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Mathématiques SN. Les OPÉRATIONS sur les fonctions. Mathématiques SN - OPÉRATIONS sur les fonctions -. Opérations. - PowerPoint PPT Presentation
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Mathématiques Mathématiques SNSN
Les Les OPÉRATIONSOPÉRATIONS
sur les fonctionssur les fonctions
OpérationsOpérations
Mathématiques Mathématiques SNSN- - OPÉRATIONS OPÉRATIONS sur les fonctions sur les fonctions --
Tout comme les transformations géométriques, nous pouvons Tout comme les transformations géométriques, nous pouvons « « combinercombiner » plusieurs fonctions consécutives à l’intérieur d’une seule » plusieurs fonctions consécutives à l’intérieur d’une seule (appelé la « composée » dans les transformations géométriques).(appelé la « composée » dans les transformations géométriques).
(f + g) (x) = f(x) + g(x)(f + g) (x) = f(x) + g(x)
Soit deux fonctions f(x) et g(x) :Soit deux fonctions f(x) et g(x) :
(f – g) (x) = f(x) – g(x)(f – g) (x) = f(x) – g(x)
(f (f •• g) (x) = f(x) • g(x) g) (x) = f(x) • g(x)
ff
gg==
f(x)f(x)
g(x)g(x)(x)(x)
f + gf + g
Soit deux fonctions Soit deux fonctions f(x) = 6xf(x) = 6x et et g(x) = 2x + 1g(x) = 2x + 1 . Déterminer la . Déterminer la fonction fonction résultanterésultante de : de :
Exemple :Exemple :
a)a)
(f + g) (x) = (f + g) (x) = f(x)f(x) + + g(x)g(x)
= = 6x6x + ( + (2x + 12x + 1))
= = 8x + 18x + 1
f – gf – gb)b)
(f – g) (x) = (f – g) (x) = f(x)f(x) – – g(x)g(x)
= = 6x6x – ( – (2x + 12x + 1))
= = 4x – 14x – 1
= = 6x 6x – – 2x 2x –– 1 1
Donc pour x = 3 dans Donc pour x = 3 dans f(x)f(x) + + g(x)g(x) … …
f(3)f(3) + + g(3) g(3) = = 6(3)6(3) + ( + (2(3) + 12(3) + 1))
= = 1818 + ( + (77))
= = 2525
Avec la fonction résultante Avec la fonction résultante (f + g) (x)(f + g) (x) … …
(f + g) (3) (f + g) (3) == 8(3) + 1 8(3) + 1
= = 2525
Donc pour x = 3 dans Donc pour x = 3 dans f(x)f(x) – – g(x)g(x) … …
f(3)f(3) – – g(3) g(3) = = 6(3) 6(3) – ( – (2(3) + 12(3) + 1))
= = 1818 – ( – (77))
= = 1111
Avec la fonction résultante Avec la fonction résultante (f – g) (x)(f – g) (x) … …
(f – g) (3) (f – g) (3) == 4(3) – 1 4(3) – 1
= = 1111
f f •• g gc)c)
(f (f •• g) (x) = g) (x) = f(x)f(x) •• g(x)g(x)
= = 6x6x •• ( (2x + 12x + 1))
= = 12x12x22 ++ 6x 6x
Donc pour x = 3 dans Donc pour x = 3 dans f(x)f(x) •• g(x)g(x) … …
f(3)f(3) •• g(3) g(3) = = 6(3)6(3) •• ( (2(3) + 12(3) + 1))
= = 1818 •• ( (77))
= = 126126
Avec la fonction résultante Avec la fonction résultante (f (f •• g) (x) g) (x) … …
(f (f •• g) (3) g) (3) == 12(3) 12(3)22 + 6(3) + 6(3)
= = 108 + 18108 + 18
= = 126126
d)d)
ff
gg==
6x6x
2x + 12x + 1(x)(x)
6x6x 2x + 12x + 1
33(6x + 3)(6x + 3)––
- 3- 3
3 +3 + - 3- 3
2x + 12x + 13 reste - 33 reste - 3
== + 3+ 3- 3- 3
2x + 12x + 1
Donc pour x = 3 dans Donc pour x = 3 dans f(x)f(x) g(x)g(x) ……
Avec la fonction résultante Avec la fonction résultante (f (f g) (x) g) (x) … …
f f g g
==6(3)6(3)
2(3) + 12(3) + 1
(3)(3)
==1818
77
ff
gg
==f(x)f(x)
g(x)g(x)
f(3)f(3)
g(3)g(3)
- 3- 3
2(3) + 12(3) + 1==
- 3- 3
77== ++
- 3- 3
77==
2121
77+ 3+ 3 + 3+ 3 1818
77==
CompositionsCompositions
Mathématiques Mathématiques SNSN- - OPÉRATIONS OPÉRATIONS sur les fonctions sur les fonctions --
((ff ○○ gg) (x) = ) (x) = f(x)f(x) ○○ g(x)g(x)
Soit deux fonctions Soit deux fonctions f(x)f(x) et et g(x)g(x) : :
= = ff ( ( g(x)g(x) ) )
On « introduit » la fonction On « introduit » la fonction gg dans la dans la fonction fonction ff . .
