Mecanique Des Milieux Continus. Aide Memoire - Modaressi - ECP - FR

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U.M .R. n° 8579

Mécanique des Milieux Continus

Aide Mémoire

Master-M2 MSROE

A.ModaressiLaboratoire de Mécanique des Sols, Structures et Matériaux

Ecole Centrale Paris

11 septembre 2006

2

Table des matières

1 Introduction au calcul tensoriel 71.1 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Tenseurs d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Manipulation des indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 Champs scalaire, vectoriel et tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.1 Champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.2 Champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.3 Champ tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.4 Divergence d’un vecteur ou d’un tenseur . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.5 Laplacien d’un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.6 Rotationnel ou Curl d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Milieu Continu 212.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Description du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1 Description lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.2 Description eulérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Transformations finies des milieux continus 253.1 Transformation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1 Vecteur matériel, Transport convectif . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.2 Transport d’un volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.3 Transport d’une surface orientée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 Déformation dans une transformation homogène . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.1 Dilatation dans une direction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.2 Glissement dans un couple de direction orthogonale . . . . . . . . . 27

3.3 Décomposition polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4 Tenseur de déformation de Green-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.5 Transformation homogène tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.5.1 Formules de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.5.2 Déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.6 Déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.7 Transformation infinitésiamale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.8 Gradient d’un champ de tenseurs sur la configuration actuelle . . . . . . . 293.9 Compatibilité géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3

4 TABLE DES MATIÈRES

4 Cinématique du Milieu Continu 314.1 Description lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1.1 Taux de déformation lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.1.2 Mouvement quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2 Description eulérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2.1 Dérivée d’un vecteur transporté par le mouvement . . . . . . . . . 324.2.2 Taux de déformation eulérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3 Étude du tenseur taux de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3.1 Mouvement rigidifiant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3.2 Taux d’allongement unitaire ou vitesse d’extension . . . . . . . . . 334.3.3 Mouvement quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3.4 Taux de dilatation volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3.5 Taux d’allongement unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3.6 Taux de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4 Compatibilité du champ de vitesse de déformation . . . . . . . . . . . . . . 354.5 Mouvement rigidifiant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.6 Transformation infinitésimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.7 Dérivées particulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.7.1 Dérivées particulaires en description de Lagrange . . . . . . . . . . 354.7.2 Dérivées particulaires en description d’Euler . . . . . . . . . . . . . 36

4.8 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.8.1 Description eulérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.8.2 Description lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Les Puissances Virtuelles et la Modélisation des Efforts 395.1 Efforts et état de contraintes sur un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2 Méthode des Puissances Virtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.3 Tenseur de contraintes de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.4 Théorème de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.5 Conditions aux limites naturelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6 Étude des Contraintes 456.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.2 Contraintes normale et tangentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.3 Réciprocité des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.4 Directions principales, contraintes principales . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.5 Invariants élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.6 Tenseur déviateur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.7 Invariants de s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.8 Contraintes sur la facette Octaédrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.9 Plan de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.10 État de contraintes remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.11 Critères de limite d’élasticité pour les matériaux isotropes . . . . . . . . . 49

6.11.1 Critère de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.11.2 Critère de von Misès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

TABLE DES MATIÈRES 5

6.12 Contraintes en description de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7 Thermodynamique des Milieux Continus 557.1 1er principe de la thermodynamique (conservation d’énergie) . . . . . . . . 557.2 2ème principe de la thermodynamique (bilan d’entropie) . . . . . . . . . . 567.3 Expressions lagrangiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

8 Lois de Comportement 598.1 Quelques définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598.2 Hypothèse de l’élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608.3 Transformation de Legendre-Fenchel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608.4 Matériau thermoélastique isotrope dans la configuration de référence . . . . 618.5 Thermoélasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8.5.1 Interprétation physique des coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . 618.6 Matériau thermoélastique linéaire isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628.7 Transformation infinitésimale et formulations eulériennes . . . . . . . . . . 638.8 Stabilité du matériau thermoélastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.9 Hypothèse des contraintes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.10 Hypothèse des déformations planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.11 Matériau thermoélastique orthotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.12 Matériau orthotrope de révolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658.13 Milieux avec dissipation intrinsèque non nulle . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6 TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1

Introduction au calcul tensoriel

1.1 Espace vectoriel

Soit E espace Euclidien sur <. Les points désignent les éléments de cet espace. Ladifférence de deux points représente un vecteur de l’espace vectoriel sous-jacent V .

Définition : L’espace V est un espace vectoriel Euclidien, si à chaque pair de vecteurs decet espace, correspond un scalaire obtenu par leur produit scalaire "·" et un vecteurobtenu par leur produit vectoriel "∧" (ou "×").

Le produit scalaire de deux vecteurs a et b :

” · ” : V × V → <(a, b) → a · b un scalaire (1.1)

Le produit vectoriel de deux vecteurs a et b présenté par a ∧ b :

′∧′ : V × V → V (1.2)a, b → c = a ∧ b un vecteur (1.3)

Ces produits sont des formes bilinéaires avec les propriétés suivantes :

P1 symétrie :a · b = b · a (1.4)

P2 bilinéaire :

(αa + βb) · c = αa · c + βb · c ∀a, b, c ∈ V 3et∀α, β ∈ <2 (1.5)

P3 défini-positive :a · a ≥ 0 ∀a ∈ V (1.6)

eta · a = 0 si et ssi a = 0 (1.7)

7

8 CHAPITRE 1. INTRODUCTION AU CALCUL TENSORIEL

Notation : : La norme de a sera notée par |a| :

|a|2 = a · a (1.8)

pour deux vecteurs orthonormés a et b :

a · b = 0 (1.9)

Le produit scalaire est une forme bilinéaire avec les propriétés suivantes :

P4 antisymétrique :a ∧ b = −b ∧ a (1.10)

P5 bilinéaire :

(αa + βb) ∧ c = αa ∧ c + βb ∧ c ∀a, b, c ∈ V 3 et ∀α, β ∈ < (1.11)

P6 orthogonalité :(a ∧ b) · a = 0 (1.12)

P7 norme de |a ∧ b| :|a ∧ b|2 = |a|2|b|2 − (a · b)2 (1.13)

Définition : Une base orthonormée em, avec m = 1, 3 telle que :

ei · ej = δij (1.14)

Un repère cartésien consiste en une base orthonormé em,m = 1, 3 et un point Oappelé origine.

Notation :

δij =

1 si i = j0 si i 6= j

(1.15)

Notation :ei ∧ ej = ±εijkek (1.16)

avec :

(1.17)

εijk =

1 si permutation cyclique de 1, 2, 3−1 si permutation non cyclique de 1, 2, 30 si permutation quelconque

(1.18)

ε123 = ε231 = ε312 = 1 (1.19)

Définition : le produit tripler [a, b, c] = a · (b ∧ c) = (a ∧ b) · c = ±εijkaibjck

1.1. ESPACE VECTORIEL 9

Quelques opérations

Considérons le point M(x1, x2, x3) avec :

x = OM = x1e1 + x2e2 + x3e3

x = xi · ei

1. Le produit scalaire de deux vecteurs a et b :

a · b = (aiei) · (bjbj) (1.20)= aibjei · ej (1.21)= aibjδij (1.22)= aibi (1.23)= |a| · |b|Cosθ

2. Les composantes d’un vecteur s’obtiennent grâce au produit scalaire :

am = a · em (1.24)

3. Le produit vectoriel de deux vecteurs a et b :

a ∧ b = (aiei) ∧ (bjbj) (1.25)= aibjei ∧ ej (1.26)= aibjεijkek (1.27)

a ∧ b = c =

∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣∣(1.28)

Définition Base directe : On choisi une orientation de l’espace vectoriel telleque : [e1, e2, e3] = +1 alors e3 = e1 ∧ e2

4. Symbole de Kronecker δij

δij = ei · ej =

1 si i = j0 si i 6= j

(1.29)

δii = δ11 + δ22 + δ33 = 3 (1.30)δ1mam = δ11a1 + δ12a2 + δ13a3 = a1 (1.31)δimam = ai (1.32)

δ1mAmj = δ11A1j + δ12A2j + δ13A3j = A1j (1.33)δimAmj = Aij (1.34)δimδmj = δij (1.35)


5. Symbole de permutation εijk

ε132 = ε321 = ε213 = −1 (1.36)ε112 = ε111 = 0 (1.37)εijk = εjki = εkij = −εikj = −εkji = −εjik (1.38)

6. Quelques formules liées au produit vectoriel :

a ∧ (b ∧ c) = (a · c) · b− (a · b) · c (1.39)

(a ∧ d) · (b ∧ c) = (a ∧ b)(d ∧ c)− (a ∧ c)(b ∧ d) (1.40)

Formules de Jacobi :

a ∧ (b ∧ c) + b ∧ (c ∧ a) + c ∧ (a ∧ b) = 0 (1.41)

1.2 Tenseurs d’ordre 2

Un tenseur d’ordre deux A, est une application linéaire de V dans V , qui à tout vecteura associe le vecteur b :

A : V → V

a → A · a = b (1.42)

Les tenseurs d’ordre 0 sont des scalaires, les tenseurs d’ordre 1 les vecteurs.

