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LICENCE 3 EME ANNEE
MATHEMATIQUES
MMESI (Mathématiques pour les métiers
De l'enseignement secondaire et de l'ingénieur)
Secrétariat Pédagogique Téléphone: 05 61 55 60 69 Bât 1TP1 Porte B16
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FINALITE
Le parcours L3 Mathématiques pour les Métiers de l'Enseignement Secondaire et de l'Ingénierie est conçu pour acquérir les bases théoriques et pratiques nécessaires pour l'utilisation des mathématiques dans l'industrie ou leur enseignement en collège ou lycée.
Pour l'orientation « Enseignement », l'objectif est de se concentrer sur les mathématiques nécessaires à cette orientation, de les maîtriser et d'amorcer l'apprentissage professionnel en vue de l'obtention du CAPES ou d'un concours équivalent.
Pour l'orientation Ingénierie, le parcours offre une double formation en analyse numérique et en probabilités/statistiques suffisamment riche pour permettre aux étudiants de s'orienter dans l'une ou l'autre direction dans le parcours Ingénierie et Mathématiques appliquées de Toulouse.
L’orientation Stat Eco est conçue pour les étudiant-e-s suivant le magistère du même nom.
ORGANISATION
La formation se déroule sur deux semestres (S5 et S6) et comprend un tronc commun (5 UE au premier semestre et 2 au second, pour un total de 30 ECTS) et des UE spécifiques pour chaque option (2 UE au premier semestre et 4 au second, pour un total de 30 ECTS).
Tous les modules sont semestriels. Dans la suite, on note option E pour Enseignement, I pour Ingénierie et S pour le Magistère Stat. Eco.
DEBOUCHES
Option Enseignement: ce parcours est un accès naturel vers le Master Enseignement et les concours CAPES ou CAFEP.
Option Ingénierie: en offrant une introduction aux principaux domaines des mathématiques appliquées, ce parcours permet aux étudiants de s'orienter parmi les différents Master « Ingénierie et Mathématiques appliquées » de Toulouse.
INSCRIPTION EN 2ème ANNEE POUR L’ANNEE 2011-12
- Accès de plein droit aux étudiants titulaires ayant validé un L2 de Mathématiques et applications de l’Université Paul Sabatier TOULOUSE.
- Accès sur dossiers examinés par la Commission de Scolarité. Ceci concerne:
a) les étudiants titulaires d’un L2 obtenu dans une autre université française.
b) les étudiants titulaires d'un BTS ou DUT à dominante Mathématique et Informatique,
c) les étudiants des classes préparatoires aux grandes écoles et les étudiants des grandes écoles toulousaines,
d) les étudiants étrangers titulaires d'un diplôme équivalent au DEUG ou L2.
Responsables de la formation
BARRAUD Jean-François : [email protected]
CASALIS Muriel : [email protected]
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Semestre 5
Durée : 12 semaines
code Apogee S5 presentiel ECTS CM TD TP UE a choix
EL5MEAM Topologie, espace de Hilbert 60 5 24 36
EL5MEBM Analyse numérique I 72 6 24 36 12
EL5MECM Théorie de la mesure, Probabilités 60 5 24 36
EL5MEDM Statistique 42 3 18 18 6
EL5MEEM Résolution de Problèmes 1 (option EI) projet 2 1 sur 2
EL5MEFM Bureau d'études en statistique 1 (option S)
EL5MEGM Logique, théorie des groupes (option E) 66
6
24 42
1 sur 3 EL5MEHM Programmation (option I) 60 24 36
EL5MEIM Economie (option S) 54 39 15
EL5MEJM Langues I 24 3 24
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EL5MEAM - TOPOLOGIE, ESPACE DE HILBERT
ECTS COURS TD TP
5 24 36
Objectifs
Que signifie qu' « au voisinage d'un point » est satisfaite telle ou telle propriété? Comment formaliser la propriété pour un ensemble d'être « d'un seul morceau »? C'est l'objet de la topologie que de donner un sens précis dans des espaces assez généraux à ce type de notions intuitives et nécessaires au développement de l'analyse; on se limitera ici aux espaces métriques, en insistant plus particulièrement sur les espaces vectoriels normés. On développera également un peu d'analyse hilbertienne.
