M ethodes Math ematiques pour la Physique I Partie IIhebergement.u-psud.fr/l3papp/wp-content/uploads/2015/12/Cours.maths_.L... · Licences de M ecanique et de Physique et Applications

Licences de Mecanique et de Physique et Applications Universite Paris-Sud

Methodes Mathematiques pour laPhysique I

Partie II

Chapitre 1 : Algebre Lineaire

Chapitre 2 : Bases non orthonormees, Metriques et Changement de Base

A. Abada

– 2015 - 2016–

3

- L3 Mecanique et Physique et Applications - Annee 2014-2015A. Abada

4


Table des matieres

1 Algebre lineaire 7

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Rudiments d’algebre lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Vecteurs et Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Produit de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Definition d’un espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.3 Dimension de l’espace de Hilbert et base hilbertienne . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Operateurs et representation matricelle d’operateurs . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.1 Representation matricielle d’un operateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.2 Elements de matrice d’un operateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.3 Adjoint et Transpose d’un operateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.4 Produit d’operateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.5 Decomposition d’un operateur en operateur elementaires . . . . . . . . . . 21

1.4.6 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.7 Trace d’un operateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5 Inversion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6 Matrices utiles et leurs proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6.1 Matrices scalaires, triangulaires, nilpotentes et unipotentes . . . . . . . . 25

1.6.2 Matrices unitaires et matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.7 Resolution d’un systeme d’equations lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6 TABLE DES MATIERES

1.7.1 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.8 Diagonalisation d’un operateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.8.1 Valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.8.2 Vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.8.3 Retour sur les invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Bases non orthonormees, Metriques et Changement de Base 31

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Metrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Notation avec la convention de sommation d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.1 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.2 Consequences du changement de base sur la metrique g . . . . . . . . . . 35


Chapitre 1

Algebre lineaire

1.1 Introduction

Les lois de la physique se presentent souvent sous forme de relation lineaires : lois fondamen-tales du mouvement, systemes electriques, etc. De maniere generale, on appelle equation lineairedans les variables xi, i = 1, n, toute relation de la forme

n∑i=1

aixi = c , (1.1)

ou ai, i = 1, n et b sont des coefficients reels.Ces equations lineaires decrivent des relations entre les variables xi sans donner directement lesvaleurs que ces dernieres peuvent prendre (solutions) - on dit qu’elles sont implicites.

Definitions

1. Un ensemble fini d’equations lineaires dans les variables xi, i = 1, n s’appelle un systemed’equations lineaires.

2. Tout n-uplet de nombres si, i = 1, n satisfaisant chacune des equations s’appelle solutiondu systeme d’equations lineaires.

3. Un systeme d’equations lineaires est dit incompatible ou inconsistent s’il n’admet pas desolutions.

Exemple : considerons le systemea11x1 + a12x2 = b1a21x2 + a22x2 = b2 ,

(1.2)

ou a11 · a12 6= 0 et a22 · a21 6= 0. Ces deux equations representent deux droites (D1) et(D2) du plan x1x2. Une solution de ce systeme est un point (s1, s2) appartenant aux deuxdroites. Si les droites se coupent en un seul point, le systeme est compatible, si elles sontparalleles, le systeme est incompatible, enfin si les droites sont confondues, le systeme aune infinite de solutions.

Avant de pouvoir ecrire les systemes d’equations lineaires sous forme matricielle, un rappelsur les matrices, plus generalement sur l’algebre lineaire, est necessaire.

8 CHAPITRE 1. ALGEBRE LINEAIRE

1.2 Rudiments d’algebre lineaire

L’algebre lineaire est la branche des mathematiques consacree a l’etude des espaces vectoriels,des transformations lineaires et des systemes d’equations lineaires.

Nous avons besoin de quelques definitions afin de fixer le langage.

I Un anneau A est un ensemble non vide muni d’une loi d’addition (+)- groupe commutatif -et d’une loi de multiplication (notee (×) ou ·)- associative -, possedant un element neutre (1),et distributive par rapport a l’addition.

I Un corps K est un anneau dans lequel tout element non nul est inversible. Citons par exemplele corps R des nombres reels, le corps C des nombres complexes, le corps IQ des nombres ration-nels, etc,. Un corps est dit commutatif si la multiplication est commutative.

I Un espace vectoriel V sur un corps K est un groupe commutatif pour une loi +, muni d’uneaction de K, c’est a dire une application lineaire de K×V dans V : (λ, x)→ λ ·x) verifiant pourtout x, y ∈ V et pour tout λ, µ ∈ K les propretes suivantes :

λ · (x+ y) = (λ · x) + (λ · y), (λ+ µ) · y = (λ · y) + (µ · y), λ · (µ · x) = (λ µ) · x . (1.3)

Un espace vectoriel est donc un ensemble muni d’une structure permettant d’effectuer des com-binaisons lineaires. Il est defini sur un corps. Les elements de l’espace vectoriel (du corps) sontappeles vecteurs (scalaires).

Dans un premier temps, on considere des espaces vectoriels definis sur le corps des reelsqu’on generalisera ensuite aux espaces vectoriels definis sur le corps des complexes (espaces deHilbert).

1.2.1 Vecteurs et Bases

Considerons un espace vectoriel V sur Rn (de dimension n). Tout vecteur ~V de V se decomposesur des vecteurs de base ~ui comme suit

~V =n∑i=1

ci~ui, avec ci ∈ R. (1.4)

On appelle ci les composantes du vecteur ~V .

On note en general la base canonique de V sur laquelle tout vecteur de V se decompose

~u1, ~u2, ..., ~un (1.5)


1.2. RUDIMENTS D’ALGEBRE LINEAIRE 9

avec

u1u1u1 =

100...0

; u2u2u2 =

010...0

; · · · ; ununun =

00...01

, (1.6)

Il s’agit d’une base orthonormee de V, les vecteurs ~ui verifient donc

~ui · ~uj =

0 si i 6= j1 si i = j

= δij . (1.7)

Dans Eq. (1.7), le symbole δij qui permet une ecriture compacte des expressions, est appelesymbole de Kronecker.

1.2.2 Produit de vecteurs

Soient ~a, ~b et ~c trois vecteurs quelconques de V et soit λ un nombre reel, alors(toutes les relations suivantes peuvent etre facilement demontrees) :i) ~a+~b = ~b+ ~a ;ii) ~a+ (~b+ ~c) = (~a+~b) + ~c ;iii) λ(~a+~b) = λ~a+ λ~b

Produit scalaire

Soient ~a = (a1, a2, ..., an)t et ~b = (b1, b2, ..., bn)t deux vecteurs quelconques de V. On definitleur produit scalaire par le scalaire reel (on travaille pour le moment avec des espacesvectoriels definis sur le corps des reels) :

~a ·~b =

n∑i=1

aibi. (1.8)

Le produit scalaire ainsi defini verifie les prorpietes suivantes si ~a, ~b et ~c sont trois vecteursquelconques de V et λ ∈ R :

i) ~a ·~b = ~b · ~a (commutatif) ;ii) ~a · (~b+ ~c) = ~a · ~c+~b · ~c ;iii) λ(~a) ·~b = λ(~a ·~b) ;iv) ~a · ~a ≥ 0 ;v) ~a · ~a = 0 si et seulement si ~a = ~0.



Norme et distance euclidienne

On definit la norme ou la norme euclidienne d’un vecteur ~a ∈ V par

||~a|| =√~a · ~a ≡

√〈a|a〉 =

√√√√ n∑i=1

(ai)2. (1.9)

La distance ou distance euclidienne entre deux vecteurs ~a et ~b de V est definie par

d(~a,~b) = ||~a−~b|| =

√√√√ n∑i=1

(ai − bi)2 . (1.10)

On peut demontrer grace aux differentes definitions et proprietes que ∀ ~a, ~b ∈ V et ∀ λ ∈ R,alors

— ||~a|| ≥ 0 ;— ||λ~a|| = |λ| ||~a|| ;— ||~a+~b|| ≤ ||~a||+ ||~b|| (inegalite du triangle) ;— |~a ·~b| ≤ ||~a||||~b|| (inegalite de Cauchy-Schwarz).

