynthèse

primordiale

Découplage des photons

(CMB)

Formation des grandes

structures

]exp[~ Hta

2/1~ ta

a ~ t 2 / 3

TemperatureTemperature dede reheatingreheating 10101414 GeVGeV

Equivalence, z ~ 10 000Equivalence, z ~ 10 000

100100 MeVMeV

11 MeVMeV

Fig. 2 – Chronologie des evenements principaux qui ont du avoir lieu au coursde l’histoire thermique de l’univers (a droite) et le comportement du facteurd’expansion a ces differentes epoques (a gauche).

8

Fig. 3 – Temperature du fond diffus cosmologique mesuree a partir de fluxde photons radio-millimetrique pour des longueurs d’onde variant entre 0,3 et2 mm. La temperature mesuree est remarquablement constante soulignant lanature Planckienne de la distribution d’energie de ce fond cosmologique. D’apres[20].

avec une precision raisonnable, est donc un resultat tout a fait non trivial etdoit etre porte au credit du modele du big-bang chaud. Qui plus est le scenariode la BBN a ete recemment renforce. Celui-ci ne peut marcher que pour unensemble restreint de valeurs de la densite numerique de noyaux par photons.Jusqu’a recemment cette densite ne pouvait etre obtenue qu’avec des mesurespeu fiables au sein des galaxies ou des amas de galaxies. Elle a ete determineede maniere beaucoup plus robuste avec les observations des oscillations acous-tiques du spectre des anisotropies du fond diffus cosmologique. L’accord entreces deux approches est des plus rassurants pour les tenants du modele standardde cosmologie !

La recombinaison est l’etape pendant laquelle la temperature du plasmadescend sous la temperature de ionisation des noyaux. Comme la densite d’elec-trons libres chute brutalement, les photons se propagent librement. Ces photonsforment alors le fond diffus micro-onde (Cosmic Microwave Background - CMB).Dans ce contexte on s’attend a ce que la distribution d’arrivee de ces photonssoit pratiquement isotrope et que leur distribution d’energie suive celle d’uncorps noir quasi parfait. Toutes ces proprietes ont bien ete observees ! Cela sug-gere fortement l’existence passee d’un plasma a l’equilibre thermique. Mieux,les observations recentes des anisotropies de ce fond diffus nous ont apportedes indications precieuses sur les proprietes de ce plasma, en particulier sur cequ’on appelle ”la vitesse du son” associee au plasma c’est a dire la vitesse dedeplacement d’une perturbation qui s’y propage. Dans quelle mesure une telleobservation a pu etre faite est precisement l’objet de la section suivante.

9

3 De la structuration de l’univers

Traditionnellement les trois piliers sur lesquels se fondent la cosmologie stan-dard sont l’expansion de l’univers, l’existence d’un fond diffus cosmologique etla nucleosynthese primordiale. Ces observations etablissent la pertinence de l’ex-pansion globale de l’univers, cependant l’emergence d’une cosmologie de preci-sion, qui permet depuis peu de veritablement mesurer les parametres cosmolo-giques, repose beaucoup plus largement sur l’analyse des grandes structures del’univers.

Precisons un peu les choses. Comme il a ete dit precedemment, sauf a de tresrares exceptions, les fluctuations de metriques sont generiquement tres faibles(quand bien meme les fluctuations de densite relative peuvent y etre tres im-portantes). On s’autorise donc a lineariser les perturbations de la metrique. Cefaisant on est conduit a distinguer 3 types de perturbations, les perturbationsscalaires, les perturbations vectorielles et les perturbations tensorielles. Ces der-nieres se propagent librement et n’ont pas de sources autres que des objets astro-physiques tres compacts. Un fond d’ondes gravitationnelles a pu cependant etregenere pendant la phase inflationnaire. Nous y reviendrons. Les modes vecteurssont encore plus discrets. Ils sont en effet dilues par l’expansion de l’univers. Ilreste les modes scalaires qui, au travers des equations de Poisson generalisees, secouplent aux fluctuations de densite. J. M. Bardeen, dans une etude tres com-plete, [1], a clairement montre que deux degres de liberte subsistent une fois lesdegres de liberte de jauge supprimes. Il est alors possible d’ecrire la metriquesous la forme,

ds2 = (1 + 2Φ(x, t)) c2dt2 − a2(t) (1− 2Ψ(x, t)) dx2 (23)

ou les potentiels Ψ et Φ generalisent le potentiel gravitationnel Newtonien. Ilss’identifient tous les deux a celui-ci pour des echelles plus petites que l’horizon.

Evidemment en contre partie de ces potentiels gravitationnels on trouve dansles champs de matiere des fluctuations de densite, δ, relativement importantes.Celles-ci, quand elles s’etendent sur des echelles plus petites que l’horizon sontreliees au potentiel gravitationnel a travers l’equation de Poisson cosmologique,

∆Φ = 4πGa2 ρ δ. (24)

Ces fluctuations sont d’autant plus faibles que les echelles sont grandes4. C’est cequ’on appelle les grandes structures de l’univers, materialisees pour la premierefois dans les grands releves extragalactiques du milieu des annees 80 [8]. Cesfluctuations de densite atteignent encore une amplitude de l’ordre de l’unitea une echelle de 10 Mega parsecs5. Plus precisement on definit le spectre desfluctuations de densite, P (k), amplitude moyenne des modes de Fourier de ces

4C’est evidemment un resultat attendu dans un univers qui doit etre homogene a grandeechelle. Cependant on ne peut pas parler de longueur de correlation finie, les correlations dedensite decroissant toujours en loi de puissance aux echelles accessibles les plus grandes.

51 parsec = 3,26 annee lumiere

10

source plane

ξ

α

β

Geodesics

Observer

Fig. 4 – Schema montrant les quantites geometriques de l’equation (25).

fluctuations6. Les mesures et interpretations de ces spectres sont au coeur de laproblematique des grandes structures de l’univers.

Comment donc mesurer precisement ces variations locales de densite ? Lapropagation de rayons lumineux dans un espace temps devenu faiblement inho-mogene nous offre des elements de reponse.

3.1 Sonder les grandes structures de l’univers

Le moyen le plus direct de sonder les grandes structures de l’univers estencore de faire des releves extragalactiques profonds et simplement compter lenombre de galaxies detectees dans differentes regions de l’espace. Cette me-thode permet evidemment d’apprecier la maniere dont se repartit la matiereaux grandes echelles mais souffre d’une limitation importante, on ne detecteque ce qu’on voit, que ce qui a une contrepartie lumineuse. Pour contourner ceprobleme, il est possible de s’appuyer sur les effets de lentille gravitationnelle.Je vais m’attarder un peu sur cette approche, devenue depuis peu un moyenincontournable pour explorer les grandes structures de l’univers. Qui plus est,un calcul rigoureux des effets de lentille permet au passage d’obtenir une autrequantite omnipresente en cosmologie observationnelle, la distance angulaire.

