math 3

MATHMATIQUES3me anne de lenseignement secondaire

Centre National Pdagogique

Section : Mathmatiques

TOME 1

Ridha Ben Saad Inspecteur

Imne GhedamsiAssistante universitaire

Njiba MhamdiInspecteur

Ali Bji Hammas Inspecteur

Hikma SmidaProfesseur universitaire

Leila Ben Youssef Professeur du secondaire

Bchir LabidiInspecteur

Belhassen Dehman Professeur universitaire

Khdija Ben Messaoud Inspectrice Principale

Evaluateurs

Ali RahmouniInspecteur Principal

REPUBLIQUE TUNISIENNEMINISTERE DE LEDUCATION

Madame Khdija BEN MASSOUD, Messieurs Abdennebi ACHOUR,Belhassen DAHMEN et Ali RAHMOUNI ont valu ce manuel. Nousremercions tous les membres de cette quipe pour leurs critiques, leursconseils pertinents et leurs modifications judicieuses.

Messieurs Taoufik CHARRADA, Ali AZIZI, Nebil MZIOU et Mourad ARBIont lu ce manuel. Nous remercions tous les membres de cette quipe pourleurs remarques judicieuses.

Monsieur Abderrazek BERREZIGUE a contribu l'laboration des figuresproposes dans ce manuel. Nous remercions Monsieur BERREZIGUE poursa gentillesse et sa disponibilit.

La mise en page de ce manuel est l'uvre de l'quipe d'dition du CNP. Nousremercions tous les membres de cette quipe pour leur grande comptence etleur patience.

Les auteurs

Remerciements

Tous droits rservs au CNP

Ce manuel comprend douze chapitres. Chaque chapitre comprend six rubriques.

Pour commencer

Cette rubrique vise permettre aux lves de consolider leurs acquisantrieurs.

Cours Cette rubrique comprend : des activits visant permettre aux lves de dvelopper leur capacit chercher, exprimenter, modliser, conjecturer et dmontrer, les rsultats du cours retenir.

QCM - Vrai ou fauxLa rubrique QCM vise permettre llve de faire sa propre valuation.La rubrique Vrai ou Faux vise lapprentissage progressif des rgleslogiques.Mobiliser ses comptencesCette rubrique est consacre la rsolution de problmes, pour la plupartintgratifs, dans des situations mathmatiques ou en rapport aveclenvironnement.

Exercices et problmes Cette rubrique comprend deux parties. Une partie qui comporte des exercices et problmes visant permettre auxlves de mobiliser leurs comptences de faon autonome. Une partie Avec lordinateur, qui vise permettre aux lves dutiliser unlogiciel numrique ou gomtrique pour chercher, exprimenter ou contrlerun rsultat.

Math-cultureCette rubrique propose des lments dhistoire des mathmatiques et deslments sur la contribution des mathmatiques la comprhension desphnomnes.

3

Prface

Sommaire

4

Chapitre 1

Chapitre 2

Chapitre 3

Chapitre 4

Chapitre 5

Chapitre 6

Chapitre 7

Chapitre 8

Chapitre 9

Chapitre 10

Gnralits sur les fonctions

Continuit

Limites et continuit

Limites et comportements asymptotiques

Nombre driv

Fonction drive

Exemples dtude de fonctions

Fonctions trigonomtriques

Suites relles

Limites de suites relles

5

21

40

56

80

100

118

136

156

173

Chapitre 11 Statistiques 192

Chapitre 12 Probabilits 221

Gnralitssur les fonctions

Chap

itre

1

Le livre de la nature est crit dans un langagemathmatique.

Galile

Chapitre 1 Gnralits sur les fonctions

Activit 1

Activit 2

Pour commencer

Le plan est muni dun repre .Parmi les courbes C1, C2, C3, C4 et C5 traces ci-dessous, prciser celles qui reprsententgraphiquement une fonction et prciser lensemble de dfinition de la fonction en question.

Dterminer lensemble de dfinition de chacune des fonctions suivantes.

a. ; b. ;

c. ; d.

6

1. Rappels

Activit 1

Activit 2

Activit 1

1. 2 Sens de variation dune fonction

1. 1 Reprsentation graphique

7

1. Dans le plan muni dun repre orthogonal , reprsenter les courbes C et Cdquations repectives et y = x2 2x.

2. Dterminer graphiquement le nombre de points dintersection de C et C.

3. a. Montrer que si alors x3 4x2 + 4x 1 = 0.

b. En dduire que le polynme P dfini par P(x) = x3 4x2 + 4x 1 admet au moins deuxracines.

4. a. Vrifier que 1 est une racine de P.b. En dduire les autres racines de P.

On a reprsent dans un repre orthogonal , les courbes des fonctions f, g et h dfinies sur[0, + [ par

Identifier chacune dentre-elles.

Le plan est muni dun repre orthogonal . La courbe C trace ci-contre, est la reprsentationgraphique dune fonction f dfinie sur [1, 3].

Soit f une fonction dfinie sur un intervalle I. La fonction f est croissante sur I si pour tous relsa et b de I tels que a b, f(a) f(b). La fonction f est dcroissante sur I si pour tous relsa et b de I tels que a b, f(a) f(b). La fonction f est constante sur I si pour tous relsa et b de I, f(a) = f(b).Une fonction est dite monotone sur un intervalle Ilorsquelle est croissante sur I ou dcroissante sur I.

1. Lire graphiquement les variations de lafonction f.

2. Construire les courbes reprsentatives desfonctionsf : x a f(x) ; |f| : x a |f(x)| ; h : x a 2f(x).Expliquer le procd de construction.

3. Lire graphiquement les variations dechacune des fonctions f, |f| et h.

.

Cours

1. 3 Fonctions paires - Fonctions impaires Activit 1

Activit 2

Activit 1

8

Le plan est muni dun repre orthogonal .Soit f une fonction paire dfinie sur .On a reprsent ci-dessous lensemble {M(x, f(x)) tels que x 0}

Le plan est muni dun repre .Soit g une fonction impaire dfinie sur [1,1].On a reprsent ci-dessous lensemble {M(x, g(x)) tel que 0 < x 1}.

Le plan est muni dun repre orthogonal . Soit f une fonction dfinie sur un ensemble D. On dit que f est une fonction paire si pour tout xappartenant D, x appartient D et f(x) = f(x).La fonction f est paire, si et seulement si, sa courbereprsentative est symtrique par rapport laxe desordonnes.

Reproduire la courbe donne et achever le trac de la courbe reprsentative de f.

1. Reproduire la courbe donne et achever le trac de la courbe reprsentative de g.2. Quelle est limage de 0 par g ?3. Donner lexpression de g(x) pour tout x [1, 1].

2. Restriction dune fonction

Le plan est muni dun repre .1. Reprsenter la parabole C, reprsentative de la fonction f dfinie sur par f(x) =x2 + 6x + 5.2. On dsigne par C lensemble des points de C dabscisses appartenant lintervalle [3, 0] et

par g la fonction dont la reprsentation graphique est la courbe C.Colorier C et donner lexpression de g.

Le plan est muni dun repre . Soit f une fonction dfinie sur un ensemble D. On dit que f est une fonction impaire si pour tout xappartenant D, x appartient D et f(x) = f(x). La fonction f est impaire, si et seulement si, sa courbereprsentative est symtrique par rapport lorigine durepre.

9Dfinition

Soit f une fonction dfinie sur un ensemble E et C sa reprsentation graphique dans un repre .Soit D une partie de E. On appelle restriction de la fonctionf D, la fonction g dfinie sur D parg(x) = f(x), pour tout x de D.La reprsentation graphique de g est lensemble des pointsde C ayant pour coordonnes (x, f(x) ), x appartenant D.

On considre la fonction f dfinie sur par f(x) = 2|x 2| |x + 3| x2.1. Donner lexpression de la fonction g, restriction de f lintervalle [ 2, + [.2. Reprsenter graphiquement g.

Activit 2

Activit 3

Activit 1

Le plan est muni dun repre orthonorm .1. Pour tout x > 0, on dsigne par P le point de dabscisse x.

a. Montrer quil existe un unique point M dordonne positive, tel que le triangle OPMsoit rectangle en P et daire gale 1.

b. Sur quelle courbe varie le point M lorsque le point P varie ?c. On dsigne par g la fonction qui x associe lordonne de M. Donner lexpression de g.d. Pour quelles valeurs de x, a-t-on 2 g(x) 10 ?

2. Pour tout x > 0, on dsigne par N le point de coordonnes (0, g(x)).Existe-t-il une valeur de x pour laquelle le primtre du rectangle OPMN est gal 2 ?

3. Majorant - Minorant

On a reprsent dans le repre , ci-dessous, la courbe reprsentative dune fonction f dfinie sur ] , 5 ]

10

1. La fonction f admet un maximum sur ], 5 ] en .2. La restriction de f ], 0 ] admet un maximum en .3. La fonction f admet un maximum sur ], 5 ] en 2.4. Le rel 4.5 est un minimum de la fonction f sur ], 5 ].5. La restriction de f ]2 , 2 ] admet un minimum en 0.6. Pour tout x ], 5 ], f(x) 4.7. Pour tout x ], 5 ], f(x) 10.8. Pour tout x ], 5 ], 4.5 f(x).9. Pour tout x ], 5 ], 6 f(x).10. Pour tout x ], 5 ], 5 f(x) 3.

Soit f une fonction dfinie sur unensemble D.Sil existe un rel x0 appartenant Dtel que pour tout x de D, f(x) f(x0),on dit que la fonction f admet sur Dun maximum en x0 ou encore que f(x0) est un maximum de f sur D.

Soit f une fonction dfinie sur unensemble D.Sil existe un rel x0 appartenant Dtel que pour tout x de D, f(x0) f(x),on dit que la fonction f admet sur Dun minimum en x0 ou encore quef(x0) est un minimum de f sur D.

23 2

3

Dfinition

Soit f une fonction dfinie sur un ensemble D. La fonction f est dite majore sur D sil existe un rel M tel que pour tout x de D, f(x) M. La fonction f est dite minore sur D sil existe un rel m tel que pour tout x de D, m f(x). La fonction f est dite borne sur D sil existe deux rels m et M tels que pour tout x de D,

m f(x) M.Activit 2

Activit 1

Le plan est muni dun repre orthonorm repre .

Soit f la fonction dfinie sur par f(x) = .

Montrer que tous les points de la courbe C de f se trouvent dans la rgion du plan dlimitepar les droites y = 1 et y = 1.

x + 1|x|+1

4. Fonctions affines par intervalles4. 1 Dfinition d'une fonction affine par intervalles

Un cycliste se dirige de la ville B vers la ville A. On dsigne par d(t) la distance (en km) qui linstant t (en heure)le spare de la ville A.Soit d la fonction qui t associe d(t).Dans le graphique ci-contre, la courbe C est la reprsentation graphique de la fonction d.1. Quelle est la distance qui spare les deux villes ?2. Au bout de combien de temps le cycliste arrivera-t-il la ville A ?3. Donner lexpression de d(t) pour tout t [0, 4].

