MECANIQUE

Un solide ou un système de solides est soumis à des actions extérieures : le premier objectif de la mécanique est de déterminer la totalité des actions extérieures.

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Réactions des appuis

Le second objectif est de déterminer comment se répartissent les efforts à l’intérieur du solide.

Le troisième objectif est de dimensionner le solide en équilibrant les contraintes et en limitant les déformations.

x

moment

NG

x







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1) LES ACTIONS

2) LES SOLLICITATIONS

3) CONTRAINTES ET DEFORMATIONS

NATURE DES ACTIONS MECANIQUES AGISSANT

SUR LES STRUCTURES

Les charges verticales de pesanteur

Les actions à composante horizontale ou verticale ascendante

1

Charges permanentes (poids propre des ouvrages ou matériaux

les surchargeant)

Charges liées à l’exploitation des bâtiments (public,

mobilier, stockages,

surcharges liées à l’entretien)

Charges climatiques

de neige

GGNF P 06.004NF P 06.004

QQNF P 06.001NF P 06.001

SnSn NV65 et N84NV65 et N84

CHARGES VERTICALES DE PESANTEUR

Poids propre (G)

charges d’expoitation (Q)

neige (Sn)

1

Séisme : accélérations des

masses se traduisant en efforts horizontaux

Vibrations et machines

tournantes

W W NV65 révisé 2000NV65 révisé 2000

AAn n PS92PS92 accélération

(An)

vibrations ()

Pressions des terres,

liquides ou des matières

ensilées

Pressions ou dépressions dues au vent

hh

ACTIONS A COMPOSANTE HORIZONTALE OU VERTICALE ASCENDANTE

Pression du vent (W) Poussée

des terres

1

Poussée (ρh)

COUVERTURE

2- La charpente porte la couverture et le plafond.

CHARPENTE

PLAFOND

3- Les murs supportent les charges verticales précédentes.

MURS

4- Le plancher, outre son propre poids, porte les charges d’exploitation (mobilier, personnes etc..).

PLANCHER

5- Les murs de soubassement transmettent à leur tour les charges aux fondations.

SOUBASSEMENT6- Les fondations répartissent les pressions sur le sol et assurent l’équilibre statique de la construction.

SEMELLES

SOL DE FONDATION

Exemple de descente de charges verticales sur les éléments

porteurs

1- La couverture subit les actions climatiques(neige).

Neige

Actions ascendantes du sol porteur

Exemple d’actions à composante

horizontale sur les éléments porteurs d’un bâtiment R+2

Efforts du vent

appliqués aux nœuds

Dépression due au vent

Turbulences

Versant sous le vent

Rez-de-chaussée

Etage n°1

Etage n°2

accélération (An)

Pression du vent

Vent

Versant au vent

Efforts du vent

appliqués aux nœuds

Exemple d’actions a composante horizontale ou verticale ascendante sur les éléments porteurs

Poussées hydrostatique

Poussée des terres

Poussée des

terres

Versant sous le vent

Sous-sol

Rez-de-chaussée

Pression du vent

Vent

Versant au vent

Dépression due au vent

Turbulences

LA DESCENTE DE CHARGES

La descente de charges permet de connaître, niveau par niveau, élément par élément, le cheminement ou la distribution des actions mécaniques extérieures à travers toute la construction, en partant du point le plus haut du bâtiment, vers les fondations et le sol.

L’ouvrage dans sa globalité ainsi que les éléments de cet ouvrage, doivent être conçus pour être stables et résister à ces actions.La descente de charges est à la base du dimensionnement des structures porteuses et notamment des fondations.

1

COMMENT DETERMINER LES ACTIONS EXTERIEURES INCONNUES ?

Une fois que les actions extérieures dues au chargement sont définies, il faut déterminer les actions extérieures de liaisons (inconnues) en faisant l’équilibre statique du système.

1

Chargement défini

Réactions des appuis inconnues

COMMENT DETERMINER LES ACTIONS EXTERIEURES INCONNUES ?

Une fois que les actions extérieures dues au chargement sont définies, il faut déterminer les actions extérieures de liaisons (inconnues) en faisant l’équilibre statique du système.