L’outil mathematique qui nous interesse ici est la forme d’un objet lointain6Plus precisement, on definit les modes de Fourier des fluctuations de densite, δ(x) =∫

dk/(2π)3 δ(k) exp(ik.x) alors les modes de Fourier sont independants pour un univers statis-

tiquement homogene et le spectre de puissance est defini par⟨δ(k)δ(k′)

⟩= δDirac(k+k′) P (k).

11

percu a travers un milieu dont la metrique est donnee par l’equation (23) ades echelles plus petites que l’horizon. Suivant7 l’approche de Sachs [33] onconsidere deux geodesiques proches L et L′ d’un rayon lumineux se propageantdans une telle metrique. On appelle αi la distance angulaire bi-dimensionnelleentre les deux geodesiques au moment ou elles convergent sur l’observateur ; αrepresente donc la distance angulaire apparente des deux evenements observes.On appelle ξi(z) la distance reelle, physique, entre L et L′ au redshift z (voirFig. 4). Cette distance est definie de maniere non-ambigue ici, les photons nerapprochant toujours de l’observateur8. On suppose aussi que les deflections sontsuffisamment petites pour pouvoir faire une approximation des petits angles,

ξi(z) = a Dij(z) αj , (25)

c’est a dire que l’on suppose que le vecteur position ξi peut etre obtenu parune simple transformee lineaire des coordonnees angulaires. Pour un espacehomogene la matrice Dij(z) sera diagonale et par definition proportionnellejustement a la distance angulaire D0(z), c’est a dire Dij(z) = D0(z) δK

ij ouδKij est le symbole de Kronecker.

De fait D0(z) est la distance angulaire comobile, a D0(z) etant la distancea laquelle doit se trouver un objet de taille ξ s’il est vu sous un angle α dansune metrique de Minkowski. La distance angulaire dans un espace homogenes’obtient simplement en ecrivant le comportement de δx le long d’une geodesiquedonc le long d’une trajectoire le long de laquelle ds = 0. L’equation (1) donnealors la relation, ∫ t0

t

dt′

a(t′)=∫ D0

0

dx√1− kx2

, (26)

ou t0 est le temps present. On obtient ainsi formellement la distance comobiled’un objet dont la lumiere emise au temps t nous parvient aujourd’hui. Ecriteen terme de quantites reduites celle-ci s’ecrit,

D0(z) =c

H0

√1− Ωm − ΩΛ

Sik

[√1− Ωm − ΩΛ

∫ z

0

H0dz′

H(z′)

], (27)

ou Sik est un sinus quand la courbure spatiale k est positive, est l’identite quandk = 0 et est un sinus hyperbolique quand k est negatif. C’est la dependance enredshift de cette fonction qu’on peut mesurer par l’evolution de la luminositedes supernovae.

Pour un univers inhomogene, Dij n’est pas diagonale et change en fonctiondu redshift le long de la trajectoire. La matrice d’amplification A definie par,

A−1(z) =Dij(z)aD0(z)

. (28)

7Un traitement tres complet d’optique geometrique en relativite generale peut etre trouvel’ouvrage de Misner, Thorne and Wheeler [22].

8Ce n’est pas forcement le cas quand on a un deflecteur fort le long de la ligne de visee.Un photon peut ainsi faire le tour complet d’un trou noir avant de revenir vers l’observateur.

12

decrit alors la maniere dont va etre deforme un objet situe au redshift z parrapport au cas homogene.

L’equation des geodesiques appliquee a deux trajectoires proches fait inter-venir la courbure locale. L’equation maıtresse qui decrit l’evolution de la matriceDij s’ecrit alors [33],

d2[a Dij(~β, z)]dη2

= a(z)Rik(~β, z) Dkj(~β, z) (29)

ou les derivees temporelles sont prises par rapport au temps conforme η, dη =a dt defini ici de telle facon que η(z = 0) = 0 et avec les conditions aux limites,

(Dij)z=0 = 0;(

dDij

dη

)z=0

=c

H0, (30)

et la matrice Rij , directement liee au tenseur de Ricci, contient les effets decourbure qui peuvent s’exprimer en fonction du potentiel gravitationnel Φ (dansle cas qui nous interesse Ψ = Φ, cf Eq. 23),

Rij = −32

(1 + z)5 Ωm δKij −

2H2

0 a2

(Φ,11 Φ,12

Φ,21 Φ,22

). (31)

Ici Φ,ij sont les derivees du potentiel par rapport aux coordonnees angulaires(si on se souvient que 8πGρa3 = 3H2

0 Ωm). On obtient alors une equationnonlineaire que l’on peut resoudre ordre par ordre. L’ordre lineaire decrit l’effetd’une lentille isolee ou d’une collection de lentilles faibles. On suppose que l’onpeut developper Dij(z) par rapport a la metrique9,

Dij(z) = D0 +D(1)ij + . . . (32)

et alors D(1)ij est donne par

D(1)ij (~β, z) = −3 Ωm

∫ z

0

dz′

H(z′)1√

1− Ωm − ΩΛ

×

×Sik

[√1− Ωm − ΩΛ

∫ z′

z

dz′′

H(z′′)

](1 + z′)D0(z′)ϕ,ij(z′). (33)

Cette expression peut etre reecrite en introduisant la distance physique χ le longdes lignes de visee ce qui donne pour l’expression de la matrice d’amplification,

A−1(z) = Id− 3 Ωm

(c/H0)2

∫ χ(z)

0

dχ′D0(z′, z)D0(z′)

D0(z)(1 + z′)Φ,ij(z′), (34)

ou les distances angulaires D0(z) and D0(z, z′) sont comobiles. Cette equationdonne de fait la matrice d’amplification affectant l’image d’un objet d’arriere

9L’ordre lineaire revient a ecrire que la deformation du faisceau lumineux peut etre calculeesur la trajectoire non perturbee des photons. C’est l’approximation dite de Born.

