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Mathématique 5ème année – 4h

M. Decamps

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les suites

Dans l’histoire des mathématiques, la notion de suite se rencontre au cours des siècles dès

qu'apparaissent des procédés illimités de calcul.

On y a recours dès 1700 avant notre ère en Egypte, ou encore au IIIe siècle avant J.-C., quand

Archimède, spécialiste des procédés d'approximation, utilise des suites pour des calculs d'aires et de

volumes.

Plus tard, une suite célèbre verra le jour, la suite de Fibonacci. Leonardo Fibonacci l’abordera

dans son ouvrage « Liber abaci » (1202) sous la forme d’un problème récréatif :

« Partant d'un couple,

combien de couples de lapins

obtiendrons-nous après un nombre

donné de mois sachant que chaque

couple produit chaque mois un

nouveau couple, lequel ne devient

productif qu'après deux mois ».

L’évolution du nombre de couples sur

les cinq premiers mois est illustrée ci-

contre.

On peut écrire le nombre de

lapins tous les trois mois sous la forme d’une suite : 1, 1, 2, 3, 5, 8 … Dans cette suite de nombres

entiers, chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent. Une telle suite est infinie. Cette

suite engendre en outre le nombre d’or, qui est souvent utilisé pour théoriser l’esthétique et pour

définir les critères de beauté et d’harmonie. Il est ainsi utilisé dans les arts, l'architecture, …

Les mathématiciens du XVIIe siècle s’y intéresseront à nouveau. Dans l'Encyclopédie

Raisonnée de d'Alembert et Diderot (1751), une grande part est laissée aux suites et séries, et à leur

convergence. De nombreux mathématiciens utiliseront ensuite les suites pour approcher des valeurs

numériques. L'étude des suites ouvre la porte à celle des séries entières dont le but est d'approcher,

non plus des nombres, mais des fonctions. De nos jours, les suites sont encore très utilisées en

mathématiques financières et dans de nombreux domaines scientifiques.

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1.1 Introduction

1.1.1 Découverte

Des questions seront distribuées en classe, elles sont reproduites en fin de chapitre Nous

remplirons le tableau suivant pour formaliser nos découvertes.

Suite El 1 El 2 El 3 El 4 Elément 𝑛

(formule ?)

Comment

passer à

l’élément suivant ?

Type de suite :

formalisation

Somme des

angles d’un

polygone

Nombres

triangulaires

Taux

d’intérêt

Groupe

Rectangle –

Diviseurs

Groupe

Arrosage

Triangle de

Pascal

Carrés creux

Décimales

Les suites apparaissent ici naturellement. On a remarqué qu’à chaque terme correspond une

position donnée sans la suite.

On a pu remarquer des points communs entre certaines suites.

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1.1.2 Caractérisation

A partir de ce paragraphe, nous considérerons les suites de nombres réels. Soient les différentes

suites de nombres suivantes. Pour chaque suite, détermine intuitivement l’élément suivant. Exercice 1

Suite Description

a. 1, 2, 3, 4, 5, …

b. 1, − 2, 4, − 8, 16, …

c. 1, 14 , 1

9 , 116 , 1

25 , …

d. 7, 5, 3, 1, − 1, …

e. 1,0, − 12 , − 2

3 , − 34 , …

f. 2, 6, 18, 54, 162, …

g. 2, 5, 8, 11, 14, …

h. 32 , 3

4 , 38 , 3

16 , 332 , …

i. 1, 2, 6, 24, 120, …

En notant 𝑢𝑛 le 𝑛𝑖è𝑚𝑒 terme de la suite (avec 𝑛 ∈ ℕ0), remplis le tableau ci-dessous et indique,

comment tu passes d’un terme au suivant :

Suite 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑢4 𝑢5 𝑢6 Méthode

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

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Sépare les différentes suites en trois familles et explique ce qui a guidé ton choix.

Suite Numéro de

famille Critère de choix

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

Donne une formule pour le calcul du 𝑛𝑖è𝑚𝑒 terme 𝑢𝑛 de la suite.

Suite 𝑢𝑛 = ?

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

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1.1.3 Définitions générales

Une suite est une succession infinie d’éléments appelés termes de la suite. Elle est notée (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ.

𝑢𝑛 est appelé le terme général et peut être donné sous forme explicite ou récurrente.

La forme récurrente définit le terme suivant par rapport au terme précédent, la forme explicite

permet de calculer la valeur de n’importe quel terme directement. Nous considérons dans la suite des suites d’indice 𝑛 ≥ 1, dont les différents termes sont notés :

𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, … , 𝑢𝑛, …

La suite (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0 est une suite arithmétique lorsqu’il existe un réel 𝑟 non nul tel que, pour tout

naturel 𝑛 > 1

𝑢𝑛 = 𝑢𝑛−1 + 𝑟

Le réel 𝑟 est appelé la raison de la suite arithmétique.