Rpondre par vrai ou faux.

Dfinition

On appelle fonction affine par intervalles toute fonction dfinie sur une runion dintervalleset telle que sa restriction chacun de ces intervalles soit affine.

Dfinition

On appelle partie entire dun rel x et on note E(x), le plus grand entier infrieur ou gal x. On appelle fonction partie entire la fonction qui tout rel associe sa partie entire.

Activit 2

Activit 2

Activit 1

Dans le plan muni dun repre orthonorm , les points A(0, 4), B(3, 0), C(3, 0) sont fixes et M est un point variable de la droite (BC), dabscisse x.On dsigne par H le projet orthogonal de M sur la droite (AB) et par K le projet orthogonalde M sur la droite (AC).1. On considre la fonction f : x a MH + MK.

Donner lexpression de f(x) pour tout rel x.2. Montrer que la restriction de f lintervalle [3,3] est une fonction constante. 3. Dterminer les valeurs de x pour lesquelles MH + MK = 6. 4. Existe-t-il des points M tels que MH = MK ?

1. Pour chacun des rels suivants, donner un encadrement entre deux entiers conscutifs.1.2 ; 1.99999999 ; ; ; ; ; 2 .

2. Pour chacun des rels suivants, dterminer le plus grand entier qui lui est infrieur. 5.1 ; 5.000002 ; ; ; .

7615

5649

Dterminer et reprsenter graphiquement la restriction de la fonction partie entire lintervalle [3, 2].

4. 2 Fonction partie entire

Soit E la fonction partie entire.Pour tout rel x, il existe un entier n tel que x appartient [n, n+1[. On a alors E(x) = n.

11

12

2. En dduire lensemble de dfinition de chacune des fonctions

k : x a f(x2), m : x a f(x + 2) et s : x a .

Activit 3

Activit 4

Donner lensemble de dfinition de chacune des fonctions

1. Soit f une fonction dfinie et positive sur un intervalle I. a. Montrer les proprits ci-dessousSi f est croissante sur I alors est croissante sur I.Si f est dcroissante sur I alors est dcroissante sur I.b. Montrer que si f est majore sur I alors est majore sur I.

2. Pour chacune des fonctions ci-dessous, prciser son ensemble de dfinition et tudier sesvariations.

; ; .

; ;

; .

Activit 1

Activit 2

5. La fonction

Dans la figure ci-contre le triangle ABC est rectangle en A.On pose AC = x et AB = y.1. Exprimer y en fonction de x.2. En dduire l'aire de ABC.

On considre la fonction .

1. Pour quelles valeurs de x, les rels f(x2), f(x + 2) et existent-ils ?

13

2. Soit les fonctions f, g et h dfinies pour tout rel x parf(x) = (x 1)2 2 ; g(x) = x 1 et h(x) = 2 |x 2| |x + 3|.Donner les expressions des fonctions f + h ; f g ; h2 ; 2f + 3 g3.

3. a. Rsoudre dans , les quations f(x) = 0 et h(x) = 0. b. Donner lensemble de dfinition des fonctions :

Soit f et g deux fonctions dfinies surun ensemble D telles que g(x) 0pour tout x D.

La fonction x a est note .

La fonction x a est note .

1g(x)

1g

f(x)g(x)

fg

; ; ;

; .

]0, +[.

.

1. Montrer que si f et g sont croissantes, alors f+g est croissante.2. Montrer que si f et g sont dcroissantes, alors f+g est dcroissante.3. Donner les variations de chacune des fonctions ci-dessous.

Activit 2

Activit 1

6. Oprations sur les fonctions

Soit D une partie de . Nous pouvons munir lensemble des fonctions dfinies sur D et valeurs dans dune addition, dune multiplication et de la multiplication par un rel de lamanire suivante : La fonction f + g est la fonction dfinie sur D par (f + g)(x) = f(x) + g(x). La fonction f g est la fonction dfinie sur D par (fg)(x) = f(x).g(x). Pour tout rel , la fonction f est la fonction dfinie sur D par (f)(x) = .f(x).

1. Vrifier que pour toutes fonctions f et g dfinies sur un mme ensemble D, on af + g =g + f ; fg = gf.

Soit f une fonction dfinie et positive sur un intervalle I. Si f est croissante sur I alors est croissante sur I. Si f est dcroissante sur I alors est dcroissante sur I. Si f est majore sur I alors est majore sur I.

Thorme

14

QCM

VRAI - FAUX

Cocher la rponse exacte.1. La fonction f dfinie sur [1, + [ par

est paire est impaire nest ni paire, ni impaire.

2. Le plan est muni dun repre orthogonal . Une des courbes suivantes ne reprsente ni une fonction paire ni une fonction impaire.Laquelle ?

3. La fonction f dfinie sur par .

nest pas majore sur nest pas minore sur est borne sur .

4. Lensemble de dfinition de la fonction x a est

] , 2] [2, + [

5. Lensemble de dfinition de la fonction est

.

1. Si f est une fonction paire dfinie sur , alors f(0) = 0.2. Si f est borne sur D, alors f admet un minimum sur D.3. Si f admet un maximum sur D, alors f est borne sur D.4. Si f nest pas borne sur D, alors elle nadmet ni un minimum ni un maximum sur D.5. Soit f une fonction dfinie sur [0, +[. Si la restriction de f [1, 3] est borne sur [1, 3], alors f est borne sur [0, +[.

QCM - VRAI - FAUX

Rpondre par vrai ou faux en justifiant la rponse.

.

15

Situation

Dans le plan muni dun repre , on a reprsent les fonctions f et g dfinies sur ]1, +[

par et .

1. Rsoudre graphiquement lquation f(x) = g(x).

2. On se propose de dterminer par le calcul la solution de lquation f(x) = g(x).a. Vrifier que si est une solution de lquation f(x) = g(x), alors est une solution de

lquation (x 1)2 (x + 2) = 2.b. Rsoudre lquation (x 1)2 (x + 2) = 2.c. En dduire la solution de lquation f(x) = g(x).

3. Rsoudre graphiquement les inquations f(x) > g(x) et f(x) < g(x).4. Reprsenter graphiquement la fonction h dfinie sur ]1, + [ par

]1, ],

Mobiliser ses comptences

Exercices et problmes

16

Exercice 1

Exercice 7

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 8

Exercice 5

Exercice 6

Dterminer lensemble de dfinition et tudier la paritde chacune des fonctions suivantes.

Soit f et g deux fonctions dfinies sur un mme ensembleD, a et b deux rels.1. Que peut-on dire des fonctions fg et af+bg lorsque lesfonctions f et g sont paires ?2. Que peut-on dire des fonctions fg et af+bg lorsque lesfonctions f et g sont impaires ?

Dans chacun des cas suivants prciser si f et g admettentun maximum ou un minimum sur I. Dans laffirmativeprciser leurs valeurs et en quel(s) rel(s) ils sont atteints.a. I = [ 1, 1] ; b. I = [1, 3] ; c. I = [ 2, 4].

1. Dterminer le minimum sur des fonctions ci-dessous.a.

b.

2. Dterminer le maximum sur des fonctions ci-dessous.

a.

b.

Le plan est muni dun repre orthonorm . On a trac ci-dessous les courbes reprsentativesrespectives C et C des fonctions f et g.

1. Donner les variations sur ]0, 1[ de la fonction

2. En dduire celles de la fonction sur ]0, 1[.

3. Quel est le maximum de g sur ]0, 1[ ?

1. Majorer et minorer sur la fonction g :

2. a. Montrer que pour tout rel x,

b. Majorer et minorer sur la fonction

1. Majorer et minorer sur [0, +[ la fonction

2. Majorer et minorer sur la fonction .

3. Majorer et minorer sur la fonction

Le plan est muni dun repre orthogonal . Soit P, Q et R les trinmes dfinis par

1. Dterminer les zros ventuels de P, Q et R.2. En dduire, pour chaque trinme, la positionrelative de sa courbe reprsentative et de laxe desabscisses.3. Rsoudre alors les inquations ; .

Exercice 9Le plan est muni dun repre orthonorm .Tracer la reprsentation graphique dune fonction f quia les caractristiques suivantes la fonction f est dfinie sur [ 4, 4], la fonction f est paire, f(0) = 1,

.

.

.

17

la fonction f est majore par 5 sur [ 4, 4], la fonction f est croissante sur [0, 1] et dcroissantesur [1 , 4], la restriction de f [4, 0] admet un minimum gal 3.A-t-on une unique fonction qui vrifie ces conditions ?

Exercice 12

Exercice 10

Exercice 11

Exercice 15

Exercice 13

Exercice 14

En utilisant des considrations sur la somme defonctions, donner le sens de variation des fonctionssuivantes.

a. sur ] 0, + [.

b. sur ] 0, + [.

c. sur ] 0, + [.

1. Exprimer laire S(x) du rectangle PQRS en fonctionde x.2. On dsigne par S la fonction qui x associe S(x).a. Quel est lensemble de dfinition de S ?b. Donner un majorant et un minorant de S.3. a. Montrer que pour tout rel x, 4x2 (1x2) 1. b. En dduire que la fonction S est majore par 2.4. Pour quelle valeur de x, le quadrilatre PQRS est-ilun carr ? Montrer que la fonction S admet un maximum en cettevaleur.

On considre la figure ci-dessous o (C) est un cercle decentre O et de rayon 1 et M est un point variable sur lesegment [OA] distinct de O et de A. On note OM = x.

1. Quelle est la longueur du ct du plus grand carrque lon puisse obtenir ? Calculer le volume du cylindre que ce carr permet deraliser ?2. On dcoupe un carr de ct x.a. A quel intervalle appartient x ?b. Exprimer le volume V(x) du cylindre obtenu enfonction de x.c. Dterminer une valeur approche de x 1cm prs pourlaquelle on obtient un cylindre de volume 400 cm3.

Dans une feuille rectangulaire de dimension 21cm x 30cmon dcoupe un carr suivant le schma ci-dessous.Avec ce carr on ralise un cylindre de rvolution.

Le comptable dune entreprise, cre en janvier 1995,estime que les bnfices annuels bruts de lentreprisesont de en milliers de dinars,t annes aprs sa cration.On note B la fonction qui modlise la situation. 2. Quel est lensemble de dfinition de B ?3. Donner une estimation des bnfices annuels brutsen janvier 2000 ?4. a. A partir des variations de la fonction f, dterminercelles de la fonction B.b. En quelle anne Am les bnfices annuels brutsatteindront-ils leur valeur maximale ? Donner uneestimation de ce maximum ?c. Quelles prdictions peut-on faire pour lentrepriseaprs lanne Am ?