13

Fig. 5 – Detection d’une correlation de forme de galaxies d’arriere plan a desechelle de quelques minutes d’arc. Le releve utilise couvre une dizaine de degrescarres et contient plusieurs centaines de milliers d’objets a un redshift moyen de0.9. Le signal de correlation est decompose en deux parties, une partie scalaire(partie dite ”electrique”, points pleins) correspondant au signal cosmologiqueattendu et une partie pseudo scalaire (partie dite ”magnetique”, points creux) alaquelle les fluctuations de densite cosmologique ne doivent pas contribuer et quisigne donc l’amplitude des bruits et des effets systematiques pouvant affecter lamesure. D’apres [40].

plan vu au travers d’un espace inhomogene. C’est une equation importante. Ellemontre qu’une quantite accessible aux observations, la matrice d’amplification,d’une part a des proprietes geometriques specifiques (ses elements derivent d’unpotentiel et figure 5) et d’autre part permet de sonder les variations du potentielgravitationnel dans l’univers. L’effet mesure s’ecrit comme la superposition d’ef-fets de lentille des differentes couches de masse se trouvant sur la ligne de visee.Quand on ne dispose que d’un plan source on ne peut avoir acces qu’aux effetscumules (ce qui est deja extremement precieux !) sur les lignes de visee. Desmesures avec de multiples plan sources permettraient en principe de faire uneveritable tomographie, une reconstruction tridimensionnel, du potentiel gravi-tationnel aux grandes echelles de l’univers.

Si la relation 34 ouvre la voie a la mesure d’effets de lentille gravitationnellepar les grandes structures de l’univers a partir de mesure de forme de galaxies,sa mise en oeuvre n’a pu etre faite que recemment. Ces effets gravitationnellessont certes assez communs dans la direction d’amas de galaxies, les deformations

14

induites par les amas pouvant etre infiniment grande avec la creation d’imagesmultiples et d’arcs geants donnant naissance a des images tres spectaculaires10.Que de tels effets soient detectables dans n’importe quelles directions du ciel estun resultat plus remarquable [21]. La les effets sont evidemment plus faibles.Cependant la densite numerique de galaxies detectables sur des poses profondespeut atteindre plusieurs dizaines par minute d’arc carree. Elle est telle que memedes deformations modestes, de l’ordre de quelques pourcent, peuvent etre detec-tee si elles sont coherentes sur une echelle assez grande. De fait des coherencesde forme de galaxies detectees dans des poses profondes, galaxies qui se trouventalors a des redshifts de l’ordre de 1, ont pu etre detectees sur des echelles del’ordre d’une minute a quelques dizaines de minutes d’arc (Fig. 5). Ces effetssont interpretes comme des effets de lentille faible induits par l’ensemble desgrandes structures de l’univers. Plus precisement les correlations de forme desgalaxies permettent de mesurer le cisaillement local, lequel est directement reliea la densite de masse projetee le long de la ligne de visee, entre sources et obser-vateur. C’est donc une veritable cartographie des grandes structures de l’universque permet cette technique. Que peut-on alors observer ?

3.2 La croissance des instabilites gravitationnelles

Les equations d’Einstein permettent evidemment de relier les potentiels ap-paraissant dans (23) aux fluctuations de densite et de pression dans le fluidecosmologique. L’ecart entre ces deux potentiels est proportionnel a la pressionanisotrope dans le fluide. Celle-ci est generalement faible et n’est non nulle quelorsque des particules relativistes du fluide cosmologique peuvent se decouplerde la matiere. C’est le cas en premier lieu des neutrinos mais ils n’induirontqu’un ecart faible entre les deux potentiels. Pour notre choix de jauge l’equationde Poisson generalisee qui vient alors est formellement de la forme habituelle [1],

∆Φ = 4πGa2 ρDtotal (35)

avec un contraste de densite generalise qui contient un terme venant du contrastede densite d’energie totale local δtotal et un terme venant du flux d’energie

Dtotal = δtotal + 3a′

a(1 + Ptotal/ρtotal)ΦVtotal . (36)

ou les derivees temporelles sont prises par rapport au temps conforme η (dη =dt/a(t)) et ou ΦVtotal est le potentiel dont derive le champ de vitesse. Le deuxiemeterme ne joue de role qu’a des echelles comparables ou plus grandes que l’horizonet le contraste de densite generalise s’identifie au contraste de densite habituelaux petites echelles11.

Tout le calcul du developpement des instabilites gravitationnelles consistedonc a examiner la croissance de ces contrastes de densite pour les differentsfluides cosmologiques.

10Le premier arc gravitationnel a ete detecte a la fin des annees 80, [37].11Notons que les contrastes de densite δ ne sont de toute facon pas invariants de jauge. Il

existe en fait un choix de jauge, la jauge dite synchrone, ou les flots de vitesse sont nuls et

15

Fig. 6 – Evolution comparee des fluctuations de densite de matiere noire, ∆c,de baryon, ∆b, et de radiation, ∆γ , pour un choix donne de jauge en fonctionde a/a0 ≡ 1/(1 + z). Pour ce choix de longueur d’onde, de l’ordre de 100 kpc,on observe le taux de croissance differencie pour les differentes eres de l’histoirethermique de l’univers. On voit ainsi successivement, l’evolution adiabatiqueconjointe des densites d’energie quand la longueur d’onde est plus grande quel’horizon, les oscillations plasma dans le fluide de photons et de baryons, leseffets de l’amortissement de Silk et enfin la chute des baryons dans les puits depotentiel de la matiere noire apres la recombinaison (figure tiree de la these deW. Hu, [12]).

16

L’equation maıtresse qui determine le comportement de ces instabilites prendgeneriquement la forme suivante, H ≡ a′/a,

D′′totk +HD′tot

k =32H2Dtot

k − c2s k2Dtotk , (37)

ou Dtotk est le densite de contraste generalise total pour une longueur d’onde k.

Le terme de droite contient deux contributions, celle venant des forces de gra-vite et celle venant des forces de pression. Celle-ci depend de la vitesse carreedu son dans le fluide, c2s = δP/δρ. Les solutions de cette equation dependentevidemment de cs et il existe une taille critique, la longueur de Jeans, en deca delaquelle les forces de pression empechent le developpement des instabilites gravi-tationnelles. Le calcul des spectres de densite ou d’anisotropies de temperaturerepose des lors sur la determination du taux de croissance des perturbationspendant que le contenu de l’univers, et donc cs, change. Remarquons enfin queces calculs sont faits a l’ordre lineaire dans un developpement perturbatif parrapport aux fluctuations de metrique. Ils sont donc a priori valables avec uneconfortable precision, a 10−5 pres. Si cette equation est valable pour le contrastede densite total, des equations similaires peuvent etre obtenues pour chacunedes composantes du fluide a condition de tenir compte des couplages entre lesdifferentes composantes du fluide.

