Mécanique Du Solide

FFa

MECANIQUERATIONNELLE

Cours&exercicesrsolus

Rappels sur les Vecteurs, Les Torseurs, Statique des Solides, Gomtrie des Masses, Cinmatique du Point et du Solide,

Cintique et Dynamique des Solides

A. KADI

U N I V E R S I T E M H A M E D B O U G A R A - B O U M E R D E S

10,zz

O

A

L

L/2

R

21,xx

0y

0x

2z

C

CLASSES PREPARATOIRES AUX GRANDES ECOLES

TRONC COMMUN DES UNIVERSITES (TCT)

SCIENCES TECHNIQUES (ST) semestre 3 (LMD)

UMBB Boumerds, Facult des sciences, Dpartement de physique

Cours exercices, Mcanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3

276

A.KADI

CHAPITRE VII

CINEMATIQUE DES SOLIDES EN CONTACTS



277

A.KADI

CINEMATIQUE DES SOLIDES EN CONTACT

1. Mouvement de deux solides en contact

Soient deux solides et lis aux repres et mobiles par rapport un

repre fixe . Les deux solides en mouvement sont assujettis un contact ponctuel tout

instant en un point fixe I appartenant au plan

)( 1S )( 2S 1R 2R

0R

)( tangent en ce point aux deux solides.

1I

1S

(2S

t In

2I

n

1

2n : la normale au plan )(

)(t )(n

Au point de contact des deux solides

nous pouvons distinguer :

- : point du solide en contact avec le solide linstant t ; 11 SI 1S 2S- : point du solide en contact avec le solide au mme instant t ; 22 SI 2S 1S- : la position commune de 0RI 11 SI et 22 SI au mme instant t ; Le point gomtrique I nappartient ni ni . Les points occupent

gomtriquement la mme position mais ils ont des rles cinmatiques diffrents.

1S 2S 21,, III

Lensemble des points constitue une courbe 0RI dcrite sur le plan ( ) Lensemble des points constitue une courbe 11 SI 1 dcrite sur le solide 1SLensemble des points constitue une courbe 22 SI 2 dcrite sur le solide 2SLa vitesse de glissement du solide du solide par rapport au solide appartient au plan 2S 1S

)( tangent au point de contact. Soit un point du solide et un point du solide 1M 1S 2M



278

A.KADI

2S ; daprs ce que lon a vu prcdemment sur le champ des vitesses des points dun solide,

nous pouvons crire dans le repre fixe : += 11011010 )()( IMMVIV += 22022020 )()( IMMVIV

La vitesse de glissement du solide par rapport au solide est donne par la relation : 2S 1S

)()()( 10

20 IVIVIVg

= Comme les trois points occupent la mme position gomtrique nous pouvons crire :

+= 110122021020 )()()( IMIMMVMVIVg

21121

02

0 )()()( += MMMVMVIVg

Le vecteur rotation du solide par rapport au solide a pour expression : 2S 1S= 010212

Do : on retrouve ici la loi de Chasles. += 011202

Le vecteur rotation du solide par rapport au solide a deux composantes, lune

tangent et dans le plan , lautre normale au plan : :

12 2S 1S

)(t )(

n

+= nt02)( 12

= nnt : Vecteur rotation de roulement du solide par rapport au solide ; 2S 1S

= nnn )( 12 : Vecteur rotation de pivotement du solide par rapport au solide 2S 1S

En gnral, lorsque deux solides sont en contact ponctuel, il peut y avoir :

Glissement , roulement et pivotement de lun sur lautre.

La condition de roulement sans glissement est vrifie lorsque la vitesse de glissement est

nulle : == 0)()()( 1020 IVIVIVg )()( 1020 IVIV

=

Si le solide est fixe alors : 1S 0)()( 0)( 10

20

10

=== IVIVIVDans ce cas, quel que soit , avec en roulement sans glissement par rapport au

solide , nous pouvons crire : ;

2SM 2S

1S += MIIVMV 112100 )()(



279

A.KADI

comme alors : = 0)( 10 IV

= MIMV 1120 )(

Si : on dit que le solide roule sans glisser sur le solide ; = 0)(IVg 2S 1S

Si : on dit que le solide ne pivote pas sur le solide ; = 0n 2S 1S

Si : on dit que le solide ne roule pas, il glisse sur le solide ; = 0n 2S 1S

1.1. Mouvement de deux solides en contact en plusieurs points

Dans le cas o deux solides sont en contact en plusieurs points, les considrations prcdentes

peuvent tre reprise en chaque point de contact.

