Les opérations avec les

fractions

Remarque :

Tu devrais regarder les PPS : - les fractions équivalentes

- PPCM

avant de regarder celui-ci.

- Simplifier une fraction

Il existe des règles précises pour opérer des fractions.

Elles se regroupent en deux catégories:

- celles concernant l’addition et la soustraction;

- celles concernant la multiplication et la division.

1

4

1

4+ =

2

4

Les règles concernant l’addition et la soustraction.

=1

2

Exemple:

+ =

Règle 1:

Les deux fractions sont sur le même dénominateur.

Ce dénominateur nous indique en combien de morceaux les cercles sont divisés.

Pour additionner des fractions ayant le même dénominateur, on récupère le dénominateur et on additionne les numérateurs.

Remarque: Pense à simplifier ! 2

4

1

4

3

4+

4

4=

+ =

= 1

3

8

7

8+ =

10

8

=

= 12

8= 1

1

4

+

Pense à simplifier !

3

5

1

5- =

Règle 2: Pour soustraire des fractions ayant le même dénominateur, on récupère le dénominateur et on soustrait les numérateurs.

11

4-

3

4

- 3

4

Transforme ce nombre fractionnaire en fraction.

2

4

5

4=

1

2=

=

2

5

1

2

1

3+

+

Ici, nous avons deux dénominateurs différents.

Les cercles ne sont pas divisés de la même façon.

Pour pouvoir additionner ces deux fractions, il faut avoir un même dénominateur.

On ne peut donc pas les additionner facilement.

En multipliant les deux dénominateurs ensemble, nous obtiendrons un nouveau dénominateur commun aux deux fractions.

Il faut donc construire des fractions équivalentes.

2 x 3 = 6

6 sera le nouveau dénominateur commun aux deux fractions.

Construisons des fractions équivalentes ayant 6 comme dénominateur.

3

3x

2

2x

1

2

1

3

3

6=

2

6=

Les deux fractions sont sur le même dénominateur commun, nous pouvons donc additionner les numérateurs.

+

+

=

=5

6

Règle 3 : Pour additionner des fractions ayant des dénominateurs différents, il

faut: - créer des fractions équivalentes possédant le même

dénominateur commun;

- on effectue alors le calcul avec ces nouvelles fractions

comme le précise la règle 1.

Règle 4 : Pour soustraire des fractions ayant des dénominateurs différents, il

faut: - créer des fractions équivalentes possédant le même

dénominateur commun;

- on effectue alors le calcul avec ces nouvelles fractions

comme le précise la règle 2.

Remarque: Pour trouver un dénominateur commun à deux ou plusieurs fractions, il est préférable d’utiliser le PPCM des dénominateurs.

Exemple :1

6

1

8+

Pour trouver un dénominateur commun, on pourrait multiplier ensemble les deux dénominateurs; ce qui donnerait un gros dénominateur commun.

6 X 8 = 48

1

6

8

8x =

8

48

1

8

6

6x =

6

48

8

48

6

48+ =

14

48=

7

24

1

6

1

8+

1

6

4

4x =

4

24

1

8

3

3x =

3

24

4

24

3

24+ =

7

24

PPCM ( 6 , 8 ) = 24

En utilisant le PPCM des deux dénominateurs :

En utilisant le PPCM, les calculs sont allégés.

Problèmes

1

12+

2

15PPCM (12 ,15) : 60

1

12

5

5x =

5

60

2

15

4

4x =

8

60

5

60

8

60+ =

13

60

1

3

2

5- PPCM ( 3 , 5 ) : 15

2

5

3

3x =

6

15

1

3

5

5x =

5

15

6

15

5

15- =

1

15

1

3

2

9+ PPCM ( 3 , 9 ) : 9

1

3

3

3x =

3

9

3

9

2

9+ =

5

9

Les règles concernant la multiplication et la division.

Exemple:

1

2

1

2X =

1

4

Cette multiplication signifie que vaut la demi d’une demi ( la moitié d’une moitié ) .