Un exemple de comportements de tels taux de croissance est donne sur lafigure 6, qui correspond a un mode de tres petite longueur d’onde. On y observedifferentes sequences dans la croissance des instabilites. Tant que la longueurd’onde est plus grande que l’horizon, kη 1, les contrastes de densite se com-portent tous de la meme facon : la microphysique, par nature causale, n’a pasencore pu jouer de role. Les sequences suivantes dependent de la microphysique.Tant que le couplage entre photons et electrons est fort ceux-ci evoluent en-semble et le plasma qu’ils forment a une echelle de Jeans comparable a la taillede l’horizon. Les instabilites y developpent alors des oscillations acoustiques mo-dulees en cs k η. Dans le meme temps les fluctuations de densite dans le fluide dematiere noire ont une croissance limitee tant que la densite d’energie est sous-dominante (la solution croissante de l’equation (37) sans terme de source esten log(a)), elle est proportionelle a a apres l’equivalence. Par la suite, apres ledecouplage, les baryons liberes tombent litteralement dans les puits de potentielde la matiere noire. On voit ici l’importance d’une composante de matiere noirefroide (e.g. non relativiste) pour soutenir le developpement des instabilites gra-vitationnelles aux petites echelles. Cette importance cosmologique de la matierenoire froide avait ete reconnue des le debut des annees 80 [25, 7].

Que peut-on alors observer ? La forme du spectre des fluctuations de densitedepend de la maniere dont les instabilites de densite ont cru au cours du tempspour les differentes echelles. Le spectre des fluctuations de densite depend dela forme du spectre de densite primordial multiplie par le comportement desinstabilites,

Pmat.(k) =[Dmat.

k

]2P prim.(k) (38)

donc ou D s’identifie au contraste de densite.

17

0.01 0.1 1 10k Mpc

0.00001

0.0001

0.001

0.01

0.1

Pk

Fig. 7 – Comportement attendu du spectre de fluctuation de matiere pourdifferentes cosmologies. En trait continu, un modele CDM avec de la matierenoire froide Ωm = 0.3 et constante cosmologique, en tirets courts un modeleHDM avec de la matiere noire chaude (type neutrinos massifs) et en tirets longun modele CDM avec Ωm = 1. La coupure du spectre aux petites echelles estexponentielle pour un spectre HDM, elle est en loi de puissance (avec correctionlogarithmique) pour un spectre CDM. Et comme on peut le constater la coupuredu spectre a lieu pour des echelles d’autant plus petites que Ωm est plus grand,l’equivalence ayant lieu plus tot. Dans cette figure on a suppose P prim.(k) ∝ kavec une normalisation arbitraire.

Comme on vient de le voir, le comportement du spectre qui en resulte dependde maniere critique du contenu en matiere de l’univers. Dans tous les cas onaura une coupure vers les petites longueurs d’onde mais cette coupure dependtres fortement de la presence de matiere noire et du comportement de celle-ci,relativiste ou non, au moment de la recombinaison. La figure 7 montre le com-portement generique du spectre de fluctuation en presence d’une matiere noirechaude, relativiste (en anglais Hot Dark Matter soit HDM) ou d’une matierenoire froide, non relativiste (en anglais Cold Dark Matter, CDM). On va voirque les observations favorisent clairement la deuxieme hypothese.

Une autre grande fenetre observationnelle des instabilites gravitationnellesconcerne les anisotropies de temperature du fond diffus cosmologique. Quand ontranscrit ces resultats en termes de fluctuations de temperature ou de metriques,ces fluctuations donnent naissance aux anisotropies de temperature du fonddiffus cosmologique. Celles-ci s’ecrivent

∆TT

(η0, γ) =∆TT

(η∗, γ) + Φ(η∗, γ) +∫ η0

η0

dη(∂ψ

∂η+∂φ

∂η

). (39)

Ces dernieres sont en fait la superposition de differents effets : les fluctua-tions de temperature intrinseques sur la surface de derniere diffusion, les fluctua-tions de metrique au travers des effets Doppler gravitationnels et du mouvementpropre du plasma le long des lignes de visee responsable de l’effet Doppler ci-

18

netique. La courbe des Cl (amplitude des modes dans une decomposition enharmoniques spheriques) qui en resulte est en trait continu sur la figure 10, quiconfrontent ces predictions aux observations du satellite WMAP. Nous revien-drons sur ces resultats dans la suite. L’accord entre les predictions theoriqueset les observations est frappant. Ces observations permettent de litteralementvisualiser le developpement des oscillations acoustiques dans le plasma avant larecombinaison. De fait on accede ainsi a une mesure de la vitesse du son a cemoment la et incidemment a la fraction de baryons dans l’univers. Qui plus estla taille angulaire de ces figures detectees sur la surface de derniere diffusiondonne la distance angulaire qui nous separe de celle-ci. Une information cosmo-logique tres precieuse. Celle-ci depend essentiellement de la courbure spatiale del’univers. C’est de la que vient la meilleure contrainte que l’on ait sur celle-ci.

4 L’emergence d’un modele cosmologique concor-dant

Peut-on trouver un modele cosmologique qui satisfasse l’ensemble des don-nees observationnelles disponibles ? La reponse a cette question etait loin d’etreevidente il y a seulement quelques annees. Les donnees les plus solides pour ladetermination des parametres cosmologiques, evolution de luminosite des super-novae 1a, anisotropies de temperature du fond diffus cosmologique et grandesstructures de l’univers, permettent aujourd’hui de presenter un modele cosmo-logique concordant.

4.1 Les Supernovae 1a

L’evolution de la luminosite des supernovae permet de contraindre directe-ment l’evolution de la distance angulaire (plus precisement de la distance lu-mineuse mais les deux ne different que d’un facteur 1 + z) jusqu’a des redshiftde l’ordre de 1. Dans le passe de nombreux indicateurs geometriques permet-tant d’arpenter ainsi l’univers ont ete proposes. On a pense un moment que lecomptage des galaxies a grand redshift pourrait permettre de mesurer l’evolu-tion cosmologique des volumes comobiles. Il se trouve que les effets d’evolutiondans la population des galaxies sont plus importants que les effets recherchesrendant la methode pratiquement inefficace. Les supernovae de type Ia semblentetre finalement les objets les plus appropries pour faire ce type de mesure, leurluminosite absolue variant peu et pouvant etre recalibree12. Des campagnes derecherche de ces objets ont ete menees depuis quelques annees essentiellement

12On ne connaıt pas precisement les mecanismes amenant la formation des SNs 1a. Dans lemodele le plus couramment avance l’explosion de ces objets serait due a l’accretion lente dematiere par un progeniteur stellaire de type naine blanche dont la masse depasserait finalementla masse critique de Chandrasekar. L’energie liberee dans l’explosion qui en resulte devraitdonc etre pratiquement identique d’un evenement a un autre. Il reste que nous ne sommes pasa l’abri d’un effet d’evolution du par exemple a l’evolution de la metallicite a grand redshift.