Produit vectoriel de vecteurs

C’est ici l’occasion de rappeler comment calculer un produit vectoriel de deux vecteurs del’espace vectoriel. Par exemple le vecteur de Poynting en electromagnetisme, defini par produitvectoriel du champ electrique par le champ magnetique divise par la permitivite magnetiquedu vide, ~E ∧ ~B/µ0, ou le vecteur moment cinetique orbital en mecanique defini par le produitvectoriel du vecteur position par le vecteur quantite de mouvement ou impulsion, ~r ∧ ~p etc.Soient aaa = (a1, a2, ..., an)t et bbb = (b1, b2, ..., bn)t deux vecteurs quelconques de V. On definit leproduit vectoriel de ces deux vecteurs par le vecteur ~c = ~a ∧ ~b (reel, V etant un espacevectoriel defini sur R3). Il s’´ecrit dans la base la base orthonormee ~ui, i = 1, 3 :

aaa ∧ bbb = ccc =

a1a2a3

∧b1b2b3

=

a2b3 − a3b2a3b1 − a1b3a1b2 − a2b1

. (1.11)

On peut verifier que le produit vectoriel d’un vecteur par lui-meme est nul et que produitvectoriel est anticommutatif :

~a ∧~b = −~b ∧ ~a. (1.12)


1.2. RUDIMENTS D’ALGEBRE LINEAIRE 11

Formules utiles : soient quatre vecteurs quelconques ~a, ~b, ~c, ~d. Les relations ci-dessous seronttres utiles et sont facile a demontrer :

~a ∧(~b ∧ ~c

)+~b ∧ (~c ∧ ~a) + ~c ∧

(~a ∧~b

)= ~0 ; (1.13)

~a ∧(~b ∧ ~c

)= (~a · ~c)~b−

(~a ·~b

)~c ; (1.14)(

~a ∧~b)·(~c ∧ ~d

)= (~a · ~c)

(~b · ~d

)−(~a · ~d

)(~b · ~c

); (1.15)(

~a ∧~b)∧(~c ∧ ~d

)=[(~a ∧~b

)· ~d]~c−

[(~a ∧~b

)· ~c]~d (1.16)

=[(~c ∧ ~d

)· ~a]~b−

[(~c ∧ ~d

)·~b]~a . (1.17)

Tenseur antisymetrique de Levi-Civita

Soit ~e1, ~e2, ~e3 une base orthonormee directe. On peut definir un tenseur antisymetrique,dit de Levi-Civita, comme

εijk = (~ei ∧ ~ej) · ~ek . (1.18)

Grace a la definition du produit vectoriel, on peut immediatement verifier que

a) ε123 = 1,b) εijk est completetment antisymetrique : εijk = −εjik = +εjki.

Avec cet outil, on peut compacter des expressions lourdes. Par exemple, on peut montrerque le produit vectoriel de deux vecteurs ~A et ~B appartenant a un espace vectoriel sur R3 peuts’ecrire comme

~A ∧ ~B =∑k

∑i,j

εijkAjBk

~ek , (1.19)

ou ~ek, k = 1, 3 est une base directe.

I En utilisant la convention de sommation d’Einstein :”dans une expression, tout indice repete est somme”, on peut ecrire le produit vectorielde deux vecteurs comme

~A ∧ ~B =∑k

(εijkAiBj)~ek = εijkAiBj~ek =⇒(~A ∧ ~B

)k

= εijkAiBj . (1.20)

Exercice— En utilisant le tenseur de Levi-Civita, calculer les composantes cartesiennes du moment

cinetique orbital ~L = ~r∧~p, ou ~r et ~p sont les vecteurs position et impulsion d’une particuleponctuelle.

— Refaire le meme exercice et retrouver les coordonnees cylindriques et spheriques de cememe vecteur ~L.



Exercice Utilisez le tenseur de Levi-Civita pour demontrer les relations Eqs. (1.13) a (1.17).

I Le produit scalaire qu’on a rappele dans cette section concernait des espaces vectoriels definissur Rn. En mecanique quantique, les vecteurs qu’on utilise (vecteurs caracterisant l’etat quan-tique d’un systeme) ont des composantes complexes (a cause de l’interpretation probabiliste).Ces vecteurs appartiennent a des espaces vectoriels definis sur le corps des complexes qu’onappelle “espaces de Hilbert”. On note -notation de Dirac - ces vecteurs ~ψ : “|ψ〉” et on lesappelle “ket” en mecanique quantique. C’est ce que nous allons aborder dans la section qui suit.

1.3 Definition d’un espace de Hilbert

Definition 1 : Un espace de Hilbert est un espace vectoriel defini sur le corps descomplexes, complet, muni d’un produit scalaire complexe hermitien (et dont la normedefinie positive decoule de ce produit scalaire).

En plus d’etre complet 1, on suppose l’espace de Hilbert egalement separable - il existe une suitepartout dense 2 dans V.

1.3.1 Notations

— Dans toute la suite, on notera x∗ le complexe conjugue de x, quelque soit le nombrecomplexe x.

— Un vecteur ~V de V sera note |V 〉 pour bien se rappeler que ses composantes sur une basepeuvent etre complexes.

— Dans une base canonique, le transpose d’un vecteur colonne |V 〉 est un vecteur ligne,dont les composantes sont les complexes conjuguees de celles du vecteur colonne. On lenotera 〈V |.

1.3.2 Produit scalaire

Definition 2 : On appelle produit scalaire hermitien sur un espace vectoriel V, touteforme sesquilineaire

(x, y)application−−−−−→ 〈x, y〉 (1.21)

1. Complet : un espace vectoriel V est complet si toute suite de Cauchy de V est convergente dans V.2. En topologie, un espace separable est un espace topologique contenant un sous-ensemble denombrable et

dense, c’est-a-dire contenant un ensemble denombrable de points dont l’adherence est egale a l’espace topologiquetout entier.


1.3. DEFINITION D’UN ESPACE DE HILBERT 13

I Ce produit scalaire verifie par definition les proprietes suivantes :

i) Propriete d’hermiticite : 〈g, f〉 = 〈f, g〉∗ ;

ii) Antilinearite a gauche : ∀α, β ∈ C et f, g, h ∈ V , 〈αg + βf, h〉 = α∗〈g, h〉+ β∗〈f, h〉 ;Linearite a droite : ∀α, β ∈ C et f, g, h ∈ V , 〈h, αg + βf〉 = α〈h, g〉+ β〈h, f〉 ;

iii) Norme positive : 〈f, f〉 ≥ 0 , ∀f ∈ V ;

iv) 〈f, f〉 = 0 si et seulement si f = 0.

Notation : soient |ψ1〉 et |ψ2〉 ∈ V, on notera leur produit scalaire comme suit :

(ψ1, ψ2) −→ 〈ψ1, ψ2〉,avec 〈ψ1, ψ2〉 = 〈ψ2, ψ1〉∗. (1.22)

La propriete d’hermiticite ainsi que la positivite du produit scalaire (1.22) impliquent quela norme d’un vecteur est reelle et positive

〈ψ,ψ〉 =‖ |ψ〉 ‖2 = 〈ψ|ψ〉∗ ≥ 0. (1.23)

Definition de l’espace dual de V

En general, l’espace dual d’un espace vectoriel V est l’ensemble des formes lineaires sur V.

I On appelle donc V∗, le dual de V, l’espace vectoriel des formes lineaires (〈ω, ·〉) ∈ V∗ tellesque l’action de 〈ω, ·〉 ∈ V∗ sur un vecteur |v〉 ∈ V donne le nombre scalaire complexe 〈ω, v〉.

