UNIVERSIT�E PARIS-IX DAUPHINEU.F.R. MATHEMATIQUES DE LA DECISIONMEMOIREpr�esent�e parLaurent David COHENpour obtenir le diplome d'HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHESarret�e du 23 Novembre 1988Sp�ecialit�e : Math�ematiques Appliqu�eesle 10 Mai 1995 devant le Jury compos�e de:Jean-Michel MOREL Coordinateuret RapporteurPhilippe CINQUIN RapporteurDemetri TERZOPOULOS RapporteurNicholas AYACHE ExaminateurRobert AZENCOTT ExaminateurMike BRADY ExaminateurPierre-Louis LIONS Examinateur

Je voudrais tout d'abord exprimer ma profonde gratitude �a Mr Jean-Michel MOREL pouravoir accept�e d'etre coordinateur et rapporteur, et pour ses remarques et conseils fructueux.Etant membre du CEREMADE depuis plus de cinq ans, je remercie tout particuli�erement MrPierre-Louis LIONS, directeur du CEREMADE, de l'honneur qu'il me fait de se joindre �a ce jury.MM. Philippe CINQUIN et Demetri TERZOPOULOS ont accept�e spontan�ement d'etre rap-porteurs. Je tiens �a leur t�emoigner toute ma reconnaissance.Je remercie de plus Mr Demetri TERZOPOULOS, Pr. �a Toronto, de venir sp�ecialement de siloin. Je suis heureux de sa pr�esence dans ce jury car il a ouvert le vaste champ de recherches desmod�eles d�eformables en vision par ordinateur.Je suis tr�es reconnaissant �a Mr Nicholas AYACHE qui m'a permis de d�ecouvrir le mondepassionnant du Medical Image Understanding et a prodigu�e encouragements et conseils tout aulong de mes recherches. Je salue par la meme occasion tous les membres du projet EPIDAUREde l'INRIA, �a Rocquencourt puis �a Sophia-Antipolis, pour leur accueil toujours chaleureux.Je tiens �a exprimer ma gratitude �a Mr Robert AZENCOTT de me faire l'honneur de participer�a ce jury, ainsi que pour son accueil r�egulier au s�eminaire du CMLA \Imagerie et D�eformation".Je suis tr�es honor�e par la pr�esence de Mr Mike BRADY, Pr. �a Oxford, l'un des fondateurs dela vision par ordinateur.Certains travaux pr�esent�es dans ce m�emoire ont �et�e �ecrits en collaboration avec Nicholas Ay-ache, Eric Bardinet, Isaac Cohen (INRIA), Ron Kimmel (TECHNION) et Andy WITKIN (CMU).Je leur exprime toute ma sympathie et esp�ere que ces collaborations se poursuivront.Pour m'avoir permis d'utiliser dans les meilleures conditions le mat�eriel informatique, je re-mercie Michel Vanbreugel, toujours pret �a faire face aux caprices des machines.J'exprime toute mon amiti�e �a l'�equipe de traitement d'images, au groupe de travail, ainsi qu'�atous les membres du CEREMADE, et en particulier les directeurs de l'URA CNRS Yves Meyer,puis Maria Esteban, mes voisins de bureau Albert Cohen, Jean Dolbeault et Eric S�er�e.Merci en�n �a Josette Levy, Magali Marc-Dibildos, Lucette Jean-Pierre et Irene Mazzella ausecr�etariat, �a Mme Dupont-Jubien et au service de la Recherche pour leur disponibilit�e et leur aide.

1 CURSUS ET DIPLOMESTravaux de recherches 1983-1994M�ethodes Variationnelles pour le Traitement d'ImagesLaurent COHENCharg�e de Recherche 1�ere classeCeremade, URA 749Universit�e Paris-9 DauphinePlace du Marechal de Lattre de Tassigny75775 Paris cedex 16T�el. (1) 44 05 46 78 Fax (1) 44 05 45 99Courrier Electronique: Laurent.Cohen@ceremade.dauphine.fr1 Cursus et DiplomesEntr�e �a l'Ecole Normale Sup�erieure, rue d'Ulm en Math�ematiques en 1981, j'ai suivi uncursus en Math�ematiques appliqu�ees.Ayant obtenu en �n de deuxi�eme ann�ee d'�ecole, Licence, Ma�trise et DEA en AnalyseNum�erique �a Paris 6 ainsi que l'Agr�egation de Math�ematiques (Major), j'ai pr�epar�e uneth�ese avec le Pr. H. BREZIS (membre de l'Acad�emie des Sciences) �a Paris 6.1.1 Premi�ere Th�ese Equations aux D�eriv�ees Partiellesvoir r�ef�erences [1, 2, 3, 4, 5]Cette th�ese a �et�e soutenue en 1986 �a Paris 6 devant le jury compos�e de H. BREZIS, P.BARAS, H. BERESTYCKI et P. CIARLET.L'ensemble des r�esultats de cette th�ese porte sur des probl�emes d'�equations aux d�eriv�eespartielles non lin�eaires. Ils sont divis�es en trois parties:� L'explosion totale apr�es un temps �ni Tmax pour l'�equation de la chaleur non lin�eaire,� L'explosion en temps �ni Tmax pour les �equations de Schrodinger et de la chaleur �anon lin�earit�e polynomiale,� L'�etude des solutions positives d'une �equation elliptique non-lin�eaire.1

1 CURSUS ET DIPLOMESExplosion totale apr�es un temps �ni Tmax de la solution d'une �equation de lachaleur non lin�eaire.On �etudie l'�equation de la chaleur non lin�eaire:8><>: @u@t ��u = f(u) sur � [0; Tmax[;u(0) = u0 sur ;u = 0 sur @� [0; Tmax[; (1) �etant un ouvert born�e de IRn. Pour des donn�ees initiales u0 born�ees, l'�equation ci-dessusadmet une unique solution r�eguli�ere sur un intervalle maximal [0; Tmax[ avecTmax =1 ou limt!Tmax ku(t)k1 =1:Les deux cas pr�ec�edents pr�esentent des probl�emes di��erents:1. Si Tmax =1, on �etudie l'ensemble des valeurs d'adh�erence au voisinage de l'in�ni dela solution u(t). Les propri�et�es de cet ensemble permettent �eventuellement de conclure�a la convergence vers un r�egime permanent. Un �etat d'�equilibre �a l'in�ni donne unesolution du probl�eme elliptique.2. Si Tmax < 1, il y a un ph�enom�ene d'explosion (Blow-up), on �etudie dans ce cas lecomportement de la solution au voisinage de Tmax en estimant sa norme dans di��erentsespaces.Dans l'�equation non lin�eaire, deux termes s'opposent:� Le terme de di�usion ��u a un e�et r�egularisant et produit quand il est seul ou avecun second terme Lipschitzien une solution globale, c'est �a dire Tmax =1.� Le terme de r�eaction f(u), qui fait exploser les solutions. Par exemple, pour l'�equation@u@t = jujp�1u; u(0) = u0 > 0, il y a toujours explosion en temps �ni lorsque p > 1.Suivant la donn�ee initiale et la non-lin�earit�e, c'est l'un ou l'autre des deux termes quil'emporte et d�etermine le comportement de la solution.Dans le cadre de cette th�ese, nous nous sommes toujours int�eress�e au cas o�u il y ae�ectivement explosion en temps �ni. Ce qui peut etre assur�e en prenant des donn�ees initialesassez grandes (cf. [6, 7] et corollaire 2.2. dans [3]). Au contraire, dans le cadre desmod�eles d�eformables, c'est la recherche d'un �etat d'�equilibre qui nous int�eresse.Dans nos probl�emes (voir (19)), le second membre F = �rP �etant toujoursLipschitzien, l'existence de solutions globales est assur�ee.F.B.Weissler a montr�e [8] que pour des donn�ees initiales positives sym�etriques �a d�ecrois-sance radiale, la solution admet une limite ponctuelle en Tmax, qui est �nie partout saufen un point. Friedmann et Mc Leod [9] ont am�elior�e ce r�esultat en d�emontrant pour unedonn�ee initiale positive que l'ensemble des points d'explosion est un compact mais n'ont pasd'exemple d'une explosion en plus d'un point.2

1 CURSUS ET DIPLOMESLa question que nous avons �etudi�e est le comportement de la solution apr�es Tmax. Peut-on par exemple prolonger apr�es Tmax la solution en un sens plus faible? Pour aborder ceprobl�eme, nous consid�erons une suite de probl�emes approch�es:8><>: @un@t ��un = fn(un) sur � [0; Tmax[;un(0) = u0 sur ;un = 0 sur @� [0; Tmax[; (2)o�u fn est globalement Lipschitzienne et converge vers f . Les solutions un sont doncglobales pour l'�equation approch�ee sur IR+. On �etudie alors la limite quand n tend versl'in�ni des un.On montre que sous certaines hypoth�eses sur la non-lin�earit�e, par exemple si f est convexeet f(u)=up est croisante pour un p > 1 :8><>: limn!1 un(x; t) =1; 8t > Tmax;limn!1 un(x; t) = u(x; t); 8t < Tmax;limn!1 un(x; t) = limt!Tmax u(x; t) pour t = Tmax: (3)Explosion en temps �ni pour les �equations de Schrodinger et de la chaleur.On consid�ere l'�equation de Schrodinger8><>: i@u@t ��u = juj �1u sur ]0; T [�IRn;u(0; x) = u0(x) sur IRn;u 2 C1([0; T ]; L2(IRn)) \ C([0; T ];H2(IRn)); (4)avec 1 < < n+2n�2 . On lui associe le probl�eme faible suivant:( u(t) = S(t )u0 + R t0 S(t� s )juj �1u(s)ds;u 2 C([0; T ]; L +1(IRn)) (5)o�u S(t) est le semi-groupe associ�e �a l'�equation homog�ene. On montre des r�esultats d'existenceet d'unicit�e pour les deux probl�emes pr�ec�edents. On sait que pour une donn�ee initialeu0 2 H2(IRn), il existe une unique solution classique au premier probl�eme sur un intervallemaximal [0; Tmax[ qui v�eri�e si Tmax est �ni:limt!Tmax ku(t)kH2 =1:On montre l'existence d'une unique solution de l'�equation int�egrale sur un intervallemaximal [0; T�[. La comparaison des natures des explosions en Tmax et T� permet alorsde conclure �a l'�egalit�e de ces temps d'explosion et des solutions des deux probl�emes sur[0; Tmax[= [0; T�[. On en d�eduit que les propri�et�es de chacune des solutions sont v�eri��ees parl'autre. En particulier, on a:limt!Tmax ku(t)kq =1 8q > n( � 1)2 : 3

1 CURSUS ET DIPLOMESalors que l'on savait seulement que la limite sup�erieure �etait in�nie.On montre aussi tous les r�esultats pr�ec�edents pour l'�equation de la chaleur non lin�eaire:8>>><>>>: @u@t ��u = juj �1u sur ]0; T [�;u(0; x) = u0(x) sur ;u(t; x) = 0 sur [0; T ]� @;u 2 C1([0; T ]; L2()) \ C([0; T ];H2 \H10 ()): (6)o�u est suppos�e born�e. On lui associe le probl�eme faible suivant:( u(t) = S(t )u0 + R t0 S(t� s )juj �1u(s)ds;u 2 C([0; T ]; L +1()) (7)Comme le semigroupe de la chaleur v�eri�e certaines propri�et�es identiques �a celles du semi-groupe de l'�equation de Schrodinger, les r�esultats et d�emonstrations pour les deux �equationssont analogues.Solutions positives d'une �equation elliptique non-lin�eaire.Le probl�eme �etudi�e dans cette derni�ere partie �etait de trouver une non lin�earit�e f telle quele probl�eme suivant n'admette pas de solution.8><>: �u+ f(u) = 0 sur B;u > 0 sur B;u = 0 sur @B: (8)o�u B est le disque unit�e de IR2 , et f est telle que:f(0) = f 0(0) = 0 et limu!1 f(u)u =1 et f est croissante.On �etudie le probl�eme pr�ec�edent sur la boule unit�e de IRn pour n r�eel quelconque apr�esavoir transform�e l'�equation en �equation di��erentielle ordinaire sur l'intervalle [0; 1], la solu-tion �etant forc�ement radiale par sym�etrie du domaine:8><>: u00 + n�1r u0 + f(u ) = 0; r 2 [0; 1];u(0) = u0;u0(0) = 0 (9)o�u u0 > 0 est donn�e. On voit que pour n = 2, la solution s'annule n�ecessairement en unr0 > 0 et apr�es changement d'�echelle, cela montre que r20 est une valeur propre du probl�eme:8><>: �u+ �f(u) = 0 sur B;u > 0 sur B;u = 0 sur @B: (10)On d�e�nit ainsi pour chaque u0 > 0( r0(u 0) =Max f r � 0; = u(� ) � 0 sur [0; r]g;�(u0) = r0(u 0)2: (11)4