Il y aura 2 résolutions de problèmes associées à ce module.
Pré requis
Topologie de R. Convergence de suites et séries dans R. Continuité. Notion d'espace vectoriel, dimension, applications linéaires.
Description
Plan du cours:
• Distances, espaces métriques. Normes, espaces vectoriels normés. Normes équivalentes. Espaces pré-hilbertiens.
• Suites de points dans un espace métrique. Espaces métriques complets. Espaces de Banach, espaces de Hilbert. Complété d’un espace métrique, d’un espace vectoriel normé, d’un espace pré-hilbertien (énoncés des résultats, idées des constructions, pas le temps de constructions détaillées).
• Parties ouvertes, fermées, compactes, complètes d’un espace métrique. Parties denses. Séparabilité (définition).
• Connexité, connexité par arcs.
• Applications continues, uniformément continues. Homéomorphismes. Applications linéaires continues. Applications continues définies sur un compact. Prolongement d’applications continues.
• La « technologie » des points fixes : point fixe d’une application contractante, méthode des approximations successives.
• Convexité: enveloppe convexe, points extrémaux, théorème de Carathéodory (en exercice). Projection sur un convexe fermé d’un espace de Hilbert.
• Analyse hilbertienne (suite) : isométrie de F. Riesz d’un espace de Hilbert, opérateur adjoint d’un opérateur ; une application : la « technologie » des moindres carrés ; bases hilbertiennes. Illustrations des résultats sur l’espace L2 (à coordonner avec ce qui est fait en parallèle).
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EL5MEBM - ANALYSE NUMERIQUE 1
ECTS COURS TD TP
6 24 36 12
Objectifs
Résoudre un problème linéaire (un système d'équations, inversion de matrice...) peut s'avérer bien plus ardu qu'il n'y paraît si sa taille est grande. On introduit ici différentes méthodes numériques efficaces utilisées à cet effet. Par ailleurs, la représentation numérique d'objets continus (tels que fonctions ou courbes) requiert des méthodes d'approximations dont quelques unes sont développées ici.
Il y aura 1 résolution de problèmes associée à ce module.
Pré requis
Algèbre linéaire, réduction des endomorphismes linéaires. Convergence des suites et séries de fonctions.
Description Plan du cours: (volumes horaires donnés à titre indicatif) Le cours est séparé en deux parties largement indépendantes de volumes horaires un peu inégaux. Certaines questions de la deuxième partie pourront faire appel à des résultats de la première.
• Algorithme fondamentaux de l’algèbre linéaire. (9 h cours + 14 h TD): On présente les méthodes fondamentales d’analyse numérique matricielle en privilégiant l’aspect vectoriel. On insistera sur les calculs de complexité. On évoquera les questions de stabilité de calcul sans traitement théorique. On rappellera (ou traitera) les résultats théoriques nécessaires (réductions de matrices remarquables). L’étude des normes matricielles et questions associées est repoussée au second semestre.
◦ Triangularisation des matrices par la méthode de Gauss. Problème du Pivot. Traduction matricielle. Factorisation LU. Calcul du rang d’une famille de vecteurs.
◦ Factorisation triangulaire des matrices symétriques définies positives. Méthode de Cholesky.
◦ Factorisation d’une matrice en un produit d’un matrice orthogonale par une matricielle triangulaire (méthode QR). Algorithmes de Calcul. Lien avec le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
◦ Inversion des matrices tridiagonales.
• Approximation des fonctions et des courbes. (15 h cours + 22 h TD).
◦ Le théorème de Weirstrass pour l’approximation uniforme des fonctions continues par des fonctions polynômes. Le théorème est démontré par la méthode des polynômes de Bernstein. (~2 h cours)
◦ Interpolation de Lagrange-Hermite : existence, formule de Neville Aitken, différences divisées, formule de Newton, algorithme de calcul, étude de l’erreur d’interpolation (~4 h cours)
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◦ Fonctions splines. Définition de l’espace de spline de classe Cm sur une subdivision donnée d’un intervalle. Dimension et base standard de cet espace. Base de B-splines. (~3h cours)
◦ Spline cubique d’interpolation. Définition, existence et algorithme de calcul. Application à l’approximation des fonctions et des courbes (au besoin, cet partie peut être traitée en TD uniquement). (~3 h cours)
◦ Courbes de Bezier. Définition, polygone de contrôle, propriétés géométriques, calcul (de Casteljau). Raccordement. (~3 h cours)
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EL5MECM - THEORIE DE LA MESURE, PROBABILITES
ECTS COURS TD TP
5 24 36
Objectifs
Dans ce module, on introduira brièvement la théorie de l'intégration sans rentrer dans les détails. On illustrera le cours de mesure essentiellement avec des exemples issus des probabilités. On mettra l'accent sur la maîtrise des calculs.
