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M1 MEEF Maths 2013-2014
1°) Ce segment fait 3cm. 2°) Ce segment a pour mesure 3cm. 3°) Cette surface est de 3cm2. 4°) L’aire de cette surface est de 3 cm2 5°) Il me faut 3m de ficelle. 6°) Si le périmètre d’une figure augmente,
alors l’aire de cette figure augmente nécessairement aussi.
Etant donné un rectangle non carré, on peut fabriquer deux cylindres dont ce rectangle constitue la surface latérale :
Les deux cylindres ont le même volume
Le cylindre le plus haut a le plus grand volume
Le cylindre le plus haut a le plus petit volume
On ne peut pas savoir
Fabriquer deux cylindres avec deux rectangles en carton superposables.
Découper les bases pour qu’elles s’ajustent et assembler les deux parties de façon étanche.
Remplir l’un des cylindres à ras bord avec du sable (ou de la semoule).
Vider le sable dans l’autre cylindre.
Observer le résultat et faire une conjecture.
La hauteur est égale à la longueur L. La base du cylindre est le cercle de périmètre l
et de rayon r donc l = 2π×r d’où r = l / 2π Le volume du cylindre est égal au produit de
l’aire du disque de base par la hauteur. V1 = A1 × h
L’aire de la base du cylindre est donné par : A1 = π × r2 = π ×(l/2π)2 = l2 / 4π
Le volume du cylindre est donc égal à V1 = L × l2 / 4π
La base du cylindre est le cercle de périmètre L.
La hauteur est égale à la longueur l.
L’aire de la base du cylindre est donnée par :
A2 = L2 / 4π
Le volume du cylindre est donc égal à
V2 = l × L2 / 4π
Pour comparer V1 et V2, on calcule le rapport
V1/V2 = (L×l2 /4π) / (l×L2 /4π) = (Ll2 ×4π) / (l L2 ×4π)
V1/V2 = l / L comme l < L alors V1/V2 < 1 d’où V1 < V2
Pour tout rectangle non carré, le cylindre le plus
haut a le plus petit volume.
Le rapport du plus petit volume au plus grand volume est égal à l/L.
Ce problème historique qui se posait aux paysans a été résolu par Galilée.
Quel est le plus grand rectangle?
Aire , périmètre,
encombrement?
Tout caractère d’un objet susceptible de variation
chez cet objet , ou d’un objet à l’autre.
• Les objets sont les collections finies
La grandeur est la taille de la collection ; elle peut être estimée à vue dans certains cas , sinon, la comparaison se fait par la correspondance terme à terme (protocole expérimental).
L’étalon est l’unité au sens de « un objet »
La mesure est le dénombrement associé à la structure numérique des entiers.
On peut changer d’étalon : la dizaine
Des grandeurs non repérables ◦ par exemple : la gentillesse
Des grandeurs repérables ◦ par exemple la température
Des grandeurs mesurables : ◦ Relation d’équivalence : avoir la même longueur que
◦ Relation d’ordre total : être plus lourd que (au sens large)
◦ Un étalon permettant d’attribuer un nombre : la mesure m
◦ Addition telle que m(x+y) = m(x)+m(y)
◦ Multiplication telle que km(x) = m(kx)
Objets: segments,polygones,cercle
surfaces
solides
secteurs angulaires
Nombres:
mesure de
Grandeurs: longueur
aire
volume
angle
masse
Longueurs: • périmètre d’une face
• longueur d’une arête, longueur de
toutes arêtes (qui n’est pas la somme
des périmètres des faces).
Aire: •aire d’une face
•aire totale (qui est la somme des aires
de chaque face).
Volume: • à l’école: capacité, contenance
• au collège: volume
angles
masse
Avec le cube
1. Paul et André ont acheté des chemises de
même taille
2. Paul et André portent tous deux des
chemises 42
3. Paul et André ont acheté la même chemise
1. Le périmètre d’un carré est 4 fois la
longueur de son côté.
2. Le périmètre du carré est de 8 cm
3. Repasser le périmètre du carré en rouge
Pour comparer, il n’est pas toujours
nécessaire de mesurer, on peut
estimer à l’aide des sens (vue, toucher,
ouïe, kinesthésie) ou mettre en place
une procédure de comparaison.
Comparer sans mesurer : par superposition
Comparer sans mesurer : par déplacements et
superposition
Comparer sans mesurer : en reportant des
longueurs
Comparaison indirecte
Cycle 1 :
Un objet a des critères
• Observer et comparer
pour distinguer des
critères,
• Classer
• ranger.