1 CURSUS ET DIPLOMESOn a alors soit r0(u 0) =1 , soit r0(u 0) <1 et u(r0(u 0)) = 0. On est donc amen�e �a �etudierdans [4] le comportement de �(u0) et des solutions quand u0 tend vers l'in�ni. On obtientdes estimations pr�ecises sur la nature de l'explosion des solutions quand on fait tendre ladonn�ee initiale vers l'in�ni.Ensuite, on �etudie le probl�eme par l'autre bout. On �etudie le comportement des solutionsdu probl�eme suivant:8><>: u00 + n�1r u0 + f(u ) = 0; r < r0;u(r0) = 0;u0(r0) = u1 (12)o�u u1 < 0 est donn�e.1.2 Traitement d'imagesParall�element �a mes recherches en math�ematiques, je me suis int�eress�e de plus en plusau traitement d'images et j'ai obtenu un second DEA en Reconnaissance des Formes etIntelligence Arti�cielle �a Paris 6. Dirig�e par les Prs. J.-C. SIMON et J.-L. LAURIERE, ilcomportait une partie traitement d'images avec plusieurs projets num�eriques et une partiede Logique et Intelligence Arti�cielle donnant lieu �a la r�ealisation d'un syst�eme expert.1.3 Seconde Th�ese en Traitement d'imagesAyant chang�e de domaine, j'ai par la suite regroup�e certains de mes travaux de recherche entraitement d'images e�ectu�es �a Schlumberger et �a l'INRIA pour valider une seconde th�ese �aParis-Sud Orsay en 1990 [10], devant le Jury compos�e de N. AYACHE, R. AZENCOTT, A.GAGALOWICZ, H. MAITRE et C. PUECH. Ces travaux ([11, 12, 13, 14, 15]) correspondentaux sections 2.1.1, 3 et au d�ebut des travaux de la section 4.2.1.4 EDP et Traitement d'imagesJ'ai par la suite reli�e mes deux sp�ecialit�es en m'int�eressant depuis 1989 aux m�ethodes vari-ationnelles et �equations aux d�eriv�ees partielles pour le traitement d'images. C'est pourquoij'ai rejoint en 1990 le CEREMADE o�u J.M. MOREL, P.L. LIONS, Y. MEYER et leurs �etu-diants se sont int�er�ess�es au formalisme de probl�emes de Traitement d'images dans un cadred'�equations aux d�eriv�ees partielles. De plus, l'�equation de la chaleur, sur laquelle j'avaistravaill�e pour ma th�ese, s'est av�er�ee d'une importance fondamentale en traitement d'images([16, 17, 18]).5

2 CENTRES DE RECHERCHE DE SCHLUMBERGER2 Centres de Recherche de Schlumberger2.1 Schlumberger Palo Alto ResearchJ'ai travaill�e au centre de recherche de Schlumberger en Californie avec Andrew WITKINpendant l'ann�ee 1985 dans le groupe \Perception & Graphics" de traitement et synth�esed'images. Pendant ce s�ejour, j'ai travaill�e sur deux projets, l'un en traitement et analysed'images [19, 11], l'autre en synth�ese d'images [20].2.1.1 Quanti�cation Vectorielle, compression d'images et texturesvoir r�ef�erence [19]Ce premier sujet a �et�e repris en partie par la suite et publi�e [11].Il s'agit de d�ecrire un signal �a partir du minimum d'informations a�n de le coder ou deg�en�erer la meme texture pour cr�eer de nouveaux signaux lui ressemblant. Ce signal peutetre en dimension quelconque, scalaire ou image et on ne sait rien a priori sur les motifsrecherch�es. On veut au moins une m�ethode qui donne une description parfaite pour le casextreme d'un signal p�eriodique. C'est �a dire un \petit signal" et une fr�equence. Pour unsignal quelconque, la m�ethode extrait les �el�ements caract�eristiques dont il est compos�e. Onobtient alors une description donnant d'une part des motifs proches des motifs constitutifsde la structure du signal et d'autre part, leur distribution le long de ce signal.Une approche souvent utilis�ee en compression d'images est la d�ecomposition de l'image,ou d'imagettes extraites, dans une base bien choisie d'un espace de matrices. La compressionest alors obtenue lorsque l'image peut etre d�ecompos�ee sur un petit nombre de vecteurs dela base. Cela revient en fait �a projeter l'image ou l'imagette orthogonalement sur un espacede petite dimension pour une erreur assez faible.Pour simpli�er, on a r�eduit le probl�eme �a chercher, pour une image donn�ee, un ensemblede vecteurs V1; ::; Vn tels que, pour toute imagette extraite X, il existe un couple (ix; jx)pour lequel la distance �a Vect(Vix; Vjx) est assez petite et de mani�ere �a minimiser l'erreurquadratique totale: XX kX � �xVix � �xVjxk2:Il s'agit donc d'une g�en�eralisation de la quanti�cation vectorielle o�u on cherche un en-semble de vecteurs appel�es \quanta" constituant les mots d'un dictionnaire.L'aspect nouveau de la m�ethode est de projeter une imagette sur l'espace engendr�e parle quantum au lieu de le remplacer simplement par le quantum le plus proche dans le cas dela quanti�cation vectorielle classique.Cela revient �a op�erer un changement d'�echelle des niveaux de gris des quanta. Dans undeuxi�eme temps un changement d'�echelle spatiale permet une d�ecomposition plus e�cacedans l'esprit de la d�ecomposition multi-�echelle introduite par Andrew WITKIN [16], ainsique des ondelettes [21].Une deuxi�eme innovation introduite est l'utilisation d'un \grand quantum" ou \quanti�-cateur" appel�e le \quantizer" dans l'article. Tout se passe comme dans le cas d'une famillede quanta mais ils sont tous extraits d'une meme imagette. Cette m�ethode est plus adapt�ee�a la recherche de texture. 6

2 CENTRES DE RECHERCHE DE SCHLUMBERGERPour la compression d'image, cette approche permet d'atteindre des taux de l'ordre de30 sans d�et�erioration notable de la qualit�e d'image.2.1.2 Mod�eles de d�eformations de type \Annuaire"voir r�ef�erence [20]Pour ce qui est de mon travail en synth�ese d'image, il a consist�e en la mod�elisation ded�eformations pour les int�egrer au modeleur g�eom�etrique d'animation d�evelopp�e �a SPAR.Dans ce modeleur g�eom�etrique, on dispose d'objets �el�ementaires commedes parall�el�epip�edesou des sph�eres, et on �ecrit les d�eformations que l'on applique �a ces objets. L'interface enlangage objet se pr�esente avec un menu de bo�tes reli�ees les unes aux autres pour constituerles objets les plus complexes. Par exemple, on peut aplatir, �elargir, tordre, d�eplacer suivantdes directions et param�etres �a d�e�nir.J'ai travaill�e plus particuli�erement sur les d�eformations des objets de type \annuairet�el�ephonique". Quand on tord un bloc de caoutchouc, il y a compression et les bords restentdroits. Lorsqu'il s'agit d'un annuaire t�el�ephonique, il n'y a pas de compression, les pagesglissent les unes sur les autres et le bord n'est plus droit. J'ai r�ealis�e une d�eformation g�en�eralequi, appliqu�e �a un objet, le d�eforme suivant une courbe quelconque dessin�ee sur l'�ecran avecla \souris", en donnant �a l'objet un coe�cient de compressibilit�e, lui donnant des propri�et�esinterm�ediaires entre la compression totale (caoutchouc) et le glissement de lamelles les unessur les autres en conservant leur longueur (\annuaire t�el�ephonique"). La courbe C(s) donn�eepar la souris est param�etr�ee par son abscisse curviligne. L'image par cette transformation\annuaire" d'un point (x; 0) de l'axe de r�ef�erence (y = 0) est le point sur cette courbe C(x) �aune longueur x de l'origine sur cette courbe. Cette transformation est �etendue �a tout l'espaceen d�e�nissant l'image de l'axe y = y0 par la courbe parall�ele �a C(s) d�eplac�ee d'une distancey0 dans la direction normale:Cy0 = C(s) + y0�!n (s) (13)en �eliminant les boucles qui apparaissent et en conservant la distance le long de cette courbe.Cette courbe est aussi appel�ee o�set dans [22]. L'image d'un point (x; y0) est telle que lalongueur de la partie de courbe image du segment [(0; y0); (x; y0)] est �egale �a x. Ceci estimpl�ement�e de mani�ere simpli��e en d�e�nissant la courbe initiale par une suite d'arcs decercle (voir �gure 1).J'ai r�ealis�e un �lm d'animation illustrant les m�ethodes d�evelopp�ees, montrant la for-mation et transformation de divers objets familiers pour meubler une chambre: Tapis sed�eroulant, canap�e, chaise, table,... Un autre �lm pr�esente un livre ferm�e pos�e sur une tablequi s'ouvre puis ses pages se mettent �a tourner [20] (voir �gure 2 et entetes de pages de cem�emoire). Ce �lm a �et�e pr�esent�e lors d'un s�eminaire �a l'universit�e de Stanford.2.2 Schlumberger Montrouge RechercheChef du projet \Th�eorie de l'Information", j'ai dirig�e des �etudes en Cryptographie, S�ecu-rit�e Informatique, Compression de Donn�ees texte et Image, Traitement d'Images pour des7

2 CENTRES DE RECHERCHE DE SCHLUMBERGERFigure 1 : A gauche, un exemple de d�eformation d'un parall�el�epip�ede, remarquer le d�ecalagedes lamelles sur le bord droit; �a droite, exemple d'image de synth�ese obtenue utilisant cesd�eformations.

Figure 2 : quelques images de la d�eformation du livre.8

2 CENTRES DE RECHERCHE DE SCHLUMBERGERapplications �a diverses unit�es du groupe Schlumberger.J'ai men�e des projets pour la Soci�et�e Paymatec, unit�e s'occupant de l'activit�e carte �am�emoire/carte bancaire du groupe Schlumberger, en cryptographie et s�ecurit�e informatiqueet en compression de donn�ees.Puis les domaines qui m'ont occup�e principalement ont �et�e la compression et l'am�eliorationd'images.Le premier sujet correspondait �a un projet commun avec Schlumberger Velizy (Enertec)(s'occupant d'enregistrement magn�etique et en particulier de boites noires pour les avions)pour la transmission �a terre de ce que voit un pilote �a bord d'un avion lors d'essais en vol.J'ai en particulier repris mes travaux sur la quanti�cation vectorielle de SPAR pour lesappliquer �a la compression, parall�element �a d'autres m�ethodes utilisant la quanti�cation.Dans le cadre de l'am�elioration et du traitement des images, j'ai travaill�e en collaborationavec le laboratoire de physique nucl�eaire sur des images de radiographie d'objets lourds pourl'unit�e Balteau construisant des syt�emes de s�ecurit�e pour les a�eroports.Pour mener �a bien ces projets, j' ai dirig�e de nombreux stagiaires de grandes �ecoles (X,Ulm). D'autre part, j'ai organis�e un s�eminaire hebdomadaire de math�ematiques. Lors de ces�eminaire, des membres de SMR ou des collaborateurs ext�erieurs pr�esentaient leurs travaux.Ayant quitt�e SMR pour e�ectuer mon service militaire, j'ai continu�e �a travailler depuispour SMR, puis d'autres unit�es du groupe Schlumberger comme expert conseil pour le traite-ment d'images de radiographie, restoration, segmentation, compression d'images,... J'ai ainsidirig�e les orientations des m�ethodes utilis�ees, cherch�e de nouvelles m�ethodes pour am�eliorerces images bruit�ees et convolu�ees �a un noyau de type gaussien du aux divers d�efauts dusyst�eme et en extraire des informations utiles. Cette activit�e a aussi compris la direction etle conseil de stagiaires et d'ing�enieurs sur place.Cette activit�e industrielle me permet de mettre en pratique et d'�evaluer des algorithmesde traitement d'images, en particulier utilisant des m�ethodes variationnelles pour des appli-cations qui marchent.Principaux Rapports Internes� Rapports internes de synth�ese \SCHLUMBERGER Montrouge Recherche (SMR)" encryptographie, s�ecurit�e informatique, compression des donn�ees texte et image, restau-ration d'images, 1986-1987.� Articles parus dans le journal SMR (Scienti�c Magazine of Research) de di�usion dela recherche dans le groupe Schlumberger:{ DES, Data Encryption Standard.{ Quantization and Image data compression (2 parties).� Rapports d'activit�es de conseil entre 1988 et 1994 sur les sujets suivants: D�econvolu-tion et Am�elioration d'image. Filtres adaptatifs et contours. Extraction de contours.Reconnaissance des formes. D�etection de contours et Segmentation par minimisationd'�energie. Fusion St�er�eo avec discontinuit�es. Mise en correspondance de signaux parminimisation d'�energie. Probl�emes de Restauration d'images, de segmentation et fusionde donn�ees par minimisation d'�energie.9