I On montre qu’il y a une correspondance bi-univoque et sesquilineaire entre l’espacede Hilbert V et son dual V∗, qui est l’ensemble des formes lineaires continues definies sur V(isomorphisme 3).

Definition 3 : A tout vecteur |ψ〉 ∈ V, on associe un element de V∗, le dual de l’espacede Hilbert, note 〈ψ|, appele vecteur ligne ou “bra”

ket −→ bra

|ψ〉 ∈ V −→ 〈ψ| ∈ V∗ (1.24)

Le produit scalaire dans l’espace des etats (de Hilbert) de deux vecteurs |ψ1〉 et |ψ2〉 estforme par la forme “bra, ket” - c’est a dire “vecteur ligne · vecteur colonne” :

〈ψ2, ψ1〉 ≡ 〈ψ2|ψ1〉 . (1.25)

3. Isomorphisme : application bijective qui preserve la structure ; V est le dual de V∗.



Resume :

La notation de Dirac s’inspire de la relation bi-univoque entre l’espace de Hilbert et son dual.

I A tout vecteur |ψ〉 ∈ V (vecteur colonne) −→ 〈ψ| ∈ V∗ (vecteur ligne dont les compo-santes sont les conjuguees complexes de celles du vecteur colonne) ;

I L’action du vecteur ligne 〈ψ| ∈ V∗ sur le vecteur colonne |φ〉 ∈ V est le produit scalairede |φ〉 par |ψ〉, tel que (et pour assurer la positivite de la norme) :

〈ψ|φ〉 = 〈φ|ψ〉∗ .

1.3.3 Dimension de l’espace de Hilbert et base hilbertienne

I La dimension d’un espace de Hilbert peut etre finie comme dans le cas du traitement du spin :l’espace des etats de spin est discret. Dans ce cas on utilise des bases finies (denombrables).

I La dimension peut etre infinie comme c’est le cas de l’espace ∈ L2(R3) des fonctions d’ondede carre sommables (qu’on utilise en mecanique quantique ondulatoire) et auquel cas on utiliserales bases continues.

Projecteurs

Prenons le cas d’un espace vectoriel complet de dimension finie n. Soit |ui〉, i = 1, n unebase orthonormee de V. Le projecteur sur le vecteur |ui〉 est defini par

Pi = |ui〉〈ui|. (1.26)

On peut verifier que P 2i = Pi (et que - voir plus loin - P †i = Pi). La somme de tous les projecteurs

sur les vecteurs |ui〉 donnera l’identite 11 (l’espace vectoriel en question etant ”complet”). La base|ui〉, i = 1, n verifie donc la relation de fermeture et la condition d’orthonormalisation :

n∑i=1

|ui〉〈ui| = 11, (1.27)

〈ui|uj〉 = δij . (1.28)

Les vecteurs |u1〉, · · · , |un〉 sont vus comme des vecteurs colonnes (en metrique euclidienne), cf.Eq. (1.6)

|u1〉 =

100...0

; |u2〉 =

010...0

; · · · ; |un〉 =

00...01

, (1.29)


1.3. DEFINITION D’UN ESPACE DE HILBERT 15

et les bra sont vus comme des vecteurs ligne

〈u1| = (1, 0, 0, · · · , 0) ; · · · ; 〈un| = (0, · · · , 0, 1); (1.30)

avec |ui〉 = 〈ui|†, (1.31)

de sorte que si |ψ〉 et |φ〉 sont deux vecteurs s ∈ V, on peut les ecrire sur la base choisie |ui〉 :

|ψ〉 =∑i

ψi|ui〉,

|φ〉 =∑i

φi|ui〉,

et leur produit scalaire est donne par

〈ψ|φ〉 =

N∑i,j=1

(ψ∗i 〈ui|) (φj |uj〉) =

N∑i,j=1

ψ∗i φj〈ui|uj〉

=N∑i=1

ψ∗i φi. (1.32)

Exercice

— Utiliser les proprietes du produit scalaire hermitien pour demontrer l’equation precedente(ne pas oublier le caractere antilineaire a gauche et lineaire a droite !).

— Calculer le produit scalaire de |ψ〉+ i|φ〉 par i|ψ〉 − |φ〉.

Cas de bases de dimension infinie

En general, pour les cas etudies en physique, on travaille toujours avec des bases denombrables,c’est a dire que l’on peut indexer par un nombre entier. De nombreux exemples se trouvent dejadans le cours sur les equations differentielles lineaires : la fonction d’onde de l’oscillateur har-monique en mecanique quantique se developpe sur la base des fonctions polynomes de HermiteHn(x), n ∈ N. Un autre exemple concerne la description quantique de l’atome d’hydrogene, oudu fait de la symetrie centrale, la partie spatiale de la fonction d’onde ψ(~r, t) = ψ(r, θ, φ, t) sesepare en un produit d’une fonction radiale f(r) par une fonction angulaire, φ(θ, φ) ; chacunede ces fonctions se developpent sur des bases denombrables et continues, celle des polynomes deLaguerre Ln(r), n ∈ N pour la fonction radiale, et celles des harmoniques spheriques Y`,m(θ, φ),` ∈ N, −` ≤ m ≤ +` pour la partie angulaire (direction). Ainsi, dans ce cas, la fonction d’ondes’ecrit

ψ(~r, t) = ψ(r, θ, φ, t) =∞∑n=1

n−1∑`=0

m=+`∑m=−`

cn`m(t)Ln(r)Y`,m(θ, φ).



I Pour constituer une base complete, les elements de la base fn(x) sont normes, orthogonauxentre eux et la somme des projecteurs sur chacun des elements doit donner l’operateur identite.Les relations d’ortho-normalisation et de fermeture se generalisent dans le cas continu commesuit : la fonction fn(x) est la representation d’un vecteur |n〉 en fonction de la variable x, laquellecorrespond a un vecteur |x〉 : fn(x) = 〈x|n〉, ou |x〉 est une base infinie et continue de l’espace,verifiant (on suppose que x ∈ R) :

ortho-normalisation : 〈x|y〉 = δ(x− y) (distribution de Dirac) , (1.33)

fermeture :

∫R

|x〉〈x| dx = 11 . (1.34)

Grace a ces relations, il s’ensuit que les fonctions fn(x) d’une base continue fn(x) verifient lesconditions d’ortho-normalisation et de fermeture suivantes :

orthogonalite : 〈n|m〉 =

∫R

dx f∗n(x) fm(x) = δnm, ∀ n,m ∈ N , (1.35)

fermeture :∞∑n=0

|n〉〈n| = 11 =∞∑n=0

∫R

dx

∫R

dy fn(x)f∗n(y)|x〉〈y| = 11 . (1.36)

Il est a noter que les vecteurs |x〉 ne constituent pas en general une base hilbertienne. Ils serventde moyen d’expression (ou de representation) des vecteurs d’etat de l’epace de Hilbert. Ainsifn(x) = 〈x|n〉 represente la projection de l’etat |n〉 qui lui appartient a une base hilbertienne(de dimension finie ou pas) sur un etat de position |x〉 (en mecanique quantique, on dit que lesfonctions d’onde sont une representation ”position” des vecteurs d’etats).

Ainsi, par exemple, les harmoniques spheriques definies par Y`,m(θ, ϕ) = 〈θ, ϕ|`m〉, ` ∈N, −` ≤ m ≤ +` verifient :

la relation d’ortho-normalisation :

2π∫0

dϕ

π∫0

sin θ dθ Y ∗`,m(θ, ϕ) Y`′,m′(θ, ϕ) = δ``′ δmm′ . (1.37)

et la relation de fermeture :

∞∑`=0

m=+`∑m=−`

∫4π

dΩ

∫4π

dΩ′ Y`,m(θ, ϕ) Y ∗`,m(θ′, ϕ′) |θ, ϕ〉〈θ′, ϕ′| = 11, dΩ(′) = sin θ(′)dθ(

′)dϕ(′).

