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7/23/2019 mariambaroudi.pdf

1/127

UNIVERSIT DU QUBEC EN ABITIBI-TMISCAMINGUE

CONTRLE D'UN BRAS ROBOTIQUE FLEXIBLE

MMOIRE

PRSENT

COMME EXIGENCE PARTIELLE

DE LA MATRISE EN INGNIERIE

PAR

MARIAM BAROUD

AOT2 1


2/127

Mise en garde

La bibliothque du Cgep de lAbitibi-Tmiscamingue et de lUniversit du Qubec en Abitibi-

Tmiscamingue a obtenu lautorisation de lauteur de ce document afin de diffuser, dans un but

non lucratif, une copie de son uvre dans Depositum, site darchives numriques, gratuit et

accessible tous.

Lauteur conserve nanmoins ses droits de proprit intellectuelle, dont son droit dauteur, sur

cette uvre. Il est donc interdit de reproduire ou de publier en totalit ou en partie ce

document sans lautorisation de lauteur.


3/127

R.fiMfiR.C f iMfiNTS

Ava11.-t

d'e11.-tre daw; te vifdu ~ e t } a u e r a i

bie11.

profiter de cette

occasio11.- pour arborer mes

si11.-cres

r e m e r c i e m e V ~ - t s mes

directeurs:_)e remercie

viveme11.-t

Professeur Moha

mad

S A D

et

Professeur WPLid

iHl

i

de t 'avoir V ~ - C O U r a g et

CM.-cadr

durt?M.-t

toute ta dure

de mo11.

programme

ta11. t

au 11.-iveau acadmique

qu au 11.-iveau p e r s o V ~ - V ~ - e : _ ) e tes remercie de m avoir o V ~ - V ~ - ta

cha11.-ce

de b V ~ - f i c i e r de

te

ur ? C p r i e V ~ - c e / teurs

c o V ~ - s e i t s et

teurs observatio11.-s.

_je remercie tes membres de

jury

d'avoir

rete11.-u

a t t e V ~ - t i o V ~ -

de

mo

-

prejet.

_J'adresse mes vifs r e m e r c i e m e V ~ - t s mes

pare11.-ts

de m'avoiroffrt

e V ~ - c o u r a g e m e V ~ - t

et

te support mora

e

dura11.-t toute ma vie

u11. i

versita re.

_je

coM.-c us

C V ~ -

remercia11.-t

mes

amis et

toutes autres

e r s o V ~ - V ~ - C S

aya11.-t participe ta russite de ce travail et fOu

mir

atmosphre

C O V ~ - V C M . - a b e .


4/127

T BLE DES MATIERES

INTRODUCTION GNR LE

1

CHAPITRE-1- TUDE BIBLIOGR PHIQUE

4

1

INTRODUCTION

.......................................................................................... 5

2

MODLISATIONDYNAMIQUE .................................................................... 5

2.1. MTHODE DES MODES SUPPOSS

2.2. MTHODE DES LMENTS FINIS

........... 6

........... 6

2.3. MTHODE DES CORPS RIGIDES AVEC

LIEN

LASTIQUE ..... ... 7

3.

CONTRLE

.......................................................................................... 7

3.1. TECHNIQUES

DE CONTRLE

CLASSIQUE

........... 8

........... 9

.2. TECHNIQUES

DE CONTRLE

MODERNE

3.3. COMPARAISONS ENTRE DES TECHNIQUES

DE CONTRLE

CLASSIQUE

ET

MODERNE .........

11

4

OBJECTIFS

........................................................................................

13

5

CONCLUSION

........................................................................................ 14

CHAPITRE-2-

MODLIS TION DU SYSTME

15

1

INTRODUCTION

........................................................................................ 16

2

DESCRIPTION DU SYSTME

...................................................................... 16

2.1.

LE

SYSTME

REL

2.2. REPRSENTATION SCHMATIQUE

......... 16

......... 20

3. CINMATIQUE ........................................................................................ 22

3.1. NERGIE CINTIQUE ......... 23

3.2. NERGIE

POTENTIELLE

3.3.

DISSIP TIONDER YLEIGH

4 MTHODE

DES LMENTS FINIS MEF)

......... 23

24

24


5/127

4.1. NERGIE CINTIQUE ET

MASSE

LMENTAIRE

......... 28

4.2. NERGIE POTENTIELLE ET RIGIDIT LMENTAIRE ......... 29

4.3.

ASSEMBLAGE DES MATRICES LMENTAIRES

......... 29

4.4. DYNAMIQUE .........30

5 MTHODEDESMODESSUPPOSS(MMS) ..................... ....................... . 31

5.1. NERGIE CINTIQUE ......... 32

5.2. NERGIE POTENTIELLE

5.3. DYNAMIQUE

5.4. FONCTIONS

DE

FORME

......... 33

......... 33

.........

34

6

MODLED TAT ........................................................................................

36

7

MTHODE

DES

CORPS

RIGIDES AVEC

LIEN

LASTIQUE ................36

8 MODLISATIONDUSERVOMOTEURSRV02 .........................................

39

9

CONCLUSION ........................................................................................ 44

CHAPITRE -3- TECHNIQUES CLASSIQUES DE CONTRLE

46

1

INTRODUCTION ........................................................................................ 47

2. NOTIONS DE CONTRLABILIT ET D OBSERVABILIT .................. 47

2.1. CONTRLABILIT DES

SYSTMES

LINAIRES ........ .48

2.2. OBSERVABILIT DES

SYSTMES

LINAIRES ......... 49

3.

CONTRLE PROPORTIONNEL DRIV

PD) ........................................51

4 CONTRLEPARRETOURD TAT ........................................................... 52

4.1. FORME CANONIQUE DE

CONTRLABILIT ET

D OBSERVABILIT

......... 53

4.2. CONCEPTIONDUCONTRLEURRETOURD TAT ......... 55

4.3. CALCUL DU GAIN PAR

RETOUR D TAT

......... 57

4.4. DVELOPPEMENT DEL

ALGORITHME DE

CALCUL ......... 57

5 COMMANDE

OPTIMALE

(CONTRLE LINAIRE-QUADRATIQUE) 59

6 ESTIMATEUR D TATS ................................................................... 62

7 APPLICATIONETRSULTATS .................................................................. 64

7.1.

CONTRLE

PROPORTIONNEL -DRIV PD) ........................ 64

7.2.

CONTRLE

PAR

RETOUR D TAT

ET COMMANDE OPTIMALE

..... 66

8

CONCLUSION

........................................................................................ 77

CHAPITRE-4-

TECHNIQUES

MODERNES

DE

CONTRLE

78

1 INTRODUCTION ........................................................................................ 79

2.

STABILITDELYAPUNOV

......................................................................... 79


6/127

2 1 STABILIT LOCALE

2 2 STABILIT GLOBALE

iii

80

80

3 LINARISATION

ENTRE

SORTIE 80

3 1 CONCEPTIONDUCONTRLEUR 81

4 CONTRLE PAR MODES DE GLISSEMENT 85

4 1 TUDE THORIQUE

4 2 CONCEPTION DU CONTRLEUR

85

87

4 3 AMLIORATIONDELACOMMANDE 89

5 APPLICATIONETRSULTATS 90

5 1 SIMULATION 90

5 2 EXPRIMENTATION

97

6 CONCLUSION 1 1

CONCLUSION GNRALE ET PERSPECTIVES

ANNEXE A

VALEURS NUMRIQUES DES MATRICES DE MASSE ET DE RIGIDIT

CALCULES PAR

LA

MEF

ANNEXE B

VALEURS NUMRIQUES DES MATRICES DE MASSE ET DE RIGIDIT

CALCULES PAR

LA MMS

102

110

112


7/127

v

LISTE DES FIGURES

Figure Page

1 1 Reprsentation schmatique d un manipulateur deux bras flexibles...... 10

2.1 Le systme un bras

flexible.....................................................

17

2.2 Les deux configurations du servomoteur............................................ 18

2.3 Description du systme rel.............................................................. 19

2.4 Schma du bras

flexible..................................................................

21

2.5 Degrs de libert de l lment j 26

2.6 Fonctions de forme

pour un

lment de

poutre................................ 27

2

7 Processus d assemblage................................................................ 30

2.8 Modle simplifi du bras flexible................................................. 37

2.9 Circuit d induit du moteur............................................................ 40

2.10 Diagramme en bloc du servomoteur

SRV02......

.................................. 42

2.11 Schma bloc global du systme

tout entier......................................... 44


8/127

v

3.1 Structure du contrleur PD........................................................

51

3.2 Systme contrl par retour d tat.................................................. 56

3.3 Reprsentation du systme contrl

par un

rgulateur LQR............ ...... 62

3.4 Reprsentation schmatique d un est imateur d tat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... 63

3 5 Rsultat de la simulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3.6 Rsultat exprimental.............................................................. 65

3.7 Loi de commande applique

......................................................

66

3.8 Systme contrl disposant d un estimateur

d tat................................ 67

3.9 Implmentation du systme dans MATLAB/SIMULINK... ......... ........ 68

3.10 Position de l extrmit du bras pour les valeurs

K1

du gain.................... 70

3.11 Position de l extrmit du bras pourles valeurs K

2

du gain................... 71

3.12 Position de l extrmit du bras contrl par le rgulateur LQR...... ......... 72

3.13 Implmentation du contrleur dans Matlab/Simulink................. ......... 73

3.14 Position de l extrmit du bras dans le cas du contrle par retour

d tat................................................................................. 74

3.15 Position de l extrmit du bras contrl par LQR ................................ 75

3.16 Lois

de

commande appliques dans le

cas du

contrle par retour d tat. ... ... ... . 76

3.17 Loi de commande applique

dans

le

cas du

contrle LQR......................... 76

4.1 Hyperplan de commutation ......................................................... 86


9/127

v

4.2 Phnomne de battement d l imperfection du contrleur lors de

la

commutation................................................................................................ 89

4.3 Position de l extrmit du bras contrl par retour d tat........................... 91

4.4 Position de l extrmit du bras contrl par le rgulateur LQR........ . . . 92

4.5 Implmentat ion du contrleur par linarisation entre-

sortie.............

