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cours de mcanique du bton

notions de visco-lasticit

Pr. Erick Ringot

Universit Paul Sabatier Toulouse III

8 avril 2011

introduction

ISoumis des charges mcaniques, le bton prsente des

phnomnes dissipatifs associs l'lasticit. Ces eets dirs

sont traduits par une certaine viscosit. De ce fait le temps

intervient dans la loi de comportement et la dissipation se

traduit par l'apparition d'un terme de vitesse de dformation .

ILa thorie de la viscolasticit rend compte des volutions

rversibles des matriaux visqueux.

IEn toute rigueur le bton est un matriau veillissant : les

dformations dires observes sur un bton ancien sont de

moindre amplitude que celles observes sur un bton jeune.

IPar souci de simplication, nous ferons ici abstraction du

phnomne de vieillissement qui aecte le bton.

formulation de la loi de comportement : Kelvin-Voigt

La formulation de Kelvin-Voigt est une loi de comportement drive

de la loi de Lam-Hooke concernant les solides viscolastiques.

ILoi de Kelvin-Hooke :

= tr()I + 2 (1)

ILoi de Kelvin-Voigt :

= [tr

()

+ tr()]I + 2

[+

](2)

Des termes de vitesse de dformation et de vitesse de contraite

apparaissent. Les coecients et sont deux coecientscaractrisant la viscosit du matriau : ils sont homognes au

temps.

Kelvin-Voigt : identication

IIdentier un matriau visco-lastique c'est le caractriser par

la quantication de ses coecients , , , .

IPour mesurer ces quatre coecients on se livre des

expriences d'indentication consistant soumettre un champ

de contrainte connu une prouvette ralise dans le matriau

et enregistrer l'volution des dformations.

IComme il y a quatre inconnues, les expriences de mcanique

sont conues de sorte dcoupler les phnomnes et donc

mobiliser une partie des coecients.

ILa dtermination des paramtres de viscosit requiert

l'enregistrement des dformations au cours du temps (on

observe l'coulement du matriau).

Kelvin-Voigt : identication

torsion

Pour identier les deux coecients et on ralise uneexprience de cisaillement par torsion d'une prouvette cylindrique.

z = 2 [z + z] (3)

ou, en terme de distorsion (G = est le module de cisaillement ) :

torsion

= G [ + ] (4)

Kelvin-Voigt : exercice torsion

On eectue un test de uage en torsion pure. Le moment de

torsion C est applique instantanment l'extrmit d'une

prouvette cylindrique de rayon R , de longueur L. Dire quelle est

l'volution de la rotation de la section d'extrmit au cours dutemps (tracer la courbe d'volution).

IAN : G = 18750MPa, L = 640mm, R = 40mm, C =235 kN.m, = 25 jours

Kelvin-Voigt : exercice torsion - rponse 1/2

IEtude cinmatique : on montre que (r) = r la distorsionest proportionnelle au rayon.

ILoi de comportement : = G [ + ] le cisaillement estgalement proportionnel au rayon (r) = rR

IPar intgration : C = pi2

R3

IEt : = G

[ +

]= GR [ + ]

IFinalement : C = GJ [ + ] avec J =1

2

piR4 et = L

IPar consquent on obtient l'quation suivante :

CL

GJ

= +

Kelvin-Voigt : exercice torsion - rponse 2/2

La solution gnrale de l'quation homogne

d = dt estln

(k

)= t soit = k .e

t.La solution particulire de

l'quation avec second membre est

CL

GJ

. La solution gnrale est

ainsi :

= k .e t +CL

GJ

Au tout dbut de l'essai, t

0

= 0, la rotation est nulle 0

= 0 donck = CLGJ

. La rotation suit donc la loi suivante :

(t) =CL

GJ

[1 et

]

Kelvin-Voigt : traction

En traction monoaxiale :

on introduit le coecient de contraction (Poisson) tel que22

= 33

= 11

, d'o :

11

= [ (1 2) + 2] 11

+ [ (1 2) + 2mu] 11 (5)

on pose E = (1 2) + 2 comme en lasticit, et = (1 2) + 2 et donc :

11

= E11

+ 11

(6)

Kelvin-Voigt : exercice traction

On eectue un test de traction pure sur un matriau viscolastique,

la contrainte de traction est applique instantanment, dterminer

la loi d'volution de la dformation axiale. Montrer que les deux

tests (torsion puis traction) permettent de dterminer les quatre

coecients de la loi de comportement.