Il y aura 2 résolutions de problèmes associées à ce module.
Pré requis
Intégrale de Riemann, séries, séries entières, intégrales généralisées. Probabilités et variables aléatoires discrètes.
Description
Plan du cours: (le calendrier est donné à titre indicatif).
• Introduction de l'intégration de Lebesgue (2 semaines):
◦ Espaces mesurables, tribus.
◦ Mesures, espaces mesurés. Exemples de mesures: discrètes, continues, mixtes.
◦ Notion d'ensembles négligeables, de propriété vraie presque partout.
◦ Fonction de répartition.
◦ Mesure image. Illustration par des lois de probabilités.
◦ (pdt ce temps en TD: Révision intégrales généralisées de L2 (comparaison pour les fonctions positives, etc...)).
• Intégration par rapport à une mesure (2 semaines de cours, 3 semaines de TD):
◦ Définition des fonctions étagées positives, mesurables positives, de signe quelconque.
◦ Définition de l'intégrale. Lien avec l'intégrale de Riemann, avec les séries.
◦ Intégrale et égalité presque sûre.
◦ Théorèmes: Fatou, Beppo-Lévy, convergence dominée sans démonstration.
◦ Régularité des intégrales dépendant d'un paramètre (continuité, dérivabilité).
• Variables aléatoires (4 semaines):
◦ Loi d'une v.a.
◦ Théorème du transport, formule du changement de variable, application au calcul de lois.
◦ Espérance.
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◦ Fonction caractéristique, transformée de Laplace, fonction génératrice (rappel de L2).
◦ Les TD porteront essentiellement sur des v.a. à densité sur IR et un ou deux exercices de rappel sur les v.a. discrètes étudiées en L2.
• Mesures sur un espace produit, vecteurs aléatoires (4 semaines):
◦ Changement de variables (passage en coordonnées polaires), Théorème de Fubini.
◦ Vecteurs aléatoires: loi jointe, lois marginales.
◦ Indépendance. Loi d'une somme de v.a. indépendantes.
EL5MEDM - STATISTIQUES
ECTS COURS TD TP 3 18 18 6
Objectifs
La première partie du cours a pour objectif de présenter quelques outils de base de la statistique descriptive multidimensionnelle. La seconde partie est une initiation à la statistique inférentielle au travers d'un exemple simple : celui de l'estimation d'une proportion.
Il y aura 1 résolution de problèmes associée à ce module pour l’option Ingénierie seulement.
Pré requis
Il est nécessaire de posséder les notions de base du calcul des probabilités.
Description
Plan du cours:
1. Statistique descriptive:
• Statistique descriptive pour 2 variables.
◦ Problème de régression entre deux variables quantitatives unidimensionnelles.
◦ Covariance et coefficient de corrélation.
◦ Régression linéaire par moindres carres.
◦ Analyse de la variance (variance intra et inter classe).
◦ Table de contingence, test du chi-deux.
• Analyse en composantes principales.
◦ Principe (inertie, projection sur un axe), interprétation des résultats.
2. Estimation ponctuelle et par intervalle de confiance d'une proportion:
• Présentation du problème : estimation du paramètre d'une Bernoulli.
• Description du modèle statistique.
• La moyenne empirique vue comme un estimateur du paramètre d'intérêt.
• Propriétés de cet estimateur (sans biais et convergent).
• Intervalle de confiance de niveau exact pour une proportion.
• Utilisation du TCL pour la construction d'un intervalle de confiance asymptotique.
Bibliographie:
Saporta G. (1990). Probabilités, analyse de données et statistique. Technip.