(1.38)

I Dans le cas de dimension infinie, c’est par exemple le cas des fonctions d’onde ∈ L2(R3) (decarre sommable) decrivant l’etat quantique d’un systeme a un instant donne au point ~r, toutelement de l’espace de Hilbert se decompose comme suit

f(~r, t) =

∞∑n=0

cn(t)fn(~r) , (1.39)


1.4. OPERATEURS ET REPRESENTATION MATRICELLE D’OPERATEURS 17

les fonctions fn(~r) formant une base orthonormee, elles verifient donc les relations (1.35) et(1.36). Les coefficients cn(t) sont donnes par

cn(t) =

∫d3rf∗n(~r)f(~r, t) . (1.40)

Enfin, pour que la fonction f(~r, t) soit normee a 1, il faut et il suffit que les coefficients cn(t)(complexes en general) satisfassent

∞∑n=0

|cn(t)|2 = 1 . (1.41)

1.4 Operateurs et representation matricelle d’operateurs

Soient deux espaces vectoriels V1 et V2 definis sur un corps K (l’ensemble des nombres reelsRn ou sur le corps des complexes) et considerons une application lineaire de V1 vers V2, notee u- appelee aussi morphisme u : V1 → V2.- Si l’application u est bijective, on parle d’isomorphisme d’espaces vectoriels.- Si V1 = V2, on parle d’endomorphisme ou operateur et d’automorphisme si l’application uest bijective.

I Ainsi, dans le cadre de l’algebre lineaire, un operateur est une application lineairede l’espace vectoriel dans lui meme.

I Afin de pouvoir etudier le role des operateurs sur les vecteurs d’un espace vectoriel, on lesrepresente par des matrices que l’on exprime sur une base orthonormee donnee de l’espacevectoriel. Le projecteur (cf. Eq. (1.26)) sur un vecteur de base de V est un exemple d’operateur.

1.4.1 Representation matricielle d’un operateur

Soit un operateur A (application lineaire de V dans lui-meme), c’est-a-dire que son actionsur un vecteur |φ〉 de V donnera un (autre) vecteur (image) de V,

|ψ〉 = A|φ〉 ∈ V. (1.42)

Dans le cas ou V est de dimension finie N , on exprime A sur une base orthogonale |ei〉, i = 1, Nde V par une matrice carree A (N ×N). Les entrees de la matrice (les elements de matrice del’operateur) sont definies comme suit :

A|ei〉 =∑j

Aji|ej〉. (1.43)



Prenons le cas ou la dimension N = 3 et representons un vecteur |φ〉 ∈ V et un operateur Adans la base orthonormee |e1〉, |e2〉, |e3〉 :

e1e1e1 =

100

; e2e2e2 =

010

; e3e3e3 =

001

, (1.44)

|φ〉 = φ1|e1〉+ φ2|e2〉+ φ3|e3〉 → φφφ =

φ1φ2φ3

, (1.45)

A|φ〉 =∑i

(∑k

Aikφk

)|ei〉 =

∑k A1kφk∑k A2kφk∑k A3kφk

=

A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33

·φ1φ2φ3

. (1.46)

I On remarque que les colonnes de la matrice 3× 3 de Eq. (1.46) ne sont rien d’autres que lesimages des vecteurs de base |ei〉, i = 1, 3 sous l’application (l’operateur) A :

A|ei〉 =∑j

(∑k

Ajkδki

)|ej〉 =

∑j

Aji|ej〉 , (1.47)

ou les composantes des vecteurs |ei〉 sont 0 ou 1, representees par δki, i.e. |ei〉 =∑

k δki|ek〉.Ainsi, par exemple, l’image de |e1〉 sous A est :

A|e1〉 = A11|e1〉+A21|e2〉+A31|e3〉 =

A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33

·1

00

=

A11

A21

A31

. (1.48)

I On peut remarquer que δki sont les composantes de l’operateur identite 11 (a valeurs 1 sur ladiagonale et 0 partout ailleurs).

1.4.2 Elements de matrice d’un operateur

On vient de voir qu’un operateur s’ecrit dans une base orthonormee |ei〉, i = 1, N de V (dedimension finie) comme une matrice N ×N .- Dans cette base, un vecteur |φ〉 est juste un vecteur colonne, donc une matrice colonne N×1.- La transposee d’un vecteur colonne |φ〉 est un vecteur ligne, 〈φ| appartenant au dual de V,V∗. Il est represente par une matrice ligne 1×N . Si l’espace vectoriel est un espace de Hilbert,alors les composantes de 〈φ| sont les conjugees complexes de celles de |φ〉.

Dans une base orthogonale |ei〉, i = 1, N , les composantes de l’operateur A (elements dematrice) sont donnees par les nombres (scalaires)

Ajk = 〈ej |A|ek〉. (1.49)

On peut, par exemple, verifier que l’element de matrice A21 s’obtient comme suit :

A21 = 〈e2|A|e1〉 =(0 1 0

)·

A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33

·1

00

. (1.50)



I De maniere plus generale, soient deux vecteurs |ψ〉 et |φ〉 d’un espace vectoriel V defini surle corps des complexes ; on parle d’element de matrice d’un operateur A lorsqu’on projette levecteur A|ψ〉 sur le bra de |φ〉 (produit scalaire hermitien) :

〈φ| · (A|ψ〉) = (〈φ| · A) |ψ〉 ≡ 〈φ|A|ψ〉 . (1.51)

I Dans l’equation ci-dessus, on multiplie par un vecteur ligne (bra) (1×N) par une matriceN×Npar un vecteur (ket) N×1, de sorte que 〈φ|(A|ψ〉) soit un scalaire (1, N)×(N,N)×(N, 1) = (1, 1).

1.4.3 Adjoint et Transpose d’un operateur

Transposee d’un operateur

Soient Aij les elements de la matrice representant un operateur A. On definit la matricetransposee de A par la matrice notee tA (ou At), dont les lignes sont les colonnes de la matriceA.tA est la representation matricielle de l’operateur At.

B = At ⇐⇒ Bij = Aji , ∀ i, j . (1.52)

Exemple :

A =

1 2 1+i4 i -1

-1-i 2 2

, At =

1 4 -1-i2 i 2

1+i -1 2

. (1.53)

On remarque que les elements diagonaux d’une matrice et de sa transposee sont les memes.

Adjoint d’un operateur

Soient Aij les elements de la matrice representant un operateur A. On definit son operateuradjoint, note A† par l’operateur represente par la matrice conjugee complexe de la matricetransposee de A :

B = A† =(At)∗

= (A∗)t ⇐⇒ Bij = (Aji)∗ , ∀ i, j . (1.54)

Exemple :

A =

1 2 1+i4 i -1

-1-i 2 2

, A† =

1 4 -1+i2 -i 2

1-i -1 2

. (1.55)

On remarque que les elements diagonaux d’une matrice sont les conjuges complexes des elementsdiagonaux de la matrice adjointe.I Si un operateur verifie A = A†, on dit qu’il est auto-adjoint ou hermitien.



I En reprenant Eq. (1.51), on peut definir l’adjoint d’un operateur A comme suit :soit A un operateur agissant dans V. L’operateur adjoint de A, A†, et defini par : ∀ |ψ〉 et|φ〉 ∈ V, l’element de matrice 〈φ|A|ψ〉 verifie :

〈ψ|A†|φ〉 = 〈φ|A|ψ〉∗ (1.56)

Remarque : en mecanique quantique, les operateur auto-adjoints ou hermitiens sont appeles“Observables” dans le sens ou leurs elements de matrice diagonaux sont reels.