3 MISE EN CORRESPONDANCE D'IMAGES, APPROCHE R�EGIONS3 Mise en correspondance d'images, approche r�egionsvoir r�ef�erence [12]Ce travail a �et�e e�ectu�e lors de mon service militaire en qualit�e de scienti�que du contingentcommme chercheur �a l'INRIA dans le groupe de traitement et synth�ese d'images dirig�e parA. GAGALOWICZ, sur le projet de St�er�eovision par mise en correspondance de r�egionsapr�es segmentation.La reconstruction d'une sc�ene 3D �a partir d'une paire d'images st�er�eo n�ecessite l'extractionet la mise en correspondance d'entit�es dans les deux images. Nous avons d�evelopp�e une tech-nique de mise en correspondance qui comporte une double originalit�e. Premi�erement, nosentit�es sont des r�egions, leur structure plus compl�ete permettant des mises en correspon-dance plus �ables que les algorithmes bas�es sur des droites ou des points. Deuxi�emement, etc'est l�a la nouveaut�e de la m�ethode, nous consid�erons l'extraction des r�egions et leur mise encorrespondance comme des processus interd�ependants. Au lieu de les consid�erer de mani�eres�equentielle [23, 24], c'est �a dire segmentation compl�ete et ind�ependante pour chaque imagesuivie de la mise en correspondance, nous les faisons coop�erer.Prenons par exemple une r�egion G de l'image gauche, pour laquelle on cherche uner�egion correspondante D dans l'image droite. Si aucune n'est convenable, nous consid�eronsque la segmentation elle meme est �a refaire. Ainsi les correspondances aident �a d�eterminerles segmentations naturelles des deux images.Pour impl�ementer l'algorithme, nous avons �elabor�e une structure hi�erarchique (un graphe)de segmentations �a r�esolutions multiples, ce qui nous permet de consid�erer de nouvelles seg-mentations pour la mise en correspondance, simplement en nous d�epla�cant dans le graphe.Chaque niveau de segmentation est construit par croissance des r�egions du niveau pr�ec�e-dent. Nous utilisons, pour fusionner les r�egions, des crit�eres relatifs aux niveaux de gris desimages. La compl�ementarit�e entre les m�ethodes de d�etection de contours et les m�ethodesde segmentation d'images en r�egions nous permet d'utiliser les deux m�ethodes simultan�e-ment pour g�en�erer les segmentations. Notre algorithme commence la recherche des r�egionsen correspondances par le \haut", c'est �a dire par les r�egions du niveau de segmentation leplus grossier (qui sont les plus robustes), puis on explore le niveau imm�ediatement inf�erieurdu graphe etc... . Pour la r�egion G de gauche, chaque r�egion droite D est consid�er�ee si ellev�eri�e les contraintes induites par la g�eom�etrie des cam�eras. La mise en correspondance este�ectu�ee avec la paire de r�egions gauche-droite de moindre cout au sens de crit�eres de formes.On obtient ainsi les images segment�ees lorsque l'on a e�ectu�e toutes les mises en corre-spondance possibles. Les r�egions mises en correspondance appartiennent �a la segmentation�nale. L'intervention des r�egions voisines pour d�eterminer la coh�erence ou la vraissemblancedes appariements a �et�e �etudi�ee ult�erieurement par P. Sander. La reconstruction 3D �a partirdes couples de r�egions a �et�e trait�ee par M. Peyret [25].3.1 Segmentation Hi�erarchiqueMalgr�e les am�eliorations apport�ees �a la segmentation par l'utilisation des contours, les misesen correspondance ne sont pas possibles pour toutes les r�egions de la paire st�er�eo pour lasimple raison que les segmentations donnent des r�esultats di��erents pour les deux images :10

3 MISE EN CORRESPONDANCE D'IMAGES, APPROCHE R�EGIONSlocalement, on peut obtenir un ensemble de r�egions pour une image et celles-ci peuvent etreagglom�er�ees dans l'autre image pour des raisons de di��erence de g�eom�etrie, de calibrationet de nature des deux cam�eras...Pour pouvoir compenser ce type de d�efaut, nous avons cr�e�e et stock�e, pour chaque image,un arbre des segmentations �a di��erentes echelles.Cet arbre fournit, pour une suite de crit�eres de plus en plus laches, une suite de segmen-tations emboit�ees, c'est �a dire que chaque r�egion �a un niveau donn�e est l'union de r�egionsdu niveau inf�erieur.Les deux images sont segment�ees ind�ependamment en une hi�erarchie de r�egions candi-dates pour la segmentation �nale. L'algorithme de segmentation, initialis�e par une m�ethodede regroupement par quadtree ([26]), est du type \croissance de r�egions". Si R est la r�eunionde r�egions adjacentes (4 pour le quadtree) la fusion a lieu d�es que le crit�ere d'agglom�erationest satisfait: Max(R)�Min(R) < �Pour �eviter de commencer l'algorithme de segmentation au niveau du pixel, le quadtreepermet de r�eduire sensiblement le nombre de r�egions initiales en regroupant de mani�ereit�erative des blocs carr�es de quatre r�egions carr�ees ou pixels. L'information \contour" estd�ej�a incorpor�ee �a ce niveau.Ensuite, nous utilisons les r�egions issues du quadtree pour construire par regroupementssuccessifs les di��erents niveaux de segmentation. Chaque niveau est obtenu en relachant unpeu plus la valeur du crit�ere que doit v�eri�er chaque paire de r�egions adjacentes candidatesau regroupement. La structure permet de retrouver facilement l'historique de la cr�eationd'une r�egion, ainsi que ses caract�eristiques et les r�egions voisines.Le crit�ere \MinMax" est utilis�e au moins pour la construction du quadtree mais aux�etapes suivantes on choisit aussi un crit�ere de moyenne. C'est �a dire que 2 r�egions R1 et R2se fusionnent d�es quejMoyenne(R1)�Moyenne(R2)j < � (14)Ce crit�ere peut trouver une justi�cation en consid�erant la recherche d'une segmentationd'�energie minimale dans l'esprit de [27, 28] comme d�ecrit dans [10]:E(u;B) = ZR2 ku� gk2 + CN(B) (15)o�u N(B) est le nombre de r�egions d�e�nies par B. Ce crit�ere correspond �a la minimisation del'erreur en ayant le moins de r�egions possible. Le crit�ere de fusion pour obtenir une d�escented'�energie devient:(m1 �m2)2 A1A2A1 +A2 < C: (16)Ce dernier crit�ere est assez proche de l'�equation (14).11

3 MISE EN CORRESPONDANCE D'IMAGES, APPROCHE R�EGIONSUtilisation des contoursLa recherche des contours permet de d�etecter les changements d'intensit�e, qui correspondentaux limites des r�egions que nous recherchons dans chaque image. Les trois conditions suiv-antes : r�eponse unique �a un contour, bonne localisation et faible probabilit�e de non d�etectionsont v�eri��ees par le d�etecteur de contours de Canny. Nous utilisons les contours comme desbarri�eres pour empecher les mauvais regroupements de r�egions : des r�egions adjacentes nepeuvent etre regroup�ees si leur union est travers�ee par un contour.L'algorithme de segmentation a �et�e modi��e de mani�ere �a traiter s�epar�ement les r�egionsne contenant pas de contours et les r�egions-contours (qui ne contiennent que des pointsde contours) et ces derni�eres sont attribu�ees �a telle ou telle r�egion uniquement en �n demanipulation.La couleurComme la couleur permet �a l'�il de mieux segmenter les images, nous avons g�en�eralis�e latechnique au cas des images couleur. Pour ce faire, nous avons utilis�e les trois composantesR.V.B. de l'image uniquement dans la phase d'initialisation de l'algorithme. L'algorithme�evolue donc ensuite de la meme mani�ere que dans le cas noir et blanc.3.2 La mise en correspondanceLa mise en correspondance est bas�ee sur la structure du graphe. Contrairement �a la segmen-tation, on commence par chercher des correspondances pour les r�egions du dernier niveaustock�e (les r�egions �a l'echelle la plus grossi�ere). Pour chaque r�egion gauche du niveau courant,on cherche dans l'ensemble des r�egions droites les correspondantes admissibles. Par admis-sibles, on entend l'ensemble des r�egions qui ont des caract�eristiques voisines, par exemplela taille, la g�eom�etrie ou la position (distance du centre de gravit�e �a la ligne �epipolaire).On s�electionne ensuite celle qui minimise un crit�ere pond�er�e entre les di��erentes caract�eris-tiques. Puis on e�ectue les correspondances dans l'ordre croissant de leur cout. Pour passerau niveau inf�erieur on enl�eve de la liste des r�egions �a traiter celles qui ont une correspondanteet on ajoute les r�egions \�lles" (du niveau inf�erieur) de celles qui restent dans la liste etc.Lorsque toutes les correspondances possibles sont e�ectu�ees, on construit les segmenta-tions �nales des images gauche et droite.12

4 MOD�ELES D�EFORMABLES4 Mod�eles d�eformablesDepuis 1989, je travaille sur les applications des m�ethodes variationnelles ou d'autres m�eth-odes de l'analyse fonctionnelle et des EDP au traitement d'images. Cela est particulierementutile pour l'extraction ou la reconstruction d'objets d�eformables dans des images m�edicales2D ou 3D. Nous avons �et�e pionniers dans ce domaine o�u maintenant tous les centres derecherche traitant des images m�edicales d�eveloppent ce type d'approches.4.1 Reconstruction avec R�egularisationNos travaux traitent de l'utilisation des mod�eles d�eformables et mod�eles param�etriques pourle traitement d'images en particulier pour le probl�eme de segmentation et reconstructionavec r�egularisation. Le probl�eme g�en�eral de la reconstruction d'une courbe ou surface v �apartir de donn�ees u pr�esegment�ees se formalise par la minimisation par rapport �a v de:E(v; u) = Z R(v(s))ds+ Z V (v(s); u(s))ds (17)o�u � R(v) mesure le lissage de la reconstruction v(courbe ou surface). On impose la r�egularit�e de v{ soit �a travers le terme R(v) compos�e alors de d�eriv�ees de v dans le cas de courbeou surface libre, il s'agit des mod�eles d�eformables les plus g�en�eraux;{ soit en restreignant v �a un ensemble de forme d'un certain type, R(v) est alorsvide, c'est le cas de mod�eles param�etriques (Bsplines, superquadriques, hyper-quadriques,...).� V mesure la �d�elit�e de v �a la donn�ee u. Il peut etre{ explicite: Z V (v; u) = Z kv(s)� u(s)k2{ implicite: Z V (v; u) = Z Pu(v) o�u Pu est un Potentiel d'attraction.Cette formulation s'applique �a de nombreux domaines du traitement d'images incluant ex-traction de contours, segmentation, am�elioration, restoration et mise en correspondance designaux [29, 30, 31, 28, 32, 33, 34, 35, 36, 37].Mod�eles de Contours Actifs ou SnakesDans le cas des courbes planes, on recherche une courbe v(s) = (x(s); y(s)) minimisantl'�energie:v 7! E(v) = Z w1kv0(s)k2 + w2kv00(s)k2 + P (v(s))ds (18)13

4 MOD�ELES D�EFORMABLESCette �energie mod�elise des propri�et�es m�ecaniques interm�ediaires entre un �elastique (premierordre) et une poutre (second ordre).Partant d'une estimation initiale, on r�esoud alors l'�equation d'�evolution de type paraboliqueavec des conditions aux bords �xes ou p�eriodiques:@v@t � @@s(w1@v@s) + @2@s2 (w2@2v@s2 ) = F (v) (19)o�u F = �rP , est la force d'attraction vers les contours. Cette �equation revient �a e�ectuerune descente d'�energie pour converger vers un minimum de (18).Surfaces minimisantesPour une surface d�eformable, l'�energie �a minimiser est de la forme:E(v) = Z w10 @v@r 2+w01 @v@s 2+w20 @2v@r2 2+w02 @2v@s2 2+2w11 @2v@r@s 2 dx+Z P (v)dx(20)Dans ce cas, on mod�elise une surface interm�ediaire entre une membrane elastique (premierordre, par exemple du plastique transparent alimentaire) et une plaque mince (second ordre,par exemple transparents pour projection, r�egle plate).L'�equation aux d�eriv�ees partielles �a r�esoudre s'�ecrit:@v@t� @@r (w10@v@r )� @@s(w01@v@s )+ @2@r2 (w20@2v@r2 )+ @2@s2 (w02@2v@s2 )+2 @2@r@s(w11 @2v@r@s) = F (v)(21)R�esolutionL'existence de solutions r�eguli�eres aux �equations (19) et (21) pour une donn�ee initiale vt=0 =v0 est assur�ee car, quitte �a lisser le potentiel P , la non lin�earit�e F est d�e�nie sur un domaineborn�e et elle est Lipschitzienne (voir section 1.1). On r�esoud num�eriquement l'�equation pardi��erences �nis ou �elements �nis. On peut dans tous les cas �ecrire une it�eration en tempssous la forme d'un syst�eme:(Id+ �A)vt = (vt�1 + �F (vt�1)) (22)o�u vt represente le vecteur des inconnues (noeuds ou degr�es de libert�e) de la courbe ousurface �a l'it�eration t.4.2 Mod�eles d�eformables sur des images 2D ou 3Dvoir r�ef�erences [38] �a [46]Ma recherche s'est surtout port�ee sur l'utilisation des mod�eles d�eformables de contoursactifs sur des images 2D ou 3D. Ces travaux ont d�ebut�e lorsque j'�etais �a plein temps auProjet EPIDAURE d'imagerie m�edicale �a l'INRIA puis ont continu�e lorsque je suis entr�e auCEREMADE et en collaboration avec l'INRIA o�u j'ai dirig�e la th�ese d'Isaac Cohen (soutenueen 1992) sur ce sujet. 14