Propriétés :

A · a = c (1.43)A · b = d (1.44)

A · (a + b) = A · a + A · b (1.45)A · (αa) = αA · a (1.46)

A · (αa + βb) = αA · a + βA · b (1.47)(1.48)

si A · a = τ · a ⇒ A = τ (égalité des tenseurs)

Définition : Le produit tensoriel "⊗" de deux vecteurs est un tenseur d’ordre 2 :

a⊗ b : V → V

u → (a⊗ b)(u) = a(b · u) (1.49)

Notation : (a⊗ b)(u) = (a⊗ b) · u = a(b · u)

Propriété :[a⊗ b(u)] · v = (a · v)(b · u) = v · a⊗ b · u (1.50)

1.2. TENSEURS D’ORDRE 2 11

Exemples : 1. action du tenseur ei ⊗ ej sur le vecteur a

ei ⊗ ej(a) = ei ⊗ ej · apep (1.51)= apei ⊗ ej · ep (1.52)= apeiδjp (1.53)= ajei (1.54)

2. tenseur d’identité : I = ei ⊗ ei

3. I · v = ei ⊗ ei · v = vjej = v

Le fait de considérer A comme une application linéaire, et non comme un simple tableau,lui confère un caractère intrinsèque, c-à-d indépendant du repère choisi pour évaluerles composantes des vecteurs. On vérifie que la donnée de A est équivalente, sur labase em,m = 1, 3, à celles de ses composantes Aij qui s’obtiennent sur la base àpartir du produit scalaire.

ej(A · ei) = Aij (1.55)b · (A · a) = biei · (A · ajej) = biajAij (1.56)

= b · ei · a · ejAij (1.57)= b · (ei ⊗ ej)Aij · a (1.58)

1. b · (A · a) = (b · A) · a = b · A · a2. A = Aijei ⊗ ej

Sommation des tenseurs

(A + B) · a = A · a + B · a (1.59)C = A + B ⇒ Cij = Aij + Bij (1.60)

Produit des tenseurs

(AB) · a = A(B · a) (1.61)(AB)ij = AimBmj (1.62)

A2 = A A (1.63)A3 = A A A (1.64)

Transposé d’un tenseur

a · A · b = b · AT · a (1.65)ei · A · ej = ej · AT · ei (1.66)

Aij

= ATji

(1.67)

(AB)T = BT AT (1.68)

Dans un repère orthonormé :ATij = Aji.


Changement de base Un tenseur est défini par l’image sur une base ei

A : ei → e′i (1.69)

A = e′i ⊗ ei (1.70)A · ei = e′j ⊗ ej · ei = e′jδij = e′i (1.71)

A · ei = Apqep ⊗ eq · ei = Apqepδqi = Apiep (1.72)Apiep = e′i (1.73)

Dans un autre base e′m,m = 1, 3 reliée à la première em,m = 1, 3 par unerotation Q telle que :

e′m = Q(em) = Q · em (1.74)

les composantes sont transformées selon la règle :

A′ij = e′i·A(e′j) = e′i·A·e′j = (Q·ei)·A·(Q(ej)) = (Q·ei)·A(Q·ej) =

∑

m,n=1,3

QmiAmnQnj

(1.75)Invariants d’un tenseur On peut démontrer que les égalités suivantes sont valables

pour tout triplet [a, b, c] et que IA, IIA et IIIA sont invariantes par rapport à labase de l’espace :

∀a, b, c ∈ V (1.76)IA[a, b, c] = [a, b, A · c] + [a,A · b, c] + [A · a, b, c] (1.77)

IIA[a, b, c] = [a,A · b, A · c] + [A · a,A · b, c] + [a,A · b, A · c] (1.78)IIIA[a, b, c] = [A · a, A · b, A · c] (1.79)

(1.80)

ou encore

IA = tr(A) (1.81)IIIA = detA (1.82)

On a alors :

det(αA) = α3det(A) (1.83)det(A ·B) = det(A)det(B) (1.84)

det(I) = 1 (1.85)

detA = 0 ↔ ∃n tel que A · n = 0 (1.86)

Inverse d’un tenseur : L’inverse d’un tenseur A est B tel que :

BA = I (1.87)B = A−1 (1.88)

(AT )−1 = (A−1)T (1.89)(B A)−1 = A−1B−1 (1.90)

A · a = b ⇒ a = A−1b (1.91)detA · detA−1 = 1 (1.92)

detA−1 et A−1 définis si detA 6= 1.


Tenseur adjoint :A∗ · (a ∧ b) = (A · a) ∧ (A · b) ∀a, b ∈ V (1.93)

si A est inversible :

A∗T · (a ∧ b) · c = [AT · a,AT · b, c] (1.94)= [AT · a,AT · b, I · c] (1.95)= [AT · a,AT · b, AT (A−1)T c] (1.96)= det(AT )[a, b, (A−1)T · c] (1.97)= det(AT )(a ∧ b) · (A−1)T · c (1.98)= det(AT )A−1 · (a ∧ b) · c (1.99)

donc :A∗ = det(A)A−1 (1.100)

etA−1 = (detAT )−1AT∗ (1.101)

Tenseur orthogonal Le tenseur orthogonal est une transformation linéaire où le vecteurconserve sa longueur :

|Qa| = |a| (1.102)

|Qb| = |b| (1.103)

(Qb)T · (Qa) = bT QT Qa = bT (QT Q)a (1.104)

= bT a = bT Ia (1.105)QT Q = I ⇒ QT = Q−1 (1.106)

Q QT = QT Q = I (1.107)

QimQjm = QmiQmj = δij (1.108)|Q|2 = |I| = 1 (1.109)

⇒ |Q| = ±1 =

+1 rotation−1 reflexion

(1.110)

Tenseurs symétriques et antisymétriques – Le tenseur A est symétrique si : Aij =AT

ij = Aji

– Le tenseur A est antisymétrique si : Aij = −ATij = −Aji

A = AS + AA (1.111)

AS =A + AT

2(1.112)

AA =A− AT

2(1.113)


Valeurs propres et vecteurs propres – un vecteur propre transforme un tenseur enun vecteur parallèle à lui même

A · a = λa (1.114)

– λ est la valeur propre– Le vecteur propre peut avoir n’importe quelle longueur. Très souvent on le nor-

malise à 1.– Système de trois équations , trois inconnus

A · n = λn (1.115)(A− λI) · n = 0 (1.116)

– solution triviale n = 0– solution non triviale est obtenue en résolvant l’équation caractéristique du degré

3det|A− λI| = 0 (1.117)

– donc :∀a, b, c; [(A− λI) · a, (A− λI) · b, (A− λI) · c] = 0 (1.118)

forme trilinéaire :

0 = − λ3[a, b, c] (1.119)+ λ2[a, b, A · c + [a,A · b, c]] + [A · a, b, c] (1.120)− λ[a,A · b, A · c] + [A · a,A · b, c] + [a,A · b, A · c] (1.121)+ [A · a,A · b, A · c] (1.122)

(1.123)

λ3 − λ2IA + λIIA − IIIA = 0 (1.124)

– λ1, λ2, λ3

– ni obtenu pour λi

– ni12+ ni

22+ ni

32

= 1

avec :

IA = Tr(A) (1.125)

IIA =

∣∣∣∣∣A11 A12

A21 A22

∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣A22 A23

A32 A33

∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣A11 A13

A31 A33

∣∣∣∣∣ (1.126)

=1

2(AiiAjj − AijAji) (1.127)

=1

2[(TrA)2 − Tr(A2)] (1.128)

IIIA =

∣∣∣∣∣∣∣

A11 A12 A13

A21 A22 A23

A31 A32 A33

∣∣∣∣∣∣∣= det[A] (1.129)


Comme les valeurs principales ne dépendent pas du choix de la base, les II , III et IIII

n’y dépendent pas non plus. Alors :

IA = λ1 + λ2 + λ3 (1.130)IIA = λ1λ2 + λ2λ3 + λ3λ1 (1.131)

IIIA = λ1λ2λ3 (1.132)

Directions principales et valeurs principales Si le tenseur est réel et symétrique,toutes ses valeurs propres sont réelles. On dit alors que les valeurs sont principales.Les vecteurs propres sont des directions principales. Elles sont orthogonales entreelles.

Matrice d’un tenseur dans la base principale :

A = λini ⊗ ni (1.133)

forme matricielle

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

(1.134)

1.2.1 Manipulation des indices

– Matrice d’un tenseur

A =

A12 A12 A13

A21 A22 A23

A32 A32 A33

(1.135)

– Composantes d’un tenseur

A · e1 = A11e1 + A21e2 + A31e3 (1.136)A · e2 = A12e1 + A22e2 + A32e3 (1.137)A · ei = Ajiej (1.138)

A11 = e1 · (A · e1) (1.139)A12 = e1 · (A · e2) (1.140)Aij = ei · (A · ej) (1.141)

– Composantes d’un vecteur transformé

b = A · a = A · (aiei) (1.142)b = A · (a1e1 + a2e2 + a3e3) (1.143)b = a1A · e1 + a2A · e2 + a3A · e3 (1.144)

b1 = e1A · a = a1A11 + a2A12 + a3A13 (1.145)b2 = e2A · a = a1A21 + a2A22 + a3A23 (1.146)b3 = e3A · a = a1A31 + a2A32 + a3A33 (1.147)bj = ejA · a = aiAji = Ajiai (1.148)bk = Akiai (1.149)


Produit tensoriel de deux vecteurs

a⊗ b = aibj (1.150)

e1 ⊗ e1 =

1 0 00 0 00 0 0

(1.151)

e1 ⊗ e2 =

0 1 00 0 00 0 0

(1.152)

e2 ⊗ e1 =

0 0 01 0 00 0 0

(1.153)

a⊗s b =1

2(aibj + ajbi) (1.154)

A = A11e1 ⊗ e1 + A12e1 ⊗ e2 (1.155)+ A13e1 ⊗ e3 + ... (1.156)

A = Aijei ⊗ ej (1.157)

Sommation des tenseurs

(A + B) · a = A · a + B · a (1.158)C = A + B ⇒ Cij = Aij + Bij (1.159)

Produit des tenseurs

(AB) · a = A(B · a) (1.160)(AB)ij = AimBmj (1.161)

A2 = A A (1.162)A3 = A A A (1.163)

– Produit tensoriel de deux vecteurs

a⊗ b = aibj (1.164)

e1 ⊗ e1 =

1 0 00 0 00 0 0

(1.165)

e1 ⊗ e2 =

0 1 00 0 00 0 0

(1.166)

e2 ⊗ e1 =

0 0 01 0 00 0 0

(1.167)

a⊗s b =1

2(aibj + ajbi) (1.168)


A = A11e1 ⊗ e1 + A12e1 ⊗ e2 (1.169)+ A13e1 ⊗ e3 + ... (1.170)

A = Aijei ⊗ ej (1.171)