93

4.6 Vue dtaille du contrleur Sliding Mode Control .......................... 94

4 7 Position de l extrmit du bras flexible contrl par la technique de

linarisation entre -sortie...................................................... 95

4.8 Position de l extrmit du bras contrl par modes de glissement.......... 96

4.9 Dpassement l instant d tablissement du rgime permanent.............. 96

4.10 Implmentat ion du contrle classique

sur

le systme

rel...................

97

4.11 Position de l extrmit du bras contrl par retour d tat.................... 98

4.12 Position de l extrmit du bras contrl par

LQR............................

99

4.13 Implmentation du contrleur par modes de glissement mont sur

le systme

rel... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

100


10/127

v

LISTE DES TABLEAUX

Tableau Page

2.1 Composantes du bras flexible rotationnel.... . 19

2.2 Spcifications du bras flexible 22

2.3 Paramtres du servomoteur SRV02 43

3.1 Effets de l augmentation des

paramtres

52


11/127

v

RSU

E contrle des systmes mcaniques, plus particulirement des

manipulateurs robotiques, est

un

domaine actif de la recherche

applique. Les robots classiques utiliss dans l industrie sont

extrmement prcis mais relativement lents, massifs et exigent des

moteurs puissants. Les efforts dploys dans

la

modlisation et le

contrle de manipulateurs flexibles sont alors motivs par la demande prvue d un

poids lger, de la prcision et d une grande vitesse des robots dans diverses

applications. En fait, dans le cas d un robot rigide, la connaissance de l angle moteur

permet d obtenir directement la position de l extrmit. Par contre, cause de la

flexibilit, la rotation de la base d un bras flexible entrane l oscillation du bras tout

entier. Le contrle direct de l extrmit d un robot flexible est plus difficile que celui

d un robot rigide. D o le besoin d une loi de commande qui contrle la position de

l extrmit en tenant compte des dformations de la membrure. Ceci constitue

l objectif de recherche de ce travail. Pour y arriver,

on

commence par dvelopper le

modle

d un

systme un bras flexible entran

par un

moteur courant continu.

Ensuite, il s agit du dveloppement des lois de contrle qui assurent la rgulat ion de

l extrmit tout en rduisant les vibrations du bras. Finalement, les performances des

contrleurs dvelopps sont simules sur un banc d essai.


12/127

x

BSTR CT

HE control of mechanical systems and particularly of robotic

manipulators s an active applied research area. Most existing robots rigid

manipulators achieve good positioning accuracy y using heavy

materials. As a consequence such robots are usually heavy which limits

the speed of operation of the robot manipulation and increases the energy

consumption. After the era

of

rigid robotics major research activities was devoted to

improve dynamic performances and to reduce the mass of robotic systems y

considering structural flexibility in robots arms. However the question of mode ling

and control

of

flexible manipulators is challenging due to precise positioning

requirements. n fact knowing the base angle of a rigid arm leads directly to knowing

the tip position. In contrast system flexibility leads to the appearance of oscillations

at the tip

of

the link during motion. These oscillations make the control problems

of

such systems really difficult. Renee the need for a control law that controls the tip

position and takes in consideration the deformation of the link. n this purpose we

started by modeling the system consisting of a flexible single-link drived y a DC

motor. After that we developed control laws in order to minimize the vibrations

while regulating the tip position. Finally performances of such controllers were

tested y simulation and experimentally on an experimental flexible arm system.


13/127

INTRODUCTION GNR LE

accroissement continu de l utilisation des manipulateurs robotiques

dans diverses applications est motiv

p r

les besoins et les demandes en

automatisation et les besoins industriels. Le contrle des systmes

mcaniques, plus particulirement les manipulateurs robotiques, est

un

domaine actif de la recherche applique. Les applications importantes des robots ne

sont pas limites seulement celles qui remplacent l tre humain, tels que

le

dplacement des matriaux, des pices ou des lments spcialiss, mais galement l

o

l

prsence de l homme est soit indsirable, tels que les milieux explosifs et

radioactifs, soit impossible telles que l exploration plantaire et l rparation de

satellites.

L objectif principal de cette recherche consiste dvelopper

un

algorithme permettant

le

contrle des manipulateurs robotiques flexibles. Ce projet est donc motiv par

l intrt

e

disposer des robots membrures flexibles prsentant des avantages divers

en comparaison avec les manipulateurs rigides classiques.

Parmi les diffrents types de manipulateurs rigides et flexibles, l attention est surtout

concentre envers les manipulateurs robotiques flexibles. Cela est d au fait que ces

derniers exposent plusieurs avantages par rapport aux robots membrures rigides. En


14/127

effet, les manipulateurs flexibles requirent moins

e

matriaux, sont plus lgers et

par suite leur vitesse

e

manipulation est plus grande. Ils ont besoin de moteurs moins

puissants et requirent de petits actionneurs. De plus, ce type de manipulateurs est

plus manuvrable et transportable, possde un cot global rduit et peut supporter

des charges poids lev

p r

rapport au poids du robot lui-mme. Cependant,

le

contrle performant de ces manipulateurs flexibles dans

le but

d assurer la prcision

de leur positionnement constitue le problme majeur des recherches rcentes.

Les problmes qui surgissent lors

e

l conception des contrleurs convenables sont

ds la flexibilit qui provoque la vibration des membrures, la difficult d obtenir

un

modle performant qui dcrit

le

systme le plus exactement possible et la

caractristique du systme non minimum de phase. En d autres termes,

l

dynamique, donc les vibrations des manipulateurs flexibles constitue

le

principal dfi

de la recherche tant dans le domaine de modlisation que

le

contrle

e

tels systmes.

Dans

le

but

e

bnficier des avantages associs au poids lgers de tels manipulateurs

et

e

positionner l extrmit du bras flexible tout en assurant la prcision dsire, des

modles performants et des stratgies

e

contrle efficaces doivent tre dvelopps et

appliqus au manipulateur flexible qu on dispose. En fait,

le

contrle prcis de la

position

e

l extrmit du bras flexible exige l limination ou l rduction des

vibrations rsiduelles dues la flexibilit. Par consquent, les recherches actives dans

ce domaine cherchent dvelopper des mthodes de contrle

e

ce type

e

systmes.

Le premier chapitre prsente une tude bibliographique qui rapporte les diverses

mthodes de modlisation et les multiples techniques, classiques et modernes, de

commande des manipulateurs robotiques flexibles prsentes dans la littrature.

De nombreuses recherches concernant

le

dveloppement des modles dynamiques

des manipulateurs flexibles sont dj ralises. Ces recherches ont abouti la

description du systme soit par des quations aux drives partielles, soit par des


15/127

3

quations diffrentielles ordinaires de dimension finie. Puis dans le but de complter

l tude thorique par une tude exprimentale de diffrentes stratgies de contrle, on

dispose d un manipulateur constitu d un moteur courant continu,

un

bras flexible,

un encodeur qui mesure l angle la base et une jauge qui donne des informations sur

la dformation de l extrmit du bras.

a

description du montage suivie d une tude

dtaille sur les diffrentes mthodes de modlisation dveloppes est prsente au

deuxime chapitre de ce rapport.

Les diverses techniques de commande peuvent tre regroupes en deux catgories: les

mthodes classiques et les mthodes modernes. Les techniques de contrle classiques

sont: le contrle proportionnelle-drive (PD), le contrle par retour d tats et la

commande optimale. Le chapitre 3 dveloppe le contrle par retour d tat et la

commande linaire-quadratique (LQR)

ou

commande optimale. Dans ce chapitre sont

aussi prsents les rsultats de simulation et les rsultats exprimentaux obtenus suite

l application de ces techniques de commande.

Les techniques de contrle modernes sont multiples parmi lesquelles

on

a tudi et

appliqu le contrle par couple pr-calcul et la commande par mode de glissement.

Ces tudes sont dveloppes dans le chapitre 4 Ce dernier prsente de

mme

les

rsultats de simulation de ces mthodes.

On

complte ce chapitre par une

comparaison entre les rsultats obtenus par les mthodes classiques et ceux obtenus

par les techniques modernes.

Finalement, ce travail se termine par une conclusion gnrale qui rsume les rsultats

obtenus et une brve description du travail futur pouvant avoir lieu dans ce domaine

de recherche.

Les travaux de simulation raliss dans ce projet sont effectus l aide du logiciel

MATLAB(7.5.0)/SIMULINK(V7.0). Ultrieurement, les travaux d exprimentation

sont raliss

sur

un module un bras flexible dvelopp par la compagnie Quanser.


16/127

CHAPITRE

TUDE BIBLIOGRAPHIQUE

...... E chapitre prsente une revue gnrale des principales mthodologies

dj dveloppes dans

le

cadre

de

la modlisation, la simulation et le

contrle des manipulateurs flexibles. L tude bibliographique labore

dans ce qui suit, porte sur le dveloppement dans

le

domaine de la

modlisation, la simulation et

le

contrle des manipulateurs robotiques flexibles. En

effet, durant les annes rcentes,

e

domaine a attir l attention des chercheurs cause

des performances rclames dans

le

domaine

de

l robotique et des applications

spatiales demandant des structures flexibles et lgres. Vu

le

nombre important de

publications dans ce sujet, une telle tude semble tre exhaustive. Cependant, on

prsente dans ce chapitre les progrs les plus marquants selon les besoins du projet.


