mecaniquedupointetdusolide

7/31/2019 mecaniquedupointetdusolide

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Universit Mohamed V Facult des Sciences RABAT. Benaddat - 1 -

Cours et travaux dirigsMcanique du point et du solide

Mohamed BENADDAT

UNIVERSITE MOHAMED VFACULTE DES SCIENCES

RABAT-AGDAL

G

C

O

DEPARTEMENT DE PHYSIQUE

NB : Ce n'est pas le cours principale de la FSR


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Sommaire1 Bases repres et rfrentiels ................................................................................................42 Cinmatique du point et du solide ..........................................................................................5

2.1 Coordonnes cartsiennes ..............................................................................................52.2 Coordonnes cylindriques...............................................................................................62.3 Coordonnes sphriques.................................................................................................82.4 Position dun point. .....................................................................................................92.5 Vitesse dun point ..................................................................................................... 102.6 Acclration dun point ............................................................................................... 13

2.7 Coordonnes intrinsques. Composantes de Frenet. ................................................................ 152.8 Etude de mouvements................................................................................................. 16

2.8.1 Types de mouvements ............................................................................................ 162.8.2 Traiter un exercice de cinmatique ............................................................................. 16

TRAVAUX DIRIGES SUR LA CINEMATIQUE .......................................................................................... 183 Notions de forces et dquilibre........................................................................................... 22

3.1 Le torseur force........................................................................................................ 233.1.1 Les forces.......................................................................................................... 233.1.2 Moment de forces................................................................................................. 23

3.2 Equilibre, rotation et translation..................................................................................... 243.2.1 Equilibre........................................................................................................... 243.2.2 Couple et mouvement de rotation............................................................................... 243.2.3 Translation ........................................................................................................ 25

3.3 Forces de frottement.................................................................................................. 253.3.1 Frottement statique .............................................................................................. 253.3.2 Frottement dynamique ........................................................................................... 25

3.4 Rsolution des problmes de statique................................................................................ 273.4.1 Solide en quilibre sous laction de 2 forces.................................................................... 273.4.2 Solide en quilibre sous laction de 3 forces.................................................................... 273.4.3 Solide en quilibre sous laction de n forces.................................................................... 273.4.4 Mthode ........................................................................................................... 27

TRAVAUX DIRIGES SUR LA STATIQUE.............................................................................................. 284 Dynamique des solides ..................................................................................................... 32

4.1 Elments de dynamique ............................................................................................... 324.1.1 Le torseur cintique .............................................................................................. 32

4.1.1.1 Quantit de mouvement ..................................................................................... 324.1.1.2 Moment cintique............................................................................................ 324.1.1.3 Arrt, rotation et translation. ............................................................................... 32

4.1.1 Le torseur dynamique ............................................................................................ 334.2 Principes fondamentaux de la dynamique ........................................................................... 34

4.2.1 Enonc de Newton ................................................................................................ 344.2.2 Enonc mathmatique du principe fondamental ............................................................... 344.2.3 Thorme de la quantit de mouvement, Thorme de la rsultante cintique ............................. 344.2.4 Thorme du moment cintique................................................................................. 34

4.3 Dynamique des particules charges .................................................................................. 354.3.1 Forces de champ .................................................................................................. 35

Champ gravitationnel : ............................................................................................... 35Champ lectromagntique : .......................................................................................... 35

TRAVAUX DIRIGES SUR LA DYNAMIQUE ............................................................................................ 365 Energtique................................................................................................................. 405.1 Grandeurs scalaires.................................................................................................... 40

5.1.1 Puissance, Travail et Energie potentielle ....................................................................... 40Puissance .............................................................................................................. 40Travail................................................................................................................. 40Energie potentielle ................................................................................................... 41Travail et nergie potentielle des forces usuelles .................................................................. 41

5.1.3 Energie cintique ................................................................................................. 435.1.4 Energie mcanique................................................................................................ 435.1.5 Energie totale..................................................................................................... 43

5.2 Thormes mathmatiques ........................................................................................... 445.2.1 Transport des moments........................................................................................... 44

5.2.2 Rfrentiel du centre de masse.................................................................................. 445.2.3 Thorme de Koenig .............................................................................................. 44

Thorme de Koenig pour lnergie cintique...................................................................... 455.3 Thorme de lnergie cintique..................................................................................... 46


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5.3 Thorme de lnergie mcanique ................................................................................... 465.5 Transferts nergtiques............................................................................................... 47

5.5.1 Diffrents types de transfert..................................................................................... 475.5.2 Premier principe de thermodynamique.......................................................................... 475.5.3 Rendement ........................................................................................................ 47

TRAVAUX DIRIGES SUR LENERGETIQUE ........................................................................................... 486 Solide en rotation autour dun axe de direction fixe .................................................................... 52

6.1 Moment dinertie ...................................................................................................... 526.1.1 Moment dinertie par rapport un axe.......................................................................... 52

Expressions par rapport aux axes du repre cartsien ............................................................. 52

6.1.2 Moment dinertie par rapport un point........................................................................ 536.1.3 Base principale dinertie......................................................................................... 536.1.4 Thorme dHuyghens-Schteiner ................................................................................ 546.1.5 Exemples de calculs de moments dinertie ..................................................................... 55

Moment dinertie dun disque plein ................................................................................. 55Moment dinertie dun cne plein rgulier .......................................................................... 55Moment dinertie dune sphre creuse .............................................................................. 56Moment dinertie dune sphre pleine .............................................................................. 56

6.2 Cas dun solide symtrie cylindrique ou sphrique................................................................ 576.2.1 Moment cintique - Moment dinertie........................................................................... 576.2.2 Thorme du moment cintique par rapport laxe de rotation.............................................. 576.2.3 Expression de lnergie cintique dun solide en rotation autour dun axe fixe.............................. 586.2.2 Analogie avec le mouvement de translation .................................................................... 58

TRAVAUX DIRIGES SUR LA DYNAMIQUE DU SOLIDE .................................................................................. 59Annexe 1. Les intgrales ....................................................................................................... 64

1.1 Dfinitions.............................................................................................................. 641.2 Proprits .............................................................................................................. 641.3 Mthodes dintgration................................................................................................ 64

Annexe 2 Les diffrentielles.................................................................................................... 65Annexe 3 Equations diffrentielles ............................................................................................ 66

3.1 Solutions types ......................................................................................................... 663.2 Mthode de rsolution................................................................................................. 66

Annexe 4 Calculs de surfaces et de volumes .................................................................................. 674.1 Formulaire ............................................................................................................. 67

4.1.1 Coefficients ....................................................................................................... 674.1.2 Calcul de surfaces................................................................................................. 674.1.3 Calcul de volumes................................................................................................. 67

4.2 Exemples de calculs de surfaces...................................................................................... 684.2.1 Surface dun cercle............................................................................................... 684.2.2 Surface dune sphre ............................................................................................. 68

4.3 Exemples de calculs de volumes ...................................................................................... 694.3.1 Volume dun cylindre............................................................................................. 694.3.2 Volume dune sphre ............................................................................................. 694.3.3 Volume dun cne................................................................................................. 69

Annexe 5 Calculs de centres dinertie......................................................................................... 705.1 Dfinition du centre dinertie ........................................................................................ 705.2 Proprits du centre dinertie........................................................................................ 705.3 Calculs de centres dinertie........................................................................................... 70

5.3.1 Centre dinertie dun cne plein rgulier ....................................................................... 705.3.2 Centre dinertie dune demi sphre pleine ..................................................................... 715.3.3 Centre dinertie dune demi sphre creuse ..................................................................... 715.3.4 Centre dinertie dun disque perc.............................................................................. 715.3.5 Centre dinertie dun solide simple.............................................................................. 72

Annexe.6 Les vecteurs.......................................................................................................... 73Annexe 7 Les oprateurs ....................................................................................................... 74

7.1 Le gradient............................................................................................................. 747.2 La divergence.......................................................................................................... 747.3 Le rotationnel.......................................................................................................... 747.4 Relations entre oprateurs............................................................................................ 757.5 Relations intgrales ................................................................................................... 75


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1 Bases repres et rfrentiels

Base :

Dans un espace trois dimensions, on appelle base vectorielle un ensemble de 3 vecteurs linairementindpendants :

321ebeaerrr

+

321 ,, eeerrr

sont non coplanairesRepres despace :

Lensemble constitu dun point O de lespace et de 3 vecteurs de base forme un repre despace.

Repre direct :

Le produit vectoriel tant anticommutatif ABBArrrr

= , il est ncessaire de dfinir une norme ,un sens normal . Le sens direct est obtenu avec la rgle de la main droite.

Repre de Copernic :Lorigine correspond : au centre de masse du systme solaireet les axes sont dirigs vers : trois toiles fixes.

Repre gocentrique :Lorigine correspond :au centre de masse de la terreet les axes sont dirigs vers : trois toiles fixes.

Coordonnes :Pour dfinir la position de tout point dans un repre, on constate exprimentalement, quil est ncessaire et

suffisant de prendre trois rels appels coordonnes.