– Substitution

ai = Uimbm (1.172)bi = Vimcm = bm = Vmncn (1.173)ai = UimVmncn (1.174)

– Multiplication

p = ambm (1.175)q = cmdm (1.176)

pq = ambmcndn 6= amqmcmdm (1.177)

– Factorisation

Aijnj − λni = 0 (1.178)ni = δijnj (1.179)

Aijnj − λδijnj = (Aij − λδij)nj = 0 (1.180)

– Contraction : sommation sur deux indices Aii est la contraction de Aij

– Matrice de Transformation entre deux systèmes de coordonnées cartésiennes

e′i

= QT ei = Qmiem (1.181)e′1 = Q11e1 + Q21e2 + Q31e3 (1.182)e′2 = Q12e1 + Q22e2 + Q32e3 (1.183)e′3 = Q13e1 + Q23e2 + Q33e3 (1.184)

QimQjm = QmiQmj = δij (1.185)Q11 = e1Qe1 = e1 · e′1 = Cosinus d’angle entre e1 et e′1(1.186)Q12 = e1Qe2 = e1 · e′1 = Cosinus d’angle entre e1 et e′2(1.187)Q21 = e2Qe1 = e2 · e′1 = Cosinus d’angle entre e2 et e′1(1.188)

Qij =

Q11 Q12 Q13

Q21 Q22 Q23

Q31 Q32 Q33

(1.189)

– Transformation d’un vecteur

ai = a · ei (1.190)a′i = a · e′i = aQmiem = Qmi(aem) = Qmiam (1.191)a′ = QT · a (1.192)a = Q · a′ (1.193)


– Transformation d’un tenseur

Aij = eiAej (1.194)A′

ij = e′iAe′j (1.195)e′i = Qmiem (1.196)

A′ij = Qmi(emAQnj)en = QmiQnjemAen = QmiQnjAmn (1.197)

A′ = QT AQ (1.198)A = QA′QT (1.199)

A′ii = Aii (1.200)

1.3 Champs scalaire, vectoriel et tensoriel

1.3.1 Champ scalaire

Comme la densité, la température,le potentiel éléctrique, la pression,...

ϕ = f(x1, x2, x3) (1.201)dϕ = ϕ(r + dr)− ϕ(r) = ∇ϕ · dr = ∇ϕ · dr (1.202)

= ∇ϕ · drer (1.203)dϕ

dr= ∇ϕ · er (1.204)

∇ϕ = gradϕ =∂ϕ

∂x1

e1 +∂ϕ

∂x2

e2 +∂ϕ

∂x3

e3 (1.205)

1.3.2 Champ vectoriel

Comme le déplacement, la vitesse, l’ accélération,le flux,...

dv = v(r + dr)− v(r) = ∇v · dr = ∇v · drer (1.206)

(dv

dr)suivant r = ∇v · er (1.207)

(dv

dr)suivante1

= ∇v · e1 (1.208)

(∇v)11 = e1∇ve1 = e1(∂v

∂x1

) =∂v

∂x1

(e1 · v) (1.209)

(∇v)ij =∂vi

∂xj

(1.210)

1.3.3 Champ tensoriel

Les contraintes, les déformations, les vitesses de déformations ou de contraintes,...

dτ = τ((x) + (dx))− tau((x)) · (dx) (1.211)

1.3. CHAMPS SCALAIRE, VECTORIEL ET TENSORIEL 19

dτ = = [∂

∂xp

]ei ⊗ ej(ep · dx) (1.212)

= [∂

∂xp

]ei ⊗ ej ⊗ ep (1.213)

∇τ =∂tau

∂xp

⊗ ep (1.214)

1.3.4 Divergence d’un vecteur ou d’un tenseur

divv = tr(∇v) =∂vi

∂xi

(1.215)

divA· =∂Aim

∂xm

ei (1.216)

1.3.5 Laplacien d’un scalaire

∇2ϕ = div(gradϕ) =∂2ϕ

∂x12

+∂2ϕ

∂x22

+∂2ϕ

∂x32

(1.217)

1.3.6 Rotationnel ou Curl d’un vecteur

Curlv = ∇× v =

e1 e2 e3∂

∂x1

∂∂x2

∂∂x3

v1 v2 v3

= εijkvk,j (1.218)


Chapitre 2

Milieu Continu

2.1 Introduction

But :

Modélisation de la "Réalité" par une formulation mathématiquequi permet l’étude mécaniquetant théorique qu’expérimentale

du milieu continu.

Milieu continu ? Volume Élémentaire Représentatif (VER)Point matériel , particule

– solide qui se déforme– liquide qui coule– volume du gaz qu’on comprime ou qui s’étend– matériaux granulaires ?

Trois ingrédients :

Fig. 1 – VER et le changement d’échelle

21

22 CHAPITRE 2. MILIEU CONTINU

Fig. 2 – VER

– Lois de conservation– Équilibre (quantité de mouvement)– Masse– Énergie

– Lois de comportement– Conditions de géométries et la compatibilité des déplacements et les déformations⇒ Système d’équations différentielles qu’on résout grâce aux conditions aux limites et

les conditions initiales.– Référentiel : Ensemble des points de l’espace euclidien de l’observateur.– Repère : Pour repérer les points spatiales des particules d’un système dans un

référentiel.changement de repère ⇔ changement de coordonnéeschangement de référentiel ⇔ changement de l’observateurObjectivité : Carcatère intrinsèque vis a vis du changement de référentiel.

2.2 Description du mouvement

OM = x = (x1, x2, x3) (2.1)OM0 = X = (X1, X2, X3) (2.2)

2.2.1 Description lagrangienne

x = φ(X, t) (2.3)X = φ(X, 0) (2.4)

X = ψ(x, t) ∀t, ∀M ∈ Ωt,∀M0 ∈ Ω0 (2.5)

2.2. DESCRIPTION DU MOUVEMENT 23

Hypothèses de continuité :

• ψ = φ−1 bijection• M0M

′0 restent voisins (MM ′)

• Ω0 → Ωt domaine matériel (transporté par le mouvement)• ∂Ω0 → ∂Ωt surface matérielle (surface transportée par le mouvement)• x0 ∈ ∂Ω0 → x ∈ ∂Ωt frontière est une surface matérielle• Jiα = Dxi

DaαJacobien de la transformation

J déterminant de la matrice Jacobienne Jiα

• 0 < J < +∞ J(x, 0) = 1

v(X, t) = ∂tx = ∂tφ(X, t) (2.6)γ(X, t) = ∂ttφ(X, t) (2.7)

(2.8)

Pour tout champs scalaire, vectoriel ou tensoriel B = B(X, t).

2.2.2 Description eulérienne

v = v(x, t) (2.9)γ = γ(x, t) = ∂tv (2.10)

Pour tout champs scalaire, vectoriel ou tensoriel b = b(x, t).1. On vérifie que la connaissance de v permet de connaître le trajectoire :

dx

dt= v(x, t) avec x(t = 0) = X (2.11)

Il s’agit d’un système de 3 équations différentielles de fonctions scalaires inconnuesx1, x2, x3 de la variable t

2. Lignes de courant : Des lignes enveloppes du champ des vecteurs v à un instantdonné T . Elles constituent une famille de courbes géométriques à 2 paramètres. Lesystème différentiel de 2 équations en x1, x2, x3 les décrivant est donné par :

dx1

v1(x, T )=

dx2

v2(x, T )=

dx3

v3(x, T )(2.12)

3. Lignes d’émission : Lieu des particules passant par point P. Son équation est obtenuepar :

x = φ(ψ(xp, t′), T ) t0 ≤ t′ ≤ T (2.13)

4. Mouvement stationnaire ou permanent : La vitesse est indépendante de t(v(x, t) = v(x)).

24 CHAPITRE 2. MILIEU CONTINU

Chapitre 3

Transformations finies des milieuxcontinus

– Transport convectif : L’expression de l’évolution d’un domaine entraîné par lemouvement.

– Déformation : Les "changements" subits par la géométrie d’un système dans unetransformation entre deux configurations.

3.1 Transformation homogène

x = φ(X, t) = F (t)X + c(t) (3.1)

on doit avoir :0 < J(x, t) = det[F (t)] < +∞ ∀t (3.2)

Cette définition est invariante par changement de repère. F définit une application linéairede l’espace en raison du caractère affine de la transformation.

3.1.1 Vecteur matériel, Transport convectif

v = FV (3.3)

Le tenseur F définit la transformation entre la configuration initiale K0 et la configurationactuelle Kt

3.1.2 Transport d’un volume

[A,B,C] =

A1 A2 A3

B1 B2 B3

C1 C2 C3

(3.4)

[a, b, c] = [F (t)A,F (t)B,F (t)C] (3.5)

25

26 CHAPITRE 3. TRANSFORMATIONS FINIES DES MILIEUX CONTINUS

[a, b, c] = detF (t)[A,B,C] (3.6)[A, B,C] = Ω0 (3.7)[a, b, c] = Ωt (3.8)

Ωt = detF (t)Ω0 (3.9)

J = detF (t) =Ωt

Ω0

dilatation volumique (3.10)

Ωt − Ω0

Ω0

= J − 1 variation du volume (3.11)

3.1.3 Transport d’une surface orientée

n 6= FN (3.12)b = FB (3.13)

S0 = AXN (3.14)St = Axn (3.15)Ω0 = AXN ·BT (3.16)Ωt = Axn · bT = Axn ·BT F T = det[F ]AXNBT ∀B (3.17)

AxnF T = det[F ]AXN ∀B (3.18)Axn = det[F [F ]−T AXN (3.19)

3.2 Déformation dans une transformation homogène

v = FV = V F T (3.20)w = FW (3.21)

v · w = V F T FW = V CW (3.22)avec

C = F T F symétrique, défini positif (3.23)

C : tenseur de Cauchy.