I Definition : un operateur est auto-adjoint ou hermitien si sa valeur moyenne sur unvecteur (ket) |ψ〉 est reelle (on dit que cet operateur est observable). En effet, en prenant |ψ〉 = |φ〉dans Eq. (1.51), on voit tout de suite que

〈ψ|A†|ψ〉 = 〈ψ|A|ψ〉∗. (1.57)

Reciproquement, si la valeur moyenne 〈ψ|A|ψ〉 est reelle, alors

〈ψ|A|ψ〉∗ = 〈ψ|A|ψ〉 ⇒ A = A†. (1.58)

1.4.4 Produit d’operateurs

Nous aurons souvent a calculer des produits d’operateurs representes dans une base ortho-normee donnee par des matrices que nous aurons donc a multiplier entre elles.I Le point le plus important a remarquer est que l’algebre des operateurs n’est pas commuta-tive en general. La composition des operateurs A et B (deux applications lineaires successives)correspond au produit matriciel AB qui est en general different de BA. Les elements de matricede la composition de deux operateurs, represente par la matrice produit C = AB, sont donnespar

Cij =∑k

Aik Bkj ,∀ i, j

(en general 6=

∑k

Bik Akj ⇔ AB 6= BA

). (1.59)

I Le produit de matrice n’est pas commutatif.I Le produit de matrices est associatif et distributif par rapport a l’addition :

A (BC) = (AB)C , A (B + C) = AB +AC ; (A+B)C = AC +BC . (1.60)

Remarque 1 :Ainsi, on peut remarquer, par exemple, que le produit matriciel etant associatif, dans Eq. (1.51)on peut d’abord effectuer (〈φ|A) puis faire le produit scalaire avec |ψ〉. La derniere expressiondans Eq. (1.51) constitue la notation“bra-ket” d’un element de matrice d’un operateur.

Remarque 2 : un projecteur sur un vecteur quelconque |φ〉〈φ|, comme par exemple le projec-teur de Eq. (1.26) a pour representation une matrice. Il decoule du produit de deux matrices :(N, 1)× (1, N) dans cet exemple.



I En notant par tA ou At la matrice transposee de la matrice A, on peut montrer que

(AB)t = Bt At . (1.61)

I De Eq. (1.61), on peut facilement verifier que l’operateur adjoint d’un produit d’operateursest l’operateur obtenu en faisant le produit des operateur adjoints dans l’ordre inverse :

(AB)† = B†A† . (1.62)

1.4.5 Decomposition d’un operateur en operateur elementaires

Soit |ui〉, i = 1, n une base orthonormee de l’espace vectoriel V et soit A un operateurquelconque dont la representation matricielle est la matrice carree n × n, A. On peut toujoursecrire un operateur comme une combinaison lineaires des projecteurs Pi sur les vecteurs de labase |ui〉, i = 1, n en inserant la relation de fermeture

∑ni=1 |ui〉〈ui| = 11 comme suit :

A = 11×A× 11 =n∑j=1

PjAn∑i=1

Pi =n∑

i,j=1

|uj〉〈uj |A|ui〉〈ui| =n∑

i,j=1

Aji|uj〉〈ui|. (1.63)

1.4.6 Determinants

Pour calculer un produit vectoriel, pour resoudre des systemes lineaires, pour calculer l’in-verse d’une matrice, le produit vectoriel de deux vecteurs, ou meme un volume dans un espacea plusieurs dimensions, etc, nous avons besoin d’utiliser les determinants. Nous allons dans lasuite rappeler la definition et souligner quelques proprietes utiles.

Definition

Soit B un tableau carre (B peut etre une matrice carree) de n colonne et n lignes dont lesentrees sont reelles ou complexes. Le determinant, note |B| de B est defini comme suit :

det(B) = |B| =

∣∣∣∣∣∣∣∣B11 B12 B13 ... B1n

B21 B22 B23 ... B2n

. . . . . . . . . ... . . .Bn1 Bn2 Bn3 ... Bnn

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∑σ∈Gn

(−1)sig(σ) ΠiBi σ(i) , (1.64)

ou la somme∑

σ∈Gnse fait sur Gn qui est l’ensemble des permutations a n elements, 1, 2, ..., n

et ou sig(σ) est la signature de la permutation σ :

— elle vaut +1 si on effectue un nombre pair de permutations pour retrouver l’ordre initial(1, 2, 3, ..., n) ;



— elle vaut −1 si on effectue un nombre impair de permutations pour retrouver l’ordre ini-tial (1, 2, 3, ..., n) ;

— il y a n! permutations possibles dans un groupe a n elements 1, 2, 3, ..., n.

Exemples :

1. Cas d’un tableau 2× 2 : il y a 2! = 2 permutations de l’ensemble 1, 2, soit 1, 2 avecsig(σ) = +1 ou 2, 1 avec sig(σ) = −1. Ce qui donne

det(B) = |B| =∣∣∣∣ B11 B12

B21 B22

∣∣∣∣ =∑σ∈Gn

(−1)sig(σ) ΠiBi σ(i) = B11B22 −B12B21.

2. Cas d’un tableau 3 × 3 : il y a 3! = 6 permutations de l’ensemble 1, 2, 3, sig(σ) = +1,soit 2, 1, 3, auquel cas sig(σ) = −1, ..., etc. Ce qui donne

det(B) = |B| =

∣∣∣∣∣∣B11 B12 B13

B21 B22 B23

B31 B32 B33

∣∣∣∣∣∣= B11B22B33 −B11B23B32 +B12B23B31 −B12B21B33 +B13B21B32 −B13B22B31

= B11 (B22B33 −B23B32)−B12 (B21B33 −B23B31) +B13 (B21B32 −B22B31) .

I On remarque grace a ces deux exemples qu’on peut developper un determinant d’ordre n selonune ligne ou une colonne a partir d’un element du tableau (en general, on choisit soit la ligne,soit la colonne qui a le plus de zeros pour simplifier le calcul) en ponderant chaque determinantd’ordre n − 1 qu’on appelle determinant mineur obtenu en supprimant la ligne et la colonnecorrespondante.

Definition du determinant mineur

Soit un determinant |B| d’ordre n (voir Eq. (1.64)). On definit le determinant mineur d’ordren − 1 par le determinant de la matrice Mij obtenu a partir de la matrice B en supprimant laieme ligne et jeme colonne correspondant a l’entree Bij tel que

det(B) =n∑i=1

(−1)i+j Bij × det (Mij) . (1.65)

I On appelle la matrice cofacteur de la matrice B, la matrice D telle que

det(B) =n∑i=1

BijDij , Dij = (−1)i+jMij . (1.66)



Exemple :

det(B) = |B| =

∣∣∣∣∣∣1 2 14 0 -1-1 2 2

∣∣∣∣∣∣ = −4

∣∣∣∣ 2 12 2

∣∣∣∣+ 0

∣∣∣∣ 1 1-1 2

∣∣∣∣− (−1)

∣∣∣∣ 1 2-1 2

∣∣∣∣ = −4 ,

ou alors, det(B) = −2

∣∣∣∣ 4 -1-1 2

∣∣∣∣+ 0

∣∣∣∣ 1 1-1 2

∣∣∣∣− 2

∣∣∣∣ 1 14 -1

∣∣∣∣ = −4.

(1.67)

Consequences : de la definition Eq. (1.65), on peut etablir les proprietes suivantes (qu’on peutdemontrer) :

1. Le determinant est nul si tous les termes d’une ligne ou d’une colonne sont nuls.

2. Si chaque element d’une ligne ou d’une colonne est multiple par un meme nombre scalaire,alors le determinant est multiplie par ce scalaire.