Repre de temps

Il est constitu dun instant dorigine et dune chelle de temps

RfrentielLensemble constitu dun repre despace et dun repre de temps est appel rfrentiel.

Rfrentiel galilen :

Cest un rfrentiel dans lequel lespace est homogne et isotrope et le temps uniforme.


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2 Cinmatique du point et du solideLa cinmatique est ltude des mouvements indpendamment des causes qui les produisent.

Pour dcrire le mouvement dun point il est ncessaire dutiliser des coordonnes. Le choix du systme decoordonnes dpendra des caractristiques du mouvement.Voici trois systmes de coordonnes usuels :

- Coordonnes cartsiennes.

- Coordonnes cylindriques.- Coordonnes sphriques

2.1 Coordonnes cartsiennes

Coordonnes :x : abscissey : ordonnez : cte

Reprsentation :

M

P

O

dy

dx

dz

x

y

z

xer y

er

zer

xer y

er

zer

xer y

er

zer

Vecteur position :

zyx ezeyexOMrrr

++=

Dplacement lmentaire :

zyx edzedyedxdOMrrr

++=

Volume lmentaire :

dzdydxVd =3

xe

rye

r

zer

dxdz

dy

OMd


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2.2 Coordonnes cylindriques

Coordonnes :

: rayon polaire : angle polairez : cte

Reprsentation :

Vecteur position :

PMOPOM +=

zezeOMrr

+=

On remarquera que le point M na pas de composante selon er

.

La base cylindrique est une base mobile donc langle intervient non pas dans la position de Mpar rapport la base cylindrique mais dans la position de la base cylindrique par rapport au repre qui est fixe

Relation avec les coordonnes cartsiennes :

ere

rye

r

xer

=

==

z

y

x

z

sin

cos

e

cart

0

sin

cos

e

cart

0

cos

sin

22 yx += 22

sinyx

y

+=

M

O

P

OM

OP

PMr

z

ze

e

P

O

x

y

z

xer y

er

zer

er

er

zer

dM

M'

.d

dzer

er

zer

d

rz


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zedzededOMd ++=

Volume lmentaire :

dzddVd = 3

Drives des vecteurs par rapport langle :

Rappels :

sin

)(cos =d

d

cos

sin =d

d

que lon peut retenir avec :

cos

sin

drivation

-cos

-sin

intgration

On dduit des coordonnes des vecteurs :

=

d

ede =

d

ede

On remarquera que la drivation par rapport correspond une rotation de2

:

er

er

/2

er

d

d

d

er

er

zer

.ddz

OMd


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2.3 Coordonnes sphriques

Coordonnes :

r : rayon vecteur 0r : colatitude 0 : azimuth 20

Reprsentation :

M

Oxer y

er

ze

r

d

d

dr

r.sin.d

r

r.d

rer

er

er

rer

er

er

=r.sin

r.d

r.sin.d

Vecteur position :

rerOMr=

Mme remarque que pour les coordonnes cylindriques : M na quune coordonne car la base sphrique est mobile.Les deux autres coordonnes apparaissent dans le positionnement de la base mobile par rapport la base fixe.

Relation avec les coordonnes cartsiennes :

=

==

z

y

x

cos

sinsin

cossin

r

r

r


edrerdedrOMd r ++= sin

Volume lmentaire :

drrddrVd sin3 =

dr

r.d

rer

er

er

OMd

r.sin.d

xer

yer

y=r.sin.sin

x=r.sin.cos

.cos

.sin

=r.sin

zer

er

r

z=r.cos

=r.sin

r.cos

r.sin


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2.4 Position dun point.

Un point M dans un repre R est caractris par son vecteur position : OM

M

O

x

y

z

xer y

er

zer

xer

yer

zer

trajectoire

OM

En coordonnes cartsiennes on note :

=OM zyx ezeyex ++ ou OM

cartz

y

x

o

cart

indique que les coordonnes du vecteur sont celles quil a dans la base cartsienne.

La trajectoire est lensemble des positions occupes par le point M.

Lquation de la trajectoire du point M est la relation liant les coordonnes indpendamment du temps.

En coordonnes cartsiennes on notera 0),,( =zyxf

On appelle quation horaire lexpression des coordonnes du point en fonction du temps :

===

)(

)(

)(

tfz

tfy

tfx

z

y

x

Si le mouvement est plan, on choisit le repre de telle sorte que deux coordonnes suffisent. Gnralement on

conserve les coordonnes x et y.

==

)(

)(

tfy

tfx

y

x

Si le mouvement est rectiligne, on choisit le repre de telle sorte quune seule coordonne suffise. Gnralement onconserve la coordonne x.

)(tfx x=


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Lorsque la trajectoire est telle que les expressions et calculs des position, vitesse et acclration sont plus simples encoordonnes cylindriques alors on les exprime dans cette base mobile.

m

O

x

y

z

xer y

er

zer

M

zer

z

trajectoire

base fixe base mobile

xer

yer

zer

er

er

er

er

zer

La base cylindrique tant une base mobile dont lorientation des vecteurs dpend de la position du point M dans satrajectoire il nest pas tonnant de voir que deux coordonnes seulement suffisent exprimer la position :

zezeOM += ou

cylz

OM

0

2.5 Vitesse dun point

La vitesse moyenne dun point est obtenue en calculant le rapport de la distance parcourue par la dure du parcours :

t

dv =

Lorsque lon veut obtenir le vecteur vitesse moyenne entre deux points M1(t1) et M2(t2)on exprime :

M1

M2

12

21

tt

MMv

=

Si lon veut exprimer le vecteur vitesse instantane en un point M de la trajectoire il faut faire le calcul :

RRMdt

OMdv )(/ =

Le vecteur exprim est celui de la vitesse du point M dans son mouvement par rapport au rfrentiel R. La drive duvecteur position se faisant par rapport ce rfrentiel.Lexpression du vecteur vitesse dans son mouvement par rapport au rfrentiel R peut tre exprim dans toute autrebase.


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En coordonnes cartsiennes (base fixe) le mouvement du point M par rapport au rfrentiel cartsien donne levecteur vitesse :

zyxRM ezeyexv ++= &&&/ ou

cart

RM

z

y

x

v

&

&

&

/

En coordonnes cylindriques (base mobile) le mouvement du point M par rapport au rfrentiel cartsien donne levecteur vitesse :

zRM ezeev ++= &&& / ou

cyl

RM

z

v

&

&

&

/

dmonstration :

zezeOM +=

R

z

RRMdt

ezed

dt

OMdv )

)(()(

/

+==

dt

edze

dt

dz

dt

ede

dt

dv zzRM +++=

/

On a vu que :

e

d

ed= donc on peut simplifier

e

dt

d

d

ed

dt

ed&== et

0=dt

ed z car ze est un vecteur fixe

soit zRM ezeev ++= &&& /


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On notera les points suivants :

Lunit lgale de la vitesse est le mtre par seconde m.s-1

Le vecteur vitesse en un point est confondu la tangente la trajectoire en ce point.

Le sens du vecteur vitesse est celui du mouvement.

Comme pour tout vecteur la norme de la vitesse correspond la racine carre de la somme du carr descomposantes de ce vecteur.

( ) 222222/ zyxzv RM &&&&&& ++=++=

Il ne faut pas confondre dune part le rfrentiel par rapport auquel on tudie le mouvementavec dautre part la base que lon choisit pour exprimer le plus facilement les vecteurs position, vitesse ouacclration.

Dans le cas dun mouvement de rotation daxe Oz, on dfinit le vecteur ze &= . A laide des coordonnes

cylindriques exprimons le produit vectoriel OM . On a

cyl

&

0

0

cyl

OM

0

0

donc eOM &=

soit la relation gnrale : OMv =

Le mouvement dun point M par rapport un rfrentiel R1 de centre O1 et par rapport un rfrentiel R2 decentre O2 vrifie la loi de composition des vitesses:

11)(

/ RRMdt

OMdv =

22)(

/ RRMdt

OMdv =

MOvvv RRRORMRM 2//// 121221 ++=

o12 /RR

dsigne le vecteur vitesse de rotation du repre R2 par rapport R1

cyl

RM

z

v

&

&

&

/

Vitesse radiale

Vitesse orthoradiale


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2.6 Acclration dun pointDe mme que pour la vitesse on peut dfinir les vecteurs acclration moyenne et acclration instantane.