Cycle 2 :
Des objets sont
comparables selon un
critère
• comparaison directe
• comparaison indirecte
Le mesurage :
• Construire des objets définis
par des mesures
( unité de grandeur fixée),
• Mesurer des objets (grandeur
à mesurer précisée)
• Les unités sont le mètre et le
centimètre.
Cycle 3 La mesure est un critère
fondamental
Comparer des objets selon une grandeur
Opérer sur des grandeurs sans mesurer.
Estimer la mesure avant l’utilisation d’instruments.
Maîtriser les unités légales du système métrique et de leurs relations.
Exprimer le résultat d’un mesurage par un nombre ou un encadrement
Effectuer des calculs simples sur les mesures (utilisation des équivalences entre unités usuelles de longueur)
Calculer le périmètre d’un polygone.
• Sixième - Effectuer, pour les longueurs des changements d’unités de mesure.
- Comparer géométriquement des périmètres.
- Calculer le périmètre d’un polygone.
- Connaître et utiliser la formule donnant la longueur d’un cercle.
• Cinquième
-. - Calculer le périmètre d’une figure
(Pour les polygones, dont le parallélogramme, la compréhension de la notion de périmètre suffit à la détermination de procédés de calcul ; les formules sont donc inutiles).
Pour pouvoir parler de la longueur d’un objet, il faut pouvoir se ramener à un segment de droite.
Comparer la longueur de deux objets, c’est comparer les segments de droite correspondants.
Pour le cheval : la hauteur au garrot
Pour un oiseau : l’envergure
Pour un être humain : la taille ; le tour de taille - de hanche - de cou ou de tête ; l’empan de la main etc…
Pour un bâtiment : sa hauteur ; la longueur de sa façade ; sa largeur ou sa profondeur ;
Pour une pièce : sa hauteur de plafond etc…
Les mots du domaine des longueurs sont assez nombreux. sans être exhaustifs, citons
hauteur d’un monument, d’un arbre (par contre la hauteur du Soleil est un angle) ;
altitude d’un sommet, d’un avion en vol ;
dénivelé d’une route ;
profondeur d’une piscine, d’un placard ;
taille d’une personne, tour de cou, tour de taille ;
distance entre deux lieux, entre deux points ;
largeur d’un fleuve, d’un rectangle ;
périmètre d’un polygone ;
circonférence d’un cercle…
Il est important pour l’élève que tous ces mots, utilisés dans des contextes différents, se réfèrent au même concept, appelé en mathématiques « longueur ».
La longueur n’est pas nécessairement liée à directement à l’encombrement : Longueur d’un tuyau enroulé ; Longueur de l’intestin ; Longueur d’un coupon de tissu ; Longueur de fil sur une bobine électrique Longueur d’une spirale etc.. Longueur de tube des cuivres (cor, trompette, tuba) …
Sans mesurer, on peut anticiper
mentalement et/ou perceptivement les
résultats d’une comparaison
Classement des aires ?
Classement des périmètres ?
Dans un second temps, les
comparaisons amènent à des rapports
de grandeurs
Des rapports de grandeurs
Le secteur angulaire droit peut être recouvert exactement par trois secteurs
angulaires superposables au secteur angulaire jaune
L’angle droit est égal à 3 fois l’angle jaune du triangle
Des rapports de grandeurs
On peut recouvrir exactement le rectangle avec les deux cerf-
volant qui sont superposables.
L’aire du rectangle est égale à deux fois l’aire du cerf-volant
Sans utiliser la mesure, il est possible
de comparer des grandeurs ou de
trouver des rapports de grandeurs
En conclusion :
« Il est souvent commode, pour comparer
toutes les grandeurs d ’un même domaine, de
les comparer à une grandeur particulière...»:
l’unité.
Document d’accompagnement des
programmes 2002 de l’école
élémentaire
« Il devient dès lors possible d ’associer à
chaque grandeur un nombre, appelé sa
mesure relativement à cette unité »
On peut dans un premier temps, enrichir le
travail de comparaison de grandeur, de la
procédure par comptage d’unités*
Cette procédure devient plus efficace quand
il s’agit de transmettre par écrit, sans
dessin, des informations permettant de
construire un objet de même grandeur.
Différents étalons (Différentes formes) pour
une même unité
1L
1L 1L
Objet ou instrument qui matérialise une unité de mesure, et sert de référence, de modèle légal : mètre étalon, étalon de masse, de poids etc..
(Le Petit Larousse Illustré, 1994)
A vous :
L’unité choisie est l’aire d’un carré de coté 1.