3. Si deux lignes ou deux colonnes sont proportionnelles, alors le determinant est nul 4.

I Le determinant joue un role majeur en algebre lineaire. On montrera que c’est un invariant.Il a donc la meme valeur quelque soit la base choisie pour exprimer la matrice (donc l’operateurqu’elle represente). S’il existe une base ou la matrice est completement diagonale 5 - base de vec-teurs propres de l’operateur -, le determinant est le produit des valeurs propres de ce dernier.

Determinant d’un produit d’operateurs : Le determinant d’un produit de deux matricesA et B (representant deux operateurs dans une base donnee) est donne par le produit desdeterminants des deux matrices (quelque soit l’ordre du produit, sachant que le produit matricieln’est pas commutatif) :

det(A B) = det(A)det(B) = det(B)det(A) = det(B A). (1.68)

Il s’ensuit que le determinant d’un produit d’operateur est le produit des determinants de cesoperateurs.

1.4.7 Trace d’un operateur

Soit un operateur A represente par la matrice A dans une base orthogonale |ui〉, i = 1, n.La trace de la matrice A, que l’on note tr (A), est la somme de ses elements diagonaux :

tr (A) =∑i

Aii. (1.69)

4. Une autre facon de dire est que si on identifie chaque ligne (colonne) par un vecteur colonne (vecteur ligne- la transposee du vecteur colonne correspondant -), le determinant d’une famille de vecteurs est non nul si lesvecteurs de cette famille sont independants.

5. Quand un operateur est diagonalisable, il s’ecrit dans la base de ses vecteurs propres sous forme d’unematrice diagonale dont les elements sont les valeurs propres de cet operateur.



Proprietes : Il s’agit avant tout d’un invariant - comme c’est le cas du determinant. La traced’une matrice est independante du choix de la base de vecteurs de l’espace vectoriel. S’il existeune base ou la matrice est completement diagonale -base de vecteurs propres de l’operateur, latrace n’est rien d’autre que la somme des valeurs propres de ce dernier.

I La trace verifie les proprietes suivantes (facile a demontrer) :

tr (A+B) = tr (A) + tr (B) , (1.70)

tr (AB) = tr (BA) , (1.71)

tr (ABC) = tr (CAB) = tr (BCA) . (1.72)

Remarque : La trace de la matrice identite (11) correspond a la dimension de l’espace vectoriel.

1.5 Inversion de matrice

L’inverse d’un operateur a pour representation dans une base orthonormee de l’espace vec-toriel l’inverse de la matrice qui le repesente.

I Soit une matrice A, son inverse A−1 est une matrice telle que

A−1A = AA−1 = 11 . (1.73)

I L’inverse de la matrice A n’est defini que si le determinant de A est non nul. Les elementsde la matrice B = A−1 peuvent etre calcules grace a Eq. (1.73) et sont donnes par le rapportentre les elements de la matrice transposee de la matrice cofacteur (definie dans Eq. (1.66)) etle determinant de la matrice A :

B = A−1 , B ij =Dt

ij

det(A). (1.74)

I Soit la matrice carree n × n, A. Appelons la matrice cofacteur de A, Cof(A), telle queCof(A) =

((−1)i+j |Aij |

)i,j≤n et considerons sa matrice transposee tCof(A) ansi que la trans-

posee deA. A l’aide de la definition du determinant deA (voir Eq. (1.66)), on peut immediatementvoir que

tCof(A)×A = tA × Cof(A) = det(A)× 11n.

ainsi, si det(A) 6= 0, alors, A−1 =1

det(A)

t

Cof(A). (1.75)

Cette derniere equation permet de determiner l’inverse de toute matrice carree si son determinantn’est pas nul.


1.6. MATRICES UTILES ET LEURS PROPRIETES 25

Exemple : Soit la matrice 3× 3

A =

1 0 22 -1 34 1 8

, det(A) = +1, Cof(A) =

-11 2 2-4 0 16 -1 -1

A−1 =

tCof(A)

det(A)=

1 0 22 -1 34 1 8

.

1.6 Matrices utiles et leurs proprietes

1.6.1 Matrices scalaires, triangulaires, nilpotentes et unipotentes

— Une matrice de la forme

A = λ11n, (1.76)

ou λ est un scalaire complexe quelconque est appelee matrice scalaire - a ne pas confondreavec une matrice diagonale. Son produit par une matrice B quelconque m × n donneraλB,

si A = λ11n, alors AB = BA = λB, ∀ la matrice B et ∀ le nombre scalaire λ .(1.77)

— Si A est une matrice triangulaire superieure alors sa transposee est une matrice triangu-laire inferieure, et vice versa.

Exemple :

A =

1 2 30 2 40 0 5

, tA =

1 0 02 2 03 4 5

.

— Le produit de deux matrices A et B diagonales (tous les elements de matrices qui ne sontpas sur la diagonale sont nuls) est aussi une matrice diagonale C dont les elements sontles produits des elements diagonaux de A et de B,

Cii = AiiBii . (1.78)

— Une matrice triangulaire A est dite nilpotente (unipotente) si ses coefficentes diagonauxsont nuls (egaux a 1).

— De maniere genorale, une matrice A est dite nilpotente s’il existe un entier naturel nonnul n ∈ N∗ tel que An = 0.

Proprietes : a l’aide de ces definitions ci-dessus, on peut facilement demontrer (comme exer-cice) que :

— le determinant d’une matrice triangulaire (superieure ou inferieure) est toujours egal auproduit de ses elements diagonaux ;



— le determinant d’une matrice nilpotente est nul ;— le determinant d’une matrice n× n unipotente est 1, ∀n.

Exercice : Soit A une matrice n× n.

1. Montrer que s’il existe p tel que Ap = 0, alors A est nilpotente.

2. Montrer que si A est unipotente, alors ∀p, (A− 11)p = 0.

1.6.2 Matrices unitaires et matrices orthogonales

— Une matrice complexe A represente un operateur unitaire U (relativement a une baseorthonormee) si et seulement si

A† = A−1, autrement dit, A est unitaire ⇐⇒ A†A = AA† = 11. (1.79)

— Une matrice reelle A represente un operateur orthgonal U (relativement a une base or-thonormee) si et seulement si

At = A−1, autrement dit, A est orthogonale ⇐⇒ AtA = AAt = 11. (1.80)

On peut tout de suite remarquer que si A est une matrice unitaire (orthogonale) alors les lignesou les colonnes de A forment une base orthogonale. Notons aussi que toute matrice unitaire donttous les elements sont reels est une matrice orthogonale.

1.7 Resolution d’un systeme d’equations lineaires

Un systeme d’equations lineaires dont les coefficients sont reels ou complexes possede soitune solution unique, soit aucune solution soit une infinite de solutions. La notion de rang d’unematrice permet de trancher cela.

1.7.1 Rang d’une matrice

Soit A une matrice quelconque.

Definition : Le rang d’une matrice A, note r(A), est l’ordre de la plus grande sous-matricecarree de A dont le determinant ne s’annule pas.

Exemple :

Soit la matrice A =

(1 2 10 0 1

)A a 3 sous-matrices dont les determinants sont :

(1.81)∣∣∣∣ 1 20 0

∣∣∣∣ = 0,

∣∣∣∣ 2 10 1

∣∣∣∣ = 2,

∣∣∣∣ 1 10 1

∣∣∣∣ = 1 ⇒ r(A) = 2 .


1.7. RESOLUTION D’UN SYSTEME D’EQUATIONS LINEAIRES 27

Theoreme general

Soit le systeme d’equations lineaires Ax = b ou A est une matrice m× n, x est l’inconnue -un vecteur m× 1 -, et b un vecteur connu m× 1. On note Ab la matrice m×n+ 1 formee par lamatrice A augmentee d’une colonne supplementaire constituee par les composantes du vecteurb, alors,

1. si r(A) = r(Ab) = n, le systeme Ax = b a une solution unique ;

2. si r(A) = r(Ab) < n, le systeme Ax = b a une infinite de solutions ;

3. si r(A) ≤ r(Ab), le systeme n’admet pas de solution.