Le vecteur acclration moyenne est obtenu entre deux vecteurs vitesses des instants t1 et t2

12

12

tt

vva

=

Le vecteur acclration instantane correspond la drive du vecteur vitesse par rapport au temps

RRM

RMdt

vda )( /

/= ou RRM

dt

OMda )(

2

2

/=

Les remarques sur la vitesse concernant la base et le rfrentiel sont aussi valables pour lacclration

En coordonnes cartsiennes (base fixe) le mouvement du point M par rapport au rfrentiel cartsien donne levecteur acclration :

zyxRM ezeyexa ++= &&&&&&/ oucart

RM

z

y

x

a

&&

&&

&&

/

En coordonnes cylindriques (base mobile) le mouvement du point M par rapport au rfrentiel cartsien donne levecteur vitesse :

[ ] [ ] zRM ezeea +++= &&&&&&&&& 22/ ou

cyl

RM

z

a

+

&&

&&&&

&&&

2

2

/

dmonstration :

R

z

RRM

RMdt

ezeed

dt

vda )

)(()( //

++==

&&&

Rz

RRRMdt

ezd

dt

ed

dt

eda )

)(()

)(()

)((

/

+

+

=&&&

Rz

zRRRRRRRMdt

edze

dt

zd

dt

ede

dt

de

dt

d

dt

ede

dt

da )

)(()

)(()

)(()

)(()

)(()

)(()

)((

/++++++= &

&&

&&&

&

On a:

e

d

ed= donc

e

dt

d

d

ed

dt

ed&== et

e

d

ed= donc

e

dt

d

d

ed

dt

ed&== et 0=

dt

ed z

soitzRM ezeeeeea ++++= &&&&&&&&&&&& /

zRM ezeeeea &&&&&&&&& +++= 22

/

[ ][ ]

zRMezeea &&&&&&&&&

+++= 22

/

ou

[ ] ( )zRM

ezedt

dea

+

+=&&&&&&

22

/

1


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Universit Mohamed V Facult des Sciences RABAT.. Benaddat - 14 -

( )

cyl

RM

z

dt

da

&&

&

&&&

2

2

/

1

acclration radiale

acclration orthoradiale

On notera les points suivants :

Lunit lgale de lacclration est le mtre par seconde au carr m.s-2

La direction et le sens du vecteur acclration par rapport sa trajectoire nest pas aisment exprimable.

Comme pour tout vecteur la norme de lacclration correspond la racine carre de la somme du carr descomposantes de ce vecteur.

[ ] [ ] 2222222/ 2 zyxza RM &&&&&&&&&&&&&&& ++=+++=

Laire dun arc de cercle dangle vaut 22

1R et sa drive par rapport au temps qui vaut &2

2

1R sappelle

la vitesse arolaire. Si le mouvement est tel que lacclration orthoradiale est nulle alors ( ) 02 = &dt

d et &2 est

une constante donc le mouvement seffectue vitesse arolaire constante. Cela correspond aux mouvementsplantaires.


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M te

neR

trajectoire

cercleosculateur

2.7 Coordonnes intrinsques. Composantes de Frenet.

On peut aussi exprimer la vitesse et lacclration partir dune base mobile ),,,( bnt eeeM dfini partir desvecteurs :

te : Vecteur tangent la trajectoire au point M, dans le sens du mouvement

ne : Vecteur normal la trajectoire dont la droite daction passe par le centre de courbure de la trajectoire

en ce pointbe : Vecteur binormal dfini partir des deux prcdents par ntb eee =

On appelleplan osculateur, le plan ),,( nt eeM :

Localement on confond la trajectoire avec le cercleosculateur.

On dfini une abscisse curviligne s sur le cercle osculateur qui vrifie dRds = soit encore :

Rds

d 1=

La vitesse sexprime par :

tedt

dsv =

et lacclration sen dduit :

dt

edve

dt

dv

dt

evd

dt

vda tt

t +=== )(

On a dj vu que

e

d

ed= et de mme nt e

d

ed =

donc ntt e

dt

d

dt

d

d

ed

dt

ed

==

Maisdt

dnest pas une grandeur accessible, alors que

ds

dlest, on crit donc :

R

v

dt

ds

ds

d

dt

d == soitn

t eR

v

dt

ed =

do lexpression :

acclrationnormale

nt eR

ve

dt

dva +=

2

acclrationtangentielle

dR

ds


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2.8 Etude de mouvements.

2.8.1 Types de mouvements

Dans le rfrentiel considr.

La trajectoire peut tre :

- rectiligne : - la trajectoire est une droite,

- le rayon de courbure est infini et la composante normale de lacclration est nulle.

- circulaire : - la trajectoire est un cercle,- la trajectoire est donc plane,- le rayon de courbure est constant.

- curviligne : - la trajectoire est une courbe.

- hlicodal : - la trajectoire est une hlice.

Le mouvement peut tre :

- uniforme : - la valeur algbrique de la vitesse est constante,

- le vecteur vitesse nest pas forcment constant,- seule la composante tangentielle de lacclration est nulle.

- uniformment vari : - la valeur algbrique de lacclration tangentielle est constante.

- acclr : - la valeur algbrique de la vitesse augmente,- la composante tangentielle de lacclration est dans le sens du mouvement.

- ralenti : - la valeur algbrique de la vitesse diminue,- la composante tangentielle de lacclration est dans le sens contraire du mouvement.

- sinusodal : - une composante de position dpend sinusodalement du temps.

Le mouvement dun solide peut tre :

- de translation : - le vecteur vitesse est identique en tout point du solide.

- de rotation : - la trajectoire de chaque point du solide est circulaire.

Par exemple la nacelle dune grande roue a au dmarrage un mouvement de translation circulaire uniformment vari

2.8.2 Traiter un exercice de cinmatique

Le but est gnralement dexprimer les quations horaires du mouvement pour remonter ventuellement verslquation de la trajectoire.

Lorsque la nature de la trajectoire est donne, il faut en dduire les conditions sur les caractristiquesexprimes dans une base adapte.

Exemple du mouvement circulaire sinusodalLa trajectoire est circulaire on choisit la base cylindrique.La trajectoire est plane donc la coordonne z est nulleLa trajectoire est un cercle donc le rayon est une constante (ce nest pas lui qui dpend sinusodalement du temps)

Donc on peut dj crire en notant r le rayon du cercle : erOM = On remarque que la base mobile choisie ne permet pas de faire apparatre le caractre sinusodal du mouvement

On en dduit lexpression de la vitesse :

erezeev zRM =++= &&&&/ puis lexpression de lacclration :


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Universit Mohamed V Facult des Sciences RABAT. benaddat - 17 -

[ ] [ ] eeezeea zRM &&&&&&&&&&&& +=+++= 22/ 2 Le caractre sinusodal apparat dans lexpression de : )cos( 0max += t o dsigne la pulsation et 0linclinaison initiale.

Lorsque lapplication des lois de la dynamique nous fournis les coordonnes de lacclration, alors il fautremonter par intgration aux caractristiques de vitesse puis de position. Les constantes dintgration serontdtermines par les conditions initiales du mouvement.

Vecteuracclration

Vecteurvitesse

Vecteurposition

drivation drivation

intgration intgration

Calcul de la norme

vitesse intrinsque

Calcul de la drive

acclration tangentielle

Calcul de la norme

acclration intrinsque

acclration normale Pour les applications numriques, il faut penser avant tout calcul se placer dans le systme dunits

internationales (U.S.I.).


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O

er

er

zer

xer

yer

zer

R

Pas de l'hlice2h

TRAVAUX DIRIGES SUR LA CINEMATIQUE

Exercice 1 : Mouvements rectilignesPour chacun des mouvements suivants :

- Mouvement rectiligne uniforme,- Mouvement rectiligne uniformment vari.

a) Indiquer les conditions sur les caractristiques.b) En dduire les vecteurs acclration puis vitesse puis position.

Exercice 2 : La voitureUne voiture lance sur une ligne droite 72 km.h-1 sarrte dun mouvement uniformment vari sur une distance de80m.

a) Quelle est la valeur de la dclration ?b) Combien de temps met-elle pour sarrter ?

Exercice 3 : Mouvements circulairesPour chacun des mouvements suivants :- Mouvement circulaire uniforme,- Mouvement circulaire uniformment vari.

a) Indiquer les conditions sur les caractristiques.b) Indiquer la base choisie.

c) En dduire les vecteurs position, vitesse et acclration.

Exercice 4 : Mouvement hlicodal uniformeLe point tudi suit la trajectoire ci-contre :

a) Donner lexpression des coordonnes de position dans lesrepres cartsiens et cylindriques

b) En dduire les coordonnes de la vitesse ainsi que sanorme.

c) En dduire les coordonnes de lacclration ainsi que sanorme.

d) Quel est le rayon de courbure de la trajectoire.Exercice 5 : Le projectile

O

M

L

x

y

z

Un mobile considr comme ponctuel se dplace la vitesse constante v0 le long dune barre de longueur L faisant unangle constant avec laxe Oz.La barre est anime dun mouvement de rotation uniforme de vitesse angulaire autour de laxe Oz.

a) Indiquer la position du point M dans les diffrentes bases (cartsiennes, cylindriques, sphriques).b) En dduire le vecteur vitesse dans la base choisie.c) Calculer la vitesse djection ( =45,v0=10km/h, =3tr/min, L=20cm ).d) Exprimer le vecteur acclration.