Représentons d’abord une demi :

Puis la demi d’une demi :

La demi d’une demi :

1

2

1

2X =

un quart

La multiplication

Exemple:

1

4

1

2X =

1

8

Cette multiplication signifie que vaut le quart d’une demi ( le quart d’une moitié ) .

Représentons d’abord une demi :

Puis le quart d’une demi :

Le quart d’une demi :

1

4

1

2X =

un huitième

Exemple:

2

3

1

2X =

2

6

Cette multiplication signifie que vaut les deux tiers d’une demi ( les deux tiers d’une moitié ) .

Représentons d’abord une demi :

Puis les deux tiers d’une demi :

Les deux tiers d’une demi :

2

3

1

2X =

deux sixièmes : un tiers

=1

3

Pense à simplifier !

Remarque:

On peut inverser les facteurs; on obtiendra le même produit.

2

3

1

2X

1

2=

2

3

1

2X =

1

2

2

3X

1

2

2

3X =

2

3=

Règle5 :Pour multiplier des fractions, il faut multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

1

4

1

2X =

1

8

Remarque : Il n’est pas nécessaire d’avoir un dénominateur commun.

2

3

1

2X =

2

6=

1

3

Pense à simplifier !

ou mieux :2

3

1

2X

=1

3

Dans cette multiplication de facteurs, on retrouve un même facteur au numérateur et au dénominateur.

On peut donc les simplifier avant de multiplier.

2

3

1

2X

Remarque : Avant de multiplier des fractions, on simplifie les facteurs communs aux numérateurs et aux dénominateurs; ainsi, les calculs sont allégés.

Exemple : 2

3

1

2X

3

5X

5

7X

2

7X =

2

49

Calcule 1 1

4

2

5X

5

4

2

5X

5

2 X 2

2

5X =

1

2

Calcule2

5X 20

2

5X 20

1

2

5X 5 X 4

1= 8=

8

1

Remarque : On peut simplifier de plusieurs façons. L’important est de retrouver le même facteur aux numérateurs et aux dénominateurs.

La division

Exemple :1

2

1

4÷

Cette division veut dire : combien de fois est-il compris dans ?1

4

1

2

Illustrons : Ce cercle découpé en 4 morceaux représente une demi.

On peut constater qu’on retrouve aussi 2 X .1

4

donc1

2

1

4÷ = 2

Exemple :1

2

1

8÷

Cette division veut dire : combien de fois est-il compris dans ?1

8

1

2

Illustrons : Ce cercle découpé en 8 morceaux représente une demi.

On peut constater qu’on retrouve aussi 4 X .1

8

donc1

2

1

8÷ = 4

Comment fait-on pour calculer une division de fractions ?

Règle5 : Pour diviser des fractions :

- On multiplie par la fraction inverse;

- On procède alors comme une multiplication.

Exemple : 1

2

1

4÷

1

2

4

1X =

4

2= 2=

2 X 2

2

1

2

1

8÷

1

2

8

1X =

8

2=

4 X 2

2= 4

Attention : On change le signe de division par celui de la multiplication;

1

2

1

4÷

On inverse seulement la fraction à droite du signe.

1

2X

4

1

On procède alors comme une multiplication.

1

2

4

1X =

4

2= 2=

2 X 2

2

Calcule :

2

5÷20

3

8

1

2÷

3

4 X 2

2

1X= =

3

4

5

2X20

=1

5

2X

10 X 2=

1= 50

3

8

2

1X=

÷2 3

4 1 1

2

11

4

3

2÷=

11

4

2

3X=

11

2 X 2

2

3X= =

11

6

11

6= 1 5

6

En résumé :

Pour additionner ou soustraire des fractions :

- créer des fractions équivalentes possédant le même

dénominateur commun;

- récupérer ce dénominateur commun et n’additionner ou

ne soustraire que les numérateurs.

Pour multiplier des fractions :

- Multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Pour diviser des fractions :

- Multiplier par la fraction inverse ( celle à droite du signe );

- Procéder alors comme une multiplication.