La suite (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0 est une suite géométrique lorsqu’il existe un réel 𝑞 non nul et différent de 1 tel

que, pour tout naturel 𝑛 > 1

𝑢𝑛 = 𝑞 . 𝑢𝑛−1

Le réel 𝑞 est appelé la raison de la suite géométrique.

Lorsque la suite n’est ni géométrique, ni arithmétique, on dira qu’elle est quelconque.

Soit une suite (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0 ,

• (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0 est croissante signifie que pour tout 𝑛, 𝑢𝑛 + 1 ≥ 𝑢𝑛

• (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0 est décroissante signifie que pour tout 𝑛, 𝑢𝑛 + 1 ≤ 𝑢𝑛.

Une suite peut être ni croissante, ni décroissante.

C’est le cas par exemple de la suite définie par :

𝑢𝑛 = (−1)𝑛

Les termes de cette suite sont alternativement égaux à 1 et -1. Dans le cas d’une suite dont les termes sont alternativement positifs et négatifs, on parle de suite alternée.

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Exercice 2

(P1 : Connaître) Ecris les 5 premiers termes des suites suivantes. Indique si la définition qui t’est

donnée est explicite ou récurrente, et si la suite est arithmétique, géométrique ou quelconque.

a. 𝑢𝑛 = 𝑛2 − 1 (𝑛 ∈ ℕ0)

b. { 𝑢1 = −5𝑢𝑛 = 𝑢𝑛−1 + 3 (𝑛 ∈ ℕ\{0,1})

c. 𝑢𝑛 = 𝑛2 − 5𝑛 + 4 (𝑛 ∈ ℕ0)

d. 𝑢𝑛 = 32𝑛 (𝑛 ∈ ℕ0)

e. { 𝑢1 = 3𝑢𝑛 = 2𝑢𝑛−1 + 1 (𝑛 ∈ ℕ\{0,1})

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1.2 Suites arithmétiques (SA)

1.2.1 Forme explicite d’une SA

Soit (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0 une SA de 1er terme 𝑢1et de raison 𝑟. Par définition, on a (voir 1.1.3) :

𝑢𝑛 = 𝑢𝑛−1 + 𝑟

Il est utile de disposer d’un moyen de calculer le nième terme de la suite sans connaître la valeur

du terme précédent, c’est-à-dire de disposer d’une forme explicite définissant la suite. Avec la définition de la suite, on a :

𝑢2 = 𝑢1 + 𝑟

𝑢3 = 𝑢2 + 𝑟 = (𝑢1 + 𝑟) + 𝑟 = 𝑢1 + 2𝑟

𝑢4 = 𝑢3 + 𝑟 = (𝑢1 + 2𝑟) + 𝑟 = 𝑢1 + 3𝑟

𝑢5 = 𝑢4 + 𝑟 = (𝑢1 + 3𝑟) + 𝑟 = 𝑢1 + 4𝑟

…

En étendant ce raisonnement pour tout 𝑛, on trouve :

𝑢𝑛 = 𝑢1 + (𝑛 − 1)𝑟

1.2.2 Calcul d’un terme à partir d’un autre

D’après le point précédent, on a, pour une SA (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0 :

𝑢𝑛 = 𝑢1 + (𝑛 − 1) 𝑟 Pour 2 termes d’indices quelconques k et l, on a donc :

𝑢𝑘 = 𝑢1 + (𝑘 − 1) 𝑟 et 𝑢𝑙 = 𝑢1 + (𝑙 − 1) 𝑟

C’est-à-dire :

𝑢𝑘 = 𝑢1 + 𝑘𝑟 − 𝑟 et 𝑢𝑙 = 𝑢1 + 𝑙𝑟 − 𝑟

On peut en déduire la différence entre les termes uk et ul :

𝑢𝑘 − 𝑢𝑙 = 𝑢1 + 𝑘𝑟 − 𝑟 − (𝑢1 + 𝑙𝑟 − 𝑟)

⇔ 𝑢𝑘 − 𝑢𝑙 = 𝑢1 + 𝑘𝑟 − 𝑟 − 𝑢1 − 𝑙𝑟 + 𝑟

⇔ 𝑢𝑘 − 𝑢𝑙 = 𝑘𝑟 − 𝑙𝑟

⇔ 𝑢𝑘 − 𝑢𝑙 = (𝑘 − 𝑙)𝑟

On a donc pour toute SA (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0 de raison 𝑟 et pour tous 𝑘, 𝑙 ∈ ℕ0 :