Dessiner au moins quatre étalons pour cette unité (surfaces de formes différentes ayant même aire).
Différents étalons pour une même unité
1 unité
D’après « le tour de l’aire … » (IREM de Lyon)
Des unités en relation les unes avec les autres dans des rapports qui sont des multiples de 10
Un système très largement utilisé dans la plupart des pays pour la vie quotidienne et les activités scientifiques
Les élèves doivent être familiarisés avec la signification des préfixes usuels ( Kilo, hecto…)
Les exercices de transformations de mesure doivent rester raisonnables.
La mesure peut être obtenue :
par une estimation,
par un mesurage,
par une lecture directe dans un
énoncé,
par un raisonnement et un calcul.
Estimation
Il est souhaitable d’apprendre à estimer
avant de procéder au mesurage,
Soit à l’œil, soit par geste, soit à partir
de mesures connues.
La mesure peut être obtenue :
par une estimation,
par un mesurage,
par une lecture directe dans un
énoncé,
par un raisonnement et un calcul.
Mesurage
La mesure est la plupart du temps obtenue par
lecture d’une graduation ( sauf pour les aires).
Une réflexion sur la précision des mesures doit
être menée lors des activités de mesurage.
La fabrication d’un instrument de mesure permet de
soulever la question du choix d’un étalon pour une
unité donnée, et de la graduation.
La mesure peut être obtenue :
par une estimation,
par un mesurage,
par une lecture directe dans un
énoncé,
par un raisonnement et un calcul.
Lecture directe
Dans des problèmes de mesures la prise
d’information peut se faire par mesurage,
par lecture de côtes, par calcul.
Le choix de la lecture directe de
l’information n’est pas toujours évident
pour l’élève.
Prise d’information
A
B C
Quelle est la mesure de BC ?
Mesurage
Lecture directe
A
B C
Quelle est la mesure de BC ?
7 cm
Prise d’information
Calcul
A
B C
Quelle est la mesure de BC ?
Sur ce dessin 1cm
représente 5 cm.
7 cm
Prise d’information
La mesure peut être obtenue :
par une estimation,
par un mesurage,
par une lecture directe dans un
énoncé,
par un raisonnement et un calcul.
12 cm
10 cm
Sophie a dessiné 3
étiquettes rectangulaires
toutes identiques sur une
plaque de carton, comme le
montre le dessin.
a) Calcule la longueur
réelle d’une étiquette
b) Calcule la largeur réelle
d’une étiquette
D ’après l’évaluation 6ième
Raisonnement et calcul
Raisonnement et calcul
B
A
La surface B est obtenue en collant
4 figures A comme le montre le dessin.
Calculer le périmètre de B.
4,5 m
6 m
7,5 m
Quelle est la masse inconnue ?
?
Raisonnement et calcul
? 100 ?
Combien de temps s’est écoulé entre 9 h 27 min et 11 h 5 min ?
33 min 1 heure 5 min + +
ou 2 heures
- (27min-5min) ou 1 heure
33 min 5 min
33min 1 heure 5 min + +
Avec des cadrans
Raisonnement et calcul
OBJET GRANDEUR MESURE
Segment
Contour d'une
surface plane
Longueur
Nombre d’unités
formule du périmètre du carré et du rectangle,
de la longueur du cercle.
Surface plane Aire Nombre d'unités.
formule de l’aire d’un rectangle, d’un triangle, d’un parallélogramme, d’une sphère.
Solide Volume ( capacité)
Masse
Nombre d'unités.
formule du volume du pavé droit, du prisme
droit, du cylindre de révolution, de la
pyramide, du cône de révolution, de la boule.
Secteur
angulaire angle Nombre d'unités (gabarit)
Pas de formule
Temps durée Pas de techniques de calculs
1°) Ce segment fait 3cm. 2°) Ce segment a pour mesure 3cm. 3°) Cette surface est de 3cm2. 4°) L’aire de cette surface est de 3 cm2 5°) Il me faut 3m de ficelle. 6°) Si le périmètre d’une figure augmente,
alors l’aire de cette figure augmente nécessairement aussi.
1°) Ce segment fait 3cm. INCORRECT 2°) Ce segment a pour mesure 3cm.
INCORRECT
3°) Cette surface est de 3cm2. INCORRECT
4°) L’aire de cette surface est de 3 cm2 CORRECT 5°) Il me faut 3m de ficelle. INCORRECT
6°) Si le périmètre d’une figure augmente, alors l’aire de cette figure augmente nécessairement aussi. FAUX