17/127

5

1

INTRODUCTION

Les diverses recherches ralises sur les systmes manipulateurs flexibles varient

d un manipulateur

un

seul bras flexible tournant autour d un axe fixe, jusqu aux

manipulateurs trois dimensions forms de plusieurs bras flexibles. Cependant, notre

travail se limite l tude des manipulateurs robotiques constitus d un seul bras

flexible.

La recherche dans

le

domaine de la robotique flexible peut-tre subdivis en deux

parties essentielles: la modlisation et

le

contrle

de

la position

de

l extrmit du bras.

Plusieurs mthodes de modlisation et diverses techniques de contrle ont t

tudies jusqu prsent. Les diffrentes tudes de modlisation sont prsentes et

analyses par la suite.

2 MODLISATION DYNAMIQUE

Dans

le

but de dvelopper des lois

de

commande performantes et d atteindre les

prcisions demandes, il faut commencer

p r

construire des modles mathmatiques

prcis.

Cette partie concerne l modlisation des manipulateurs un bras flexible. Les deux

mthodes largement utilises dans la littrature dans

le

but de discrtiser la

dformation du bras flexible sont la mthode des modes supposes (MMS) et l

mthode d lments finis (MEF). Dans les deux cas la formulation des quations

dynamiques s effectue par la mthode de Lagrange. On aboutit une structure

dynamique reprsente par des quations diffrentielles.

Il

s agit donc de rsoudre

un

problme aux valeurs propres.


18/127

6

2.1. MTHODE DES MODES SUPPOSS

La

mthode des modes supposs a t utilise par diffrents chercheurs (Saad et al.,

2006; Saad, 2004; Piedboeuf, 1992; Pal, Stephanou et Cook, 1988; Geniele, Pate et

Khorasani, 1997; hmad et al., 2008; Cho, Angeles et Hori, 1994; Ziarati, 1993).

D'aprs ces tudes, la dformation est reprsente par une somme pondre des

fonctions de forme. En d'autres termes, la mthode consiste en l'approximation de la

solution d'un problme aux valeurs propres

par

une srie finie de fonctions supposes

multiplies

par

des coefficients indtermins. (Saad et al., 2006; Saad, 2004)

prsentent l'tude de deux types de fonctions de formes: les fonctions polynomiales et

les fonctions propres des poutres. Alors que (Piedboeuf, 1992) prsente uniquement

les quations des fonctions propres d'une poutre encastre sans charge. (Pal,

Stephanou et Cook, 1988; Geniele, Pate et Khorasani, 1997)

ont formul les

quations dynamiques d'un systme

un

bras flexible avec

la

mthode d'Euler

Bernoulli.

2.2. MTHODE DES LMENTS FlNlS

Un

autre moyen de discrtisation est de dfinir des fonctions de forme par morceaux.

Le bras est alors divis en un certain nombre d'intervalles et un polynme de degr

rduit est utilis pour chaque intervalle. C'est le cas de la mthode des lments finis.

Les tudes effectues par (Saad et al., 2006; Saad, 2004) portent sur deux types de

fonctions d'interpolation: les splines cubiques et les B-splines cubiques. D'autres

tudes concernent uniquement les splines cubiques telles que (Piedboeuf, 1992; Cho,

Angeles et Hori, 1994; Dancose, Angeles et Hori, 1989; Cho, Hori et Angeles, 1991

.

Les polynmes d'Hermite sont souvent utiliss comme fonctions d'interpolation dans

la MEF, tel que prsent par (Tokhi et Mohamed, 1999; Usoro, Nadira et Mahil,

1986; Aoustin et al., 1994).


19/127

7

Une comparaison entre la mthode des modes supposs et la mthode des lments

finis utilisant les splines cubiques et leur effet sur le modle obtenu est prsente dans

les tudes effectues par (Cho, Angeles et Hori, 1994; Saad et al., 2006). De mme,

(Theodore et Ghosal, 1995) ont effectu la comparaison dans le cas d un manipulateur

plusieurs bras flexibles.

Une comparaison entre les avantages et les inconvnients de ces mthodes permet de

conclure que la mthode des MMS et la mthode MEF permettent de crer des

modles proches de

la

gomtrie relle. Cependant, la mthode des lments finis

prsente l inconvnient qui se rsume

par

la

mise en uvre laborieuse et

un

temps

d excution des calculs informatiques pouvant tre parfois trs long.

2 3

MTHODE DES CORPS RIGIDES AVEC LIEN LASTIQUE

(Popescu, Sendrescu et Bobasu, 2008; Quanser) ont modlis le systme en traitant la

base tournante comme tant un corps rigide et le bras flexible comme tant un corps

lastique un degr de libert ayant une rigidit constante.

Des tudes plus dtailles concernant diverses mthodes de modlisation sont

dveloppes par (Dwivedy et Eberhard, 2006).

3. ONTRLE

Le contrle des manipulateurs flexibles, dans l intention d atteindre et de maintenir

avec prcision une position dsire, constitue

un

dfi.

De

nombreuses mthodes de

contrle classiques et modernes existent avec lesquelles de bons contrleurs peuvent

tre conus si les paramtres taient considrs fixes et connus. Cependant, la

variation des paramtres du systme d aux changements des conditions du travail

sollicitent les contrleurs modernes utilisant des gains variables.


20/127

8

Les diffrentes tudes effectues dans ce domaine concernent diverses mthodes de

commande, telles que les techniques classiques de contrle: rgulateur proportionnel

drive (PD), contrle par retour d tat et rgulateur linaire-quadratique (LQR).

D autres mthodes modernes sont de mme appliques telles que le contrle par

modes de glissement, la commande adaptative e t autres. En effet, dans tous ces cas, le

dveloppement d un modle mathmatique prcis et efficace est ncessaire.

3.1. TECHNIQUES DE CONTRLE CLASSIQUE

a

commande optimale reprsente la technique de contrle classique largement

employe par divers chercheurs. Cette commande traduite par le contrle Linaire

Quadratique est tudie et dtaille par (Pal, Stephanou et Cook, 1988; Cho, Angeles

et Hori, 1994; Dancose, Angeles et Hori, 1989; Cho, Hori et Angeles, 1991;

Piedboeuf

et al., 1991;

Zhu

et Mote, 1997).

(Cho, Hori et Angeles, 1991) ont discut en plus de la contrlabilit et l observabilit

du systme. (Konno et al., 1994; Fukuda et Arakawa, 1989) ont tudi la commande

optimale

pour

le cas des manipulateurs robotiques deux bras flexibles.

En fait, pour un systme dynamique donn et dont les quations sont connues, le

problme de commande optimale consiste trouver la commande minimisant un

critre donn. C est sous cette forme que la commande optimale a t tudie ds le

X Xme

sicle avec le calcul des variations. Notons nanmoins que les difficults

souleves par ce genre de problme sont loin d tre compltement rsolues.

a

commande optimale reste donc un sujet de recherche d actualit.

Le contrleur anticipatif classique souvent employ dans le cas des robots rigides est

tudi et test dans le cas d un manipulateur un bras f lexible par (Ziarati, 1993).

Cependant un critre de choix de la commande par anticipation est la disponibilit

d une variable de perturbation mesurable. De plus, ce type de commande n est


21/127

9

appliqu qu'au cas o la commande contre raction est insatisfaisante. De ce fait, la

commande anticipative se trouve rarement utilise dans le domaine de la robotique

flexible.

3.2. TECHNIQUES DE CONTRLE MODERNE

(Banavar et Dominic, 1995) ont cherch amliorer les performances d'un contrleur

classique du type LQG en combinant la thorie de contrle robuste de la forme Hoo

Cela permet de garantir la stabilit du systme face aux perturbations extrieures.

Une technique du contrle moderne est traite par (Popescu, Sendrescu et Bobasu,

2008). Il s'agit dans ce cas du contrle optimal robuste appliqu un bras flexible

dans le but d'atteindre la stabilit dsire.

Par rapport la commande LQR, la commande LQ prsente l'intrt de s'appliquer

des systmes dont l'tat n'est pas mesur. Elle est apparue comme la premire

mthode gnrale pour l'asservissement des systmes multivariables, de ce fait elle a

connu un grand succs. Mais, depuis la fin du XXme sicle,

la

commande Hoo apparat

comme

un

srieux concurrent pour l'asservissement robuste des systmes

multivariables. Nanmoins, la commande

LQ

n'en demeure pas moins un standard

industriel.

Une gnralisation de la mthode du couple pr-calcul, employe dans le cas des

robots rigides, puis une tude du contrle adaptatif sont prsentes par (Fareh, Saad et

Saad, 2009). Dans les deux cas, les contrleurs ont t obtenus en utilisant la

technique des modes de glissement.

La

commande adaptative directe est applique un manipulateur deux bras

flexibles par (Ozcelik, Y esiloglu et Terne tas, 2006). e schma d'un tel manipulateur

est illustr

la

figure (

1.1 .


22/127

oteur

Encodeurs optiques mesurant

la position angulai

re

Rducteur e

Capteurs d acclration placs

aux extrmits des bras

Figure 1 1

Reprsentation

schmatique d un

manipulateur

deux

bras

flexibles.

10

Le modle du manipulateur un bras flexible est linaris autour d'un point

d'opration dans (Geniele, Pate et Khorasani, 1997) Cela permet l'application de

diverses techniques de contrle et facilite la manipulation du systme. Les rsultats

exprimentaux ont montr

de

bonnes performances en ce qui concerne le suivi de la

trajectoire dsire

et

une erreur en rgime permanent ngligeable. Mais les

oscillations rapparaissent lorsque la position dsire de l'extrmit dpasse une

certaine limite.

Un contrleur bas sur la technique des modes de glissement et la mthode de

linarisation entre/sortie est tudi dans (Moallern, Khorasani et Pate , 1997) dans le

cas d'un manipulateur

deux bras flexibles. Les rsultats obtenus

par

simulation

prsentent de faible erreur en rgime permanent

et

cela mme en modifiant le gain du

contrleur. Cela a permis aux auteurs

de

faire une dduction sur la robustesse

de

ce

contrleur.