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EL5MEEM - RESOLUTION DE PROBLEMES 1 (OPTION EI)
ECTS COURS TD TP
2 Projet
Objectifs
Le but est l’entrainement à la formalisation de raisonnement et à leur rédaction. Les sujets seront prioritairement choisis en liaison avec les cours et TD dispensés. Ils seront proposés et corrigés par les enseignants des matières concernées. La forme est libre : écrits en temps limité, problèmes guidés, etc…
Description
6 problèmes de 2h + 1h de correction répartis dans le semestre, dont : Pour l’option E :
• 2 en topologie et analyse hilbertienne • 2 en intégration et probabilités • 1 en analyse numérique • 1 en logique et théorie des groupes
Pour l’option I :
• 2 en topologie et analyse hilbertienne • 2 en intégration et probabilités • 1 en analyse numérique • 1 en statistique
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EL5MEFM - BUREAU D'ETUDES EN STATISTIQUE 1 (OPTION S)
ECTS COURS TD TP
2 Projet
Objectifs
Entrainement à la manipulation de données réelles.
Pré requis
Description
A partir de données "brutes" existantes, l'étudiant apprendra sur des exemples concrets à
� Récupérer les données existantes (données issues de différents onglets de tableurs, fichiers plats, externes…)
� Convertir les données suivant les formats de différents logiciels
� Nettoyer ces données
� Recoder ces données
afin d'obtenir un fichier exploitable par les différents logiciels statistiques utilisés.
L'étudiant apprendra à utiliser et interpréter différentes représentations graphiques des données statistiques.
Ce travail fera l'objet d'un dossier.
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EL5MEGM - LOGIQUE, THEORIE DES GROUPES (OPTION E)
ECTS COURS TD TP 6 24 42
Objectifs
Groupe de nombres, groupes d'isométries, groupes de permutations, la notion de groupe, bien qu'abstraite est omni présente dans le monde qui nous entoure. Après un retour sur quelques fondements des mathématiques, l'objectif est d'offrir une introduction à la théorie des groupes.
Il y aura 1 résolution de problèmes associée à ce module.
Pré requis
Bases d'algèbre linéaire, bases de géométrie affine euclidienne.
Description
Plan du cours:
• Éléments de logique, rappels sur le langage formel. Bases de théorie des ensembles, application injective, surjective, image directe, image réciproque d'une partie.
• Introduction aux graphes: définition, théorème d'Euler.
• Ensembles de nombres: axiomatique de N, construction de Z, Q, dénombrabilité, propriétés de R (existence admise), construction (élémentaire) de C à partir de R.
• Théorie des groupes: on multipliera les exemples concrets en lien avec l'algèbre linéaire et la géométrie affine ou euclidienne.
◦ définition de groupe, sous groupe, partie génératrice produit de groupes. Exemples Z/nZ, groupe symétrique, O(n), SO(n), GL(n)...
◦ morphisme de groupe, noyau et image.
◦ Sous groupe distingué, groupe quotient, factorisation canonique d'un morphisme de groupe.
◦ Groupe finis: ordre, ordre d'un élément
◦ Actions de groupes: formule des classes.
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EL5MEHM - PROGRAMMATION (OPTION I)
ECTS COURS TD TP 6 24 36
Objectifs
La simulation est un outil important d'aide à la décision. Elle nécessite la maîtrise d'outils de programmation. Ce cours est une introduction au langage C.
Pré requis
Néant.
Description
Le cours démarre par quelques généralités sur les langages compilés et présente quelques exemples simples de programmes écrits en C. On insiste alors sur la notion d'algorithme dont l'écriture doit précéder celle du programme. On passe ensuite en revue les éléments de syntaxe propres au C : types, boucles, structures de contrôle. On détaille l'utilisation de tableaux et des fonctions. Puis la gestion des chaînes de caractère et des entrées/sorties. Si le temps le permet, on aborde les types composés ou les pointeurs.
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EL5MEIM - ECONOMIE (OPTION S)
ECTS COURS TD TP 6 39 15
Objectifs
Ce cours est une introduction à l'histoire des modèles économiques.
Pré requis
Néant.
Remarque
Les cours auront lieu à l'UT1.
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EL5MEJM - LANGUES
ECTS COURS TD TP
3 24
Objectifs
Enrichissement du vocabulaire de base, grammaire selon les besoins et lacunes du groupe; à l'oral: prise de notes dans le cadre d'un cours ou d'une conférence en langue étrangère; à l'écrit: rédiger une communication ou un rapport scientifique.