3.2.1 Dilatation dans une direction

W = V (3.24)|v|2 = V CV (3.25)

λ(V ) =|v||V | =

(V CV )1/2

|V | (3.26)

λ(V )− 1 est l’allongement unitaire

3.3. DÉCOMPOSITION POLAIRE 27

3.2.2 Glissement dans un couple de direction orthogonale

|v · w| = |v| · |w| cos(π

2− θ) (3.27)

sinθ =V CW

(V CV )1/2(WCW )1/2(3.28)

exemple 1 :

λ(e1) =√

C11 (3.29)exemple 2 :

V = e1 (3.30)W = e2 (3.31)

sin θ =C12√C11C22

(3.32)

si θ = 0, deux vecteurs ⊥, restent ⊥ après transformation ⇒ notion de la base principaleet les vecteurs principaux. C est diagonal dans cette base.

3.3 Décomposition polaire

F = RU = V R (3.33)R(t) : tenseur de rotation (3.34)

U : tenseur de déformation pure (3.35)C = F T F = UT RT RU = UT U = U2 (3.36)

(3.37)

– La transformation du système est constituée d’une rotation composé avec une appli-cation linéaire admettant les directions principales du tenseur des dilatations avecdes valeurs propres positives.

– U et C ont les mêmes directions principales– U est la déformation pure du système.– Les directions principales du tenseur des dilatations dans une configuration sont

transportées convectivement d’une autre configuration selon les directions orthogo-nales.

3.4 Tenseur de déformation de Green-Lagrange

v · w − V ·W = V (F T F − I)W = 2V LW (3.38)avec

L =1

2(F T F − I) =

1

2(C − I) (3.39)


– L a les mêmes directions principales que C.– Si la transformation est une isométrie directe (F est une matrice de rotation), on a

une transformation rigidifiante :F T F = I ⇒ L = C − I = 0– Le tenseur des déformations de Green-Lagrange a évidemment les mêmes direc-

tion principales que le tenseur des dilatations. Ses valeurs principales sont appeléesdéformations principales :

Li =1

2(λ2

i − 1) (3.40)

où les λi sont les valeurs principales du tenseur des dilatations– Les glissement sont : sin θ = L12√

(1+L11)(1+L22)

3.5 Transformation homogène tangente

C’est le cas général de la déformation d’un milieu continu. On remplace localement enchaque point M0 de K0 la transformation par une transformation homogène fonction dem0, qui lui est tangente.

x′i = (∂φi

Xj

(X, t)X ′j)) + (xi − ∂φi

∂Xj

(X, t)Xj)) + |M0M′0| (M0,M

′0) (3.41)

avec limM ′

0→M0

(M0,M′0) = 0 (3.42)

Fij(X, t) =∂φi

∂Xj

(X, t) (3.43)

F (X, t) =∂φi

∂Xj

(X, t)ei ⊗ ej (3.44)

F (X, t) = ∇Xφ(X, t) gradient de la transformation enM0 (3.45)

3.5.1 Formules de transportTransport d’un vecteur dM = F (X, t) · dM0

Transport d’un volume dΩt = J(X, t)dΩ0

Transport d’une surface orientée da = J(X, t)F−T (X, t) · dA0

3.5.2 DéformationsTenseur des dilatations

dM · dM ′ = dM0 · C(X, t) · dM ′0

C(X, t) = F (X, t)T F (X, t)

Tenseur des déformations de Green-Lagrangee(X, t) = 1

2(F (X, t)T F (X, t)− I(X, t))

ds2 − ds20 = 2dM0 · e(X, t) · dM0

avec : ds = |dM |, ds0 = |dM0|

3.6. DÉPLACEMENTS 29

3.6 DéplacementsLe déplacement de la particule situé en M0 dans K0, entre les configurations K0 et Kt

est :

u(X, t) = M0M = x−X = ξ(X, t) (3.46)F (X, t) = ∇Xφ(X, t) = I +∇Xu(X, t) (3.47)

e(X, t) =1

2(∇Xu(X, t) +∇Xu(X, t)T +∇Xu(X, t)T∇Xu(X, t)) (3.48)

Relation non linéaire entre le champ de déplacement et le champ de déformation deGreen-Lagrange.

3.7 Transformation infinitésiamale

‖∇Xu(X, t)‖ ¿ 1 ∀M0 ∈ Ω0 (3.49)

ε(X, t) =1

2(∇Xu(X, t) +∇Xu(X, t)T )) (3.50)

J = detF = det(I +∇Xu) (3.51)linéarisé J = 1 + tr(∇Xu) = 1 + div(u) (3.52)

dΩt = JdΩ0 = (1 + div(u))dΩ0 (3.53)dΩt − dΩ0

dΩ0

= div(u) (3.54)

3.8 Gradient d’un champ de tenseurs sur la configura-tion actuelle

T (x, t) = T (ψ(x, t), t) (3.55)T (x, t) = T (X, t) (3.56)

x = φ(X, t) = X + u(X, t) (3.57)∇XT (X, t) = gradxT (x, t) · ∇Xφ(X, t) (3.58)

∇XT (X, t) = gradxT (x, t) + gradxT (x, t) · ∇Xu(X, t) (3.59)

Pour les transformations infinitesimales, on peut confondre les deux opérateurs :

∇ et grad

en particulier

∇Xu(X, t) et gradxu(x, t)


3.9 Compatibilité géométrique– Sont les déformations compatibles avec la continuité du milieu ?– La condition nécessaire et suffisante pour qu’un champ de vecteur soit un champ

de gradient (de fonction scalaire)sur un domaine connexe est : rotationnel nul. Lesscalaires sont les composantes de u, et les vecteurs sont les colonnes du tenseurdéformations.

δmkiδphjεij,hk = 0 (3.60)2ε23,23 = ε33,22 + ε22,33 (3.61)

+permutation circulaire (3.62)ε13,23 − ε12,33 − ε33,21 + ε32,31 = 0 (3.63)

+permutation circulaire (3.64)

Chapitre 4

Cinématique du Milieu Continu

4.1 Description lagrangienne

x = F (t)X + c(t) ∀t ∈ [0, T ] (4.1)– Dérivée particulaire : dérivée par rapport au temps d’une grandeur attachée à un

élément matériel, en suivant la particule dans son mouvement.– En déscription lagrangienne identique à la dérivéé partielle

V (X, t) =∂x(X, t)

∂t=

dx(X, t)

dt(4.2)

V (X, t) =dF (t)

dt.X +

dc(t)

dt(4.3)

V (X, t) = F (t).X + c(t) (4.4)

Dérivée d’un vecteur transporté par le mouvement :

w = F ·W (4.5)dw

dt= w = F ·W (4.6)

Dérivée d’un volume transporté par le mouvement :

Ωt = detF (t)Ω0 = J(t)Ω0 (4.7)

Ωt = detF (t)Ω0 = J(t)Ω0 (4.8)

J =˙

detF (t) 6= detF (t) (4.9)

4.1.1 Taux de déformation lagrangien

v · w = V · C(t) ·W = V · (I + 2e) ·W (4.10)˙v · w = V · (F T

(t) · F (t) + F T (t)F (t)) ·W (4.11)˙v · w = 2V · e(t) ·W (4.12)

31

32 CHAPITRE 4. CINÉMATIQUE DU MILIEU CONTINU

Le tenseur e est appelé tenseur taux de déformation lagrangien.

e(t) =1

2(F

T(t) · F (t) + F T (t)F (t)) (4.13)

4.1.2 Mouvement quelconque

F (X, t) = ∇Xφ(X, t) (4.14)

V (X, t) =∂φ

∂t(X, t) (4.15)

F (t) = ∇XV (X, t) (4.16)˙

dM = ∇XV (X, t) · dM0 (4.17)˙

dΩt = J(X, t)dΩ0 (4.18)

e(X, t) =1

2(∇XV (X, t)T · ∇Xφ(X, t) +∇XV (X, t)T∇Xφ(X, t)) (4.19)

4.2 Description eulérienne

x = F (t)X + c(t) (4.20)v = v(x, t) (4.21)

v(x, t) = F (t).X + c(t) (4.22)

= F (t).F−1x− F (t).F−1c + c(t) (4.23)∀t ∈ [0, T ]

K(t) = F (t).F−1 (4.24)v(x, t) = K(t) · x + V

0(t) (4.25)

v est une fonction affine de x

4.2.1 Dérivée d’un vecteur transporté par le mouvement

w = F (t) · F−1(t) · w (4.26)w = K(t) · w (4.27)

Taux de dilatation volumique

Ωt = JJ−1Ωt (4.28)JJ−1 = tr(K(t)) (4.29)

4.3. ÉTUDE DU TENSEUR TAUX DE DÉFORMATION 33

4.2.2 Taux de déformation eulérien

˙w ·m = w ·m + w · m (4.30)= w · (KT (t) + K(t)) ·m (4.31)= 2w ·D(t) ·m (4.32)

D(t) =1

2(KT (t) + K(t)) (4.33)

D(t) est le tenseur de taux de déformation eulérien ou vitesse de déformation

D(t) = F−T (t) · e(t) · F−1(t) (4.34)

4.3 Étude du tenseur taux de déformation

4.3.1 Mouvement rigidifiant

v(x, t) = ω(t)×OM + v0(t) (4.35)v(x, t) = ω(t) · x + v0(t) (4.36)

où ω est le tenseur du second ordre antisymétrique associcié au vecteur ω.

D(t) = O (4.37)

4.3.2 Taux d’allongement unitaire ou vitesse d’extension

˙|w||w| =

w ·D(t) · w|w|2 (4.38)

pour w = e1 (4.39)˙|w||w| = d11 (4.40)

˙w ·m = 2w ·D(t) ·m = |w||m|θ (4.41)pour w = e1 et m = e2 (4.42)

θ = 2d12 (4.43)pour les directions principales θ = 0 (4.44)


4.3.3 Mouvement quelconque

˙dM = gradxv(x, t) · dM (4.45)

K(x, t) = gradxv(x, t) (4.46)˙

dM = ∇XV (X, t) · dM0 (4.47)

= ∇XV (X, t) · F−1(X, t) · dM (4.48)

4.3.4 Taux de dilatation volumique

˙dΩt = dΩttr(K(x, t)) (4.49)˙

dΩt

dΩt

= divv(x, t) (4.50)

Tau ou vitesse de déformation˙

dM · dM ′ = 2dM ·D(x, t) · dM ′ (4.51)

D(x, t) =1

2(gradxv(x, t) + gradxv

T (x, t)) (4.52)

4.3.5 Taux d’allongement unitaire

˙ds

ds= d11(x, t) (4.53)

où ds = |dM | (4.54)et d11 = e1 ·D(x, t) · e1 (4.55)

Taux de glissement

θ = 2d12(x, t) (4.56)

Le trièdre orthogonal des directions principales de D(x, t) reste orthogonal.