4 MOD�ELES D�EFORMABLESNous avons introduit un nouveau mod�ele de contours actifs, qui am�eliore de mani�ereimportante la d�etection de contours ferm�es. Cette recherche fait partie d'un vaste projetvisant �a l'interpr�etation automatique d'images m�edicales 2D ou 3D, IRM, �echographie ouautre, d�ecrit dans [39, 13, 47].L'utilisation des mod�eles d�eformables pour extraire des caract�eristiques dans les imagesa �et�e introduite par Kass, Witkin et Terzopoulos en 1987 [33, 48, 49, 50], sous le nom de\snakes" (serpents) ou courbes minimisantes. Le probl�eme est d'extraire des formes r�eguli�eresd'objets apparaissant dans des images 2D (courbes) ou 3D (surfaces).Pour cela, on minimise une �en�ergie comportant d'une part des termes r�egularisants et d'autrepart un Potentiel d'attraction d�e�nissant des contraintes de mani�ere implicite. On recherchealors un compromis entre r�egularit�e et localisation du contour. On doit r�esoudre simultan�e-ment segmentation et reconstruction:(1) localiser les \edgels" appartenant �a la fronti�ere d'un meme objet.(2) Reconstruire, �a partir d'un ensemble des \edgels" pr�ec�edents, donn�es dans un ordreconnu, une courbe ou une surface r�eguli�ere, et en d�eduire �eventuellement ses carac-t�eristiques di��erentielles pour une interpr�etation ult�erieure ([45]).Dans les m�ethodes de reconstruction classiques, l'�etape (2) est e�ectu�ee apr�es l'extractionde donn�ees (�etape (1)) par minimisation d'une �energie comportant des contraintes explicites.La m�ethode des \snakes" d�e�nit ces contraintes de mani�ere implicite et les deux �etapes sontconfondues.Un mod�ele d�eformable est d�e�nit comme la donn�ee d'un espace de d�eformations admis-sibles et d'une fonctionnelle �a minimiser. On exprime dans l'�energie �a minimiser �a la fois lespropri�et�es de r�egularisation et, par la d�e�nition d'un potentiel, les propri�et�es de localisationd�esir�ees.Dans notre travail, on modi�e cette derni�ere approche en y ajoutant un aspect de lapremi�ere. En e�et, on d�e�nit un potentiel d'attraction �a partir d'une extraction pr�ealable decontours comme une fonction de la distance au contour le plus proche.Ayant en vue des applications pour des images m�edicales 3D, l'introduction de nouveauxmod�eles de contours actifs a progress�e en plusieurs phases, augmentant en complexit�e:1. Mod�ele de courbe ballon sur une image 2D [40]. (voir �gure 3)2. Reconstruction 3D �a partir d'une suite de probl�emes 2D [40, 41] (voir �gure 4).3. Mod�ele 3D simpli��e [44, 43] (voir �gures 6 et 7).4. Mod�ele g�en�eral de surfaces minimisantes 3D utilisant une m�ethode d'�el�ements �nis(voir �gures 9 et 10) suivi d'une extraction des caract�eristiques di��erentielles en vuede mise en correspondance [45, 44].Ces mod�eles ont �et�e utilis�es pour la segmentation automatique d'images bruit�ees 2D ou3D IRM ou d'�echographie de la r�egion du c�ur ou de la tete. (voir �gures 3 et 9).Dans ces mod�eles de contours actifs, des modi�cations sont introduites pour r�esoudrecertains des probl�emes rencontr�es avec la m�ethode originale des \snakes". Les nouvellescaract�eristiques suivantes ont �et�e ajout�ees: 15

4 MOD�ELES D�EFORMABLES1. Les forces ext�erieures sont modi��ees et normalis�ees pour donner des r�esultats plusstables [40].2. La courbe ou surface se comporte comme un ballon qui est gon �e. Cela �evite �ala courbe de rester bloqu�ee par des points isol�es erron�es et rend le r�esultat beaucoupmoins sensible �a la donn�ee initiale [40]. On d�e�nit de meme en 3D une force de \poids".3. On remplace la M�ethode des Di��erences Finies par la M�ethode des El�ements Finis[41] obtenant des r�esultats plus stables et n�ecessitant moins de noeuds.4. On d�e�nit un Potentiel d'attraction prenant en compte des points de contourextraits au pr�ealable par un d�etecteur local. Le potentiel est obtenu soit par convolutionde l'image binaire avec un noyau Gaussien, soit comme un fonction de la distance aucontour le plus proche [40, 44] (voir �gure 5).5. Le mod�ele de courbe 2D est g�en�eralis�e �a une surface d�eformable pour la d�etectiondes contours d'objets dans une image 3D ([45, 44]). Les modi�cations pr�ec�edentes sontint�egr�ees aux autres mod�eles et le probl�eme est r�esolu en utilisant des �el�ements �nisde Bogner-Fox-Schmidt.D'autres travaux ont �et�e e�ectu�es sur ce sujet dont les suivants:� Comportement des contours actifs aux points anguleux [51]� Acc�el�eration des m�ethodes de contours actifs par utilisation de m�ethodes multir�esolu-tion [52].� Etude des di��erentes d�e�nitions du Potentiel d'attraction [53].4.3 Formalisme g�en�eral des Mod�eles D�eformablesCes m�ethodes ont �et�e d�evelopp�ees par l'�equipe de Andrew WITKIN, se basant notammentsur les travaux de Demetri TERZOPOULOS ([48, 50, 34] ).Le mod�ele g�en�eral de d�eformation est une applicationv(x) = (v1(x); :::; vd(x)) x 2 � IRp ; v(x) 2 IRdo�u� p est la dimension de la vari�et�e,� d est le nombre de degr�es de libert�e.� n est la dimension de l'espace image. 16

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Figure 3 : Image de R�esonnance Magn�etique dans la r�egion du coeur. Evolution de la courbeballon pour d�etecter le ventricule gauche (extrait de [40]).17

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Figure 4 : Deux vues de la reconstruction 3D de la cavit�e int�erieure des ventricules gaucheet droit (extrait de [40]). 18

4 MOD�ELES D�EFORMABLESExemple: pour les contours p = 1; d = 2; n = 2, s 7! (x(s); y(s))On d�e�nit un mod�ele d�eformable d'ordre q > 0 comme la donn�ee d'un espace de d�efor-mations admissibles Ad et d'une fonctionnelle E �a minimiser repr�esentant une �energie de laforme : E : Ad! IRv 7! E(v) = qXm=0 Xjjj=m m!j1!:::jp! Z wj(x) @mv@xj11 :::@xjpp 2 dx+ Z P (v(x))dxo�u P est le potentiel associ�e aux forces ext�erieures. Il est calcul�e en fonction des donn�eesde l'image, suivant le but recherch�e. Pour etre attir�e par les points de contours, on prendraP (v) = �krI(v)k2.Cela s'applique �a la recherche de bons contours sur une image. On \place" la courbe �acot�e du but recherch�e et l'action des forces d�eriv�ees de l'image la placera jusqu'au bout duchemin. La position recherch�ee correspond �a l'�equilibre atteint au minimum de son �energie.Cette m�ethode a �et�e appliqu�ee dans [33] au suivi de contours dans une suite d'imagesen mouvement et �a la st�er�eo. Dans ce dernier cas, on a deux images I1(x; y) et I2(x; y) et onrecherche la d�eformation de la premi�ere image pour l'appliquer sur la deuxi�eme.Un mod�ele de surface de pseudo-r�evolution a aussi �et�e utilis�e pour reconstruire une forme3D �a partir d'une simple image 2D, en supposant que l'objet recherch�e dans l'image poss�edeapproximativement une sym�etrie de r�evolution (voir [50]).4.4 Le Mod�ele de Ballonvoir r�ef�erences [38, 40]Dans un premier temps, nous nous sommes int�eress�es, pour la recherche de contours, aucas d'une courbe plane: = [0; 1]! IR2s 7! v(s) = (x(s); y(s))Et nous voulons minimiser l'�energie E: E : Ad! IRv 7! E(v) = Z w1kv0(s)k2 + w2kv00(s)k2 + P (v(s))dsUn minimum v�eri�e les �equations d'Euler:( �(w1v0)0 + (w2v00)00 +rP (v) = 0v(0); v0(0); v(1) et v0(1) donn�es. (23)La courbe se trouve ainsi soumise d'une part �a des forces int�erieures imposant une certainer�egularit�e, et d'autre part �a une force ext�erieure d'attraction vers les points de fort gradient.Cette �equation peut avoir plusieurs solutions. En e�et, l'�energie pouvant avoir plusieursminima locaux, on en recherche un qui soit localis�e dans une r�egion donn�ee et on supposeposs�eder une valeur approch�ee de la solution v0.19

4 MOD�ELES D�EFORMABLESOn r�esoud alors cette �equation en y ajoutant un terme d'�evolution @v@t pour former (19).On a r�esolu cette �equation d'abord par di��erences �nies puis par �el�ements �nis.M�ethode des Di��erences �nies (MDF)Ayant discr�etis�e la courbe avec un pas h du param�etre s, on remplace les d�eriv�ees de (23)par des di��erences �nies et on obtient le syst�eme suivant:1h(ai(vi � vi�1)� ai+1(vi+1 � vi))+bi�1h2 (vi�2 � 2vi�1 + vi)� 2 bih2 (vi�1 � 2vi + vi+1) + bi+1h2 (vi+2 � 2vi+1 + vi)�(F1(vi); F2(vi)) = 0o�u on a pos�e vi = v(ih); ai = w1(ih)h ; bi = w2(ih)h2 .Ce syst�eme peut s'�ecrire AV = Fo�u A est une matrice pentadiagonale et V et F repr�esentent les vecteurs de positions viet forces F (vi) en ces points. (V et F sont des matrices �a 2 colonnes, la premi�ere pour lescomposantes en x et la seconde pour y).Le terme d'�evolution est aussi remplac�e par une di��erence �nie de pas de temps � .A chaque it�eration en temps, On doit alors r�esoudre le syst�eme:(Id+ �A)vt = (vt�1 + �F (vt�1)) (24)Cette formulation discr�ete rend le probl�eme similaire �a un ensemble de masses reli�eespar des ressorts de longueur nulle. Sans force ext�erieure, la courbe s'�ecrase sur elle-meme.Serge Maitrejean, physicien �a Schlumberger, m'a rapport�e que c'est la d�emarche inverse quia eu lieu historiquement en r�ealit�e du point de vue des physiciens. C'est une mod�elisationdes phonons du type ressort par chaine d'oscillateurs harmoniques coupl�es qui a conduit �ala formulation de l'�equation de la chaleur [54] en physique des solides (Loi de Fick).Modi�cation des forcesDans (24), tout se passe comme si on ajoute d'abord �a vt�1 une force �F (vt�1), puis oninverse (Id+ �A). Cette derni�ere op�eration correspond �a un noyau de r�egularisation.Le choix du pas de temps � est d�eterminant pour l'�evolution de la courbe. S'il est troppetit, cela �evolue trop lentement, s'il est trop grand, la force �F risque de passer par dessusle contour et de s'en �eloigner. De plus, un � donn�e sera trop petit pour certains points et tropgrand pour d'autres. Les auteurs de [33], faisaient varier ce pas de temps de mani�ere interac-tive �a l'aide d'un potentiom�etre. D'autres auteurs ont aussi abord�e ce probl�eme di��eremment(voir [55, 56]).Dans [40], on modi�e la force F en la normalisant. Cela permet, en quelque sorte d'avanceravec un pas de temps d�e�ni localement en fonction du point de la courbe. De plus, on �evalueF en chaque point par interpolation lin�eaire �a partir des valeurs connues seulement sur unensemble discret pour permettre �a la courbe de se stabiliser autour d'un �equilibre. La forces'�ecrit donc F = �k rPkrPk , o�u P est le potentiel P (v) = �krI(v)k2.20

4 MOD�ELES D�EFORMABLESPotentiel d'attraction PAu lieu de prendre le potentiel P (v) = �krI(v)k2 introduit dans le mod�ele original [33], ils'est av�er�e plus int�eressant d'utiliser un potentiel d'attraction �a un ensemble de points decontours d�ej�a extraits au pr�ealable. En e�et, le gradient n'�etant pas constant en g�en�eral lelong d'un contour, cela permet d'uniformiser les contours leur donnant un poids d'attraction�egal le long de ce bord. Cela peut �eviter une concentration de noeuds en certains points defort gradient et permet d'obtenir de meilleurs r�esultats. Par ailleurs, cette image de contoursest en g�en�eral disponible en meme temps que l'image originale. De plus cela permet aussi der�esoudre le probl�eme dans le cas o�u la donn�ee est une image binaire de contours. Pour celadeux approches ont �et�e utilis�ees:� Convolution avec une Gaussienne ou� Fonction de la distance de Chanfrein aux contours.P (v) = g(d(v))o�u d(v) est la distance entre un point v et le contour le plus proche. La distancede Chanfrein, une bonne approximation de cette carte de distance, peut etre obtenuerapidement par un passage de �ltres simples [57, 58]. g fonction croissante. Par exemple,P (v) = �e�d(v)2.On montre dans la �gure 5 un exemple de carte de distance. On peut donner �a ces di��erentspotentiels une interpr�etation en termes de forces de tension de ressorts de longueur nulleau repos li�es entre des points de la courbe et des points de donn�ees [44]. Remarquons quelorsqu'une fonction de la distance est utilis�ee, la force n'est plus normalis�ee, car c'est lafonction f qui d�e�nit la norme de la force F = �rP .Force d'expansionPour converger vers la solution, on doit fournir manuellement une courbe initiale assez prochede la solution. Un mauvais choix de la valeur initiale peut conduire �a une solution �eloign�eede celle d�esir�ee.En e�et:� Un \serpent" qui n'est pas su�samment proche d'un contour n'est pas attir�e par lui.� Le mod�ele original des \serpents", lorsqu'il n'est soumis �a aucune force ext�erieuretrouve l'�equilibre en se r�eduisant, soit �a un point, soit �a un segment de droite, suivantles param�etres et conditions aux limites.Ces remarques sugg�erent d'ajouter �a notre mod�ele de Contour Actif une force de gon agequi permet au mod�ele de bien se comporter dans ces cas [40].La force devient alors:F (v(s)) = k1~n(s)� k rPkrPk(v(s)) (25)21