Exercice 6 : Le catadioptre

Un cycliste descend avec une vitesse constante de 2 1 sm .

a) Donner lquation horaire du catadioptre situ lacirconfrence dune roue de rayon r=40cm.

b) Exprimer la vitesse et lacclration en

coordonnes intrinsques.c) En dduire le rayon de courbure de la trajectoirecyclodale.

Exercice 7 coursa) Redmontrer lexpression de la position, de la

vitesse et de lacclration en coordonnes cylindriquesPosition ducatadioptre t=0


19/76


Exercice 8 corrig : Le moteur

Sur une broche de machine est mont un outil de diamtre 200mm.On ferme linterrupteur du moteur.Loutil met 20 secondes pour prendre la vitesse angulaire de rgime, gale 40 rad.s -1.Loutil tourne ensuite dun mouvement uniforme pendant 60 secondes.On coupe le courant, loutil met 40 secondes pour sarrter.On demande pour chacune de ces priodes de dterminer, pour un point de la priphrie de loutil :

a) Lacclration angulaire et lacclration tangentielle la priphrie (on admettra que la priode de

dmarrage et celle de ralentissement sont acclration constante).b) Lacclration normale, la priphrie, en fonction du temps.

Exercice 9 corrig : Partiel 2003Un mobile considr comme ponctuel est attach lextrmit dune barre de longueur L, mobile autour du pointO.La barre est anime dun mouvement de rotation complexe tel que :

At= tt += 23

1 Exprimer dans un repre adapt et en vous aidant du formulaire le vecteur vitesse en fonction de A, L et t. Endduire sa norme.2 Exprimer le vecteur acclration en fonction de A,L et t.

O

M

L

x

y

z

rer

er e

r


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----------------------------------------------------------CORRECTIONS :----------------------------------------------------------Corrig de lexercice 8

Pour traiter ce mouvement circulaire on peut :

- Se placer dans la base cylindrique de vecteurs ),,( zeee et exprimer les vecteurs position, vitesse etacclration :

eOM = ev RM = &/ eea RM &&& +=2

/avec mm100=

La vitesse angulaire de lnonc correspond : &

= et lacclration angulaire &&

= Lacclration tangentielle correspond la composante selon e : &&=tana et lacclration normale la

composante selon e :2 &=normalea

- se placer dans la base de Frenet et en notant le rayon mmR 100= on crira teRv = et donc :

lacclration angulaire &&& == lacclration tangentielle ( ) &&& RRdt

Rwd

dt

dva ====tan et lacclration

normale( ) 22

22

&RRR

R

R

vanormale ====

ce qui donnent les mmes rsultats soient :

DmarrageRalentissement

vitesse angulaire

(rad.s-1)

40

dure(s)20

1

2

3

Mouvement uniforme

: 2220

40 === srad && , 2tan 2,021,0=== sma && et donc puisque lacclration est constante t2=&

, ( ) 22 4,021,0 ttanormale ==

20 == srad && 2tan 0

= sma 140 = srad& 222 160401,0 === smanormale &

21

40

40 === srad && , 2tan

1,011,0 === sma && et donc puisque la dclration est constante

( )[ ] tt =+= 12080140& , ( ) 144081,01201,0 22 +== tttanormale


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Corrig de lexercice 9

On choisi la base sphrique eeer ;;

avec spher

L

OM

0

0

avec L constant et on a :

Lr= ; = ; = ; 0=L& ; A=& ; 0=&& ; 16 += t&

et 6=&&

spher

RM

r

r

r

v

sin

/

&

&

&

devient avec les donnes de lnonc( ) ( )

spher

RM

AttL

LAv

+ sin16

0

/

do la norme :( ) ( ) ( )( )22/ sin16 AttLLAv RM ++=

( ) ( )AttALv RM222

/sin16 ++=

et lacclration :

spher

RM

rrr

rrr

rrr

a

+++

sincos2sin2

cossin2

sin

2

222

/

&&&&&&

&&&&&

&&&&

devient avec les donnes de lnonc

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )spher

RM

AtLAttLA

AtAttL

AttLLA

a

+++

+

sin6cos162

cossin16

sin162

222

/


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3 Notions de forces et dquilibre

Toute action mcanique sexerant sur un objet a pour effet soit :- de modifier son mouvement ou de le mettre en mouvement,- de le maintenir en quilibre,- de le dformer.

Toute action mcanique peut tre dcrite par une somme dactions lmentaires.

Toute action mcanique lmentaire sexerant sur un corps peut tre dcrite par la connaissance des quatrecaractristiques suivantes :

- le point dapplication,- la droite daction,- le sens,- la valeur : son intensit.

Ces quatre caractristiques sont celles dun vecteur li.La connaissance de ces quatre caractristiques permet de construire une grandeur vectorielle nomme force.

La connaissance de lensemble de ces caractristiques reprsentant lensemble des actions lmentaires permettra dedcrire le solide nimporte quel instant. Cest dans cette hypothse dterministe que nous nous placerons danslensemble de ce cours.

Il est important de noter quune action sur un solide le mettant ou modifiant son mouvement peut tre dcrite par unensemble de forces mais que la simple connaissance de la somme de ces forces (somme vectorielle) nest passuffisante pour en dcrire le mouvement.

Il est alors ncessaire de connatre une grandeur supplmentaire :Le moment total des forces (somme vectorielle des moments des forces) sexerant sur le solide.

En effet une somme de forces nulle peut trs bien mettre en mouvement un solide.

Pour tre complet dans la connaissance dune action il faudra donc connatre deux grandeurs :- la somme vectorielle des forces sexerant sur le solide.- la somme vectorielle des moments des forces sexerant sur le solide.

On retiendra donc que pour dcrire le mouvement dun solide dans lespace, il nous faudra connatre le couplesuivant : [Somme des forces, Somme des moments des forces] nomm Torseur force et not [F].

Ainsi les quations de la dynamique exprimes sur les forces et sur les moments pourront tre ramenes desquations torsorielles.

A chaque action lmentaire, on associera un torseur compos du vecteur force et de son moment.

Il est noter que le moment permet de dcrire la mise en rotation dun solide. Cest pourquoi pour une premireapproche de la dynamique si on se limite ltude dun point ou du centre dinertie dun solide lutilisation destorseurs est inutile et la seule connaissance des vecteurs forces suffit, laissant de ct la notion de moment. Mais dansltude de la mcanique du point, il ne faut pas oublier que lon perd une partie de la gnralit.


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3.1 Le torseur force

3.1.1 Les forces

Les forces peuvent tre regroupes en trois familles :- Les forces de champ : force de gravitation, force de Lorentz.- Les forces de contact : force de frottement, .- Les forces nuclaires assurant la cohsion du noyau atomique.

Les forces sexpriment en Newton not N

Le poids qui appartient la premire famille est dfini par les caractristiques suivantes :- Point dapplication : le centre dinertie du solide- Droite daction : la verticale- Sens : Vers le bas- Valeur : P=mg avec m masse en kg du solide et g=9,81N/kg sur terre

Dans le cas des forces de contact le point dapplication correspond au point de contact.

3.1.2 Moment de forces

Le moment total des forces est la grandeur qui va nous permettre de savoir si laction aura pour effet la mise enrotation du solide.

Il sexprime en un point O quelconque et pour une force F ayant A comme point dapplication par :

FOAMO

F=

Le moment est un vecteur libre.

Il est indpendant de la position de A sur la droitedaction.Norme du moment :

FdFOAMO

F== sin

Pour des raisons de simplification, si le solide est enrotation autour dun axe, on prfrera gnralementexprimer le moment par rapport cet axe. Avec Opassant par laxe de rotation on a :

= eMMO

FF

F

M est la projection deO

FM sur laxe de vecteur directeur e .Le scalaire

F

M est indpendant du choix de O

sur laxe .

Se choisir un vecteur e cest choisir un sens positif pour la rotation autour de laxe . Le signe du moment par

rapport laxe est donc positif si la rotation du vecteur F autour de se fait dans le sens positif choisi.

OA

F

d

OF

M

+

e

OA


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3.2 Equilibre, rotation et translation

3.2.1 Equilibre

Tout mouvement dun solide dans lespace peut tre dcompos en :- un mouvement de translation etun mouvement de rotation.

La connaissance de la somme des forces sexerant sur un solide renseignerasur la modification de son mouvement de translation.

Ce vecteur indiquant le sens et la direction du mouvement. Labsence detranslation se traduisant par une somme de forces nulle.

La connaissance de la somme des moments des forces sexerant sur un solide renseignera sur la modification de sonmouvement de rotation.

En effet toute force Fayant A comme point dapplication sappliquant sur un solide dont laxe de rotation passe par

le point O mettra ce solide en rotation autour de son axe tant que le vecteur OA ne sera pas colinaire au vecteurforce F . La rotation sarrtant quand les vecteurs sont colinaires soit le produit vectoriel nul.

O

A F

O

AF

Un solide ne pourra tre maintenu dans son tat dquilibre que sil nestmis ni en translation ni en rotation.