IAN - Quel est le coecient de viscosit , exprim enMpa.jour , d'un bton dont la dformation instantane sousl'action d'une contrainte de compression = 10MPa vaut0

= 200, la dformation valant 365

= 600 l'issue de365 jours ?

Modle rhologique de Maxwell

Figure: modle de Maxwell-Zener

Le comportement d'un matriau viscolastique est expliqu par la

juxtaposition de modles rhologiques composs de ressorts et de

dissipateurs.


On tablit les relations suivantes :

= e2

+ a2

(7)

= 1

+ 2

(8)

1

= E1

1

= E1

(9)

2

= a2

= E2

e2

(10)

=> trouver l'quation direntielle liant et ? ?


Etapes de calcul :

= e2

+ a2

= = e2

+ a2

= 2E

2

+2

2

= 1

= E1

= 1E

2

[ E1

] +1

[ E1

]

[E1

+ E2

] +E

1

E

2

= +E

2

(11)

Formulation fonctionnelle - uage

Cherchons tablir la rponse de uage (t) une sollicitationunidimensionnelle (t) d'un matriau viscolastique l'aide deshypothses suivantes :

1. la dformation (t) est une fonctionnelle de toute l'histoiredu chargement (contrainte) () :

2.

(t) = F ( ()) , < t (12)3. le matriau est non vieillissant ;

4. la fonctionnelle est linaire :F (1

+ k2

) = F (1

) + kF (2

)


Figure: fonction de Heaviside

Supposons maintenant que l'on applique une sollicitation de uage

sous la forme :

(t) = 0

H (t ) (13)o H est la fonction chelon de Heaviside :

H = 0 si t < H = 1 si t (14)


Alors la rponse en dformation est de la forme :

(t) = 0

.J (t ) (15)

La fonction J est la fonction de uage (ou complaisance de uage).

Si le matriau n'est pas veillissant, cette fonction est indpendante

de l'instant initial . Si le matriau est vieillissant (sans que ce soitpjoratif) la fonction de uage dpend de l'instant d'application de

la charge.


Si la solicitation est tage, alors la rponse est reprsente par :

(t) =nj=1

j

.J (t j

) (16)

Figure: rponse une sollicitation tage


Gnralisation : Si la solicitation est une fonction continue par

morceau et drivable, alors la rponse est donne par :

(t) =

t

0

J (t ) .dd

().d +nj=1

j

.J (t j

) (17)

expression qui est un produit de convolution et qui est not :

(t) = J DDt

(18)


EXERCICE

Trouver la fonction de uage correspondant au modle de

Maxwell-Zener.

METHODE

La fonction de uage est la rponse en dformation une

sollicitation chelon unitaire.

fonction de uage

Le modle visco-lastique de Zener est rgi par l'quation

direntielle :

[E1

+ E2

] +E

1

E

2

= +E

2

La fonction de uage est la rponse en dformation un chelon de

contrainte 0

appliqu l'instant initial t

0

= 0 ; en eet :(t) = 0

.J (t)L'histoire du chargement est rduit (t) = 0

H(t).

fonction de uage

Par consquent : = 0 t > 0 donc :

[E1

+ E2

] +E

1

E

2

=E

2

0

Posons E

0

= E1

+ E2

, alors :

+E

1

E

2

E0

=E

2

E0

0

Solution :

(t) = 0

1E

1

[1 E2E

0

e

t]avec =E

1

E

2

E0

(19)

Fonction de uage :

J(t) =1

E

1

[1 E2E

0

e

t](20)

fonction de relaxation

Rciproquement, on impose une dformation permanente :

(t) = 0

.H(t) ; par consquent : = 0 t > 0 donc :

[E1

+ E2

] +E

1

E

2

= +E

2

+E2

=E

1

E

2

0

Solution :

(t) = 0

[E

1

+ E2

e

E2t

](21)

Fonction de relaxation :

R(t) = E1

+ E2

e

E2t

(22)

rponse une histoire de contrainte quelconque

Supposons l'histoire de chargement dnie par une fonction (t)pouvant prsenter des discontinuits de valeurs i

aux instant t

i

.