23/127

D'autres tudes bases sur la technique des modes de glissement sont prsentes dans

(Xu et Cao, 2000) dans le but d'annuler les modes de rsonance, d'assurer la

convergence des modes de glissement autour d'un point d'quilibre et rduire l'erreur

en rgime permanent. Les rsultats des simulations confirment l'efficacit et la

robustesse de tels contrleurs.

(Lammerts et al., 1995)

ont

appliqu la mthode du couple pr-calcul et la mthode

du contrle adaptatif

pour

le cas du suivi de trajectoire. Cela est ralis en tenant

compte de

la

flexibilit du bras et celle des joints et

la

prsence des paramtres

incertains. Les rsultats de la simulation montrent l'efficacit du contrle adaptatif.

Parmi ces diffrentes techniques de commande robustes, la commande structure

variable par modes de glissement est une technique particulirement intressante

cause de la simplicit de son algorithme de rglage. De plus, cette commande garantit

que le systme atteint l'tat dsir en un temps fini et son comportement devient

insensible aux perturbations sur la sortie et aux variations paramtriques.

D'autre part, le couple pr-calcul, ou le contrle bas sur l'approche de linarisation

entre/sortie, souvent employ

pour

rsoudre des problmes pratiques de commande,

demande un modle prcis du systme commander. De plus, les proprits de

robustesse ne sont pas garanties face aux incertitudes paramtriques du modle.

3.3. COMPARAISONS ENTRE DES TECHNIQUES DE CONTRLE CLASSIQUE

ET MODERNE

D'autres chercheurs ont fait la comparmson de plusieurs techniques de contrle

classiques et modernes, c'est le cas des tudes prsentes par (Ahmad et al., 2008;

Chaichanavong et Banjerdpongchai, 1999; Chang et Jurasaya, 1995; Aoustin et al.,

1994; Geniele, Pate et Khorasani, 1997). L'effet du contrle du type 'Delayed

Feedback Signal' (DFS) est tudi par (Ahmad et al., 2008). Une comparaison des


24/127

12

rsultats de la simulation de ce type de contrle avec ceux obtenus dans le cas des

contrleurs classiques

LQR

et PD est prsente. Ces rsultats ont montr que les

meilleures performances, de point de vue rduction des vibrations, sont obtenues

pour

le cas du contrle DFS. ela est mis en vidence partir des mesures effectues sur la

position angulaire, la vitesse angulaire et les dplacements modaux.

(Chaichanavong et Banjerdpongchai, 1999) ont effectu la comparaison entre la

technique classique de commande optimale (LQR) et une technique base

sur

la

rponse frquentielle Loop Shaping Control . Dans ce cas, une charge variable qui

peut se dplacer le long du bras flexible est considre. Les rsultats exprimentaux

ont montr que les oscillations subsistent dans le cas du contrle LQR.

Par

contre,

dans le cas du Loop Shaping control les oscillations sont notamment rduites.

Plusieurs mthodes de contrle sont tudies par (Chang et Jurasaya, 1995), tels que

le contrle PD, LQR, la thorie du servomcanisme robuste et

la

commande

quantitative (Quantitative Feedback Theory QFT). Les rsultats exprimentaux

obtenus dans cette tude sont conformes avec ceux des simulations et montrent des

performances raisonnables pour chacun des contrleurs PD, LQR et QFT. Ce dernier

ncessite le moins de rglage en comparaison avec le contrle

PD

et le contrle LQR.

(Aoustin et al., 1994) ont effectu la comparaison des rsultats obtenus par

applications des contrleurs PD, LQR, les techniques de linarisation par retour d tat

(Feedback Linearization Techniques), la thorie des perturbations singulires

(Singular Perturbation Theory) et la technique des modes de glissement (Sliding

Mode Techniques). Les expriences ralises sont effectues sur des manipulateurs

dont la flexibilit est suprieure

la

flexibilit standard qui apparait gnralement

dans le cas des applications industrielles. Dans ce cas, la mthode base sur la thorie

des perturbations singulires a donn les meilleurs rsultats de point de vue suivi de

la trajectoire dsire. Cependant, l erreur en rgime permanent existe toujours

pour

cette technique de contrle.


25/127

3

Le contrle PD, la commande prdictive (Feedforward Control Techniques) et une

commande avec retour des signaux des jauges sont les mthodes tudies par

(Mohamed et al., 2005). Une simulation est effectue dans

le

cas d un manipulateur

deux bras flexibles. Les auteurs ont dmontr qu une rduction significative des

vibrations du systme est obtenue l aide du contrleur hybride incorporant la

commande prdictive et le retour des signaux des jauges. D autre part,

la

commande

avec retour des signaux des jauges correspond au contrle

le

plus efficace en termes

du suivi d une entre de rfrence.

Les revues

de

(Dwivedy et Eberhard, 2006; Benosman et

e

Vey, 2004) reprsentent

d une faon plus dtaille diverses tudes concernant les diffrentes mthodes de

contrle ralises par une diversit

de chercheurs. Les auteurs (Dwivedy et Eberhard,

2006) classifient les diverses tudes effectues dans ce domaine selon le nombre de

bras des manipulateurs robotiques considrs. D autre part, la classification des tudes

prsentes par (Benosman et eVey, 2004) est ralise en regroupant les diffrentes

techniques de commande selon les objectifs de contrle.

4 OBJECTIFS

Ce domaine de recherche a attir une grande attention durant les deux dernires

dcennies et semble devenir moins attirant aujourd hui, d une part cause des

rsultats satisfaisants obtenus jusqu prsent, et d autre part, cause de la nature

complexe des problmes subsistants. Mais, la suite de cette revue de littrature, on

pourra nettement remarquer que certaines de ces tudes ratent la vrification

exprimentale des rsultats obtenus. Cela a sollicit

la

reproduction de quelque unes

de ces tudes, dans

le

but de vrifier l applicabilit et tester les algorithmes qu on

vient d apercevoir. Ainsi, motiv par les rsultats rencontrs dans l tude

bibliographique, on dfinit les diffrents objectifs de ce travail.


26/127

14

L objectif gnral de ce projet se traduit par le dveloppement d un algorithme de

contrle permettant l extrmit du bras flexible d atteindre la position dsire. Afin

d atteindre le point dsir avec prcision, un algorithme performant assurant l

stabilit et

un

minimum d oscillations est recherch. Dans le

but

d aboutir cet

objectif global, des objectifs particuliers prennent naissance. Ces derniers sont

prsents explicitement comme suit:

Obtenir

un

modle pouvant reprsenter

le

systme rel

le

plus exactement

possible. Cela demande l tude de la plupart des modles dj noncs dans la

revue de littrature.

Assurer le positionnement de l extrmit du bras. Ceci implique l intrt

d tudier, de concevoir et de comparer plusieurs lois de commande classiques

et modernes.

Tester les rsultats obtenus par

l

simulation en appliquant les lois

de

commande ainsi conues sur

le

systme rel qu on dispose.

5 CONCLUSION

Ce chapitre a prsent une tude bibliographique concernant les principales

mthodologies de modlisation et de contrle des manipulateurs flexibles surtout

ceux forms

p r un

seul bras flexible. Se basant sur tout ce qui prcde, on conclut

sur l importance de disposer d un modle robuste et performant sur lequel on effectue

les travaux de simulation. Pour cela, la premire tape de ce projet consiste

modliser le systme form par

un

manipulateur

un

bras flexible qu on dispose pour

les tudes exprimentales. L tude des diffrentes mthodes de modlisation et le

dveloppement d un modle dynamique pouvant reprsenter le systme le plus

exactement possible sera le sujet du chapitre suivant.


27/127

CHAPITRE

MODLIS TION DU SYSTME

...... E chapitre prsente le dveloppement analytique des modles relatifs

au systme constitu d un manipulateur un bras flexible disponible

pour les travaux d exprimentations. e chapitre prcdent prsente les

techniques qui utilisent les modes supposs et les lments finis ont t

recherches dans le but d obtenir une reprsentation dynamique qui dcrit le

mouvement du manipulateur robotique flexible concern. ar consquent, des

algorithmes de simulations caractrisant le comportement dynamique du

manipulateur flexible sont dvelopps dans le but de produire les aspects flexibles

pour l analyse, les tests e t la vrification des techniques de contrle.


28/127

16

1 INTRODUCTION

Dans le but d obtenir des rsultats satisfaisants,

un

modle performant et efficace doit

tre dvelopp. Dans ce rapport, plusieurs techniques de modlisation sont tudies et

diffrentes mthodes de discrtisation spatiale sont appliques dans le

but

d approximer la solution des quations aux drives partielles caractrisant le modle

du systme. Ces quations sont obtenues par application de la mthode de Lagrange

un

bras robotique flexible tournant dans le plan horizontal en ngligeant l effet de

l allongement du bras. De ce fait, le modle obtenu sera

un

modle linaire.

Par la suite, les mthodes de modlisation abordes dans ce travail seront dtailles. Il

s agit donc de la mthode des lments finis, la mthode des modes supposes et la

mthode considrant le bras flexible comme tant

un

ressort rigidit constante et la

base en rotation comme tant un corps rigide. Le modle ainsi obtenu est un modle

un degr de libert IDOF).

2 DESCRIPTION DU SYSTME

Avant de dvelopper les diffrentes mthodes de modlisation, il est important de

commencer par une description du systme rel sur lequel sont effectues les

applications exprimentales.

2 1 LE SYSTME REL

La figure (2.1) montre le manipulateur robotique

un

bras flexible dvelopp par la

compagnie Quanser. Ce systme ressemble en nature aux cas des grandes structures

spatiales dont la contrainte du poids est traite par la flexibilit des membrures. Ce

systme exprimental est idal pour modliser une membrure flexible qui sera

monte

sur un

robot rigide ou dans les structures spatiales lgres.