Les actions extérieures représentées par des vecteurs sont de deux types :

• des forces• des moments

1

F FxFy

Dans le plan, on simplifie :

MValeur algébrique définie par un sens de rotation

Y

LIAISONS DU GENIE-CIVILL’APPUI SIMPLE

Une seule inconnue de liaison : Y

1

LIAISONS DU GENIE-CIVILL’ARTICULATION

Deux inconnues de liaison : X et Y

Y

X

1

LIAISONS DU GENIE-CIVILL’ENCASTREMENT

Trois inconnues de liaison : X, Y et M

Y

X

M1

1

PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE - (P.F.S)

IIIext RF

0 , 0 =M , )( I

Un solide indéformable ou un système de solides est en équilibre (ou au repos) par rapport à un repère fixe, si chaque point du solide à une vitesse nulle par rapport à ce repère.

le point I défini dans le repère fixe Oxyz.

DEFINITION DE L'EQUILIBRE STATIQUE

si le torseur des forces extérieures au solide ou au système de solides est nul en tous points du repère.

)FF ,F( n..., 2,1

Un solide indéformable ou un système de solides est en

équilibre sous l'action d'un système de forces

NOTA : Le PFS seul permet de résoudre les systèmes isostatiques. Si les systèmes sont hyperstatiques, il faut trouver d’autres équations avec des méthodes de calculs plus approfondies (méthode énergétique, méthode des forces, équation de Clapeyron…)

1

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Le premier objectif est atteint, les actions extérieures de liaisons sont maintenant connues.

LES SOLLICITATIONS

2

Soit un solide en équilibre dont on sait calculer toutes les actions extérieures. On veut maintenant connaître ce qu’il se passe à l’intérieur, pour cela on va effectuer une coupure fictive de ce solide.

On coupe le solide orthogonalement à l’axe moyen [G,X) ; on obtient ainsi deux tronçons celui de gauche et celui de droite.

On isole fictivement le tronçon de gauche, il est en équilibre sous l’effet des actions extérieures et des actions de continuité du tronçon de droite.

2

Le tronçon de droite exerce sur le tronçon de gauche des actions de continuité, nous pouvons les modéliser par un torseur dit torseur de cohésion et définir ces éléments de réduction au centre de gravité G de S(X).Ces actions de continuité sont des efforts intérieurs du solide.

GG

cohMR

Torseur de cohésion

2

On appelle sollicitations, les composantes sur [G,X,Y,Z) (repère local associé à la section S(X)) des éléments de réduction du torseur de cohésion .

KVJVINR ZY

KMJMIMM ZYXG Mx : moment de torsion : projection de sur [GX)

M : moment de flexion avec 2 composantes

My projection de sur [GY)Mz projection de sur [GY)

N : effort normal : projection de sur [GX)

V : effort tranchant avec 2 composantesVy projection de sur [GY)Vz projection de sur [GZ)

2

DIFFERENTS ETATS DE SOLLICITATIONS

CISAILLEMENT

0

0

0/

0

ZYX

Z

Y

MMM

N

Vouet

V

2


COMPRESSION SIMPLE si N<0

0

0

0

ZYX

ZY

MMM

VV

N

TRACTION SIMPLE si N>0

2


FLEXION PURE

0

0

00

X

ZY

ZY

M

VVN

MouM

C’est un cas très rare.

Zone de flexion pure

2


FLEXION SIMPLE

0

00

00

YX

Z

ZY

MM

VN

MV

0

00

00

ZX

Y

YZ

MM

VN

MV

ou

2


TORSION

0

0

0

ZY

ZY

X

MM

VVN

M

Dans la réalité, on a aussi un effort normal.

2


FLEXION COMPOSEE

ou

00

00

00

NM

MM

VV

X

ZY

YZ

00

00

00

NM

MM

VV

X

ZY

YZ

2


FLEXION DEVIEE

00

00

00

NM

MM

VV

X

ZY

YZ

2


FLEXION COMPOSEE DEVIEE

00

00

00

NM

MM

VV

X

ZY

YZ

C’est la cas d’une panne qui transmet en compression les efforts du vent à une travée de stabilité.