Cas particuliers :

- Si deux solides et sont en contact en deux points A et B et si la vitesse de

glissement en ces deux points est nulle alors le vecteur rotation

est un vecteur directeur de la droite AB passant par les deux points :

2S 1S

== 0)()( 00 BVAV12

=+= 0)()( 1200 ABAVBV = 012 AB

AB//12- Si deux solides et sont en contact en plus de deux points et si la vitesse de

glissement est nulle en tous ces points, ils sont ncessairement ports par le mme axe

donc ils sont aligns.

1S 2S

1.2 Transmission par friction dun mouvement de rotation entre deux cylindres

Soient deux cylindres et de rayons respectifs et lis un bti fixe et ayant

des mouvement de rotation daxes respectifs et

1S 2S 1R 2R

),( 1zO ),( 2

zO

Leur vitesse de rotation respective est donne par : et = 10101 z

= 10202 z

Soit P un point de contact entre les deux solides. Les axes de rotation sont parallles : .

1z

La condition de roulement sans glissement au point P scrira : = 0)(0 PV



280

1011

00 )()(

2022

00 )()(

A.KADI

Le point de contact P peut tre associ au solide et , par la cinmatique du solide nous

pouvons crire : V

1S 2S

1SP += POOVP

V 2SP += POOVP

or nous avons V et les points et alors : = 0)(0 P 1O 2O

= POPO 202101

1x01

02

1z

1z 1

R

2R 1O

2O

P

Dans la transmission de mouvement par friction, les deux cylindres ont des mouvements de

rotation de sens contraire si le contact se fait lextrieur et de mme sens si le contact se fait

lintrieur des cylindres.

Les points sont aligns. Si O alors O POO ,, 21 = 111 xRP

= 122 xRP

Do : = POPO 202101

= 1210211101 xRzxRz

2021

01 RR =

1

202

01

RR=

Si le contact se fait lintrieur (cylindre lintrieur du cylindre ) les deux cylindres

tourneront dans le mme sens :

2S 1S

Do : = POPO 202101

= 1210211101 xRzxRz

1R

2R 1O

2O

P

2021

01 RR =

1

202

01

RR=



281

SP

A.KADI

2. Mouvement plan sur plan

2.1. Dfinition

Le mouvement dun solide (S) li un repre par rapport un repre fixe

est un mouvement plan sur plan si et seulement si, un plan ( du solide

reste en concidence avec un plan

),,,( 11111zyxOR

),,,( 00000zyxOR )

)( 0 li au repre . ),,,( 00000zyxOR

On tudie ainsi le mouvement relatif de deux plans, lun constituant le rfrentiel fixe. Les

vecteurs sont orthogonaux aux plans et 10 zz )( SP )( 0 respectivement en O et O . 1

1z

0z

0y

0x 1x

1y

0(

SP(I.

o 1o

Le vecteur rotation instantan du solide (S) li par rapport au repre fixe

est donn par :

),,,( 11111zyxOR

),,,( 00000zyxOR

= 001 zTous les points du solide se dplacent paralllement au plan ( )0 , leurs vecteurs vitesses sont aussi parallles ce plan, alors nous aurons : )(SP

+= 000 )()()( ytgxtfPV V 0 )( 0 0 =

zP

On remarque dans ce cas que lautomoment V du torseur cinmatique

, dcrivant le mouvement est nul. En effet nous avons :

0 )( 01 0 =

P

[ ] =

)(

0

01

PVC P

0)()( )( 00001

0 =

+=

zytgxtfPV , nous pouvons conclure que :



282

A.KADI

- Si Cte= , la rsultante du torseur tant nul, alors le torseur est un couple et le mouvement est une translation rectiligne sur le plan

001 ==

)( 0 , laxe central du torseur reste indfini ;

- Si varie au cours du temps, alors , dans ce cas le torseur est un glisseur dont laxe central est laxe instantan de rotation orthogonal au plan (

=010 ) donc parallle .