29/127

7

Fjgure2 1

Le sysme u bras flexible.

e S)6tme est

constitu

d un

setvOrnoteur

et d unbras

flexible

ftx sur les

engrenages


30/127

8

(a) Configuration "Low-Gear Ratio (b) Configuration "High-GearRatio

igure 2 2

Les

deux configurations

du

servomoteur

Le

module du manipulateur souple est constitu du servomoteur en configuration

"High-Gear Ratio". L'entranement du bras flexible est ralis

l'aide du moteur DC

plac la base du bras. L'angle gnr par le servomoteur est mesur par un encodeur

optique reli au moteur. La dfotmation de l'extrmit du bras est mesure l'aide

d'une jauge place sa base. Le calibrage de

la

jauge est ajust pour une sortie de 1

Volt par po de dflection de l'extrmit.

Les principales composantes du bras flexible rotationnel sont numres dans 1e

tableau

(2

.1) et sont dtailles dans les figures (2. 3a) et (2. 3b):


31/127

(a) Bras flexible FLEXG AGE coupl

au servomoteur SRV 2

(b) Circuit de

la

auge

Figw 2.3

Description

du

systme rel.

Tableau 2.1 Composantesdu bras flexible rotationnel

Numro Composante

1

Servo moteurS

RV02

2 Module FLEXGAGE

3 Bras flexible FLEXGAGE

4

Jauge

5 Circuit de 1 jauge

6 Vis

7 Connecteur

du

capteu r

8 Potentiomtre de rglage

de OFFSET

9 Potentiomtre de rglage

du

GAIN

19

D aprs (Quanser), les potentiomtres

e

rglage setvent uniquement au rglage u

btas flexible avant

e

commencer les ttavaux de pro gtammation et

e

contrle. Selon


32/127

ces documentations tout bras flexible fabriqu par la compagnie Quanser est calibr

par la compagnie avant qu il soit dlivr aux utilisateurs.

2 2

REPRSENTATION SCHMATIQUE

20

Le manipulateur considr est reprsente schmatiquement la figure (2.4). Les

repres X Y et X

1

OY

1

reprsentent respectivement le plan fixe dans lequel le bras

tourne et

le

plan li au bras flexible, c est donc

le

plan en mouvement. Le tout tant

dans le plan horizontal, on tudie alors juste les dformations en flexion qui ont lieu

dans

le

plan de rotation. Les effets de gravitation sont ngligs, et aussi on considre

ngligeables les effets de traction ou de torsion du bras.

Lors de la modlisation, les hypothses simplificatrices suivantes sont considres:

Le bras est modlis par une poutre d Euler-Bernoulli (sans charge), ce qui

entrane les consquences suivantes:

o L inertie de rotation d un lment est nglige c..d. que la masse du

totale est considre proche de l axe de rotation (car on travail sur un

bras flexible sans charge),

o Le cisail lement d l effort tranchant est nglig.

Les dformations du bras sont supposes petites.

La vitesse de rotation est faible.

On nglige de plus l amortissement du bras.


33/127

21

v .Y.r)

Figure2 4 Schma du bras ftexible

e couple extrieur TL est gnr par le moteur sur la base du bras, et c est celui-ci qui

provoque la rotation de la base d un angle

tJ t).

a rotation de la base entrane la

rotation du bras tout entier.

v x,t)

correspond

la

dformation d un point du bras

d abscisse

x.

Cette dformation dpend non seulement de la position selon l axe

longitudinale du bras mais aussi du temps t. YL t) est

la

position angulaire de

l extrmit du bras. C est donc

la somme de l angle de rotation du moteur tJ t) et de

la

dformation angulaire de l extrmit

a t).

e bras est suppos uniforme et de longueur L, de masse par unit de longueur

p t

de

rigidit El o E est le module de Young et

I

est le moment d aire selon l axe de

rotation z.

A

correspond

la section du bras. Les valeurs numriques des diffrents

paramtres caractrisant le bras flexible sont donnes dans le tableau (2.2), le

matriau utilis tant 1 aluminium:


34/127

22

Tableau 2 2 Spcifications du bras flexible.

Paramtre Valeur Unit

Longueur

L) 41.9

cm

Masse M)

0.065

Kg

Module de Young E) 193

GPa

Moment d aire 1,)

1.67e

12

m

Section

A)

20x

1

x

Moment d inertie

J,)

0.004

Kg.m

2

Constante d lasticit (K ;n) 1.66

N/m

3.

CINMATIQUE

tant donn que la base ne se dplace pas en translation, la position du repre X

1

0Y

1

par rapport au repre

XOY

est:

(2.1)

On ne tient pas compte de l allongement ( c..d. en ngligeant les termes d ordre 2), la

position d un lment dm quelconque du bras

par

rapport X

1

OY

1

est gale :

(2.2)

D aprs la figure (2.4),

x

est la position tout au long de l axe longitudinal et

v x,

t la

dformation du bras la position

x

et l instant t.

La vitesse de rotation du repre X1 OY1 est gale

: k

1

, tandis que la drive de P

dm

dans X

1

0Y

1

s crit: v]

1

.

Avec,

vJv

k

1

les vecteurs unitaires dfinissant les axes du

repre X

1

0Y

1

, la vitesse de l lment dm s crit alors:


35/127

3

(2.3)

Pour gnrer le modle dynamique,

on

a besoin de calculer le Lagrangien

L

~ T V

O, est l nergie cintique du systme et

V

est son nergie potentielle. Pour cela, on

commence par calculer les nergies du systme.

3.1. NERGIE CINTIQUE

L nergie cintique est dfinie comme suit:

O, T

8

est l nergie cintique du moteur, et est exprime par:

1 . 2

Ts

= eqe

I q tant l inertie du moteur vue du ct bras.

dm

est celle d un l lment dm du bras, et est exprime par:

3.2. NERGIE POTENTIELLE

L nergie potentielle du systme provient uniquement de la poutre flexible:

V = E I

r v

x

z

z o

(2.4)

(2.5)

(2.6a)

(2.6b)

(2.7)


36/127

24

3 3 DISSIPATION DE RAYLEIGH

L amortissement, provenant du moteur et de la poutre, se traduit par la fonction de

dissipation de Rayleigh:

(2.8)

eq

correspond au coefficient d amortissement visqueux du moteur

la base;

e est le coefficient d amortissement interne du bras.

Dans la suite, on nglige le terme en

e

puisque l amortissement interne du bras est

suffisamment faible (par hypothse).

a

dynamique du systme est reprsente par des quations diffrentielles ordinaires

et des quations aux drives partielles. Par la suite, les diffrentes mthodes de

modlisation dveloppes au cours de notre travail sont dtailles, soit:

a mthode des lments finis (MEF)

a mthode des modes supposs (MMS)

a mthode des corps rigides avec lien lastique.

4 MTHODE DES LMENTS FINIS (MEF)

a

mthode MEF est utilise pour discrtiser spatialement les quations dynamiques

des robots flexibles.

a premire tape de la modlisation par la mthode des lments finis est la

discrtisation spatiale du domaine considr. Cela est quivalent rduire le nombre

de degres de libert du domaine considr. Ce qui permet de dfinir la dformation

au point x par la forme suivante:


37/127

5

v x, t)

Na x)qa t)

(2.9)

O

Na x)

est une fonction de forme (fonction d interpolation)

qa t)

est un dplacement nodal.

La deuxime tape consiste choisir les fonctions d interpolation ou fonctions de

forme. Les fonctions d interpolation utilises sont les fonctions cubiques d Hermite.

Les expressions de ces fonctions d interpolation sont dtermines comme suit:

(2.10)

w

1

est le dplacement en flexion de l lment j

e

1

est le dplacement en rotation de l lmentj;

Chaque lment ayant quatre degrs de libert dont deux en commun avec l lment

prcdent et deux avec le suivant.

La

figure (2. 5) montre les degrs de libert d un

lment j de la poutre.

Selon cette figure, WJ-1 et )J-1 correspondent respectivement la dformation angulaire

et l angle de rotation de la base du

me

lment, donc ceux de l extrmit de l lment

prcdent f-1). De mme, w

1

et e

1

correspondent ceux de l extrmit

dufme

lment

c..d. de la base de l lment suivant ;+ 1). Le systme d axe (XY) caractrise le

repre fixe par rapport auquel le bras flexible se trouve en mouvement, alors que le

systme d axe (X

1

Y

1

) caractrise le repre li au bras flexible donc c est le repre en

rotation.


38/127

26

y

L x

igure

2 :5

Degrs de libert de l lmentj.

Les fonctioos cubiques dHermite admettent la forme suivante (Meirovitch, 1980)

N; x) =Ci C;2X C;sxl ; ~ i =

1,.. 4

(2

11)

Les coefficients ik seront dtermins en forant v et

8

prendre les valeurs

Wj.J

et

8i.J

pourx=

0 t ~ et Ji pourx=

l i

avecli tantla longueur d un lment

On obtient alors les fonctions d interpolation suivante:

N1 =

1-

3(xfl/ x l ~ / ;

N2

= x -

2 l x i ~ f

x l ~ / ;

Ns =3 x l l / -

2 x/l)

3

;

N4

= xll)

3

-l(x V;

2

12 a)

(2 12 b)

(2 12

c)

(2 12 d)


39/127

Ces denres sont reprsentes par

le

graphique de

la

figwe (2.6):

F

on

ctions d'interpolation cubiques d'Hermite

l l

l

-1--

-;-

.:

-_

--

o/

.

0 8 -- ----------

.

' ' ..

,

: : / :

: :

..