4 MOD�ELES D�EFORMABLES

Figure 5 : Image IRM du coeur: En haut �a gauche, image originale; en haut �a droite imagede contours; en bas �a gauche convolution de l'image de contours; en bas �a droite carte dedistance aux contours. 22

4 MOD�ELES D�EFORMABLESo�u ~n(s) est le vecteur normal unitaire �a la courbe au point v(s).La courbe se comporte comme un ballon qui est gon �e. Lorsqu'elle passe par des pointsde contour, elle est arret�ee si le contour est assez fort, ou passe par dessus s'il est trop faiblepar rapport �a la force de gon age. Cela �evite �a la courbe de rester bloqu�ee par des pointsisol�es erron�es et rend le r�esultat beaucoup moins sensible �a la donn�ee initiale. Cette id�eem'est venu lors d'une discussion avec David Lasry (ISI) qui travaille sur la simulation dud�eclenchement de gon age d'airbag de voiture lors d'accidents.En se gon ant, la longueur de la courbe v(s) augmente et la discr�etisation de v(s) de-vient insu�sante. En cons�equence, on normalise r�eguli�erement cette discr�etisation quand lalongueur varie trop.Remarquons que cette force est le gradient d�erivant d'un terme d'�energie interne sur-facique:Earea = �k1 Z dA (26)mesurant l'aire �a l'int�erieur de la r�egion d�elimit�ee par la courbe. La minimisation d'�energiecorrespond �a avoir une r�egion aussi grande que possible. Cela est obtenu par une force depression poussant vers l'ext�erieur dans la direction normale.De nombreuses �etudes ont �et�e faites r�ecemment sur l'�evolution des courbe planes soumises�a une force d'expansion dans la direction normale �a la courbe dans un cadre purement math-�ematique [59, 60, 61, 62, 63] puis dans de nombreuses applications au traitement d'images[64, 18, 65, 66, 67, 68, 69]. Remarquons aussi la similarit�e entre la d�e�nition de la d�eforma-tion de type annuaire (13) et l'�evolution d'une courbe plane soumise �a une force d'expansion(k = 0 dans (25)), ainsi qu'une dilatation en morphologie math�ematique.L'�evolution des courbes comme lignes de niveau d'une surface a permis la d�e�nition d'unmod�ele g�eom�etrique de contours actifs [66, 67, 68, 70] qui peut changer naturellement detopologie. D'autres mod�eles permettent aussi �a la courbe ou surface de changer de topologie[71, 72, 73, 74, 75].L'�etude de l'�evolution d'une forme par une �equation soumise �a des invariants [18] oul'apparition de chocs dans d'autres cas (Espace R�eaction-di�usion) [65, 76, 77] permet lacaract�erisation d'une forme.4.5 M�ethode des El�ements �nis (MEF)voir r�ef�erences [41, 44]On a r�esolu ensuite l'�equation (23) par �el�ements �nis.Cela donne des r�esultats plus stables et la param�etrisation n�ecessite moins de points. Ene�et, on d�eforme vraiment une courbe alors que, dans le cas des di��erences �nies, tout sepasse comme si on ne d�eformait qu'un r�eseau de points sans voir l'information entre deuxpoints.On conserve la force F avec les modi�cations des sections pr�ec�edentes.L'�equation (23) est d'abord transform�ee en un probl�eme variationnel �equivalent:Trouver v 2 H20 () tel quea(v; ') = L(') 8' 2 H20 () (27)23

4 MOD�ELES D�EFORMABLESo�u L repr�esente le second terme de l'�equation (23) et la forme bilin�eaire a('; ) repr�esenteles termes d�eriv�es.Puis on approche la solution en r�esolvant le probl�eme variationnel approch�e dans unespace de dimension �nie. C'est le principe de la m�ethode des �el�ements �nis. Une bonnedescription se trouve dans [78].En rempla�cant l'espace de Sobolev H20 () par un espace Vh de fonctions polynomialespar morceaux, Le probl�eme variationnel se transforme alors en syst�eme lin�eaire:AV = LOn doit inverser alors une matrice A sym�etrique d�e�nie positive heptadiagonale.Les fonctions de bases de l'espace Vh ainsi que la r�esolution du syst�eme sont d�etaill�eesdans l'appendice de la section [4] du dossier de publications.Une fois pos�e le probl�eme pour l'�equation statique, on conserve un sch�ema it�eratif pourr�esoudre (19), similaire �a celui des di��erences �nies, en rempla�cant la d�eriv�ee en temps parune di��erence �nie de pas � :(Id+ �A)V t = V t�1 + �LV t�1 (28)Remarquons que cette formulation revient �a consid�erer la minimisation de l'�energieuniquement sur un espace de fonctions splines. Cela signi�e que les param�etres �a d�e�nirsont r�eduits aux degr�es de libert�e aux sommets de la d�ecomposition en �el�ements �nis au lieudu nombre total de noeuds dans le cas des di��erences �nies. La complexit�e du probl�eme estdonc r�eduite de mani�ere signi�cative si la d�ecomposition en �elements �nis est su�sammentespac�ee, tout en r�esolvant le probl�eme avec une surface connue de mani�ere analytique surchaque �el�ement.L'introduction des B-Snakes [79] est assez proche de l'approche �el�ements �nis dans l'espritde r�eduire la minimisation �a un espace de dimension �nie. Cependant, la minimisation neporte que sur l'�energie image sur des fonctions B-splines cubiques, compte tenu du fait queces fonctions minimisent elles memes l'�energie de r�egularisation [47, 80]. Une autre d�e�nitiondes B-Snakes [81, 82] conservant le terme de lissage est en fait �equivalente �a notre formulationpar �el�ements �nis �a la base de fonctions pr�es.4.6 Mod�ele 3Dvoir r�ef�erences [44, 45, 43]Avant de g�en�eraliser les travaux pr�ec�edents au 3D ([44]), un mod�ele simpli��e a �et�e utilis�epour se donner une premi�ere id�ee du travail en 3D. Le principal obstacle au passage 3Dest la multiplication importante du temps de calcul par la taille du syst�eme d'�equations �ar�esoudre. On a donc r�eduit le plus possible les calculs pour d�e�nir un mod�ele de surface en3D.Reconstruction 3D �a partir de coupesUne premi�ere approche de la reconstruction 3D a �et�e donn�ee comme suite directe au travail2D (voir �gure 4). Une image 3D est consid�er�ee comme suite de plans images 2D. Sur chaque24

4 MOD�ELES D�EFORMABLEScoupe, on applique la m�ethode 2D. Il est possible de r�esoudre chaque probl�eme directementavec une petite donn�ee initiale qui se gon e pour chaque coupe. Mais il vaut mieux utiliser\un ballon" pour une coupe, puis propager le r�esultat en prenant comme donn�ee initiale ler�esultat de la coupe pr�ec�edente. En supposant que la variation d'une coupe �a l'autre est assezfaible, cela va bien plus vite. C'est le cas en g�en�eral bien que dans l'exemple donn�e, il a fallupour certaines coupes r�einitialiser la courbe �a cause d'une discontinuit�e. Une fois la suite decoupes trait�ees, on reconstitue la surface 3D par interpolation. Pour la �gure ci-dessus, lelogiciel NUAGES a �et�e utilis�e pour le rendu 3D �a partir de coupes planes (voir [39]) Bienque dans notre exemple, cette m�ethode marche tr�es bien, elle a deux d�efauts:� Il n'y a pas d'interaction entre les coupes.� La surface doit etre cylindrique.Mod�eles d�eformables 3DLa g�en�eralisation au 3D des mod�eles d�eformables signi�e que l'on recherche la minimi-sation de l'�energie ci-dessus (section 4.3) d�e�nie sur les surfaces param�etr�ees v(r; s) =(v1(r; s); v2(r; s); v3(r; s)). C'est �a dire p = 2; d = 2; n = 3.L'�energie �a minimiser est de la forme:E(v) = P2m=1Pjjj=m m!j1!:::jp! R wj(x) ���� @mv@xj11 :::@xjpp ����2 dx+ R P (v(x))dx= Rw10(x) ���@v@r ���2 + w01(x) ���@v@s ���2+w20(x) ���@2v@r2 ���2 + w02(x) ���@2v@s2 ���2 + 2w11(x) ��� @2v@r@s���2 dx+ R P (v(x))dx (29)Si v est un minimum de l'�energie, il v�eri�e l'�equation aux d�eriv�ees partielles:� @@r(w10(x)@v@r )� @@s(w01(x)@v@s ) + @2@r2 (w20(x)@2v@r2 )+ @2@s2 (w02(x)@2v@s2 ) + 2 @2@r@s(w11(x) @2v@r@s) = f1(v) + f2(v) (30)De meme qu'en 2D on recherche une solution de l'�equation pr�ec�edente comme limite entemps de l'�equation d'�evolution associ�ee:@v@t � @@r (w10(x)@v@r )� @@s(w01(x)@v@s ) + @2@r2 (w20(x)@2v@r2 )+ @2@s2 (w02(x)@2v@s2 ) + 2 @2@r@s(w11(x) @2v@r@s) = f1(v) + f2(v) (31)En transformant les d�eriv�ees partielles en di��erences �nies, on obtient comme en 2D une�equation lin�eaire du type V t � V t�1� +AV t = F (V t)o�u V est le vecteur form�e des valeurs de v aux noeuds de la discr�etisation.Le sch�ema ci-dessus totalement implicite est di�cile �a r�esoudre dans la mesure o�u la forceF n'a pas de forme connue. Dans le cas 2D, on r�esoud un sch�ema mixte explicite pour lesecond membre et implicite pour le premier (c'est le cas aussi bien pour les di��erences �niesque pour les �el�ements �nis). 25

4 MOD�ELES D�EFORMABLES

Figure 6 : contours d'un cone avec e�acement de certaines parties. Les coupes marqu�ees d'un\?" ont �et�e modi��ees. La suite des coupes se lit de haut en bas puis de gauche �a droite. Lecarr�e se retr�ecit puis reprend la meme taille (extrait de [44]).Mod�ele 3D Simpi��eUne �etape interm�ediaire, motiv�ee par soucis de rapidit�e de l'algorithme consiste �a limiter lesdegr�es de libert�e �a 2 au lieu de 3 en imposant la troisi�eme composante v3 correspondant auniveau de la coupe et de r�esoudre les sch�emas compl�etement explicites.La surface recherch�ee est donc repr�esent�ee comme une s�erie de courbes planes, le premierparam�etre �etant le num�ero de la coupe. On a v(r; s) = (v1(r; s); v2(r; s); r).La di��erence essentielle avec l'approche par coupe successives r�eside dans l'interactionentre les coupes voisines et donc la possibilit�e de reconstituer un contour qui n'a pas �et�ed�etect�e dans une coupe �a partir des contours des coupes voisines. L'�etape de lissage peutetre d�ecompos�ee pour aller plus vite en un produit de 2 �ltres passe-bas, chacun dans unedirection, sans trop changer le r�esultat:� Lissage intracoupe. Pour chaque coupe s�epar�ement, on op�ere le lissage correspondant�a cette coupe dans (Id� �A). Ce lissage est le meme que pour le probl�eme en 2D.� Lissage intercoupe. On op�ere le lissage dans la direction orthogonale aux coupes. C'estessentiellement cette �etape qui repr�esente l'aspect 3D de la m�ethode.On donne un exemple d'applications sur une image 3D synth�etique simple dans les �gures6 et 7. 26

4 MOD�ELES D�EFORMABLESFigure 7 : R�esultats pour le cone sur quelques coupes. Elles sont ordonn�ees de gauche �adroite puis de haut en bas. Les 2 coupes de droite correspondent �a des contours complets,les autres ont subi un e�acement (extrait de [44]).Mod�ele 3D par �el�ements �nisPour plus de pr�ecision ou une complexit�e plus faible et pour des surfaces plus g�en�erales,nous avons r�esolu par �el�ements �nis le Probl�eme variationnel associ�e �a l'�equation (31) (voir[45, 44]):Trouver v 2 L2(0; T;H20 ()) \ C1(0; T; L2()) tel que8>><>>: ddt (v(t); ) + a(v(t); ) = Lv( ) 8 2 H20 ()v(0) = v0(s; r)wij 2 L1() et wij(s; r) � � > 0 (32)o�u a(u; v) = Z w10@u@s @v@s + w01@u@r @v@r + w20@2u@s2 @2v@s2 + 2w11 @2u@s@r @2v@s@r + w02@2u@r2 @2v@r2 dsdret Lv(u) = Z F (v) u dsdrLa discr�etisation est faite s�epar�ement en temps et espace. La discr�etisation du domaine par �el�ements �nis de Bogner-Fox-Schmit est d�e�nie par les propri�et�es suivantes:� = [0; 1]� [0; 1] = SNs�1;Nr�1i;j=0 Ki;j. pas r�eguliers hs and hr.� Rectangle K de�ni par les sommets ck 1 � k � 4.� PK = Q3(K) = np; p(s; r) = P0�k;l�3 klskrl o� degr�es de libert�e �K = �p(ck); @p(ck)@s ; @p(ck)@r ; @2p(ck)@s@r 1 � k � 4�.27