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Semestre 6
Durée : 12 semaines
EL6MEAM Calcul différentiel, équations différentielles 60 5 24 36
Pratique option EI
5
1 sur 2 EL6MEB1 - Projet projet
EL6MEB2 - Résolution de Problèmes 2 projet
EL6MECM Pratique option S (bureau d'étude en stat) 24 36
Approfondissement option E
11
1 sur 2
EL6MED1 - Géométrie affine et euclidienne 90 36 54
EL6MED2 - Histoire des maths 36 12 24
Approfondissement option IS
EL6MEE1 - Approfondissement en intégration
et probabilités 60 24 36
EL6MEE2 - Statistique inférentielle 60 24 24 12
EL6MEFM Analyse et TP informatique (option E) 72
6
24 36 12
1 sur 3 EL6MEGM Analyse numérique II (option I) 72 24 36 12
EL6MEHM Info pour les stats (option S) 66 24 24 18
EL6MEIM Langues II 24 3 24
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EL6MelEEAM EL6MEAM - CALCUL DIFFERENTIEL, EQUATIONS DIFFERENTI ELLES
ECTS COURS TD TP 5 24 36
Objectifs Il est bien rare qu'un phénomène ne dépende que d'un seul paramètre et le calcul différentiel a pour objet de développer des outils d'analyse pour les fonctions de plusieurs variables, et en particulier la notion usuelle de dérivée et ses applications. Les équations différentielles quant à elles décrivent comment un système (physique ou autre) évolue et régissent donc les phénomènes les plus divers. Le but est d'offrir des moyens d'investigation des ces équations, et de résoudre les plus simples: les équations linéaires.
Il y aura 2 résolutions de problèmes associées à ce module.
Pré requis
Fonction d'une variable réelle, dérivabilité, accroissements finis. Équations différentielles linéaires d'ordre 1 et 2 à coefficients constants en dimension 1.
Description
Plan du cours:
• Calcul différentiel:
◦ Fonctions de plusieurs variables réelles différentiables, différentielle, dérivées partielles, matrice Jacobienne.
◦ Applications de classe C1 et caractérisation en termes de dérivées partielles.
◦ Théorème des accroissements finis à plusieurs variables. Applications et illustrations.
◦ Différentielles seconde, Hessienne, développement de Taylor à l'ordre 2. Application à la recherche d'extrema.
◦ Inversion locale et théorème des fonctions implicites (en dimension finie).
• Équations différentielles:
◦ Théorème de Cauchy Lipschitz : fonctions localement lipschitziennes par rapport à une variable, existence et unicité locale des solutions, solutions maximales. Lemme de Gronwall.
◦ Équations linéaires y'=A(t)y + V(t). Existence et unicité globale, résolvante de l'équation homogène. Structure linéaire et affine des espaces de solutions des équations homogènes et inhomogènes. Recherche d'une solution particulière par la méthode de variation de la constante. Formule de Duhamel.
◦ Équations linéaires à coefficients constants: explicitation de résultats précédents dans ce cas, exponentielle matricielle, forme générale des solutions.
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EL6MEEB1 EL6MEB1 - PROJET 9 (OPTION EI)
ECTS COURS TD TP
3 Projet
Objectifs
Se confronter à la pratique des mathématiques dans les métiers des orientations envisagées.
Description
Pour l'option ingénierie: travail en petits groupes (9 étudiants maximum) du type: rédaction de solution d'un problème, synthèse et illustration d'une partie d'un livre, modélisation et résolution numérique d'un problème, bureau d'étude statistique.
Pour l'option enseignement: approfondissement d'un thème mathématique de l'enseignement secondaire (d'un point de vue mathématique, épistémologique ou historique) en liaison avec le stage en collège/lycée (point de vue didactique, observation et analyse de séance).