7

_ ._ - - N2

N1

: : / :

' ' ; '

- - - N3

_________: j ____________ j ____ N

0 6 ' ' ; ' '

: : / : :

' ' ' '

: / : :

0 4 ------------

:::; -

--------

-

:

..

: :

'

/ : :

' .. ' ' '

0 2 -------------:-----

-

-:--------------:------- -----:------------

. - o

- .

'

:

..

: ; . . _

'

_ . .

.. '

'

'

'

.. - ' ' '

-_._ :

:

. . .

.

0.2 _ - L L _ . - - - -

L

__J

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Figure 2.6

Fonctions de forme pour un lment de poutre.

27

La position absolue du point

x

du bras est dfinie conune tant la sonnne de la

position correspondant l angle de rotation la base et la dformation angulaire au

point x considr. Cette position est alors exprime par:

y x,t) = N x)q t)

(2.13)

o,

N x) =[x Na x)]

et

q t)

=

[B t)

qa t)f et

Na x)

et

qa t)

sont donns dans 2.10-

2.12).

La troisime tape consiste calculer les nergies cintique

et

potentielle dans

le

but

de dternner

le

Lagrangien. Pour ce faire, posons s x

Z ~

j = l, ..

, n-1)),

e s t la

longueur du/m lment


40/127

28

4.1. NERGIE CI ''TIQUE ET MASSE LMENT AIRE

L'nergie cintique du

_ me

lment de la poutre est exprime de la faon suivante

(Meirovitch, 1980):

2.14)

O t est le temps de mesure et s est la variable d'intgration (position longitudinale).

Cela permet d'aboutir l'expression

de

la masse lmentaire:

(2.15)

Sous forme matricielle on aura (Meirovitch, 1980):

mll lntz

m13

m14

m1s

lnzt

156

221j

54

-131)

i

m31

22

41

2

1311 -3if

(2.16)

mn

54

131i

156

21

1

-13/i

2

-2211

411

ms1

311

1

Avec, m

11

= 140lj(3n

2

- 3n

1)

m

15

=

m

51

=

-7Zj 5n-

2)

n

tant le nombre d'lments.


41/127

29

4.2. NERGIE POTENTIELLE ET RIGIDIT LMENT AIRE

L nergie potentielle est due

la

flexibilit du bras, et est dfinie

pour

le

me

lment

par (Meirovitch, 1980):

(2.17)

Avec

On aboutit alors l expression de la rigidit lmentaire:

(2.18)

On obtient alors la forme matricielle lmentaire (Meirovitch, 1980):

2 6 j

12

6 }

K i

6 }

4

2

61} 2

2

(2.19)

12 61}

2

61}

6 }

2

2

61}

4

2

partir de ce qui prcde,

on

remarque que la matrice masse lmentaire dpend du

nombre d lments considr, alors que la matrice rigidit lmentaire reste

constante indpendamment de ce nombre d lments.

4.3. ASSEMBLAGE DES MATRICES LMENT AIRES

Les matrices de masse et de rigidit globales se calculent partir des quations des

nergies cintique et potentielle globales correspondant la somme des nergies

lmentaires:

(2.20)


42/127

30

(2.21)

Le processus de l assemblage s effectue selon le modle de

la

figure (2.7) suivante

(Meirovitch, 1980):

M

K=

Figure 2 7 Processus d assemblage.

Au dpart le bras flexible tait au repos, ainsi les conditions initiales sont dfinies

par: w(O)

=

0, et w (O)

= 0,

alors on doit liminer les deux premires colonnes et les

deux premires lignes des matrices globales M et K. La dimension de ces matrices

est

alors mx m),

o

m = 2n 1

4.4. DYNAMIQUE

La modlisation par la mthode MEF se poursuit ensuite par une quatrime tape en

calculant

l

quation du mouvement. Pour cela,

on

drive l quation de Lagrange pour

aboutir

l

quation dynamique dcrivant le mouvement du systme.

Le

Lagrangien

s crit sous la fonne suivante:

(2.22)


43/127

31

Par suite, les quations de mouvement sont obtenues en drivant le Lagrangien de la

faon suivante:

j =

1 ..

,n

(2.23)

O

F est le vecteur des forces gnralises. Or, la seule force externe applique au

systme correspond au couple

T

gnr par le moteur la base du bras. On dfinit

alors ce vecteur comme suit:

F =

(2.24)

Le dveloppement de ces quations permet d crire les quations du mouvement sous

la forme matricielle suivante:

Mij Bq K q =F

(2.25)

M et K sont les matrices globales de masse et de rigidit, et est la matrice

d amortissement dont la seule composante non nulle est celle correspondant

l amortissement de

la

base

Beq

[

Beq

B = :

(2.26)

L annexe A donne les valeurs numriques des matrices de masse et de rigidit

calcules par la mthode des lments finis pour

un

et deux lments.

5

MTHO E

DES MODES SUPPOSS (MMS)

Cette mthode consiste en l approximation de la dformation par une srie finie de

fonctions supposes multiplies

par

des coefficients indtermins.


44/127

32

D une faon semblable au cas

de

la mthode MEF, on cherche dans un premier temps

effectuer la discrtisation spatiale de la dformation

v

, t) pour pouvoir retenir un

nombre fini de modes. La dformation peut tre alors crite sous la forme suivante

(Piedboeuf, 1992):

(2.27)

O

n

est le nombre

de

modes flexibles retenu dans la srie;

rf = [ r/Jv r{

2

, , rf nr

est le vecteur des fonctions

de

formes considr. Ce vecteur

reprsente la configuration gnrale du bras;

q; [ q;

1

qp, ,

{jjn]T

est le vecteur des coordonnes gnralises relatives aux modes

flexibles. Ce vecteur indique la nature du mouvement excut par la configuration.

5.1. NERGIE CINTIQUE

En insrant l expression de la dformation (2.27) dans les quations (2.4) (2.5) et

(2.6), on dduit l expression

de

l nergie cintique totale discrtise:

1 . 2

rL

1 ( 1

3

. 2 . rL

) .

1 .

T rL T .

T =

7.feqe

+Jo Tctm =

feq

?,PL

e

+ 8p o

xr{

dx q

1

+ zqfp o r Jr J dx q

1

(2.28)

Sous la forme matricielle, l nergie cintique s crit comme suit:

(2.29)

Avec

L

Mrf = p f

0

xr{J x)dx


45/127

33

5 2 NERGIE POTENTIELLE

On remplace dans (2. 7) l expression de la dformation discrtise (2.27), on obtient

ainsi l discrtisation de l nergie potentielle:

(2.30)

L expression matricielle correspondante est donne sous la forme suivante:

(2.31)

5.3. DYNAMIQUE

Identiquement la mthode MEF, on introduit les expressions (2.29) et (2.31) dans le

Lagrangien et on effectue l drivation des quations de Lagrange pour obtenir la

dynamique qui dcrit

le

mouvement du systme similaire

celle obtenue dans (2.25)

mais avec les nouvelles formes du vecteur des coordonnes gnralises q et des

matrices de masse

M

et celle de rigidit

K

On aura ainsi la forme suivante:

01xn] [qr] [

Onxn

4t

01xn

(2.32)

O,

01xm

est une matrice nulle de dimensions 1

x m),

et

qr t)

) t) est la coordonne

gnralise relative l partie rigide, i e l angle de rotation de la base. Les matrices

de masse et de rigidit dans ce cas sont dfinies ainsi:

p

{

xrV dxl

p

fo

rprp

dx

(2.33)

(2.34)


46/127

34

5 4 FONCTIONS DE FORME

Dans ce qui suit, sont examins deux types de fonctions de formes: les fonctions

polynomiales et les fonctions propres des poutres encastres sans charge.

5.4.1. Fonctions polynomiales

Les fonctions de formes polynomiales sont exprimes sous la forme suivante:

(2.35)

En remplaant cette dernire dans l expression de la dformation du bras (2.27), la

dformation peut tre alors rcrite explicitement:

x)i+1

v(x, t

= I?=

1

l q

(t)

5.4.2. Fonctions propres d une poutre encastre sans charge

Ces fonctions sont les solutions de l quation aux drives partielles suivantes:

d

2

v(x,t)

p dt

Ayant pour conditions aux frontires:

E av(x,t) = 0

z ax

(

O )

=

O

av(o,t) =

O a v(L,t)

=

O a v(L,t)

=

0

o t ax ax

2

ax

3

(2.36)

(2.37)

(2.38)

Par la suite, les fonctions propres solutions de l quation aux drives partielles (2.37)

sont obtenues en tenant compte des conditions aux frontires associes (2.38), et sont

exprimes par la forme suivante (Saad, 2004):

' ( ) [ . ;X) . h ;X) ( ;X) h ;X))]

x

= a; sm

-

sm c; cos

-

cos

(2.39)


47/127

35

Avec, a est une constante de normalisation, le paramtre A est dfini comme suit:

(2.40)

w;

est la frquence naturelle du

i me

mode exprime en radis, et la constante c est

donne par:

(2.41)

Les valeurs propres

A

sont les solutions de l quation caractristique suivante:

COSA

cash A;+

1 0

(2.42)

Les valeurs des constantes de normalisation a peuvent tre dtermines partir des

relations dites relations d orthogonalit. On dispose de deux relations d orthogonalit

prsentes par les expressions suivantes:

L

a


48/127

6

6

MODLE D TAT

la

suite du calcul de la dynamique dcrivant le modle du bras flexible, on cherche

dterminer le modle linaire reprsent par un modle d tat.

Pour cela, on dfinit le vecteur d tat comme suit:

(2.45)

Par la suite, le modle d tat du systme linaire devient:

(2.46)

O, I est une matrice d identit, U [ et est un vecteur nul de dimension

gale au nombre de modes choisi.