4 MOD�ELES D�EFORMABLESOn r�esoud donc le probl�eme variationnel dans l'espace de dimension �nie:Vh = nv 2 C1(); vjKij 2 Q3(Kij)ovh = Ns;NrXi;j=1 vh(aij)'ij + @vh@s (aij) ij + @vh@r (aij)�ij + @2vh@s@r(aij)�ijApr�es avoir discr�etis�e le probl�eme en espace, on discr�etise l'�equation d'�evolution pardi��erences �nies en temps:( V t � V t�1� +A � V t = LV t�1V 0 = v0 donn�ee initiale : (33)o�u A = ( ~Aij)ij=0;:::;Ns�1;Nr�1 est sym�etrique, positive et tridiagonale par blocs. ~Aij est unbloc 4 � 4.On obtient donc le meme type de syst�eme que pour la m�ethode des di��erences �nies aveccependant des matrices et inconnues di��erentes (�equation 24):(Id+ �A) � V t = V t�1 + �LV t�1Nous montrons en �gures 9 �a 11 un exemple d'�evolution de la surface d�eformable o�u uneforce suppl�ementaire de gravit�e a �et�e ajout�ee pour donner un mouvement plus rapide versles donn�ees de mani�ere analogue �a la force d'expansion du ballon.Figure 8 : Representation de la surface 3D reconstruite avec les donn�ees de Fig. 6 (extraitde [44]). 28

4 MOD�ELES D�EFORMABLES

Figure 9 : Illustration de la convergence de l'algorithme 3D vers un minimum de l'�energie.La condition initiale donn�ee est une surface plane (extrait de [44]).Figure 10 : Superposition de quelques coupes verticales avec l'intersection de la surface �nale(extrait de [44]). 29

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Figure 11 : Superposition de quelques coupes horizontales avec l'intersection de la surface�nale (extrait de [44]).30

5 CONTOURS ACTIFS ET SEGMENTATION EN R�EGIONS5 Contours actifs et segmentation en r�egionsvoir r�ef�erence [83]Les mod�eles de contours actifs ne prennent en compte que l'information le long d'une courbeet cela bloque parfois son �evolution �a cause de minima locaux. Nous prenons ici en comptele fait que le contour d�elimite une r�egion homog�ene en introduisant un terme surfacique surl'int�erieur de la r�egion d�e�nie par le contour. On d�e�nit ainsi le probl�eme de reconstruc-tion d'une surface compos�ee de deux types de r�egions de r�egularit�es di��erentes. La fronti�ereentre les r�egions, represent�ee par une courbe ferm�ee est d�etermin�ee �a l'aide d'un mod�elede contour actif. Cela combine les deux probl�emes de reconstruction de surface avec dis-continuit�e et detection de contour. On minimise pour cela une �energie fonction du coupled'inconnues (surface u, courbe fronti�ere v). Nous avons appliqu�e ce mod�ele �a deux typesd'images, un Mod�ele Num�erique de Terrain avec un lac et une image m�edicale avec r�egiond'int�eret (ventricules du cerveau).Une surface lac est caract�eris�ee par les propri�et�es g�eometriques suivantes: discontinuit�ede tangente au bord, surface horizontale,le bord est �a un niveau sup�erieur au lac. L'imageest segment�ee en deux r�egions: l'interieur du lac L, qui est une r�egion constante, le fond(R � L) qui doit etre liss�e. On d�e�nit ainsi une solution utilisant un mod�ele intermediaireentre Mumford & shah [28] et Morel & Koep er [27, 84, 85] o�u on doit trouver: un bord ferm�eB s�eparant le lac du fond, le niveau du lac u0; c'est la valeur constante de u �a l'int�erieur,l'image liss�ee u �a l'ext�erieur du lac, pr�eservant les contraintes de bord. La minimisation d'une�energie globale permet l'interaction directe des termes de surface et de contour actif (voir�gure 12). L'initialisation du contour est ainsi facilit�ee ([83]).Eg(u; v) = Esnake(v) + Elake(u; v) + Eoutside(u; v)= Esnake(v) + ZL(u0 � d(x; y))2dxdy + (34)ZR�L(u� d)2 + �2 ZR�L kruk2 + Z�(u� u0)2o�u � correspond aux points du bord B determin�es par le \snake", tels que (u� u0) < 0.L'algorithme minimise de mani�ere altern�ee l'�energie Eg par rapport aux deux variablesu et v. A u �x�ee, la minimisation en v correspond �a l'�evolution d'un snake auquel des forcesexterieures sont ajout�ees d�erivant des autres termes d'�energie surfaciques. Cela permet detenir compte de l'information niveau de gris �a l'int�erieur de la courbe pour segmenter uner�egion homog�ene. Ces forces suppl�ementaires �evitent �a la courbe d'etre bloqu�ee par descontours interm�ediaires.La courbe v �etant �x�ee, la r�egularisation pour u est simple, la constante u0 est la valeurmoyenne �a l'int�erieur de la r�egion d�e�nie par la courbe, la valeur de u �a l'exterieur est obtenuepar r�egularisation classique. 31

5 CONTOURS ACTIFS ET SEGMENTATION EN R�EGIONSFigure 12 : Mod�ele Num�erique de Terrain avec un lac: image bruit�ee et reconstruction (extraitde [83]).

Figure 13 : Ventricules du cerveau.32

6 MOD�ELES PARAM�ETRIQUES D�EFORMABLES6 Mod�eles param�etriques D�eformablesNous avons illustr�e la capacit�e des mod�eles d�eformables 2-D et 3-D pour d�e�nir une de-scription locale des structures apparaissant dans les images. Cette mod�elisation locale nepermet pas de contraindre la forme globale des courbes pour imposer des formes g�en�eriques.L'utilisation de courbe et surface param�etriques (cercles, paraboles, segments dans [86],ellipses dans [53], voir une �etude compl�ete dans [87]) permet de d�e�nir des contraintes glob-ales sur la forme de la structure que nous cherchons �a caract�eriser tout en utilisant le memetype de potentiel d'attraction. On minimise donc l'int�egrale de P le long de cette courbed�e�nie par un petit nombre de param�etres. Par cons�equent, nous pouvons �a l'aide de mod-�eles de superquadriques ou d'hyperquadriques incorporer une connaissance a priori de lastructure et de plus disposer d'une description de la structure 2-D ou 3-D par le biais dequelques param�etres. Ces mod�eles permettent de retrouver des informations manquantes etdonne une repr�esentation stable et compacte des donn�ees mais ne peuvent mod�eliser des pro-pri�et�es locales. Nous pr�esentons deux approches permettant d'a�ner localement le mod�eleparam�etrique apr�es avoir obtenu une premi�ere estimation globale de la forme.6.1 Hyperquadriquesvoir r�ef�erence [88]Nous avons �etudi�e des mod�eles param�etriques permettant �a la fois de d�ecrire des propri�et�esglobales et locales : les hyperquadriques hybrides.Une hyperquadrique est d�e�nie par l'ensemble des points (x; y; z) v�eri�ant l'�equation :H(x; y; z) = NXi=1 jaix+ biy + ciz + dij i = 1: (35)o�u ai; bi; ci; di et i sont des constantes et N repr�esente le nombre de formes a�nes utilis�eesdans la description. Ce mod�ele permet de consid�erer un nombre arbitraire N de formesa�nes et de mod�eliser des structures non sym�etriques. Ces surfaces ne sont r�eguli�eres quepour i > 1. Dans ce cas, les formes obtenues sont convexes.En compl�etant cette description �a l'aide d'exponentielles d'hyperquadriques (e�H), nouspouvons mod�eliser certaines propri�et�es locales et introduire des concavit�es. Ainsi, le mod�elehybride est d�e�ni par l'�equation implicite :H(x; y; z) = NXi=1 jKij i + MXj=1 cje� LjXl=0 jKjlj jl = 1; (36)o�u les Kjl sont des formes a�nes de IR3, M repr�esente le nombre de concavit�es utilis�eeset L la description de celles-ci par une hyperquadrique. Le mod�ele est ainsi d�e�ni �a l'aidede 5� (N +PMj=1 Lj) param�etres. Ces param�etres caract�erisent la forme de la courbe ou dela surface et permettront d'identi�er les structures repr�esent�ees. Notre approche permet, �al'aide d'une �etude g�eom�etrique des propri�et�es du mod�ele, de d�e�nir des termes suppl�emen-taires n'introduisant qu'une d�eformation locale de la forme, permettant ainsi l'insertion deconcavit�es (voir les �gures 14 �a 17). 33

6 MOD�ELES PARAM�ETRIQUES D�EFORMABLESFigure 14 : Illustration de la d�e�nition locale par ajout successif de trois concavit�es �a partird'une hyperquadrique d�e�nie �a l'aide de cinq termes (extrait de [88]).

Figure 15 : Extraction des contours des cavit�es du coeur dans une image IRM �a l'aided'hyperquadriques 2-D (extrait de [88]). 34

6 MOD�ELES PARAM�ETRIQUES D�EFORMABLESFigure 16 : Illustration de l'introduction d'une concavit�e par d�e�nition de son domaine. Agauche, l'hyperquadrique initiale d�e�nie par trois termes encadr�ee par son polygone (en gris)et l'ellipse d�e�nissant le domaine de concavit�e. A droite, l'hyperquadrique hybride obtenue.Le controle local de la forme r�esulte de la d�e�nition locale du terme suppl�ementaire exponen-tiel. La position et la taille de l'ellipse entra�nent une d�eformation locale de l'hyperquadrique(extrait de [88]).

�!nXd Xcp1 p2Figure 17 : Illustration de la m�ethode propos�ee pour ajouter automatiquement une con-cavit�e �a la forme hyperquadrique. La donn'ee �a reconstruire est en ligne continue, et lasuperquadrique en pointill�es. la r�egion grise repr�esente le polygone d'encadrement de la con-cavit�e. Celle ci est centr�ee au point d'�ecart maximalXc, les longueurs des cot�es sont d�e�niespar Xd, la normale �!n et p1; p2 (extrait de [88]).35

6 MOD�ELES PARAM�ETRIQUES D�EFORMABLES6.2 Superquadriques et D�eformations Libres (Free-Form Defor-mation)voir r�ef�erence [89], cette partie correspond au travail de th�ese d'Eric Bardinet, que jedirige en collaboration avec Nicholas Ayache.Les superquadriques sont une g�en�eralisation des coniques avec des exposants quelconqueset un cas particulier d'hyperquadriques:F (x; y; z) = 0@ � xa1�2=�2 + � ya2�2=�2!�2=�1 + � za3�2=�11A�1=2 = 1: (37)La repr�esentation d'un nuage de points par une surface de type superquadrique est int�er�es-sante dans la mesure o�u d'une part la surface est d�etermin�ee par 11 param�etres et d'autrepart, on peut donner facilement un maillage de la surface pour la visualiser ou la faire �evoluersur les donn�ees.Les surfaces issues de l'imagerie m�edicale sont cependant trop complexes pour etred�ecrites uniquement par des superquadriques. Pour ajuster au mieux le mod�ele sur les don-n�ees, une d�eformation libre est ajout�ee (free-form deformation introduite par Sederberget Parry en synth�ese d'images), c'est-�a-dire un produit tensoriel tri-dimensionnel de courbesB-splines:X = l;m;nXi;j;k=0C ilCjmCkn(1� s)l�isi(1 � t)m�jtj(1� u)n�kukPijk (38)o�u s, t et u sont les coordonn�ees locales deX dans la boite des points de controle Pijk. Pourcela on it�ere �a partir d'une donn�ee initiale l'algorithme de minimisation suivant:1 : Calcul du champ de d�eplacement : Xan = Xn + �Xn2 : Points de controle Pn+1 par minimisation de kBP �Xank2Xn+1 = BPn+1Les r�esultats obtenus sur des donn�ees cardiaques, illustr�es par la �gure 18, se sont r�ev�el�es tr�esencourageants. En e�et pour repr�esenter un nuage d'environ 6000 points 3D, un mod�ele d�ecritpar 130 points 3D (boite 5x5x5) est globalement satisfaisant, soit un facteur de compressionde 46. Cette approche s'applique parfaitement au suivi de la d�eformation de la surface dansune suite d'images temporelle (voir �gure 19). Le premier mod�ele utilise une superquadriquemais ensuite le r�esultat pour la surface n est obtenu par d�eformation de la surface pr�ec�edenten� 1. Cela permet d'obtenir une estimation du mouvement en chaque point de la surface etainsi de d�etecter d'�eventuelles r�egions pathologiques n�ecros�ees pour lesquelles le d�eplacementest faible. Un mod�ele de r�ef�erence peut aussi etre utilis�e de mani�ere ind�ependante pour chaquedonn�ee. 36

6 MOD�ELES PARAM�ETRIQUES D�EFORMABLES

Figure 18 : Etapes de la reconstruction. En haut �a gauche, les donn�ees, �a droite la su-perquadrique et la bo�te initiale de points de controle. En bas �a gauche, le champs de d�eplace-ment �a partir de la superquadrique (�etape 1.) et �a droite le mod�ele �nal apr�es minimisation(�etape 2.); (extrait de [89]). 37

6 MOD�ELES PARAM�ETRIQUES D�EFORMABLES

Figure 19 : Suivi du ventricule gauche avec une boite 5x5x5 en haut, les mod�eles; en bas, lesdonn�ees (extrait de [89]).38