2

GRAPHIQUES DES SOLLICITATIONS

pu

BA

F

x

yF

4,700 900900

Vy(x) (kN)

x

-4,458

4,458

-6,392

6,392

-8-6-4-20

8642

Mz(x) (kN.m)

x

4,605

-2,906-2,906

-8

-6

-4

-2

0

8

6

4

2

Le deuxième objectif est atteint, on connaît la distribution des efforts dans le solide.

3

DIMENSIONNEMENT Le troisième objectif est de dimensionner le solide en

équilibrant les contraintes et en limitant les déformations.

C’est le domaine de la résistance des matériaux.

Hypothèses sur le matériau :

Continuité : Le matériau ne présente pas de discontinuité de structure à l’intérieur des pièces considérées.

Homogénéité : La composition physico-chimique reste inchangée quelque soit le volume élémentaire considéré au sein du matériau.

Isotropie: Les propriétés mécanique sont les mêmes dans toutes les directions.

Hypothèses géométriques :

En RdM, les déplacements de la ligne moyenne sont petits devant les dimensions de la poutre. On calcule les sollicitations dans la configuration initiale.

Navier et Bernouilli : Les sections droites planes restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne déformée dans la déformation de la poutre.

Saint-Venant : Si l’on connaît les sollicitations N, V et M à gauche d’une section , on peut y déterminer ses contraintes.

3

Contrainte et Déformation

Si on prend un point quelconque dans un solide, son état de contrainte ou de déformation spatial, c’est pourquoi on

représente la contrainte et la déformation par un tenseur.

zyzxz

zyyxy

zxyxx

)(

zyzxz

yzyxy

xzxyx

Tenseur des contraintes

Tenseur des déformations

x

z

y

Loi de Hooke généralisée :

ISEE

1

3

Contrainte et DéformationCOMPRESSION

La contrainte qui s’exerce sur la

section droite est

x

N(x)

z

y

x

G

z

y

x

σG

y

Dans l’espace

σ

y

G

Dans le plan

( )AxNσ=

( )AExNε .=

La déformation de la section droite est

Attention aux instabilités, risque de flambement !

3

Contrainte et DéformationTRACTION

La contrainte qui s’exerce sur la face

droite est

x

N(x)

z

y

x

G( )AxNσ=

( )AExNε .=

La déformation de la face droite est

z

y

xσ

G

y

Dans l’espace

σ

y

G

Dans le plan

3

Contrainte et DéformationFLEXION SIMPLE


section droite est

( )yI

xMσ

Gz

Z

×=


G Mz(x)

x

z

y

x

Vy(x)

GZ

z

IE

yMε .

.=

z

y

x

σG

y

Dans l’espace

σ

y

G

Dans le plan

GZ

zz

IExM

dxdw

.)(=

La courbure de la section droite est

3

Contrainte et DéformationFLEXION DEVIEE


section droite est


G

GZ

zz

IExM

dxdw

.)(=

La courbure de la section droite est

Mz(x)

x

z

y

x

Vy(x)

Vz(x)

My(x)

Gy

y

Gz

z

IzM

I

yMσ .+

.=

GY

y

GZ

z

IEzM

IE

yMε .

.+.

.=

( )GY

yy

IExM

dxdw

.=

z

y

x

σG

y

Dans l’espace

3

Contrainte et DéformationFLEXION COMPOSEE


section droite est


Mz(x)

x

z

y

x

Vy(x)

N(x) ( )( )

yI

xM

AxNσ

Gz

Z

×+=

( )GZ

z

IE

yM

AExNε .

.+.=

Dans l’espace

Dans le plan

σ

y

G

z

y

x

σG

y

3

Contrainte et DéformationCISAILLEMENT


section droite est

z

y

x

τ

y

G

Dans le plan

x

z

y

x

Vy(x)

)(.

.= ybI

MVτ

Gz

Sy

1.= SGV

dxdv yv

Le déplacement du au cisaillement est

3

Pour le dimensionnement des éléments, il suffit de vérifier que

□ les contraintes ou les sollicitations calculées avec les chargements restent inférieures ou égales à

celles que peut supporter l’élément.

Scal ou σcal ≤ Sadm ou σadm

DIMENSIONNEMENT

□ les déplacements calculés avec les chargements restent inférieurs ou égaux à ceux donnés dans les

règlements.fcal ≤ fadm

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