Mécanique des fluides Module 6.2 : Ecoulement de PoiseuilleEPFLx+MF201x+T1... · Rappel: cisaillement d’un fluide 6 • Pour un fluide Newtonien de profil de vitesse u 1 (x 2)

Chapitre 6 : bilans

Mécanique des fluides

Module 6.2 : Ecoulement de Poiseuille

Christophe Ancey, François Gallaire et Marco Ramaioli

2 Mécanique des fluides

• Bilan de masse • Bilan intégral

• Interprétation de l’opérateur divergence

• Bilan de quantité de mouvement en

régime visqueux • Ecoulement de Poiseuille

• Lubrification

• Bilan de quantité de mouvement en

régime inertiel

Chapitre 6 : Bilans


Quizz

On remplace un tube de section R par une collection de tubes de

rayon a<<R. Le gradient de pression à appliquer pour faire

s’écouler le fluides à travers ce réseau de capillaire est:

1. (R/a)4 plus grand?

2. a/R plus petit?



Ecoulement dans un conduit circulaire

6

• On suppose l’écoulement indépendant de t de x et de θ

• On suppose l’écoulement unidirectionnel:

x x+dx

r

r+dr

r

R x

u(r)



6



stationnaire

x x+dx

r

r+dr

r

R x

u(r)



6



stationnaire parallèle

x x+dx

r

r+dr

r

R x

u(r)



6



stationnaire axisymétrique parallèle

x x+dx

r

r+dr

r

R x

u(r)


Bilan de forces selon (Ox)

6

x x+dx

r

r+dr



6

• Forces normales sur les parois latérales

p(x) p(x+dx)

x x+dx

r

r+dr



6


p(x) p(x+dx) σxr(r+dr)

-σxr(r)

x x+dx

r

r+dr

• Forces de cisaillement sur les parois périphériques



6


p(x) p(x+dx) σxr(r+dr)

-σxr(r)

x x+dx

r

r+dr



Rappel: cisaillement d’un fluide

6

• Pour un fluide Newtonien de profil de vitesse u1(x2)

x2

x1

σ12 u1



6


x2

x1

σ12 u1

contrainte tangentielle

(cisaillement)



6


x2

x1

σ12 u1

viscosité

dynamique


(cisaillement)


Généralisation à la géométrie axisymétrique

6

• Pour un fluide Newtonien de profil de vitesse ux(r)

• Attention: il faut ouvrir un formulaire pour trouver cette formule

r

x

σxr ux(r)

viscosité

dynamique


(cisaillement)



6



• Loi de contrainte visqueuse



6



• Loi de contrainte visqueuse


Ecoulement de Poiseuille

6

r r+dr

θ

θ+dθ r

r+dr

θ θ+dθ



6

• Forces de pression sur les parois cylindriques

r

r+dr

θ

θ+dθ r

r+dr

θ θ+dθ



6


r

r+dr

θ

θ+dθ r

r+dr

θ θ+dθ

• Projection des forces de pression sur les parois latérales



6


r

r+dr

θ

θ+dθ r

r+dr

θ θ+dθ

• Projection des forces de pression sur les parois latérales


Détermination du profil de vitesse

• La pression ne dépend pas de r et la vitesse ne dépend pas de x




• Intégration




• Intégration

• Adhérence à la paroi




• Intégration


• Condition de symétrie sur l’axe




• Intégration


• Condition de symétrie sur l’axe


Profil parabolique de Poiseuille

• Vérification dimensionnelle




• Vérification des signes




• Vérification des signes

• Profil parabolique


Quizz

Un fluide coule dans une conduite de section

circulaire: l’allure du profil de vitesse est:

1.

2.

3.


Relation débit/pression

• Profil



• Profil

• Débit



• Profil

• Débit



• Profil

• Débit

• Vitesse moyenne


Equilibre global des forces



• Force de frottement à la paroi




• Force de pression




• Force de pression


Quizz





Quizz





Quizz





Quizz





2. a/R plus petit?


Documents

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