7 VARIABLES AUXILIAIRES ET ALGORITHMES IT�ERATIFS �A DEUX �ETAPES.7 Variables auxiliaires et Algorithmes It�eratifs �a deux�etapes.voir r�ef�erence [90]Comme nous l'avons vu, beaucoup de probl�emes de Vision par Ordinateur se formulent parla minimisation d'une �energie. L'extraction d'une forme est obtenue par minimisation d'une�energie compos�ee d'un terme de r�egularisation interne et d'un potentiel d'attraction externe.Souvent, dans le sch�ema it�eratif de minimisation, chaque it�eration est divis�ee en deux �etapes.Ces deux �etapes cherchent �a minimiser successivement les 2 termes de l'�energie. Ces deux�etapes peuvent s'interpreter comme une s�eparation entre une transform�ee globale due auterme de r�egularisation et une d�eformation locale correspondant aux forces d'attractionvers les donn�ees (voir �gure 20). Dans le cas des contours actifs, cela peut etre vu aussicomme la succession des e�ets de di�usion et de r�eaction (voir section 1.1). Dans le cas desmod�eles d�eformables param�etriques, du recalage et des \Spline-Snakes", cela correspond �aun ajustement global du mod�ele suivi d'une d�eformation locale.Nous avons �etudi�e plus pr�ecis�ement ces algorithmes en deux �etapes et montr�e comment lesformuler comme la minimisation d'une �energie �a deux variables, successivement par rapport �achacune de ces deux variables. On donne une condition sur le potentiel pour que l'algorithmeen deux �etapes puisse etre �equivalent �a la minimisation de l'�energie auxiliaire. On en d�eduitque l'algorithme correspond bien �a une descente et minimise l'�energie de d�epart. En g�en�eral,l'�energie peut s'�ecrire:EP (v) = Z R(v) + Z P (v) (39)La modi�cation de ce probl�eme par l'introduction de variables auxiliaires consiste �a minimiserl'�energieEaux(v;w) = Z R(v(s))ds+ Z kv(s)� w(s)k2ds+ Z P1(w(s))ds (40)o�u la variable auxiliaire w repr�esente l'estimation courante de la forme inconnue v. Et �apartir d'une valeur initiale de v, on minimise successivement Eaux par rapport �a w et v demani�ere it�erative. Cela permet de r�esoudre deux probl�emes simples �a chaque it�eration.Pour un w donn�e, la minimisation de cette �energie par rapport �a v est un probl�eme der�egularisation convexe pour lequel le potentiel implicite (et non convexe) P (v) de (39) esttransform�e en potentiel explicite kv(s)� w(s)k2 dans (40).Pour un v donn�e, la minimisation de Eaux par rapport �a w est un probl�eme qui peut etrerendu convexe meme si P1 ne l'est pas.Cela a l'avantage d'assurer par le bon choix de P1 de minimiser par des it�erations �a deux�etapes la bonne �energie initiale du probl�eme (39). Le potentiel auxiliaire P1 doit etre d�e�nirelativement �a P pour avoir:infw Eaux(v;w) = E(v) (41)Dans ce cas:argv inf(v;w)Eaux(v;w) = arg infv E(v) (42)39

7 VARIABLES AUXILIAIRES ET ALGORITHMES IT�ERATIFS �A DEUX �ETAPES.On montre que si 12kNk2 � P (N) est convexe, P1 existe et est d�e�ni par l'�egalit�e:12kMk2 + P1(M) = f12kNk2 � P (N)g� (43)Nous avons d�etermin�e le calcul de P1 dans le cas o�u P = f(d) est une fonction de la distanceau contour le plus proche meme dans le cas o�u P ne satisfait pas l'hypoth�ese de convexit�e.Le r�esultat int�eressant est d'avoir ramen�e le probl�eme en dimension 1:P1 = f1(d), si (x22 � f(x)) est convexe, f1 est d�e�nie par:(�22 + f1(�)) = f12d2 � f(d)g� (44)Cela permet de se contenter de d�eterminer une fois pour toute un couple (f; f1) convenable.Il peut etre alors utilis�e pour toutes donn�ees d�e�nies par une fonction distance d.En posantE1(v;w) = Z R(v(s))ds+ 12 Z kv(s)� w(s)k2ds (45)E2(v;w) = 12 Z kv(s)� w(s)k2ds+ Z P1(w(s))ds (46)On obtient l'algorithme �a deux �etapes suivant:apr�es n it�erations ayant d�etermin�e la paire (vn; wn),8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>: Etape 1. Minimiser E2 �a v = vn Potentiel, d�eformation localeEaux(vn; wn+1) = infw Eaux(vn; w) = E(vn)wn+1 = (vn)Etape 2. Minimiser E1 �a w = wn+1 R�egularisationEaux(vn+1; wn+1) = infv Eaux(v;wn+1)vn+1 = lissage(wn+1) (47)Il y a bien descente d'�energie au bout des 2 �etapes:E(vn+1) = Eaux(vn+1; wn+2) � Eaux(vn+1; wn+1)� Eaux(vn; wn+1) = E(vn) (48)Cette approche s'applique �a des algorithmes it�eratifs en deux �etapes pour les mod�elesd�eformables, les mod�eles param�etriques, les splines-snakes ainsi que pour la mise en corre-spondance de formes. Nous donnons ainsi une nouvelle interpr�etation des B-snakes commeminimisation d'une �energie auxiliaire. Cela donne par la meme occasion une formulationmath�ematique uniforme pour ces probl�emes.D'autres approches utilisant des variables auxiliaires ont aussi �et�e utilis�ees r�ecemmentpour la restauration d'images [91, 36, 92, 93].40

7 VARIABLES AUXILIAIRES ET ALGORITHMES IT�ERATIFS �A DEUX �ETAPES.vn+1i wn+1i vni

N��!r dNSS

Figure 20 : Illustration d'une it�eration �a deux �etapes. A gauche, les donn�ees, �a droite l'estim�eecourante des vi, et au milieu les wi auxiliaires (en noir) obtenus par d�eformation locale suivantla force d'attraction. Les points gris et la nouvelle courbe repr�esentent la nouvelle valeur desvi apr�es r�egularisation des wi (extrait de [90]).41

8 MINIMUM GLOBAL D'UN CONTOUR ACTIF PAR G�EOD�ESIQUES8 Minimum global d'un contour actif par g�eod�esiquesvoir r�ef�erence [94]Une nouvelle approche pour les mod�eles de contours contours actifs est introduite dans[94]. La d�etection du contour entre deux points est interpr�et�ee comme le chemin minimalentre ces deux points le long d'une surface. Toutes les m�ethodes de contours actifs d�etermi-nent un minimum local de l'�energie d�ependant de la donn�ee initiale. Notre approche permetde trouver le minimum global de l'�energie du contour actif.L'algorithme proc�ede en deux �etapes. La premi�ere, bas�ee sur les travaux de Kimmel,Amir et Bruckstein [95], permet de d�e�nir par une approche d'�evolution de fronts la valeuren chaque point de l'image du chemin minimal entre un point de d�epart donn�e et ce point.Cela correspond �a une distance pond�er�ee [96]. La m�ethode pour d�eterminer le plus courtchemin le long d'une surface entre un point de d�epart xS et une destination xD est pr�esent�eedans [95]. Il est montr�e que la projection sur le plan image des courbes de niveau de ladistance g�eod�esique sur S �a xS peut etre obtenue par un simple sch�ema d'�evolution decourbes. Utilisant l'approche de propagation de fronts de Osher-Sethian [60], la fonction dedistanceMS �a xS sur S est d�e�nie par la projection sur IR2 de ses courbes de niveau. Celles-ci sont identiques �a l'�evolution de la courbe de niveau z�ero de la fonction � : IR2�[0; T )! IRd�e�nie par l'�equation d'�evolution:@�@t = �VNkr�k: (49)o�u VN est d�e�nie par des propri�et�es locales de la surface S et de �.Nous appliquons ces id�ees �a notre probl�eme pour trouver une courbe d'action minimalepar rapport �a un potentiel. L'�energie du nouveau mod�ele est de la forme:E : A ! IR (50)C 7! E(C) = Z w + P (C(s))ds = Z ~P (C(s))dsIci A est l'espace de toutes les courbes reliant les deux points donn�es: C(0) = p0 and C(L) =p1, et L est la longueur de la courbe. Contrairement aux snakes classiques, s repr�esenteici l'abscisse curviligne. L'�energie ne d�epend donc que de l'arc g�eom�etrique et plus de laparam�etrisation. Le terme r�egularisant comportant w mesure maintenant exactement lalongueur de la courbe. Ce changement de potentiel est d'autant plus justi��e qu'il a �et�e montr�epar ailleurs que la minimisation de l'�energie des contours actifs classiques est �equivalente �ala recherche d'une g�eod�esique pour une m�etrique proche de la notre [69]. Cependant cesderniers auteurs ne donnent pas de m�ethode pour obtenir e�ectivement le minimum global.L'algorithme utilis�e ici peut etre soit une approche de propagations de front du typeOsher-Sethian [60] soit par l'algorithme de Shape from Shading de Rouy-Tourin [97].Dans un deuxi�eme temps on redescend simplement �a partir du point de destinationjusqu'au point de d�epart pour tracer le chemin minimal qui les relie.Cela s'applique bien sur au probl�eme des contours actifs avec les deux bords �xes. Cepen-dant, nous pouvont aussi appliquer cette approche �a un contour ferm�e en ne donnant qu'unseul point de d�epart. Un second point est alors trouv�e sur le contour ferm�e tel que deux42

8 MINIMUM GLOBAL D'UN CONTOUR ACTIF PAR G�EOD�ESIQUESchemins minimaux relient ces points. Ce point est d�etermin�e par un test de point selle. Lecontour complet est obtenu en suivant les deux chemins minimaux reliant ces deux points.On montre les r�esultats sur une image de routes (�gures 21 �a 23) pour trouver le cheminreliant deux points. Comme les routes sont les zones les plus claires de l'image, nous utilisonscomme potentiel l'oppos�e de l'image en niveau de gris. Remarquer dans l'image d'actionminimale (en bas �a droite de la �gure 22) comment les lignes de fronts se d�eplacent plus vitele long de la route.Figure 21 : Image originale de Routes

43

8 MINIMUM GLOBAL D'UN CONTOUR ACTIF PAR G�EOD�ESIQUES

Figure 22 : action minimale U �a partir du point de d�epart en bas �a gauche. A gauche,les valeurs basses de U correspondent au noir. A droite une table de couleurs al�eatoire estutilis�ee pour mieux visualiser les courbes de niveau de la surface U (extrait de [94]).44

8 MINIMUM GLOBAL D'UN CONTOUR ACTIF PAR G�EOD�ESIQUES

Figure 23 : Comparaison des snakes classiques et de l'approche propos�ee. A gauche la courbeinitiale, �a droite le r�esultat. En haut et au milieu, les snakes classiques n�ecessitent uneinitialisation tr�es proche, en bas avec l'approche g�eod�esique entre 2 points (extrait de [94]).45

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10 CURRICULUM VITAE10 Curriculum VitaeETUDES:Juin 1979: Baccalaur�eat C, Mention B.1979-1981: Classes pr�eparatoires aux Grandes Ecoles au Lyc�ee Louis-le-Grand �a Paris.1981-1985: El�eve de l'Ecole Normale Sup�erieure ( 45 rue d'Ulm,Paris).Juin 1982: Ma�trise de Math�ematiques, Mention TB, �a Paris VI.Juin 1983: DEA d'Analyse Num�erique, Mention TB, �a Paris VI.Juillet 1983: re�cu Major �a l'Agr�egation de Math�ematiques.1983-1986: Doctorat de Math�ematiques sous la direction du Pr H.BREZIS �a Paris VI.Juin 1985: DEA d'Intelligence Arti�cielle et Reconnaissance des Formes �a Paris VI1988-1990: Second Doctorat en Informatique �a Paris XI- Orsay, regroupant certaines demes contributions au traitement d'images �a l'INRIA.EXPERIENCE PROFESSIONNELLEAvril-Juin 1984: Stage chez \Avions Marcel Dassault-Br�eguet Aviation" (St Cloud) dans le Ser-vice d'A�erodynamique Th�eorique de Mr P.PERRIER.Novembre-D�ecembre 1984: Tuteur �a l'\International Centre for Theoretical Physics" �a Trieste(Italie) pendant l'\Autumn Course on Semigroups, Theory and Applications".Mai-D�ecembre 1985: \SCHLUMBERGER Palo Alto Research"(Palo Alto, Californie, Etats-Unis) :Chercheur dans le groupe \Perception & Graphics" de Traitement et Synth�ese d'Imagesdirig�e par A.WITKIN.Juillet 1986-Novembre 1987: \SCHLUMBERGER Montrouge Recherche": 12 place des Etats-Unis, 92124 Montrouge, France. Chef du Projet de Recherche en Th�eorie de l'Informationcomprenant des �etudes en Cryptographie, S�ecurit�e Informatique, Compression de Donn�eestexte et Image, Traitement d'Images.Depuis Janvier 1988: \SCHLUMBERGER Montrouge Recherche": Expert Conseil en traite-ment d'images pour des projets en compression d'image, restauration d'images de radiogra-phie industrielle, extraction de contours et segmentation, reconnaissance de formes.Janvier-D�ecembre 1988: INRIA (Institut National de Recherche en Informatique et Automa-tique, Rocquencourt, France) : Service Militaire scienti�que, Chercheur dans le projet SYN-TIM de traitement et synth�ese d'images dirig�ee par A. GAGALOWICZ travaillant sur leprojet de St�er�eovision par mise en correspondance de r�egions apr�es segmentation.Depuis Janvier 1989: INRIA : Conseiller Scienti�que pour le projet d'imagerie m�edicale EPI-DAURE dirig�ee par N. AYACHE travaillant sur les applications des mod�eles d�eformables �al'extraction et la reconstruction de formes dans des images m�edicales.Depuis 1989: Cours de DEA �a Orsay puis �a Dauphine sur les applications des mod�eles d�e-formables au traitement d'images. Participation aux modules de Robotique et vision �a Cen-trale, aux Mines, �a l'ENSTA et �a l'INSTN. Encadrement de stagiaires de DEA et th�esards.Depuis Janvier 1990: CNRS: Charg�e de Recherches 1�ere classe au CEREMADE, URA 749,Universit�e Paris-Dauphine, sur les applications des m�ethodes variationnelles au traitementd'images.EXPERIENCE INFORMATIQUE: SUN, HP sous Unix, DEC VAX/VMS, Machine LISP deSymbolics; C, LISP, PASCAL, FORTRAN, SMP, LaTEX.53