1. Soit la fonction f : t a 20t2 + 880t + 100.a. Etudier le signe de f.b. Etudier les variations de f.

Le plan est muni dun repre orthonorm . 1. Tracer les reprsentations graphiques des fonctions fet g dfinies sur par

Soit f le trinme dfini sur par f(x) = 2x2 4x. On dsigne par Cf sa courbe reprsentative dans unrepre orthogonal .1. Tracer Cf.2. Soit g la fonction dfinie sur par .

et .

2. Rsoudre graphiquement dans , linquation

.

a. Etudier la parit de g.b. Vrifier que les restrictions de f et g [0, +[ sontgales.c. Tracer alors Cg la courbe reprsentative de g.

18

Exercice 18

Exercice 19

Exercice 20

Exercice 21

2. Dterminer les variations de f.3. Prciser par quelle transformation gomtriqueobtient-on la courbe C partir de la parabole dquationy = x2 .4. Tracer la courbe C.5. Rsoudre graphiquement, puis par le calcul, lesinquations f(x) 0 , f(x) < 2 et f(x) 4.

Soit f la fonction dfinie sur [2, + [ par

On dsigne par Cf sa courbe reprsentative dans unrepre orthonorm .1. Dterminer les variations de f.2. Prciser par quelle transformation gomtriqueobtient-on la courbe Cf partir de la courbe dquation

.

On considre la fonction h dfinie sur [2, + [ paret on dsigne par Ch sa courbe

reprsentative dans le repre .2. Prciser la position relative de Cf et Ch.3. Tracer Cf et Ch.4. Soit Q le demi-plan dinquation y 0 et C la courbe

a. Mettre en vidence C sur un second graphique.b. De quelle fonction k, C est-elle la reprsentationgraphique ?

u u

Soit f la fonction dfinie sur

On dsigne par C sa courbe reprsentative dans unrepre orthonorm .

1. Dterminer les rels a, b et c tels que pour tout rel x diffrent de 3, .

2. Dterminer les variations de f .3. Tracer la courbe C.4. Dterminer graphiquement le nombre de solutions

dans de lquation

Le plan est muni dun repre orthonorm . Rsoudre graphiquement le systme

Le plan est muni dun repre orthonorm . Rsoudre graphiquement l'inquation

Exercice 22

Le plan est muni dun repre orthonorm . Rsoudre graphiquement l'inquation

Exercice 17Soit f le trinme dfini par f(x) = x2 6x + 6.On dsigne par C sa courbe reprsentative dans unrepre orthonorm .1. Donner la forme canonique de f, cest diretrouver les rels a, b et c tels que pour tout rel x,f(x) = a(x + b)2 + c.

.

Exercice 16Le plan est muni dun repre orthonorm . 1. Tracer les reprsentations graphiques des fonctions fet g dfinies sur [0, + [ par

2. Rsoudre graphiquement sur [0, + [, linquation

19

On considre les fonctions f et g dfinies par f(x) = x2 + 1 et g(x) = .On dsigne par Cf et Cg leurs reprsentations graphiques respectives dans le plan muni dun repre orthonorm

. Soit D la droite dquation y = x.On se propose dans cette squence, de construire la courbe reprsentative de la fonction dfinie sur R parh(x) = .

1. Ouvrir un nouveau fichier CABRI.2. Montrer les axes, ainsi que la grille.3. a. Afficher lexpression x ^ 2 + 1.

b. Appliquer lexpression x ^ 2 + 1 (la courbe Cf est alors trace).4. a. Afficher lexpression en tapant x ^ 0.5.

b. Appliquer cette expression (la courbe Cg est alors trace).5. a. Afficher lexpression x.

b. Appliquer cette expression (la droite D dquation y = x est alors trace).6. Slectionner un point sur Cf que lon nommera M.7. Construire le point N de D ayant la mme ordonne que celle de M.

Expliquer la construction.8. Construire le point P de Cg ayant la mme abscisse que celle de N.9. Construire le point Q tel que le quadrilatre MNPQ soit un rectangle.

10. Avec loutil Lieu , tracer le lieu des points Q lorsque M varie sur Cf.Montrer quune quation de ce lieu est y = .

Avec lordinateur

20

Math - culture

Mat

h -

cult

ure

Augustin Cauchy publia en 1821 ses Cours d'analyse, qui eurent trs grande audienceet constiturent le premier expos rigoureux sur les fonctions numriques. Rnovantl'analyse fonctionnelle, il formalise, en particulier, les notions de limite, de fonctionet de continuit sur un intervalle.

Continuit

Chap

itre

2

Quelque fois on a besoin de dire des choses difficiles,mais on devrait tcher de les dire aussi simplement quelon peut.

Hardy

22

Chapitre 2 Continuit

Activit 1

Activit 2

Activit 3

Pour commencer

Rsoudre dans les inquations suivantes.

1) 2)

Le plan est muni dun repre orthonorm . 1. Reprsenter sur laxe des ordonnes lensemble des rels y tels que .

2. Reprsenter sur laxe des abscisses lensemble des rels x tels que . 3. En dduire lensemble des points M(x, y) du plan tels que

Le plan est muni dun repre orthonorm .

1. Tracer la parabole dquation y = x2.2. a. Reprsenter lensemble des points M(x, y) de la courbe, tels que y ]0.5 , 1.5[.

b. Dterminer graphiquement l'ensemble des abscisses de ces points.

; ; .

.

,

3)

23

Activit 2

1. Reprsenter la fonction f dans le plan muni dun repre orthonorm .

2. a. Reprsenter sur laxe des ordonnes, lensemble des rels y tels que .

b. En dduire graphiquement, une condition suffisante sur x pour que .

3. Donner graphiquement une condition suffisante sur x pour que .

Lactivit prcdente suggre que f(x) peut tre rendu aussi proche que lon veut de f(1), dsque x est suffisamment proche de 1.On dit que f est continue en 1.

Dfinition

Soit f une fonction dfinie sur un intervalle ouvert I et a un rel de I.On dit que la fonction f est continue en a si pour tout nombre > 0, il existe un nombre > 0tel que si x appartient I et |x a| < , alors |f(x) f(a)| < .

Le plan est muni dun repre orthonorm .On a reprsent la fonction f dfinie par

1. Reproduire la figure.2. Calculer |f(x) f(0)|.3. Peut-on rendre la quantit |f(x) f(0)| aussi petite

que lon veut, en rapprochant x de 0 ?

,

,

.

Activit 1

1. Continuit en un rel

Soit f la fonction dfinie pour tout rel x par ,

,

.

Cours

Lactivit prcdente illustre le cas dune fonction non continue en 0.

VocabulaireUne fonction non continue en a est dite discontinue en a.

24

2. Continuit de certaines fonctions usuelles

Activit 1

Activit 2

Dans chacun des cas ci-dessous, reprsenter la fonction et vrifier, en utilisant le graphique,quelle est continue en a.a. La fonction ; a = 0.5.b. La fonction ; a = 1.c. La fonction ; a = 3.d. La fonction ; a = 2.

Le thorme suivant concerne la continuit de certaines fonctions usuelles, dj rencontresdans les annes prcdentes.

Thorme (admis)Toute fonction constante est continue en tout rel a.La fonction x a x est continue en tout rel a.Toute fonction linaire est continue en tout rel a.Toute fonction affine est continue en tout rel a.La fonction x a x2 est continue en tout rel a.La fonction est continue en tout rel non nul a.La fonction est continue en tout rel strictement positif a.Toute fonction polynme est continue en tout rel.Toute fonction rationnelle est continue en tout rel o elle est dfinie.

1x

Dans chacun des cas suivants, justifier la continuit de la fonction f en a. 1. ; a = 0.

2. ; a = . 2

Consquence

Lorsque la reprsentation graphique de f sur unintervalle ouvert I, met en vidence un trac continu dela courbe la fonction f est continue en tout rel a de I.

Lorsque la reprsentation graphique de f sur un intervalleouvert I met en vidence un saut du trac de part et dautredu point A (a, f(a)), la fonction f est discontinue en a.

25

1. ; a = 0.3.

2. ; a = 1 .

Activit 1

Activit 2

Activit 1

1. f : x a | 2x 1| ; a = 3.2. ; a = 2.

3. ; a = 1986.

1 Montrer que pour tous rels c et d, on a . 2. Soit f une fonction dfinie sur un intervalle ouvert contenant a.

Montrer que si f est continue en a, alors |f| est continue en a.

On a donc obtenu le thorme ci-dessous.Thorme

Soit f une fonction dfinie sur un intervalle ouvert I et a un rel de I.Si f est continue en a, alors |f| est continue en a.

ThormeSoit f et g deux fonctions dfinies sur un intervalle ouvert I. Soit a un rel de I et k un rel.Si f et g sont continues en a alors les fonctions f + g, fg et kf sont continues en a.Si f est continue en a et si f(a) 0 alors la fonction est continue en a.Si f et g sont continues en a et si g(a) 0 alors la fonction est continue en a.

Dans chacun des cas suivants, justifier la continuit de la fonction f en a.

4. Oprations algbriques sur les fonctions continuesLe thorme ci-dessous que nous admettrons, concerne la somme, le produit et le quotient defonctions continues en un rel.

Dans chacun des cas suivants, justifier la continuit de la fonction f en a.

fg

1f

3. Continuit de la fonction |f |

26

1.

2.

3.

1. ; a = 3.

5. Continuit de la fonction fff

1. Reprsenter la fonction f : , dans le plan muni dun repre .

2. a. Montrer que .

b. En dduire que .

c. La fonction f est-elle continue en 1 ?

a. Montrer que pour tout rel x de I, .

b. En dduire que pour tout rel x de I, .

c. En dduire que est continue en a.

Activit 2

Activit 1

Activit 3

Soit f une fonction positive sur un intervalle ouvert I. Soit a un rel de I tel que f soit continue en a.1. On suppose que f(a)> 0.

Thorme

Soit f une fonction dfinie et positive sur un intervalle ouvert I et a un rel de I.Si f est continue en a, alors la fonction est continue en a.

Dans chacun des cas suivants, tudier la continuit de la fonction f en a.

2. ; a = 1. 3. ; a = 2.

2. On suppose que f(a) = 0.a. Ecrire la dfinition de la continuit de f en a.b. En dduire que est continue en a.

On a donc obtenu le thorme ci-dessous.

27

Activit 4

Activit 5

Activit 1

Activit 2

Dans la figure ci-contre ABCD est un carr de ct 1, M est un pointdu segment [AB], distinct de A et B et tel que DM = x.On dsigne par f la fonction x a AM.1. Donner lensemble de dfinition I de f.2. Montrer que f est continue en tout point de I.

Dans le plan muni dun repre orthonorm , on on considre la droiteD dquation y = 2x +1 et le point A(0, 4).A tout rel x, on associe le point P appartenant la droite D , dabscisse x.1. Calculer AP en fonction de x.2. Soit f la fonction dfinie sur par f(x) = AP.

a. Montrer que la fonction f est continue pour tout rel x.b. Montrer que la fonction f admet un minimum sur que

lon dterminera.