Cela se traduit mathmatiquement par :

0=F et 0= OM

ou plus synthtiquement par le torseur force [F] :[ ] 0=F

3.2.2 Couple et mouvement de rotation

Un solide dont la somme des forces est nulle mais le moment total non nulest soumis un couple.

0=F 0 OM Un couple est une action qui met le solide uniquement en rotation.

Un solide initialement en translation et soumis un couple restera entranslation mais subira en plus un mouvement de rotation

G

A1A

3

A2

1F

2F

3F

3F

2F

1F

G

3F

2F

1F

A1

1F

A2

2F

A3

3F

G

A1A3

A2

1F

2F

3F

3F

2F

1F


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3.2.3 Translation

La modification du mouvement dun solide, soumis un ensemble de forces non nulles mais de moment total nul, seraune translation.

0F 0= OM

Un solide initialement en rotation et soumis une somme de force non nulle mais de moment total nul restera enrotation mais subira en plus un mouvement de translation.

3.3 Forces de frottement

Raction du support et force de frottement sont gnralement inclues dans une mme force note R . Le torseur R se dcompose donc en :

N

R : Raction normaleOR

N

M : Moment de rsistance au pivotement

TR : Raction tangentielle = force de frottementO

RTM : Moment de rsistance au roulement

3.3.1 Frottement statique

Quand le solide est immobile du fait des frottements on peut dfinir un facteur de frottement statique S.s est dfini partir de la valeur maximale que peut prendre la composante tangentielle sans quil y ait demouvement.

On a donc NsT RR = max et donc quand le solide est immobile :

NsTRR

On peut aussi utiliser langle de frottement statique et le cne de frottement pour mieux visualiser la limite partirde laquelle le solide va glisser.

A partir du moment o TR est suprieur Ns R , le solide se met en mouvement et il faut utiliser le facteur defrottement dynamique D.

3.3.2 Frottement dynamique

Le facteur de frottement dynamique D qui comme S est une grandeur tabule qui dpend de la nature du contact,

permet dexprimer la composante tangentielle en fonction de la composante normale :

NDT RR =

La valeur de D est obligatoirement infrieure S

G

A1

A3

A2

1F

2F

3F

21FF =


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Exemple : Solide sur un plan inclin

Prenons un solide de poids P=100N pos sur un plan inclin dun angle .

Le solide est en quilibre si les deux forces P et R sont gales et opposes.

On suppose 4,0=S et 3,0=D . == 8,21)4,0arctan(S

Tant que la pente est dangleS

:

La raction vaut cosPRN = et la force de frottement sinPRT = ce qui est vrifie NsT RR , on dit que laraction est dans le cne de frottement statique :

=10

P

NR R

TR

S

cosPRN =

sinPRT =

Mais ds que langle S > .

On a toujours cosPRN = mais la valeur Ns R est suprieure maxTR donc on calcule dsormais NDT RR = carle solide se met glisser.

=23

P

N

PRN

21,9921,010

cos

==

=

NR

R

TR

N

RRNDT

76,221,930,0 ==

=

PR

0+RP


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3.4 Rsolution des problmes de statique

3.4.1 Solide en quilibre sous laction de 2 forces

Pour quun solide soit en quilibre sous laction de 2 forces, il faut et il suffit que les deux forces soient gales etdirectement opposes.

3.4.2 Solide en quilibre sous laction de 3 forces

Pour quun solide soit en quilibre sous laction de 3 forces, il faut et il suffit que :

- les 3 forces soient coplanaires.- les 3 forces soient concourantes au mme point.- chacune des forces soit oppose la somme gomtrique des 2 autres : dynamique ferm.

G

3F

2F

1F

A1

1F

A2

2F

A3

3F

3.4.3 Solide en quilibre sous laction de n forces

Proprit trs importante :La projection sur un plan dun systme de n forces en quilibre est un systmes de n forces coplanaires enquilibre.

Pour les corps possdant un plan de symtrie ce plan sera toujours choisi comme plan de projection.

3.4.4 Mthode

Pour rsoudre un problme de statique il faut procder gnralement ainsi :- Raliser un dessin de situation o figure le systme tudier dans son environnement extrieur sans y faire

figurer de forces.- Raliser un dessin o ne figure que le systme tudi et les forces extrieures quil subit.- Faire un bilan des caractristiques connues et inconnues des forces.- Raliser la construction mathmatique traduisant les conditions dquilibre : le dynamique des forces.- Exploiter ces diffrentes tapes pour rsoudre le problme.

Lutilisation du moment par rapport un axe donne une quation :

= 0/M Et lutilisation de la projection de la somme vectorielle des forces sur un plan (Oxy) en fournit deux autres :

0= xF 0= yF


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Benaddat - 28 -

TRAVAUX DIRIGES SUR LA STATIQUE

Exercice 1 : La potence

Soit une potence constitue :- dune barre mtallique homogne de longueur AB=l1=3,5m

et de masse m=20kg- dun cble horizontal de longueur BC=l2=2,0m et de poids

ngligeable devant la tensionOn suspend en B un cble de 1kg auquel est attach une charge de89kg.

a) Faire un bilan des forces sappliquant sur la barre. Onnommera langle que fait la raction avec la verticale.

b) Rappeler les conditions dquilibre puis les exprimer enfonction des donnes du problme.

c) En dduire la valeur de la tension du cble et de la raction en A.On prendra g=10 N/kg

Exercice 2 : La console mobile

Soit une console constitue dun triangle rectangle isocle ABC et tel queAB=AC=l.Son poids est ngligeable devant la charge porte sur AC.Elle est installe sur un tuyau de diamtre 2r.Soit k le coefficient de frottement de glissement entre la console et le tuyau.

Calculer la distance minimale x laxe du tuyau pour laquelle la charge Ppeut tre supporte sans quil y ait glissement de la console.

Exercice 3: Lchelle

1) Soit une chelle de poids P en contact avec une paroi lisse et un sollisse.

a) Montrer que si les contacts se font sans frottement, il estimpossible dappuyer lchelle obliquement contre un mur vertical.

b) Dans les exemples ci-contre exprimer la raction en A et B

ainsi que la tension T du fil en fonction de P, l=AB et .

2) On considre dsormais dans la suite de lexercice un sol rugueux, et lchelle nestplus maintenue par un fil.

a) Calculer langle de frottement pour maintenir juste lchelle en quilibre. Endduire les ractions en A et B et le coefficient de frottement statique (l=5m, P1=250N,max=30)

b) Exprimer la longueur l1 en fonction de linclinaison de lchelle laquelle unhomme de poids P2 peut monter. Faire lapplication numrique avec un enfant de 30kg etun homme de 100kg pour un angle de 20.

c) Inversement exprimer la condition pour quun homme de poids P2 puisse monter en haut delchelle. Faire lapplication avec un homme de 70kg.

AA'

B' B

C

x

B

A

C l 2

l1

A

B

C

A

B

C

fil fixe en C

A

B

Universit Mohamed V Facult des Sciences RABAT.


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Exercice 4 corrig Partiel 2003 :

A B

O

G

4m

6m1m

2m

I J

x

y

H

Considrons une chelle double constitue de deux chelles simples en aluminium de 20 kgchacune.Les deux chelles sont lies par un axe parfait sans frottement en O et attaches en I et J par unecorde.La corde est de poids ngligeable.Le sol sur laquelle elle est pose est considr comme parfaitement lisse et donc sans frottement.Un homme muni dun seau a son centre de masse G sur lchelle une hauteur de 4m, lensemble

pesant 80kg.On prendra pour simplifier g=10N/kgPour simplifier nos relations, on ne prendra pas en compte les forces sexerant en O.

Langle est de 60.

1 Faire un bilan de forces sexerant sur lchelle et complter lannexe en les faisantfigurer. On explicitera les coordonnes des diffrentes forces dans le repre cartsien.

2 Rappeler les conditions dquilibre des forces et des moments par rapport au point O

3 Exploiter ces conditions pour tablir les quations que doivent satisfaire les forces.On calculera pour cela le moment vectoriel des forces par rapport au point O.