19

14

16

18

20

22

24

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.25,0.750.25, 0 1, 0

redshift z

Supernova Cosmology ProjectKnop et al. (2003)

Calan/Tololo& CfA

SupernovaCosmologyProject

effe

ctiv

e m

B

ΩΜ , ΩΛ

Fig. 8 – Diagramme de Hubble obtenu par l’observation de la luminosite desupernovae lointaines. L’evolution de la diminution de luminosite de ces objetsavec le redshift permet de distinguer entre modeles cosmologiques. [28]

par deux groupes le High Z supernovae Team, [31, 32] et le Supernovae Cos-mologie Project [27]. Le resultat des observations du SCP, tel qu’il etait connuen 2003, est resume sur la figure 8. Ces donnees sont l’indication la plus directe(mais pas forcement la plus robuste) en faveur de l’existence d’une constantecosmologique.

4.2 Les grandes structures de l’univers

Les grandes structures de l’univers constituent d’un autre cote un ingredientessentiel des modeles cosmologiques. Comme on l’a vu, le contenu en matierede l’univers influe directement sur le developpement des instabilites. Les pre-miers releves des grandes structures ont ete faits dans les annees 80 a partir demesures systematiques de redshifts de galaxies. Les plus grands releves dispo-nibles aujourd’hui sont toujours bases sur le comptage de galaxies, avec toutesles incertitudes que posent la representativite des celles-ci vis-a-vis du champde matiere sous-jacent. Cependant depuis quelques annees on dispose d’obser-vations directes des champs de distorsion gravitationnelle (comme decrit dansla section 3.1, qui tracent directement le champ de masse). Le resultat de cesobservations est presente sur la figure 9 et montre une coherence de ce typed’observations en tout cas au niveau de la forme du spectre de fluctuations.Cette figure doit etre rapprochee de la figure 7. La forme du P (k) observe vaclairement dans le sens de l’existence de matiere noire froide.

20

Fig. 9 – Les spectres de fluctuations de densite obtenus a l’aide de traceurs varies– catalogues de galaxies, densite numerique d’amas, mesures des distorsionsgravitationnelles cosmologiques et a partir des nuages Lyman-α – compares ace qu’on peut attendre de la mesure des anisotropies de temperature du CMBdans un modele Λ–CDM [39].

Fig. 10 – Le spectre angulaire les anisotropies de temperature mesure parWMAP[3].

21

Fig. 11 – Concordance des observations dans le plan Ωm−ΩΛ. Les lignes d’aged’univers constant y sont figurees (pour une valeur de la constante de Hubbledonnee, 1Gy = 109 annees). Le modele favorise est clairement un modele avecconstante cosmologique et une densite de matiere significativement inferieure ala densite critique.

4.3 Les anisotropies du fond diffus cosmologique

La mesure des anisotropies de temperature du fond diffus est incontesta-blement l’outil le plus riche et le plus robuste dont dispose la cosmologie ob-servationnelle. Comme on l’a vu les temperatures observees representent uninstantane du ciel au moment de la recombinaison. Le spectre observe permetde determiner un certain nombre de parametres cosmologiques. Ainsi la positionangulaire des pics acoustiques, (oscillations du spectre qui sont la trace visibledes oscillations acoustiques qui se developpent a la traversee de l’horizon) permetde mesurer la distance angulaire de la surface de derniere diffusion ; l’amplituderelative des pics donne la quantite de baryons ; la forme des pics donne uneinformation sur la phase relative des oscillations et donc des contraintes sur ladensite globale de l’univers, etc.

22

4.4 Le modele concordant

L’ensemble de ces observations ont conduit les cosmologues a elaborer un mo-dele « concordant » de cosmologie. Celui-ci reconcilie un vaste nombre d’obser-vations et de contraintes, releves de supernovae, anisotropies du CMB, grandesstructures de l’univers bien sur mais aussi age des etoiles les plus vieilles, frac-tion de baryons dans les amas, etc. Et s’il n’a pas droit au qualificatif de «standard » c’est sans doute parce qu’en depit d’etre economique d’un point devue observationnel, il est tres inconfortable d’un point de vue conceptuel ! Lesparametres fondamentaux de ce modele sont,

– H0 = 71 ± 4 km/s/Mpc ;– Ωmh

2 = 0.135 +0.008 -0.009 ;– Ωbh

2 = 0.0224 ± 0.0009 ;– Ωtot. = 1.02 ± 0.02.

La coherence des donnees liees aux grandes structures repose de plus sur unchoix de forme pour le spectre des fluctuations de metrique primordiales. Lesdonnees sont en fait compatibles avec un spectre en loi de puissance, P (k) ∼ kns

avec– ns = 0.97 ± 0.03

a la longueur d’onde k0 = 0.05 Mpc−1, compatible avec un spectre invariantd’echelle13, i.e. ns = 1.

Soulignons une fois de plus que ce modele apporte une image coherente pourles grandes structures de l’univers, des fluctuations de temperature du CMB surla surface de derniere diffusion aux catalogues de galaxies a bas redshift (voirFig. 11).

Il apparaıt aussi clairement des chiffres cites plus haut que ce modele re-pose largement sur l’existence d’une composante substantielle de matiere noire.Cette composante est essentielle pour expliquer la forme du spectre de densitede la matiere (une des raisons a cela peut etre extraite de la figure 6 : la ma-tiere noire soutient la croissance des structures aux petites echelles. Ce sont lespuits de potentiel qui se sont formes dans le fluide de matiere noire qui serventde germes aux structures visibles aujourd’hui.) Les evidences en faveur d’uneconstante cosmologique (Ωtot. > Ωm) sont sans doute moins incontournables.Elles dependent en partie des hypotheses que l’on doit faire sur la forme duspectre des fluctuations primordiales ou encore sur une physique stellaire, celledes Supernovae, assez mal connue.

4.5 Le modele cosmologique standard a l’epreuve

Si le scepticisme doit etre une regle en science, force est de se demander si onpeut tester le modele cosmologique standard plus avant. Ainsi dans le modelecosmologique standard les grandes structures de l’univers emergent par instabi-lite gravitationnelle, c’est a dire a partir de fluctuations de metriques initialesqui amplifiees finissent par se transformer en objets lies gravitationnellement. La

13un tel spectre correspond a des fluctuations de metrique dont l’amplitude ne depend pasde l’echelle.