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EL6MEB2 EL6MEB2 - RESOLUTION DE PROBLEMES 2 (OPTION EI)
ECTS COURS TD TP PROJET
2
Objectifs
Le but est l’entrainement à la formalisation de raisonnement et à leur rédaction. Les sujets seront prioritairement choisis en liaison avec les cours et TD dispensés. Ils seront proposés et corrigés par les enseignants des matières concernées. La forme est libre : écrits en temps limité, problèmes guidés, etc…
Description
Comme au semestre précédent: 6 problèmes de 2h + 1h de correction répartis dans le semestre, dont : Pour l’option E :
• 2 en calcul différentiel • 2 en géométrie affine et euclidienne • 2 en analyse
Pour l’option I :
• 2 en calcul différentiel • 2 en approfondissement en intégration et probabilités • 1 en analyse numérique • 1 en statistique inférentielle.
EL6MECM EL6MECM - BUREAU D'ETUDES EN STATISTIQUE (OPTION S)
ECTS COURS TD TP PROJET
5 24 36
Objectifs/Description:
L'étudiant apprend à construire un raisonnement scientifique pour résoudre un problème appliqué. Tout particulièrement, le problème sera réécrit de manière mathématique, résolu théoriquement et pratiquement, puis mis en pratique au moyen des outils informatiques appropriés.
On sensibilise particulièrement ici l'étudiant sur les qualités essentielles du produit rendu (lisibilité, accessibilité, prise en compte de contraintes, représentations graphiques, plan et logique, orthographe et expression, recul par rapport aux sorties du logiciel, interprétation des résultats...).
Ce module prépare ainsi l'étudiant au travail de R&D qu'il aura à accomplir dans ses stages en entreprise et également dans sa vie professionnelle.
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EL6MED1 EL6MED1 - GEOMETRIE AFFINE ET EUCLIDIENNE (OPTION E )
ECTS COURS TD TP 9 36 54
Objectifs
La géométrie affine et la géométrie affine euclidienne offrent le cadre naturel où développer la géométrie usuelle du plan ou de l'espace à 3 dimensions ou plus. On en présente les propriétés et on étudie leurs groupes de transformations. La géométrie différentielle développe l'étude locale les courbes ou surfaces: notion de tangente, courbure, torsion...
Il y aura 2 résolutions de problèmes associées à ce module.
Pré requis
Algèbre linéaire de L1 et L2, analyse de L1 et L2.
Description
• Géométrie affine:
◦ Compléments de géométrie euclidienne - Orientation d'un espace vectoriel, angle de deux vecteurs dans le plan et l'espace, produit vectoriel. - Espaces euclidiens, décomposition polaire, projection orthogonale - Isométries vectorielles: décomposition canonique selon les sous-espaces stables, sous-groupe de O (3). - Groupes opérant sur un ensemble. Produit des classes
◦ Géométrie affine - Espaces affines, barycentre et applications affines - Quelques théorèmes célèbres: (Thalès, Menelaus, Desargues, ...).
◦ Géométrie affine euclidienne - Classification des isométries dans le plan et l'espace. Groupe des isométries du plan, groupes discrets de symétrie d'un sous-ensemble convexe borné de $R³$.
◦ Sphère de Riemann et homographies.
◦ Géométrie du triangle, du cercle, du tétraèdre et de la sphère.
◦ Coniques : points de vue algébrique et point de vue affine euclidien
• Géométrie différentielle:
◦ Courbes paramétrées dans le plan et l'espace; notion de tangente [comme limite de sécantes pour la distance « angulaire » sur l'espace des droites passant par un point]; branches infinies.
◦ Courbes de Bézier (également traitées du point de vu numérique en analyse numérique).
◦ Paramétrage par la longueur d'arc, longueur d'une courbe; courbure d'une courbe plane; courbure et torsion d'une courbe de l'espace.
◦ Nappes paramétrées dans l'espace, plan tangent et position par rapport au plan tangent en un point.
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EL6MED2 EM6MED2 - HISTOIRE DES MATHS (OPTION E)
ECTS COURS TD TP
3 12 24
Objectifs/Description
Épistémologie, histoire et didactique des sciences pour l'enseignement des mathématiques en collège et lycée. On pourra par exemple étudier la construction des systèmes de nombres, la mise en place de concepts de géométrie, d'algorithmique, de probabilités et statistique, etc. d'un point de vue épistémologique, historique et didactique. On introduira aussi les notions utiles à la préparation et au suivi du stage en établissement.
