Click here to load reader

++++118956073 mecanique-des-milieux-continus

  • View
    641

  • Download
    1

Embed Size (px)

DESCRIPTION

 

Text of ++++118956073 mecanique-des-milieux-continus

  • 1. Mcanique des milieux continus Nicolas MOS EI1 COLE CENTRALE DE NANTES
  • 2. TABLE DES MATIRES Table des matires 1 Pourquoi la mcanique des milieux continus 5 1.1 De la mcanique du point matriel la mcanique des milieux continus . . . . 5 1.2 La mcanique des milieux continus au centre des disciplines de lingnieur . . 7 1.3 Notion de milieu continu et dchelle dobservation . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Remarques importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Systme dunits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 lments de calcul tensoriel 10 2.1 Convention de sommation dEinstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Symbole de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Symbole de permutation dit de Lvi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.5 Scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.6 Vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.7 Tenseur dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.8 tude des tenseurs dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.8.1 Tenseur identit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.8.2 Tenseur symtrique et antisymtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.8.3 Trace dun tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.8.4 Produit contract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.8.5 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.8.6 Reprsentation spectrale dun tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.9 Formule dintgration par partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.9.1 Formule de Green-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.10 Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.11 Systmes de coordonnes curvilignes orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.11.1 Coordonnes cartsiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.11.2 Coordonnes cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.11.3 Coordonnes sphriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.11.4 Formules utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 Description de la cinmatique dun milieu continu 22 3.1 Trajectoire et drives temporelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 Gradient de la transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3 Dnition des tenseurs de dformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4 Interprtation des composantes des tenseurs de dformations . . . . . . . . . . 30 3.5 Dcomposition polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.6 Changement de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.7 Changement de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.8 Taux de dformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 cole Centrale de Nantes : cours de mcanique des milieux continus page 1
  • 3. TABLE DES MATIRES 3.9 Dformations en petites perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.9.1 Formulation de lhypothse des petites perturbations (HPP) . . . . . . 36 3.9.2 Simplication des rsultats dans lhypothse HPP . . . . . . . . . . . . 37 3.9.3 Conditions de compatibilit des dformations . . . . . . . . . . . . . . 40 3.9.4 Directions principales des dformations et cercle de Mohr . . . . . . . 41 3.9.5 Dpouillement dune rosette en extensomtrie . . . . . . . . . . . . . . 42 4 Lois de bilan 44 4.1 Forme globale des lois de bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.2 Forme locale des lois de bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.3 Consquences des lois de bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.3.1 Consquences de la conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . 53 4.3.2 Consquences de la bilan de quantit de mouvement . . . . . . . . . . 54 4.3.3 Consquences de la bilan du moment cintique . . . . . . . . . . . . . 54 4.3.4 Consquences du bilan de lnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5 Le tenseur des contraintes 56 5.1 Introduction du tenseur des contraintes par extension de la mcanique des so- lides indformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.1.1 Volume lmentaire au sein du milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.1.2 Volume lmentaire en surface du milieu . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.2 Introduction du tenseur des contraintes par le principe des puissances virtuelles 62 5.2.1 Dnition des puissances virtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.2.2 Thorme de lnergie cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.2.3 La dualit en mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.3 Proprits locales du tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.3.1 Contrainte normale et contrainte de cisaillement . . . . . . . . . . . . . 65 5.3.2 Contraintes normales principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.3.3 Reprsentation des contraintes : le tricercle de Mohr . . . . . . . . . . 66 5.3.4 tat plan de contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.3.5 Tenseur des contraintes sphrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.3.6 Tenseur des contraintes uniaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.3.7 Tenseur des contraintes de cisaillement simple . . . . . . . . . . . . . 70 6 Thorie de llasticit linaire isotrope 71 6.1 Les quations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.1.1 La cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.1.2 Equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.1.3 Comportement lastique isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.1.4 Rcapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 6.2 Thormes de lnergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.3 Techniques de rsolution analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.3.1 Approche en dplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.3.2 Approche en contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.3.3 Solide en tat plan de dformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.3.4 Solide en tat plan de contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.3.5 Fonction de contrainte dAiry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.4 Techniques de rsolution numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.5 Thermolasticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 cole Centrale de Nantes : cours de mcanique des milieux continus page 2
  • 4. TABLE DES MATIRES 7 Problmes classiques dlasticit 87 7.1 Cylindre sous pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 7.2 Traction dun barreau prismatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.3 Torsion dun barreau prismatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 8 Thermodynamique et lois de comportement 97 8.1 Le premier principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 8.2 Le second principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 cole Centrale de Nantes : cours de mcanique des milieux continus page 3
  • 5. TABLE DES MATIRES Avant-Propos Dans ce cours des milieux continus, une cohrence de contenu a t recherche avec les autres cours de mcanique du Tronc Commun savoir : dynamique des solides (1re anne) ; rsistance des matriaux (1re anne) ; matriaux (1re anne) ; technologie de conception mcanique (1re anne) ; mcanique des uides (2me anne) ; mthode des lments nis (2me anne) ; mcanique des vibrations (2me anne). Cette cohrence a t recherche galement autant que possible pour les notations (le cas chant, un choix diffrent de notation par rapport un autre cours de tronc commun est indiqu par une note en bas de page). Rdiger un polycopi sur la mcanique des milieux continus pour un cours de tronc commun dcole dingnieurs nest pas une tche aise. Jai t grandement aid dans cette entreprise par diffrents collgues qui ont pris la peine de me donner leur avis sur ce document. Les conseils pdagogiques de J.-F. Sini ont galement t trs bnques. Enn, mes remerciements vont G. Legrain qui a ralis le site web de ce cours et toutes les gures dune main de matre. Nicolas MOS, Nantes, Septembre 2003. cole Centrale de Nantes : cours de mcanique des milieux continus page 4
  • 6. CHAPITRE 1. POURQUOI LA MCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS Chapitre 1 Pourquoi la mcanique des milieux continus 1.1 De la mcanique du point matriel la mcanique des milieux continus La mcanique du point matriel permet de prdire le mouvement dun point soumis une ensemble de forces. On distingue dans cette thorie la d

Search related