4.3.6 Taux de rotation

Ω(x, t) =1

2(gradxv(x, t)− gradxv

T (x, t)) (4.57)

∀dM ∈ Kt Ω(x, t) · dM = Ω(x, t)× dM (4.58)

Ω(x, t) =1

2rotv(x, t) (4.59)

Ω(x, t) est le vecteur vitesse de rotation instantanée du trièdre des directions principalesde D(x, t), à l’instant t dans le transport par le mouvement.

4.4. COMPATIBILITÉ DU CHAMP DE VITESSE DE DÉFORMATION 35

4.4 Compatibilité du champ de vitesse de déformation

δmkiδphjDij,hk = 0 (4.60)2D23,23 = D33,22 + D22,33 (4.61)+permutation circulaire (4.62)

D13,23 −D12,33 −D33,21 + D32,31 = 0 (4.63)+permutation circulaire (4.64)

4.5 Mouvement rigidifiant

D(x, t) = 0 (4.65)Ω(x, t) = ω(t) antisymétrique arbitraire (4.66)v(x, t) = ω(t) · x + v0 v0arbitraire (4.67)

4.6 Transformation infinitésimale

D(x, t) =1

2(∇XV (X, t) +∇XV (X, t)T ) = e(X, t) (4.68)

4.7 Dérivées particulaires

On veut étudier l’évolution au cours du temps des grandeurs attachées à une particuleou à un ensemble de particule. Cette grandeur est une fonction de l’espace et du temps.

4.7.1 Dérivées particulaires en description de Lagrange

B = B(X, t) étant une grandeur scalaire, vectorielle ou tensorielle relative à uneparticule, sa dérivé particulaire s’obtient par simple dérivation partielle par rapport autemps :

B =∂B∂t

(X, t) (4.69)

On peut considérer l’intégrale de volume, de surface ou de ligne de ce grandeur prise surle domaine occupé par le système dans la configuration de référence par :

I = I(Ω0, t) =∫

Ω0

B0(X, t)dΩ0 (4.70)

I = I(Σ0, t) =∫

Σ0

B0(X, t)dΣ0 (4.71)


I = I(L0, t) =∫

L0

B0(X, t)dL0 (4.72)

I =∂I

∂t=

∫ ∂B0

∂t

4.7.2 Dérivées particulaires en description d’Euler

Comme les grandeurs sont définies en fonction de leur positions géométriques dansla configuration actuelle et du temps, on doit dériver ces fonctions ou ces intégrales parrapport au temps en suivant la particule ou l’ensemble des particules concernées.

B = B(X, t) = b(φ(X, t), t) (4.73)

B =∂b

∂t+ gradb · ∂φ

∂t(4.74)

B =dB

dt=

∂b

∂t+ gradxb · v(x, t) (4.75)

où le second membre de droite est appelé terme de convection

γ(x, t) =dv(x, t)

dt=

∂v(x, t)

∂t+ gradxv(x, t) · v(x, t) (4.76)

Dérivée particulaire d’un vecteur

dM = FDM0 (4.77)d(dM)

dt=

dF

dtdM0 = gradxvF (4.78)

d(dM)

dt= gradxv · dM (4.79)

Dérivée particulaire d’un volume

d(dΩt)

dt=

d

dt(JdΩ0) = JdΩ0 =

1

JJdΩt (4.80)

J = detF (4.81)

J = Jdivv (4.82)d(dΩt)

dt= divvdΩt (4.83)

Dérivée particulaire d’un vecteur aire élémentaire

daxnx = JF−T dAXNX (4.84)d(daxnx)

dt= JF−T dAXNX + J

dF−T

dtdAXNX (4.85)

4.8. CONSERVATION DE LA MASSE 37

dF−T

dt= −F−1gradxv (4.86)

d(daxnx)

dt= (divv · nx − gradxv

T · nx)dax (4.87)

˙dΩt = J(X, t)dΩ0 (4.88)

J = Jdivv (4.89)˙

dΩt = divv(X, t)dΩt (4.90)

I =d

dt

∫

Ωt

bdΩt =∫

Ωt

(db

dt+ bdivv)dΩt (4.91)

I =d

dt

∫

ωt

bdΩt =∫

Ωt

∂b

∂tdΩt +

∫

∂Ωt

(b⊗ v).da (4.92)

4.8 Conservation de la masseLa masse de tout domaine materiel reste constante si on suit ce domaine dans son

mouvement.

4.8.1 Description eulérienne

D

Dt

∫

Ωt

ρdΩt = 0 (4.93)∫

Ωt

Dρ

DtdΩt + ρ

DdΩt

Dt= 0 (4.94)

∫

Ωt

(Dρ

Dt+ ρdivv)dΩt = 0 (4.95)

∫

Ωt

(∂ρ

∂t+ div(ρv))dΩt = 0 ∀Ωt (4.96)

∫

Ωt

∂ρ

∂tdΩt +

∫

Γt

ρv · ndΓt = 0 (4.97)

qui peut être écrite sous la forme locale :

∂ρ

∂t+ div(ρv) = 0 (4.98)

Dρ

Dt+ ρdivv = 0 (4.99)

4.8.2 Description lagrangienne

∫

Ωt

ρdΩt =∫Ω0

ρJdΩ0 (4.100)


∫

Ω0

ρ0dΩ0 =∫Ω0

ρJdΩ0 ∀Ω0 (4.101)

ρ0 = ρJ (4.102)

avec : J = detF

Chapitre 5

Les Puissances Virtuelles et laModélisation des Efforts

Soit E un système matériel de frontière ∂E et soit D un domaine matériel inclus dansE de frontière ∂D dans la configuration actuelle à l’instant t. On suppose que D eststrictement inclus dans E et qu’il n’a pas de frontière commune avec ∂E.

5.1 Efforts et état de contraintes sur un pointLes efforts extérieurs à D peuvent être décomposés en deux :

1. Les efforts à distances : les actions exercées par le système extérieur à E. En des-cription eulerienne représentées par une densité de forces f(x, t). Par exemple :f(x, t) = gzez.

2. Les efforts de contact : Les efforts exercés par le complément de D dans E, supposésn’être que des actions locales s’exerçant sur la frontière ∂D. Ils peuvent être repré-sentés en description eulerienne par une densité surfacique de forces T qui dépendde x et t, mais aussi de l’orientation de ∂D au point x à l’instant t.

T = T (x, t, n)

5.2 Méthode des Puissances Virtuelles1. On considère le système dans sa configuration actuelle.2. On choisit l’espace vectoriel des mouvements virtuels (m.v.) qu’on va considérer pour

la modélisation mécanique du système et de ses sous systèmes. Cet espace vectorieldoit contenir les mouvements rigidifiants (m.r.)le système et ses mouvements réels.

3. Sur cet espace vectoriel on écrit les formes linéaires continues A(v) et A′(v) : Puis-sance virtuelle des quantités d’accélération du système :

A′(v) =∫

Dρ · γ · vdV (5.1)

39

40CHAPITRE 5. LES PUISSANCES VIRTUELLES ET LAMODÉLISATION DES EFFORTS

n

T

E

∂E

∂D

D

Fig. 1 – Définition du système E et du sous-système D

5.2. MÉTHODE DES PUISSANCES VIRTUELLES 41

A(v) =∫

Eρ · γ · vdV (5.2)

4. On postule les expressions des formes linéaires continues Pe(v) pour la puissancevirtuelle des efforts extérieurs au système E.

P ′e(v) =

∫

Dρ · f · vdV +

∫

∂DT · vdS (5.3)

Pe(v) =∫

Eρ · f · vdV +

∫

∂ET ∗ · vdS (5.4)

5. On postule les expressions des formes linéaires continus Pi(v) pour la puissancevirtuelle des efforts intérieurs au système E.

6. On écrit le principe des puissances virtuelles en référentiel galiliéen R :

sur le système E :∀v m.v. Pe(v) + Pi(v) = A(v) (5.5)∀v m.v.r. Pi(v) = 0 (5.6)

sur le sous système D :∀v m.v. P ′

e(v) + P ′i (v) = A′(v) (5.7)

∀v m.v.r. P ′i (v) = 0 (5.8)

Rappel : Mouvement rigidifiant

v(x, t) = v0(t) + ω(t)×OM (5.9)v(x, t) = v0(t) + ω(t) · x (5.10)

où ω est un tenseur du second ordre antisymétrique associé au vecteur ω.

– pi(v) = A · v

∀v m.v.r. Pi(v) = 0

A = 0

– pi(v) = −t : gradv

t = σ + α

d =1

2(gradv + gradvT )

Ω =1

2(gradv − gradvT )

pi(v) = −σ : d− α : Ω

∀v m.v.r.


− d = 0

− Pi(v) = 0

donc :

− α = 0

− σ symétrique

− Pi(v) =∫

D−σ : d · dV =

∫

Ddivσ · v · dV −

∫

∂Dσ · n · dS

aboutissant à la relation :∫

Dρ · f · v · dV +

∫

∂DT · v · dS +

∫

Ddivσ · v · dV −

∫

∂Dσ · n · dS =

∫

Dρ · γ · v · dV (5.11)

∀v m.v.

Si on prend :– v = 0 sur D– v 6= 0 sur ∂D

On obtient :σ · n = T (5.12)

Si on prend :– v 6= 0 sur D– v = 0 sur ∂D

On obtient :∫

Dρ · f · v · dV +

∫

Ddivσ · v · dV =

∫

Dρ · γ · v · dV (5.13)

∀v m.v.