23

Fig. 12 – Dependance angulaire de la fonction de correlation a trois pointsmesuree dans le catalogue PSCz pour des triangles avec 0.2 ≤ k1 ≤ 0.4 h/Mpcet avec deux cotes de rapport de longueur k2/k1 = 0.4 − 0.6 et separes par unangle θ. Voir [9].

confrontation entre les donnees issues du CMB et celles issues des grandes struc-tures, figure 9, est de ce fait essentiellement un test du taux de croissance lineairedes fluctuations de densite. Mais avec la croissance des contrastes de densite denouvelles signatures observationnelles peuvent etre envisagees. Les couplages demodes induisent en particulier des proprietes non-gaussiennes dans les champsde densite qui peuvent etre explicitement mesurees (voir [4]).

Cette image de formation des grandes structures par instabilite gravitation-nelle implique que le terme dominant a grande echelle pour la fonction de cor-relation a trois points du champ de densite prenne une forme specifique pourdes perturbations de densite initiale suivant une statistique gaussienne. Et eneffet sur la figure 12 le spectre mesure est compare avec succes aux predictionstheoriques. Cela renforce le paradigme de formation des grandes structures parinstabilite gravitationnelle. Des tests plus detailles vont pouvoir etre menes dansce sens avec l’arrivee de releves de distorsions gravitationnelles cosmologiquesqui cartographient directement la distribution de matiere dans l’univers.

Les effets de lentille sur le CMB peuvent aussi permettre de tester le para-digme des instabilites gravitationnelles. La encore l’amplitude et la forme deseffets sont totalement determinees par les parametres du modele concordant. Ilreste que ce modele cosmologique fait appel a des ingredients dont la natureprecise reste tres mysterieuse.

24

5 Cosmologie standard : les parties manquantes

5.1 L’univers inflationnaire

On a vu que la dynamique des instabilites gravitationnelles et leurs diversessignatures observationnelles etait au coeur de la construction du modele stan-dard de cosmologie. Seulement, si la cosmologie standard permet d’apprehenderla croissance des structures elle ne prejuge pas de l’origine de ces fluctuations.L’inflation est le seul paradigme connu aujourd’hui qui permet d’apporter unereponse satisfaisante a ces questions.

Les modeles inflationnaires supposent a la base que l’univers a traverseune phase d’expansion acceleree. Independamment de l’origine des fluctuations,l’existence d’une telle phase dans le passe presente un certain nombres d’avan-tages,

– absence de monopoles magnetiques qu’une theorie de Grande Unificationne manque pas de produire ;

– resolution du probleme de l’horizon. Ce probleme vient de l’observationque, si on s’en tient a une cosmologie standard, des regions du ciel separeesde plus d’un degre sur la surface de derniere diffusion sont causalementdeconnectees tout en etant a une temperature quasi identique ;

– la metrique spatiale de l’univers est essentiellement plate. Cela requiertun ajustement fin de parametres d’autant plus aigu que s’interesse a desepoques passees de l’univers.

Alors comment produire une telle phase d’acceleration ? La solution existe.Elle vient du mariage entre la Relativite Generale et la Theorie Quantique desChamps. Ces deux theories, dans leur champ d’application respectif, ont etetestees avec une remarquable precision. Pourtant il n’existe pas de theorie dela gravite quantique, bien fondee, et predictive, qui engloberait les deux. Lestheories de Supercordes representent les tentatives les plus avancees dans ce sensmais ne permettent pas (encore ?) de faire des calculs predictifs. Dans le cas quinous interesse pourtant il n’est pas besoin de faire appel a une theorie de gravitequantique complete, les fluctuations de metrique observees restant faibles, del’ordre de 10−5, la physique de l’inflation repose de fait sur les consequencesphenomenologiques de la dynamique d’un champ scalaire simple dans un espacetemps courbe. L’action decrivant une telle dynamique s’ecrit de maniere nonambigue,

S =∫

d4x√−g

(L −

Rm2pl.

16π

)(40)

ou L est la densite de Lagrangien

L =12

(∂µϕ∂µϕ)− V (ϕ). (41)

Les equations du mouvement de ϕ et des elements de metrique s’obtiennentpar principe variationnel applique a l’action. Ces equations donnent un systemecouple decrivant conjointement la dynamique du champ ϕ et la metrique donc

25

en particulier le facteur d’expansion,

ϕ+ 3a

aϕ− 1

a2∆ϕ = −dV

dϕ, (42)

et

a2 =8π a2

3m2pl.

[ϕ2

2+

(∇ϕ)2

2+ V (ϕ)

]. (43)

qui permet d’une part d’explorer les differentes possibilites de comportementpour a(t) et d’autre part le comportement des fluctuations de metrique even-tuelles. Dans ce contexte un champ scalaire a ceci de particulier que sa densited’energie peut etre dominee par son energie potentielle. C’est possible seulementsi le potentiel est assez plat. Cette propriete est decrite de maniere quantita-tive par les parametres dit de Slow Roll (roulement lent). Il est en fait pos-sible d’etre arbitrairement proche d’une phase de de Sitter (densite d’energieconstante qui conduit a une expansion exponentielle) quand les parametres deSlow Roll tendent vers zero. Ceux-ci sont definis par

ε =m2

pl.

16π

(V ′

V

)2

1, (44)

et

η =m2

pl. V′′

8π V. (45)

Ainsi, contrairement a la matiere normale dont la pression est toujours positive,il est possible ici d’obtenir une pression negative. Une telle phase corresponden fait a un etat quantique de l’univers s’apparentant a celui d’un condensatde Bose. L’equation d’etat du fluide cosmique qui en resulte est telle qu’on setrouve en presence d’une phase d’expansion acceleree. Cette solution est certesseduisante. Il reste que si on a pu observer des condensats de champs bosoniquesen laboratoire, on ne sait pas quel champ, champ fondamental ou composite, seserait ainsi condense pour former l’inflaton.