Cette reprsentation est identique la forme suivante:

x

Ax Bu

(2.47)

7 MTHODE DES CORPS RIGIDES AVEC LIEN LASTIQUE

Une autre mthode de modlisation est utilise, soit celle qui tient considrer la base

en rotation comme tant

un

corps rigide et le bras flexible comme tant un ressort

(Quanser).

Pour des fins de contrle de la position de l extrmit du bras flexible, il est suffisant

de considrer

un

modle simplifi qui sera adquat pour dcrire le mouvement de

l extrmit. Pour cela, on reprsente le modle simplifi par la figure suivante.

La

flexibilit de la membrure est assimile un ressort de raideur Kstiff constante.


49/127

Couple

Appliqu L

y y

x

b)

ue

de devant

a) ue de ct

Figure 2.8 Modle simplifi du bras flexible.

37

x

Ce modle simplifi schmatis par la figure (2.8) introduit un nouveau repre dfini

par

XIYI

Ce repre

est

li l extrmit

du

bras flexible

et

est

en

mouvement avec ce

demier. Ce qui pem1et de dfinir la po sition de l extrmit y

1

selon la figure (2. 8b)

comme tant la somme de l angle la base 8 et de la dfom1ation angulaire de

l extrmit a Ainsi, on aura, au total, trois systme d axe: le systme fixe xy un

systme d axe li la base en rotation x

1

Oy

1

,

et le troisime systme

XIYI

et li la

posit ion de l extrmit. Le dplacement de ces systmes

tout

au long de l axe

longitudinal montr sur la figure (2.8a) est effectu uniquement pour mettre en relief

la diffrence entre l

es

diffrentes positions comme le montre la figure (2. 8b).

De mme, dans ce cas,

on

dfini

nou

veau le vecteur des coordonnes gnralises

comme tant compos de la position angulaire de la base en rotation 8, la dfonnation

angulaire de

l

extrm

it

du bras flexible

a


50/127

38

Dans le but de calculer le Lagrangien, d une faon identique au cas des mthodes

MEF et MMS, on commence par calculer les nergies potentielle et cintique.

L nergie potentielle totale du systme est due uniquement l lasticit du bras

flexible:

(2.48)

a t) tant la dformation angulaire de l extrmit du bras l instant t.

L nergie cintique est due, la fois, la rotation de

la

base rotationnel tournant d un

angle ) t) dans le plan horizontal, et au mouvement de la membrure flexible et sa

dformation angulaire a t). Cette nergie est expr ime ainsi:

(2.49)

Jeq

et

J,

tant les moments d inertie de la base et du bras flexible respectivement.

Dans ce cas, les forces non-conservatives correspondant aux coordonnes

gnralises sont considres comme tant le couple

moteur

TL

et les forces internes

d amortissement. n dfinit alors:

Q

_ B d

l

dt

(2.50)

(2.51)

L amortissement B correspondant au bras flexible, tant proportionnel au coefficient

d amortissement interne du bras

K,,

sera donc nglig. Le terme

Qa

est donc nul. Par

la suite, on applique les quations de Lagrange de la faon suivante:

i

1,2

(2.52)


51/127

39

On aboutit ensuite aux quations du mouvement suivantes:

(2.53)

Jz +a + Kstiffa = 0

(2.54)

En posant:

x=

e a

a

Le modle d tat linaire devient:

x=

x +Bu (2.55)

Avec

0 0 1 0

0 0 0 1

(2.56)

=

0

s t i ff

- eq

0

feq

leq

0

-

Kstiff

2. + .2._

Beq

0

r

feq

feq

0

0

1

B=

leq

(2.57)

1

feq

Dans ce qui suit, on modifie ces matrices et B dfinissant le modle d tat du bras

flexible, de sorte avoir comme entre la tension Vm applique l entre du moteur

au lieu du couple moteur gnr la base du bras.

8

MODLISATION

U SERVOMOTEUR

SRV02

Le systme exprimental est constitu de deux sous-systmes, soit le bras flexible et

la base qui l entrane. Jusqu prsent on a modlis le sous-systme qui constitue le

bras flexible. Dans cette partie, on cherche modliser la base. Cela implique la


52/127

4

modlisation du moteur courant continu reliant dynamiquement

la

tension applique

l entre du moteur au couple gnr par ce dernier et envoy vers la charge, c..d.

vers la base du bras flexible.

noter que, tant donn que

J

est le moment d inertie du bras flexible

(indpendamment de la base et du moteur). Cette modlisation est effctue sur

le

servomoteur (plac la base du bras), donc uniquement les paramtres de la base

doivent-tre pris en considration.

Le circuit d induit est illustr par la figure (2.9):

fTT fTT

igure 2.9 Circuit d induit

u

moteur.

O, Vm est

la

tension applique aux bornes du moteur,

im

est le courant et em est la

force contre lectromotrice du moteur. Rm est la rsistance interne du moteur et m

son inductance.

L quation lectrique dcrivant le systme est la suivante:

(2.58)

L application de la transformation de Laplace l quation (2.58) et en considrant le

systme initialement au repos (donc les conditions initiales sont nulles), on aboutit

l quation lectrique donne dans

le

domaine de Laplace par:

(2.59)


53/127

4

km

est la constante de force contre lectromotrice.

Dm

est la vitesse de rotation du

moteur.

Si Tm est le couple moteur et

TL

celui du ct charge (aprs le rducteur de vitesse la

base du bras), on a alors les expressions suivantes dfinissant ces couples:

Tm TJmkrlm

T]gkgTm

(2.60)

(2.61)

kr est la constante du couple moteur, gale

km

pour un moteur

courant continu,

kg est le facteur de rduction du rducteur de vitesse et

lm

et lg correspondent au

rendement du moteur et des engrenages respectivement.

L quation mcanique du moteur relie le couple gnr la vitesse de rotation comme

le montre les expressions suivantes:

(2.62)

Dans le domaine de Laplace cette dernire est exprime de la faon suivante:

(2.63)

O, W est la vitesse de rotation du moteur, alors w

partir des quations (2.59) (2.63), le schma bloc correspondant au servomoteur

est:


54/127

42

1

Beq s]eq

Figure 2.10 Diagramme en bloc du servomoteur SRV02.

En

ngligeant

la

constante de temps lectrique

Lm 1 d

- par rapport a a constante e

Rm

temps mcanique

leq,

on

dduit

partir

du

schma

bloc

l expression

de

la

fonction de

Beq

transfert qui rgit le comportement du moteur:

e s) m

Vm s) - s s+*)

(2.64)

O r est

la

constante de temps du moteur dfinie par:

(2.65)

Et

m

est dfini par:

A

=

7Jm7Jgkmkg

m Rmleq

(2.66)

Les valeurs des diffrents paramtres qui caractrisent

le

servomoteur SRV02 sont

prsentes dans

le

tableau (2.3) suivant:


55/127

43

Tableau

2.3 Paramtres du servomoteur SRV02.

Description Symbole Valeur

Rsistance du moteur

Rm

2.6

Jl

Inductance du moteur

Lm

0.18mH

Gain du moteur

km

7.6810

3

Vj(radjs)

Facteur de rduction de vitesse

kg

70

Rendement

du

moteur

T m

0.69

Rendement du rducteur de vitesse

T g

0.90

Moment d inertie quivalent

leq

2.08

10

3

kg

m

2

Facteur d amortissement

e

4.00 10

3

N

mj(radjs)

partir de (2.59) (2.61), on dtermine l expression reliant le couple TL gnr la

base la tension Vm applique aux bornes de l entre du moteur, soit:

(2.67)

Finalement, une fois que le modle d tat du bras flexible de la forme (2.47)

ou

(2. 55)

est obtenu, il suffit de remplacer le couple TL par son expression (2.67)

pour

obtenir le

modle global du systme

tout entier. Ce modle est prsent dans l espace d tat par

une forme semblable (2.47) et (2.55) mais dans ce cas l entre du systme est la

tension Vm applique au servomoteur:

i

=

x

BVm

(2.68)

Les matrices A et B tant dfinies comme suit:

(2.69a)

(2.69b)

O

[

B lm lg(kmkg)

eq R

B1

= .

m

0

:


56/127

44

a matrice M reste inchange.

Les dimensions de ces diffrentes matrices sont relatives au nombre des variables

d tat choisi.

Cela peut tre dcrit par le schma bloc global de la figure suivante:

v

oteur

T

ras

YL t)

=

m

8 t) + a t)

flexible

Figure 2 11 Schma bloc global du systme tout entier.

Dans le but de comparer les modles obtenus par les diffrentes mthodes de

modlisation, les valeurs propres sont calcules pour chacun des modles considrs.

Ces valeurs sont prsentes dans les annexes A et

B.

9 CONCLUSION

Dans ce chapitre, le modle dynamique linaire qui dcrit le mouvement du systme

un bras flexible tournant dans le plan horizontal a t prsent. Diffrentes mthodes

de modlisation ont t tudies moyennant les quations de Lagrange.

a

mthode des lments finis a t utilise avec les fonctions cubiques d Hermite

comme fonctions d interpolations. Ensuite, on a dtaill la mthode des modes

supposs et on a dfinit dans ce cas deux types de fonctions de forme: les fonctions

polynomiales et les fonctions propres d une poutre encastre sans charges. Comme

conclusion, on peut remarquer la ressemblance entre

la

mthode MEF et la mthode


57/127

45

MMS. a diffrence principale entre les deux mthodes est la nature des fonctions

admissibles. En effet, pour le cas de la mthode MMS, les fonctions de formes

admissibles sont des fonctions globales dfinies

sur

toute la longueur du bras flexible.

Par contre, les fonctions d interpolations admissibles dans le cas de la mthode MEF

sont des fonctions locales dfinies

sur

des petits intervalles (lments) du bras.

Une autre mthode de modlisation a encore t dveloppe dans ce chapitre, c est la

mthode qui

tend

simplifier l effet de la flexibilit du bras flexible en traitant la base

en rotation comme tant un corps rigide et en considrant le bras comme tant un

ressort.