6. Continuit droite. Continuit gauche

Soit f la restriction lintervalle ]0, 3[ de la fonction partie entire x a E(x).1. Reprsenter graphiquement f dans un repre .2. La fonction f est-elle continue en 2 ? Justifier graphiquement.3. Que peut-on dire de |E(x) 2|, lorsque que x est suffisamment proche de 2 en restant

suprieur 2 ?4. Que peut-on dire de |E(x) 2| lorsque x se rapproche de 2 en restant infrieur 2 ?

Le plan est muni dun repre . On a reprsent ci-contre, une fonction g dfinie sur .1 La fonction g est-elle continue en 1 ?2. Dterminer graphiquement g(1).3. Donner graphiquement une condition suffisante

sur les rels x infrieurs 1, pour que |g(x) g(1)| 0.1.4. Que peut-on conjecturer sur |g(x) g(1)| lorsque x se

rapproche de 1 en restant suprieur 1 ?

28

Dfinition

Soit f une fonction dfinie sur un intervalle I et a un rel de I.On dit que la fonction f est continue droite en a si, pour tout > 0, il existe > 0 tel que si x appartient I et 0 x a < alors |f(x) f(a)| < .On dit que la fonction f est continue gauche en a si, pour tout > 0, il existe > 0 tel que si x appartient I et 0 a x < alors |f(x) f(a)| < .

Le thorme qui suit, tablit le lien entre la continuit en un rel a et la continuit droite et gauche en a et se dduit des dfinitions.

Thorme

Soit f une fonction dfinie sur un intervalle ouvert contenant a.f est continue en a, si et seulement si, f est continue droite et gauche en a.

Thorme (admis)

Soit f une fonction dfinie et positive sur un intervalle I et a un rel de I. Si f est continue droite en a, alors la fonction est continue droite en a. Si f est continue gauche en a, alors la fonction est continue gauche en a.

Activit 3

Activit 4

Activit 5

1. Soit la fonction f :x a . Etudier la continuit droite (respectivement gauche) de f en 1.

2. Soit la fonction f :x a . Etudier la continuit droite de f en 2.

3. Soit la fonction f :x a . Etudier la continuit gauche de f en 3.

Soit f la fonction .1. Reprsenter graphiquement f dans un repre .2. Montrer que f est continue droite en 0.

1. Soit la fonction f : . Justifier que f est continue gauche en 0.5.

2. Soit la fonction f : . Justifier que f est continue droite en . 53

29

7. Continuit sur un intervalleDfinition

Soit a et b finis ou infinis.Une fonction dfinie sur un intervalle ]a, b[ est dite continue sur ]a,b[ si elle est continue entout rel de ]a, b[.

Soit a fini ou infini et b un rel.Une fonction dfinie sur un intervalle ]a, b] est dite continue sur ]a,b] si elle est continue sur]a, b[ et continue gauche en b.

Soit a un rel et b fini ou infini.Une fonction dfinie sur un intervalle [a, b[ est dite continue sur [a,b[ si elle est continue sur]a, b[ et continue droite en a.

Soit a et b deux rels.Une fonction dfinie sur un intervalle [a, b] est dite continue sur [a,b] si elle est continue sur]a, b[, continue droite en a et continue gauche en b.

ConsquenceSi une fonction est continue sur un intervalle I, alors elle est continue sur tout intervalleinclus dans I.

ConsquenceToute fonction polynme est continue sur tout intervalle contenu dans . Toute fonction rationnelle est continue sur tout intervalle contenu dans son ensemble dedfinition.

Activit 1

Activit 2

On considre la fonction g dfinie sur , telle que g(x) = (x 1)2 + 0.5 si x 1, la restriction de g ] , 1 [ est une fonction linaire, la fonction g est continue sur . 1. Reprsenter la fonction g dans un repre .2. Donner lexpression de g(x) pour tout x de .

Justifier les affirmations suivantes.

1. La fonction est continue sur .

2. La fonction est continue sur [0,1].

3. La fonction est continue sur lintervalle ] 0.1 , 10].

4. La fonction est continue sur lintervalle [1, 0].

30

8. Image dun intervalle par une fonction continue

Activit 1

Activit 2

Activit 3

On a reprsent ci-contre la fonction . 1. Justifier la continuit de f sur . 2. Reproduire le graphique ci-contre et reprsenter

chacun des ensembles de rels suivants :

Lequel de ces ensembles nest pas un intervalle ?3. Montrer que f([3, 4]) = [4, 9].4. Rsoudre graphiquement lquation f(x) = 5.

Soit f une fonction dfinie sur une partieD de et A une partie de D. Lensembledes rels f(x) tels que x appartient A estnot f(A).On crit alors f(A) = {f(x) ; x A}.

; ;

On a reprsent ci-contre la fonction

1. Justifier la continuit de f sur chacun des intervalles

2. Reproduire le graphique ci-contre et reprsenterles ensembles ci-dessous.

a. f( ]1, 2[ ). b. f( ]3, 5[ \ {2} ).

.

.

1. Reprsenter dans un repre la fonction f dfinie par

2. Montrer graphiquement que f nest pas continue en 0.3. Dterminer f( ). Cet ensemble est-il un intervalle ?4. Montrer que lquation f(x) = 0 ne possde pas de solution.5. Que peut-on dire de lquation f(x) = a ; a 0 ?Thorme (admis)Limage dun intervalle par une fonction continue est un intervalle.

5. La fonction est continue sur lintervalle ] 0.1, 0.3].

6. La fonction est continue sur ] , 2].

7. La fonction est continue sur ]2, 0[.

.

f(x) = x si x < 0,3 si x = 0,x2 + 1 si x > 0.

31

9. Rsolution dquations de la forme f(x) = k

Activit 1

Activit 3

Activit 2

On a reprsent dans le graphique ci-contre la fonction .

Donner un encadrement damplitude 0.5 des solutions dechacune des quations f(x) = 2 ; f(x) = 8.

1. a. Reprsenter les fonctions f : et g : .

b. Rsoudre graphiquement lquation (E): .c. Donner un encadrement damplitude 0.1 de la solution de lquation (E).

2. On considre la fonction . a. Calculer h(0) et h(1).b. Justifier que 0 appartient lintervalle h([0, 1]). c. En dduire que lquation (E) possde au moins une solution dans lintervalle [0, 1].

x x

Le thorme suivant, que nous admettons, nous donne une condition suffisante pour quunequation de la forme f(x) = k possde une solution.

Soit f la fonction dfinie sur [0, + [ par f(x) = x3 3.1. Montrer que f est croissante sur [0, + [ .2. Dterminer lintervalle f([0, 2]).3. En dduire que lquation x3 3 = 0 possde une solution dans lintervalle [0, 2].

Thorme (admis)

Soit f une fonction dfinie et continue sur un intervalle I. Soit a et b deux rels de I tels que a < b.Pour tout rel k compris entre f(a) et f(b),lquation f(x) = k possde au moins unesolution dans lintervalle [a, b].

32

3. On dsigne par la solution de lquation f(x) = 0 dans lintervalle [0, 1].a. Donner une valeur approche lunit prs par dfaut de .b. Calculer f(0.1), f(0.2), f(0.3), f(0.4), f(0.5), f(0.6), f(0.7), f(0.8), f(0.9).

et en dduire une valeur approche 0.1 prs par dfaut de .c. Donner une valeur approche 0.01 prs par dfaut de .

4. On dsigne par la solution de lquation f(x) = 0 dans lintervalle [3, 2].Donner une valeur approche, 0.1 prs par dfaut, de .

5. On dsigne par la solution de lquation f(x) = 0 sur lintervalle [3, 4].Donner une valeur approche, 0.1 prs par excs, de .

Activit 4

1. Justifier la continuit de f sur . 2. a. Calculer f(3) et f(2). En dduire que lquation

f(x) = 0 admet au moins une solution dans lintervalle[3, 2].

b. Calculer f(0) et f(1). En dduire que lquationf(x) = 0 admet au moins une solution dans lintervalle[0, 1].

c. Calculer f(3) et f(4). En dduire que lquationf(x) = 0 admet au moins une solution dans lintervalle[3, 4].

d. Montrer que lquation f(x) = 0 admet exactement trois solutions relles distinctes.

Dans le plan muni dun repre , on a reprsentla fonction f dfinie sur par f(x) = 2x3 3x2 12 x + 5.

33

QCM

VRAI - FAUX

Cocher la rponse exacte.1. Dans le plan muni dun repre , Cf, Cg et Ck sont les courbes reprsentatives

de trois fonctions f, g et k.

Rpondre par vrai ou faux en justifiant la rponse.1. Si f est continue en a, alors f est continue droite en a.2. Si f nest pas continue en a, alors f nest pas continue droite en a.3. Si f nest pas continue gauche en a, alors f nest pas continue droite en a.4. f nest pas continue en a, si et seulement si, f nest pas continue droite en a ou gauche en a.5. Si |f| est continue en a alors f est continue en a.

Une seulement parmi ces fonctions est discontinue en a, laquelle ?

f g h.

2. La fonction f : est continue en

0 2 .12

3. Dans le plan muni dun repre ,Cf est la courbe reprsentative de la fonction f.Alors f est continue

4. Lquation x2 3 = 0 possde une solution dans

[0, 1] [1, 0] [2, 3].

en 1 droite en 1 gauche en 1.

5. La fonction E : x a E(x) est continue sur

[1, 2[ [1, 2] ]1, 2].

QCM - VRAI - FAUX

34

Situation 1

Situation 2

Le plan est muni dun repre . On a reprsent ci-contre la courbe reprsentative dunefonction g dfinie sur un intervalle ouvert.1. Soit un rel a tel que la fonction g est continue en a et

g(a) > 0.a. Reprsenter lensemble des points M(x, g(x)) tels que

b. Montrer quil existe un intervalle ]a-h, a+h[ tel que

pour tout

.

, on a .

c. En dduire que la fonction g reste strictement positive sur cet intervalle.2. Soit un rel b tel que la fonction g est continue en b et g(b) < 0.

Montrer qu il existe un intervalle ]bh, b+h[ sur lequel g reste strictement ngative.

On considre la fonction f dfinie sur par f(x) = 5x3 10x2 8x + 10.1. a. Montrer que lquation f(x) = 0 admet au moins une solution dans chacun des intervalles

[2, 1], [0, 1] et [2, 3].b. Montrer que lquation f(x) = 0 admet dans exactement trois solutions distinctes.

2. Soit la solution de lquation f(x) = 0 sur lintervalle [0, 1].On se propose de donner encadrement plus prcis de .

a. Calculer et en dduire que .

b. Calculer et en dduire que .

c. Calculer et en dduire que .

d. Calculer et en dduire que .

e. Calculer et en dduire que .