On remplace les « x » de la fonction On remplace les « x » de la fonction ff par la fonction par la fonction gg . .
c’est-à-dire…c’est-à-dire…
Ce symbole se
nomme « rond »
f f ○○ g g
Soit deux fonctions Soit deux fonctions f(x) = 6xf(x) = 6x et et g(x) = 2x + 1g(x) = 2x + 1 . Déterminer : . Déterminer :Exemple :Exemple :
a)a)
((ff ○○ gg) (x) = ) (x) = f(x)f(x) ○○ g(x)g(x)
= = 6x6x ○○ (2x + 1)(2x + 1)
= = 6(6(2x + 12x + 1))
= = 12x + 612x + 6
g g ○○ f fb)b)
((gg ○○ ff) (x) = ) (x) = g(x)g(x) ○○ f(x)f(x)
= = (2x + 1)(2x + 1) ○○ 6x6x
= = 2(2(6x6x) + 1) + 1
= = 12x + 112x + 1
(f (f ○○ g) (3) g) (3)
Soit deux fonctions Soit deux fonctions f(x) = 6xf(x) = 6x et et g(x) = 2x + 1g(x) = 2x + 1 . Déterminer : . Déterminer :Exemple :Exemple :
c)c)
((ff ○○ gg) (3)) (3) = = ff ( ( g(3)g(3) ) )
= = ff ( ( 2(3) + 12(3) + 1 ) )
= = ff ( ( 77 ) )
= = 66 ( ( 77 ) )
= = 4242
OUOUOUOU ((ff ○○ gg) (x) = ) (x) = 12x + 612x + 6
= = 36 + 636 + 6
((ff ○○ gg) (3) = ) (3) = 12(3) + 612(3) + 6
= = 4242
(g (g ○○ f) (3) f) (3)
Soit deux fonctions Soit deux fonctions f(x) = 6xf(x) = 6x et et g(x) = 2x + 1g(x) = 2x + 1 . Déterminer : . Déterminer :Exemple :Exemple :
d)d)
((gg ○○ ff) (3)) (3) = = gg ( ( f(3)f(3) ) )
= = gg ( ( 6(3)6(3) ) )
= = gg ( ( 1818 ) )
= = 22 ( ( 1818 ) ) + 1+ 1
= = 3737
OUOUOUOU ((gg ○○ ff) (x) = ) (x) = 12x + 112x + 1
= = 36 + 136 + 1
((gg ○○ ff) (3) = ) (3) = 12(3) + 112(3) + 1
= = 3737
RéciproqueRéciproque
Mathématiques Mathématiques SNSN- - OPÉRATIONS OPÉRATIONS sur les fonctions sur les fonctions --
Soit la fonction f(x) = 3x + 2 . Trouver sa réciproque.Soit la fonction f(x) = 3x + 2 . Trouver sa réciproque.
On On inverseinverse le le xx et le et le f(x)f(x)..f(x)f(x) = 3 = 3xx + 2 + 2
Exemple #1 :Exemple #1 :
Ensuite, on Ensuite, on isoleisole ff-1-1(x)(x)..
xx = 3 = 3 ff-1-1(x)(x) + 2 + 2
xx – 2 = 3 – 2 = 3 ff-1-1(x)(x)
= = ff-1-1(x)(x)xx – 2 – 2
33f-1(x) se nomme
réciproque de f(x)
Exemple #2 :Exemple #2 : Soit la fonction f(x) = -x – 5 + 10 . Trouver sa réciproque.Soit la fonction f(x) = -x – 5 + 10 . Trouver sa réciproque.
f(x)f(x) = - = - xx – 5 + 10 – 5 + 10
xx = - = - ff-1-1(x)(x) – 5 + 10 – 5 + 10
xx – 10 = - – 10 = - ff-1-1(x)(x) – 5 – 5
((xx – 10) – 10)22 = - = - ff-1-1(x)(x) – 5 – 5
((xx – 10) – 10)22 + 5 = - + 5 = - ff-1-1(x)(x)
- (- (xx – 10) – 10)22 – 5 = – 5 = ff-1-1(x)(x)