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EL6MEE1 EL6MEE1 - APPROFONDISSEMENT EN INTEGRATION ET PROBA BILITES
ECTS COURS TD TP
5 24 36
Objectifs
Suite et approfondissement du cours d'intégration et probabilité du S5.
Il y aura 2 résolutions de problèmes associées à ce module.
Pré requis
Il est nécessaire de posséder les notions d'intégration vues au premier semestre du L3.
Description
Plan du cours:
• Vecteurs gaussiens. Définition, fonction caractéristiques, caractérisation à l'aide la moyenne et de la matrice de variance-covariance, densité lorsque la matrice de variance-covariance est inversible, transformation par changement de variable affine, caractérisation de l'indépendance des coordonnées à l'aide de la matrice de variance-covariance.
• Espaces L1 et L2. Inégalités (Cauchy-Schwartz, Markov, Bienaymé-Tchebychev , Jensen). Complétude et densité des fonctions continues (admis). Projection dans L2 lien avec l'espérance conditionnelle.
• Notions de convergences (presque sûre, en probabilité, en loi),
• Lemme de Borel-Cantelli (version simple). Loi des grands nombres et théorème de la limite centrale (rappel de S5 statistique)
• Lois conditionnelles (continue-continue, discrète-discrète, discrète-continue).
• Convolution dans RN et pour la mesure de Lebesgue.
• Régularité de et intégrabilité de la convolée suivant celle des termes du produit de convolution. Régularisation par convolution, unités approchées à support compact ou non.
• Transformée de Fourier dans RN et pour la mesure de Lebesgue. Transformée de Fourier dans L1. Riemann Lebesgue. Propriétés de régularités. Extension à L2. Parseval. Transformée de Fourier inverse. Caractérisation des densités de probabilités. Transformée de Fourier d'une convolution (en travaux dirigés: lien avec les séries de Fourier, noyaux de Dirichlet et de Fejer).
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EL6MEE2 EL6MEE2 - STATISTIQUE INFERENTIELLE (OPTION IS)
ECTS COURS TD TP
6 24 24 24
Objectifs
Suite et approfondissement du cours du semestre précédent.
Pré requis
Il est nécessaire de posséder les notions de base du calcul des probabilités, ainsi que certaines notions de probabilité vues au premier semestre du L3.
Il y aura 1 résolution de problèmes associée à ce module pour l’option Ingénierie.
Description
Plan du cours:
• Estimation.
◦ Exemples introductifs.
◦ Le modèle statistique paramétrique d’échantillonnage.
◦ Recherche de statistique exhaustive (critère de factorisation).
◦ Définition de l’information de Fisher et propriétés.
◦ Estimations par maximum de vraisemblance et par la méthode des moments.
◦ Définitions d’un estimateur sans biais, d’un estimateur convergent.
◦ Inégalité de Cramer-Rao et estimateur efficace.
◦ Propriétés asymptotiques de l’estimateur du maximum de vraisemblance.
◦ Définition d’un intervalle de confiance.
◦ Notion de fonction pivotale.
◦ Intervalle de confiance exact pour la moyenne et la variance d’une loi normale.
◦ Construction d’un intervalle de confiance asymptotique à partir du théorème de la limite centrale
• Tests.
◦ Notions de base : région critique, niveau, puissance d’un test.
◦ L’approche de Neyman-Pearson.
◦ La problématique d’un test à partir d’exemples concrets.
◦ Test uniformément plus puissant et théorème de Neyman-Pearson.
◦ Tests portant sur la moyenne ou sur la variance d’une loi normale.
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◦ Tests relatifs à 2 échantillons gaussiens indépendants : test de comparaison des variances (test de Fisher), test de comparaison des moyennes.
◦ Test portant sur la comparaison de 2 proportions.
◦ Tests non paramétriques : test du chi-deux d’adéquation à une loi donnée, test du chi-deux d’indépendance, test des signes.
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EL6MEFM E26MEFM - ANALYSE ET TP INFORMATIQUE (OPTION E)
ECTS COURS TD TP
6 24 36 12
Objectifs
Les deux parties analyse et TP sont assez largement indépendante.