3. Soit la solution de lquation f(x) = 0 sur lintervalle [2, 1].Dterminer un intervalle de longueur 0.04 contenant .

4. Soit la solution de lquation f(x) = 0 sur lintervalle [2, 3].Dterminer un intervalle de longueur 0.04 contenant .



35

Exercice 1

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 2

Exercice 3

Dans chacun des cas suivants, justifier la continuit dela fonction f en a.

; a = .

; a = 0.2.

; a = .

; a = 201.

; a = 2.

; a = 51.

; a = 11.

; a = 5.

; a = 0.01.

; a = 2.8.

; a = 1000500.

; a = .

; a = 0.000251.

12

; a = . 23



; a = 1.25.

; a = 10.

; a = 1.

Le plan est muni dun repre orthonorm .Dans la figure ci-dessous, les points A(2, 0) et B(0, 1) sont fixs et le point M dabscisse x, varie sur la droitedquation y = x.

On considre la fonction f dfinie sur par

1. Tracer la courbe reprsentative de f dans un repre .

2. Justifier la continuit de la fonction f sur [ 2, + [.3. Justifier la continuit de la fonction f sur ] , 2 [.4. Vrifier, laide du graphique, que la fonction fnest pas continue sur .

1. Tracer la courbe reprsentative de f dans un repre .

2. Justifier la continuit de la fonction f sur ] 0, + [ .3. Justifier la continuit de la fonction f sur ] , 0 [ .


Soit la fonction f : x aAM+BM.1. Donner lexpression de f(x).2. Justifier que f est continue en tout rel .3. Dterminer x, pour que le trajet AM+BM soit

minimal.

36

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10

Exercice 11

Exercice 12

Exercice 13

Exercice 14

Exercice 15

On considre la fonction f dfinie sur telle que la fonction f est continue sur , f est impaire, f(x) = x2 + 3 si x 2, la restriction de f ] 2, 0 [ est une fonction affine.1. Reprsenter la fonction f dans un repre . 2. Donner lexpression de f(x) pour tout x .

Soit

1. Dterminer lensemble de dfinition de f.2. Etudier la continuit de f sur son ensemble de dfinition.

Soit

1. Dterminer lensemble de dfinition de f.On dsigne par C sa courbe reprsentative dans unrepre orthonorm .2. Tracer la courbe C.3. Quelles sont les images par f des intervalles I = [2, 4], J = [ 1, 0] et K = ] , 3[ ?4. Dterminer lensemble des antcdents par f desrels de lintervalle ] , 0[.

Soit f le trinme dfini par On dsigne par C sa courbe reprsentative dans unrepre orthonorm .1. Tracer la courbe C.2. Quelles sont les images par f de 2 ; 2 ; 0 ;

3. Quelles sont les images par f des intervalles I = [1, 3], J = ]2, 2[ et K = ] , 0] ?4. Quels sont les antcdents ventuels par f de 0, 7et 9 ?5. Dterminer lensemble des antcdents par f desrels de lintervalle [7, 13].

et

Soit f le trinme dfini par f(x) = x2 4x + 1. On dsigne par C sa courbe reprsentative dans unrepre orthonorm .1. Tracer la courbe C.2. Quelles sont les images par f des intervalles I = [2, 3], J = [0, 3] et K = [0, + [ ?3. Dterminer lensemble des antcdents par f desrels de lintervalle [ 2, 6].

Soit

1.Dterminer lensemble de dfinition de f.2.Etudier la continuit de f sur son ensemble dedfinition.3.Montrer que lquation f(x) = 0 admet une solution dans

4.Donner une valeur approche par dfaut 0.1 prsde .

Soit 1. Dterminer lensemble de dfinition de f.On dsigne par C sa courbe reprsentative dans unrepre orthonorm .2. Tracer la courbe C.3. Quelles sont les images par f des intervalles I = [2, 3], J = [0, 5] et K = ]1, +[.4. Dterminer lensemble des antcdents par f desrels de lintervalle [1, +[.

Soit f la fonction dfinie sur par f(x) = x3. 1. Etudier les variations de la fonction f sur .2. Quelles sont les images par f des intervalles I = [1, 3], J = [2, 5] et K = ]6, 1] ?

Soit f la fonction dfinie sur par f(x) = x3 3x. 1. Etudier les variations de la fonction f sur .2. Quelles sont les images par f des intervalles I = [2, 3], J = [5, 3] et K = ] 3, 4] ?

4. Vrifier, laide du graphique, que la fonction fnest pas continue sur .5. Pour chacune des quations ci-dessous, dterminer, laide du graphique, le nombre de solutions delquation.

37

Exercice 18Soit f : x a 2x3 + 2x + 10.1. Justifier la continuit de la fonction f sur .2. Montrer que lquation f(x) = 0 admet une solution dans [1, 2].3. Donner une valeur approche par dfaut 0.1 prsde .

Exercice 17Soit f : x a 2x3 7x + 4.1. Justifier la continuit de la fonction f sur .2. Montrer que lquation f(x) = 0 admet une solution dans [0, 1] .3. Donner une valeur approche par dfaut 0.1 prsde .

Exercice 19

Exercice 20

1. Dans le plan muni dun repre , on a reprsent la fonction f dfinie sur par

1. Dterminer graphiquement le nombre de solutionsde lquation f(x) = 0. 2. Dterminer graphiquement une valeur approche 0.5prs de chacune des solutions de lquation f(x) = 0.3. Donner une valeur approche 0.1 prs par dfaut dechacune de ces solutions.

Dans le plan muni dun repr e , on a

reprsent la fonction f dfinie sur par

.

1. Justifier la continuit de la fonction f sur . 2. Calculer f(3) et f( 2). En dduire que lquation f(x) = 0 admet au moins une solution dans lintervalle[ 3, 2].3. Calculer f(1.5) et f( 1). En dduire que lquationf(x) = 0 admet au moins une solution dans lintervalle[ 1.5, 1].4. Calculer f(1) et f(2). En dduire que lquationf(x) = 0 admet au moins une solution dans lintervalle[1, 2].5. Calculer f(4) et f(4.5). En dduire que lquationf(x) = 0 admet au moins une solution dans lintervalle[4, 4.5 ].6. Montrer que lquation f(x) = 0 admet dans exactement quatre solutions distinctes.7. Donner une valeur rapproche 0.1 prs par dfautde chacune des solutions de lquation f(x) = 0.

Exercice 16Soit f : x a x3 + 4x + 1.1. Justifier la continuit de la fonction f sur .2. Montrer que lquation f(x) = 0 admet une solution dans [1, 0].3. Donner une valeur approche par dfaut 0.1 prsde .

38

Soit f la fonction dfinie sur lintervalle [1, 2] par f(x) = x3 x2 x 1.On considre lquation (E) : f(x) = 0. Comme f(1).f(2) < 0, il existe au moins une solution dans [1, 2] delquation (E).Le but de la squence, est de donner un encadrement de la racine en utilisant la dichotomie.

Avec lordinateur

Aprs avoir tap a, m, b, f(a), f(m) et f(b) respectivement dans les cellules A2, B2, C2, D2, E2 et F2, ondonne la valeur 1 au rel a et 2 au rel b.

Dans la cellule B4, on inscrit la formule : =(A4+C4)/2. Dans la cellule D4, on crit la formule : =A4^3-A4^2-A4-1. Dans la cellule F4, on crit la formule : =C4^3-C4^2-C4-1. Dans la cellule E4, on crit la formule : =B4^3-B4^2-B4-1. Dans la cellule A5, on crit la formule : =Si(D4*E4

39

Math - culture

Mat

h -

cult

ure

Lorsque nous lisons, nous napercevons quun seul point du livre sur toute demi-droite issue de notre il.La distance de notre il ce point est une fonction, par exemple de langle aveclhorizontale. Cette fonction, contrairement ce que notre intuition suggre, nestpas continue. Une infirme variation de langle peut engendrer un saut qui mesure,par exemple, la distance entre le bord du livre et tout objet opaque situ derrire lelivre.

Limiteset continuit

Chap

itre

3

Tout le monde veut vivre au sommet de la montagne, sanssouponner que le vrai bonheur est dans la manire degravir la pente.

Marquez

41

Chapitre 3 Limites et continuit

Activit 1

Activit 2

Pour commencer

Dterminer lensemble de dfinition et reprsenter la fonction f :x a .

Dterminer lensemble de dfinition et reprsenter la fonction g telle que

Activit 3

1. Rsoudre dans les inquations suivantes :

2. Le plan est muni dun repre orthonorm . Reprsenter lensemble des points M(x, y) tels que

.

.

,

,

.

.

| x|x

a.

b.

42

1. Limite finie en un rel

2. Limite en un rel a dune fonction continue en a.

Activit 1

Activit 1

On considre la fonction f dfinie, pour tout rel x distinct de 1, par .

La fonction f ntant pas dfinie en 1, nous nous intressons dans cette activit aux rels f(x),lorsque x est proche de 1.1. Recopier et complter le tableau suivant.

x 0.9 0.99 0.999 1.001 1.01 1.1 f(x)

Que peut-on conjecturer sur f(x) lorsque x se rapproche de 1 ?2. a. Donner lexpression de f(x), sans valeur absolue.

b. Reprsenter f dans un repre orthonorm.3. Dterminer graphiquement une condition suffisante sur x pour que

f(x) appartienne .

Dfinition

Soit f une fonction dfinie sur un intervalle ouvert I, sauf peut-tre en un rel a de I.On dit que f(x) tend vers le rel L lorsque x tend vers a, si pour tout > 0, il existe > 0tel que si x appartient I et .

a

Thorme (admis)

Notation et vocabulaire

Soit f une fonction dfinie sur un intervalle I, sauf peut-tre en un rel a de I.Si f admet une limite en a alors cette limite est unique.

Si f(x) tend vers L lorsque x tend vers a, on crit ou et on dit que f admet pour limite L en a.

Soit f une fonction dfinie sur un intervalle ouvert I et a un rel de I.1. On suppose que f est continue en a.

a. Ecrire la dfinition de la continuit de f en a.b. En dduire que f admet une limite en a, que lon dterminera.

2. On suppose que f admet pour limite en a le rel f(a).Montrer que f est continue en a.

Cours

43

ThormeSoit f une fonction dfinie sur un intervalle ouvert I et a un rel de I. f est continue en a, si et seulement si, .

ThormeSoit f une fonction dfinie sur un intervalle ouvert I, sauf peut-tre en un rel a de I et soit gune fonction dfinie sur lintervalle I.Si g est continue en a et si g(x) = f(x) pour tout x a, alors . g

Dans chacun des cas suivants, dterminer la limite de la fonction f en a. 1.

2. ; a = 2.

f(x) = 2x3 4x + 1 ; a = 2.

3. ; a = 1.

