Maîtrise des risques et sûreté de fonctionnement – Avignon – 6-10 Octobre 2008

Modélisation des dysfonctionnements d’un

système dans le cadred’activités de maintenance

Pascal VRIGNAT 1, Manuel AVILA 1, Florent DUCULTY 1, Frédéric KRATZ2

Institut PRISME - Equipe MCDS - 1IUT de l’Indre – 2ENSI de Bourges

Communication 4A-1

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Introduction Modèles stochastiques CMC Algorithmes Etude de cas Résultats Conclusion

Table des matières1. Introduction2. Les modèles stochastiques3. Approches Markoviennes cachées4. Aspects algorithmiques5. Etude de cas : modélisation du taux de

dégradation d’un processus industriel pour l’agro-alimentaire

6. Présentation des résultats7. Conclusion et perspectives

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Introduction Modèles stochastiques CMC Algorithmes Etude de cas Résultats Conclusion

1. IntroductionHypothèse : les évènements qui précèdent une panne sont souvent récurrents. Une suite d’évènements particuliers peut, éventuellement, informer d’une panne prochaine !

• En mécanique : un bruit, une vibration précèdent la rupture. Une baisse de performances traduit une ou des anomalies,

• En informatique : un déplacement inopiné du pointeur, un ralentissement, un dysfonctionnement d’une application comme un navigateur Internet peuvent traduire la présence d’un virus sur l’ordinateur concerné.

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2. Les modèles stochastiques

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L’étude des processus stochastiques a commencé au début du 20ème siècle grâce à un mathématicien Russe, Markov Andreï Andreïevitch.

Son étude statistique du langage l’a conduit à formuler l’hypothèse Markovienne, qui peut se résumer ainsi : « L’évolution future d’un système ne dépend que de son état présent ». Autrement dit, cette hypothèse implique que l’état courant du système contient toute l’information apportée par le passé.

« En pratique ce n’est pas toujours le cas : nous serions tous millionnaires après avoir joué à la roulette dans un casino ! »

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3. Approches Markovienne cachées

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Les Modèles de Markov Cachés (MMCs) sont utilisés dans différents champs disciplinaires :

• Les travaux en reconnaissance de la parole, biosciences, climatologie, reconnaissance de l’écriture, vérification de l’identité (basée sur l’écriture), médecine (aide au diagnostic), ...

On désignera par :

suite d’observations.

suite (inconnue) des états.

1 2, ,..., TO O O O

1 2, ,..., TQ Q Q Q

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Chaîne de Markov Cachée (CMC) discrète du 1er ordre définie par :

: ensemble des N états du modèle.

Un état au temps t par .

: ensemble des M symboles.

Un symbole au temps t par .

Matrice des probabilités de transition entre états :

: matrice de distribution des probabilités

de transition.

1 2, ,..., NS s s stq S

to V

1 ,1 , , 2...t j t i ijP Q s Q s a i j N t T

... ...ijA a

1 2, ,..., MV v v v

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Matrice des probabilités d’observation dans les états :

: matrice de distribution des probabilités

de génération de symboles.

Vecteur des probabilités initiales des états :

: matrice de distribution des probabilités

initiales.

( )j t k t jb k P O v Q s

... ( )...jB b k

1i iP q s

.... ...i

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Par simplification, on désignera une CMC par le triplet :

Respect des contraintes (Markoviennes) :

( , , )A B

1

1N

ii

1

1N

ijj

a

1...i N

1

( ) 1M

jk

b k

1...j N

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4. Aspects algorithmiques

4.1 Apprentissage du modèle : utilisation de l’algorithme de Baum-Welch

Estimation de façon itérative avec une séquence

d’observations

4.2 A la recherche du meilleur chemin : utilisation de l’algorithme de Viterbi

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( , , )A B 1 2, ,... To o o o

:o P O o * argmax P O o

1 11... 1

( , ) max ( ... , ... )t tq qt

t i P o o q q i

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5. Etude de cas : modélisation du taux de dégradation d’un processus industriel pour l’agro-alimentaire

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• Pas de variation du temps d’ouverture sur l’année (144 heures par semaine sur l’année),

• La quantité de produit fabriqué est de 1,6T/H.

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Consignation des évènements en maintenance sur la peseuse

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Codage symbolique

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1er essai (modèle ergodique à 4 états)

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Apprentissage du modèle

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Séquence d’états la plus vraisemblable

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6. Résultats : pseudo-VU-mètre

Séquence en 2006 (modèle ergodique)

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Modèle à topologie forcée

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Séquence en 2006 (modèle à topologie forcée)

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Autre séquence en 2006 (modèle à topologie forcée)

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Influence du nombre d’états sur une séquence en cours en 2007

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7. Conclusion et perspectives

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