𝑢𝑘 = 𝑢𝑙 + (𝑘 − 𝑙)𝑟

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Exercice 3 (P2 : Appliquer)

a. Soit la suite arithmétique dont le premier terme est égal à 3 et dont la raison vaut 2.

i. Ecris les cinq premiers termes de la suite,

ii. exprime la suite sous forme explicite,

iii. définis la suite sous forme récurrente.

b. Parmi les suites suivantes :

8, 6, 4, 2, … 1, 13 , 1

5 , 17 , … −3, − 5

2 , −2, − 32 , … 2, −4, 8, 16, …

Quelles sont celles qui sont des suites arithmétiques ? Dans le cas de suites

arithmétiques :

i. détermine la raison,


iii. calcule le dixième terme,

iv. définis la suite sous forme récurrente.

c. Soit une suite arithmétique (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0 dont la raison vaut 0,5 et telle que 𝑢8 = 17. Calcule 𝑢7, 𝑢5 et 𝑢1.

d. Soit une suite arithmétique (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0 telle que 𝑢7 = 13 et 𝑢13 = 20,5 :


ii. détermine le premier terme.

e. Détermine le réel 𝑥 tel que les 3 réels 2𝑥 − 1, 𝑥 + 2 et 1 − 3𝑥 soient égaux à trois

termes consécutifs d’une suite arithmétique.

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1.2.3 Somme des 𝐧 premiers termes d’une SA

Introduction : la punition de Gauss

A partir de du schéma suivant, donne la valeur de la somme des 100 premiers naturels.

1 2 3 … 98 99 100

100 99 98 … 3 2 1

Généralisons ce raisonnement à la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite arithmétique :

𝑢1 𝑢2 𝑢3 … 𝑢n−2 𝑢n−1 𝑢n 𝑢n 𝑢n−1 𝑢n−2 … 𝑢3 𝑢2 𝑢1

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Formalisation

On peut réécrire le raisonnement fait à la page précédente de manière plus formelle. La somme

des 𝑛 termes consécutifs d’une SA dont le premier terme est 𝑢1 et le dernier 𝑢𝑛 se note 𝑆𝑛 et vaut :

𝑆𝑛 = 𝑛 𝑢1 + 𝑢𝑛 2

En effet,

𝑆𝑛 = 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢𝑛

n termes

+ 𝑆𝑛 = 𝑢𝑛 + 𝑢𝑛−1 + ⋯ + 𝑢1

n termes

=

2𝑆𝑛 = (𝑢1 + 𝑢𝑛) + (𝑢2 + 𝑢𝑛−1) + ⋯ + (𝑢𝑛 + 𝑢1)

Or,

n sommes de 2

termes

𝑢2 + 𝑢𝑛−1 = 𝑢1 + 𝑟 + 𝑢𝑛 − 𝑟 = 𝑢1 + 𝑢𝑛

𝑢3 + 𝑢𝑛−2 = 𝑢1 + 2𝑟 + 𝑢𝑛 − 2𝑟 = 𝑢1 + 𝑢𝑛

…

Donc,

n sommes de 2

termes égales à (𝑢1 + 𝑢𝑛)

⟺ 2𝑆𝑛 = 𝑛 (𝑢1 + 𝑢𝑛)

⟺ 𝑆𝑛 = 𝑛 (𝑢1 + 𝑢𝑛)2

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a. Soit la suite arithmétique définie par 𝑢𝑛 = 3𝑛 + 5, 𝑛 ∈ ℕ0. Calcule la somme des 6

premiers termes de la suite.

b. Détermine la somme des 20 premiers termes de la suite 1,4, 7, 10, …

c. Calcule :

i. 𝑆 = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + 37

ii. 𝑆 = 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + 30

d. La somme des 8 premiers termes d’une suite arithmétique est 54 et son premier terme

est 4. Ecris cette suite sous forme explicite.

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1.3 Suites géométriques (SG)

1.3.1 Forme explicite d’une SG

Soit (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0 une SG de 1er terme 𝑢1et de raison 𝑞. Par définition, on a (voir 1.1.3) :

𝑢𝑛 = 𝑢1. 𝑞𝑛−1

Il est utile de disposer d’un moyen de calculer le nième terme de la suite sans connaître la valeur

du terme précédent, c’est-à-dire de disposer d’une forme explicite définissant la suite.