3. Calcul de limitesActivit 1

Activit 2

Activit 3

Soit g la fonction dfinie sur par g(x) =|x|.1. Ecrire la dfinition de la continuit de g en 0.2. Soit f la fonction dfinie pour tout rel non nul x, par f(x) = .

a. Montrer que f(x) = g(x) pour tout x 0. b. En dduire que f admet une limite en 0, que lon dterminera.

Soit g une fonction dfinie sur un intervalle ouvert I et continue en un rel a de I.1. Ecrire la dfinition de la continuit de g en a.2. Soit f une fonction dfinie sur I, sauf peut-tre en a et telle que f(x) = g(x) pour tout x a.

Montrer que f admet une limite en a, que lon dterminera.


1. On considre les fonctions et g : x a x2 x + 1.

a. Dterminer lensemble de dfinition de f ainsi que celui de g.b. Montrer que f(x) = g(x), pour tout x 1.c. En dduire .

f : x a


44

2. a. Montrer que pout tout rel x 2, .

On considre la fonction f dfinie pour tout rel x 0, par f(x) = et la fonction g

dfinie par

3. a. Montrer que pout tout rel x 0, .

b. En dduire que la fonction h : admet une limite en 2. Dterminer cette limite.

b. En dduire que la fonction k : admet une limite en 0. Dterminer cette limite.

4. Calculer la limite de la fonction f en a.

; a = 2.

; a = 1.

; a = 1.

4. Prolongement par continuit

Activit 1

Activit 2

1. Vrifier que g(x) = x2 1, pour tout rel x.2. En dduire que g est continue en 0.3. Dterminer la limite de f en 0.

Soit f une fonction dfinie sur un intervalle ouvert I, sauf en un rel a de I.

On suppose que .

On considre la fonction F dfinie par

Montrer que F est continue en a.

x4 16f(x) =

x2 + 4

,

45

Thorme et dfinition

Soit f une fonction dfinie sur un intervalle ouvert I, sauf en un rel a de I et admettant unelimite L en a.Alors la fonction F dfinie par est continue en a.

5. Oprations sur les limites finies

Activit 1

Activit 2

Soit f et g deux fonctions dfinies sur un intervalle ouvert I, sauf peut-tre en un rel a de I,telles que f et g admettent pour limites respectives L et L en a.On dsigne par F et G les fonctions dfinies respectivement par

et

1. Justifier que F et G sont continues en a.2. En dduire que (f + g) = L + L. En utilisant un procd analogue, on peut dmontrer les rsultats qui figurent dans le thormeci-dessous.

Thorme Soit f et g deux fonctions dfinies sur un intervalle ouvert I, sauf peut-tre en un rel a de I ettelles que f et g admettent pour limites respectives L et L en a. Alors

(f+g) = L + L ; kf = kL, pour tout rel k ; (fg) = LL ; |f| = |L|.

Si L 0 alors = . Si L 0 alors = . 1f

1L

fg

LL

Dans chacun des cas suivants, dterminer la limite de la fonction f en a.

1.

2.

; a = .


VocabulaireOn dit que la fonction F est le prolongement par continuit en a de la fonction f.On dit aussi que f est prolongeable par continuit en a.

, ,

; a = 3.

46

6. Limite et ordreActivit 1

Soit f une fonction dfinie sur intervalle ouvert I, sauf peut-tre en un rel a de I etadmettant une limite L en a. 1. Quelle est la limite de |f| en a ?2. On suppose que f(x) est positif, pour tout rel x distinct de a et appartenant I.

Dduire de lunicit de la limite que L 0.3. On suppose que f(x) est ngatif, pour tout rel x distinct de a et appartenant I.

Montrer que L 0.


ThormeSoit f une fonction dfinie sur intervalle ouvert I, sauf peut-tre en un rel a de I et admettantpour limite L en a.Si f(x) est positif pour tout rel x distinct de a, alors L 0.Si f(x) est ngatif pour tout rel de x distinct de a, alors L 0.ThormeSoit f une fonction dfinie sur intervalle ouvert I, sauf peut-tre en un rel a de I etadmettant pour limite L en a.Si f(x) est positif pour tout rel x distinct de a, alors = .

7. Limite droite. Limite gauche

Activit 1

Activit 2

Dans le plan muni dun repre , C est lacourbe reprsentative de la fonction h dfinie sur [0.1 , 0.1] \ {0} par

La fonction h nest pas dfinie en 0.

h(x) = x + 0.09 si 0.1 x < 0x + 0.1 si 0 < x 0.1.

Dterminer la limite de la fonction f en a.

; a = 2.

47

Dfinition

Soit f une fonction dfinie sur un intervalle ouvert I, sauf peut-tre en un rel a de I.On dit que la fonction f admet pour limite L droite en a, si pour tout > 0, il existe > 0tel que si

On crit ou ou

On dit que la fonction f admet pour limite le rel L gauche en a, si pour tout > 0, il existe > 0 tel que si

On crit ou ou

Thorme (admis)Soit f une fonction dfinie sur un intervalle ouvert I, sauf peut-tre en un rel a de I.

f(x) = L, si et seulement si, f(x) = f(x) = L.

Le thorme qui suit rsulte des dfinitions.

Dans cette activit nous nous intressons aux relsh(x) tels que x soit proche de 0.

1. En observant le graphique ci-contre, donner unecondition suffisante sur x pour que h(x)appartienne ]0.095 , 0.105[.

2. En observant le graphique ci-contre, donner unecondition suffisante sur x pour que h(x) appartienne ]0.085 , 0.095[.

8. Limite droite (ou gauche) en a et continuit droite (ou gauche) en a.

Activit 1

1. Montrer que si f est continue droite en a, alors elle admet une limite droite en a.Que vaut cette limite ?

48

Activit 3

Activit 4

On considre la fonction f dfinie sur \{-1} par

1. Reprsenter f dans un repre .2. a. Calculer la limite gauche en 1 de la fonction x a x + 1.

b. En dduire la limite de f gauche en 1.3. Calculer la limite de f droite en 1.ThormeSoit f une fonction dfinie sur un intervalle [a, b[ sauf peut-tre en a et g une fonctiondfinie sur un intervalle contenant [a, b[.Si g est continue droite en a et si g(x) = f(x) pour tout x de ]a, b[, alors f(x) = g(a). Soit f une fonction dfinie sur un intervalle ]a, b] sauf peut-tre en b et g une fonctiondfinie sur un intervalle contenant ]a, b].Si g est continue gauche en b et si g(x) = f(x) pour tout x de ]a, b[, alors f(x) = g(b).


1. Donner lensemble de dfinition de f.2. Donner lexpression de f(x) suivant les valeurs de x.3. a. Calculer la limite de f droite en 3.

b. Calculer la limite de f gauche en 3.c. La fonction f admet-elle une limite en 3 ?

Thorme

Soit f une fonction dfinie sur un intervalle I et a un rel de I.La fonction f est continue droite en a, si et seulement si, f(x) = f(a). La fonction f est continue gauche en a, si et seulement si, f(x) = f(a).

Activit 2

Calculer les limites ci-dessous.

; ; .

2. Montrer que si f est continue gauche en a, alors elle admet une limite gauche en a. Que vaut cette limite ?

,

.

49

On dsigne alors par R(x) la rgion du plan dlimite par laxe des abscisses, la droite (MN)et la ligne brise OABC.1. a. Reprsenter R(x) pour x appartenant ]0, 3].

b. Reprsenter R(x) pour x appartenant ]3, 6].2. On note p(x) et a(x) le primtre et laire de R(x).

a. Calculer a(3) et p(3).b. Montrer que

et

c. Reprsenter les fonctions a et p.d. Etudier la continuit des fonctions a et p en 3.

, ,

.

Activit 5

Activit 6


1. Donner lensemble de dfinition de f.2. Donner lexpression de f(x) suivant les valeurs de x.3. a. Calculer la limite de f droite en 1.

b. Calculer la limite de f gauche en 1.c. La fonction f admet-elle une limite en 1 ?

Le plan est muni dun repre orthonorm . Dans la figure, OABCD est un polygone.Pour tout rel x appartenant ]0,6], on dsigne par M le point du segment [OD] dabscisse x.La droite passant par M et parallle laxe des ordonnescoupe la ligne brise OABC en un point N.

50

VRAI - FAUX

Cocher la rponse exacte.

1. Si f et g sont continues sur et f(2) = g(2) = 2, alors (fg)(x) = 4 2 0.

2. Si f et g sont continues sur et f(2) = g(2) = 1 alors =

1 1 2.

3. Si f est continue sur et f(2) = 0, alors =

4 2100 + 4 0.

4.

0 2006 1.

5. Dans le plan muni dun repre ,Cf est la courbe reprsentative de la fonction f.Graphiquement on a

1 2 1.5.

Rpondre par vrai ou faux en justifiant la rponse.1. Si f nest pas dfinie en a alors f nadmet pas de limite en a.2. Si f nadmet pas de limite en a alors f nest pas continue en a.3. f admet une limite en a, si et seulement si, f admet une limite droite en a ou gauche en a.4. Si |f| admet une limite en a alors f admet une limite en a.5. Si |f| admet une limite gale 0 en a alors f admet une limite gale 0 en a.

QCM

QCM - VRAI - FAUX

51

Situation 1

Situation 2

Soit a un rel.

On considre la fonction f dfinie sur [2, +[ par

Pour quelle valeur de a, la fonction f est-elle continue sur [2, +[ ?

Dans le plan muni dun repre orthogonal , on a reprsent graphiquement

les fonctions et

1. On considre la fonction

a. Donner lexpression de h(x) sur .b. Etudier la continuit de la fonction h sur .

2. On considre la fonction

a. Reprsenter graphiquement la fonction t.b. Etudier la continuit de la fonction t sur .


,

.

,

.

,

.


52

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Dans chacun des cas suivants, calculer la limite de lafonction f en a.


Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6


; a = 1.

; a = 1.

; a = 1.

; a = 8.

; a = 0.02.

; a = 1.23.

; a = 0.

; a = 1.

; a = 0.1.

; a = 0.

; a =1.

; a = 2.

; a = 2.

; a = 3.

; a = 0.

; a = 0.

; a = 0.

; a = 3.

; a = 0.1.

; a = 0.

; a = 20.

; a = 0.

; a = 2.

; a = 1.


Soit f la fonction dfinie sur ]2, 1[ par

1. Justifier que f est continue sur chacun des intervalles]2, 1[, ]1, 0[ et ]0, 1[.2. Dterminer les limites suivantes

; ; ;

3. En dduire que f est continue sur ]1, 1[ et que fnest pas continue sur ]2, 0[.

Soit f, g et h les fonctions dfinies sur par

1. Dterminer les fonctions f + g ; fg ; fh.

; g(x) = x 1

et h(x) = .

.

,

.