L’inflaton serait sans doute reste une simple curiosite theorique, si le mememecanisme, au travers de la meme action, ne fournissait pas un moyen de genererles grandes structures de l’univers. Cette derniere possibilite repose sur unequantification des parties fluctuantes, non-homogenes du champ ϕ aussi bienbien que de la metrique. En effet dans le contexte qui nous interesse, comptetenu de la quasi platitude des sections spatiales de la metrique, il est legitimede supposer que le champ ϕ peut etre decompose en deux parties, sa partiehomogene identifiee a sa valeur moyenne et sa partie fluctuante,

ϕ(t,x) = ϕ0(t) + δϕ(t,x). (46)

Des lors la relativite generale classique s’applique a ϕ0(t) et son comportementpeut etre a l’origine d’une phase inflationnaire, tandis que la partie inhomogeneest traitee comme un champ quantique. Est-il besoin de preciser qu’il n’existe pasde justification mathematique rigoureuse justifiant une telle demarche ? On peut

26

cependant la juger raisonnable si on garde a l’esprit la petitesse des fluctuationsde metrique qui suggere que le mecanisme qui a donne naissance aux fluctuationsde metrique primordiales a eu lieu apres l’ere de Planck, en dehors d’un regimede gravite quantique pleinement developpe.

Qu’obtient on alors ? Pour un couplage minimal du champ scalaire a la me-trique, des fluctuations de metrique peuvent se developper a des echelles super-horizon ou elles se comportent comme un champ stochastique classique. Onobtient de fait deux types de fluctuation de metrique : des fluctuations dites sca-laires directement reliees a l’inflaton et des fluctuations tensorielles, des ondesgravitationnelles. Le calcul de ces fluctuations de metrique induites est un ingre-dient essentiel de la physique inflationnaire. On peut en esquisser les principalesetapes ici.

Comme le montre la theorie quantique des champs, leurs fluctuations peuventetre decomposees operateurs sur les modes de Fourier,

δϕ =∫

d3k[ak ψk(t) exp(ik.x) + a†k ψ

∗k(t) exp(−ik.x)

], (47)

ou a†k et ak sont respectivement les operateurs de creation et d’annihilation departicules de moment k. Ils sont supposes obeir a la regle de commutation

[ak, a†−k′ ] = δ(k + k′). (48)

La dependance temporelle des coefficients ψk est obtenue a l’aide de l’equationdu mouvement,

ψk + 3H ˙δϕ+k2

a2ψk = −V ′′ψk. (49)

Il est a noter que le membre de droite de cette equation devient negligeable dansl’approximation de Slow Roll (petite valeur de η). Cette equation du mouvementcorrespond des lors a celle d’un champ libre sans masse. Par ailleurs l’amplitudedes modes est maintenant entierement determinee par la mecanique quantique.Elle est en effet telle que les commutateurs locaux reproduisent ce qu’on attenddans un espace de Minkowski. La normalisation initiale des modes determinealors leur comportement a grande echelle. Celle-ci se comporte a temps donnecomme H/k3/2. Ces fluctuations de la valeur locale du champ scalaire sont equi-valente a des fluctuations de duree de l’inflation qui se traduisent directementcomme des fluctuations de metrique scalaire (avec Φ = −Ψ). Remarquons aupassage que ce transfert sera d’autant plus efficace que V ′ est petit. Les fluctua-tions de metriques qui en resultent sont essentiellement independantes d’echelleavec cependant une legere variation du au fait que la valeur deH varie lentementau passage successif des modes a la taille de l’horizon.

Enfin au meme moment tout autre de degre de liberte de champs legers(non couples conformement a la metrique) peuvent aussi donner naissance a desfluctuations quantiques superhorizon. C’est le cas en particulier pour les modestensoriels, les ondes gravitationnelles, dont l’amplitude est donc intimement re-liee a celle des fluctuations scalaires.

27

Les theories inflationnaires donnent ainsi un ensemble de predictions robustesdont la verification est evidemment un enjeu essentiel de cosmologie observa-tionnelle. On s’attend a ce que

– les fluctuations de metriques scalaires soient adiabatiques (identiques danstoutes les composantes du fluide cosmologique) et obeissent a une statis-tique Gaussienne ;

– leur spectre de fluctuation soit - presque - invariant d’echelle ;– qu’il existe des fluctuations tensorielles dont l’amplitude trace directement

l’echelle d’energie de l’inflaton.Les deux premiers elements de cette liste ont ete, au moins dans un certaine me-sure, verifies dans les donnees observationnelles actuelles. Le troisieme, echappepour l’instant a nos moyens de detection, mais pourrait etre a notre portee dansla future generation de detecteurs. Les theories inflationnaires devraient ainsietre mise a l’epreuve dans les annees qui viennent. Remarquons tout de memeque si la detection d’un ecart faible a l’invariance d’echelle, ou la detection d’unfond stochastique d’ondes gravitationnelles, conforterait les theories inflation-naires, leur non-detection serait non concluante sur la validite de la theorie.

Il reste que l’identification de l’inflaton est un probleme largement ouvertmeme si les theoriciens de l’univers primordial ne manquent pas d’idees sur laquestion : pour evoquer quelques modeles citons les modeles d’inflation chao-tique, inflation D ou F-term, les inflations hybrides ou encore les inflations ta-chyoniques (voir par exemple [16]).

5.2 Le contenu en energie de l’Univers

Si les parametres du modele cosmologique standard sont bien confirmes, unelarge fraction de la matiere qui compose l’univers doit se trouver sous formed’une matiere noire, essentiellement sans interaction entre elle et avec les autrescomposantes du fluide cosmologique, photons ou baryons.

Ce probleme de la matiere noire n’est cependant pas nouveau. Des 1930,Zwicky avait souligne que la dispersion de vitesses des galaxies dans le puits depotentiel de l’amas Coma ne pouvait s’expliquer sans presence d’une composantesupplementaire a celle des galaxies visibles, une composante de matiere noire[41]. Depuis lors de nombreux candidats de matiere noire ont ete proposes etles theoriciens ne manquent pas d’idees sur la nature de cette matiere noire, departicules massive en interaction faible (Weakly Interactive Massive Particles,WIMPS), axions, particules dites de Kaluza-Klein, etc. (voir par exemple [5]).Cependant l’existence d’aucune de ces particules n’est prouvee pour l’instant.Des recherches en detection directe ou indirecte sont en cours.

La nature de l’energie noire est encore plus mysterieuse. Simple constantecosmologique ou nouvelle composante du fluide cosmologique ou encore modifi-cation de la gravite a grande echelle, l’observation de l’acceleration de l’universpose des problemes nouveaux qui remet en question notre cadre conceptuel ha-bituel (voir [23] pour une revue recente).

Evidemment rien n’empeche qu’il existe une simple constante cosmologiquecomme l’avait imaginee Einstein (bien que pour d’autres raisons). Cette possibi-

28

20. 15. 10. 5. 0.Log10 a

0.8

0.6

0.4

0.2

0.