( Rappel ( )3

130tan = et donc

0

2

32

OG )

4 En dduire les valeurs des ractions au sol.


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----------------------------------------------------------CORRECTIONS :----------------------------------------------------------Exercice 4 Partiel 2003 :1)

A B

O

G

3m

I JP

1P 2P

2T1TAR B

R

G1

G2

On a :

cart

AA RR

0

0

cart

BB RR

0

0

cart

PP

0

0

11

cart

PP

0

0

22

cart

PP

0

0

cart

T

T

0

0

1

1

cart

T

T

0

0

2

2

2)

02121 =++++++ TTPPPRR BA

02121

=++++++O

TO

TO

PO

PO

PO

RO

RMMMMMMM

BA

3)

02121 =++++++ TTPPPRR BA entrane :021 =TT (u )

021

=+ PPPRR BA (v )

02121

=++++++O

TO

TO

PO

PO

PO

RO

RMMMMMMM

BA

entrane :

on a :

0

232

OG

0

333

1OG

0

333

2OG

0

434

OI

0

434

OJ

0

636

OA

0

636

OB

A

OR

ROAMA

= soit

0

0

0

6

36

A

OR

RMA

et donc zAO

ReRM

A

=3

6

De mme zBO

ReRM

B

=3

6; z

OP

ePM = 13

3

1

; zO

PePM = 2

3

3

2

et zO

PePM =

3

2

11

TOIMO

T= soit

0

0

0

4

34 1

1

T

MO

Tet donc z

OT

eTM = 141

et aussi zO

TeTM = 24

2


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zBA

OT

OT

OP

OP

OP

OR

OR

eTTPPPRRMMMMMMMBA

++++=++++++

212144

3

2

3

3

3

3

3

6

3

6

2121

s

oit 0443

2

3

3

3

3

3

6

3

62121 =++++

TTPPPRR

BA (w )

4)

De w et v on dduit : 023366 21 =+++ PPPRR BA Avec les valeurs NP 800= ; NPP 200

21== on obtient le systme

++=+

=

8002002006

8002

BA

BA

RR

RR

=+=

1200

3800

BA

BA

RR

RR

==

NR

NR

B

A

467

733


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4 Dynamique des solidesLa dynamique est la partie de la mcanique qui tudie les causes du mouvement.

4.1 Elments de dynamiquePour qui a bien compris que tout mouvement pouvait se construire partir dun mouvement de translation et derotation, a compris la ncessit des torseurs. Cette entit compose de deux vecteurs traduisant le mouvement detranslation et de rotation a t introduite avec les forces. Cest dsormais avec les lments cintiques que nousallons le dfinir.

4.1.1 Le torseur cintique

Le torseur cintique [P] correspond aux grandeurs [quantit de mouvement, moment cintique] dcrites ci-aprs.

Il est important de noter que ces grandeurs dpendent du rfrentiel choisi.

4.1.1.1 Quantit de mouvement

Pour tudier le mouvement dun solide ponctuel isol, on pourrait se contenter de connatre sa vitesse. Mais ltudedu mouvement de deux solides en interaction ne pourra se faire que par la pondration des vitesses par une grandeurqui dpend de lobjet.

Cette grandeur est appele masse inerte (inerte : inertie : vitesse).

Lexprience montre que cette grandeur qui pondre la vitesse dun solide est la mme que celle qui pondre la forcegravitationnelle des solides entre eux.

Elle est nomme masse grave.

On nommera donc masse sans distinction la masse grave et la masse inerte.

Aussi on va utiliser un vecteur p qui correspond la pondration de la vitesse par cette grandeur appele masse :

vmp =

p est appele quantit de mouvement.

Lorsque le solide nest pas ponctuel il faudra utiliser la rsultante cintique :

=i

iivmp

4.1.1.2 Moment cintique

Dans le cas dun solide quelconque, il faudra en plus de la rsultante cintique du solide dfinir le moment totalassoci appel moment cintique rsultant :

=i

iiR

O pOML

Dans le cas dune distribution non pas discrte mais continue on calculera

= 3dvp et = 3dvOMLR

O

4.1.1.3 Arrt, rotation et translation.Par analogie avec le torseur force o lon avait dfini les 3 cas : quilibre, couple et translation on peut crire les 3cas suivant :

- Le solide est larrt : 0=p et 0=R

OL

- Le solide est en rotation : 0=p et 0R

OL

- Le solide est en translation : 0p et 0=R

OL


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4.1.1 Le torseur dynamique

Lorsque la vitesse varie on utilise lacclration pour dcrire cette variation.

De la mme faon on peut dfinir un torseur dynamique [D] partir de

la quantit dacclration et du moment dynamique.

Et pour un solide on prendrala rsultante dynamique et le moment dynamique rsultant

=i

ii amD =i

iiR

O DOMN

= 3daD et = 3daOMNR

O


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Universit Mohamed V Facult des Sciences Rabat. Benaddat - 34 -

4.2 Principes fondamentaux de la dynamique

4.2.1 Enonc de Newton

Premire loi : Tout corps persvre dans son tat de repos ou de mouvement rectiligne uniforme, sauf si des forcesimprimes le contraignent den changer.

Deuxime loi : Le changement de mouvement est proportionnel la force imprime et seffectue suivant la droite parlaquelle cette force est imprime.

Troisime loi : La raction est toujours contraire laction : ou encore les actions que deux corps exercent lun surlautre sont toujours gales et diriges en sens contraire.

4.2.2 Enonc mathmatique du principe fondamental

Ce principe issu de la deuxime loi de Newton rend quivalent deux grandeurs fondamentalement diffrentes en liantle mouvement aux forces.

Dans un rfrentiel galilen R, le mouvement dun systme de points matriels par rapport unpoint fixe O de R vrifie lquation torsorielle suivante :

[ ] [ ]extOFdt

Pd,/

=

en notant [ ]extOF ,/ le torseur des forces extrieures dont le moment est calcul par rapport O.En extrayant du torseur ses deux composantes vectorielles, on obtient les deux thormes suivants :

4.2.3 Thorme de la quantit de mouvement, Thorme de la rsultante cintique

Dans le cas dun solide ponctuel on obtient le thorme de la quantit de mouvement :

= extFdt

pd

Dans le cas dun solide non ponctuel on parle de thorme de la rsultante cintique.

4.2.4 Thorme du moment cintique

Le thorme liant les moments sexprime par :

= OFextMdtLd O

Ce thorme peut savrer utile mme lorsque la rsultante du moment des forces est nulle car le moment cintiqueest alors une constante vectorielle. Mais on lutilisera surtout pour ltude des solides et non pour ltude de la

dynamique du point.


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4.3 Dynamique des particules charges

Ce chapitre de dynamique se place demble dans un cadre restreint dtude des particules.

Celles-ci sont considres comme ponctuelles, oubliant ainsi la possibilit dune ventuelle rotation de la particule surelle-mme et restreignant ltude un problme de dynamique du point.Leurs vitesses sont supposes trs infrieures la vitesse de la lumire pour rester dans le cadre de la mcaniquenewtonienne.

4.3.1 Forces de champ

Les particules charges possdent deux caractristiques intrinsques :- leur masse m,- leur charge q,

et la caractristique de mouvement : leur vitesse v.

Champ gravitationnel :

Cest dans un champ gravitationnel Gquapparat la force de gravitation :

G= mFG

Avec le champ G cr par une distribution volumique de masse = 3dM qui la distance r de la particulevaut :

= 33 drr

GG

Champ lectromagntique :

Cest dans un champ lectromagntique BE, quapparat la force de Lorentz :

)( BvEqFL +=

Ltude sur terre dune particule telle que llectron de masse kgm 31101,9 = et de charge Cq 19106,1 = et de

vitesse 1810310

= smcv soumis aux champs habituels:

181,9 = kgNG , 1310 = mVE et TB 510= met en concurrence :

- une force gravitationnelle NFG2910

- une force de Lorentz NFL1610

La force de Lorentz est alors dix mille milliards (1013) de fois plus intense que la force gravitationnelle.

On ngligera donc gnralement la force gravitationnelle devant la force de Lorentz.


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TRAVAUX DIRIGES SUR LA DYNAMIQUEExercice 1 : Loscilloscope .

1) Dterminer les forces subies par une particule de charge q , de masse m , lorsquelle est situe dans un espace o

rgne un champ lectrique Er

.Comparer ces forces sur lexemple du proton : q=1,6.10-19C, m=1,67 .10-27 kg, E=1kV.m-1(faible champ)Conclusion.

2) En soumettant deux plaques mtalliques parallles une tension V, on cre entre elles un champ uniforme Er

.

Supposons quune particule pntre linstant t=0 dans le domaine de Er

avec une vitesse0v perpendiculaire E

r.

O

Er

x

y

Ecran del'oscilloscope

0v AD

H

B

C

longueur des plaques=l=OC

a) Donner les quations horaires du mouvement.

b) La particule sort du champ au point B et prend, en labsence de force, un mouvement rectiligne dans la

directionBv dont le support passe par A.

Dterminer les deux composantes de Bv : xBv et yBv en fonction de : E, l, q, m et v0.

c) La particule touche lcran au point H.Dterminer les coordonnes de H en fonction de E, l, AD, q, m et v0.


37/76


Exercice 2 corrig :Particule dans un champ lectrique.

Soit la particule de charge q initialement prise lorigine du repre, de masse m,

de vitesse

cart

v

v

v

0

sin

cos

0

0

et soumis au champ lectrique E tel que xeEE = .

1) Exprimer le thorme de la dynamique

2) En dduire les coordonnes des vecteurs acclration, vitesse et position.3) Dterminer lquation de la trajectoire.4) En prenant =0 rpondre aux questions 2) et 3) et en dduire la nature du mouvement.5) Mme question avec =/2 .