0z

2.2. Paramtrage du solide

la position du solide est dtermine par :

a) La position du point dans le repre est donne par :

)(1 SO 0R

=+= 0

0

001 yx

R

yyxxOO

b) Lorientation du repre par rapport au repre fixe

dfinie par la vitesse de rotation : tel que

),,,( 11111zyxOR ),,,( 00000

zyxOR

= 001 z ==

),(),( 1010 yyxx

Le passage du repre vers le repre sexprime par les relations suivantes : 0R 1R

La matrice de passage de vers est donne par : 1R 0R

+= 001 sincos yxx

= 01 zz

+= 001 cossin yxy

=

1000cossin0sincos

01

RRP

Le mouvement plan sur plan est un mouvement trois degrs de libert : ),,( yx ; deux degrs de translation et un degr de rotation.



283

A.KADI

2.3. Vecteurs vitesse et acclration dun point quelconque du solide Si P est un point quelconque du solide (S) , il aura pour coordonnes :

Dans : , le point P est fixe dans le solide. 1R += 111 ybxaPO

Dans : 0R )cossin()sin(cos 0000111 +++=+= yxbyxaybxaPO

++= 001 )cossin()sincos( ybaxbaPO

+

=0

cossinsincos

0

1

baba

R

PO

Dans : 0R ++++=+= 000011 )cossin()sincos( ybaxbayyxxPOOOOP

+++

=0

cossinsincos

0

baybax

R

OP

La vitesse du point P par rapport se dduit de deux faons : 0R

a) Par la cinmatique du solide :

+

+

=+=

0cossinsincos

00

0

)()(

0

1011

00

baba

R

yx

POOVPV

0

)sincos(

)cossin(

)(

0

0

++

=

bay

bax

R

PV

b) Par drivation :

++

=

+

==

0)sincos(

)cossin(

0

sincos

cossin

)(

00

00

bay

bax

R

bay

bax

R

dtOPdPV



284

A.KADI

Lacclration du point P par rapport se dduit facilement par drivation du vecteur

vitesse V , dans le mme repre.

0R

)(0 P

+++

==

0)cossin()sincos(

)sincos()cossin(

)()( 2

2

0

000

babay

babax

R

dtPVdPV

2.4. Centre instantan de rotation

Soient deux points A et B du solide (S) li un repre en mouvement par

rapport au repre fixe li au plan

),,,( 11111zyxOR

),,,( 00000zyxOR )( 0

0z

0y

0x

0(

o

BA

)(0 AV

)(0 BV

)(tI

)(S

)(t

Comme les vitesses V et V appartiennent au solide et au plan )(0 A

)(0 B )( 0 , nous pouvons crire daprs la loi de distribution des vitesses :

+= 0100 )()( ABAVBV

o est la vitesse de rotation du repre par rapport au repre . Le vecteur vitesse

de rotation instantan est normal au plan

01 1R 0R

)( 0 , ce qui entrane que laxe instantan de rotation est perpendiculaire ()(t )0 .

Ltude sur les torseurs a montr que quel que soit le point pris sur laxe central dun torseur,

le moment en ce point est parallle laxe central.



285

0

A.KADI

Dans le cas dun torseur cinmatique, tous les points de laxe instantan de rotation (axe

central) ont une vitesse parallle cet axe. De plus dans le cas dun mouvement plan sur plan

tous les points du solide ont leurs vitesses parallles au plan ( ) . Par consquent, le point dintersection I entre le plan ( )0 et laxe instantan de rotation )(t , a une vitesse nulle. Ce point est appel centre instantan de rotation : (C.I.R.)

2.4.1. Dtermination analytique du centre instantan de rotation (C.I.R.)

Soit P un point quelconque du solide. La loi distribution des vitesses nous permet dcrire : =+= 01

01

00 )()( IPIPIVPV

La position du C.I.R sobtient en multipliant vectoriellement cette expression par : 01

=

= 2

01

01

01

01

0 )( IPIPPV

do : 201

01

0 )(

=

PVIP

- le vecteur

IP est perpendiculaire au vecteur vitesse V au point P ; )(0 P

- il a pour module : 01

0 )(

=

PVIP

2.4.2. Dtermination gomtrique du centre instantan de rotation (C.I.R) Si le point I est un centre instantan de rotation du solide (S) , nous pouvons le dterminer

gomtriquement en connaissant la vitesse de deux points A et B du solide.