0.2

ΩQ

Fig. 13 – Evolution de l’equation d’etat du fluide de Quintessence pour diffe-rentes formes de son potentiel en fonction du facteur d’expansion a (a = 1 az = 0 ). Apres une phase d’ajustement, l’evolution du champ suit une solutiondite de tracking, sur une trajectoire bien determinee qui fixe le parametre del’equation d’etat a une valeur qui depend de la nature du fluide dominant, ra-diation ou matiere. Les modeles correspondent au potentiel (51) avec α = 2, 6et 11. Ces modeles sont ajustes pour que le fluide de Quintessence commence adominer a bas redshift. Ce champ genere alors une expansion acceleree. Figuretiree de [2].

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lite n’est pas incompatible avec les donnees actuelles mais introduit une nouvelleechelle d’energie fondamentale, tres loin de l’echelle de Planck. Une telle situa-tion est extremement inconfortable si on veut pouvoir construire un jour unetheorie unifiee des forces. D’un point de vue de physique des hautes energies,le probleme de la constante cosmologique est en fait celui du vide vu commeetat quantique de l’univers. Rien ne nous assure en fait que le vide quantique,defini comme l’etat de plus basse energie, soit bien celui du vide cosmologique.L’univers peut tres bien se trouver dans un etat transitoire, dans lequel parexemple la valeur moyenne dans le vide d’un champ scalaire evolue lentement.Cette idee remonte a une etude de Ratra et Peebles [30] qui avait remarqueque l’equation d’evolution d’un champ scalaire sous dominant - note Q dans lasuite de ce paragraphe - decrite par (42) pouvait conduire a des solutions ditesde tracking ou la valeur du champ ne depend pas des conditions initiales. Il enresulte que le parametre de l’equation d’etat du champ,

wQ =PQ

ρQ(50)

(il faut qu’il soit inferieur a -1/3 pour avoir une expansion acceleree) ne dependque du parametre d’etat du fluide dominant wB et de la forme du potentiel.Pour un potentiel en loi de puissance,

V (Q) = Q−α, (51)

on awQ =

−2 + αwB

α+ 2. (52)

Ce comportement est illustre sur la figure 13. Cette possibilite a conduit a l’ideeque l’energie noire pourrait etre l’energie potentielle d’un tel champ scalaire, une« quintessence » [38]. Cette proposition n’est pas sans poser des problemes. Ilfaut que la masse d’un telle champ soit tres faible, et qu’elle le reste en depit dela presence de corrections quantiques radiatives. Et pas plus que pour l’inflatonon ne dispose de candidats naturels pour ce champ.

Finalement la solution du probleme de l’energie noire pourrait venir d’unerevision plus radicale encore de notre perception du monde. Les theories desupercordes vivent naturellement dans des espaces de grande dimensionnalite, 10ou 11 dimensions. Il etait generalement admis que ces dimensions ne nous etaientpas accessibles parce que compactes. Il se pourrait cependant que certaines deces dimensions soient grandes et que donc notre univers ne soit qu’une sous-variete de l’espace total, une « brane » dans le jargon des supercordes [29, 6].Alors ce n’est plus seulement le contenu en matiere/energie de l’univers quipourrait etre affecte, c’est la geometrie meme, ce qui conduirait a une reecrituredes equations de la relativite.

6 Conclusions

Qu’en conclure ? La cosmologie est une discipline qui progresse rapidementgrace aussi bien a la multiplication des observations que par une fertilisation des

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concepts theoriques venant de la physique des hautes energies. Il faut soulignerque dans le sillage des resultats du satellite COBE [36] et des grands relevesextragalactiques, la cosmologie est definitivement entree avec WMAP dans uneere de precision. Une grande part du scenario decrit par les modeles cosmolo-giques actuels est maintenant tres bien etaye ; il y a peu de doute par exemplequ’un plasma de photons et de baryons ait predomine a un moment de l’his-toire thermique de l’univers. Il reste evidemment des domaines plus speculatifsou l’essentiel de la recherche vivante se poursuit actuellement. Il est aussi desquestions que la cosmologie standard aborde peu ou pas, et pour lesquelles iln’y a certainement pas de reponses precises. Ainsi dans le panorama dresse icion s’interesse plus a la physique de l’expansion qu’a la recherche de l’impul-sion initial, au ”Big Bang” en tant que tel, c’est a dire en tant que singularitede l’espace temps. Il existe bien sur des tentatives pour aborder cette ques-tion ; par exemple dans les theorie de ”pre-big-bang” (voir [10]) ou les theoriesekpyrotiques[14] il n’y a pas de singularite globale (et du coup il peut exister un”avant le big-bang”). La finitude de l’univers est aussi une question laissee sansreponse. Par exemple il pourrait y avoir des directions spatiales compactes ades echelles telles qu’elles soient indetectables. La structure globale de l’espacetemps a des echelles bien plus grandes que celle de l’univers observable est aussicompletement inconnue. On est ici dans le royaume de la gravite quantique etles outils conceptuels dont on dispose ne nous permettent que d’effleurer cettequestion.

Cela etant le modele cosmologique concordant apparaıt solide d’un pointde vue observationnel mais s’appuie sur l’existence d’ingredients non elucides.Ainsi il requiert un mecanisme permettant d’induire, dans une phase tres pri-mordiale, des fluctuations de metrique. Les tentatives de trouver des mecanismesclassiques, dans une physique causale, n’ont pas abouties. La meilleure chancede pouvoir creer des fluctuations de metriques s’etendant sur des echelles suffi-samment grandes venait de la formation de defauts topologiques au moment detransitions de phase pendant le refroidissement de l’univers via le mecanisme deKibble [15]. Les donnees actuelles ne permettent plus de s’accommoder d’un telmodele. La solution semble inevitablement passer par le recours a une physiquenon standard, a l’existence d’une phase inflationaire et au developpement defluctuations quantiques pendant cette phase. Il reste que de savoir si ces fluc-tuations sont precisement celles de l’inflaton est un probleme largement ouvert.Qui plus est l’observation d’une phase acceleree, non seulement pendant l’universprimordial mais aussi a bas redshift, qui ne peut s’expliquer pour un contenu ma-teriel de l’univers standard, pose le probleme de la nature du vide cosmologiqueavec encore plus d’acuite. Enjeu de physique fondamentale, l’elucidation de cesproblemes fait partie des grandes questions que posent la cosmologie moderne.

Remerciements

L’auteur remercie B. Duplantier et K. Mallick pour leur invitation a ecrirece texte de revue.

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