Exercice 3 corrig : Particule dans un champ magntique

Soit la particule de charge q initialement prise lorigine du repre, de masse m, de vitesse

cartv

v

v

cos

0

sin

0

0

et soumis

au champ magntique B tel que zeBB = .1) Donner lexpression du thorme de la quantit

2) En posantm

qBc = dterminer lexpression des coordonnes des vecteurs acclration puis vitesse.

3) En utilisant les coordonnes du vecteur vitesse, montrer que la coordonnes de position x vrifie lquation

diffrentielle : 02 =+ xx c&&

4) En dduire lexpression du vecteur position et la nature du mouvement.

0

v

Ey

x


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----------------------------------------------------------CORRECTIONS :----------------------------------------------------------Exercice 2 :Particule dans un champ lectrique.

1) Lapplication du thorme de la quantit de mouvement donne :

Eqdt

vdm =

2)

cart

z

y m

qEx

a

==

=

0

0

&&

&&

&&

cart

z

vy

vt

m

qEx

v

==

+=

0

sin

cos

0

0

&

&

&

cart

z

tvy

tvt

m

qEx

OM

==

+=

0

sin

cos

20

0

2

3) Do lquation de la trajectoire :

tansin2 220

2y

v

y

m

qEx +=

4) =0 :

cart

z

y

tvt

m

qEx

OM

==

+=

0

020

2

cart

z

y

vt

m

qEx

v

==

+=

0

0

0

&

&

&

cart

z

y m

qEx

a

==

=

0

0

&&

&&

&&

Il sagit dun mouvement rectiligne uniformment vari dans le sens du champ

5) =/2 :

cart

z

tvy

tm

qEx

OM

==

=

0

2

0

2

cart

z

vy

tm

qEx

v

==

=

0

0

&

&

&

cart

z

ym

qEx

a

==

=

0

0

&&

&&

&&

Lquation de la trajectoire est alors : 22

02

ymv

qEx = qui est lquation dune parabole daxe Ox.

Il sagit dun mouvement parabolique uniformment vari.

Si le champ lectrique nest que sur une hauteur L on obtient :

tvL 0= etm

qEL

v

v

L

m

qE

y

x =

==0

0tan&

&

soit )tan(m

qELArc= ou

ELm

q tan=

0v

E

y

xO

v

L


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Exercice 3 : Particule dans un champ magntique1) Lapplication du thorme de la quantit de mouvement donne :

Bvqdt

vdm = zev

m

Bq

dt

vd =

2)

Posons

m

qBc = , on a

0

x

y

ev z &

&

soit :

cart

c

c

z

xy

yx

a

=

==

0&&

&&&

&&&

et par intgration

cart

cc

c

vcstz

xcstxy

cstyx

v

==

=+=+=

cos0&

&

&

3)

En rintroduisant lexpression xy c = & dans lexpression de yx c &&& = on obtient lquation diffrentielle :

02 =+ xx c&&

Comme indiqu en annexe 3 cette quation a pour solutions :

)cos(

sincos

+=+=+=

tAx

tBtAx

BeAex

ou

c

cc

titi cc

Les conditions initiales donnent t=0 :0=x et sin

0vx =&

Or en prenant )cos( += tAx c comme type de solution on a t=0cosAx = et sinAx c=&

Ce qui permet de trouver les constantes 2 = etc

vA

sin0

= or )sin()2cos( tAtAx cc =+= do

)sin(sin

0 tv

x cc

=

)sin(sin0 tvxy cc ==& ce qui donne par intgration csttv

y cc

+= )cos(sin0

Les conditions initiales donnent t=0 0=y :

c

c

c

vt

vy

sin)cos(

sin 00 =

( )

( )

cart

c

c

c

c

tvz

tv

y

tv

x

OM

=

=

=

cos

1)cos(sin

)sin(sin

0

0

0

On reconnat le vecteur position dun mouvement hlicodal (cf TDs de cinmatique) de pas dhlicec

v

2cos0 et

de rayonc

vR

sin0= .


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5 Energtique

5.1 Grandeurs scalairesLutilisation de grandeurs scalaires plutt que vectorielles permet la fois de simplifier les quations et davoir unemeilleure comprhension des phnomnes aux travers de grandeurs plus intuitives : les grandeurs nergtiques.

5.1.1 Puissance, Travail et Energie potentielle

PuissanceDans le cas simple dun solide ponctuel la puissance dune force correspond au produit scalaire de la force par lavitesse de dplacement de son point dapplication :

vFP =

Dans le cas dune force F agissant sur un systme de points on crira :

- pour une distribution discrte : =i

ii vFP

Ce qui peut se simplifier en introduisant la notion de solide et les grandeurs torsorielles associes. La puissance

sobtient laide du coproduit torsoriel :[ ] [ ]vFP =

qui correspond aux produits scalaires suivants :

rrr

r +=F

MvFP

o vr

dsigne la vitesse de translation du solide et r

sa vitesse angulaire de rotation.

Lorsque P sera positif, on parlera de puissance motrice tandis quon parlera de puissance rsistante dans le cascontraire.

Lunit de puissance est le Watt.

Travail

Le travail lmentaire dun solide ponctuel W correspond au produit de la force par le vecteur dplacementlmentaire :

OAdFW = Que lon peut aussi crire par rfrence la vitesse :

dtvFW = r Dans le cas dun systme de points soumis une force F on crira :

=i

i dtvFWr

Ce qui se simplifie laide des grandeurs torsorielles du solide par le coproduit torsoriel :

[ ] [ ] dtvFW = qui correspond aux produits scalaires suivants :

dtMvFWFrrr

r += o v

rdsigne la vitesse de translation du solide et

rsa vitesse angulaire de rotation.

On notera bien que gnralement le travail lmentaire est une forme diffrentielle et le travail W que lon calculera

ne dpendra pas uniquement des tats initiaux et finaux du systme mais aussi du chemin parcouru entre ces tats.Lunit de travail est le Joule.


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Energie potentielle

Dans certains cas, le travail peut se mettre sous la forme dune diffrentielle totale exacte et il ne dpend alors quedes tats initiaux et finaux. On parle alors non plus de travail mais dnergie potentielle :

Wd p =

On ne pourra dfinir cette grandeur que dans le cas de forces dites conservatives.

OAdFd p =

Ce qui scrira dans le cas dun systme de points :

=i

ip OAdFd

et dans le cas du solide :

dtMvFd p +=

Inversement on pourra dire que ces forces drivent dun potentiel et on traduira cela mathmatiquement par :

pgradF = Entre deux tats A et B, on pourra intgrer

pd et calculer lnergie potentielle p :

== OAdFd pp

Travail et nergie potentielle des forces usuelles

Le poids

On prend gmP = et donc OAdgmW = .Si lon suppose que le solide est de masse constante et quil est plac dans un champ gravitationnel constant alors :

OAgmdOAdgmW == et donc dfinir une nergie potentielle lmentaire pd :

( )pdOAgmdW ==

soit par intgration :

cstOAgmp +=

Le poids est donc une force conservative et on notera le travail : OAdgmWc = et lon peut par exemple calculerdans le cas de la chute libre dun corps dun point A de hauteur hA au point B de hauteur hB:

0)(


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Force de rappel dun ressort

x0 x

l

xe

x

xx eklexxkF == )( 0

dllkedlFW x ==

o k est la constante de raideur du ressort et avec ( )22

1lddll = on peut crire :

pdlkdW =

= 22

1

et donc par intgration :

cstlkp +=2

2

1

Comme prcdemment la force de rappel est une force conservative et on aura le travail :

( )200

2

02

1

2

10xxklkdWW

xxlc =

==

Il est noter que lintgration se fait sur lallongement et non sur la position on na pas x

x

c WW

0

Force de frottement visqueux

xevF = A

B

xevF =

dlvedlFW x ==

Dans ce cas le travail dpend de la vitesse que prend le mobile entre les points A et B on aura :

== dlvWW ncnc

et on ne peut dfinir dnergie potentielle.On dira que les forces de frottement sont non conservatives.


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5.1.3 Energie cintique

On a bti prcdemment une grandeur scalaire partir du torseur force [ ] [ ]vFP = , on peut dsormais faire demme avec le torseur cintique.Pour lui conserver son homognit avec une nergie et pouvoir utiliser le principe fondamental de la dynamique ondfini lnergie cintique dans la cas du solide ponctuel par :

vpdd c = soit :

)21(2vmdvdvmd c ==

soit par intgration :

cstvmc +=2

21

On prend comme constante la valeur nulle pour avoir une nergie cintique nulle vitesse nulle.

2

2

1vmc =

Dans le cas dune distribution discrte de points on notera :

=i

ic vm2

21

et dune distribution continue :

=

322

1 dvc

Et en utilisant la notation plus simple des torseurs, lnergie cintique sera pour le solide

[ ] [ ]vpdd c = soit par intgration :

( )RSccc Lvp +=2

1

o C dsigne le centre de masse du solide.