10 CURRICULUM VITAEModule Intensif de DEA(1 semaine de cours+TD/Machine):APPLICATIONS DES M�ETHODESVARIATIONNELLES AU TRAITEMENT D'IMAGESLaurent D. COHENCEREMADE, Universit�e Paris - DauphineCe cours pr�esente la formulation math�ematique en termes de minimisation de fonctionnelle et/oud'equations aux d�eriv�ees partielles de probl�emes fondamentaux du Traitement d'Images.L'utilisation d'une �energie �a minimiser pour traduire les propri�et�es recherch�ees a permis, ces dixdernie�res ann�ees, de d�e�nir une nouvelle approche pour la segmentation, la restauration, l'extractionde contour et l'introduction des contours actifs.Introduction et G�en�eralit�es sur le Traitement d'ImagesSegmentation d'images.Segmentation d�e�nie par pr�edicats. Croissance de r�egions. Energie d'une segmentation.Extraction de contours. Calcul du gradient. Seuillage. Extraction des maxima. Chainage.Formulation Math�ematique du calcul de GradientApproximation des fonctions. Fonctions Splines.M�ethode de Canny. Crit�eres de localisation et r�eponse unique �a un contour.R�egularisation de Tikhonov pour le probl�eme de d�erivation.R�esolution du probl�eme discret.Scale Space FilteringScale Space: Repr�esentation multiechelle. Filtrage multiechelle. Di�usion anisotropique.Mod�eles D�eformables et Contours Actifs\Snakes". Th�eorie g�enerale. Mod�ele de Ballon. Potentiel d'attraction. Distance �a un ensemble decontours. R�esolution Num�erique.Surfaces D�eformables. Reconstruction 3D.Mod�eles param�etriques d�eformables (superquadriques, hyperquadriques, B-snakes). Autres Appli-cations (St�er�eo, Surface �a quasi sym�etrie de r�evolution,...). Justi�cation math�ematique du lien entre\snakes" et contours.Liens avec �evolution de courbes planes par d�eformation normale. Mod�eles de contour actif g�eom�etriqueet g�eod�esique par �evolution de courbes de niveau d'une surface, d�eplacement de fronts.R�egularisation avec d�etection de discontinuit�esMod�ele elastique avec continuit�e faible. Energie de Mumford et Shah, Blake et Zisserman.Seuils de d�etection. Localisation et erreurs.Mod�eles de poutre, membrane et plaque avec continuit�e faible.R�esolution par non convexit�e gradu�ee. 54

11 PRINCIPALES PUBLICATIONS11 Principales Publications[1] P.Baras and L. D. Cohen. Explosion totale apr�es tmax de la solution d'une �equation de lachaleur non lin�eaire. Comptes Rendus de l' Acad�emie des Sciences S�er.I, 300(10), 1985.[2] P.Baras and L. D. Cohen. Complete blow-up after tmax for the solution of a semilinear heatequation. Journal of Functional Analysis, 71(1):142{174, March 1987.[3] Laurent D. Cohen. M�ethodes de moindres carr�es pour l'�equation de burgers. Technical report,Avions Marcel Dassault-Br�eguet Aviation, 1984.[4] L. D. Cohen. Quanti�cation vectorielle appliqu�ee �a la d�etection de textures. Technical report,SCHLUMBERGER Palo Alto Research, Californie, USA, 1985.[5] L. D. Cohen and A. Witkin. Recursive book. Film, 1985. SCHLUMBERGER Palo AltoResearch.[6] Laurent D. Cohen. Etude de quelques probl�emes semi-lin�eaires paraboliques et elliptiques. PhDthesis, Universit�e Paris 6, 1986.[7] Laurent D. Cohen. A new approach of vector quantization for image data compression andtexture detection. In International Conference on Pattern Recognition, Rome, 1988.[8] Laurent Cohen, Laurent Vinet, Peter T. Sander, and Andr�e Gagalowicz. Hierarchical regionbased stereo matching. In Proc. 1989 IEEE Computer Society Conference on Computer Visionand Pattern Recognition, San Diego, June 1989.[9] N. Ayache, J.D. Boissonnat, E. Brunet, L. Cohen, J.P. Chi�eze, B. Geiger, O. Monga, J.M.Rocchisani, and P. Sander. Building highly structured volume representations in 3D medicalimages. In Computer Aided Radiology, Juin 1989. Berlin, West-Germany.[10] Laurent D. Cohen. On active contour models. In Proceedings of NATO ASI Active perceptionand Robot vision, Maratea, July 1989. Springer. aussi RR Inria 1075.[11] N. Ayache, J.D. Boissonnat, L. Cohen, B. Geiger, O. Monga, J. Levy-Vehel, and P. Sander.Steps toward the automatic interpretation of 3D images. NATO ASI Series on 3D Imagingin Medicine, F 60:107{120, 1990.[12] Laurent D. Cohen. Etude des mod�eles de contours actifs et d'autres techniques de traitementd'Images. PhD thesis, Universit�e Paris-Sud Orsay, 1990.[13] L.D. Cohen and Isaac Cohen. Using a �nite element method for active contour models and3-D reconstruction from cross sections. In Y.A. Feldman and A. Bruckstein, editors, Arti�cialIntelligence and Computer Vision, pages 237{247. Elsevier Science Publishers B.V., North-Holland, 1991. aussi Proceedings de ICCV'90 et RR Inria 1245.[14] Laurent D. Cohen. On active contour models and balloons. Computer Vision, Graphics, andImage Processing : Image Understanding, 53(2):211{218, March 1991.[15] Isaac Cohen, Laurent D. Cohen, and Nicholas Ayache. Using deformable surfaces to segment 3-D images and infer di�erential structures. Computer Vision, Graphics, and Image Processing :Image Understanding, 56(2):242{263, September 1992. pr�esent�e en partie dans les Proceedingsdes conf�erences CVPR91, IAICV91, EMBS91 et RR Inria 1403, May 1991.55

11 PRINCIPALES PUBLICATIONS[16] Laurent D. Cohen and Isaac Cohen. Finite element methods for active contour models andballoons for 2-D and 3-D images. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intel-ligence, PAMI-15(11), November 1993. version longue dans Cahiers de Math�ematiques de laD�ecision 9124, Novembre 1991, voir aussi Proceedings de CVPR'92, Champain, Illinois, Juin1992.[17] N. Ayache, P. Cinquin, I. Cohen, L. Cohen, F. Leitner, and O. Monga. Segmentation ofcomplex 3D medical objects : a challenge and a requirement for computer assisted surgeryplanning and performing. In R. Taylor and S. Lavallee, editors, Computer Integrated Surgery.MIT Press, 1994.[18] Laurent Cohen, Eric Bardinet, and Nicholas Ayache. Surface reconstruction using activecontour models. In Proceedings SPIE 93 Conference on Geometric Methods in ComputerVision, San Diego, CA, July 1993. autre version RR Inria 1824, D�ecembre 1992.[19] Isaac Cohen and Laurent D. Cohen. A hybrid hyperquadric model for 2-D and 3-D data �tting.In Proceedings of the 12th IEEE International Conference on Pattern Recognition (ICPR'94),pages B{403{405, Jerusalem, 1994. Extrait de RR Inria 2188, �a para�tre au journal ComputerVision and Image Understanding.[20] Eric Bardinet, Laurent Cohen, and Nicholas Ayache. Fitting 3D data using superquadrics andfree-form deformations. In Proceedings of the 12th IEEE International Conference on PatternRecognition (ICPR'94), pages A{79{83, Jerusalem, October 1994. aussi congr�es WBIA'94 etCVRMed'95.[21] Laurent D. Cohen. Auxiliary variables and two-step iterative algoritms in computer visionproblems. Technical report, Ceremade, Universit�e Paris Dauphine, F�evrier 1995. Cahiers deMath�ematiques de la D�ecision 9511, �a para�tre au Journal of Mathematical Imaging and Visionet Proceedings conf�erence ICCV'95, Boston.[22] L. Cohen and R. Kimmel. Edge integration using minimal geodesics. Technical report, Cere-made, Universit�e Paris Dauphine, Janvier 1995. Cahiers de Math�ematiques de la D�ecision9504.56

12 PUBLICATIONS JOINTES AU M�EMOIRE12 Publications Jointes au M�emoire[1] Laurent D. Cohen. A new approach of vector quantization for image data compression andtexture detection. In International Conference on Pattern Recognition, Rome, 1988.[2] Laurent Cohen, Laurent Vinet, Peter T. Sander, and Andr�e Gagalowicz. Hierarchical regionbased stereo matching. In Proc. 1989 IEEE Computer Society Conference on Computer Visionand Pattern Recognition, San Diego, June 1989.[3] Laurent D. Cohen. On active contour models and balloons. Computer Vision, Graphics, andImage Processing : Image Understanding, 53(2):211{218, March 1991.[4] Laurent D. Cohen and Isaac Cohen. Finite element methods for active contour models andballoons for 2-D and 3-D images. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intel-ligence, PAMI-15(11), November 1993. version longue dans Cahiers de Math�ematiques de laD�ecision 9124, Novembre 1991, voir aussi Proceedings de CVPR'92, Champain, Illinois, Juin1992.[5] Isaac Cohen, Laurent D. Cohen, and Nicholas Ayache. Using deformable surfaces to segment 3-D images and infer di�erential structures. Computer Vision, Graphics, and Image Processing :Image Understanding, 56(2):242{263, September 1992. pr�esent�e en partie dans les Proceedingsdes conf�erences CVPR91, IAICV91, EMBS91 et RR Inria 1403, May 1991.[6] Laurent Cohen, Eric Bardinet, and Nicholas Ayache. Surface reconstruction using activecontour models. In Proceedings SPIE 93 Conference on Geometric Methods in ComputerVision, San Diego, CA, July 1993. autre version RR Inria 1824, D�ecembre 1992.[7] Isaac Cohen and Laurent D. Cohen. A hybrid hyperquadric model for 2-D and 3-D data �tting.In Proceedings of the 12th IEEE International Conference on Pattern Recognition (ICPR'94),pages B{403{405, Jerusalem, 1994. Extrait de RR Inria 2188, �a para�tre au journal ComputerVision and Image Understanding.[8] Eric Bardinet, Laurent Cohen, and Nicholas Ayache. Fitting 3D data using superquadrics andfree-form deformations. In Proceedings of the 12th IEEE International Conference on PatternRecognition (ICPR'94), pages A{79{83, Jerusalem, October 1994. aussi congr�es WBIA'94 etCVRMed'95.[9] Laurent D. Cohen. Auxiliary variables and two-step iterative algoritms in computer visionproblems. Technical report, Ceremade, Universit�e Paris Dauphine, F�evrier 1995. Cahiers deMath�ematiques de la D�ecision 9511, �a para�tre au Journal of Mathematical Imaging and Visionet Proceedings conf�erence ICCV'95, Boston.[10] L. Cohen and R. Kimmel. Edge integration using minimal geodesics. Technical report, Cere-made, Universit�e Paris Dauphine, Janvier 1995. Cahiers de Math�ematiques de la D�ecision9504. 57

TABLE DES MATIERESTable des mati�eres1 Cursus et Diplomes 11.1 Premi�ere Th�ese Equations aux D�eriv�ees Partielles : : : : : : : : : : : : : : : 11.2 Traitement d'images : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51.3 Seconde Th�ese en Traitement d'images : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51.4 EDP et Traitement d'images : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 52 Centres de Recherche de Schlumberger 62.1 Schlumberger Palo Alto Research : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 62.1.1 Quanti�cation Vectorielle, compression d'images et textures : : : : : 62.1.2 Mod�eles de d�eformations de type \Annuaire" : : : : : : : : : : : : : : 72.2 Schlumberger Montrouge Recherche : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 73 Mise en correspondance d'images, approche r�egions 103.1 Segmentation Hi�erarchique : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 103.2 La mise en correspondance : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 124 Mod�eles d�eformables 134.1 Reconstruction avec R�egularisation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 134.2 Mod�eles d�eformables sur des images 2D ou 3D : : : : : : : : : : : : : : : : 144.3 Formalisme g�en�eral des Mod�eles D�eformables : : : : : : : : : : : : : : : : : : 164.4 Le Mod�ele de Ballon : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 194.5 M�ethode des El�ements �nis (MEF) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 234.6 Mod�ele 3D : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 245 Contours actifs et segmentation en r�egions 316 Mod�eles param�etriques D�eformables 336.1 Hyperquadriques : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 336.2 Superquadriques et D�eformations Libres (Free-Form Deformation) : : : : : : 367 Variables auxiliaires et Algorithmes It�eratifs �a deux �etapes. 398 Minimum global d'un contour actif par g�eod�esiques 429 Bibliographie 4610 Curriculum Vitae 5311 Principales Publications 5512 Publications Jointes au M�emoire 5758