I

)(0 BV

)(0 AV

A B

(S)

En effet nous avons : = IAAV 010 )( V

IAA )(0

)(0 = IBBV 010 )( V

IBB



286

0

A.KADI

Le centre instantan de rotation (C.I.R.) se trouve lintersection des normales aux vecteurs

vitesses partir du point A et V partir du point B . Cette mthode est

souvent utilise pour vrifier les coordonnes du (C.I.R.) dtermin dj analytiquement.

)( 0 AV

)(0 B

Dans le cas particulier dun disque, il est trs facile de le vrifier :

)(0 BV

)(0 AV

I

B

A

Les vitesses aux points A et B sont tangentes aux disques.

En traant les deux perpendiculaires aux vitesses

Respectivement en A et B, leur point dintersection

est le point I centre du disque ayant une vitesse nulle.

3. Base et roulante

Le centre instantan de rotation (C.I.R.) est un point mobile par rapport et par rapport

au repre li au solide. Il dcrit deux courbes diffrentes dans les deux repres, on appelle

alors :

0R

1R

- Base du mouvement : du plans (PS) du solide sur le plan ( ) , la trajectoire du point I dans le repre ; 0R

- Roulante du mouvement : du plans (PS) du solide sur le plan )( 0 , la trajectoire du point I dans le repre ; 1R

Nous pouvons exprimer le vecteur vitesse du point I dans le repre , nous avons en effet : 0R

)()()( 10

1011

000

dtIOdOV

dtIOOOd

dtOIdIV

+=+==

En introduisant les coordonnes du point I dans le repre tel que : 1R

=+= 0

1

111 I

I

II yx

R

yyxxIO ;

Par la formule de la cinmatique du solide nous pouvons crire :

+=+= IOIVIOdt

IOddt

IOd1

01

11

01

11

10

)(



287

A.KADI

on obtient finalement ++= IOOVIVIV 1011010 )()()(

Comme le point I est le centre instantan de rotation, son expression analytique est donne

par : )(201

100

11

=

OVIO )( 10101 OVIO

=

On obtient alors : )()( 10 IVIV

= Cette galit indique que la vitesse du centre instantan de rotation est la mme dans les deux

repres et . 0R 1R

Il en rsulte que la base et la roulante sont deux courbes tangentes en I chaque instant.

Lgalit des vitesses au point I dans les deux repres montre que la roulante roule sans

glisser sur la base.

3.1. Equation de la base

La position du point centre du repre li au solide par rapport au repre fixe est

dfinie par ses coordonnes dans le repre : ;

1O 1R 0R

0R

=+= 0

0

001 yx

R

yyxxOO

La position du point I dans le repre est donne par : 1R )(

201

100

11

=

OVIO qui scrit

aussi sous la forme : )(

2

10

01

=

OVzIO , or nous avons :

+==== 00100

10

10

10 )( y

ddyx

ddx

dOOd

dtd

dOOd

dtOOdOV

En remplaant lexpression de dans celle de nous obtenons : )( 10 OV

IO1

=

+== 00000

2

10

01

)(x

ddyy

ddxy

ddyx

ddxz

OVzIO



288

A.KADI

Ainsi le vecteur position du point I dans le repre est exprim par la relation : 0R

)()( 0011 ++=+= y

ddxyx

ddyxIOOOOI

Cette quation dfinit la trajectoire (appele base) du centre instantan de rotation dans le

repre . 0R

=+=

=

=

0)(

)(

)(

0

0

0

tZ

yddxytY

xddyxtX

R

OI

I

I

I

3.2. Equation de la roulante

Pour obtenir la trajectoire (appele roulante) dans le repre li au solide, il suffit

dexprimer les vecteurs unitaires du repre en fonction de ceux de . En effet, nous

avons daprs la matrice de passage dtermine prcdemment :

1R

0R 1R

= 110 sincos xxx += 110 cossin xxy

=

+== 00000

2

10

01

)( xddyy

ddxy

ddyx

ddxzOVzIO

Alors la trajectoire dans le repre aura pour quations paramtriques : 1R

=+=

=

=

0)(

sincos)(

cossin)(

1

1

1

0

1

tZddyy

ddxtY

ddy

ddxtX

R

IO

I

I

I

En connaissant la matrice de passage de vers , il est trs facile de dduire la trajectoire

de la roulante partir de la base o inversement.

0R 1R

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Mécanique Du Solide