Dans le cas dun mouvement de translation on aura : ( )cc vp = 21

et dun mouvement de rotation : ( )RScc L =

2

1

5.1.4 Energie mcanique

On appellera nergie mcanique, la somme de lnergie due au mouvement ( c ) et de lnergie due aux forcesconservatives :

pcM += Il est noter que dans le cas dun solide soumis des forces intrieures et extrieures, lnergie mcanique scrit endtaillant :

int

p

ext

pcM ++= Cette remarque prend toute son importance dans lapplication du thorme de lnergie mcanique.

5.1.5 Energie totale

On appellera nergie totale, la somme de toutes les formes dnergie dun solide et on le notera .On pourra dcomposer cette nergie en deux types :

- les grandeurs nergtiques mesurables de la mcanique :- lnergie cintique du solide- lnergie potentielle des forces extrieures.

- toutes les autres :- lnergie interne U (qui comprend lnergie potentielle des forces intrieures).

Uextpc ++=


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5.2 Thormes mathmatiques

5.2.1 Transport des moments

Calculons le moment en deux points diffrent O et O :

FAOMOF

= ''

FAOFOOFAOOOFOAMOF

+=+== ''''

FOOMMOFOF += ''

et de mme on aurai avec le moment cintique :

pOOLL OO += ''//

5.2.2 Rfrentiel du centre de masse

Afin de simplifier certaines expressions, il est intressant de dfinir un rfrentiel particulier appel rfrentiel ducentre de masse et not Rc. Ce rfrentiel en translation par rapport au rfrentiel dtude est tel que dans cerfrentiel attach au solide, sa rsultante cintique soit nulle.

03

== dvp 03 = ddt

OAd

Le centre dinertie du solide se dfini par:

=

31

dOAM

OC

et donc =

3ddt

OAd

dt

OCdM soit 0

/==

cRCvMp

dans le rfrentiel du centre de masse on aura

0/

=cRC

v

On retiendra que le centre de masse C est fixe dans ce rfrentiel dfini par 0=p

5.2.3 Thorme de Koenig

Utilisons pour dmontrer ce thorme le momentcintique dune distribution continue de masse M.Exprimons le moment cintique dans R par rapport O

= 3

/,/ dvOAL RARO Exprimons le moment cintique dans RC par rapport C(point fixe de RC) :

= 3/,/ dvCAL CC RARC Le rfrentiel RC tant en translation par rapport R ona :

RCRARA vvv C /// +=

A

O

xer y

er

zer

xer ye

r

zer

C


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++= 3//,/ dvvCAOCL RCRARO C

+++= 3/3/3/3/,/ dvCAdvOCdvCAdvOCL RCRCRARARO CC

= 3/ dvOC CRA=0

par dfinition du refrentieldu centre de masse

CRCL

,=

RC

RC

vMOC

dvOC

/

3

/

=

=

= RCvdCA /3 =0

par dfinition du refrentieldu centre de masse

RCRCRO vMOCLL C /,/,/ +=

Ce thorme qui se rapporte un point fixe permet lapplication plus aise du thorme du moment cintique.

Thorme de Koenig pour lnergie cintique

=

32/

2

1dv RAc

Avec de mme que prcdemment :

RCRARA vvv C /// +=

( ) +=

32

//2

1dvv RCRAc C

++=

3//

32

/

32

/2

2

1

2

1

2

1dvvdvdv RCRARCRAc CC

CRC/= 2

/2

1RCvM= =

3

// dvv CRARC

=0par dfinition du

rferentiel ducentre de masse

2

///2

1RCRCRC vMC +=


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Universit Mohamed V Facult des Sciences RABAT. benaddat - 46 -

5.3 Thorme de lnergie cintiqueLe thorme de lnergie cintique correspond la mise en relation des grandeurs nergtiques au travers du principefondamental de la dynamique.

[ ][ ]F

dt

pd =

en multipliant par [v] :

[ ][ ] [ ] [ ]vFv

dt

pd = .

t

WP

dt

d c

== .

Wd c = .

ou encore en intgrant :

Wc = .

Le thorme snonce ainsi :

La variation dnergie cintique dun solide correspond au travail des forces sappliquant sur ce solide.

Remarques importantes : Lorsque lon a nonc le principe fondamental de la dynamique on a fait apparatre uniquement les forces

extrieures car la somme des forces intrieures ainsi que la somme des moments des forces intrieures taient nulles.Mais dans le thorme de lnergie cintique, le fait dappliquer un produit scalaire avec la vitesse de chaque point dusolide nentrane pas la nullit de la somme. Ainsi le thorme de lnergie cintique prend en compte des forces quinapparaissent pas dans le thorme fondamental de la dynamique. On peut donc crire :

extc WW += int Il faut noter dautre part que le travail dsigne un transfert dnergie et non une nergie. Ce transfert

dnergie correspond la variation de lnergie cintique. Par contre, on peut dire qu tout instant le solide possdeune nergie cintique, ce qui nest pas le cas avec le travail.

5.3 Thorme de lnergie mcaniqueLintrt de dfinir lnergie mcanique et par la mme dutiliser un thorme de lnergie mcanique est de faireapparatre une distinction entre forces conservatives et non conservatives.

En effet :

pcM +=

pcM ddd +=

daprs le thorme de lnergie cintique :consnoncons

c WWd += et par dfinition de lnergie potentielle :

cons

p Wd = on a :

consconsnoncons

M WWWd += Soit :

consnon

M Wd =

consnonM W=

Ainsi en labsence de forces ne drivant pas dun potentiel lnergie se conserve : 0= M Do lappellation de conservative pour les forces drivant dun potentiel.


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5.5 Transferts nergtiques

5.5.1 Diffrents types de transfert

On vient de voir que le travail not W correspondait un transfert dnergie. Si lon regarde un peu plus prcisementle comportement des particules lmentaires qui subissent un travail, on saperoit que leurs niveaux dnergievarient mais que leur rpartition dans ces niveaux nergtiques reste inchange. Cest pourquoi on dit que le travailcorrespond un transfert dnergie macroscopique.

Par opposition, on dfinira un transfert dnergie microscopique qui au sein des particules lmentaires se traduira parune modification non pas des niveaux dnergie mais de la rpartition des particules dans ceux-ci. Ces transferts sontnomms transfert calorique ou chaleur et not Q

Ainsi dfini il nexiste que deux types de transferts nergtiques :- Le travail W : transfert dnergie macroscopique,- La chaleur Q : transfert dnergie microscopique.

Le travail nest pas forcment clairement associ une force. Par exemple le travail lectrique dune resistance R

sera dtIRdtPW == 2

Quils soient macroscopiques ou microscopiques, les transferts dnergie se font sous plusieurs modes qui serontdtaills dans la suite du cours (par M r Dounies):

- les transferts radiatifs d aux photons et appel rayonnement,- les transferts convectifs d un mouvement densemble de la matire.- les transferts diffusifs d aux mouvements dagitation de la matire et appel conduction.

5.5.2 Premier principe de thermodynamique

Les principes qui rgissent les lois de la physique sont peu nombreux. Aprs avoir nonc les principes fondamentauxde la mcanique, voici le premier principe de thermodynamique :

Pour tout systme nchangeant avec lextrieur que de lnergie on a :

QWd += QW +=

o W et Q dsignent les transfert dnergie travers la surface dlimitant le systme.

On pourra aussi crire

QWUextpc

+=++

5.5.3 Rendement

On dfinira le rendement comme le rapport :

consommeEnergie

utileEnergie=


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TRAVAUX DIRIGES SUR LENERGETIQUE

Exercice 1 : Saut llastique

x0

x

O

x

xm

a) Faites un bilan des forces lquilibre de cette personne de masse m=70kg suspendue un lastique de

raideur : 1420 = mNk , longueur vide : 8m et 110 = mNg b) Calculez le travail des forces entre le haut du pont et une position quelconque xA (vous ferez apparatre les deuxphases du mouvement).c) Rappelez le thorme de lnergie cintique et exprimer la vitesse vA dun point quelconque.d) En dduire la longueur maximale atteinte.

e) Aprs avoir indiqu quel moment de la trajectoire la vitesse est maximale vous la calculerez.f) Aprs avoir indiqu quel moment de la trajectoire la force de rappel est maximale vous la calculerez.

Exercice 2 : Mouvement dun surfeur sur une vague

On modlise le mouvement du surfeur par un point de masse m en A sans vitesse initiale et lon cherche savoir quelledoit tre la hauteur h pour que le surfeur atteigne le point S sommet de la vague.

h

A

B

C

D

S

H

1 Indiquer sur le schma ci-dessus les forces sexerant sur le surfeur aux deux points indiqus A et C.

2 Traitement scalaire :a) Exprimer le travail des forces lors dun dplacement lmentaire.b) Exprimer lnergie potentielle du poids.c) Appliquer le thorme de lnergie mcanique pour calculer la vitesse au point B.

d) Exprimer H en fonction de et .

e) Appliquer le thorme de lnergie mcanique pour calculer la vitesse au point C en fonction de H et de Bv

3 Traitement vectoriel :a) Indiquer dans le repre intrinsque la part

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