Deux cas particuliers se presentent, les systemes homogenes et les systemes inhomogenes carres.

Cas des systemes homogenes :Dans ce cas (b = 0),

I si det(A) 6= 0 et r(A) = r(Ab) = n, le systeme Ax = b a une solution unique donnee parx = 0 (triviale) ;

I si det(A) = 0 , alors le systeme homogene a une solution unique non nulle.

Cas des systemes inhomogenes carres :Dans ce cas (m = n) et b 6= 0,

I si det(A) 6= 0 et r(Ab) = n, le systeme Ax = b a une solution unique donnee par x = A−1b(premiere condition du theoreme).

Exemple : Soit a resoudre Ax = b : 1 1 11 -1 1-1 1 -1

xyz

=

-22-2

,

la matrice Ab =

1 1 1 -21 -1 1 2-1 1 -1 -2

det(A) = 0 → r(A) = 2 = r(Ab) → le systeme a donc une infinite de solutions.



1.8 Diagonalisation d’un operateur

Definitions

1. Une matrice carre A est diagonalisable s’il existe une matrice P inversible telle que 6

P−1AP = D, (la matrice D etant diagonale). (1.82)

2. L’equation aux valeurs propres d’un operateur dont la representation matricielle estune matrice carree A diagonalisable est donnee par

A|v〉 = λ|v〉, (1.83)

ou |v〉 est un vecteur propre de A et λ (complexe en general) est la valeur propre corres-pondante.

1.8.1 Valeurs propres

Diagonaliser un operateur revient a chercher l’ensemble des valeurs propres et les vecteurspropres associes de la matrice representant cet operateur dans une base orthonormee donnee.Determiner cet ensemble revient a resoudre le systeme homogeme et lineaire

(A− λ11) |v〉 = 0 . (1.84)

Comme on a vu dans la section precedante, ce systeme n’admet de solution (non triviale) quesi le determinant de la matrice A− λ11 est nul,

det (A− λ11) = 0 . (1.85)

Si la dimension de l’espace vectoriel est n, alors le determinant de la matrice A−λ11 (Eq. (1.86))est un polynome de degre n dont les racines sont les valeurs propres de A,

det (A− λ11) = P (λ) = 0 . (1.86)

On appelle P (λ) le polynome caracteristique d’ordre n.

Remarque sur la degenerescence : s’il existe une valeur propre associee a plus de un vecteurpropre, on dira que cette valeur propre est degeneree. Le polynome caracteristique peut avoir desracines λi mutiples gi fois (gi est le degre de multiplicite de la racine λi). On dira que cette valeurpropre est gi fois degeneree et il lui correspond gi vecteurs propres lineairement independants.

6. On peut montrer dans ce cas que l’equation (1.82) peut s’appliquer a toute fonction de la matrice A, puisque,grace a Eq. (1.78), P−1AnP = Dn, ∀n.


1.8. DIAGONALISATION D’UN OPERATEUR 29

1.8.2 Vecteurs propres

Pour determiner le vecteur propre |vi〉 associe a la valeur propre λi, il suffit de resoudre lesysteme lineaire pour chercher les n composantes du vecteur |vi〉

A|vi〉 = λi|vi〉 . (1.87)

Une fois toutes les composantes trouvees, on norme le vecteur : |ui〉 = |vi〉/√〈vi|vi〉.

I Si A est diagonalisable, tous les vecteurs propres |vi〉 sont lineairement independants, ilsconstituent une base orthonormee de l’espace vectoriel et la matrice P qui diagonalise la ma-trice A (D = P−1AP ) a pour colonnes les vecteurs propres |vi〉.

I On peut toujours decomposer toute matrice diagonalisable sur les projecteurs propres commesuit

A = An∑i=1

|vi〉〈vi| =n∑i=1

(A|vi〉) 〈vi| =n∑i=1

λi|vi〉〈vi| =n∑i=1

λiPi , (1.88)

ou Pi est le projecteur sur le vecteur propre |vi〉.

Theoremes (ce sont des consequences de ce qui a ete discute ci-dessus, faciles a demontrer).

1. Soit A une matrice carree n×n. Elle est diagonalisable si elle possede n vecteurs propresindependants.La matrice D a pour elements les valeurs propres de A et la matrice P , telle que P−1AP =D, a pour colonnes les vecteurs propres correspondants.

2. Si toutes les valeurs propres sont distinctes (pas de degenerescence), alors tous les vecteurspropres sont independants.

3. Dans le cas ou la matrice A est hermitienne (A = A†) ou symetrique (A = At) alorsles vecteurs propres sont lineairement independants, meme dans le cas de degenerescenced’une ou plusieurs des valeurs propres.



ConsequencesComme on vient de voir, si A est une matrice diagonalisable, alors on peut ecrire les relationspour les matrices conjuguee adjointe A† et transposee At :(

P−1AP)t

= Dt = D = P tAt(P−1)t,(P−1AP

)†= D† = D = P †A†(P−1)† .

I Si A est une matrice symetrique, (A = At) alors la matrice P qui diagonalise A est unematrice orthogonale : P−1 = P t.

I Si A est une matrice hermitienne (A = A†) , alors la matrice P qui diagonalise A est unematrice unitaire : P−1 = P †.

1.8.3 Retour sur les invariants

Soit A une matrice carree n × n. Si A est diagonalisable alors il existe une matrice P telleque det(P )6= 0 telle que D = P−1AP , il s’ensuit que comme

det(D) = det(P−1AP

)= det

(P−1

)det(A)det(P ) = det(A) (car det

(P−1

)= 1/det(P )) ,

alors, le determinant de A est egal au produit de ses valeurs propres.

det(A) = det(D) = Πni=1λi . (1.89)

De meme, on peut prendre la trace de la matrice A,

tr(D) = tr(P−1AP

)= tr

(APP−1

)= tr(A) ,

pour constater que la trace d’une matrice est bien un invariant (independant du choix de base)et correspond a la somme des valeurs propres de A,

tr(A) = tr(D) =

n∑i=1

λi . (1.90)


Chapitre 2

Bases non orthonormees, Metriqueset Changement de Base

2.1 Introduction

Dans le chapitre precedent, nous avons toujours untilise des bases orthonormees et tressouvent des espaces vectoriels definis sur le corps des complexes. Dans ce chapitre, nous allonsconsiderer des espaces vectoriels definis sur R et des bases non orthonormees, souvent utiles parexemple dans la physique des milieux non continus.

I Soit un espace vectoriel EN sur R de dimension N (nous allons le plus souvent travailleravec des espaces de dimension 3). Il existe une infinite d’ensembles de vecteurs ~ei, i = 1, Nlineairement independants, pas forcement orthogonaux entre eux, formant une base de EN . Nousallons dans ce chapitre aborder la notion de “metrique” ainsi que les changements de base 1.

2.2 Metrique

I On rappelle que tout espace vectoriel defini sur un corps commutatif peut etre muni d’unestructure euclidienne des lors qu’on y definit un produit scalaire. On parle alors d’espace vectorieleuclidien.

— Un produit scalaire est une forme bilineaire, symetrique et definie positive en metriqueeuclidienne.

— Le produit scalaire de deux vecteurs ~x et ~y ∈ EN est note

g(~x, ~y) ≡ < ~x|~y >≡ ~x · ~y . (2.1)

1. L’etude des changements de base constitue le premier pas vers l’algebre des tenseurs, ces derniers generalisantla notion familiere de vecteurs et d’operateurs lineaires en les placant dans le cadre mathematique plus larged’algebre multilineaire.

32CHAPITRE 2. BASES NON ORTHONORMEES, METRIQUES ET CHANGEMENT DE

BASE

Definition : Soit B = ~ei, i = 1, N , une base de EN . On definit la metrique associee a cettebase par les N2 quantites suivantes :

~ei · ~ej = gij . (2.2)

Notation : les indices i et j sont en bas dans l’equation precedente. On remarque que si B estune base orthonormee, alors gij = δij .