∫

D(ργ − ρf − divσ)vdV = 0

∀D ∀v (5.14)

La forme locale s’écrit sous la forme :

ργ = ρf + divσ (5.15)

pour un mouvement au repos : γ = 0

divσ + ρf = 0 (5.16)

5.3 Tenseur de contraintes de CauchyOn constate que :

T (x, t,−n) = −T (x, t, n)

5.4. THÉORÈME DE L’ÉNERGIE CINÉTIQUE 43

n1

n2

T2T1

D1

D2

Fig. 2 – T 1 6= T 2 car n1 6= n2

qui n’est qu’une forme locale du théorème de l’action et de la réaction.Théorème de Cauchy : La dépendance du vecteur contrainte T par rapport à n estlinéaire.

T (x, t, n) = σ(x, t) · n

σ : tenseur de contraintes de Cauchy.La donnée des contraintes dans trois directions formant une base de l’espace suffit à ladétermination des contraintes dans toutes les directions.

5.4 Théorème de l’énergie cinétique

Les mouvements réels du système appartiennent à l’espace vectoriel des mouvementsvirtuels considérés. En appliquant la proposition (5.5) du principe des puissances virtuellesau système E ou sous-système D avec un mouvement réel v on obtient :

Pe(v) + Pi(v) = A(v) (5.17)

ou A(v) s’écrit sous la forme :

∫

DργvdV =

D

Dt

∫

Dρv2dV =

D

DtK (5.18)

où K est l’énergie cinétique du système.


n

T

Fig. 3 – T ne dépend que de n et non pas du rayon de courbure

5.5 Conditions aux limites naturellesQuand D et E ont une frontière commune :

σ · n = T ∗

– Si T ∗ est donné, c’est une condition aux limites naturelle associée à la loi de bilan.– Sur une partie libre, T ∗ = 0.– T ∗ peut ne pas être connu (les efforts sur une partie encastrée)

Chapitre 6

Étude des Contraintes

6.1 Notations

σ =

σ11 σ12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ32 σ33

(6.1)

ou :

σ =

σxx σxy σxz

σyx σyy σyz

σzx σzy σzz

(6.2)

ou :

σ =

σ11 τ12 τ13

τ21 σ22 τ23

τ31 τ32 σ33

(6.3)

σ =

σ11

σ22

σ33

σ23

σ13

σ12

(6.4)

6.2 Contraintes normale et tangentielle

T peut être décomposé en deux composantes :– une composante normale qu’on appelle la contrainte normale : Tn = n · T = n · σ · n

– si Tn > 0 traction– si Tn < 0 compression

– une composante tangentielle ou contrainte de cisaillement : T t = T − Tn · n

45

46 CHAPITRE 6. ÉTUDE DES CONTRAINTES

T

Tt

Tn. n

n

Fig. 1 – Contraintes normale et tangentielle

6.3 Réciprocité des contraintesSi (n, n′, k) forment une base orthonormée, la symétrie de σ implique : σ

nn′ = σn′n. La

composante selon n′ de la cission sur la facette de normale n est égale à la composanteselon n de la cission sur la facette de normale n′.

6.4 Directions principales, contraintes principalesLes valeurs principales de σ sont appelées contraintes principales et notées : σ1, σ2 et

σ3 ou σI , σII et σIII . Dans une base orthonomée dirigée selon les directions principalesdes contraintes de Cauchy, la matrice σ s’écrit :

σ = σIeI × eI + σIIeII × eII + σIIIeIII × eIII (6.5)

Il n’y a pas de cission sur la facette perpendiculaire à une direction principale.

6.5 Invariants élémentairesLes quantités suivantes sont des scalaires invariants dans tout changement de base :

I1 = tr(σ) = σI + σII + σIII (6.6)

I2 =1

2tr(σ : σ) =

1

2tr(σ2) =

1

2(σ2

I + σ2II + σ2

III) (6.7)

I3 =1

3tr(σ : σ : σ) =

1

3tr(σ3) =

1

3(σ3

I + σ3II + σ3

III) (6.8)

6.6. TENSEUR DÉVIATEUR DES CONTRAINTES 47

In =1

ntr(σn) (6.9)

Nous avons introduit les invariants II , III et IIII en ?? pour obtenir le polynome caracté-ristique en λ. Les relations suivantes existent entre ces invariants :

II = I1 (6.10)

III =I21

2− I2 (6.11)

IIII = detσ = σIσIIσIII (6.12)

Toute fonction isotrope, à valeur scalaire, de σ s’exprime comme une fonction symétriquedes contraintes principales, ou encore des invariants I1, I2, I3 ou II , III , IIII (Cette pro-priétés sera utilisées dans l’écriture de critère de plasticité par exemple).

6.6 Tenseur déviateur des contraintesOn décompose σ en une partie sphérique et une partie déviatoire :– partie sphérique ou contrainte moyenne : σm =

tr(σ)

3= I1/3

– partie déviatorique : s = σ − σmIOn a ainsi :

σ = s + σmI (6.13)tr(s) = 0 (6.14)

6.7 Invariants de s

J1 = tr(s) = 0 (6.15)

J2 =1

2tr(s : s) = I2 − I1

2

6(6.16)

J3 =1

3tr(s3) = I3 − 2

I1J2

3+

I31

27(6.17)

Ainsi toute fonction scalaire de σ peut s’écrire comme une fonction de I1 et des invariantsJ2 et J3 de s.

6.8 Contraintes sur la facette OctaédraleCette facette est une facette dont la normale est donnée par :(

√3

3,√

33

,√

33

) dans le repèredes directions principales de σ. La contrainte normale et la cission sont respectivementdonnés par :

σoct = I1/3 = σm (6.18)

|τoct| =√

2J2/3 (6.19)

On parle alors de la contrainte octaédrale τoct ou du cission octaédral |τoct|.


6.9 Plan de Mohr

Pour des raisons de simplicité considérons le cas 2D. Si on se place en axes principales,le tenseur de contraintes sur un point M est diagonal et les valeurs propres sont σI et σII .On a ainsi :

σ =

[σI 00 σII

](6.20)

Si nous voulons les composantes du vecteur-contraintes s’exerçant sur une facettedéfinie par sa normale n faisant un angle θ avec la direction principale majeur (I), on a :

n =

(cos θsin θ

)(6.21)

T = σ · n =

(σI cos θσII sin θ

)(6.22)

Si maintenant nous projetons ce vecteur-contraintes sur des axes n et l’axe t perpendicu-laire à n, on obtient :

(σnn

σnt

)=

(T · nT · t

)=

(σI cos2 θ + σII sin2 θ−(σI − σII) sin θ cos θ

)(6.23)

d’où :(σnn

σnt

)=

(σI+σII

2+ σI−σII

2cos 2θ

−σI−σII

2sin 2θ

)(6.24)

Nous constatons que quand la normale n tourne de 360 autour du point M :– Dans le plan (I, II) (directions principales), l’extrémité du vecteur contraintes décrit

une ellipse dite "ellipse de Lamé".– Dans le plan mobile (n, t), l’extrémité du vecteur-contrainte décrit un cercle ayant

son centre sur l’axe n à l’abscisse σI+σII

2et de rayon σI−σII

2.

6.10 État de contraintes remarquables

1. Contraintes en un point de la surface libre (Figure 2) : T = σ · n = 0

2. Traction ou compression simple ; Etat de contrainte uniaxial (Figure 3 :

TI = σInI

TII = TIII = 0

ou

TII = TIII = σIInII = σIIInIII

TI = 0

3. Cisaillement simple (Figure 4)

6.11. CRITÈRES DE LIMITE D’ÉLASTICITÉ POUR LESMATÉRIAUX ISOTROPES49

ττ ττ ττ

Fig. 2 – Etat de contrainte en un point de surface libre

4. Etat de contrainte "triaxial de révolution" (Figure 5)

TII = σIInII = TIII = σIIInIII

5. Traction ou compression isotrope (Figure 6)

Tn = σmn ∀nσ = σmI

6.11 Critères de limite d’élasticité pour les matériauxisotropes

Pour certains matériaux, l’expérience montre que l’on peut déterminer un domaineélastique initial tel que si le tenseur de contraintes reste à l’intérieur de ce domaine,le comportement du matériau reste élastique. On définit alors la fonction de charge f

tel que : f < 0 ⇐⇒ comportement élastiquef = 0 ⇐⇒ limite d’élasticité Pour les matériaux isotropes, la valeur


ττ ττ

σσΙΙΙΙ==σσΙΙΙΙΙΙ==00 σσΙΙ σσΙΙΙΙ==σσΙΙΙΙΙΙ σσΙΙ==00

Fig. 3 – Etat de contrainte uniaxial

de la fonction de charge f ne dépend pas de l’orientation de σ dans tout repère R.Elles’exprime donc comme une fonction symétrique des contraintes principales ou une fonctiondes invariants de σ ou de I1 et les invariants de s.

6.11.1 Critère de Tresca

f(σ) = Sup|σI − σJ − σ0|I, J = I, II, III (6.25)

6.11.2 Critère de von Misès

f(σ) =√

J2 − k (6.26)

ou :

f(σ) =

√1

6[(σI − σII)2 + (σII − σIII)2 + (σIII − σI)2]− k (6.27)

très souvent on utilise la notation contrainte équivalent de von Misès : σeq =√

3J2 quin’est que la contrainte de traction simple donnant la même valeur de f que l’expression6.26.

6.12 Contraintes en description de Lagrange

1. Soit T (x, t, n), le vecteur contrainte au point M à l’instant t pour la direction n.La force élémentaire dF s’exerçant sur la surface dS d’aire dA passant par M etorthogonale à n est égale à : dF = TdA = σ · ndA. Si on exprime dF à l’aide de

6.12. CONTRAINTES EN DESCRIPTION DE LAGRANGE 51

ττ

σσΙΙσσΙΙΙΙ

σσΙΙΙΙΙΙ

Fig. 4 – Cission simple

ττ

σσΙΙΙΙ==σσΙΙΙΙΙΙ σσΙΙ

Fig. 5 – État de contrainte triaxial de révolution


ττ

σσm==σσΙΙ==σσΙΙΙΙ==σσΙΙΙΙΙΙ

Fig. 6 – Traction isotrope

l’élément de surface dS0, dans la configuration de référence on obtient le tenseur deBoussinesq ou Piola-Lagrange :

B = Jσ F−T (6.28)

avec : dF = B n0dA0

– Equation de mouvement en variable de Lagrange est simple : divXB + ρ0f = ρ0γ– Il est non symétrique

2. On définit une force fictive dF 0, attachée à l’élément dS0 qui après transport de-viendrait dF .

dF = F dF 0 (6.29)π = JF−1 σ F−T (6.30)

σ =1

JF π F T (6.31)

– π , le tenseur de Piola-Kirchhoff, est symétrique.– dF 0 n’a pas de réalité physique.