Ainsi, ayant modlis le montage exprimental, il est maintenant possible de

poursuivre ce travail dans le but d atteindre nos objectifs de contrle. L tape suivante

de ce projet consiste faire l tude et la conception de diffrentes lois de commande.

Le dveloppement, la conception et le test de lois de commande classiques et

modernes feront alors le sujet des chapitres suivants.


58/127

CHAPITRE

TECHNIQUES CL SSIQUES DE CONTRLE

N a vu dans le chapitre prcdent, diffrentes approches de

modlisation permettant d obtenir

un

modle qui dcrit le mouvement

d un bras flexible tournant dans le plan horizontal.

On

cherche dans ce

chapitre contrler ce mouvement dans le but de raliser la rgulation

de la position de l extrmit. Les techniques de commande dveloppes dans ce

chapitre sont des techniques classiques les plus reconnues. l s agit du contrle

proportionnel-driv, le contrle par retour d tat et la commande linaire

quadratique.

On

prsente dans ce chapitre les rsultats des simulations

pour

chacun

des contrleurs tudis, ainsi que les rponses du systme rel contrl

par

ces

techniques de commande classiques. On conclut par une comparaison entre les

rponses dans chacun des cas. La programmation, l implmentation et la simulation

de ces contrleurs sont ralises l aide du logiciel M TL B (7.5.0)/

SIMULINK(V7.0)


59/127

47

1

INTRODUCTION

Les stratgies de contrle des robots rigides utilisent comme hypothse de base le fait

qu un positionnement prcis des articulations implique ncessairement

un

positionnement prcis de l extrmit du robot. Les stratgies utilises sont donc

gnralement appliques localement en implantant des lois de commande au niveau

de la position et de la vitesse des articulations. Dans le cas des robots flexibles,

ou

mme des robots rigides avec des liens lastiques, il faut tenir compte de la flexibilit

des membrures e t de l lasticit des articulations. Pour cela, le dfi rside dans le

contrle des manipulateurs flexibles qui vise

l

prcision et la stabilit dans le

positionnement de l extrmit de la membrure.

En ingnierie, les techniques de conception sont souvent dveloppes partir des

analyses qualitatives des systmes. Deux proprits qualitatives importantes des

quations dynamiques linaires sont l contrlabilit et l observabilit. Les techniques

de contrle dveloppes dans ce chapitre mettent en relief les implications pratiques

de ces proprits.

2 NOTIONS DE CONTRLABILIT ET D OBSERVABILIT

Les concepts de contrlabilit et d observabilit

jouent

un rle trs important dans

l tude des problmes de contrle et filtrage. Le concept de l contrlabilit tudie la

possibilit de rgler le comportement du systme considr dans le but de forcer l tat

prendre les valeurs dsires pendant un temps fini. Par contre, l observabilit d un

systme peut-tre dfinie comme tant la possibilit de prdire l tat du systme tout

instant compris dans l intervalle du temps de fonctionnement.

Dans la suite, les conditions ncessaires et suffisantes sont introduites dans le

but

de

s assurer de l

contrlabilit d un systme dont le mouvement est dcrit par des


60/127

48

quations dynamiques linaires. D une faon duale, on dfinit les conditions

ncessaires et suffisantes

pour

l tude de l observabilit.

2.1. CONTRLABILIT DES SYSTMES LINAIRES

Dans cette partie, on tudie la contrlabilit du systme linaire de dimension

n

dfini

dans l espace d tat par le systme d quations de la forme suivante:

x Ax

Bu

(3.1)

O

u

est le vecteur correspondant aux entres du systme qu on considre dans le cas

gnral de dimension

p

x

1 .

Les matrices

A

et

B

sont des matrices constantes

paramtres rels et indpendants du temps. Dans ce cas, la dynamique du systme est

dite invariante dans le temps. L intervalle de temps allant du temps prsent (t 0) et

tendant vers l infini est alors l intervalle d intrt sur lequel est tudie la

contrlabilit du systme.

Le systme (3.1) est dfini comme tant contrlable s1 et seulement s1 une des

conditions suivantes est satisfaite (Chen, 1984):

1 Tous les vecteurs lignes formant la matrice

si Al

1

B sont linairement

indpendants dans le plan complexe

IC

u. a matrice dfinie positive dite grammien de contrlabilit et dfinie par:

(3.2)

est une matrice non-singulire pour tout t >O.

L indice (*) dsigne le complexe conjugu transpos de la matrice

considre.


61/127

49

111 a matrice contrlabilit de dimension n x np) dfinie par:

(3.3)

est de rang n

IV. Pour chaque valeur propre

A

de la matrice (et par consquent pour tout

A

dans IC , la matrice complexe

[AI

1 B] est de rang n

2.2. OBSERVABILIT DES SYSTMES LINAIRES

Le concept d observabilit est dfini de faon dual celle du cas de la contrlabilit.

En gros, la contrlabilit tudie la possibilit de diriger l tat du systme partir des

entres. Cependant, l observabilit tudie la possibilit d estimer l tat connaissant la

sortie. En d autres termes, lorsqu une quation dynamique est contrlable, alors tous

les modes de cette quation peuvent tre excits partir de l entre du systme

correspondant. D autre part, lorsqu une quation dynamique est observable, alors tous

ses modes peuvent tre observs partir de la sortie du systme. Ces deux concepts

supposent la connaissance complte du modle du systme. Donc, on considre que

les matrices A, B, C et D sont connues l avance. Ces matrices dfinissent le modle

du systme dans l espace d tat sous la forme:

O, y est la sortie du systme.

x= Ax Bu

y= Cx

Du

(3.4a)

(3.4b)

Toutefois, le problme d observabilit est diffrent de celui de ralisation et

d identification. En effet, l identification consiste estimer les matrices A, B, C et D

partir des informations rcupre la fois de l entre et de la sortie du systme.


62/127

50

Alors par dualit avec le concept de contrlabilit, le systme linaire invariant

dfinit dans (3.4) est observable si et seulement si une des conditions suivantes est

remplie (Chen, 1984):

1

Toutes les colonnes de

la

matrice C(sl -

Ar

1

sont linairement

indpendant dans le plan complexe IC.

11 a

matrice dfinie posit ive dite grarnmien d observabilit et dfinie par:

(3.5)

est une matrice non-singulire

pour

tout t >O.

111 La matrice observabilit de dimension nq) x n dfinie par:

(3.6)

est de rang

n

Avec,

q

la dimension du vecteur de sortie.

lV Pour chaque valeur propre

A

de la matrice A (et par consquent

pour

tout

A

dans

IC ,

la matrice complexe [ AI A cf est de rang n

Dans le cas du manipulateur flexible faisant le sujet de ce travail, on a examin

la

condition (iii) dans le but de s assurer de la contrlabilit e t l observabilit du systme

disposant d une seule entre et une seule sortie modlis au chapitre prcdent. Le

modle considr dans ce chapitre

pour

le dveloppement des techniques de contrle

classiques est celui obtenu par la mthode considrant

la

base en rotation comme

tant

un

corps rigide et le bras flexible comme tant

un

ressort.


63/127

51

3 CONTRLE PROPORTIONNEL DRIV (PD)

Un

rgulateur Proportionnel Driv (PD) est un organe de contrle qm permet

d effectuer une rgulation en boucle ferme d un procd industriel. e rgulateur P

compare une valeur mesure par le procd (position de l extrmit du bras flexible)

avec une valeur de consigne, c..d. l angle de rfrence l entre du systme. Le

signal erreur tant la diffrence entre les deux valeurs est utilis pour calculer une

nouvelle valeur d entre qui tend rduire au maximum l cart entre

la

mesure et la

consigne, donc un signal d erreur le plus faible possible.

Le diagramme en bloc prsent la figure (3.1) correspond au systme contrl

l aide d un rgulateur P o

p

et n sont les gains proportionnels et drivs,

respectivement. u t)

est l entre du systme, donc la tension applique, et

r t)

est

l angle de rfrence la base du bras flexible.

Systme

u

bras flexible

Figure 3 1 Structure du contrleur PD

partir de ce diagramme, la loi de commande U ( s) dfinie dans le domaine de

Laplace est donne par:

(3.7)

s

tant la variable de Laplace.


64/127

52

Une boucle de rglage PD peut-tre caractrise comme tant un filtre appliqu au

systme dans le domaine frquentielle. Pour cela, dans le but de concevoir un

rgulateur PD, on commence par calculer la fonction de transfert du systme partir

de son modle d'tat. Cette fonction est dfinie comme suit:

H s) C s /

A -

1

(3.8)

O A, B etC sont les matrices dfinissant le modle d'tat du systme.

Dans ce travail, la conception du contrleur PD est ralise l'aide du logiciel

Matlab. Les valeurs des gains Kp et KD sont dtermines graphiquement en se basant

sur

le principe des lieus d'vans (lieu des racines). La fonction de transfert du

systme contrl en boucle ferme tant la suivante:

YL s) KpH s)

R s)

l+Kv s+ Kp/Kv)

H s)

(3.9)

Le tableau (3.1) montre l'effet de l'augmentation de chacune des valeurs des gains Kp

et KD

sur

le comportement du systme. Les valeurs optimales obtenues des gains

Kp

et

KD

sont prsentes dans la suite au paragraphe 7. Application et rsultats .

ableau 3 1 Effets de l'augmentation des paramtres.

Varie iminue

4 CONTRLE PAR RETOUR D'TAT

On tudie dans la suite l'effet d'un contrleur

par

retour d'tat sur le comportement du

systme dcrit par l'quation dynamique (3.1 0) dveloppe au chapitre de

modlisation prcdent:

Mij+Bq+Kq= m

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mariambaroudi.pdf