Avec la définition de la suite, on a :

𝑢2 = 𝑞. 𝑢1

𝑢3 = 𝑞. 𝑢2 = 𝑞. (𝑞. 𝑢1) = 𝑞2. 𝑢1

𝑢4 = 𝑞. 𝑢3 = 𝑞. (𝑞. 𝑢2) = 𝑞3. 𝑢1

𝑢5 = 𝑞. 𝑢4 = 𝑞. (𝑞. 𝑢3) = 𝑞4. 𝑢1

…

En étendant ce raisonnement pour tout 𝑛, on trouve :

𝑢𝑛 = 𝑞𝑛−1. 𝑢1

1.3.2 Calcul d’un terme à partir d’un autre

D’après le point précédent, on a, pour une SG (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0 :

𝑢𝑛 = 𝑞𝑛−1. 𝑢1

Pour 2 termes d’indices quelconques 𝑘 et 𝑙, on a donc :

𝑢𝑘 = 𝑞𝑘−1. 𝑢1 et 𝑢𝑙 = 𝑞𝑙−1. 𝑢1 On peut en déduire le quotient des termes uk et ul :

𝑢𝑘𝑢𝑙

= 𝑞𝑘−1. 𝑢1𝑞𝑙−1. 𝑢1

⇔ 𝑢𝑘𝑢𝑙

= 𝑞𝑘−1𝑞𝑙−1


= 𝑞𝑘−1−(𝑙−1)


= 𝑞𝑘−𝑙

On a donc pour toute SG (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0 de raison 𝑞, pour tous 𝑘, 𝑙 ∈ ℕ0 :

𝑢𝑘 = 𝑢𝑙 ∙ 𝑞𝑘−𝑙

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a. Soit la suite géométrique dont le premier terme est égal à 5 et dont la raison vaut 1,5.

i. Ecris les cinq premiers termes de la suite,


iii. définis la suite sous forme récurrente.

b. Parmi les suites suivantes, quelles sont celles qui sont des suites géométriques ? Dans

le cas de suites géométriques :

1, 32 , 9

4 , 278 , … −1, −0.1 , −0.01, −0.001, …

13 , 1

2 , 35 , 2

3 , … 2, 1, 2−1, 2−2, …



iii. calcule le dixième terme,

iv. définis la suite sous forme récurrente.

c. Soit une suite géométrique (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0 dont la raison vaut 2 et telle que 𝑢7 = 52. Calcule

𝑢20, 𝑢6 et 𝑢1.

d. Soit une suite géométrique (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0 telle que 𝑢4 = 1500 et 𝑢7 = 768 :

v. détermine la raison,

vi. détermine le premier terme.

e. Détermine le réel 𝑦 tel que les 3 réels 3, 𝑦 − 1 et 2𝑦 − 1 soient égaux à trois termes

consécutifs d’une suite géométrique.

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1.3.3 Somme des 𝐧 premiers termes d’une SG

La somme des 𝑛 termes consécutifs d’une SG (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ0 dont le premier terme est 𝑢1 et le dernier

𝑢𝑛 se note 𝑆𝑛 et vaut :

𝑆𝑛=𝑢1 (1−𝑞𝑛)(1−𝑞)

En effet,

𝑆𝑛 = 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢𝑛

En multipliant les deux membres par la raison q, on obtient :

⇔ 𝑞. 𝑆𝑛 = 𝑞. 𝑢1 + 𝑞. 𝑢2 + ⋯ + 𝑞. 𝑢𝑛

En utilisant la définition de la raison d’une suite SG : 𝑢𝑛 = 𝑞 . 𝑢𝑛−1, (voir 1.1.3)

⇔ 𝑞. 𝑆𝑛 = 𝑢2 + 𝑢3 + ⋯ + 𝑢𝑛+1

En soustrayant l’équation 2 à l’équation (1) :

⇔ 𝑆𝑛 − 𝑞. 𝑆𝑛 = 𝑢1 − 𝑢𝑛+1

⇔ 𝑆𝑛. (1 − 𝑞) = 𝑢1 − 𝑢𝑛+1

On utilise la forme explicite de la suite (voir 1.3.1) 𝑢𝑛 = 𝑞𝑛−1. 𝑢1 pour trouver

𝑢𝑛+1 = 𝑞𝑛. 𝑢1. En substituant cette expression dans l’équation précédente :

Equation (1)

Equation (2)

⇔ 𝑆𝑛. (1 − 𝑞) = 𝑢1 − 𝑢1𝑞𝑛

⇔ 𝑆𝑛=u1 (1−𝑞𝑛)(1−𝑞)

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a. Soit la suite géométrique définie par 𝑢𝑛 = 3 ∙ 2𝑛, 𝑛 ∈ ℕ0. Calcule la somme des 6

premiers termes de la suite.

b. Détermine la somme des 20 premiers termes de la suite 3, −9, 27, −81, …

c. Calcule :

i. 𝑆 = 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ + 64

ii. 𝑆 = 9 − 3 + 1 − 13 + ⋯ − 1

243

d. Je paie actuellement un loyer de 550€. Mon loyer augmentera chaque mois de 0,1 %.

Détermine la valeur de mon loyer dans 3 ans. Quelle somme totale aurai-je versé à

mon propriétaire après 3 ans.

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