6.12. CONTRAINTES EN DESCRIPTION DE LAGRANGE 53

M0

M1

n0

n

dA0dA

dF=T.dA

Fig. 7 –


Chapitre 7

Thermodynamique des MilieuxContinus

7.1 1er principe de la thermodynamique (conservationd’énergie)

On suppose que le système n’échange avec l’extérieur que du travail et de la chaleur.Le premier principe de la thermodynamique postule l’existence d’une fonction de l’étatappelée énergie interne (E) et ayant la dimension d’un travail telle que :

DE

Dt+

DK

Dt= Pe(v) + Q′ (7.1)

ceci est aussi valable pour tout sous-système D. Pour le taux de chaleur Q′ on fait l’hy-pothèse qu’il n’y a pas d’échange de chaleur à distance entre les particules du système etque Q′ est la somme de :

1. un terme dû aux actions à distance : il exprime le taux de chaleur fournie à distanceaux particules du système par l’extérieur à E. En description eulérienne représentéepar une densité volumique de flux de chaleur r.

2. Les termes de conduction à la frontière entre D et E, supposés n’être que des actionslocales s’exerçant sur la frontière ∂D. Ils peuvent être représentés en descriptioneulérienne par une densité h qui dépend de x et t, mais aussi de l’orientation de ∂Dau point x à l’instant t.

h = h(x, t, n)

On peut démontrer que h a forcément la forme d’un flux que l’on écrit sous la formesuivante :

h = −q(x) · noù q est le vecteur courant de chaleur sortante. On a ainsi :

Q′ = −∫

∂Dq · n · dS +

∫

Dr · dV =

∫

D(r − div(q)) · dV (7.2)

55

56 CHAPITRE 7. THERMODYNAMIQUE DES MILIEUX CONTINUS

On introduit la densité massique d’énergie interne e, appelée aussi énergie interne spéci-fique, on a ainsi :

E =∫

DρedV et E =

∫

DρedV (7.3)

L’utilisation du théorème de l’énergie cinétique et la relation (7.1) aboutissent au premierprincipe de la thermodynamique sous forme globale (équation de bilan) donnée ci-dessous :

∫

DρedV =

∫

D(σ : d + r − div(q))dV (7.4)

où sous sa forme locale :ρe = σ : d + r − div(q) (7.5)

7.2 2ème principe de la thermodynamique (bilan d’en-tropie)

Le deuxième principe de la thermodynamique des milieux continus postule l’existenced’un repérage universel de température, appelé température absolue notée T , positive, etd’une fonction de l’état thermodynamique du système appelée entropie, notée S, tel qu’àchaque instant, pour le système E et le sous système D on a les inégalités fondamentalessuivantes :

DS

Dt= S ≥

∫

E

r

TdV −

∫

∂E

q · nT

dS (7.6)

DS

Dt= S ≥

∫

D

r

TdV −

∫

∂D

q · nT

dS (7.7)

On introduit l’entropie massique ou spécifique s, on a ainsi :

S =∫

DρsdV et S =

∫

DρsdV (7.8)

ρs + div(q

T)− r

T≥ 0 (7.9)

En tenant compte de l’équation de l’énergie (7.9), on obtient :

σ : d + ρ(T s− e)− q

T.gradT ≥ 0 (7.10)

Cette inégalité est transformée en introduisant la fonction thermodynamique appeléel’énergie libre et définie par l’énergie libre massique ψ :

ψ = e− Ts (7.11)

On obtient l’inégalité de Clausius-Duhem :

σ : d− ρ(ψ + sT )− q

T.gradT ≥ 0 (7.12)

7.3. EXPRESSIONS LAGRANGIENNES 57

qu’on peut décomposer en deux termes correspondants aux dissipations intrinsèques vo-lumiques :

Φ1 = σ : d− ρ(ψ + sT ) (7.13)

et la dissipation thermique volumique :

Φ2 = − q

T.gradT (7.14)

La réversibilité thermodynamique signifie qu’à tout instant, pour toute particule du sys-tème on a :

Φ1 = 0 et Φ2 = 0 (7.15)

– évolution adiabatique : q = 0 en tout point et à chaque instant.– évolution isotherme : T = cte dans le système et dans le temps.

7.3 Expressions lagrangiennes

σ : d

ρ=

π : L

ρ0

(7.16)

∇T = gradT · F (7.17)

π : L + ρ0(T s− e)− ρ0

ρ

q

T· ∇T · F−1 ≥ 0 (7.18)

d’où en posant :

q0

=ρ0

ρF−1 · q (7.19)

on obtient l’inégalité fondamentale en description de lagrange :

π : L + ρ0(T s− e)− q0

T· ∇T · ≥ 0 (7.20)

π : L − ρ0(ψ + sT )− q0

T· ∇T · ≥ 0 (7.21)

58 CHAPITRE 7. THERMODYNAMIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Chapitre 8

Lois de Comportement

Les lois de comportement ont pour but d’exprimer en fonction de x et t, des inconnuesdépendantes (σ, q, e, s) en fonction de l’histoire du mouvement et de la température. Uneloi de comportement doit :

– caractériser une classe de milieux matériels soumis à certaines sollicitations,– être issue de l’expérience,– satisfaire au second principe de la thermodynamique,– vérifier les conditions de stabilité et d’équilibre.

8.1 Quelques définitions

1. Principe de déterminisme : Un milieu matériel peut conserver la mémoire de sesexpériences passées.

2. Matériau sans mémoire :(σ, q, e, s)ne dépendent que de x(t) et de T (t).

3. Principe d’action locale :(σ, q, e, s) dépendent de x et T au voisinage de x. Si cettedépendance se fait par F et gradT , on dit que le milieu est matériellement simple.Dans le cas des milieux de type gradient, cette dépendance est généralisée à desgradients d’ordre plus élevés.

4. Principe d’objectivité : Les propriétés du milieu ne dépendent pas de l’observateur(x,v et γ ne peuvent pas être utilisés pour l’écriture des lois de comportement).Invariance par rapport au chaangement de référentiel donnée par l’écriture lagran-gienne.

5. Axiome de l’état local : On considère que l’état d’un système peut être défini àl’aide d’un certain nombre de grandeurs (scalaire, vectorielle, tensorielle) appeléesvariables d’état. C’est l’expérience qui guide le choix des variables d’état et leurnombre dépend du degré de précision souhaité.

6. Invariance tensorielle : invariance par rapport au changement de repère dans unréférentiel donné.

59

60 CHAPITRE 8. LOIS DE COMPORTEMENT

8.2 Hypothèse de l’élasticitéUn matériau thermoélastique est un matériau pour lequel les fonctions thermody-

namique e et s (énergie interne et entropie massique) et le tenseur des contraintes dePiola-Kirchhoff π sont des fonctions des seules variables T et L. On peut ainsi écrire :

π = π(L, T ) et ψ = ψ(L, T ) (8.1)

On remarque que suivant le deuxième principe de la thermomécanique , la relation sui-vante :

π : L − ρ0(ψ + sT )− q0

T· ∇T · ≥ 0 (8.2)

doit être valable ∀∇T . Donc en faisant ∇T = 0 on obtient :

π : L− ρ0(ψ + sT ) ≥ 0 (8.3)

En remplaçant la dérivée particulaire de ψ dans la relation ci-dessus on obtient :

ψ =∂ψ

∂TT +

∂ψ

∂LL (8.4)

(π − ρ0(∂ψ

∂L

T

)) : L− ρ0(s +∂ψ

∂T)T ≥ 0 (8.5)

Cette inégalité doit être vérifiée pour T quelconque et pour L tenseur symétrique dudeuxième ordre quelconque.

– en prenant L = 0 et T arbitraire :

s = −∂ψ

∂T(L, T ) (8.6)

– en prenantL symétrique arbitraire et compte-tenu que π est symétrique :

π = ρ0∂ψ

∂L(L, T ) (8.7)

8.3 Transformation de Legendre-FenchelOn introduit la fonction transformée ψ∗ définie par la transformation de Legendre-

Frenchel :ψ∗ =

1

ρ0

π : L− ψ (8.8)

ψ∗ =1

ρ0

π : L +1

ρ0

π : L− ψ (8.9)

d’où :ψ∗ =

1

ρ0

π : L + sT (8.10)

s = −∂ψ∗

∂T(π, T ) (8.11)

L = ρ0∂ψ∗

∂π(π, T ) (8.12)

8.4. MATÉRIAU THERMOÉLASTIQUE ISOTROPE DANS LA CONFIGURATION DE RÉFÉRENCE61

8.4 Matériau thermoélastique isotrope dans la configu-ration de référence

ψ s’exprime comme une fonction de T et des invariants du tenseur L. On pose :

I ′1 = tr(L) (8.13)

I ′2 =1

2trL2 (8.14)

I ′3 =1

3trL3 (8.15)

et ψ s’écrit :ψ(L, T ) = ψ(I ′1, I

′2, I

′3, T ) (8.16)

8.5 Thermoélasticité linéaireOn se place dans la configuration initiale κ0 et on se restreint à l’étude des déformations

infinitésimales définies par :‖L‖ ¿ 1 (8.17)

et des petites variations de températures :

θ = T − T0 (8.18)

On linéarise la loi de comportement en limitant le développement de ψ au deuxième ordreen fonction de θ etL.