53

Exercice 7

1. Reprsenter f dans le plan muni dun repre. 2. Etudier la continuit de f droite et gauche en 3.3. La fonction f est-elle continue en 3 ?4. La fonction f est-elle continue sur ?

2. Etudier la continuit de chacune des fonctions f ; f + g ; fg ; fh sur chacun des intervalles ] ,1[ et]1, + [.3. Etudier la continuit en 1 de chacune des fonctionsf ; f + g ; fg et fh.

Soit la fonction f dfinie sur par

Exercice 8Soit la fonction f dfinie par

Exercice 9

Exercice 10

Exercice 11

Exercice 12

Exercice 13

Exercice 15

1. Etudier la continuit de f droite et gauche en 2.2. La fonction f est-elle continue en 2 ?

1. Etudier la continuit de f droite et gauche en 0.2. La fonction f est-elle continue en 0 ?

Etudier la continuit sur [1, 2] de la fonction x a (x 1)E(x), o E(x) dsigne la partie entire de x.

On considre la fonction f dfinie sur

On considre la fonction


1. Etudier la continuit de f droite et gauche en 0.2. La fonction f est-elle continue en 0 ?3. Etudier la continuit de f sur .


1. Dterminer la limite de f droite en .

2. Dterminer la limite de f gauche en .

3. La fonction f admet-elle une limite en ?

Calculer les limites de f en 2 et en 2.


1. Dterminer la limite de f droite en 2.2. Dterminer la limite de f gauche en 2.3. La fonction f admet-elle une limite en 2 ?4. La fonction f est-elle prolongeable par continuit en 2 ?

.

Exercice 14

On considre la fonction f dfinie sur ]1, + [ \{0} par

1. Calculer la limite de f en 0.2. La fonction f est-elle prolongeable par continuiten 0 ? Si oui dfinir ce prolongement.

54

Exercice 17On considre la fonction f dfinie sur par

Exercice 18On considre la fonction f dfinie sur telle que

Exercice 20


Soit f la fonction dfinie sur par

Exercice 21

Exercice 22

Soit P un polynme dfini par

P(x) = an xn + an1xn-1 + ... + a1 x + a0.

1. Reprsenter f dans un repre .2. Etudier la continuit de f sur .

1. Dterminer la valeur de a pour que f soit continueen 1.2. Dterminer la valeur de b pour que f soit continue en 1.

1. Dterminer

2. Appliquer le rsultat prcdent pour dterminerchacune des limites suivantes

1. Dterminer

2. Dterminer

*

f ( 4) = 4 et f( 3) = 3, f(x) = , si x > 2, la restriction de f ] , 2[ est une fonction affine, f est continue gauche en 2.1. Reprsenter f dans un repre .2. Donner lexpression de f(x) pour tout rel x.3. Etudier la continuit de f en 2.

Exercice 16

Exercice 19

On considre la fonction f dfinie sur [1, + [ par

Soit f la fonction dfinie sur [1, + [ par

Montrer que la fonction f est continue sur [1, + [.

Pour quelle valeur de a, la fonction f est-elle continueen 2 ?

55

Math - culture

Mat

h -

cult

ure

Tout au long du XVIII me sicle, la dfinition de fonction taitun sujet de dbat parmi les mathmaticiens. Au XIXme sicle,Cauchy fut le premier donner une fondation logique strictedu calcul infinitsimal.

Ce nest quen 1850, que le mathmaticien allemand KarlWeierstrass poursuivant leffort de rigueur entrepris parCauchy, donne la dfinition de la limite dune fonction en unpoint. Cette dfinition marquera la naissance de lanalysemoderne.

CitationHomme toujours debout sur le cap Pense, scarquiller les yeux sur les limites

Paul Valry.

La distance parcourue par une navette spatiale, est dtermine par une expressiond(t), o d est une fonction de la variable t qui dsigne le temps.Pour dterminer la distance parcourue par la navette Columbia, depuis sa lancerjusqu linstant tf du crash, on calcule .

la navette Columbia

Weierstrass

Limiteset comportements

asymptotiquesCh

apit

re 4

Seul deux choses sont infinies : lunivers et la btise humaine.Mais je ne suis pas sr pour lunivers.

Einstein

57

Chapitre 4 Limites et comportements asymptotiques

Activit 1

Activit 2

Pour commencer

Soit la fonction f dfinie pour tout rel x > 0par f(x) = .

1. Reprsenter lensemble B des points M(x , y)du plan tels que 0 < y < 5.10-3.

2. Donner une condition suffisante sur x pourquun point M(x , f(x)) appartienne B.

On donne ci-dessous les reprsentations graphiques Cf, Cg et Ch de trois fonctions f, g et h.

1x

Donner une condition suffisante sur x pour que

a. 0 < f(x) < ; b. 2 < g(x) < 1 ; c. |h(x) 1| < .

Cf Cg Ch

12

14

1. Limites infinies en +Activit 1

On a reprsent ci-contre les fonctions f et g dfinies sur [1, + [ respectivement par f(x) = (x 1)2 et g(x) = (x 1)2. 1. a. Que peut-on conjecturer sur f(x) lorsque x prend des valeurs

de plus en plus grandes ?b. Donner une condition suffisante sur x, pour que f(x) >1040. c. Soit A > 0. Donner une condition suffisante sur x, pour que

f(x) > A.2. a. Que peut-on conjecturer sur g(x) lorsque x prend des valeurs

de plus en plus grandes ?

Dfinition

Soit a un rel et f une fonction dfinie sur [a, + [.On dit que f admet pour limite + quand x tend vers + si,pour tout A > 0, il existe B > 0 tel que si x a et x > B alors f(x) > A.On note .

On dit que f admet pour limite quand x tend vers + si,pour tout A < 0, il existe B > 0 tel que si x a et x > B alors f(x) < A.On note .

Vocabulaire

Lorsque , on dit que f tend vers + quand x tend vers +, ou f(x) tend vers +quand x tend vers +, ou encore f tend vers + en +.Lorsque , on dit que f tend vers quand x tend vers +, ou f(x) tend vers quand x tend vers +, ou encore f tend vers en +.

58

Cours

b. Donner une condition suffisante sur x, pour que g(x)< 1040. c. Soit A > 0. Donner une condition suffisante sur x, pour que g(x) < A.

59

Vrifier quaucune de ces fonctions netend vers + en + .

Activit 3

Activit 4

Activit 5

On considre les fonctions f, g et h dfinies surpar f(x) = x2 , g(x) = x3 et h(x) = .1. Soit A > 0 et x 1.

a. Donner une condition suffisante sur x pour que f(x) > A et g(x) > A.

b. Donner une condition suffisante sur x pour queh(x) > A.

Lorsquon tudie la limite de f(x) quandx tend vers +, il suffit dtudier lecomportement de f(x), lorsque x estpositif et prend de grandes valeurs.On dit alors que lon tudie lecomportement de f au voisinage de +.

2. En dduire le comportement de chacune des fonctions f, g et h au voisinage de + .

Soit f et g deux fonctions dfinies sur [2, + [ et telles que .Justifier chacune des affirmations ci-dessous. Il existe B > 2 tel que f(x) > 1, pour tout x > B. Il existe B > 2 tel que g(x) < 1, pour tout x > B. La fonction f nest pas majore sur [2, + [. La fonction g nest pas minore sur [2, + [.

Si alors il existe un rel B > 0 tel que f(x) > 0, pour tout x > B.Si alors il existe un rel B > 0 tel que f(x) < 0, pour tout x > B.

Le plan est muni dun repre.Les courbes C1, C2 et C3 sont les reprsentations graphiques respectives des fonctions.

1. Donner lensemble de dfinition de chacune de ces fonctions.2. Dterminer graphiquement les limites de chacune de ces fonctions en + .

.

Dans le plan muni dun repre, on areprsent les courbes Cg et Ch des fonctions g et h.

Activit 2

60

Activit 6

Activit 1

Soit k la fonction dfinie sur [1, + [ par k(x) = xn, o n est un entier suprieur ou gal 1.1. Soit A > 0 et x 1. Donner une condition suffisante

sur x, pour que k(x) > A.2. Dterminer la limite de k lorsque x tend vers + .

Thorme

Pour tout rel a et tout entier naturel n non nul, .

2. Limites infinies en

Le plan est muni dun repre.On a reprsent ci-contre les fonctions f et gdfinies sur ] , 1] respectivement parf(x) = (x + 1)2 et g(x) = (x + 1)2. 1. Soit A > 0 et x 1. Donner une condition

suffisante sur x, pour que f(x) > A.2. Soit A < 0 et x 1. Donner une condition

suffisante sur x, pour que g(x) < A.

Dfinition

Soit a un rel et f une fonction dfinie sur ] , a].On dit que f admet pour limite + quand x tend vers si, pour tout A > 0, il existe B < 0 tel que si x a et x < B alors f(x) > A.On note .

On dit que f admet pour limite quand x tend vers si pour tout A < 0, il existe B < 0 tel que si x a et x < B alors f(x) < A.On note .

61

Vocabulaire

Lorsque , on dit que f tend vers + quand x tend vers , ou f(x) tend vers +quand x tend vers , ou encore f tend vers + en .Lorsque , on dit que f tend vers quand x tend vers , ou f(x) tend vers quand x tend vers , ou encore f tend vers en .

Activit 2

Activit 3

Activit 4

Dans le plan muni dun repre, on areprsent les courbes Cg et Ch desfonctions g et h.Vrifier quaucune de ces fonctionsne tend vers en .

On considre les fonctions dfinies sur ], 1] par

1. Soit A > 0 et x 1.a. Donner une condition suffisante sur x pour que f(x) > A et g(x) < A.b. Donner une condition suffisante sur x pour queh(x) > A.

Lorsquon tudie la limite de f(x) quandx tend vers , il suffit dtudier lecomportement de f(x), lorsque x estngatif et tel que |x| prend de grandesvaleurs.On dit alors que lon tudie lecomportement de f au voisinage de .

2. En dduire le comportement de chacune des fonctions f, g et h au voisinage de .

Soit f et g deux fonctions dfinies sur ], 1] et telles que . Justifier chacune des affirmations ci-dessous. Il existe B 1, pour tout x< B.Il existe B 0, pour tout x < B.Si alors il existe un rel B < 0 tel que f(x) < 0, pour tout x < B.

62

Activit 5

Activit 6

Le plan est muni dun repre.Les courbes C1, C2 et C3 sont les reprsentations graphiques respectives des fonctions

.

1. Donner lensemble de dfinition de chacune de ces fonctions.2. Dterminer graphiquement, les limites de chacune de ces fonctions en .

Soit h la fonction dfinie sur ], 1] par h(x) = xn ,o n est un entier suprieur ou gal 1.Discuter suivant la parit de n, la limite de h lorsque xtend vers .