A l'instar des nombres réels qui ne sont en général accessible que par approximation successives, la plupart des fonctions d'une variable réelle s'obtiennent comme limite de suite ou somme de série. On étudie ici les différentes notions de convergence pour les suites et séries de fonctions, et leurs propriétés: une limite de fonctions continues, dérivables ou intégrables est-elle elle même continue, dérivable ou intégrable? Par ailleurs, ce cours offre des compléments en calcul intégral, en insistant sur la pratique du calcul.
Les TP sont orientés vers le développement et l'implémentation d'algorithmes sur divers supports logiciels.
Il y aura 2 résolutions de problèmes associées à ce module.
Pré requis
Suites et séries numériques, continuité, dérivabilité, intégrabilité des fonctions d'une variable réelle.
Description
Plan du cours:
• Compléments d'intégration:
◦ intégrales simples et généralisées,
◦ intégrale curviligne, intégrales multiples, calculs d'aire et de volumes.
◦ Formule de Green-Riemann.
• Suites et séries de fonctions:
◦ Convergence simple, uniforme, normale.
◦ Convergence uniforme et limite, intégration, continuité, dérivation.
◦ Séries entières: notion de rayon de convergence, calcul du rayon de convergence, développement en série entière, applications
• TP informatique: algorithmique pratique.
◦ illustration du cours de d'analyse numérique I,
◦ illustration en géométrie
◦ algorithmique, y compris sur calculettes.
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EL6MEGM EL6MEGM - ANALYSE NUMERIQUE II (OPTION I)
ECTS COURS TD TP
6 24 36 12
Objectifs/Description:
Ce cours reprend et complète les enseignements d'analyse numérique de L2 et de L3 (1er semestre).
Une première partie est dédiée à divers compléments de calcul matriciel qui jouent un rôle important pour de futurs ingénieurs mathématiciens.
On traite le problème des erreurs, le conditionnement des systèmes linéaires, la décomposition en valeurs singulières, l'inverse généralisé et le problème des moindres carrés.
On aborde les méthodes itératives adaptées pour la résolution des grands systèmes linéaires. Il s'agit d'abord des schémas classiques (Jacobi, Gauss-Seidel, relaxation). On donne un petit aperçu sur les méthodes plus modernes de projection sur les sous-espaces de Krylov qui permettent de traiter des systèmes de très grande dimension. Un cours plus complet sur ces méthodes devrait être proposé en M1 ingénierie.
Enfin, on donne quelques indications sur les méthodes de calcul des valeurs propres (essentiellement, méthode de la puissance).
La seconde partie de ce cours traite de l'approximation numérique des équations différentielles. Les notions fondamentales de convergence, consistance et stabilité d'un schéma sont présentées et illustrées à partir de quelques schémas classiques (Euler, Runge-Kutta).
Plusieurs exemples d'applications numériques sont étudiés en TD ou TP.
La dernière partie donne quelques compléments sur la méthode de Newton appliquée à la résolution de systèmes non linéaires. C'est l'occasion de voir comment les méthodes linéaires interviennent aussi dans la résolution de systèmes non linéaires. L'étude de la méthode de Gauss-Newton permet de faire le lien avec le problème des moindres carrés. Les méthodes de Quasi-Newton montrent comment il est possible d'obtenir des méthodes de résolution plus simples à partir d'approximations des matrices jacobiennes considérées par la méthode de Newton.
Pour illustrer ces méthodes, on étudie en TD et TP plusieurs exemples de systèmes issus de différents domaines.
Il y aura 1 résolution de problèmes associée à ce module.
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EL6MEHM EL6MEHM - INFORMATIQUE POUR LA STATISTIQUE (OPTION S)
ECTS COURS TD TP
6 24 24 18
Objectifs
Apprentissage des concepts de base de l'algorithmique et d'un langage de programmation impérative à l'aide du logiciel R.
Description
La mise en situation concrète (comme dans un bureau d'étude) est abordée à l'aide d'un travail personnel (ou en binôme) sur des données collectées par l'étudiant sur un thème choisi par lui ou un thème et des données proposés par l'enseignant. Un document synthétique doit être rendu avec présentation de l'étude, des traitements des données effectués et des résultats obtenus.
Ce travail fera l'objet d'un mémoire.
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Code Apogée EL6MEIM - LANGUES / ANGLAIS
ECTS COURS TD TP 3 24
Contenu
Poursuite du travail du semestre précédent.