ρ0ψ = π0 : L− ρ0s0 +1

2L : A : L− k : Lθ − 1

2ρ0bθ

2 (8.19)

où π0 et k sont des tenseurs symétriques. A est un tenseur physique d’ordre quatre,constant et symétrique définit avec 21 paramètres indépendants.

Aijkl = Aklij = Ajikl = Aijlk = Ajilk (8.20)

On obtient ainsi la loi de comportement thermoélastique linéaire sous la forme suivante :

π = π0 + A : L− kθ (8.21)

s = s0 +1

ρ0

k : L + bθ (8.22)

8.5.1 Interprétation physique des coefficients

– π0 est le tenseur des contraintes initiales correspondant à une déformation nulle età un écart de température nul par rapport à la configuration de référence.

– s0 est l’entropie massique initiale.– Le tenseur A est le tenseur de l’élasticité à température constante.


– à partir de (8.22) on a :

T s =1

ρ0

Tk : L + Tbθ (8.23)

– 1ρ0

Tk est le tenseur des chaleurs latentes massiques de déformation– Tb est la chaleur massique à déformation constante.

8.6 Matériau thermoélastique linéaire isotrope

ψ ne doit faire intervenir que les invariants de L et jusqu’en deuxième ordre. Ainsi :

ρ0ψ = π0I ′1 − ρ0s0θ +λ

2I ′21 + 2µI ′2 − kI ′1θ −

1

2ρ0bθ

2 (8.24)

On remarque que dans cette formule π0, s0, λ, µ, k et b sont toutes des constantes scalaires.On en déduit :

π = π0I + λ(trL)I + 2µL− kθI (8.25)

s = s0 +1

ρ0

k(trL) + bθ (8.26)

On remarque :– Le tenseur de contraintes initiales est, en raison de l’hypothèse d’isotropie du ma-

tériau, un tenseur isotrope quelconque :π = π0I– Le tenseur d’élasticité A ne dépend que de deux coefficients indépendants λ et

µ (coefficients de Lamé) ou E(module d’élasticité de Young) et ν (coefficient dePoisson) ou K (module de compressibilité) et G (module de cisaillement).

– Le tenseur k est isotrope aussi : k = kI.L’inversion de la loi de comportement donne :

L− L0 =1 + ν

Eπ − ν

Etr(π)I + αθI (8.27)

où α est le coefficient de dilatation thermique linéique.

λ =νE

(1 + ν)(1− 2ν)(8.28)

µ = G =E

2(1 + ν)(8.29)

K = λ +2

3µ =

E

3(1− 2ν)(8.30)

α =k

3λ + 2µ(8.31)

8.7. TRANSFORMATION INFINITÉSIMALE ET FORMULATIONS EULÉRIENNES63

8.7 Transformation infinitésimale et formulations eulé-riennes

On avait :σ =

ρ

ρ0

F .π.F T (8.32)

avec :F = I +∇u (8.33)

On peut alors écrire la loi de comportement thermoélastique linéaire en termes de contraintesde Cauchy :

σ =ρ

ρ0

F .π0.F T +ρ

ρ0

F .A : L.F T − ρ

ρ0

F .kθ.F T (8.34)

1. Transformation infinitésimale :

∇u ¿ 1 (8.35)

L ' ε =1

2(∇u +∇uT ) ' 1

2(gradu + graduT ) (8.36)

ρ

ρ0

' (1 + trε)−1 = (1− trε) (8.37)

σ ' π0(1− trε) + gradu.π0 + π0.gradu + A : ε− kθ (8.38)

2. État initial naturel :

π = 0 pour ε = 0 etθ = 0. (8.39)π0 = 0 (8.40)σ = A : ε− kθ (8.41)

Pour le matériau isotrope : (8.42)σ = λ(trε)I + 2µε− kθI (8.43)

ε =1 + ν

Eσ − ν

E(trσ)I + αθI (8.44)

On peut décomposer les tenseurs de contraintes et de déformations en partie sphérique etdéviatoire : On a ainsi :

s = σ − (trσ/3)I (8.45)ε

d= ε− (trε/3)I (8.46)

trσ = (3λ + 2µ)trε− 3kθ (8.47)s = 2µε

d(8.48)

trε =1− 2ν

Etrσ + 3αθ (8.49)

εd

=1 + ν

Es (8.50)


8.8 Stabilité du matériau thermoélastique– 1

2L : A : L défini positif

– 3λ + 2µ > 0– µ > 0– E > 0– −1 < ν < 1

2

8.9 Hypothèse des contraintes planesValable pour les poutres et plaques minces par exemple.

σ33 = σ13 = σ23 = 0 (8.51)

On obtient ainsi :

σij = λ′εkkδij + 2µεij (8.52)avec : (8.53)

λ′ =2λµ

λ + 2µ=

νE

1− ν2(8.54)

8.10 Hypothèse des déformations planesValable pour les structure très longues, par exemple : remblais, barrages et fondations

filantes.σ33 = σ13 = σ23 = 0 (8.55)

8.11 Matériau thermoélastique orthotrope

σ11

σ22

σ33

σ23

σ13

σ12

=

A11 A12 A13 0 0 0A12 A22 A23 0 0 0A13 A23 A33 0 0 00 0 0 A44 0 00 0 0 0 A55 00 0 0 0 0 A66

ε11

ε22

ε33

ε23

ε13

ε12

.

ε11

ε22

ε33

ε23

ε13

ε12

=

1E1

−ν12

E1−ν13

E10 0 0

−ν21

E2

1E2

−ν23

E20 0 0

−ν31

E2−ν32

E2

1E3

0 0 0

0 0 0 1G23

0 0

0 0 0 0 1G13

0

0 0 0 0 0 1G12

σ11

σ22

σ33

σ23

σ13

σ12

.

8.12. MATÉRIAU ORTHOTROPE DE RÉVOLUTION 65

avec les conditions de symétrie suivantes :ν12

E1

=ν21

E2

(8.56)

ν13

E1

=ν31

E3

(8.57)

ν23

E2

=ν32

E3

(8.58)

Les inégalités suivantes doivent également être vérifiées par ces paramètres :

1 − ν12ν21 > 0 (8.59)1 − ν23ν32 > 0 (8.60)1 − ν13ν31 > 0 (8.61)1 − ν12ν23ν31 − ν21ν13ν32 − ν21ν12 − ν31ν13 − ν32ν23 > 0 (8.62)

On a ainsi 9 paramètres indépendants : E1, E2, E3, ν12, ν13, ν23, G23 = A44, G13 = A55, G12 =A66

8.12 Matériau orthotrope de révolutionOn suppose l’axe 3 être l’axe d’orthotropie. Par rapport au cas orthotrope, on a les

égalités suivantes :

E1 = E2 (8.63)ν13

E1

=ν23

E2

(8.64)

G13 = G23 (8.65)

G12 =E1

2(1 + ν12)(8.66)

σ11

σ22

σ33

σ23

σ13

σ12

=

A11 A12 A13 0 0 0A12 A11 A23 0 0 0A13 A23 A33 0 0 00 0 0 A44 0 00 0 0 0 A44 00 0 0 0 0 A11 − A12

ε11

ε22

ε33

ε23

ε13

ε12

.

ε11

ε22

ε33

ε23

ε13

ε12

=

1E1

−ν12

E1−ν13

E10 0 0

−ν12

E1

1E1

−ν13

E10 0 0

−ν13

E1−ν13

E1

1E3

0 0 0

0 0 0 1G13

0 0

0 0 0 0 1G13

0

0 0 0 0 0 2(1+ν12)E1

σ11

σ22

σ33

σ23

σ13

σ12

.

On a ainsi 5 paramètres indépendants : E1 = E2, E3, ν12 = ν21, ν13 = ν23, G23 = G13 =A44 = A55, G12 = 2(1+ν12)

E1


8.13 Milieux avec dissipation intrinsèque non nulleOn se place dans le cadre d’une transformation infinitésimale. On utilise l’hypothèse

de l’état local associé et on se donne l’énergie libre en fonction de non seulement ε etT mais aussi des variables internes α qui peuvent être des scalaires, des vecteurs ou destenseurs. On a ainsi : ψ(ε, T, α). On introduit également des lois complémentaires surl’expression de la dissipation φ(ε, T, ε, α). On suppose que le tenseur de contraintes estconstitué d’une partie réversible (σr) et une partie irréversible (σir) :

σr = ρ∂ψ

ε(8.67)

σir = σ − σr (8.68)

ainsi que (β) la force thermodynamique associée aux variable α

βr = ρ∂ψ

α(8.69)

βir = β − βr (8.70)

sachant qu’on imposera toujours β = 0 car cette force n’apparaît pas dans l’expression dela dissipation intrinsèque. La dissipation intrinsèque volumique s’écrit alors :

Φ1 = σ : ε− ρ∂ψ

∂ε: ε− ρ

∂ψ

∂α= (σ − σr) : ε− βr : α (8.71)

ce qui donne :Φ1 = σir : ε + βir : α ≥ 0 (8.72)

On constate que si on admet l’orthogonalité de φ par rapport à ε et α :

∂φ

∂ε: ε +

∂φ

∂α: α = 0 (8.73)

on peut déduire :

σir =∂φ

∂ε(8.74)

βir =∂φ

∂α= −βr = −ρ

∂ψ

α(8.75)

Les relations de la loi de comportement deviennent :

σ = σr + σir = ρ∂ψ

ε+

∂φ

∂ε(8.76)

β = ρ∂ψ

α+

∂φ

∂α= 0 (8.77)

[1], [2], [3], [4]

Bibliographie

[1] P. Germain, Mécanique. ELLIPSES, 1986.[2] J. Salencon, Mécanique du Continu, vol. I, II, III. Ellipses, AUPELF/UREF, marke-

ting ed., 1995.[3] J.Lemaitre and J.L.Chaboche, Mécanique des matériaux solides. Dunod, 1985.[4] W. Lai, D. Rubin, and E. Krempl, Introduction to Continuum Mechanics.

Butterworth-Heinemann Ltd., third ed., 1993.

67

Documents

Mecanique Des Milieux Continus. Aide Memoire - Modaressi - ECP - FR