IProprietes :

1. gij = gji, la metriqueg lest symetique ;

2. ∀ ci ∈ R, i = 1, N,∑

i,j cicjgij ≥ 0 (pour assurer que la norme de tout vecteur est

positive ou nulle) 2.

Remarque : le nom “metrique” vient du fait que la metrique (associee a une base) garde unetrace des notions de “longueurs” et d’angles entre les vecteurs de cette base.

I La metrique est donc une matrice carre (N × N) symetrique definie pour une base donneeB = ~ei de maniere unique (dans cette base) :

g =

~e1 · ~e1 ~e1 · ~e2 ~e1 · ~e3 ... ~e1 · ~eN~e1 · ~e2 ~e2 · ~e2 ~e2 · ~e3 ... ~e2 · ~eN... ... ... ... ...

~e1 · ~eN ~e2 · ~eN ~eN · ~e3 ... ~eN · ~eN

. (2.3)

I Pour un espace Euclidien de dimension 3 muni d’une base orthonormee, g est la metriqueeuclidienne (de signature + + +) :

g =

1 0 00 1 00 0 1

. (2.4)

I Dans le cadre de la relativite restreinte on travaille dans des espaces de dimension 4 (espaceeuclidien avec la composante temporelle en plus), on utilise la metrique dite Minkowskienne (oula signature est +−−−) :

g =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

. (2.5)

2. En effet, soit un vecteur quelconque ~V =∑

i ci~ei ; sa norme au carre (donc definie positive) s’ecrit :~V · ~V = (

∑i ci~ei) · (

∑j cj~ej) =

∑i,j cicjgij .


2.3. NOTATION AVEC LA CONVENTION DE SOMMATION D’EINSTEIN 33

2.3 Notation avec la convention de sommation d’Einstein

Soit EN un espace vectoriel reel de dimension N finie et soit B = ~ei, i = 1, N , une base,pas forcement orthonormee. Les composantes de tout vecteur ~V ∈ EN sont notees Vi - avecindice en bas - de sorte que

~V =N∑k=1

Vk~ek ≡ Vk~ek (convention d’Einstein). (2.6)

I On appelle Vk la composante du vecteur V dans la base B.

Convention d’Einstein : tout indice repete est somme de sorte que l’on puisse ecrire, parexemple, tout vecteur sur une base comme ~V = Vj~ej .

2.3.1 Changement de base

Considerons deux bases differentes de EN : B = ~ei et B′ = ~e′i et notons α et son inverseα−1 les matrices de passage de la base B a la base B′, et de la base B′ a la base B, respectivement :

~ei′ =

∑j

αij ~ej (2.7)

~ek =∑m

(α−1

)km

~e ′m . (2.8)

I Par definition, la matrice de passage α de ~ei a ~ei′ est telle que sa ieme colonne est formeedes composantes de ~ei

′ par rapport a la base ~ei, elle s’ecrit donc dans la base B comme :

α =

(~e′1)1 (~e′2)1 (~e′3)1 ... (~e′N )1(~e′1)2 (~e′2)2 (~e′3)2 ... (~e′N )2... ... ... ... ...

(~e′1)N (~e′2)N (~e′3))N ... (~e′N )N

, autrement dit, αij = (~e′i)j . (2.9)

Cas des vecteurs

Considerons un vecteur ~V ∈ EN et ecrivons-le dans les deux bases ~ei et ~ei′ :

~V =N∑k=1

Vk ~ek =N∑i=1

V ′i ~ei′ . (2.10)


34CHAPITRE 2. BASES NON ORTHONORMEES, METRIQUES ET CHANGEMENT DE

BASE

En exprimant les vecteurs ~ek dans la base B′, Eq. (2.8),

~V =N∑k=1

Vk ~ek =N∑k=1

Vk∑m

(α−1

)km~em

′

=∑m

(α−1

)km

Vk ~em′ (convention d’Einstein sur k)

=N∑m=1

V ′m ~em′ = V ′m ~em

′ (convention d’Einstein sur m) . (2.11)

De meme, en exprimant les vecteurs ~ei′ dans la base B, Eq. (2.7), on peut ecrire les relations

entre les composantes de ~V exprimees dans les deux bases :

V ′i =N∑k=1

(α−1)ik Vk = (α−1)ik Vk

Vj =

N∑k=1

αjk V′k = αjk V

′k, (2.12)

Resume : Lors d’un changement de base B = ~ei → B′ = ~e′i caracterise par lamatrice de passage α, telle que ~ei

′ =∑

j αij ~ej , les composantes des vecteurs dans les deuxbases sont donnees par les relations de l’equation (2.12) qu’on peut ecrire sous la formecompacte suivante :

~V = α ~V ′ ; ~V ′ = α−1 ~V . (2.13)

Cas des operateurs

Considerons a present un operateur lineaire A tel que ∀ ~V ∈ EN → A ~V ∈ EN .

La representation matricielle A de l’operateur A dans la base B = ~ei est une matrice carreeN ×N telle que sa ieme colonne soit le vecteur A ~ei,

A ~ei =N∑j=1

Aji ~ej (2.14)

= Aji ~ej ( convention d’Einstein sur j) . (2.15)

Il en est de meme pour n’importe quelle base B′ = ~ei′, obtenue par changement de base,Eq. (2.7), a partir de la base B. En cherchant a exprimer les elements de matrice de A dans les


2.3. NOTATION AVEC LA CONVENTION DE SOMMATION D’EINSTEIN 35

deux bases, on a :

A ~ei′ =

N∑j=1

A′ji ~ej′ = A′ji ~ej

′ (convention d’Einstein sur j) ,

A ~ei′ = A

(N∑`=1

αi` ~e`

)

=N∑`=1

αi` A ~e` =N∑

`,m=1

αi` Am` ~em =N∑j=1

N∑`,m=1

αi` Am` (α−1)mj ~ej′

= αi` Am` (α−1)mj ~ej′(convention d’Einstein sur `, m, et j) ,

d’ou,

A′ji = αi` Am` (α−1)mj .

De maniere plus compacte, la relation entre la matrice dans B et dans B′ est donnee par :

A′ = α−1TA αT . (2.16)

Resume : Connaissant la matrice A dans B′, elle s’ecrit dans B comme A = αT A′ α−1T

.Inversement, on peut ecrire que A′ = α−1

TA αT .

En observant les equations (2.13) et (2.16), on remarque que les vecteurs ne mettent en jeuqu’une seule matrice de passage lors d’un changement de base alors qu’il en faut deux (α−1 etα) pour transformer un operateur lineaire.

2.3.2 Consequences du changement de base sur la metrique g

Considerons un changement de base donne par la matrice de passage α de la base B a la baseB′ de EN et observons comment la metrique se transforme. Soit gij = ~ei · ~ej et g′ij = ~e ′i · ~e ′j(chaque metrique etant associee a sa propre base) :

g′ij ≡ ~ei ′ · ~ej ′ = αik αj` ~ek · ~e` = αik αj` gk` . (2.17)

I Contrairement aux matrices carres, la metrique g se transforme lors d’un changement de baseselon Eq. (2.17) - necessitant donc deux matrices α -( les matrices necessitant α−1 et α).

I On dira que la metrique g est un tenseur de rang 222 : objet mathematique dont les composantescaracterisees par deux indices se transforment lors d’un changement de base selon Eq. (2.17)avec deux matrices α. Le vecteur quant a lui est un tenseur de rang 111, necessitant une seulematrice α lors d’un changement de base. Enfin, les nombres scalaires (produit scalaire, ...) sontinvariants par changement de base, ils sont donc des tenseurs d’ordre 000.


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