On cherche la rponse du matriau (systme rholgogique) en

dformation :

Il faut rsoudre l'quation direntielle gnrale :

[E1

+ E2

] +E

1

E

2

= +E

2

La solution gnrale de l'quation sans second membre est connue :

(t) = A.et avec =E

1

E

2

E0

(23)

La constante A est obtenue par la mthode de la variation de la

constante, tout calcul fait, on obtient :

(t) =

t

0

d

d.J(t ).d + i

.J(t ti

) (24)

rponse une histoire de contrainte quelconque

L'expression

(t) =

t

0

d

d.J(t ).d + i

.J(t ti

) (25)

est note :

(t) =

t

0

D

D.J(t ).d (26)

o la notation

Df

Dt

(ou simplement f ) exprime aussi bien les

variations continues que discontinues de la fonction f .

Cette intgrale est un produit de convolution et on note :

(t) = (J ) (t) (27)

rponse une histoire de dformation quelconque

De la mme faon la rponse en contrainte une exprience de

relaxation, o l'histoire des dformations (t) est impose, estdonne par le produit de convolution impliquant la fonction de

relaxation :

est note :

(t) =

t

0

D

D.R(t ).d = (R ) (28)

PROPRIETE DE RECIPROCITE des fonctions de uage et de

relaxation :

J R = R J = H (fct de Heaviside)

commutativit du produit de convolution

Soient f et g deux fonctions du temps t. On dnit le produit de

convolution de f par g par l'expression :

(f g) (t) =t

0

f ().g(t ).d (29)

posons u = t alors du = d et = t u, d'o :

(f g) (t) =0

t

f (tu).g(u).(du) =t

0

f (tu).g(u).du (30)

par consquent :

(f g) (t) = (g f ) (t) (31)

transforme de Laplace-Carson

Soit f une fonction du temps t. On considre la transformation Ltelle que :

f Lf+tq f

+(p) =

0

p.f (t).ept .dt (32)

f

+est dite image de f par la transforme de Laplace-Carson.

image d'un produit de convolution

Soient f et g deux fonctions du temps t. On considre le produit

de convolution g f tel que :(g f

)(t) =

t

0

f ().g(t ).d (33)

Puis l'image de ce produit de convolution :

(g f

)+, on montre

que : (g f

)+= g+.f + (34)

La transforme de Laplace-Carson transforme un produit deconvolution en produit simple de deux fonctions.

transforme de fonctions standard

Fonction Transforme Fonction Transforme

f (t) f +(p) t 1p

.f (t) .f +(p) tn n!p

n

Df

Dt

p.f +(p) eat pp+a

H(t) 1 1 eat ap+a

H(t ) ep cost p2p

2+2

f (t ) f +(p).ep sint pp

2+2

si f (t) = 0 pour t 0 f (t).eat pp+a f

+(a + p)(Df

Dt

g) (t) f +(p).g+(p) (t)m.f (t) p dmdp

m

(f

+(p)p

)

transforme de la fonction de uage de Maxwell

J(t) =1

E

1

(1 E2E

0

e

t)(35)

J

+(p) =1

E

1

(1 E2E

0

p

p +

)=E

2

E

0

1

+p

E

2

p + (36)

Rciproquement :

J R = R J = H (fct de Heaviside) R+.J+ = 1 (37)

R+(p) = 1J

+(p)(38)

application pratique

La transforme de Laplace Carson permet de transformer un

problme de viscolasticit en un problme d'lasticit. On opre

selon le schma suivant :

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