Thorme

Pour tout rel a et tout entier naturel n non nul,

Activit 1

3. Limites finies en + ou en

On a reprsent ci-contre la fonction f dfinie sur [ 2, + [

1. Que peut-on conjecturer sur f(x) lorsque x tend vers + ? 2. a. Donner une condition suffisante sur les rels x, pour que

|f(x) 1| < 10-200.b. Soit > 0. Donner une condition suffisante sur les rels x,

pour que |f(x) 1| < .3. Soit M le point de coordonnes (x, f(x)) et P le point de coordonnes (x, 1).

Que peut-on dire de la distance PM lorsque x tend vers + ?

.

Le plan est muni dun repre orthonorm .

63

Activit 2

Le plan est muni dun repre orthonorm .Nous avons reprsent ci-contre la fonction f dfinie sur ], 0]

1. Que peut-on conjecturer sur f(x) lorsque x tend vers ?2. a. Donner une condition suffisante sur x, pour que

|f(x) 1| < 10-300.b. Soit > 0. Donner une condition suffisante sur x, pour que

|f(x) 1| < .3. Soit M le point de coordonnes (x, f(x)) et P le point de coordonnes (x, 1).

Que peut-on dire de la distance PM lorsque x tend vers ?Dfinition

Soit a un rel et f une fonction dfinie sur lintervalle [a , + [.On dit que f admet pour limite L quand x tend vers + , si pour tout > 0, il existe un relB > 0, tel que si x a et x >B alors |f(x) L| < .

Dfinition

Soit a un rel et f une fonction dfinie sur lintervalle ] , a].On dit que f admet pour limite L quand x tend vers , si pour tout > 0, il existe un relB < 0, tel que si x a et x < B alors |f(x) L| < .

Thorme (admis)

Si une fonction admet une limite L en + (respectivement en ) alors cette limite est unique.On note (respectivement ).

Lorsque , on dit que f tend vers L quand x tend vers + , ou f(x) tend vers L quandx tend vers + , ou encore f tend vers L en + .Lorsque , on dit que f tend vers L quand x tend vers , ou f(x) tend vers L quandx tend vers , ou encore f tend vers L en .

Vocabulaire

.

64

Activit 3

1. Soit f une fonction telle que

Que peut-on dire de la limite de en + ?

2. Si on suppose que que peut-on dire de limite de en ?

3. Que peut-on dire de la limite de dans le cas o f tend vers en + ou ?

Thorme (admis)

Activit 4

Dduire du thorme prcdent les rsultats ci-dessous

Pour tout rel a et tout entier non nul n,

Activit 1

4. Asymptotes horizontales

Soit f une fonction telle que .

Soit Cf la courbe reprsentative de f dans un repre orthonorm ,M le point de coordonnes (x, f(x)) et P le point de coordonnes (x , L).Montrer que la distance PM tend vers 0.

Dfinition

Soit f une fonction et Cf sa courbe reprsentative dans un repre.

Lorsque , on dit que la droite dquation y = L est

une asymptote horizontale la courbe Cf au voisinage de + .

Lorsque , on dit que la droite dquation y = L est

une asymptote horizontale la courbe Cf au voisinage de .

-

65

Activit 2

1. Reprsenter chacune des fonctions et .

2. On dsigne par Cf et Cg les courbes reprsentatives de f et g dans un repre . Prciser les asymptotes horizontales ces courbes, au voisinage de + et de .

Activit 1

5. Limites infinies en un rel

Le plan est muni dun repre. On a reprsent ci-contre,les fonctions h et t dfinies sur [0, 1[ ]1, +[ respectivement par

1. Dterminer le signe de chacune des fonctions h et t .2. a. Que peut-on dire de h(x) lorsque x se rapproche de 1,

en restant suprieur 1 ?b. En dduire le comportement de h lorsque x tend

vers 1 droite.3. a. Que peut-on dire de h(x) lorsque x se rapproche de 1, en restant infrieur 1?

b. En dduire le comportement de h lorsque x tend vers 1 gauche.4. Etudier le comportement de t lorsque x tend vers 1.

Dfinition

Soit f une fonction dfinie sur un intervalle ouvert I, sauf en un rel a de I.

On dit que la fonction f a pour limite + , droite en a si, pour tout A > 0, il existe > 0 tel que si x appartient I et 0 < x a < alors f(x) > A. On note .

On dit que la fonction f a pour limite +, gauche en a si, pour tout A > 0, il existe > 0 tel que si x appartient I et 0 < a x < alors f(x) > A.On note .

66

Dfinition

Soit f une fonction dfinie sur un intervalle ouvert I, sauf en un rel a de I.On dit que la fonction f a pour limite , droite en a (respectivement gauche en a)si la fonction f a pour limite + , droite en a (respectivement gauche en a) .

Dfinition

Soit f une fonction dfinie sur un intervalle ouvert I, sauf en un rel a de I.On dit que la fonction f a pour limite + en a .. On note .

On dit que la fonction f a pour limite en a . On note .

Activit 2

Activit 3

Soit une fonction f dfinie sur un intervalle I, sauf peut tre en un rel a de I, telle quef(x) 0, x a. 1. a. On suppose que f est positive sur I et . Que peut-on conjecturer sur ?

b. On suppose que f est ngative sur I et . Que peut-on conjecturer sur ?

2. Reprendre les mmes questions dans le cas o .

Utiliser lactivit prcdente pour justifier les rsultats ci-dessous.

Pour tout rel a et tout entier naturel n non nul, on a

.

67

Activit 1

6. Asymptotes verticales

1. a. Que vaut la limite de g droite en 1 ?b. Que vaut la limite de g gauche en 1 ?

2. Dterminer la limite de droite et gauche en 1.

Que reprsente la droite dquation x = 1, pour la courbe de ?

Dfinition

Soit f une fonction dfinie sur un intervalle ouvert I, sauf en un rel a deI et Cf sa courbe reprsentative dans un repre .Si la limite de f, droite en a ( respectivement gauche en a), est infinie,on dit que la droite dquation x = a est une asymptote verticale la courbeCf, droite en a (respectivement gauche en a).

Le plan est muni dun repre . Soit g la fonction dfinie sur par .

Activit 2

Le plan est muni dun repre .

Etudier le comportement de chacune des fonctions aux bornes de son ensemble de dfinition,en prcisant les asymptotes leurs courbes reprsentatives.

7. Oprations sur les limitesNous admettrons les rsultats qui suivent et qui concernent les limites en un rel ou enlinfini, de la somme, du produit et du quotient et de la valeur absolue.

lim f lim g lim(f+g)L L L + LL + +

L + + +

lim f lim|f|L |L|

+ +

+

lim f lim g lim(f x g)L L L x L

+ L > 0 + + L < 0 + + +

+ +

lim f lim g lim

L L 0

+ L > 0 + + L < 0 L + 0 L 0

L 0 0 (et onappliquela rgle dessignes).

Soit les fonctions f : x a et g : x a

fg

68

Activit 1

Activit 2



Activit 3

Activit 1


;

.

.

;;

.

8. Limites dune fonction polynme ou dune fonction rationnelle

1. a. Vrifier que pour tout rel non nul x, .

2. Soit f la fonction polynme dfinie par .

b. En dduire que

On se propose de montrer que .

...

69

a. Vrifier que , pour tout rel non nul x. ...

b. Calculer ....

c. Conclure.

3. Montrer que .

La limite dune fonction polynme, quand la variable tend vers linfini, est la mme quecelle de son terme de plus haut degr.

Activit 2


Activit 3

1. Soit f la fonction rationnelle dfinie par

2. Soit f la fonction rationnelle dfinie par ...

...

a. Vrifier que

b. En dduire le rsultat ci-dessous.

...

...

a. Vrifier que

b. En dduire la limite de f en + .

La limite dune fonction rationnelle, quand la variable tend vers linfini est la mme quecelle du quotient des termes de plus haut degr.

.

.avec

et bm 0.

.

Activit 4


.

70

Activit 5

Activit 6

Activit 7

Activit 8

On considre la fonction h dfinie par .

Etudier les limites de h aux bornes de son ensemble de dfinition, en prcisant les asymptotes sa courbe reprsentative.

Dans le plan muni dun repre, Cf et Cg sont les reprsentations graphiques respectives des

1. Donner lensemble de dfinition de f.2. Donner les limites de f aux bornes de son ensemble de dfinition et prciser les asymptotes Cf.3. Reprendre les mmes questions pour la fonction g.

On considre la fonction f : x a .


1. Donner lexpression de f(x) lorsque x > 1, puis lorsque x < 1.2. Dterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de dfinition et prciser les

asymptotes sa courbe reprsentative.

1. Donner lensemble de dfinition de f.2. Dterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de dfinition, en prcisant les

asymptotes sa courbe reprsentative.

fonctions f : x a et g : x a .



Soit f une fonction positive, a fini ou infini et L un rel.

Activit 1


.

Activit 2


Activit 3

On considre la fonction f dfinie par [1, + [ par .1. Montrer que pour tout rel positif x, .

1. Donner lensemble de dfinition de f, on le note D.

2 a. Montrer que , pour tout rel x de D.

b. En dduire les limites de f aux bornes de D.c. Montrer que f admet un prolongement par continuit en 0, que lon dterminera.

3. Prciser les asymptotes la courbe reprsentative de f.

2. En dduire la limite de f en + .


10. Asymptotes obliques

Activit 1

Soit f une fonction telle que .Soit Cf la courbe reprsentative de f dans un repreorthonorm . On considre une droite Ddquation y = x + .On dsigne par M le point de coordonnes (x, f(x)) etP le point de coordonnes (x, x + ). Montrer que si

alors la distance PM tend vers 0.

71

9. Limites de Nous admettrons le thorme ci-dessous qui nous donne la limite de lorsquon connatla limite de f.

f

72

Dfinition

Soit f une fonction et Cf sa courbe reprsentative dans un repre .

Lorsque , on dit que la droite dquation

y = x + est une asymptote oblique la courbe Cf de f au voisinage de + .

Lorsque , on dit que la droite dquation

y = x + est une asymptote oblique la courbe Cf au voisinagede .

Activit 2

On considre la fonction f : x a et on note C sa courbe reprsentative dans le

1. a. Donner son ensemble de dfinition D.b. Calculer les limites de f aux bornes de D.

2. Vrifier que, pour tout x 2, .

3. a. Calculer .b. Expliquer pourquoi la droite dquation y = 3x + 4 est asymptote oblique

C au voisinage de + et de .c. Etudier la position de C par rapport .

plan muni dun repre orthonorm.

Activit 3

On considre la fonction f : x a et on note C sa courbe reprsentative dans leplan muni dun repre orthonorm.1. a. Donner son ensemble de dfinition D.

b. Calculer les limites de f aux bornes de D.2. a. Dterminer la forme canonique du trinme x2 + 4x + 3.

b. Dterminer alors c. En dduire que C admet une asymptote oblique au voisinage de + et une autre au

voisinage de .

73

QCM

VRAI - FAUX

Cocher la

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